滚动训练(一)
一、选择题
1．下列集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
答案 B
解析 选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．
2．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)等于( )
A．{3} B．{4} C．{3,4} D．?
考点 交并补集的综合问题
题点 有限集合的交并补运算
答案 A
解析 ∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}．
又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．
又?UB＝{3,4}，∴A∩(?UB)＝{3}．
3．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
考点 函数图象
题点 求作或判断函数的图象
答案 B
解析 代入特殊点，∵f(1)＝0，∴排除A，C；
又f(－1)＝2，∴排除D.
4．函数y＝＋的定义域为( )
A．(－∞，1] B．[0,1]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
考点 函数的定义域
题点 求具体函数的定义域
答案 B
解析 由题意得，解得0≤x≤1.
5．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 B
解析 A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B.
6．已知f?＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于( )
A．－ B. C. D．－
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
答案 A
解析 令x－1＝t，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2×(2t＋2)＋3＝4t＋7.
令4m＋7＝6，得m＝－.
7．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
考点 分段函数
题点 分段函数应用问题
答案 D
解析 对于选项A，右边＝x|sgn x|＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项B，右边＝xsgn|x|＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项C，右边＝|x|sgn x＝而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项D，右边＝xsgn x＝而左边＝|x|＝显然正确；故选D.
8．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；
若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；
若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；
当a＝－1时，不符合题意．
综上可知，a＝0或a＝1.
二、填空题
9．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝?，则实数t的取值范围是________．
答案 (－∞，－3)
解析 B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t＜－3.
10．(a,3a－1]为一确定的区间，则a的取值范围是________．
考点 区间的概念
题点 区间概念的理解与应用
答案
解析 根据区间的定义，可知a<3a－1，解得a>.
11．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是________．
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
答案 f(x)＝3x＋2
解析 令3x＋2＝t，则3x＝t－2，
故f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2.
12．若2f(x)＋f?＝2x＋(x≠0)，则f(2)＝________.
答案
解析 令x＝2得2f(2)＋f?＝，
令x＝得2f?＋f(2)＝，
消去f?，得f(2)＝.
三、解答题
13．已知全集U＝{x|x－2≥0或x－1≤0}，A＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x≤1或x>2}，求A∩B，A∪B，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
解 ∵全集U＝{x|x≥2或x≤1}，
∴A∩B＝A＝{x|x<1或x>3}；
A∪B＝B＝{x|x≤1或x>2}；
(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{2}；
(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)＝{x|2≤x≤3或x＝1}．
四、探究与拓展
14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0，求F(x)的表达式．
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
解 ∵f(x)＝ax2＋bx＋1，f(－1)＝0，
∴a－b＋1＝0.
又∵对任意实数x，均有f(x)≥0，
∴Δ＝b2－4a≤0.
∴(a＋1)2－4a≤0.
∴a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
∴F(x)＝
15．设集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，求x0的取值范围．
考点 分段函数
题点 分段函数与不等式结合
解 ∵x0∈A，∴f(x0)＝x0＋∈B，
∴f(f(x0))＝f?＝2＝1－2x0.
又f(f(x0))∈A，∴0≤1－2x0<，解得
滚动训练(二)
一、选择题
1．下列五个写法：其中错误写法的个数为( )
①{0}∈{0,2,3}；②??{0}；③{0,1,2}?{1,2,0}；④0∈?；⑤0∩?＝?.
A．1 B．2
C．3 D．4
考点 集合的包含关系
题点 集合包含关系的判定
答案 C
解析 ②③正确．
2．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于( )
A．N B．M C．R D．?
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 A
解析 M＝{x|y＝x2－2}＝R，
N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.
3．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)
考点 函数的定义域
题点 求具体函数的定义域
答案 D
解析 根据题意有解得x≥1且x≠2.
4．在下面的四个选项所给的区间中，函数f(x)＝x2－1不是减函数的是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，－1)
C．(－1,1) D．(－∞，0)
考点 函数的单调性的判定与证明
题点 判断函数的单调性
答案 C
解析 函数f(x)＝x2－1为二次函数，单调减区间为(－∞，0]，而(－1,1)不是(－∞，0]的子集，故选C.
5．函数f(x)＝x5＋x3＋x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
答案 C
解析 易知f(x)是R上的奇函数，因此图象关于坐标原点对称．
6．已知f(x)＝则f?＋f?等于( )
A．－ B. C. D．－
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 A
解析 f?＝2×－1＝－，f?＝f?＋1＝f?＋1＝2×－1＋1＝，
∴f?＋f?＝－，故选A.
