2018-2019学年人教A版必修一 　 函数的应用 单元测试

2018-2019学年人教A版必修一 　 函数的应用 单元测试
1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(　　)
A．y＝logx　　　　　　 B．y＝2x－1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B　依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
3.函数f(x)＝2x＋2x的零点所处的区间是(　　)
A．[－2，－1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
解析：选B　f(－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f(－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f(0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f(x)的零点在区间[－1,0]上．故选B.
4.已知函数f(x)＝ln x－ax2＋ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪{1}
解析：选C　由题意，显然x＝1是函数f(x)的一个零点，取a＝－1，则f(x)＝ln x＋x2－x，f′(x)＝＝>0恒成立．则f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除A、D；取a＝1，则f(x)＝ln x－x2＋x，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1，则f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f(x)max＝f(1)＝0，即f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除B，故选C.
5．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f(x)＝2 018－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　　)
A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d
C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d
6．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)
解析 能用二分法求零点的函数必须在含零点的区间(a，b)内连续，并且有f(a)·f(b)＜0.A、B、D中函数不符合．
答案C
7．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 (　　)．
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析　由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0答案　C
8．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)．
A．6 B．7 C．8 D．9
解析　当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.
根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，
又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0，
∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.
答案　B
9．函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内 (　　)．
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
答案　B
10．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述正确的是(　　)．
A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点
B．函数f(x)必有一个零点是正数
C．当a＜0时，函数f(x)有两个零点
D．当a＞0时，函数f(x)只有一个零点
解析　f(x)＝0?ex＝a＋
在同一坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，
可观察出A、C、D选项错误，选项B正确．
答案　B
11．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算________．
解析∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．
答案(0,0.5)　f(0.25)
12．函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________．
13．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
解析　由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解．令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln 2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2)＝2ln 2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln 2－2]．
答案　(－∞，2ln 2－2]
14．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P、Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝则f(x)的“友好点对”的个数是________．
解析　设P(x，y)、Q(－x，－y)(x>0)为函数f(x)的“友好点对”，则y＝，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，∴＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐标系中作函数y1＝、y2＝－2x2＋4x－1的图象，y1、y2的图象有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”，故填2.
答案　2
15．设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解　(1)如图所示．

(3)由函数f(x)的图象可知，当016．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
解析　∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
∴这种情况不符合题意．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
17．已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.
(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；
(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．
②当6∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；
③当8∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，
∴t＝9.
综上可知，存在常数t＝，8,9满足条件.
18．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．
(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解(1)法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e，
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，
因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．
法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图：
可知若使g(x)＝m有零点，
则只需m≥2e.

(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1
＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2>2e，
即m>－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)
19.已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.求证：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
证明：令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f－＝－，
∴g(0)·g<0.
又∵函数g(x)在上是连续不断的曲线，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
20．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式．
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．
作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1，
故a的取值范围为(－1,1)．
21．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．
(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，
只需即解得＜a＜.
故实数a的取值范围为.
22.已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
极大值
?
极小值
?
当0又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．
故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．