§1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.
3.会用定义证明函数的单调性．
知识点一 增函数与减函数的定义
思考 图中所给出的三个函数图象，有什么共同特征？
答案 它们的图象由左到右是上升的．
梳理 设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D?定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(×)
2．单调区间[a，b]可以写成{x|a≤x≤b}．(×)
3．用定义证明函数单调性时，可设x1x2.(√)
4．证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可．(×)
类型一 求单调区间并判断单调性
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．
反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
跟踪训练1 函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
解 y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
类型二 证明单调性
例2 证明f(x)＝在其定义域上是增函数．
考点 函数的单调性的判定与证明
题点 定义法证明具体函数的单调性
证明 f(x)＝的定义域为[0，＋∞)．
设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝ .
∵0≤x10，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝在它的定义域[0，＋∞)上是增函数．
反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1跟踪训练2 求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数．
考点 函数的单调性的判定与证明
题点 定义法证明具体函数的单调性
证明 设x1，x2是[1，＋∞)上的任意实数，且1≤x1＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＝(x1－x2).
∵1≤x1∴>0，故(x1－x2)<0，
即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数．
类型三 单调性的应用
命题角度1 利用单调性求参数范围
例3 若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪
考点 函数单调性的应用
题点 已知分段函数单调性求参数范围
答案 A
解析 要使f(x)在R上是减函数，需满足：
解得≤a＜.
反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为________________．
考点 函数单调性的应用
题点 已知二次函数单调性求参数范围
答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)
解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，而f(x)在区间[1,2]上单调，所以[1,2]?[a，＋∞)或[1,2]?(－∞，a]，即a≤1或a≥2.
命题角度2 用单调性解不等式
例4 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
解 f(1－a)解得0即所求a的取值范围是0反思与感悟 若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．
跟踪训练4 在例4中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
解 ∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
又f(1－a)，
∴所求a的取值范围是.
1．函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )
A．[－2,0] B．[0,1]
C．[－2,1] D．[－1,1]
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
答案 C
2．函数y＝的减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
答案 C
3．在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
考点 函数的单调性的概念
题点 函数单调性概念的理解
答案 B
4．若函数f(x)在R上是减函数，且f(|x|)>f(1)，则x的取值范围是________．
考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
答案 (－1,1)
5．若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a,3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
考点 函数单调性的应用
题点 已知二次函数单调性求参数范围
答案
解析 f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x＝3，
∴解得11．若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减．
2．对增函数的判断，对任意x1(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0.对减函数的判断，对任意x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0.
3．熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数、二次函数、反比例函数等．
4．若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③单调递减(f(x)≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较．
一、选择题
1．函数y＝的单调递减区间是( )
A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1} D．R
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
答案 A
解析 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A.
2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是( )
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1D.>0
考点 函数的单调性的概念
题点 函数单调性概念的理解
答案 C
解析 因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x13．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么－1A．(－3,0)
B．(0,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
答案 B
解析 由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，
∴－1又∵f(x)在R上单调递增，∴0∴－14．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是( )
A．y＝－f(x)在R上是减函数
B．y＝在R上是减函数
C．y＝[f(x)]2在R上是增函数
D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数
考点 函数的单调性的判定与证明
题点 抽象函数单调性的判断
答案 A
解析 设x1所以－f(x1)>－f(x2)，A选项一定成立．
其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B，C不成立，当a≤0时，D不成立．
5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性比较函数值大小
答案 C
解析 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
6．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
答案 A
解析 画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，
故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.
7．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )
考点 函数的单调性的概念
题点 函数单调性概念的理解
答案 B
解析 对于A，存在x1∈(0,1)，f(x1)>f(1)，A不对；
对于C，存在x1>1，f(x1)对于D，存在x1＝－1，x2＝1，f(x1)只有B完全符合单调性定义．
8．函数y＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，－3] B.
C．(－∞，1) D.
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
答案 B
解析 函数由t＝2x－3与y＝复合而成，故要利用复合函数单调性的有关规律来求．首先由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在(－∞，＋∞)上单调递增，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是.