7．若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)<1的解集为( )
A．{x|x>3或－3B．{x|x<－3或0C．{x|x<－3或x>3}
D．{x|－3考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 利用奇偶性、单调性解不等式
答案 C
解析 由于f(x)是偶函数，∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴当x>0时，f(x)<1即f(x)3，当x<0时，f(x)<1即f(x)8．已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为( )
A. B.
C．2 D．2
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
答案 A
解析 ∵y≥0，
∴y＝＋＝ (－3≤x≤1)，
∴当x＝－3或1时，ymin＝2；当x＝－1时，ymax＝2，
即m＝2，M＝2，∴＝.
二、填空题
9．函数f(x)是定义在[－1,3]上的减函数，且函数f(x)的图象经过点P(－1,2)，Q(3，－4)，则该函数的值域是________．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值
答案 [－4,2]
解析 ∵f(x)的图象经过点P，Q，
∴f(－1)＝2，f(3)＝－4.
又f(x)在定义域[－1,3]上是减函数，
∴f(3)≤f(x)≤f(－1)，即－4≤f(x)≤2.
∴函数f(x)的值域是[－4,2]．
10．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案 f(x1)>f(x2)
解析 ∵x1<0，∴－x1>0，又|x1|>|x2|，x2>0，
∴－x1>x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)．
又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．
11．若函数f(x)＝2x4－|3x＋a|为偶函数，则a＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
答案 0
解析 f(－x)＝2x4－|a－3x|，由偶函数定义得|3x＋a|＝|a－3x|，∴(a＋3x)2＝(a－3x)2，∴a＝0.
三、解答题
12．已知集合A＝{x|－4≤x<8}，函数y＝的定义域构成集合B，求：
(1)A∩B；
(2)(?RA)∪B.
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
解 y＝的定义域为B＝{x|x≥5}，则
(1)A∩B＝{x|5≤x<8}．
(2)?RA＝{x|x<－4或x≥8}，
∴(?RA)∪B＝{x|x<－4或x≥5}．
13．已知二次函数f(x)满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的值域．
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
解 (1)方法一 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c
＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c
＝9x2－6x＋5.
比较系数，得解得
所以f(x)＝x2－4x＋8.
方法二 令t＝3x＋1，t∈R，
则x＝，
f(t)＝9×2－6×＋5，
即f(t)＝t2－4t＋8，
所以f(x)＝x2－4x＋8.
(2)因为函数f(x)＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，
当x＝2时取等号．
所以函数f(x)的值域为[4，＋∞)．
四、探究与拓展
14．设函数f(x)＝(x＋|x|)，g(x)＝则f＝________.
考点 分段函数
题点 求分段函数解析式
答案
解析 f(x)＝
当x>0时，g(x)＝x2>0.
则f＝f(x2)＝x2.
当x≤0时，g(x)＝x≤0，则f＝f(x)＝0.
综上可得，f＝
15．函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)当x<0时，求函数f(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
(1)证明 设0f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵00，x2－x1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)解 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－－1.
故f(x)＝－－1(x<0)．
习题课 集 合
学习目标 1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．
1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．
2．元素与集合有且只有两种关系：∈，?.
3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，Venn图法，常用数集字母代号．
4．集合间的关系与集合的运算
符号
定义
Venn图
子集
A?B
x∈A?x∈B
真子集
A?B
A?B且存在x0∈B但x0?A
并集
A∪B
{x|x∈A或x∈B}
交集
A∩B
{x|x∈A且x∈B}
补集
?UA(A?U)
{x|x∈U且x?A}
5.常用结论
(1)??A；
(2)A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝A?A?B.
(3)A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝A?A?B.
(4)A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A.
1．若A＝，则x<0.(√)
2．任何集合至少有两个子集．(×)
3．若有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a＝0.(×)
4．设A，B为全集的子集，则A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.(√)
类型一 集合的概念及表示法
例1 下列表示同一集合的是( )
A．M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}
B．M＝{2,1}，N＝{1,2}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N}
D．M＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}
考点 集合的表示综合
题点 集合的表示综合问题
答案 B
解析 A中M，N两集合的元素个数不同，故不可能相同；
B中M，N均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M＝N；
C中M，N均为数集，显然有M?N；
D中M为点集，即抛物线y＝x2－1上所有点的集合，而N为数集，即抛物线y＝x2－1的y的取值，故选B.
