1.1集合 学案 （4份）

§1.1　集　合
1.1.1　集合的含义与表示
第1课时　集合的含义
学习目标　1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.
3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．
知识点一　集合的概念
元素与集合的概念
(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
知识点二　元素与集合的关系
思考　1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？
答案　1是整数；不是整数．没有．
梳理　元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、?.
知识点三　元素的三个特性
思考　某班所有的“帅哥”能否构成一个界限清楚的群体？某班身高高于175厘米的男生呢？
答案　某班所有的“帅哥”不能构成界限清楚的群体，因“帅哥”无明确的标准，难以判定该班某男生是否属于“帅哥”这一群体．高于175厘米的男生能构成一个界限清楚的群体，因为标准确定．
梳理　元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．
知识点四　常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
1．y＝x＋1上所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(√)
2．0∈N但0?N*.(√)
3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1?A.(×)
类型一　判断给定的对象能否构成集合
例1　考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
(4)的近似值的全体．
考点　集合的概念
题点　集合的概念
解　(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
反思与感悟　判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1　下列各组对象可以组成集合的是(　　)
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．平面直角坐标系内第一象限的一些点
D．所有小的正数
考点　集合的概念
题点　集合的概念
答案　B
解析　A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．
类型二　元素与集合的关系
命题角度1　判定元素与集合的关系
例2　给出下列关系：
①∈R；②?Q；③|－3|?N；④|－|∈Q；⑤0?N，
其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　常用的数集及表示
题点　常用的数集及表示
答案　B
解析　是实数，①对；不是有理数，②对；
|－3|＝3是自然数，③错；|－|＝是无理数，④错；
0是自然数，⑤错．故选B.
反思与感悟　要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．
跟踪训练2　用符号 “∈”或“?”填空．
－________R；－3________Q；
－1________N；π________Z.
考点　常用的数集及表示
题点　常用的数集及表示
答案　∈　∈　?　?
命题角度2　根据已知的元素与集合的关系推理
例3　集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
考点　元素与集合的关系
题点　伴随元素问题
答案　0,1,2
解析　∵x∈N，∈N，∴0≤x≤2且x∈N.
当x＝0时，＝＝2∈N；
当x＝1时，＝＝3∈N；
当x＝2时，＝＝6∈N.
∴A中元素为0,1,2.
反思与感悟　判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法
①使用前提：集合中的元素是直接给出的．
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．
(2)推理法
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．
跟踪训练3　已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1?A，2∈A，则(　　)
A．a>－4 B．a≤－2
C．－4考点　元素与集合的关系
题点　由元素与集合的关系求参数的值
答案　D
解析　∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4类型三　元素的三个特性的应用
例4　已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使A＝B.
考点　元素与集合的关系
题点　由元素与集合的关系求参数的值
解　(1)由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，
A＝{a－3,2a－1，a2＋1}
＝{0,5,10}≠B.
若2a－1＝0，则a＝，
A＝{a－3,2a－1，a2＋1}
＝≠B.
故不存在这样的实数a，x，使A＝B.
反思与感悟　元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．
跟踪训练4　已知集合M中含有三个元素：2，a，b，集合N中含有三个元素：2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值．
考点　元素与集合的关系
题点　由元素与集合的关系求参数的值
解　方法一　根据集合中元素的互异性，
有或
解得或或
再根据集合中元素的互异性，得或
方法二　∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．
∴
即
∵集合中的元素互异，
∴a，b不能同时为零．
当b≠0时，由②得a＝0或b＝.
当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．
当b＝时，由①得a＝.
当b＝0时，a＝0(舍去)．
∴或
1．下列给出的对象中，能组成集合的是(　　)
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．清华大学2018年入学的全体学生
考点　集合的概念
题点　集合的概念
答案　D
2．下面说法正确的是(　　)
A．所有在N中的元素都在N*中
B．所有不在N*中的数都在Z中
C．所有不在Q中的实数都在R中
D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中
考点　常用的数集及表示
题点　常用的数集及表示
答案　C
3．由“book”中的字母构成的集合中元素个数为________．
考点　集合中元素的特征
题点　集合中元素的个数
答案　3
4．下列结论不正确的是________．(填序号)
①0∈N; ②∈Q; ③0?Q; ④－1∈Z.
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　③
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．
考点　元素与集合的关系
题点　由元素与集合的关系求参数的值
解　由元素互异性知m≠0，m2－3m＋2≠0.由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A中的元素为0,3,2，符合题意．
故实数m＝2.
1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.