二、填空题
9．已知一次函数y＝(k＋1)x＋k在R上是增函数，且其图象与x轴的正半轴相交，则k的取值范围是________．
考点 函数单调性的应用
题点 已知一次函数、分式函数单调性求参数范围
答案 (－1,0)
解析 依题意得解得－110．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
考点 函数单调性的应用
题点 已知分段函数单调性求参数范围
答案
解析 当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0；当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，∴0≤a≤.
11．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
答案
解析 由题意，得解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
三、解答题
12．求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间．
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
解 ∵y＝－x2＋2|x|＋3
＝
函数图象如图所示：
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]．
13．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
考点 函数单调性的应用
题点 函数单调性的综合应用
(1)证明 设任意x1，x2∈(－∞，－2)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)(2)解 设任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，0四、探究与拓展
14．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是____________．
考点 函数单调性的应用
题点 已知二次函数单调性求参数范围
答案 (0,1]
解析 由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得a≤1.由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0.
∴015．设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求f的值；
(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；
(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.
考点 函数单调性的应用
题点 函数单调性的综合应用
解 (1)对于任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
当x＝2，y＝时，有?f?＝f(2)＋f?，
即f(2)＋f?＝0，
又f(2)＝1，∴f?＝－1.
(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：
设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1即f(x2)－f(x1)＝f?.
∵>1，故f?>0，
即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
(3)由(1)知，f?＝－1，
∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f
＝f?＝f(4x－3)，
∴f(2x)>f(4x－3)，
∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
∴
解得解集为.
第2课时 函数的最大(小)值
学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．
知识点一 函数的最大(小)值
思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？
答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．
梳理 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
知识点二 函数的最大(小)值的几何意义
思考 函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：
试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．
答案 当x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，当x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点．
梳理 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．
1．因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.(×)
2．f(x)＝(x>0)的最小值为0.(×)
3．函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．(√)
4．如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．(×)
类型一 借助单调性求最值
例1 已知函数f(x)＝(x>0)．
(1)求证：f(x)在(0,1]上为增函数；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值
(1)证明 设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝＝.
当00，x1x2－1<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0,1]上单调递增．
(2)解 当1≤x10，x1x2－1>0，
f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
∴结合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝，无最小值．
反思与感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值
解 设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
由2≤x1得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以，函数f(x)＝在区间[2,6]上是减函数．
因此，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，
即在x＝2时取得最大值，最大值是2，
在x＝6时取得最小值，最小值是.
类型二 求二次函数的最值
例2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；
(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；
(3)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
解 (1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．
∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.
(2)∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
②当≤1f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
③当t≤1<，即0f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
④当11时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝
φ(t)＝
(3)设＝t(t≥0)，则x－2－3＝t2－2t－3.
由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．
(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
(3)求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
解 (1)设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.
y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
∴当t＝1即x＝±1时，f(x)min＝－4，无最大值．
(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
(3)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)．
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
综上，g(t)＝
类型三 借助图象求最值
例3 (2017·昌平区检测)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．无最大值
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图象求最值
答案 B
解析 在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图：
根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．
所以当x＝1时，f(x)max＝1.
反思与感悟 借助图象求最值注意两点
(1)作图要准确；(2)最值的几何意义要理解．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图象求最值
答案 2
解析 f(x)的图象如图：
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
类型四 函数最值的应用
例4 已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
解 方法一 令y＝x2－x＋a，
要使x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
只需ymin＝>0，解得a>.
∴实数a的取值范围是.
方法二 x2－x＋a>0可化为a>－x2＋x.
要使a>－x2＋x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
只需a>(－x2＋x)max，
又(－x2＋x)max＝，∴a>.
∴实数a的取值范围是.
引申探究
把本例中“x∈(0，＋∞)”改为“x∈”，再求a的取值范围．
解 f(x)＝－x2＋x在上为减函数，
∴f(x)的值域为，
要使a>－x2＋x对任意x∈恒成立，
只需a≥，∴a的取值范围是.