反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．
跟踪训练1 设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 {(4,4)}
解析 由得∴A∩B＝{(4,4)}．
类型二 集合间的基本关系
例2 若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可能取值组成的集合．
考点 子集及其运算
题点 根据子集关系求参数的取值范围
解 由题意得，P＝{－3,2}．
当a＝0时，S＝?，满足S?P；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－，
为满足S?P，可使－＝－3，或－＝2，
即a＝，或a＝－.
故所求集合为.
反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
(2)对于两集合A，B，当A?B时，不要忽略A＝?的情况．
跟踪训练2 下列说法中不正确的是________．(填序号)
①若集合A＝?，则??A；
②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；
③已知集合A＝{x|12.
考点 集合的包含关系
题点 集合包含关系的判定
答案 ③
解析 ?是任何集合的子集，故①正确；
∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，
∴A＝B，故②正确；
若A?B，则a≥2，故③错误.
1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
考点 交集的概念及运算
题点 有限集合的交集运算
答案 B
2．下列关系中正确的个数为( )
①∈R；②0∈N*；③{－5}?Z.
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 C
解析 ①③正确．
3．已知P＝{y|y＝a2＋1，a∈R}，Q＝{m|m＝x2－4x＋5，x∈R}，则P与Q的关系不正确的是( )
A．P?Q B．P?Q
C．P＝Q D．P∩Q＝?
考点 集合的包含关系
题点 集合包含关系的判定
答案 D
解析 ∵P＝，
Q＝＝，
∴P＝Q.
∴A，B，C皆正确．
4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(?IM)∩(?IN)＝________.
考点 交并补集的综合问题
题点 有限集合的交并补运算
答案 ?
解析 (?IM)∩(?IN)＝?I(M∪N)＝?II＝?.
5．(2017·烟台检测)已知集合U＝R，集合A＝，B＝，则(?UA)∩B＝________.
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
答案
解析 由图知(?UA)∩B＝.
1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．
2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．
一、选择题
1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，则M∩N等于( )
A．{1,4} B．{－1，－4}
C．{0} D．?
考点 交集的概念及运算
题点 有限集合的交集运算
答案 D
解析 因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，
N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M∩N＝?，
故选D.
2．已知集合A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．A＝B B．A∩B＝?
C．A?B D．B?A
考点 集合的包含关系
题点 集合包含关系的判定
答案 D
解析 A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B?A.
3．已知全集U＝R，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，则集合A∩(?UB)等于( )
A．{1} B．{1,2}
C．{1,2,3} D．{0,1,2}
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
答案 B
解析 ∵?UB＝{x∈R|x<3}，∴A∩(?UB)＝{1,2}．
4．(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( )
A．A∩B＝ B．A∩B＝?
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
考点 并集、交集的综合运算
题点 并集、交集的综合运算
答案 A
解析 因为B＝{x|3－2x＞0}＝，A＝{x|x＜2}，
所以A∩B＝，A∪B＝{x|x＜2}．
故选A.
5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．1或－1
考点 交集的概念及运算
题点 由交集的运算结果求参数的值
答案 A
解析 由M∩N＝N，得N?M.
当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；
当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；
当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．故a＝－1.
6．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(?UA)∩B≠?，则a的取值范围为( )
A．a＞3 B．a≥3 C．a≥7 D．a＞7
考点 交并补集的综合问题
题点 与交并补集运算有关的参数问题
答案 A
解析 因为A＝{x|x＜3或x≥7}，所以?UA＝{x|3≤x＜7}，又(?UA)∩B≠?，则a＞3.
7．设集合I＝，A?I，若把满足M∪A＝I的集合M叫做集合A的配集，则A＝的配集有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点 并集的概念及运算
题点 有限集合的并集运算
答案 D
解析 M可以是，，，，共4个．
8．若集合A＝，B＝，则B中元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 元素与集合的关系
题点 集合中元素的个数
答案 D
解析 A＝，B中元素为A中能整除6的数，∴B＝.
二、填空题
9．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∩(?UB)＝________.
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
答案 {1,4}
解析 ∵?UB＝{x|x<2或x>3}，
∴A∩(?UB)＝{1,4}．
10．(2017·江苏)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
考点 交集的概念及运算
题点 由交集运算结果求参数的值
答案 1
解析 ∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，
∴1∈B且2?B.
