正态分布练习

正态分布
　
一．选择题
1．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（　　）
A． B． C．5 D．3
2．设随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＞m）=0.3，则P（X＞8﹣m）=（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．与σ的值有关
3．已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为（　　）
A． B． C．1﹣a D．
4．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中
C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kg
D．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
5．如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（　　）

A．组距越大，频率分布折线图越接近于它
B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它
C．阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比
D．阴影部分的平均高度代表总体在（a，b）内取值的百分比
填空题
6．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（0≤X≤2）=0.3，则P（X＞4）=　　．
7．某地区举行高中数学竞赛，全体参赛学生的比赛成绩ξ近似服从正态分布N（80，σ2），（σ＞0），参赛学生共500名．若ξ在（70，90）内的取值概率为0.80，那么90分以上（含90分）的学生人数为　　．
8．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为　　．
9．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且 P （ξ＜﹣3）=P（ξ＞1）=0.2，则 P（﹣1＜ξ＜1）=　　．
10．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，1）内的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为　　．
三．解答题（共3小题）
11．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N（170.5，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5），第2组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

12．某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．
（I）试估计该校数学的平均成绩；
（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．
附：若 X～N（μ，σ2），则P（u﹣3σ＜X＜u+3σ）=0.9974．

13．某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．
（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；
（2））给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．
由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．

　
正态分布参考答案与试题解析
　
一．选择题
1．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（　　）
A． B． C．5 D．3
解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），
∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，
∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，
故选A．
2．设随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＞m）=0.3，则P（X＞8﹣m）=（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．与σ的值有关
解：∵随机变量X服从正态分布N（4，o2），
∴正态曲线的对称轴是x=4，∵P（X＞m）=0.3，
而m与8﹣m关于x=4对称，由正态曲线的对称性得：
∴P（X＞m）=P（X＜8﹣m）=0.3，
故P（X＞8﹣m）=1﹣0.3=0.7，
故选：C．
3．已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为（　　）
A． B． C．1﹣a D．
解：∵随机变量X服从标准正态分布N（0，σ2），
∴正态曲线关于X=0对称，∵P（|X|＜2）=a，
∴P（X＞2）=，故选A．
4．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中
C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kg
D．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．
5．如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（　　）

A．组距越大，频率分布折线图越接近于它
B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它
C．阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比
D．阴影部分的平均高度代表总体在（a，b）内取值的百分比
解：总体密度曲线与频率分布折线图关系如下：当样本容量越大，组距越小时，频率分布折线图越接近总体密度曲线，但它永远达不到总体密度曲线．在总体密度曲线中，阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比，
故选：C．
填空题
6．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（0≤X≤2）=0.3，则P（X＞4）=　0.2　．
解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），
∴正态曲线的对称轴是x=2
∵P（0≤X≤2）=0.3，∴P（X＞4）=0.5﹣0.3=0.2，
故答案为0.2．
7．某地区举行高中数学竞赛，全体参赛学生的比赛成绩ξ近似服从正态分布N（80，σ2），（σ＞0），参赛学生共500名．若ξ在（70，90）内的取值概率为0.80，那么90分以上（含90分）的学生人数为　50　．
解：∵比赛成绩ξ近似服从正态分布N（80，σ2），（σ＞0），
∴比赛成绩ξ关于ξ=80对称，∵ξ在（70，90）内的取值概率为0.80，
∴90分以上（含90分）的概率为0.1，∴90分以上（含90分）的人数为0.1×500=50．故答案为：50．
8．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为　　．
解：由题意可知随机变量ξ～N（2，4），满足正态分布，对称轴为μ=2，
P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则：a+2+2a﹣3=4，解得a=．
故答案为．　
9．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且 P （ξ＜﹣3）=P（ξ＞1）=0.2，则 P（﹣1＜ξ＜1）=　0.3　．
解：∵ξ～N（μ，σ2），且 P （ξ＜﹣3）=P（ξ＞1）=0.2，
∴μ=﹣1，P（﹣1＜ξ＜1）=0.5﹣0.2=0.3，故答案为：0.3．
10．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，1）内的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为　0.8　．
解：∵ξ服从正态分布N（1，σ2），ξ在（0，1）内的概率为0.4，
由正态分布的对称性可知ξ在（1，2）内的取值概率也为0.4，
∴P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜1）+P（1＜ξ＜2）=0.4+0.4=0.8
故答案为：0.8
三．解答题
11．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N（170.5，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5），第2组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，
∴高于全市的平均值170.5；（4分）
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，
∴人数为0.2×50=10，
即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人；…（6分）
（Ⅲ）∵P（170.5﹣3×4＜ξ≤170.5+3×4）=0.9974，
∴P（ξ≥182.5）==0.0013，
∴0.0013×100 000=130，
全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；
∴随机变量ξ可取0，1，2，于是
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，
∴Eξ=0×+1×+2×=1．…（12分）
　
12．某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．
（I）试估计该校数学的平均成绩；
（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．
附：若 X～N（μ，σ2），则P（u﹣3σ＜X＜u+3σ）=0.9974．

解：（1）由频率分布直方图可知[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=0.12
所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112
（2）由于根据正态分布：P（120﹣3×5＜X＜120+3×5）=0.9974
故
所以前13名的成绩全部在135分以上
根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145）的学生有50×（0.12+0.08）=10
所以X的取值为0，1，2，3．
所以P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==；
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．
　
13．某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．
（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；
（2））给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．
由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．

解：（1）=90，S2==49．…（6分）
（2）由（1）可估计，μ=90，σ=7．
P（76＜x＜97）=P（μ﹣2σ＜x＜μ）+P（μ＜x＜μ+σ）=+=0.8185．…（12分）
　









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