3．集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
一、选择题
1．已知集合A由x<1的数构成，则有(　　)
A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1?A
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　C
解析　很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则(　　)
A．0∈A B．a＝A
C．a∈A D．a?A
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　C
解析　∵A中只有一个元素a且a≠0，
∴0?A，选项A错．
∵a为元素，A为集合，故B错误．
由已知选C.
3．下列结论中，不正确的是(　　)
A．若a∈N，则－a?N B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则∈R
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　A
解析　A不对．反例：0∈N，－0∈N.
4．已知x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)
A．0?M B．1∈M
C．－2?M D．2∈M
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　D
解析　①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的值为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，
所以集合M中的元素共有3个：－2,0,2，故选D.
5．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
考点　集合中元素的特征
题点　集合中参数的取值范围
答案　D
解析　由元素的互异性知a，b，c均不相等．
6．已知A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　　)
A．－1?A B．－11∈A
C．3k2－1∈A D．－34?A
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　C
解析　令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A；
令3k－1＝－11，解得k＝－?Z，∴－11?A；
∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A；
令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.
7．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含(　　)
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
考点　集合中元素的特征
题点　集合中元素的个数
答案　A
解析　由于|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，
并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．
8．由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则(　　)
A．a∈A B．a2∈A
C.?A D．a＋1?A
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　A
解析　a＝＋<＋＝4<5，∴a∈A.
a＋1<＋＋1＝5，∴a＋1∈A.
a2＝()2＋2·＋()2＝5＋2>5.∴a2?A.
＝＝＝－<5.
∴∈A.
故选A.
二、填空题
9．下列所给关系正确的个数是________．
①π∈R；②D∈/Q；③0∈N*；④|－4|D∈/N*.
考点　常用的数集及表示
题点　常用的数集及表示
答案　2
解析　∵π是实数，是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.
10．如果有一集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
考点　集合中元素的特征
题点　集合中参数的取值范围
答案　x≠0,1,2，
解析　由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.
11．已知a，b∈R，集合A中含有a，，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，若A＝B，则a＋b＝____.
考点　集合中元素的特征
题点　集合中参数的取值范围
答案　－1
解析　∵A＝B,0∈B，∴0∈A.
又a≠0，∴＝0，则b＝0.∴B＝{a，a2,0}．
∵1∈B，a≠1，∴a2＝1，a＝－1或1(舍)．
由元素的互异性知，a＝－1，∴a＋b＝－1.
三、解答题
12．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．
考点　元素与集合的关系
题点　由元素与集合的关系求参数的值
解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，满足题意．
∴实数a的值为－.
13．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．
考点　元素与集合的关系
题点　伴随元素问题
解　(1)2∈A，则∈A，
即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，
即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，.
(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－，.
(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.
证明如下：
若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，
所以又有＝∈A且≠1，
进而有＝a∈A.
又因为a≠(因为若a＝，则a2－a＋1＝0，
而方程a2－a＋1＝0无解)，
故≠，所以A中只能有3个元素，
它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.
四、探究与拓展
14．已知集合A中有3个元素a，b，c，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．
考点　元素与集合的关系
题点　根据新定义求集合
答案　1,2
解析　由题意知解得
∴集合A＝{0,1,2}，则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．
15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：(1)3∈A；
(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
证明　(1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z，
得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A.
(2)假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，
使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立．
①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，
所以(m＋n)(m－n)为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．
②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，
所以(m＋n)(m－n)为奇数，与4k－2是偶数矛盾．
所以假设不成立．
综上，4k－2?A.