若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．
又a2＋3≥3≠1，故a＝1.
11．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，则a的取值范围是________．
考点 交集的概念及运算
题点 由交集的运算结果求参数的值
答案
解析 ①若A＝?，则A∩B＝?，此时2a>a＋3，
即a>3.
②若A≠?，如图，由A∩B＝?，可得
解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是.
三、解答题
12．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2(1)求A∩B，(?RB)∪A；
(2)已知C＝{x|a考点 集合各类问题的综合
题点 集合各类问题的综合
解 (1)显然A∩B＝{x|3≤x<6}．
∵B＝{x|2∴(?RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．
(2)∵C?B，如图所示，则有
解得2≤a≤8，∴a的取值范围为{a|2≤a≤8}．
13．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
(2)当A＝{x∈Z|－2≤x≤5}时，求A的非空真子集的个数；
(3)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
考点 集合各类问题的综合
题点 集合各类问题的综合
解 (1)因为A∪B＝A，所以B?A，
当B＝?时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；
当B≠?时，根据题意，可得
解得2≤m≤3.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．
(2)当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(3)当B＝?时，由(1)知m<2；
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或解得m>4.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}．
四、探究与拓展
14．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x?B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为( )
考点 Venn图表达的集合关系及运用
题点 Venn图表达的集合关系
答案 A
解析 如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.
15．对于集合A，B，我们把集合记作A×B.例如，A＝，B＝，则有：A×B＝，B×A＝，A×A＝，B×B＝.
据此，试回答下列问题：
(1)已知C＝，D＝，求C×D；
(2)已知A×B＝，求集合A，B；
(3)若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确定A×B中有多少个元素．
考点 集合各类问题的综合
题点 集合各类问题的综合
解 (1)C×D＝.
(2)因为A×B＝，
所以A＝，B＝.
(3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．
若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中应有m×n个元素．于是，若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则A×B中有12个元素．
章末复习
学习目标 1.构建知识网络，理解其内在联系.2.盘点重要技能，提炼操作要点.3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．
1．知识网络
2．重要技能
(1)运算技能主要表现在使用Venn图求并交补集，求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用、方程、不等式运算，以及式子的变形等．
(2)图形处理技能包括识图能力和作图能力．识图主要体现在给出Venn图，数轴，函数图象，要能从中读出相关信息；作图能力体现在给出集合间的关系或运算，能用Venn图或数轴表示，给出函数解析式或性质，能画出相应图象．
(3)推理技能主要体现在给出子集、并集、交集、补集、函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的集合和函数问题．
课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理；还有一些类比：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到抽象函数等．
(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于发现数据的内在规律．
3．数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法：
(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题．
(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域．
(3)分类讨论主要体现在集合中对空集和区间端点的讨论，函数中主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨．
(4)数形结合主要体现在用数轴求并交补集，借助函数图象研究函数性质．
1．函数的定义域、值域都是集合．(√)
2．直线x＝a与函数y＝f(x)至多有一个交点．(√)
3．直线y＝b与R上的增函数至多有一个交点．(√)
类型一 集合的综合运算
例1 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；
(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？
考点 交并补集的综合问题
题点 与交并补集运算有关的参数问题
解 (1)∵A＝{x|0≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<0或x>2}．
∵(?RA)∪B＝R.(如图)
∴∴－1≤a≤0.即a的取值范围是[－1,0]．
(2)由(1)知当(?RA)∪B＝R时，
－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，
∴A?B，这与A∩B＝?矛盾．
即这样的a不存在．
反思与感悟 借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反．
跟踪训练1 已知全集U＝{x||x|≤5}，集合A＝{x|－2＜x＜1}，集合B＝{x|－3＜x≤3}，求
?UA，A∩B，?U(A∩B)，(?UA)∩B.
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
解 由题意知U＝{x|－5≤x≤5}，把集合U及集合A，B分别在数轴上表示出来．如图，
所以?UA＝{x|－5≤x≤－2或1≤x≤5}，
A∩B＝{x|－2＜x＜1}，
?U(A∩B)＝{x|－5≤x≤－2或1≤x≤5}，
(?UA)∩B＝{x|－3＜x≤－2或1≤x≤3}．
类型二 函数概念及性质
命题角度1 函数三要素
例2 已知函数f(x)＝
(1)求f(x)的定义域，值域；
(2)求f(f(1))；
(3)解不等式f(x＋1)>.
