2018-2019学年人教A版必修2 第4章 圆与方程 单元测试

章末综合测评(四)　圆与方程
(建议用时：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是(　　)
A．2　　　　　 B．2
C．9 D．
D　[由空间直角坐标系中两点间距离公式得：
|AB|＝＝.]
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．a＜－2或a＞ B．－＜a＜0
C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜
D　[由圆的定义知，应有a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，
即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.
选D.]
3．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为(　　)
A．点在圆外 B．点在圆内
C．点在圆上 D．与m的值有关
A　[点P与圆心(2,1)的距离为
d＝≥2＞r＝，
故点P在圆外．
选A.]
4．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于(　　)
A． B．2
C．2 D．4
B　[由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝，弦心距d＝＝，所以所求的弦长为2＝2，选B.]
5．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
D　[由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝＝－，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.]
6．圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系是(　　)
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
A　[由题意，知圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝36，圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以圆C1的圆心为C1(－1,3)，半径为6，圆C2的圆心为C2(2,－1)，半径为1.所以|C1C2|＝＝5，又r1－r2＝5，故两圆的位置关系是内切．]
7．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为(　　) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
D　[∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.]
8．从直线l：x－y＋3＝0上一点P向圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，记切点为M，则|PM|的最小值为(　　)
A． B．
C． D．－1
B　[由题意，知圆心为C(2,2)，半径为1，当CP⊥l时，|PM|取最小值．圆心C到直线l的距离d＝＝，则|PM|min＝＝.]
9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，过x轴上的一个动点P引圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则线段AB长度的取值范围是(　　)
A．(，2) B．[，2)
C．(，2] D．[，2]
B　[依题意知圆心C(1,2)，半径R＝1.要使AB长度最小，需使∠ACB最小，即需∠PCB最小，可知需PC最小即可，当P位于点(1,0)时满足条件，此时|CP|＝2，则∠PCB＝60°，∠ACB＝120°，可得|AB|＝；当点P在x轴上离点(1,0)越来越远时，∠ACB越来越接近180°，此时|AB|越来越接近2，所以线段AB长度的取值范围是[，2)．故选B.]
10．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(　　)
A．－5 B．5－
C．30－10 D．无法确定
C　[设P(x，y)是圆C上一点．配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为C(1，－2)，半径r＝5.∵＝，∴要使最小，则线段PO最短．如图，当点P，O，C在同一直线上时，|PO|min＝|PC|－|OC|＝5－＝5－，即(x2＋y2)min＝30－10.]
11．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5－4 B．－1
C．6－2 D．
A　[由题意知，圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4，点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.]
12．当曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
C　[曲线y＝1＋是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2,4)的直线．
设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即＝2，k0＝.
直线PA的斜率为k1＝.
所以，实数k的取值范围是＜k≤.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在如图1所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知A1(a，0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．
图1
(a，b，c)　[由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，∴B1(a，b，c)．]
14．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．

(x－2)2＋(y＋3)2＝5　[由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.]
15．过点M(3,2)作圆O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切线方程是________.
y＝2或5x－12y＋9＝0　[由圆的方程可知，圆心为(－2，1)，半径为1，显然所求直线斜率存在，设直线的方程为y－2＝k(x－3)，
即kx－y－3k＋2＝0，由＝1，
解得k＝0或k＝，所以所求直线的方程为y＝2和5x－12y＋9＝0.]
16．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程是________．
x2＋y2＝4　[设动点P的坐标为(x，y)，依题意有|PO|＝＝＝2，∴x2＋y2＝4，即所求的轨迹方程为x2＋y2＝4.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|.
[解]　∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，
∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,1)．
∴G点的坐标为G，
∴|BG|＝＝.
18．(本小题满分12分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.
[解]　法一：∵圆心在y轴上，
设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆经过A、B两点，
∴∴
所以圆的方程是x2＋(y－1)2＝10.
法二：线段AB的中点为(1,3)，
kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
由得(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间距离公式得圆半径r为
＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
19．(本小题满分12分)圆O：x2＋y2＝8内有一点P(－1,2)，过点P且倾斜角为α的直线交圆O于A，B两点．
(1)当α＝135°时，求弦AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程．
[解]　(1)∵α＝135°，
∴直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1.
又直线AB过点P，
∴直线AB的方程为y＝－x＋1，
代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0，
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝1，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝.
(2)∵点P为AB的中点，∴OP⊥AB.
∵kOP＝－2，∴kAB＝.
∴直线AB的方程为x－2y＋5＝0.
20．(本小题满分12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．

[解]　设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.
又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝|BC|＝|MB|.
∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，
∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简得x2＋y2－2y－6＝0，
即x2＋(y－1)2＝7.
∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以为半径的圆．
21. (本小题满分12分)如图2，已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0,6)．
图2
(1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程；
(2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程．
[解]　(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0，
化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50.
所以圆C的圆心坐标为C(－5，－5)，
又圆N的圆心在直线y＝x上，
所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)，
则有＝，
解得a＝3，
所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r＝3，
故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以CP⊥CQ.
所以点C到直线m的距离为5.
当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x＝0.
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y＝kx＋6，
即kx－y＋6＝0.
所以＝5，解得k＝.
所以此时直线m的方程为x－y＋6＝0，
即48x－55y＋330＝0，
故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.
22．(本小题满分12分)如图3所示，在保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m，经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.
图3
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
[解]　如图所示，以O为坐标原点，
OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
由条件知A(0,60)，C(170,0)，
直线BC的斜率
kBC＝－tan∠BCO＝－.
又因为AB⊥BC，
所以直线AB的斜率kAB＝.
设点B的坐标为(a，b)，
则kBC＝＝－，①
kAB＝＝.②
联立①②解得a＝80，b＝120.
所以BC＝＝150.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM＝d m(0≤d≤60)．
由条件知，直线BC的方程为
y＝－(x－170)，
即4x＋3y－680＝0.
由于圆M与直线BC相切，
故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即r＝＝.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以
即
解得10≤d≤35.
故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．
所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．