第2课时　集合的表示
学习目标　1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情形.3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换．
知识点一　列举法
思考　要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？
答案　把它们一一列举出来．
梳理　把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．适用于元素较少的集合．
知识点二　描述法
思考　能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？
答案　不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．
梳理　描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集．表示方法是在花括号内画一竖线，竖线前写元素的一般符号及取值(或变化)范围，竖线后写元素所具有的共同特征．
1.＝1.(×)
2.＝.(×)
3.＝.(√)
4.＝.(√)
类型一　用列举法表示集合
例1　用列举法表示下列集合．
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
考点　用列举法表示集合
题点　用列举法表示数集
解　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}．
反思与感悟　(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．
(2)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}．
跟踪训练1　用列举法表示下列集合．
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由1～20以内的所有素数组成的集合．
考点　用列举法表示集合
题点　用列举法表示数集
解　(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
类型二　用描述法表示集合
例2　试用描述法表示下列集合．
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示有限数集
解　(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
(2)设大于10小于20的整数为x，
它满足条件x∈Z，且10因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10引申探究
用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合．
解　{(x，y)|y＝x2－2}．
反思与感悟　用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号；
(2)说明该集合中元素的性质；
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内；
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．
跟踪训练2　用描述法表示下列集合．
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示点集
解　(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
类型三　集合表示的综合应用
命题角度1　选择适当的方法表示集合
例3　用适当的方法表示下列集合．
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
解　(1)列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．
(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
反思与感悟　用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
跟踪训练3　若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　{2 000,2 001,2 004}
解析　由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}．
命题角度2　新定义的集合
例4　在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：
①2 016∈[1]；
②－3∈[3]；
③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；
④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”．
其中，正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与余数有关的整数集合
答案　C
解析　由于[k]＝，
对于①，2 016除以5等于403余1，∴2 016∈[1]，∴①正确；
对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；
对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5(n1－n2)能被5整除，∴a－b∈[0]，
∴③正确；
对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0,1,2,3,4，
则a＝5n＋5m＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，
∴a，b属于同一“类”，∴④正确，
则正确的有①③④，共3个．
反思与感悟　命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．
跟踪训练4　定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B中的所有元素之和为________．
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　6
解析　由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，
又0＋2＋4＝6，故集合A※B中的所有元素之和为6.
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　B
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}
考点　用列举法表示集合
题点　用列举法表示点集
答案　D
3．第一象限中的点组成的集合可以表示为(　　)
A．{(x，y)|xy>0}
B．{(x，y)|xy≥0}
C．{(x，y)|x>0且y>0}
D．{(x，y)|x>0或y>0}
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　C
4．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则A用列举法可表示为________．
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　
5．(2017·山东青岛高一检测)已知A＝，用列举法表示为A＝______________.
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　
1．在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若集合中的元素个数比较少，则用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑．
一、选择题
1．方程组的解集不可以表示为(　　)
A.
B.
C．{1,2}
D．{(1,2)}
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
答案　C
解析　方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C不符合．
2．集合A＝{x∈Z|－2A．1 B．2 C．3 D．4
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示有限数集
答案　D
解析　因为A＝{x∈Z|－2所以x的取值为－1，0,1,2，共4个．
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示点集
答案　D
解析　集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.
4．已知x，y为非零实数，则集合M＝为(　　)
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　C
解析　当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
当x，y异号，不妨设x>0，y<0时，
m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
5．下列选项中，集合M，N相等的是(　　)
A．M＝{3,2}，N＝{2,3}
B．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
C．M＝{3,2}，N＝{(3,2)}
D．M＝{(x，y)|x＝3且y＝2}，N＝{(x，y)|x＝3或y＝2}
考点　集合的表示综合
题点　集合的表示综合问题
答案　A
解析　元素具有无序性，A正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B选项两集合中的元素不同；C选项中集合M中元素是两个数，N中元素是一个点，不相等；D选项中集合M中元素是一个点(3,2)，而N中元素是两条直线x＝3和y＝2上所有的点，不相等．
6．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　D
解析　对于x＝4s－3，当s依次取1,2,3,4,5时，
恰好对应的x的值为1,5,9,13,17.
7．已知集合A＝，B＝，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　)
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与余数有关的整数集合
答案　D
解析　∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3为偶数，故D错误．
8．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　)
A．18 B．17 C．16 D．15
答案　B
解析　因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.
二、填空题
9．集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________．
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　{1}
解析　由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
10．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
答案　3
解析　根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．
11．定义集合A－B＝{x|x∈A，且x?B}，若集合A＝{x|2x＋1>0}，集合B＝，则集合A－B＝________.
考点　集合的表示综合
题点　集合的表示综合问题
答案　{x|x≥2}
解析　A＝，B＝{x|x<2}，
A－B＝＝{x|x≥2}．
三、解答题
12．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示集合的综合问题
解　因为三个集合中代表的元素性质互不相同，
所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
13．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(2)24的所有正因数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
解　(1)用描述法表示为{x|2(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，
所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．
四、探究与拓展
14．已知集合A＝{x|x＝3m，m∈N*}，B＝{x|x＝3m－1，m∈N*}，C＝{x|x＝3m－2，m∈N*}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下列结论中可能成立的是(　　)
A．2 006＝a＋b＋c B．2 006＝abc
C．2 006＝a＋bc D．2 006＝a(b＋c)
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与余数有关的整数集合
答案　C
解析　由于2 006＝3×669－1，不能被3整除，
而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2＝3(m1＋m2＋m3－1)不满足；
abc＝3m1(3m2－1)(3m3－2)不满足；
a＋bc＝3m1＋(3m2－1)(3m3－2)＝3m－1适合；
a(b＋c)＝3m1(3m2－1＋3m3－2)不满足．
故选C.