反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)min>a来解决．任意x∈D，f(x)跟踪训练4 已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
解 ∵x>0，∴ax2＋x≤1可化为a≤－.
要使a≤－对任意x∈(0,1]恒成立，
只需a≤min.
设t＝，∵x∈(0,1]，∴t≥1.
－＝t2－t＝2－.
当t＝1时，(t2－t)min＝0，即当x＝1时，min＝0，
∴a≤0.∴实数a的取值范围是(－∞，0].
1．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是( )
A．－ B．－1 C. D．3
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值
答案 C
2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上( )
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值
答案 A
3．函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值、最小值分别为( )
A．4,1 B．4,0
C．1,0 D．以上都不对
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
答案 B
4．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
考点 函数的最值及其几何意义
题点 分段函数最值
答案 A
5．若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－ D．－
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值
答案 D
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
2．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
3．许多数学问题如不等式证明，恒成立的不等式，图象与y＝a(a为常数)的交点问题等，都与函数最值有关，所以会求函数最值是一种基础技能．
一、选择题
1．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[－1,1]
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
考点 函数的最值及其几何意义
题点 分段函数最值
答案 D
解析 该函数的函数值只有三个．
2．函数g(x)＝x2－4x＋3在区间(1,4]上的值域是( )
A．[－1，＋∞) B．[0,3]
C．(－1,3] D．[－1,3]
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
答案 D
解析 g(x)＝(x－2)2－1，当x＝2时，g(x)min＝－1；
当x＝4时，g(x)max＝3，
∴g(x)在(1,4]上的值域为[－1,3]．
3．下列说法正确的是( )
A．若函数f(x)的值域为[a，b]，则f(x)min＝a，f(x)max＝b
B．若f(x)min＝a，f(x)max＝b，则函数f(x)的值域为[a，b]
C．若f(x)min＝a，直线y＝a不一定与f(x)的图象有交点
D．若f(x)min＝a，直线y＝a一定与f(x)的图象有且仅有一个交点
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图象求最值
答案 A
解析 值域为[a，b]，则最小的函数值即f(x)min＝a，最大的函数值即f(x)max＝b，A对．f(x)min＝a，f(x)max＝b，区间[a，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a，b]不一定是值域，B错．若f(x)min＝a，由定义一定存在x0使f(x0)＝a，即f(x)与直线y＝a一定有交点，但不一定唯一，C，D都错．
4.若函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为( )
A．f?，f?
B．f(0)，f?
C．f(0)，f?
D．f(0)，f(2)
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图象求最值
答案 C
解析 函数最大值对应图象中的最高点纵坐标f(0)，同理，最小值对应f?.
5．函数f(x)＝x＋( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值
答案 A
解析 ∵f(x)＝x＋在定义域上是增函数，∴f(x)≥f?＝，即函数最小值为，无最大值，故选A.
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
答案 C
解析 因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，即－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2.所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C.
7．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
A．[160，＋∞)
B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞)
D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
答案 C
解析 由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.
8．已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，若对任意的x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
答案 A
解析 对任意x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，
只需即
解得a≤－1.
∴a的最大值为－1.
二、填空题
9．若函数y＝ax＋1(a＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值
答案 1
解析 ∵a＞0，∴函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，∵ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.
10．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
答案 (1,3]
解析 f(x)的对称轴为x＝3，
当且仅当111．下列函数：
①y＝x＋|x|；②y＝x－|x|；③y＝x|x|；④y＝.其中有最小值的函数有________个．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图象求最值
答案 2
解析 y＝x＋|x|＝ymin＝0.
y＝x－|x|＝无最小值．
y＝x|x|＝无最小值．
y＝＝ymin＝－1.
三、解答题
12．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为多少万元？
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
解 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，设两地销售的利润之和为y，则
y＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.
由题意知
∴0≤x≤15，且x∈Z.
当x＝－＝9.5时，y值最大，
∵x∈Z，∴取x＝9或10.