考点 分段函数
题点 分段函数的综合应用
解 (1)f(x)的定义域为
(0,1)∪[1,2)∪＝.
易知f(x)在(0,1)上为增函数，
在上为减函数，
∴当x＝1时，f(x)max＝－＝，
又f(0)＝0，f(2)＝，f?＝0，
∴值域为.
(2)f(1)＝－＝.
f(f(1))＝f?＝×＝.
(3)f(x＋1)>等价于
①或 ②
或 ③
解①得－解②得0≤x<1，
解③得x∈?.
∴f(x＋1)>的解集为∪∪?＝.
反思与感悟 分段函数也是对应关系f的一种，在此对应f，仍整体上构成一个函数，故分段函数的定义域、值域分别只有一个集合，但在具体对应层面不论是由x求y，还是由y求x，都要按分段标准对号入座各行其道．
跟踪训练2 (2017·临沂一中月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求函数f(x)的解析式，并画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间和值域．
考点 函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点 奇偶性、单调性及最值的综合问题
解 (1)当x≥0时，f(x)＝x2－2x，
当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋2x.
又∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)＝x2＋2x，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
(2)由函数f(x)的图象可知，
函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[1，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，－1)，(0,1)，
函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．
命题角度2 函数性质的综合应用
例3 已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若对于任意的m，n∈[－1,1]有>0.
(1)判断函数的单调性(不要求证明)；
(2)解不等式f(3)若f(x)≤－2at＋2对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．
考点 函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点 奇偶性、单调性及最值的综合问题
解 (1)函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，
由f?得
解得0≤x<.
所以不等式f?(3)因为函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f(1)＝1，
要使得对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都有f(x)≤－2at＋2恒成立，只需对任意的a∈
[－1,1]，－2at＋2≥1恒成立．
令y＝－2at＋1，此时y可以看作a的一次函数，且在a∈[－1,1]时，y≥0恒成立．
因此只需
解得－≤t≤，
所以实数t的取值范围为.
反思与感悟 (1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值的应用．
跟踪训练3 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性、奇偶性综合
解 (1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2?f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x－1|<16，解得－15∴x的取值范围是{x|－15类型三 函数图象的画法及应用
例4 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，
(1)试画出f(x)，x∈[－3,5]的图象；
(2)求f(37.5)；
(3)常数a∈(0,1)，y＝a与f(x)，x∈[－3,5]的图象相交，求所有交点横坐标之和．
考点 函数图象的对称性
题点 对称问题综合
解 (1)∵f(x)为奇函数，
∴f(x＋2)＝f(－x)，
∴f(x)关于直线x＝1对称．
由f(x)在[0,1]上的图象反复关于(0,0)，x＝1对称，可得f(x)，x∈[－3,5]的图象如图．
(2)由图可知f(x＋4)＝f(x)，
∴f(37.5)＝f(4×9＋1.5)＝f(1.5)＝f(0.5)＝.
(3)由图可知，当a∈(0,1)时，y＝a与f(x)，x∈[－3,5]有4个交点，设为x1，x2，x3，x4(x1由图可知＝－1，＝3.
∴x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋6＝4.
反思与感悟 画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．
跟踪训练4 已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值；
(2)画出函数的图象；
(3)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
考点 函数图象的对称性
题点 对称问题综合
解 (1)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以当x<0时，f(x)＝x2＋2x，则m＝2.
(2)由(1)知f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
(3)由图象可知f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，
只需－1<|a|－2≤1，
即1<|a|≤3，解得－3≤a<－1或1所以实数a的取值范围是[－3，－1)∪(1,3].
1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)等于( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
答案 D
2．已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是( )
A．P＝Q B．P?Q
C．P?Q D．P∩Q＝?
考点 集合的包含关系
题点 集合包含关系的判定
答案 B
解析 P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，
Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，
所以Q?P.
3．函数f(x)＝则f?的值为______．
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案
解析 ∵3>1，∴f(3)＝32－3－3＝3，
∵<1，∴f?＝f?＝1－2＝.
4．已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
答案 (0,1)∪(1,4)
解析 根据绝对值的意义，得
y＝＝
＝
在平面直角坐标系中作出该函数的图象，如图所示．
根据图象可知，当05．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，设f?＝m，f?＝n，则m，n的大小关系是________．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案 m≥n
解析 因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以?f?≤f?＝f?.