15．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P＋Q.
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
解　∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．
1.1.2　集合间的基本关系
学习目标　1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识点一　子集
对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．
子集的有关性质：
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.
(3)若A?B，B?A，则A＝B.
知识点二　真子集
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)，读作A真含于B(或B真包含A)．
知识点三　空集
思考　集合{x∈R|x2＜0}中有几个元素？
答案　0个．
梳理　
定义
不含任何元素的集合叫做空集
符号
用符号表示为?
规定
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
知识点四　Venn图
思考　图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．
答案　A?B?C
梳理　一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．
1．若用“≤”类比“?”，则“?”相当于“<”．(√)
2．空集可以用表示．(×)
3．若a∈A，则?A.(√)
4．若a∈A，则?A.(×)
类型一　求集合的子集
例1　(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
解　(1)?，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如?，有20即一个子集，20－1即0个真子集．
反思与感悟　为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．
跟踪训练1　适合条件{1}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是(　　)
A．15 B．16 C．31 D．32
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
答案　A
解析　集合A中必有元素1，其余元素从中取，但A≠.这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，共15个，等于真子集的个数24－1.
类型二　判断集合间的关系
命题角度1　概念间的包含关系
例2　设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　)
A．P?N?M?Q B．Q?M?N?P
C．P?M?N?Q D．Q?N?M?P
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
反思与感悟　一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义．
跟踪训练2　我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为________．
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　N?Z?Q?R
命题角度2　数集间的包含关系
例3　设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为(　　)
A．A∈B B．B∈A C．A?B D．B?A
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　C
解析　∵0<2，∴0∈B.
又∵1<2，∴1∈B.
∴A?B.
反思与感悟　判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴、坐标系、Venn图表示集合，再直观判断两集合的关系．
跟踪训练3　已知集合A＝{x|－1A．A∈B B．A?B C．B?A D．B?A
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2?A，故有A?B.
类型三　由集合间的关系求参数(或参数范围)
例4　已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求实数a的值．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的值
解　A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．
(1)当a＝0时，B＝??A，符合题意．
(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝，
∵≠0，要使A?B，只有＝1，即a＝1.
综上，a＝0或a＝1.
反思与感悟　集合A的子集可分三类：?、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略?.
跟踪训练4　已知集合A＝{x|1考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的取值范围
解　(1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝??A，符合题意．
(2)当a<1时，要使A?B，需满足
这样的实数a不存在．
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}.
1．下列集合中，等于空集的是(　　)
A．{x∈R|x2－1＝0} B．{x|x＞6或x＜1}
C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}
考点　空集的定义、性质及运算
题点　空集的定义
答案　D
2．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(　　)
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
3．若A＝，下列关系错误的是(　　)
A．??? B．A?A
C．??A D．?∈A
考点　空集的定义、性质及运算
题点　空集的性质
答案　D
4．已知集合A＝，B＝，则集合A，B之间的关系为________．
考点　集合的关系
题点　集合关系的判定
答案　A＝B
解析　A＝
＝，
B＝
＝，故A＝B.
5．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A?B，则实数a的取值范围是________．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的取值范围
答案　[6，＋∞)
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个元素x满足x∈B，但x?A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身不要漏掉．
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
一、选择题
1．在下列关系中错误的个数是(　　)
①1∈{0,1,2}；
②{1}∈{0,1,2}；
③{0,1,2}?{0,1,2}；
④{0,1,2}＝{2,0,1}；
⑤{0,1}?{(0,1)}．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用∈来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.
2．若＝，则(　　)
A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3
考点　集合相等的概念
题点　由集合相等求参数的值
答案　A
解析　依题意知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系得，b＝－(x1＋x2)＝－3，c＝x1x2＝2.
3．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　)
①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U.
A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　D
解析　元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．
4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则(　　)
A．A?B B．C?B C．D?C D．A?D
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C?B.
5．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?，B?A，则(a，b)不能是(　　)
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(0，－1) D．(1,1)
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的值
答案　B
解析　当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；
当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；
当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；
当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．
6．已知集合A?，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
答案　A
解析　方法一　集合的子集为?，，，，，，，，其中含有偶数的集合有6个．
方法二　共有23＝8(个)子集，其中不含偶数的有?，.