当x＝9时，y＝120，当x＝10时，y＝120.
综上可知，公司获得的最大利润为120万元．
13．求函数y＝f(x)＝在区间[1,2]上的最大值和最小值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值
解 任取x1，x2，且1≤x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
因为1≤x1即6<3(x1＋x2)<12，
又10，
故f(x1)－f(x2)>0.
所以函数y＝在区间[1,2]上为减函数，
即ymax＝f(1)＝－，ymin＝f(2)＝－4.
四、探究与拓展
14．(2017·重庆检测)对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，a2－4a＋6的下确界为________．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
答案 2
解析 设f(a)＝a2－4a＋6，f(a)≥M，即f(a)min≥M.
而f(a)＝(a－2)2＋2，∴f(a)min＝f(2)＝2.
∴M≤2.
∴Mmax＝2.
15．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)设F(x)＝m＋f(x)，求函数F(x)的最大值的表达式g(m)．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
解 (1)要使函数f(x)有意义，
需满足
解得－1≤x≤1.
故函数f(x)的定义域是{x|－1≤x≤1}．
∵[f(x)]2＝2＋2，且0≤≤1，
∴2≤[f(x)]2≤4，又∵f(x)≥0，
∴≤f(x)≤2，
即函数f(x)的值域为[，2]．
(2)令f(x)＝t，t∈[，2]，则t2＝2＋2，
则＝－1，
故F(x)＝m＋t
＝mt2＋t－m，t∈[，2]，
令h(t)＝mt2＋t－m，
则函数h(t)的图象的对称轴方程为t＝－.
①当m>0时，－<0，函数y＝h(t)在区间[，2]上单调递增，
∴g(m)＝h(2)＝m＋2.
②当m＝0时，h(t)＝t，g(m)＝2；
③当m<0时，－>0，若0<－≤，
即m≤－时，函数y＝h(t)在区间[，2]上单调递减，
∴g(m)＝h()＝，
若<－≤2，即－g(m)＝h＝－m－；
若－>2，即－函数y＝h(t)在区间[，2]上单调递增，
∴g(m)＝h(2)＝m＋2.
综上，g(m)＝
1．3.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
知识点一 函数奇偶性的几何特征
思考 下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？
答案 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称．
梳理 一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二 函数奇偶性的定义
函数奇偶性的概念：
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上．
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质
1．奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
2．重要性质
(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性．
(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．
1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图象．(×)
2．若f(x)是奇函数，f(1)＝2，则f(－1)＝－2.(√)
3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(√)
4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(√)
类型一 证明函数的奇偶性
例1 (1)证明f(x)＝既非奇函数又非偶函数；
(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；
(3)证明f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
证明 (1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，所以f(x)＝既非奇函数又非偶函数．
(2)函数的定义域为R，因为函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因为f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．
(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，故函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．
跟踪训练1 (1)证明f(x)＝(x－2) 既非奇函数又非偶函数；
(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数．
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
证明 (1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数．
类型二 奇偶性的应用
命题角度1 奇?偶?函数图象的对称性的应用
例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
引申探究
把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
解 (1)f(x)的图象如图所示：
(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
反思与感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．
跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值
例3 若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 由二次函数为偶函数求参数值
答案 0
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝，f(x)＝x2＋bx＋b＋1.
又f(x)为偶函数，
所以f(－x)＝(－x)2＋b(－x)＋b＋1＝f(x)＝x2＋bx＋b＋1对定义域内任意x恒成立，
即2bx＝0对任意x∈恒成立，
所以b＝0.综上，a＝，b＝0.
反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x，恒有f(－x)＝f(x)(或－f(x))成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
答案 0
解析 由题意知
则 解得
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
考点 函数的奇偶性概念
题点 函数奇偶性概念的理解
答案 B
2．函数f(x)＝x(－1A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
答案 C
3．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 5
解析 函数y＝f(x)＋x是偶函数，
∴x＝±2时函数值相等．
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.
