§1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
学习目标 1.理解函数的概念.2.理解函数相等的概念，了解构成函数的三要素.3.能正确使用函数、区间符号．
知识点一 函数的有关概念
函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
函数值的集合叫做函数的值域
特别提醒：对于函数的定义，需注意以下几点：
①集合A，B都是非空数集；②集合A中元素的无剩余性；③集合B中元素的可剩余性，即集合B不一定是函数的值域，函数的值域一定是B的子集．
知识点二 函数相等
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
知识点三 区 间
区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a
开区间
(a，b)
{x|a≤x半闭半开区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x(－∞，a)
R
(－∞，＋∞)
取遍数轴上所有的值
特别提醒：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．
②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．
1．集合A＝可以作为某个函数的定义域．(×)
2．若1∈A，则对于f：A→B，f(1)可能不存在．(×)
3．对于函数f：A→B，当x1>x2∈A，可能有f(x1)＝f(x2)．(√)
4．区间不可能是空集．(√)
类型一 函数关系的判断
命题角度1 给出三要素判断是否为函数
例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
考点 函数的概念
题点 判断两个变量是否为函数关系
解 (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟 判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：
(1)A，B必须是非空数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
考点 函数的概念
题点 判断两个变量是否为函数关系
答案 C
解析 A中，x＝0时，集合B中没有元素与之对应；B中，当x＝1时，绝对值|x－1|＝0，集合B中没有元素与之对应；C正确；D中，当x为负数时，B中没有元素与之对应．
命题角度2 给出图形判断是否为函数图象
例2 下列图形中不是函数图象的是( )
考点 函数的概念
题点 函数概念的理解
答案 A
解析 A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义．
反思与感悟 判断一个图象是否为函数图象的方法，作任何一条垂直于x轴的直线，不与已知图象有两个或两个以上的交点的，就是函数图象．
跟踪训练2 下列图形中，不能确定y是x的函数的是( )
考点 函数的概念
题点 函数概念的理解
答案 D
解析 任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点，结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．
类型二 已知函数的解析式，求其定义域
例3 求下列函数的定义域．
(1)y＝3－x；
(2)y＝2－；
(3)y＝；
(4)y＝－＋.
考点 函数的定义域
题点 求具体函数的定义域
解 (1)函数y＝3－x的定义域为R.
(2)由得0≤x≤，
所以函数y＝2－的定义域为.
(3)由于0的零次幂无意义，
故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝的定义域为.
(4)要使函数有意义，需
解得－≤x＜2，且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为.
反思与感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练3 函数f(x)＝的定义域为________．
考点 函数的定义域
题点 求具体函数的定义域
答案 {x|x≥0且x≠1}
解析 要使有意义，需满足
解得x≥0且x≠1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}．
类型三 函数相等
例4 下列函数中哪个与函数y＝x相等？
(1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝.
考点 相等函数
题点 判断是否为相等函数
解 (1)y＝()2＝x(x≥0)，定义域不同，所以不相等．
(2)y＝＝x(x∈R)，对应关系相同，定义域也相同，所以相等．
(3)y＝＝|x|，当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，所以不相等．
(4)y＝的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x的定义域不相同，所以不相等．
反思与感悟 在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等．值域相等，只是前两个要素相等的必然结果．
跟踪训练4 下列各组中的两个函数是否为相等的函数？
(1)y1＝，y2＝x－5；
(2)y1＝·，y2＝.
考点 相等函数
题点 判断是否为相等函数
解 (1)两函数定义域不同，所以不相等．
(2)y1＝·的定义域为{x|x≥1}，而y2＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，定义域不同，所以两函数不相等．
类型四 对于f(x)，f(a)的理解
例5 已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2 (x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(a＋1)，g(a－1)；
(4)若g(a)＝4，求实数a的值．
考点 对f(a)与f(x)的理解
题点 已知函数值求参数
解 (1)因为f(x)＝，所以f (2)＝＝.
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
(2)f (g(2))＝f(6)＝＝.
(3)f(a＋1)＝＝.
g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3.