故符合题意的A共有8－2＝6(个)．
7．已知??，则实数a的取值范围是(　　)
A．a< B．a≤
C．a≥ D．a>
考点　空集的定义、性质及运算
题点　与空集有关的参数问题
答案　B
解析　∵??，
∴方程x2－x＋a＝0有实根，
∴Δ＝(－1)2－4a≥0，故a≤.
8．若M?P，M?Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
考点　子集个数
题点　附加条件的子集个数
答案　C
解析　P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M?C，这样的集合M共有22＝4个．
二、填空题
9．已知{0,1}?A?{－1,0,1}，则集合A＝________.
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
答案　{－1,0,1}
解析　由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A?{－1,0,1}，
所以A＝{－1,0,1}．
10．若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B?A，则实数a＝________.
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的值
答案　0或1
解析　当B＝?时，a＝0，满足B?A；
当B≠?时，a≠0，B＝，又B?A，∴2≤≤3，
即≤a≤1，又a∈Z，
∴a＝1.综上知a的值为0或1.
11．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
考点　集合相等的概念
题点　判断集合的相等关系
答案　M＝P
解析　∵xy>0，∴x，y同号，又x＋y<0，∴x<0，y<0，
即集合M表示第三象限内的点，
而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
三、解答题
12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
解　先用列举法表示集合A，B.
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，
∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
13．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的值
解　因为B是A的子集，
所以B中元素必是A中的元素．
若x＋2＝3，则x＝1，符合题意；
若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，
所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.
因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，
此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．
综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，
此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．
四、探究与拓展
14．设B＝{1,2}，A＝{x|x?B}，则A与B的关系是(　　)
A．A?B B．B?A C．B∈A D．A＝B
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　C
解析　∵A＝{x|x?B}，∴A＝{?，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.
15．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A?B，求实数m的取值范围．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的取值范围
解　∵A?B，
∴当A＝?时，即方程x2－4mx＋2m＋6＝0无实根，
故Δ＝16m2－8(m＋3)<0，解得－1当A≠?时，方程x2－4mx＋2m＋6＝0的根为负，
则即
所以
解得－3综上，实数m的取值范围是.
1.1.3　集合的基本运算
第1课时　并集与交集
学习目标　1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．
知识点一　并　集
(1)定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)图形语言：、.阴影部分为A∪B.
(4)性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝A?B?A，A?A∪B.
知识点二　交　集
思考　一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？
答案　1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．
梳理　(1)定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)图形语言：，阴影部分为A∩B.
(4)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝A?A?B，A∩B?A∪B，A∩B?A，A∩B?B.
1．若x∈A∩B，则x∈A∪B.(√)
2．A∩B是一个集合．(√)
3．如果把A，B用Venn图表示为两个圆，则两圆必须相交，交集才存在．(×)
4．若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素．(×)
类型一　求并集
命题角度1　数集求并集
例1　(1)(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B等于(　　)
A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}
C．{2,3,4} D．{1,3,4}
考点　并集的概念及运算
题点　有限集合的并集运算
答案　A
解析　∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，
∴A∪B＝{1,2,3,4}．
故选A.
(2)A＝{x|－1考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
解　如图：
由图知A∪B＝{x|－1反思与感悟　有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．
跟踪训练1　(1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.
考点　并集的概念及运算
题点　有限集合的并集运算
解　B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．
(2)A＝{x|－13}，求A∪B.
考点　并集的概念及运算
题点　有限集合的并集运算
解　如图：
由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．
命题角度2　点集求并集
例2　集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．
考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
解　A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．
其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴，y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．
反思与感悟　求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．
跟踪训练2　A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．
考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
解　A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．
类型二　求交集
例3　(1)(2016·全国Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B等于(　　)
A．{1} B．{2}
C．{－1,2} D．{1,2,3}
考点　交集的概念及运算
题点　有限集合的交集运算
答案　B
解析　B＝，
∴A∩B＝
(2)若集合A＝{x|－5A．{x|－3C．{x|－3考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　A
解析　在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义．
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
解　A∩B＝{(x，y)|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．
反思与感悟　求集合A∩B的步骤
(1)首先要搞清集合A，B的代表元素是什么；
(2)把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式；
(3)把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可．
跟踪训练3　(1)集合A＝{x|－13}，求A∩B；
(2)集合A＝{x|2k(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
解　(1)A∩B＝{x|－1(2)A∩B＝{x|2(3)A∩B＝?.