4．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．
考点 函数奇偶性的应用
题点 由二次函数为偶函数求参数值
答案 2
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，
即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)
＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，
∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.
5．判断函数f(x)＝x＋(a为常数)的奇偶性，并证明你的结论．
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
解 f(x)为奇函数，证明如下：
f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于任意x≠0，f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数?它的图象关于原点对称；函数为偶函数?它的图象关于y轴对称．
3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.
一、选择题
1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于( )
A．－1 B．1 C．0 D．2
考点 函数奇偶性的应用
题点 由奇偶函数定义域的对称性求参数值
答案 A
解析 因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，
根据奇函数的定义域关于原点对称，
所以a与b有一个等于1，一个等于－2，
所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，
故选A.
2．(2017·葫芦岛检测)下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是( )
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
答案 B
解析 A，D不是函数；C不关于原点对称．
3．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(－x)·f(x)≤0 D.＝－1
考点 函数的奇偶性概念
题点 函数奇偶性概念的理解
答案 D
解析 由于f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，①
由此可推A，B，C正确，
由于f(－x)可能为0，由①不能推出D.
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 A
解析 ∵f(x)是奇函数，
当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
5．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断抽象函数的奇偶性
答案 A
解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C
解析 A中，令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错；
B中，令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错；
C中，令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确；
D中，令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)．
∴h(x)是偶函数，D错．
7．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
答案 A
解析 f(x)的定义域为R，
对于任意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
又f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(－1)≠f(1)，
∴f(x)不是偶函数．
8．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(3)＝0，则不等式>0的解集为( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 利用奇偶性、单调性解不等式
答案 A
解析 ∵f(x)为奇函数，f(3)＝0，
∴f(－3)＝0.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数．
由＝f(x)>0，
①当x>0时，得f(x)>f(3)＝0，∴x>3；
②当x<0时，得f(x)>f(－3)＝0，∴－3综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．
二、填空题
9．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
考点 函数图象的对称性
题点 轴对称问题
答案 0
解析 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
10．若函数f(x)＝＋为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为________．
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
答案 a>1
解析 ∵函数f(x)＝＋为偶函数且非奇函数，
∴f(－x)＝f(x)且f(－x)≠－f(x)．
又∵∴a≥1.
当a＝1时，函数f(x)＝＋为偶函数且为奇函数，
故a>1.
11．函数f(x)＝为________函数．(填“奇”或“偶”)
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断分段函数的奇偶性
答案 奇
解析 定义域关于原点对称，且
f(－x)＝
＝
＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
三、解答题
12．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
13．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，求实数a的值．
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
解 ∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，
∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，
∴a＝0.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
答案
解析 根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
15．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
解 (1)因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，即1－m＝－(－1＋2)，
解得m＝2.
经检验当m＝2时函数f(x)是奇函数．
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(图略)知
所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
第2课时 奇偶性的应用
学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.3.了解函数的奇偶性的推广——对称性．
知识点一 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
特别提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
知识点二 奇偶性与单调性
思考 观察偶函数y＝x2与奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？
答案 偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同．
梳理 一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
知识点三 奇偶性的推广
一般地，对于定义域内任意x，
(1)若f(a－x)＝2b－f(a＋x)，则f(x)的图象关于点(a，b)对称．当a＝b＝0时，即为奇函数的定义．
(2)若f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称，当a＝0时，即为偶函数的定义．
1．奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．(×)
2．对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|)．(√)
3．若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，则f(x)关于直线x＝1对称．(×)
4．对于定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则y＝f(1－x)与y＝f(1＋x)关于直线x＝1对称．(×)
类型一 用奇偶性求解析式
命题角度1 已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式
例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
反思与感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
跟踪训练1 已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，求y＝f(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以当x<0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.
因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.
所以f(x)＝
命题角度2 已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式
例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
反思与感悟 f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.
因为f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．
跟踪训练2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
类型二 奇偶性对单调性的影响
命题角度1 由x的取值情况推导f?x?的取值情况
例3 设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性、奇偶性综合
证明 设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2.