(4)g(a)＝a2＋2＝4，
所以a2＝2，a＝±.
反思与感悟 f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，要求对应的函数值，只需把相应的x都换成对应的数或式子即可．
跟踪训练5 已知f(x)＝(x≠－1)．
(1)求f(0)及f 的值；
(2)求f(1－x)及f(f(x))；
(3)若f(x)＝2，求x的值．
考点 对f(a)与f(x)的理解
题点 已知函数值求参数
解 (1)f(0)＝＝1.
∵f ＝＝，
∴f ＝ f ＝＝.
(2)f(1－x)＝＝(x≠2)．
f(f(x))＝f＝＝x(x≠－1)．
(3)由f(x)＝＝2，得1－x＝2(1＋x)，
∴3x＝－1，解得x＝－.
1．对于函数y＝f (x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点 函数的概念
题点 函数概念的理解
答案 B
2．区间(0,1)等于( )
A．{0,1} B．{(0,1)}
C．{x|0考点 区间的概念
题点 区间概念的理解与应用
答案 C
3．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是( )
A．f (a)∈B
B．f (a)有且只有一个
C．若f (a)＝f (b)，则a＝b
D．若a＝b，则f (a)＝f (b)
考点 函数的概念
题点 函数概念的理解
答案 C
4．设f (x)＝，则＝________.
考点 对f(a)与f(x)的理解
题点 求函数值
答案 －1
解析 ∵f(2)＝＝，f?＝＝－，
∴＝－1.
5．下列各组函数是同一函数的是________．(填序号)
①f(x)＝与g(x)＝x；②f(x)＝x与g(x)＝；③f(x)＝x0与g(x)＝；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
考点 相等函数
题点 判断是否为相等函数
答案 ③④
解析 ①f(x)＝－x，g(x)＝x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)＝x，g(x)＝＝|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；③f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．
1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可．
2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合．
3．在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关于对应关系f，它是函数的本质特征，如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，我们可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值．
一、选择题
1．下列各式中是函数的个数为( )
①y＝1；②y＝x2；③y＝1－x；④y＝＋.
A．4 B．3 C．2 D．1
考点 函数的概念
题点 判断代数式或对应关系是否为函数
答案 B
解析 根据函数的定义可知，①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则
∴∴x无解，∴④不是函数．
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
考点 相等函数
题点 判断是否为相等函数
答案 D
解析 A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
3．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(0,1)
D．[1，＋∞)
考点 函数的定义域
题点 求具体函数的定义域
答案 B
解析 要使函数有意义，需
解得x≤1且x≠0.
∴定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
4．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)的值是( )
A．π2 B．π
C. D．不确定
考点 对f(a)与f(x)的理解
题点 求函数值
答案 B
解析 由函数解析式可知该函数为常数函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f(π2)＝π.
5．已知函数f(x)的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数f(x)的图象与直线x＝3的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．0或1
考点 函数的概念
题点 函数概念的理解
答案 B
解析 ∵3∈[－3,4]，由函数定义，f(3)唯一确定，故只有一个交点(3，f(3))．
6．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f(x)的图象的只可能是( )
考点 函数的概念
题点 函数概念的理解
答案 D
解析 A，B中值域为[0,2]，不合题意；C不是函数．
7．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)等于( )
A．x2＋6x
B．x2＋8x＋7
C．x2＋2x－3
D．x2＋6x－10
考点 对f(a)与f(x)的理解
题点 求函数值或解析式综合
答案 A
解析 f(x)＝f((x＋1)－1)
＝(x＋1)2＋4(x＋1)－5
＝x2＋6x.
8．下列函数中，值域为[1，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
考点 函数的值域
题点 求函数的值域方法综合
答案 C
解析 对于A，当x＝1时，y＝0?[1，＋∞)，A不对；
对于B，当x＝0时，y＝－1?[1，＋∞)，B不对；
对于D，当x＝5时，y＝＝?[1，＋∞)，D不对，故选C.