类型三　并集、交集性质的应用
例4　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求a的取值范围．
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　利用集合的交集、并集性质求参数的取值范围
解　A∪B＝B?A?B.
当2a>a＋3，即a>3时，A＝?，满足A?B.
当2a＝a＋3，即a＝3时，A＝{6}，满足A?B.
当2a需或
解得a<－4或综上，a的取值范围是
{a|a>3}∪{a|a＝3}∪
＝.
反思与感悟　解此类题，首先要准确翻译，诸如“A∪B＝B”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．
跟踪训练4　若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C一定满足(　　)
A．A?C B．C?A C．A?C D．C?A
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　交集、并集的性质
答案　C
解析　A∩B＝A?A?B，B∪C＝C?B?C，所以A?C.
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于(　　)
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
考点　并集的概念及运算
题点　有限集合的并集运算
答案　B
2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于(　　)
A．{0} B．{0,1}
C．{0,2} D．{0,1,2}
考点　交集的概念及运算
题点　有限集合的交集运算
答案　C
3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0A．{x|x>0} B．{x|x>1}
C．{x|1考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
答案　A
4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B＝________.
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　?
5．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　利用集合的交集、并集性质求参数的值
答案　0或3
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
一、选择题
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是(　　)
A．N?M B．M∪N＝M
C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}
考点　并集、交集的综合运算
题点　并集、交集的综合运算
答案　D
解析　∵－2∈N，但－2?M，
∴A，B，C三个选项均不对．
2．若集合M＝{x|－3≤x＜4}，N＝{－3,1,4}，则M∩N等于(　　)
A．{－3} B．{1}
C．{－3,1,4} D．{－3,1}
考点　交集的概念及运算
题点　有限集合与无限集合的交集运算
答案　D
解析　M＝{x|－3≤x＜4}，N＝{－3,1,4}，
则M∩N＝{－3,1}，故选D.
3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于(　　)
A．{y|0C．{y|y>0} D．{(0,1)，(1,0)}
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　B
解析　∵B＝{y|y＝x2}＝，
∴A∩B＝{y|0≤y≤1}．
4．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于(　　)
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　A
解析　集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.
5．集合A＝，B＝，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为(　　)
A．7 B．8 C．15 D．16
考点　Venn图表达的集合关系及运用
题点　Venn图表达的集合关系
答案　C
解析　A＝，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝，
∴真子集个数为24－1＝15.
6．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于(　　)
A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}
考点　交集的概念及运算
题点　由交集的运算结果求参数的值
答案　C
解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.
7．已知集合A＝，A∪B＝，则满足条件的集合B的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　利用交集、并集性质求集合的个数
答案　D
解析　因为集合A＝，A∪B＝，
所以B中至少含有3,4两个元素，
所以满足条件的集合B为，，，，共4个．
8．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B等于(　　)
A．{x|1≤x<3}
B．{x|1≤x≤3}
C．{x|0≤x<1或x>3}
D．{x|0≤x≤1或x≥3}
考点　并集、交集的综合运算
题点　并集、交集的综合运算
答案　C
解析　由题意知，A∪B＝{x|x≥0}，
A∩B＝{x|1≤x≤3}，
则A*B＝{x|0≤x<1或x>3}．
二、填空题
9．已知集合P＝{x||x|>x}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝________.
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　{x|x<0}
解析　|x|>x?x<0，
∴P＝{x|x<0}，∵1－x≥0?x≤1，
∴Q＝{x|x≤1}，故P∩Q＝{x|x<0}．
10．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
考点　并集的概念及运算
题点　由并集运算结果求参数问题
答案　{a|a≤1}
解析　A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，要使A∪B＝R，只需a≤1.如图．
11．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
考点　交集的概念及运算
题点　有限集合与无限集合的交集运算
答案　{(0,1)，(－1,2)}
解析　A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
三、解答题
12．已知集合A＝，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B.
考点　并集、交集的综合运算
题点　并集、交集的综合运算
解　解不等式组得－2则A＝{x|－2解不等式3>2m－1，得m<2，则B＝{m|m<2}．
用数轴表示集合A和B，如图所示，
则A∩B＝{x|－213．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)若A∩B＝{x|1≤x≤3}，求实数m的值；
(2)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
考点　交集的概念及运算
题点　由交集的运算结果求参数的值
解　A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝{x|1≤x≤3}，∴解得m＝3.
(2)若A∩B＝?，则A?{x|x∴m－2＞3或m＋2<－1.
