2018-2019学年人教A版必修2 第四章　圆与方程 单元测试

章末综合检测(四)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)关于yOz平面对称的点的坐标为(　　)
A．(－3，4，5)　　　　　　　 B．(－3，－4，5)
C．(3，－4，－5) D．(－3，4，－5)
解析：选A．纵、竖坐标相同．故点P(3，4，5)关于yOz平面对称的点的坐标为(－3，4，5)．
2．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
解析：选C．因为r＝d＝＝3，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，故选C．
3．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　　)
A．m<　　　　　　　 B．m<2
C．m≤ D．m≤2
解析：选A．由(－1)2＋12－4m>0得m<．
4．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1，2)的最短弦所在直线l的方程是(　　)
A．3x＋2y－7＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
解析：选D．将圆C的一般方程化成标准方程为(x－2)2＋y2＝9，
所以C(2，0)．
由题意知，过点P(1，2)的最短弦所在的直线l应与PC垂直，
故有kl·kPC＝－1．
由kPC＝＝－2，得kl＝．
所以直线l的方程为y－2＝(x－1)，
即x－2y＋3＝0．
5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A．联立
得(1＋k2)x2＋2kx－9＝0．
设直线与圆的两交点的横坐标为x1，x2．
因为x1，x2关于y轴对称，
所以x1＋x2＝－＝0，
所以k＝0．
6．过点(2，0)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为(　　)
A．y＝0 B．x＝1和y＝0
C．x＝2和y＝0 D．不存在
解析：选C．借助数形结合可知，切线方程为x＝2和y＝0．
7．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为(　　)
A． B．
C．2 D．
解析：选D．该圆的圆心为A(2，－3)，半径长r＝3，圆心到直线的距离d＝＝，
弦长为2＝2＝4．
因为原点到直线的距离为＝，
所以S＝×4×＝．
8．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于(　　)
A．4 B．2
C．3 D．4
解析：选D．公共弦方程为x－2y＋6＝0，圆x2＋y2＋2x－12＝0的圆心为(－1，0)，半径r＝，圆心到公共弦的距离d＝．
所以弦长为2×＝4．
9．直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可能是(　　)
解析：选B．由题意，得圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2．
因为圆M过原点(0，0)，
所以排除A，C选项．
选项B，D中，圆心M(a，－b)在第一象限，
所以a>0，b<0，
所以直线ax－y＋b＝0经过第一、三、四象限，故B选项符合．
10．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(　　)
A．－5 B．5－
C．30－10 D．无法确定
解析：选C．
设P(x，y)是圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点．配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为C(1，－2)，半径r＝5．
所以
＝，
所以要使最小，则线段PO最短．如图，当点P，O，C在同一直线上时，|PO|min＝|PC|－|OC|＝5－＝5－，即(x2＋y2)min＝30－10．
11．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)
A． B．
C．[－，] D．
解析：选B．法一：可联立方程组利用弦长公式求|MN|，再结合|MN|≥2可得答案．
法二：利用圆的性质知，圆心到直线的距离的平方加上弦长一半的平方等于半径的平方，求出|MN|，再结合|MN|≥2可得答案，故选B．
12．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)
A．
B．∪
C．
D．∪
解析：选B．因为y(y－mx－m)＝0，所以y＝0或y－mx－m＝0．当y＝0时，显然C2与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y－mx－m＝0与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同的交点，且m≠0．由方程组消去y，得关于x的一元二次方程，再令Δ>0，解得m∈∪．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．在z轴上与点A(－4，1，7)和点B(3，5，－2)等距离的点C的坐标为________．
解析：设C点的坐标为(0，0，z)，
由|AC|＝|BC|，得|AC|2＝|BC|2．
于是有16＋1＋(7－z)2＝9＋25＋(－2－z)2，
解得z＝．故点C的坐标为．
答案：
14．已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得D＝－2，E＝－，F＝1．
圆心为，所求距离为 ＝．
答案：
15．过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为__________．
解析：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题意知，解得，
所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2．
答案：(x－3)2＋y2＝2
16．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为________米．
解析：
如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，
设圆的半径长为r，则C(0，－r)，
即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2．
将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，
所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，
当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，
可设A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，
所以水面宽度|A′B′|＝2米．
答案：2
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)点A(0，2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．
解：设点M(x，y)．M是弦BC的中点，故OM⊥BC，
又因为∠BAC＝90°，
所以|MA|＝|BC|＝|MB|．
因为|MB|2＝|OB|2－|OM|2，
所以|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，
即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，即x2＋(y－1)2＝7．
所以所求轨迹为以(0，1)为圆心，以为半径的圆．
18．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．
解：(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，
因此直线l过定点D(1，1)，
又＝1<，
所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，
又k＝tan 120°＝－，即m＝－．
此时，圆心C(0，1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝＝，
又圆C的半径r＝，
所以|AB|＝2
＝2＝．
19．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标．
解：(1)将圆C整理，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．
①当切线在两坐标轴上的截距为0时，设切线方程为y＝kx，
所以圆心到切线的距离为＝，
即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．
所以切线方程为y＝(2±)x．
②当切线在两坐标轴上的截距不为0时，设切线方程为x＋y－a＝0，
所以圆心到切线的距离为＝，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．
所以切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
综上所述，所求切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
(2)因为|PO|＝|PM|，
所以x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，
即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，所以直线OP的方程为2x＋y＝0．
联立方程组
解得
所以点P的坐标为．
20．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程．
解：(1)将两圆的方程相减并整理，得公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0．
(2)由第一问得x＝2y－4，代入x2＋y2＋2x＋2y－8＝0中，得y2－2y＝0．所以y＝0或y＝2，
所以或
即A(－4，0)，B(0，2)，
又圆心在直线y＝－x上，设圆心为M(x，－x)，
则|MA|＝|MB|，
即＝，
解得x＝－3，所以M(－3，3)，
所以r＝|MA|＝，
所以所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10．
21．(本小题满分12分)已知点(0，1)，(3＋2，0)，(3－2，0)在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
解：(1)由题意可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1，
则圆C的半径为＝3，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
，
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0．
且x1＋x2＝4－a，x1x2＝．①
由OA⊥OB，可得·＝－1，
即x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0．②
由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1．
22．(本小题满分12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)设直线ax－y＋5＝0(a>0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(－2，4)？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z)．
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，
所以＝5，即|4m－29|＝25．
因为m为整数，故m＝1．
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25．
(2)把直线ax－y＋5＝0即y＝ax＋5代入圆的方程，消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0．
由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，
故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0．
即12a2－5a>0，由于a>0，解得a>，所以实数a的取值范围是．
(3)设符合条件的实数a存在，由于a≠0，则直线l的斜率为－，l的方程为y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上．
所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝．
由于∈，故存在实数a＝，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB．