2018-2019学年人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元测试
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元测试 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 251.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-19 18:34:56 | ||
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文档简介
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
考点 空间中直线与直线的位置关系
题点 空间中直线与直线的位置关系判定
答案 D
解析 两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面．
2.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
答案 C
解析 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，
则AC∥A1C1∥DE，
则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．
由条件可知BD＝DE＝EB＝，
所以∠BDE＝60°.
3．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则( )
A．b⊥α B．b?α
C．b∥α D．b∥α或b?α
考点 线面平行的判定
题点 线面平行的判定
答案 D
解析 当b?α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b⊥α时，a⊥α，则a∥b.所以直线a⊥b，且a⊥α时，b∥α或b?α，故选D.
4．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是( )
A．DD1 B．A1D1 C．C1D1 D．A1D
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 D
解析 ∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵A1D?平面AB1C，B1C?平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，故选D.
5．已知PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD
考点 直线与平面垂直的性质
题点 根据线面垂直的性质判定线线垂直
答案 C
解析 如图所示，由于PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥BD(即D正确)，
BC⊥PA，BC⊥BA，而PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB(即A正确)．同理PD⊥CD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确．
6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若m?β，α⊥β，则m⊥α
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
D．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 B
解析 若m?β，α⊥β，则m与α的关系不确定，故A错误；若m∥α，则存在直线n?α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到α⊥β，故B正确；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ关系不确定，故C错误；若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α与β可能平行，也可能相交(此时交线与m，n均平行)，故D错误．故选B.
7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E
答案 C
8．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 D
解析 ∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.
∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确．
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故B一定正确．
∵A∈α，AB∥l，l?α，∴B∈α.
∴AB?β，l?β，∴AB∥β.故C也正确．
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，
当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．
故D不一定成立．
9．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是( )
①EF与BB1垂直；
②EF⊥平面BCC1B1；
③EF与C1D所成的角为45°；
④EF∥平面A1B1C1D1.
A．②③ B．①④
C．③ D．①②④
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 B
解析 显然①④正确，②③错误．
10．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
考点 直线与平面所成的角
题点 直线与平面所成的角
答案 C
解析 当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.
二、填空题(本大题共7小题，共36分)
11．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.当满足条件_______时，有m⊥β.
考点 直线与平面垂直的判定
题点 判定直线与平面垂直
答案 ②④
12. 如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
答案 (1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD
解析 (1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，故AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF綊AC，EH綊BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.
13.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．
答案 AB，BC，AC AB
解析 ∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.
14.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
答案 (6，＋∞)
解析 由题意知：PA⊥DE，
又PE⊥DE，PA∩PE＝P，
∴DE⊥平面PAE，又AE?平面PAE，
∴DE⊥AE.
易证△ABE∽△ECD.
设BE＝x，则＝，即＝.
∴x2－ax＋9＝0，由Δ>0，a>0，
解得a>6.
15.如图，已知Rt△ABC，斜边BC?α，点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，则二面角A－BC－O的大小为________，其正切值为________．
考点
题点
答案 60°
解析 如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.
∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.
又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.
而AD?平面AOD，∴AD⊥BC.
∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．
由AO⊥α，OB?α，OC?α，知AO⊥OB，AO⊥OC.
又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，
∴设AO＝a，则AC＝a，AB＝2a.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝a，
∴AD＝＝＝a.
在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝＝.
∴∠ADO＝60°.即二面角A－BC－O的大小是60°，其正切值为.
16．A是锐二面角α—l—β的α内一点， AB⊥β于点B，AB＝，A到l的距离为2，则二面角α—l—β的平面角大小为________．
考点
题点
答案 60°
解析 由题意可知，过点A作l的垂线，垂足为C，连接BC，因为AB⊥β，所以AB⊥l，又因为AC⊥l，AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC，所以l⊥BC，∠ACB就是二面角α—l—β的平面角，BC＝＝1，因此∠ACB＝60°，即二面角α—l—β的平面角的大小为60°.
17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为________，其正切值为________．
答案 30°
解析 如图，连接AC交BD于点O，连接OC1.
因为AB＝AD＝2，所以AC⊥BD，
又易知BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OC1，
所以∠COC1为二面角C1－BD－C的一个平面角．
因为在△COC1中，OC＝，CC1＝，
所以tan∠COC1＝，
所以二面角C1－BD－C的大小为30°，其正切值为.
三、解答题(本大题共5小题，共74分)
18．(14分)(1)如图(1)，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD；
(2)如图(2)，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，求证：平面MNQ∥平面PBC.
考点 空间中的平行问题
题点 空间中的平行问题
证明 (1)E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF∥AD.
又AD?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.
(2)∵点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，
∴MQ∥AD，QN∥PB.
∵底面ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴MQ∥BC.
∵MQ∩QN＝Q，PB∩BC＝B，MQ，QN?平面MNQ，PB，BC?平面PBC，
∴平面MNQ∥平面PBC.