∴实数m的取值范围是{m|m＞5或m<－3}．
四、探究与拓展
14．已知集合A＝，B＝，且9∈(A∩B)，则a的值为________．
考点　交集的概念及运算
题点　由交集的运算结果求参数的值
答案　5或－3
解析　因为9∈A∩B，所以9∈A，且9∈B，即2a－1＝9或a2＝9，
解得a＝5或a＝±3.
当a＝5时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈A∩B，符合题意；
当a＝3时，A＝，a－5＝1－a＝－2，B中有元素重复，不符合题意，舍去；当a＝－3时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈A∩B，符合题意，
综上所述，a＝5或a＝－3.
15．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？
考点　Venn图表达的集合关系及运用
题点　Venn图的应用
解　设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．
第2课时　补集及综合应用
学习目标　1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．
知识点一　全　集
定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
记法：全集通常记作U.
知识点二　补　集
思考　实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？
答案　剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}．
梳理　补集的概念
自然语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA
集合语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
性质
①A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?；
②?UU＝?，?U?＝U
1．根据研究问题的不同，可以指定不同的全集．(√)
2．存在x0∈U，x0?A，且x0??UA.(×)
3．设全集U＝R，A＝，则?UA＝.(×)
4．设全集U＝，A＝，则?UA＝.(×)
类型一　求补集
例1　(1)已知全集U＝，集合A＝，则?UA等于(　　)
A. B. C. D.
考点　补集的概念及运算
题点　有限集合的补集
答案　C
解析　?UA＝＝.
(2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则?UA等于(　　)
A．{x|0C．{x|0考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
答案　C
解析　∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，
A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴?UA＝{x|0(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，?U(A∪B)．
考点　
题点　
解　根据三角形的分类可知A∩B＝?，
A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
?U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
反思与感悟　求集合的补集，需关注两处：一是确认全集的范围；二是善于利用数形结合求其补集，如借助Venn图、数轴、坐标系来求解．
跟踪训练1　(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA＝________.
考点　补集的概念及运算
题点　有限集合的补集
答案　{3,4,5}
(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则?UA＝________.
考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
答案　{x|－1(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则?UA＝________.
考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
答案　{(x，y)|xy≤0}
类型二　补集性质的应用
命题角度1　补集性质在集合运算中的应用
例2　已知A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.
考点　补集的概念及运算
题点　有限集合的补集
解　∵A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而?UB＝{－1,0,2}，
∴B＝?U(?UB)＝{－3,1,3,4,6}．
反思与感悟　从Venn图的角度讲，A与?UA就是圈内和圈外的问题，由于(?UA)∩A＝?，(?UA)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．
跟踪训练2　如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.
考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
答案　{x|0≤x≤1或x＞2}
解析　A∩B＝{x|1由图可得A*B＝?(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
命题角度2　补集性质在解题中的应用
例3　关于x的方程：x2＋ax＋1＝0， ①
x2＋2x－a＝0， ②
x2＋2ax＋2＝0， ③
若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围．
考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
解　假设三个方程均无实根，则有
即解得－∴当a≤－或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，
即a的取值范围为{a|a≤－或a≥－1}．
反思与感悟　运用补集思想求参数取值范围的步骤(1)把已知的条件否定，考虑反面问题；
(2)求解反面问题对应的参数的取值范围；
(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．
跟踪训练3　若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
解　假设集合A中含有2个元素，
即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，
则解得a<，且a≠0，
则集合A中含有2个元素时，实数a的取值范围是
.
在全集U＝R中，集合的补集是
，
所以满足题意的实数a的取值范围是.
类型三　集合的综合运算
例4　(1)(2016·浙江)已知全集U＝，集合P＝，Q＝，则(?UP)∪Q等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　C
解析　∵?UP＝，
∴(?UP)∪Q＝.
(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(?RB)＝R，则实数a的取值范围是________．
考点　交并补集的综合问题
题点　与交并补集运算有关的参数问题
答案　{a|a≥2}
解析　∵?RB＝{x|x<1或x>2}且A∪(?RB)＝R，
∴{x|1≤x≤2}?A，∴a≥2.
反思与感悟　解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集合混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．
跟踪训练4　(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(?UA)∩(?UB)＝{1,3,7}，A∩(?UB)＝{4,9}，则B等于(　　)
A．{1,2,3,6,7} B．{2,5,6,8}
C．{2,4,6,9} D．{2,4,5,6,8,9}
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　B
解析　根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.