∵－b≤x1＜x2≤－a，
∴a≤－x2＜－x1≤b.
∵f(x)在[a，b]上是减函数，
∴f(－x2)＞f(－x1)．
∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)．
∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．
引申探究
区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称．
(1)若f(x)为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最________值________．
(2)若f(x)为奇函数，f(x)＋2在[a，b]上有最大值M，则f(x)＋2在[－b，－a]上有最________值________．
答案 (1)小 －M (2)小 －M＋4
解析 (1)设x∈[－b，－a]，则－x∈[a，b]，
∴f(－x)≤M且存在x0∈[a，b]，使f(x0)＝M.
∵f(x)为奇函数，∴－f(x)≤M，f(x)≥－M，
且存在－x0∈[－b，－a]，使f(－x0)＝－M.
∴f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.
(2)由(1)知，f(x)在[a，b]上有最大值M－2时，
f(x)在[－b，－a]上有最小值－M＋2.
∴f(x)＋2在[－b，－a]上有最小值－M＋4.
反思与感悟 与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属于哪个区间．同样，求哪个区间上的最值，也设x属于哪个区间．
跟踪训练3 已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是( )
A．f(－5)>f(3) B．f(－5)C．f(－3)>f(－5) D．f(－3)考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 C
解析 设0由>0，得f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
∴由－3>－5，可得f(－3)>f(－5)．
命题角度2 由f?x?的取值情况推导x的取值情况
例4 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 (－1,3)
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(x－1)＝f(|x－1|)，
又f(2)＝0，∴f(x－1)>0，
即f(|x－1|)>f(2)，
∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴|x－1|<2，即－2∴x的取值范围是(－1,3)．
反思与感悟 若f(x)在[a，b]上单调递增，则x1，x2∈[a，b]时，可由f(x1)跟踪训练4 奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，解不等式f(x－1)＋f(2x＋3)>0.
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
解 ∵f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为奇函数，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴f(x－1)＋f(2x＋3)>0?f(x－1)>－f(2x＋3)＝f(－2x－3)?x－1<－2x－3，
解得x<－，∴原不等式的解集为.
类型三 对称问题
例5 定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝x，试画出f(x)的图象．
考点 函数图象的对称性
题点 对称问题综合
解 ∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，
∴f(x)关于直线x＝－2对称．
反复利用f(x)关于原点对称又关于直线x＝－2对称，可画出f(x)的图象如图：
反思与感悟 奇偶性推广到一般的对称性后，要善于抓住特征识别对称中心(或对称轴)，而应用对称性与应用奇偶性完全类似．
跟踪训练5 定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x.试画出f(x)的图象．
考点 函数图象的对称性
题点 对称问题综合
解 ∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．
又∵f(x－4)＝－f(x)＝－f(－x)，
∴f(x)关于点C(－2,0)对称．
反复利用f(x)关于(－2,0)对称又关于y轴对称，
可画出的图象如图：
1．f(x)＝x2＋|x|( )
A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断函数的单调性、奇偶性
答案 D
2．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时，f(x)等于( )
A．x＋1 B．x－1
C．－x－1 D．－x＋1
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 A
3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 C
4．已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a＝________.
考点 函数图象的对称性
题点 轴对称问题
答案 －2
5．(2017·沈阳检测)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
考点 函数图象的对称性
题点 轴对称问题
答案 0
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
又f(x)关于直线x＝对称，∴f?＝f?.①
在①式中，当x＝时，f(0)＝f(1)＝0.
在①式中，以＋x代替x，得
f?＝f?，
即f(－x)＝f(1＋x)．
∴f(2)＝f(1＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝0，
f(3)＝f(1＋2)＝f(－2)＝－f(2)＝0，同理，
f(4)＝f(5)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称．
2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
3．具有奇偶性的函数的单调性的特点
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
一、选择题
1．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于( )
A．6 B．－6 C．2 D．－2
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 A
解析 g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 C
解析 ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.
∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.
3．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(0,1) D．[－1,1)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 A
解析 由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，
所以f(x)在R上单调递增，
f(x)故选A.
4．若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A．f(－3)>f(0)>f(1)
B．f(－3)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－3)
D．f(1)>f(－3)>f(0)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 B
解析 ∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0)．
5．设f(x)是奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤m(m<0)，则f(x)的值域是( )
A．[m，－m] B．(－∞，m]
C．[－m，＋∞) D．(－∞，m]∪[－m，＋∞)
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的最值或值域
答案 D
解析 当x≥0时，f(x)≤m；
当x≤0时，－x≥0，
所以f(－x)≤m，因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)≤m，
即f(x)≥－m.
6．定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则( )
A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
考点 函数图象的对称性
题点 轴对称问题
答案 A
解析 f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以f(－1)＜f(1)＝f(3)．
7．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，＜0，
即＜0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，
∴当x＞1时，f(x)＜0.
∵奇函数图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，
即x＜－1时，f(x)＞0.
综上使＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
8．(2017·南阳检测)设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 A
解析 ∵x1<0，x1＋x2>0，
∴x2>－x1>0，
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(x2)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x2)＝f(x2)二、填空题
9．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的单调递减区间是________．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 求奇偶函数的单调区间
答案 [0，＋∞)
解析 利用函数f(x)是偶函数，得k－1＝0，k＝1，
所以f(x)＝－x2＋3，其单调递减区间为[0，＋∞)．
10．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 利用奇偶性、单调性解不等式
答案
解析 由于f(x)是偶函数，因此f(x)＝f(|x|)，
∴f(|2x－1|)再根据f(x)在[0，＋∞)上的单调性，
得|2x－1|<，解得11．已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 －1
解析 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
三、解答题
12．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 求奇偶函数的单调区间
解 (1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
于是有f(x)＝
(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．
13．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b，c的值；
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性并证明．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－ax－＋c＝－ax－－c，
∴c＝0，∴f(x)＝ax＋.
又∵f(1)＝，f(2)＝，
∴
∴a＝2，b＝.
综上，a＝2，b＝，c＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝2x＋.
函数f(x)在区间上为减函数．
证明如下：
任取0则f(x1)－f(x2)＝2x1＋－2x2－
＝(x1－x2)
＝(x1－x2).
∵0∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.
∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在上为减函数．
四、探究与拓展
14．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 利用奇偶性、单调性解不等式
答案 (－7,3)
解析 因为f(x)为偶函数，所以f(|x＋2|)＝f(x＋2)，则f(x＋2)<5可化为f(|x＋2|)<5，则|x＋2|2－4|x＋2|<5，即(|x＋2|＋1)(|x＋2|－5)<0，
所以|x＋2|<5，解得－7所以不等式f(x＋2)<5的解集是(－7,3)．
15．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋ax.
(1)若a＝－2，求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)为R上的单调减函数，
①求a的取值范围；
②若对任意实数m，f(m－1)＋f(m2＋t)<0恒成立，求实数t的取值范围．
考点 函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点 不等式恒成立问题
解 (1)当x<0时，－x>0，
又∵f(x)为奇函数，且a＝－2，
∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x2－2x，
∴f(x)＝
(2)①当a≤0时，对称轴x＝≤0，
∴f(x)＝－x2＋ax在[0，＋∞)上单调递减，
由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，
又在(－∞，0)上f(x)>0，在(0，＋∞)上f(x)<0，
∴当a≤0时，f(x)为R上的单调减函数．
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，不合题意．
∴函数f(x)为单调减函数时，a的取值范围为a≤0.
②∵f(m－1)＋f(m2＋t)<0，
∴f(m－1)<－f(m2＋t)，
又∵f(x)是奇函数，∴f(m－1)又∵f(x)为R上的单调减函数，
∴m－1>－t－m2恒成立，
∴t>－m2－m＋1＝－2＋对任意实数m恒成立，
∴t>.
即t的取值范围是.