二、填空题
9．函数y＝＋的定义域为________．
考点 函数的定义域
题点 求具体函数的定义域
答案 [2，＋∞)
解析 要使函数式有意义，需所以x≥2.
10．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
考点 对f(a)与f(x)的理解
题点 求函数值
答案 {－1,1,3,5,7}
解析 定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值即可．
11．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是________．
考点 对f(a)与f(x)的理解
题点 已知函数值求参数
答案 1
解析 f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，
f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，
∴a＝1或a＝0(舍去)．
三、解答题
12．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
考点 函数的定义域
题点 求具体函数的定义域
解 (1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
13．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f?的值；
(2)求证：f(x)＋f?是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f?＋f(3)＋f?＋…＋f(2 017)＋f?＋f(2 018)＋f?的值．
考点 对f(a)与f(x)的理解
题点 求函数值的和
(1)解 因为f(x)＝，
所以f(2)＋f?＝＋＝1.
(2)证明 f(x)＋f?＝＋＝＋＝＝1，是定值．
(3)解 由(2)知，f(x)＋f?＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f?＝1，
f(3)＋f?＝1，
f(4)＋f?＝1，
…，
f(2 018)＋f?＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f?＋f(3)＋f?＋…＋f(2 017)＋f?＋f(2 018)＋f?＝2 018.
四、探究与拓展
14．已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)＝________.
考点 对f(a)与f(x)的理解
题点 求函数值
答案 3p＋2q
解析 f(72)＝f(36×2)＝f(36)＋f(2)＝f(6×6)＋f(2)＝2f(6)＋f(2)＝2f(2×3)＋f(2)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.
15．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．
考点 函数的定义域
题点 求抽象函数的定义域
解 ∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，
∴－1≤x＋1≤4.令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为[－1,4]，
即f(x)的定义域为[－1,4]．
要使f(2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，
∴－≤x≤－或≤x≤.
∴函数f(2x2－2)的定义域为
.
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．
知识点一 解析法
思考 一次函数如何表示？
答案 y＝kx＋b(k≠0)．
梳理 一般地，解析法是指：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
知识点二 图象法
一般地，图象法是指：用图象表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势．
知识点三 列表法
思考 在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？
答案 对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．
梳理 一般地，列表法是指：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
函数三种表示法的优缺点
1．y＝x＋1与y＝x＋1，x∈N是同一个函数．(×)
2．在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．(×)
3．函数y＝f(x)的图象上任一点(x0，y0)必满足y0＝f(x0)．(√)
4．列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(√)
类型一 解析式的求法
例1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得
∴或
∴所求函数解析式为
f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.
(2)f(2x＋1)＝6x＋5；
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
解 方法一 设2x＋1＝t，则x＝，
∴f(t)＝6·＋5＝3t＋2.
∴f(x)＝3x＋2.
方法二 f(2x＋1)＝6x＋5＝3(2x＋1)＋2，
∴f(x)＝3x＋2.
(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
考点 求函数的解析式
题点 方程组法求函数解析式
解 ∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．
(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式．
(3)如果条件是一个关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)，f(－x)的方程，然后利用消元法消去f(－x)．
跟踪训练1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
解 方法一 设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
方法二 f(x＋1)＝(x＋1－1)2＋4(x＋1－1)＋1
＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2，
∴f(x)＝x2＋2x－2.
(3)2f?＋f(x)＝x(x≠0)．
考点 求函数的解析式
题点 方程组法求函数解析式
解 ∵f(x)＋2f?＝x，将原式中的x与互换，
得f?＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
类型二 函数的画法及应用
命题角度1 画函数图象
例2 画出函数y＝＋x的图象．
考点 函数图象
题点 求作或判断函数的图象
解 当x<0时，y＝＋x＝x－1；
当x>0时，y＝＋x＝x＋1.