(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2A∩(?UB)．
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
解　如图所示．
∵A＝{x|－2∴?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3或2A∩B＝{x|－2∴(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|21．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?UM等于(　　)
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
考点　补集的概念及运算
题点　有限集合的补集
答案　C
2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)等于(　　)
A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　D
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于(　　)
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　C
4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是________．(填序号)
①Z∪?UN; ②N∩?UN；
③?U(?U?); ④?UQ.
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　①
5．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(?UB)＝________.
考点　交并补的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　{1}
解析　∵?UB＝{1,5,6}，∴A∩(?UB)＝{1}．
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3)?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?UA＝{x|x∈U，且x?A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A，求A.
一、选择题
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为(　　)
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　C
解析　?UA＝{0,4}，所以(?UA)∪B＝{0,2,4}，故选C.
2．(2017·北京)已知U＝R，集合A＝，则?UA等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　补集的的概念及运算
题点　无限集合的补集
答案　C
解析　?UA为数轴上去掉集合A剩余部分．
3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a等于(　　)
A．0或2 B．0
C．1或2 D．2
考点　补集的概念及运算
题点　由补集运算结果求参数的值
答案　D
解析　由题意，知则a＝2.
4．图中的阴影部分表示的集合是(　　)
A．A∩(?UB) B．B∩(?UA)
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
考点　Venn图表达的集合关系及运用
题点　Venn图表达的集合关系
答案　B
解析　阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集．
因此，阴影部分所表示的集合为B∩(?UA)．
5．已知S＝，A＝，B＝，C＝.下列式子不成立的是(　　)
A．B∩C＝
B．?AB＝
C．?SA＝
D．A＝B∪C
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　D
解析　平行四边形有邻边不相等也不垂直的，D错误．
6．已知U为全集，集合M，N?U，若M∩N＝N，则(　　)
A．?UN??UM B．M??UN
C．?UM??UN D．?UN?M
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　交集、并集的性质
答案　C
解析　由M∩N＝N知N?M，∴?UM??UN.
7．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA等于(　　)
A．? B．{2}
C．{5} D．{2,5}
考点　补集的概念及运算
题点　有限集合的补集
答案　B
解析　因为A＝{x∈N|x≤－或x≥}，
所以?UA＝{x∈N|2≤x<}，故?UA＝{2}．
8．设集合M＝，P＝，Q＝，则?Z(P∪M)等于(　　)
A．M B．P
C．Q D．?
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　C
解析　集合M，P，Q分别代表被3除余0,1,2的整数构成的集合．整数集中去掉被3除余0或1的，剩余的只有余数为2的，即集合Q.
二、填空题
9．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝______，(?UA)∩(?UB)＝________.
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　{x|0解析　A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，?U(A∪B)＝{x|00}，?UB＝{x|x<1}，
∴(?UA)∩(?UB)＝{x|010．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(?UA)∩B＝?，则m的值是__________________________________________________________________．
答案　1或2
解析　A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知，m＝1和m＝2符合条件．
∴m＝1或2.
11．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为_________．
考点　Venn图表达的集合关系及运用
题点　Venn图表达的集合关系
答案　{x|x≤1或x>2}
解析　如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1∴阴影部分为?U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．
三、解答题
12．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(?UA)＝R，B∩(?UA)＝{x|0考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
解　∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴?UA＝{x|x<1或x>2}．
又B∪(?UA)＝R，A∪(?UA)＝R，
可得A?B.
而B∩(?UA)＝{x|0∴{x|0借助于数轴
可得B＝A∪{x|013．已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B??RA，求实数m的取值范围．
考点　交并补集的综合问题
题点　与交并补集运算有关的参数问题
解　(1)m＝1，B＝{x|1≤x＜4}，
A∪B＝{x|－1＜x＜4}．
(2)?RA＝{x|x≤－1，或x＞3}．
当B＝?时，即m≥1＋3m
得m≤－，满足B??RA，
当B≠?时，使B??RA成立，
则或解得m＞3.
综上可知，实数m的取值范围是
.
四、探究与拓展
14．如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
A．(?IA∩B)∩C B．(?IB∪A)∩C
C．(A∩B)∩(?IC) D．(A∩?IB)∩C
考点　Venn图表达的集合关系及运用
题点　Venn图表达的集合关系
答案　D
解析　由题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是(A∩?IB)∩C.
15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，求该网店
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？
(2)这三天售出的商品最少有多少种？
考点　Venn图表达的集合关系及运用
题点　Venn图的应用
解　由Venn图知，第一天售出但第二天未售出的商品为19－3＝16(种)．
而这三天售出的商品最少时有2＋18＋9＝29(种)．