2018-2019学年人教A版必修2 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 单元测试

章末综合测评(二)　点、直线、平面之间的位置关系
(建议用时：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列推理错误的是(　　)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?Aα
D．A∈l，l?α?A∈α
C　[若直线l∩α＝A，显然有l?α，A∈l，但A∈α.]
2．长方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于(　　)
A．30° B．45°　　　C．60°　 D．90°
D　[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.]
3．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．异面或相交
D　[根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交，但不可能平行．]
图1
4．如图1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
B　[易证BD⊥平面CC1E，∴BD⊥CE.选B.]
5．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
B　[选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.]
6．如图2所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是 (　　)
图2
A．90° B．60°
C．45° D．30°
A　[如图，连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，
则B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝a，所以∠B′DC＝90°.]
7．如图3，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点．当点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.其中恒成立的为 (　　)
图3
A．①③ B．③④
C．①② D．②③④
A　[如图所示，连接NE，ME.∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EN∥SB，MN∥SD，又EN∩MN＝N，SB∩SD＝S，∴平面SBD∥平面NEM，∴EP∥平面SBD，③恒成立．由正四棱锥S-ABCD，知AC⊥平面SBD，∴AC⊥平面NEM，∴AC⊥EP，①恒成立．②④对于线段MN上的任意一点P不一定成立，故选A.
]
8．如图4，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1 与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
图4
A． B．
C． D．
D　[在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E，连接BE.∵C1E⊥B1D1，C1E⊥BB1，∴C1E⊥平面BDD1B1，
∴∠C1BE即为BC1与平面BB1D1D所成的角．
∵BC1＝＝，C1E＝＝，
∴sin∠C1BE＝＝＝.]
9．如图5所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：
①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是(　　)

图5
A．①② B．①②③
C．① D．②③
B　[对于①，∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴BC⊥PC；
对于②，∵点M为线段PB的中点，
∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，∴OM∥平面PAC；
对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．]
10．如图6所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是(　　)
图6
A．1 B．2 C．3 D．4
C　[显然OM∥PD，又PD?平面PCD，PD?平面PDA.∴OM∥平面PCD，OM∥平面PDA.
∴①②③正确．]
11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是(　　)
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH⊥平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成的角为45°
D　[因为AH⊥平面A1BD，
BD?平面A1BD，
所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.
所以BD⊥平面AA1H.又A1H?平面AA1H.
所以A1H⊥BD，
同理可证BH⊥A1D，
所以点H是△A1BD的垂心，A正确；
因为平面A1BD∥平面CB1D1，所以AH⊥平面CB1D1，B正确；易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正确；因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故D错误．]
12．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中(　　)
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
B　[A错误．理由如下：过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE.
若直线AC与直线BD垂直，则可得BD⊥平面ACE，
于是BD⊥CE，而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直．所以直线AC与直线BD不垂直；
B正确．理由：翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时，平面ABC⊥平面BCD，此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC，于是有AB⊥CD.故B正确；
C错误．理由如下：若直线AD与直线BC垂直，则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD，于是BC⊥AC，但是AB二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS＝18，BS＝9，CD＝34，则CS＝________.
68或　[如图①，由α∥β可知BD∥AC，
①
∴＝，即＝，∴SC＝68.
如图②，由α∥β知AC∥BD，
②
∴＝＝，即＝.
∴SC＝，
故答案为68或.]
14．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面．
①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，则α⊥β；
②若a?α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；
④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.
上述命题中，正确命题的序号是________．
②④　[对①可举反例，如图，需b⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确．]
15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则DS＝________.
9　[因为直线AB与CD交于点S，所以A，B，C，D四点共面．又平面α∥平面β，所以BD∥AC，△ACS与△BDS相似，所以＝，即＝，所以DS＝9.]
16．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：
①△DBC是等边三角形；
②AC⊥BD；
③三棱锥D-ABC的体积是；
④异面直线AB与DC所成角为60°.
其中正确命题的序号是________．
①②③　[过D作DO⊥AC于O，连接BO(图略)，由题意知BO⊥AC，∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BOD，∴AC⊥BD，②正确；∵OB⊥OD，OB＝OD＝，∴BD＝1，∴△BCD为等边三角形，①正确；VD-ABC＝××1×1×＝，③正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图7，在三棱锥P-ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°.求证：GH∥MN.
图7
[证明]　如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，则M，N分别在BQ，CQ上．
因为M，N分别为△PAB，△PAC的重心，
所以＝＝，则MN∥BC.
又G，H分别为PB，PC的中点，所以GH∥BC，
所以GH∥MN.
18．(本小题满分12分)如图8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点.
图8
求证：(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
[证明]　(1)如图，连接AC，CD1.
因为ABCD为正方形，N为BD的中点，所以N为AC的中点．
又M为AD1的中点，所以MN∥CD1.
因为MN?平面CC1D1D，CD1?平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)连接BC1，C1D，
因为B1BCC1为正方形，P为B1C的中点，所以P为BC1的中点．
又N为BD的中点，所以PN∥C1D.
因为PN?平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D，
所以PN∥平面CC1D1D.
由(1)知MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
19．(本小题满分12分)如图9，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．
图9
(1)求点C到平面A1ABB1的距离；
(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值.
[解]　(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，
又CD⊥AA1，故CD⊥平面A1ABB1，
所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝＝.
(2)如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，
则DD1∥AA1∥CC1.
又由(1)知CD⊥平面A1ABB1，
故CD⊥A1D，CD⊥DD1，
所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角．
因为CD⊥平面A1ABB1，AB1?平面A1ABB1，所以AB1⊥CD，
又AB1⊥A1C，A1C∩CD＝C，
所以AB1⊥平面A1CD，故AB1⊥A1D，
从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余，
因此∠A1AB1＝∠A1DA，
所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.
因此＝，即A1A2＝AD·A1B1＝8，得A1A＝2.
从而A1D＝＝2.
所以，在Rt△A1D1D中，
cos∠A1DD1＝＝＝.
20．(本小题满分12分)如图10，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.
图10
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积．
[解]　(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，
∴BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.
又BD?平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.
∵A1D1綊B1C1綊BC，∴A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥D1C.
又A1B?平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.
又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高．
又∵AO＝AC＝1，AA1＝，∴A1O＝＝1.
又∵S△ABD＝××＝1，∴VABD-A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.
21. (本小题满分12分)如图11，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
图11
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，
使得PA∥平面CEF？并说明理由．
[证明]　(1)因为PC⊥平面ABCD，
所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.
又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.
又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.
理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.
又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.
又因为PA?平面CEF，且EF?平面CEF，
所以PA∥平面CEF.
22．(本小题满分12分)如图12，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1D1的中点．
图12
(1)求证：DD1⊥平面ABCD；
(2)求证：平面A1BE⊥平面ADD1A1；
(3)若CF∥平面A1BE，求棱BC的长度．
[解]　(1)证明：因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，
所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD.
因为AD∩CD＝D，
所以DD1⊥平面ABCD.
(2)证明：因为△ABD是正三角形，且E为AD中点，
所以BE⊥AD.
因为DD1⊥平面ABCD，
而BE?平面ABCD，
所以BE⊥DD1.
因为AD∩DD1＝D，
所以BE⊥平面ADD1A1.
因为BE?平面A1BE，
所以平面A1BE⊥平面ADD1A1.
(3)因为BC∥AD，F为A1D1的中点，
所以BC∥A1F.
所以B、C、F、A1四点共面．
因为CF∥平面A1BE，
而平面BCFA1∩平面A1BE＝A1B，
所以CF∥A1B.
所以四边形BCFA1是平行四边形．
所以BC＝FA1＝AD＝1.