19．(15分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明：CD⊥平面ABF.
考点 直线与平面垂直的判定
题点 直线与平面垂直的证明
(1)解 因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED，
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD.
在Rt△CDE中，因为CD＝1，ED＝2，
所以CE＝＝3，
所以cos∠CED＝＝.
故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.
(2)证明 如图，过点B作BG∥CD交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°.
由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，从而CD⊥AB.
又因为CD⊥FA，FA∩AB＝A，FA，AB?平面ABF，
所以CD⊥平面ABF.
20. (15分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
21．(15分)如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)求证：AC⊥平面EBC；
(3)求该五面体的体积．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行、垂直综合问题的证明
(1)证明 连接AE.
∵四边形ADEB为正方形，
∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，
∵G是EC的中点，
∴GF∥AC.
又AC?平面ABC，GF?平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)证明 ∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB.
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，BE?平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，
∴BE⊥AC.∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，BC，BE?平面EBC，
∴AC⊥平面EBC.
(3)解 取AB的中点N，连接CN.
∵AC＝BC，∴CN⊥AB.
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，CN?平面ABC，
∴CN⊥平面ABED.
∵△ABC是等腰直角三角形，∴CN＝AB＝.
∵五面体C－ABED是四棱锥，
∴V四棱锥C－ABED＝S四边形ABED·CN＝×1×＝.
22．(15分)如图所示，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB＝2EF，∠EAB＝90°，平面ABFE⊥平面ABCD.
(1)若G点是DC的中点，求证：FG∥平面AED.
(2)求证：平面DAF⊥平面BAF.
(3)若AE＝AD＝1，AB＝2，求三棱锥D－AFC的体积．
考点 空间中的垂直问题
题点 空间中的垂直问题
(1)证明 ∵点G是DC的中点，AB＝CD＝2EF，
AB∥EF，四边形ABCD是矩形，
∴EF∥DG且EF＝DG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴FG∥DE，又FG?平面AED，ED?平面AED，
∴FG∥平面AED.
(2)证明 ∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面BAF.
又AD?平面DAF，∴平面DAF⊥平面BAF.
(3)解 ∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∠EAB＝90°，EA?平面ABFE，
∴EA⊥平面ABCD.
∵EF∥AB，EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，
∴F到平面ABCD的距离为E到平面ABCD的距离EA，
∴VD－AFC＝VF－ADC＝·S△ADC·EA＝××1×2×1＝.
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
考点 空间中直线与直线的位置关系
题点 空间中直线与直线的位置关系判定
答案 D
解析 两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面．
2.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
答案 C
解析 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，
则AC∥A1C1∥DE，
则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．
由条件可知BD＝DE＝EB＝，
所以∠BDE＝60°.
3．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则( )
A．b⊥α B．b?α
C．b∥α D．b∥α或b?α
考点 线面平行的判定
题点 线面平行的判定
答案 D
解析 当b?α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b⊥α时，a⊥α，则a∥b.所以直线a⊥b，且a⊥α时，b∥α或b?α，故选D.
4．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是( )
A．DD1 B．A1D1 C．C1D1 D．A1D
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 D
解析 ∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵A1D?平面AB1C，B1C?平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，故选D.
5．已知PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD
考点 直线与平面垂直的性质
题点 根据线面垂直的性质判定线线垂直
答案 C
解析 如图所示，由于PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥BD(即D正确)，
BC⊥PA，BC⊥BA，而PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB(即A正确)．同理PD⊥CD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确．
6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若m?β，α⊥β，则m⊥α
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
D．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 B
解析 若m?β，α⊥β，则m与α的关系不确定，故A错误；若m∥α，则存在直线n?α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到α⊥β，故B正确；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ关系不确定，故C错误；若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α与β可能平行，也可能相交(此时交线与m，n均平行)，故D错误．故选B.
7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E
答案 C
8．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 D
解析 ∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.
∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确．
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故B一定正确．
∵A∈α，AB∥l，l?α，∴B∈α.
∴AB?β，l?β，∴AB∥β.故C也正确．
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，
当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．
故D不一定成立．
9．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是( )
①EF与BB1垂直；
②EF⊥平面BCC1B1；
③EF与C1D所成的角为45°；
④EF∥平面A1B1C1D1.
A．②③ B．①④
C．③ D．①②④
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 B
解析 显然①④正确，②③错误．
10．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
考点 直线与平面所成的角
题点 直线与平面所成的角
答案 C
解析 当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.
二、填空题(本大题共7小题，共36分)
11．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.当满足条件_______时，有m⊥β.
考点 直线与平面垂直的判定
题点 判定直线与平面垂直
答案 ②④
12. 如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
答案 (1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD
解析 (1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，故AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF綊AC，EH綊BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.
13.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．
答案 AB，BC，AC AB
解析 ∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.