1．集合是函数乃至整个现代数学的基础，学习时要侧重符号语言的理解与准确表达，集合的并交补运算是重要的基本技能．
2．函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题．
3．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向．
4．(1)函数图象的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图象上点的坐标进行排除．
(2)应用函数图象的关键是从图象中提取所需的信息，提取图象中信息的方法主要有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图象上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
一、选择题
1．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x＜1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1考点 Venn图表达的集合关系及运用
题点 Venn图表达的集合关系
答案 A
解析 题图阴影部分表示N∩(?UM)＝{x|x≥3或x<1}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x＜1}．
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(－∞，4] B．(－∞，3)∪(3,4]
C．[－2,2] D．(－1,2]
考点 函数的定义域
题点 求具体函数的定义域
答案 B
解析 f(x)中的x需满足
解得x≤4且x≠3，
故f(x)的定义域为(－∞，3)∪(3,4]．
3．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A．1 B．2 C. D．－
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
答案 A
解析 由题意得f(－x)＝－f(x)，
则＝
＝－，
则－4x2＋(2－2a)x＋a＝－4x2－(2－2a)x＋a，
所以2－2a＝－(2－2a)，
所以a＝1.
4．若函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为( )
A．0＜a≤ B．0≤a≤
C．0＜a＜ D．a＞
考点 函数单调性的应用
题点 已知二次函数单调性求参数范围
答案 B
解析 当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴图象开口向上，a＞0且－≥4，得0＜a≤.
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．
综上知，0≤a≤.
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f(x)＝x＋1，下列大小关系正确的是( )
A．f(1)>f(2) B．f(1)>f(－2)
C．f(－1)>f(－2) D．f(－1)考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案 D
解析 ∵当x≥0时，f(x)＝x＋1是增函数，
∴f(1)又∵f(x)为偶函数，
∴f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，
∴D对．
6．设函数f(x)＝若f?＝4，则b等于( )
A．1 B. C. D.
考点 分段函数
题点 分段函数求参数值
答案 D
解析 ∵<1，∴f?＝3×－b＝－b.
若－b<1，即b>，
则f＝3－b＝－4b<－≠4.
若－b≥1，即b≤，
则f?＝2＝5－2b＝4，b＝.
故选D.
7．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
考点 函数图象
题点 函数图象的判断与理解
答案 A
解析 函数y＝f(x)g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除C，D.因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，所以y＝f(x)·g(x)是奇函数，故选A.
8．已知函数f(x)＝则f(1)－f(3)等于( )
A．－7 B．－2 C．7 D．27
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 C
解析 由题意得f(1)＝f(4)＝42＋1＝17，
f(3)＝32＋1＝10，
故f(1)－f(3)＝17－10＝7.
二、填空题
9．设集合A＝{x|1考点 子集及其运算
题点 根据子集关系求参数的取值范围
答案 {a|a≥2}
解析 如图，可知a≥2.
10．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 2x＋3
解析 设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3.
∵g(x)为奇函数，
∴当x<0时，f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3.
11．给出以下三个命题：
①若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)的定义域为[0,4]；
②函数f(x)＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)；
③若f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝2，＋＋…＋＋＝2 018.
其中正确的命题有______．(写出所有正确命题的序号)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性、奇偶性综合
答案 ③
解析 ①若函数f(x)的定义域为[0,2]，由2x∈[0,2]，得x∈[0,1]，即函数f(2x)的定义域为[0,1]，故错误；
②函数f(x)＝的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，故错误；
③若f(x＋y)＝f(x)f(y)，则f(x＋1)＝f(x)f(1)，由f(1)＝2知，当x∈N*时，f(x)≠0恒成立．
则＝f(1)＝2，∴＋＋…＋＋＝2×1 009＝2 018，故正确．
三、解答题
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有两等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0，t]上的最大值．
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
解 (1)∵方程f(x)＝2x有两等根，
即ax2＋(b－2)x＝0有两等根，
∴Δ＝(b－2)2＝0，解得b＝2.
由f(x－1)＝f(3－x)，得＝1，
∴x＝1是函数f(x)的图象的对称轴，
而此函数f(x)图象的对称轴是直线x＝－，
∴－＝1，∴a＝－1，故f(x)＝－x2＋2x.