取点A(－1，－2)，B(0，－1)，C(0,1)，D(1,2)．
其中，由于x＝0不在定义域内，B，C两点画成空心点，图象如下：
反思与感悟 描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，所画图象横坐标的范围必须与定义域保持一致．
(2)图象是实线或实心点，定义域外的部分有时可用虚线或空心点来定位整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
跟踪训练2 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
考点 函数图象
题点 求作或判断函数的图象
解 (1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，
观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画出图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
命题角度2 函数图象的应用
例3 已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
反思与感悟 函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
跟踪训练3 函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，
f(x)与直线y＝m有2个不同交点，由图易知－1类型三 列表法表示函数及应用
例4 已知函数f(x)由下表给出，求满足f(f(x))>f(3)的x的值.
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法
解 ∵f(3)＝1.
当f(f(x))>1时，f(x)＝1或2.
当f(x)＝1时，x＝3.
当f(x)＝2时，x＝1.
∴满足条件的x的值为1或3.
反思与感悟 列表法能直接地表示x的值与对应y的值，解题时要充分利用这个特点给x求y或给y求x.
跟踪训练4 若函数f(x)如下表所示：
x
0
1
2
3
f(x)
2
2
1
0
(1)求f(f(1))的值；
(2)若f(f(x))＝1，求x的值．
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法
解 (1)∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.
(2)设f(x)＝t，由表知，当f(t)＝1时，对应的t＝2，
即f(x)＝2，再由表求得当且仅当x＝0或1时，f(x)＝2.
∴x＝0或x＝1.
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A.1 B．2 C．3 D．4
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法
答案 A
2．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1
D．f(x)＝(x－1)2－1
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
答案 D
3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝x(x>0) B．y＝x(x>0)
C．y＝x(x>0) D．y＝x(x>0)
考点 求函数的解析式
题点 实际问题的函数解析式
答案 A
4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )
考点 函数图象
题点 函数图象的判断与理解
答案 C
5．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值、最小值．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
解 y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，ymin＝－5.
1．如何求函数的解析式
(1)待定系数法求函数解析式
当已知所要求的解析式f(x)的类型时，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，然后根据已知条件确定其系数．
(2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：
①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围．
②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．
③方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
2．如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．
3．如何用函数图象
常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．
一、选择题
1．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是( )
A
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
B.
C．y＝x2
D．x2＋y2＝1
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法
答案 D
解析 D中，当x＝0时，有两个y值与它对应，根据函数的定义知，x2＋y2＝1不能表示y是x的函数．
2．一次函数f(x)的图象过点A(－1,0)和B(2,3)，则下列各点在函数f(x)的图象上的是( )
A．(2,1) B．(－1,1)
C．(1,2) D．(3,2)
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
答案 C
解析 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
又图象过点A(－1,0)，B(2,3)，
则有
解得故y＝x＋1.
结合选项中各点的坐标，C中的点(1,2)满足y＝x＋1.
3．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
考点 求函数的解析式
题点 实际问题的函数解析式
答案 C
解析 由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．
4．函数y＝的大致图象是( )
考点 函数图象
题点 求作或判断函数的图象
答案 A
解析 y＝定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，
当x＝0时，y＝0，排除B.
5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝(x－a)2(b－x)
B．f(x)＝(x－a)2(x＋b)
C．f(x)＝－(x－a)2(x＋b)
D．f(x)＝(x－a)2(x－b)
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
答案 A
解析 由图象知，当x＝b时，f(x)＝0，排除B，C；
又当x>b时，f(x)<0，排除D.故选A.
6．如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A. B. C. D.－1
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
答案 B
解析 令＝t，则x＝，代入f＝，
则有f(t)＝＝，故选B.
7．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2 B．6
C．1 D．0
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
答案 B
解析 方法一 令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－3，
∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
方法二 f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，
∴f(x)＝x2＋2x－2，∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.
方法三 令x－1＝2，∴x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.
8．(2017·济宁高一检测)已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值为( )
A．8 B．1
C．5 D．－1
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
答案 B
解析 令3x＋2＝2，得x＝0.
令a＝2x＋1，代入x＝0，得a＝1.
二、填空题
9．若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m＝________.
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
答案 －2
解析 因为是正比例函数，
所以有m2－3＝1，m＝±2.
又图象经过第二、四象限，所以m＝－2.