14.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
答案 (6，＋∞)
解析 由题意知：PA⊥DE，
又PE⊥DE，PA∩PE＝P，
∴DE⊥平面PAE，又AE?平面PAE，
∴DE⊥AE.
易证△ABE∽△ECD.
设BE＝x，则＝，即＝.
∴x2－ax＋9＝0，由Δ>0，a>0，
解得a>6.
15.如图，已知Rt△ABC，斜边BC?α，点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，则二面角A－BC－O的大小为________，其正切值为________．
考点
题点
答案 60°
解析 如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.
∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.
又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.
而AD?平面AOD，∴AD⊥BC.
∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．
由AO⊥α，OB?α，OC?α，知AO⊥OB，AO⊥OC.
又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，
∴设AO＝a，则AC＝a，AB＝2a.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝a，
∴AD＝＝＝a.
在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝＝.
∴∠ADO＝60°.即二面角A－BC－O的大小是60°，其正切值为.
16．A是锐二面角α—l—β的α内一点， AB⊥β于点B，AB＝，A到l的距离为2，则二面角α—l—β的平面角大小为________．
考点
题点
答案 60°
解析 由题意可知，过点A作l的垂线，垂足为C，连接BC，因为AB⊥β，所以AB⊥l，又因为AC⊥l，AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC，所以l⊥BC，∠ACB就是二面角α—l—β的平面角，BC＝＝1，因此∠ACB＝60°，即二面角α—l—β的平面角的大小为60°.
17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为________，其正切值为________．
答案 30°
解析 如图，连接AC交BD于点O，连接OC1.
因为AB＝AD＝2，所以AC⊥BD，
又易知BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OC1，
所以∠COC1为二面角C1－BD－C的一个平面角．
因为在△COC1中，OC＝，CC1＝，
所以tan∠COC1＝，
所以二面角C1－BD－C的大小为30°，其正切值为.
三、解答题(本大题共5小题，共74分)
18．(14分)(1)如图(1)，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD；
(2)如图(2)，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，求证：平面MNQ∥平面PBC.
考点 空间中的平行问题
题点 空间中的平行问题
证明 (1)E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF∥AD.
又AD?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.
(2)∵点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，
∴MQ∥AD，QN∥PB.
∵底面ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴MQ∥BC.
∵MQ∩QN＝Q，PB∩BC＝B，MQ，QN?平面MNQ，PB，BC?平面PBC，
∴平面MNQ∥平面PBC.
19．(15分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明：CD⊥平面ABF.
考点 直线与平面垂直的判定
题点 直线与平面垂直的证明
(1)解 因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED，
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD.
在Rt△CDE中，因为CD＝1，ED＝2，
所以CE＝＝3，
所以cos∠CED＝＝.
故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.
(2)证明 如图，过点B作BG∥CD交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°.
由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，从而CD⊥AB.
又因为CD⊥FA，FA∩AB＝A，FA，AB?平面ABF，
所以CD⊥平面ABF.
20. (15分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
21．(15分)如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)求证：AC⊥平面EBC；
(3)求该五面体的体积．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行、垂直综合问题的证明
(1)证明 连接AE.
∵四边形ADEB为正方形，
∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，
∵G是EC的中点，
∴GF∥AC.
又AC?平面ABC，GF?平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)证明 ∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB.
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，BE?平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，
∴BE⊥AC.∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，BC，BE?平面EBC，
∴AC⊥平面EBC.
(3)解 取AB的中点N，连接CN.
∵AC＝BC，∴CN⊥AB.
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，CN?平面ABC，
∴CN⊥平面ABED.
∵△ABC是等腰直角三角形，∴CN＝AB＝.
∵五面体C－ABED是四棱锥，
∴V四棱锥C－ABED＝S四边形ABED·CN＝×1×＝.
22．(15分)如图所示，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB＝2EF，∠EAB＝90°，平面ABFE⊥平面ABCD.
(1)若G点是DC的中点，求证：FG∥平面AED.
(2)求证：平面DAF⊥平面BAF.
(3)若AE＝AD＝1，AB＝2，求三棱锥D－AFC的体积．
考点 空间中的垂直问题
题点 空间中的垂直问题
(1)证明 ∵点G是DC的中点，AB＝CD＝2EF，
AB∥EF，四边形ABCD是矩形，
∴EF∥DG且EF＝DG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴FG∥DE，又FG?平面AED，ED?平面AED，
∴FG∥平面AED.
(2)证明 ∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面BAF.
又AD?平面DAF，∴平面DAF⊥平面BAF.
(3)解 ∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∠EAB＝90°，EA?平面ABFE，
∴EA⊥平面ABCD.
∵EF∥AB，EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，
∴F到平面ABCD的距离为E到平面ABCD的距离EA，
∴VD－AFC＝VF－ADC＝·S△ADC·EA＝××1×2×1＝.