(2)∵函数f(x)＝－x2＋2x的图象的对称轴为x＝1，x∈[0，t]，
∴当0∴f(x)max＝－t2＋2t.
当t>1时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，
∴f(x)max＝f(1)＝1.
综上，f(x)max＝
13．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的函数．
(1)用定义法证明函数f(x)在(－1,1)上是增函数；
(2)解不等式f(x－1)＋f(x)<0.
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 利用奇偶性、单调性解不等式
(1)证明 设x1，x2是区间(－1,1)上的任意两个实数，且x1＝
＝
＝.
∵－1∴x1－x2<0，(1＋x)(1＋x)>0，
∴x1x2<1，即1－x1x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝在(－1,1)上是增函数．
(2)解 由(1)知，f(x)在(－1,1)上单调递增，
且易证f(x)为奇函数，
f(x－1)＋f(x)<0，即f(x－1)<－f(x)．
即f(x－1)∴∴∴0∴不等式的解集为.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f?的值是________．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 0
解析 当x＝－时，－?f?＝?f?＝·?f?，
∴f?＝0.
又 f?＝??f?，·f?＝?f?，∴f?＝0，从而f?＝0.
15．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
解 (1)由f(0)＝f(2)知，二次函数f(x)关于x＝1对称，又f(x)的最小值为1，
故可设f(x)＝a(x－1)2＋1.
由f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)要使函数在区间[2a，a＋1]上不单调，
则2a<1(3)由已知，得2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在x∈[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在x∈[－1,1]上恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，x∈[－1,1]，则g(x)min>0.
∵x∈[－1,1]，∴g(x)min＝g(1)＝－1－m，
∴－1－m>0，即m<－1.
故实数m的取值范围是{m|m<－1}．
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合 A∩(?UB)等于( )
A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
考点 交并补集的综合问题
题点 有限集合的交并补运算
答案 A
解析 根据补集的定义可得?UB＝{2,5,8}，
所以A∩(?UB)＝{2,5}，故选A.
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))等于( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A．3 B．2 C．1 D．0
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法综合
答案 B
解析 由函数图象可知g(2)＝1，由表格可知f(1)＝2，故f(g(2))＝2.
3．若函数f(＋1)＝x2－2x，则f(3)等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
答案 A
解析 ∵f(＋1)＝x2－2x，
∴f(＋1)＝22－2×2，即f(3)＝0.
4．函数f(x)＝－2x在区间上的最小值为( )
A．1 B. C．－ D．－1
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值
答案 D
解析 ∵f(x)在上为减函数，
∴f(x)min＝f＝－2×＝－1.
5．函数y＝(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B. C．3 D.
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
答案 B
解析 因为＝
＝(－6≤a≤3)，
所以当a＝－时，的值最大，最大值为.故选B.
6．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断函数的单调性、奇偶性
答案 D
7．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于( )
A．2 B．－2 C．－3 D．3
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 C
解析 ∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－(ax3＋bx)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，∴f(3)＝－f(－3)＝－3.
8．若函数f(x)＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值
答案 C
解析 f(x)＝ax＋1的图象是一条直线，它在[1,2]上的最大值、最小值必在x＝1,2处取到．
故有|f(1)－f(2)|＝2，即|a|＝2，∴a＝±2.
9．若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，则f?等于( )
A．1 B．3 C. D.
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
答案 B
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1.于是f?＝f(1)＝3.
10．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－2,0] C．[0,2] D．[－2,2]
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 利用奇偶性、单调性解不等式
答案 D
解析 方法一 依题意，可得
或或
解得－2≤a≤2.
方法二 f(x)是偶函数，其图象如图所示．
f(－a)＋f(a)＝2f(a)≤0，即f(a)≤0.
由图知－2≤a≤2.
11．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有( )
A．最小值－8 B．最大值－8
C．最小值－6 D．最小值－4
考点 函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点 利用奇偶函数的性质求最值
答案 D
解析 设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
∴F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＋2≤8且存在x0∈(0，＋∞)使F(x0)＝8.
又∵f(x)，g(x)都是奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－[f(x)＋g(x)]≤6，
f(x)＋g(x)≥－6，
∴F(x)＝f(x)＋g(x)＋2≥－4，且存在x0∈(－∞，0)使F(x0)＝－4.
∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.
12．已知函数f(x)＝设F(x)＝x2·f(x)，则F(x)是( )
A．奇函数，在(－∞，＋∞)上单调递减
B．奇函数，在(－∞，＋∞)上单调递增
C．偶函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
D．偶函数，在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断函数的单调性、奇偶性
答案 B
解析 F(x)＝其图象如图所示．故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝2，且f(x＋1)＝f(x＋6)，则f(10)＋f(4)＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 －2
解析 因为f(x＋1)＝f(x＋6)，所以f(x)＝f(x＋5)．因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，则f(10)＝f(5)＝f(0)＝0，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
所以f(10)＋f(4)＝－2.
14．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，C＝{x|cx＋1＝0}，若A＝B，则a＋b＝________，若C?A，则常数c组成的集合为________．
考点 集合相等的概念
题点 由集合相等求参数的值
答案 －1
解析 ∵A＝B，∴1,2为方程x2＋ax＋b＝0的根，
∴
即a＋b＝－1.
当c＝0时，集合C＝??A，
当c≠0时，集合C＝，
∴－＝1或－＝2.
解得c＝－1或c＝－.
∴常数c组成的集合为.
15．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．
考点 分段函数
题点 分段函数求参数值
答案 a≤2
解析 若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2不合题意．
∴2∈[a，＋∞)，∴a≤2.
16．定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且x≥1时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
考点 分段函数
题点 求分段函数解析式
答案 f(x)＝
解析 设x<1，则2－x>1，
且f(x)＝f＝f(1－(x－1))＝f(2－x)＝＋1.
∴f(x)＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2，x∈R}．
(1)若A∩B≠?，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
考点 交集的概念及运算
题点 由交集的运算结果求参数的值
解 ∵A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，
∴A＝{x|x≤－1或x≥4}．
(1)∵A∩B≠?，
∴或
∴或
∴a＝2或a≤－.
∴a的取值范围为.
(2)由A∩B＝B知，B?A，有三种情况：
①解得a≤－3；
②解得a＝2；
③B＝?，则2a>a＋2，解得a>2.
∴a的取值范围为{a|a≤－3或a≥2}．
18．(12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的值域．
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
解 (1)当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
则得∴y＝x＋1(－1≤x≤0)．
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
∴f(x)＝
(2)当－1≤x≤0时，y∈[0,1]．
当x>0时，y∈[－1，＋∞)．
∴函数值域为[0,1]∪[－1，＋∞)＝[－1，＋∞)．
19．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值
解 (1)函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，
故最大值f(4)＝，最小值f(1)＝.
20．(12分)某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．
(1)分别将A，B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A，B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
考点 求函数的解析式
题点 实际问题的函数解析式
解 (1)设投资x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，
依题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由图1，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2＝.
由图2，得g(4)＝1.6，即k2×＝1.6，∴k2＝.
故f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设B产品投入x万元，则A产品投入10－x万元，设企业利润为y万元，
由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－x＋＋2(0≤x≤10)．
∵y＝－x＋＋2＝－(－2)2＋，0≤≤.
∴当＝2，即x＝4时，ymax＝＝2.8.
因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元．
21．(12分)(2017·马鞍山检测)对于区间[a，b]和函数y＝f(x)，若同时满足：
①f(x)在[a，b]上是单调函数；
②函数y＝f(x)，x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的“不变”区间；
(1)求函数y＝x2(x≥0)的所有“不变”区间；
(2)函数y＝x2＋m(x≥0)是否存在“不变”区间？
若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
考点 函数单调性的应用
题点 函数单调性的综合应用
解 (1)易知函数y＝x2(x≥0)单调递增，故有解得
又a(2)易知函数y＝x2＋m(x≥0)单调递增，若函数y＝x2＋m存在“不变”区间，则有：b>a≥0，所以
消去m得a2－b2＝a－b，整理得
(a－b)(a＋b－1)＝0.
因为a即b＝1－a.又所以0≤a<.
因为m＝－a2＋a
＝－2＋，
所以0≤m<.
综上，当0≤m<时，函数y＝x2＋m(x≥0)存在“不变”区间．
22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：
如果常数t＞0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
考点 函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点 奇偶性、单调性及最值的综合问题
解 (1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，则1≤u≤3，
则y＝u＋－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减，所以单调递减区间为；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，
所以单调递增区间为；
由f(0)＝－3，f?＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，
故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意得，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以
所以a＝.