10．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.
x
1
2
3
4
f(x)
1
3
1
3
g(x)
3
2
3
2
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法
答案 2或4
解析 当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3.
当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3.
当x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3.
当x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3.
满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4.
11．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是________．
考点 求函数的解析式
题点 方程组法求函数解析式
答案 f(x)＝－x＋
解析 因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1， ①
所以把①中的x换成－x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1. ②
由①②解得f(x)＝－x＋.
三、解答题
12．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
13．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
－1
0
1
3
y
0
3
4
0
描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
四、探究与拓展
14．已知函数p＝f(m)的图象如图所示，则
(1)函数p＝f(m)的定义域为________．
(2)函数p＝f(m)的值域为________．
(3)p∈________时，只有唯一的m值与之对应．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
答案 (1)[－3,0]∪[1,4] (2)[－2,2] (3)(0,2]
解析 (1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，所以定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由图知值域为[－2,2]．
(3)由图知：p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．
15．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式．
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
解 由f(3)＝3，得b＝－3a－9.
由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，
所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0，
所以a＝－6，b＝9.
所以f(x)＝x2－5x＋9.
第2课时 分段函数
学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.
知识点 分段函数
思考 集合A＝R，B＝，A中的有理数都对应B中的元素0，无理数都对应B中的元素1，这一对应是函数吗？
答案 是，因为符合函数定义．
梳理 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
1．分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.(×)
2．分段函数各段上的函数值集合的交集为?.(×)
3．分段函数的图象一定是不连续的．(×)
类型一 建立分段函数模型
例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7，腰长为2，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
考点 分段函数
题点 求分段函数解析式
解 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2，
又BC＝7，所以AD＝GH＝3.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，
y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－×(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y＝
图象如图所示：
反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
考点 分段函数
题点 分段函数应用问题
解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式为y＝
函数图象如图所示：
类型二 研究分段函数的性质
命题角度1 给x求y
例2 已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f?的值．
考点 分段函数
题点 分段函数求值
解 ∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.
∵－∈(－2,2)，
∴f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵－∈(－∞，－2]，
∴f?＝－＋1＝－∈(－2,2)，
∴f?＝f?＝2＋2×
＝－.
引申探究
本例中f(x)的解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围．
解 当－5≤x≤－2时，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；
当－2当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；
∴当x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．
反思与感悟 分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间；
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图象．
考点 分段函数
题点 分段函数求值
解 (1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1≤4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图象如下：
命题角度2 给y求x
例3 已知函数f(x)＝
(1)若f(x0)＝8，求x0的值；
(2)解不等式f(x)>8.
考点 分段函数
题点 分段函数与不等式结合
解 (1)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；
当x0>2时，由x＋2＝8，得x0＝或x0＝－(舍去)，故x0＝.
(2)f(x)>8等价于 ①
或 ②
解①得x∈?，解②得x>，
综合①②知f(x)>8的解集为{x|x>}．
反思与感悟 已知函数值求变量x取值的步骤
(1)先对x的取值范围分类讨论；
(2)然后代入到不同的解析式中；
(3)通过解方程求出x的解；
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；
(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．
跟踪训练3 已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值；
(3)若f(x)≥，求x的取值范围．
考点 分段函数
题点 分段函数与不等式结合
解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)f(x)＝等价于①或②
解①得x＝±，②解集为?.
∴当f(x)＝时，x＝±.
(3)由于f?＝，结合此函数图象可知，
使f(x)≥的x的取值范围是∪.
1．设f(x)＝则f(f(0))等于( )
A．1 B．0 C．2 D．－1
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 C
2．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是( )
A．－2或2 B．2或－
C．－2 D．2或－2或－
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 C
3．已知函数f(n)＝则f(5)的值是( )
A．4 B．48 C．240 D．1 440
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 C
解析 因为f(n)＝
所以f(5)＝5f(4)＝5×4f(3)＝5×4×3f(2)＝5×4×3×2f(1)＝5×4×3×2×1×f(0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C.
4．设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为________．
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 0
5．已知函数f(x)＝则f(f(－4))＝________.
