2018-2019学年人教A版必修2 第三章 直线与方程 单元测试

章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.若直线x＝2 017的倾斜角为α，则α(　　)
A.等于0° B.等于180°
C.等于90° D.不存在
考点　直线的倾斜角
题点　数形结合求倾斜角
答案　C
2.点F(，0)到直线x－y＝0的距离为(　　)
A. B.m
C.3 D.3m
考点　点到直线的距离
题点　求点到直线的距离
答案　A
解析　由点到直线的距离公式，得点F(，0)到直线x－y＝0的距离为＝.
3.设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(　　)
A.k≥或k≤－4 B.－4≤k≤
C.－≤k≤4 D.以上都不对
考点　直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
题点　倾斜角和斜率关系的其他应用
答案　A
解析　建立如图所示的直角坐标系.由图可得k≥kPB或k≤kPA.∵kPB＝，kPA＝－4，∴k≥或k≤－4.
4.若光线从点P(－3,3)射到y轴上，经y轴反射后经过点Q(－1，－5)，则光线从点P到点Q走过的路程为(　　)
A.10 B.5＋
C.4 D.2
考点　对称问题的求法
题点　光路可逆问题
答案　C
解析　Q(－1，－5)关于y轴的对称点为Q1(1，－5)，易知光线从点P到点Q走过的路程为|PQ1|＝＝4.
5.若直线l经过点A(1,2)，在y轴上的截距的取值范围是(－2,3)，则其斜率的取值范围是(　　)
A.
B.
C.(－∞，－1)∪(4，＋∞)
D.(－1,4)
考点　直线的点斜式方程
题点　直线点斜式方程的应用
答案　D
解析　直线l的斜率存在，
设直线方程为y－2＝k(x－1)，
令x＝0，可得y＝2－k，
∵直线l在y轴上的截距的取值范围是(－2,3)，
∴－2<2－k<3，∴－16.直线y＝ax＋的图象可能是(　　)
考点　直线的斜截式方程
题点　直线斜截式方程的应用
答案　B
解析　根据斜截式方程知，斜率与直线在y轴上的纵截距同正负.
7.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于(　　)
A.－1 B.1
C. D.－
考点　直线的一般式方程与直线的垂直关系
题点　根据垂直求参数的值
答案　B
解析　由两直线垂直，得×＝－1，解得m＝1.
8.已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且两者之间的距离是，则m＋n等于(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.2
考点　两条平行直线间的距离公式及应用
题点　利用两条平行直线间的距离求参数的值
答案　B
解析　由题意知，所给两条直线平行，∴n＝－2.
由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，∴m＋n＝0.
9.点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，则d的取值范围是(　　)
A.0≤d＜ B.d≥0
C.d＞ D.d≥
考点　点到直线的距离
题点　与点到直线的距离有关的最值问题
答案　A
解析　直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ可化为
(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，
∴∴
∴直线l恒过定点A(1,1)(不包括直线3x＋2y－5＝0)，
∴|PA|＝＝.
∵PA与直线3x＋2y－5＝0垂直，点P(－2，－1)到直线的距离为，
∴点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为0≤d＜，故选A.
10.已知△ABC的三个顶点分别是A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，若直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是(　　)
A. B.1＋ C.1＋ D.
考点　待定系数法的应用
题点　待定系数法求直线方程
答案　A
解析　只有当直线x＝a与线段AC相交时，x＝a才可将△ABC分成面积相等的两部分.S△ABC＝×3×3＝，设x＝a与AB，AC分别相交于D，E，则S△ADE＝×a×a＝×，解得a＝(负值舍去).
二、填空题(本大题共7小题，共36分)
11.过(3,0)点且与x轴垂直的直线方程为________，纵截距为－2且与y轴垂直的直线方程为__________.
答案　x＝3　y＝－2
12.已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________.
考点　中点坐标公式
题点　求过中点的直线方程
答案　－
解析　设P(x,1)，则Q(2－x，－3)，
将点Q的坐标代入x－y－7＝0，得2－x＋3－7＝0.
∴x＝－2，∴P(－2,1)，
∴kl＝－.
13.直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直并且相交于点(1，m)，则a＝______，m＝________.
答案　10　－2
14.已知点A(1，－1)，点B(3,5)，点P是直线y＝x上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标是________.
考点　对称问题的求法
题点　与对称有关的综合问题
答案　(2,2)
解析　易知当点P为直线AB与直线y＝x的交点时，
|PA|＋|PB|的值最小，直线AB的方程为y－5＝(x－3)，即3x－y－4＝0.
解方程组得
所以当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标为(2,2).
15.(2017浙江金华十校调研)已知直线l1：2x－2y＋1＝0，直线l2：x＋by－3＝0，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则两直线间的距离是________.