答案 －2
对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．
一、选择题
1．已知f(x)＝则f(f(f(－2)))等于( )
A．π B．0 C．2 D．π＋1
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 D
解析 f(－2)＝0，f(0)＝π，f(π)＝π＋1
2．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α等于( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 B
解析 当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2或α＝－2(舍)．∴α＝－4或α＝2.
3．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于( )
A．－3 B．±3 C．－1 D．±1
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 D
解析 f(－1)＝＝1.
∴f(a)＋f(－1)＝f(a)＋1＝2.
∴f(a)＝1，即
① 或②
解①得a＝1，解②得a＝－1.
∴a＝±1.
4．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．[0,3] D．{x|0≤x≤2或x＝3}
考点 分段函数
题点 分段函数的定义域、值域
答案 D
解析 值域为[0,2]∪{3,2}＝{x|0≤x≤2或x＝3}．
5．已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是( )
A．? B．[－1,1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{2}∪[－1,1]
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 D
解析 若x∈[－1,1]，则f(x)＝2，f(f(x))＝f(2)＝2，符合题意；若x>1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，此时只有x＝2符合题意；若x<－1，则f(x)＝x，
f(f(x))＝f(x)＝x＝2，但因为x<－1，此时没有x符合题意．故选D.
6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
考点 分段函数
题点 分段函数应用问题
答案 A
解析 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．
7．著名的Dirichlet函数D(x)＝ 则D等于( )
A．0 B．1
C. D.
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 B
解析 ∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，∴D＝1.
8．设函数f(x)＝若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－] B．[－，＋∞)
C．[－，] D．(－∞，]
答案 D
解析 令f(a)＝t，则f(t)≤3等价于
或
解得t≥－3，则f(a)≥－3等价于
或
解得a≤，则实数a的取值范围是(－∞，]，故选D.
二、填空题
9．函数f(x)＝的定义域是________．
考点 分段函数
题点 分段函数的定义域、值域
答案 [0，＋∞)
解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．
10．分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝|x|，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)，仿照上述式子，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝________.
考点
题点
答案 (x＋6＋|x－6|)
解析 因为f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)，其分界点为3，从而式子中含有x＋3与x－3，并通过|x－3|前面的“－”构造出需要的结果的形式．所以，对于分段函数f(x)＝其分界点为6，故式子中应含有x＋6与x－6.又x<6时f(x)＝6，故|x－6|的前面应取“＋”．因此f(x)＝(x＋6＋|x－6|)．
11．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
考点 分段函数
题点 分段函数与不等式结合
答案 {x|x≤1}
解析 当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，∴x<0.综上可知x≤1.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝
(1)求f?，f?，f?，f?；
(2)若f(a)＝6，求a的值．
考点 分段函数
题点 分段函数求值
解 (1)∵－∈(－∞，－1)，
∴f?＝－2×＝3.
∵∈[－1,1]，∴f?＝2.
又2∈(1，＋∞)，∴f?＝f(2)＝2×2＝4.
∵∈(1，＋∞)，∴f?＝2×＝9.
(2)经观察可知a?[－1,1]，否则f(a)＝2.
若a∈(－∞，－1)，令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；
若a∈(1，＋∞)，令2a＝6，得a＝3，符合题意．
∴a的值为－3或3.
13．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
考点 分段函数
题点 分段函数应用问题
解 当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8y＝×4×(12－x)＝24－2x.
综上可知，f(x)＝
四、探究与拓展
14．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．
考点 分段函数
题点 分段函数的定义域、值域
答案 (－∞，1]
解析 由题意知f(x)＝
画出图象如图所示：
由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．
15．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．
考点 分段函数
题点 分段函数的综合应用
解 若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，
f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；
若－10，
f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；
若x>3，则x－3>0，x＋1>0，
f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
∴f(x)＝
(1)当－1∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．
(2)f(x)>0，即①
或②
或③
解①得x≤－1，解②得－1解③得x∈?.
∴f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪?＝(－∞，1)．
(3)f(x)的图象如下：
由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无交点．