答案　1　
解析　利用两直线垂直与平行的充要条件知，l1⊥l2等价于2×1＋(－2)×b＝0，因此b＝1.
l1∥l2等价于＝≠，
因此b＝－1，所以l2：x－y－3＝0，即2x－2y－6＝0，
所以两直线间的距离d＝＝.
16.设直线l1：mx＋(m－1)y＝1，直线l2：(m＋2)x＋my＝3，若l1∥l2，则m＝______；若l1⊥l2，则m＝______.
答案　2　－或0
解析　当l1∥l2时，显然m≠1且m≠0，从而有－＝－，解得m＝2.当m＝0时，显然l1⊥l2；当m＝1时，两直线不垂直；当m≠1且m≠0时，由－×＝－1，得m＝－，故当l1⊥l2时，m＝0或m＝－.
17.直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么直线l的方程为________.
考点　点到直线的距离
题点　与点到直线的距离有关的最值问题
答案　3x＋y－13＝0
解析　由已知可得，l是过A且与AB垂直的直线，
∵kAB＝＝，
∴kl＝－3，
由点斜式得y－4＝－3(x－3)，
即3x＋y－13＝0.
三、解答题(本大题共5小题，共74分)
18.(14分)已知点M是直线l：x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得直线l′的方程.
考点　直线的一般式方程
题点　求直线的一般式方程及各种方程的互化
解　在x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－，
即M(－，0).
∵直线l的斜率k＝，∴其倾斜角θ＝60°.
若直线l绕点M逆时针方向旋转30°，
则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°，
此时斜率不存在，故其方程为x＝－.
若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝，
故其方程为y＝(x＋)，即x－y＋＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋＝0或x－y＋＝0.
19.(15分)已知点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2).
(1)求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程；
(2)求△ABC的面积.
考点　中点坐标公式
题点　与中位线有关的问题
解　(1)∵点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，∴B(5，－1)，
又∵点A(5,1)关于原点的对称点为C(x2，y2)，
∴C(－5，－1)，
∴AB的中点坐标是(5,0)，BC的中点坐标是(0，－1).过(5,0)，(0，－1)的直线方程是＝，
整理得x－5y－5＝0.
(2)易知|AB|＝|－1－1|＝2，|BC|＝|－5－5|＝10，AB⊥BC，
∴△ABC的面积S＝|AB|·|BC|＝×2×10＝10.
20.(15分)已知直线l平行于直线x＋y－4＝0，且实数x，y满足直线l的方程，又知(x－1)2＋(y－1)2的最小值为2，求直线l的方程.
考点　点到直线的距离
题点　与点到直线的距离有关的最值问题
解　依题意，设l的方程为x＋y＋m＝0(m≠－4)，
因为x，y满足该方程，所以y＝－x－m.
则(x－1)2＋(y－1)2＝(x－1)2＋(－x－m－1)2＝2x2＋2mx＋2m＋2＋m2＝22＋m2＋2m＋2，
所以当x＝－时，上式取得最小值m2＋2m＋2，
由题意知，m2＋2m＋2＝2，解得m＝0或m＝－4(舍)，
所以直线l的方程为x＋y＝0.
21.(15分)已知直线l：y＝4x和点P(6,4)，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴的正半轴于点B，
(1)当OP⊥AB时，求AB所在直线的方程；
(2)求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标.
考点　点到直线的距离
题点　与点到直线的距离有关的最值问题
解　(1)∵点P(6,4)，∴kOP＝.
又∵OP⊥AB，∴kAB＝－.
∵AB过点P(6,4)，∴直线AB的方程为y－4＝－(x－6)，化为一般式可得3x＋2y－26＝0.
(2)设点A(a,4a)，a>0，点B的坐标为(b,0)，b>0，当直线AB的斜率不存在时，a＝b＝6，此时△OAB的面积S＝×6×24＝72.当直线AB的斜率存在时，
有＝，解得b＝，
故点B的坐标为，故△OAB的面积S＝··4a＝，即10a2－Sa＋S＝0.①
由题意可得方程10a2－Sa＋S＝0有解，
故判别式Δ＝S2－40S≥0，∴S≥40，
故S的最小值为40，此时①为a2－4a＋4＝0，解得a＝2.
综上可得，△OAB面积的最小值为40，
当△OAB面积取最小值时，点B的坐标为(10,0).
22.(15分)已知直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
考点　分类讨论思想的应用
题点　分类讨论思想的应用
解　(1)l2可化为2x－y－＝0，
∴l1与l2的距离为d＝＝.
又∵a>0，∴a＝3.
(2)设点P(x0，y0)满足②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上且＝·，
即c＝或c＝，
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，得＝·，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵P点在第一象限，∴3x0＋2＝0不满足题意.
联立方程解得(舍去)
由得
∴P即为同时满足三个条件的点.