2018-2019学年北师大版选修2-1 第二章 空间向量与立体几何 章末综合检测

第二章综合检测
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
解析：选A.∵＝＋＝2(a＋2b)＝2，B为公共点，
∴A、B、D三点共线．
2．化简－＋所得的结果是(　　)
A. B．
C．0 D．
解析：选C.－＋＝＋＝0.
3．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间一组基底的关系是(　　)
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
解析：选C.对于选项A，由结论＝x＋y＋ (x＋y＋ ＝1)?M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于B，D选项，易知，，共面，故只有选项C中，，不共面．
4．平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3 ，则x＋y＋ 等于(　　)
A．1 B．
C. D．
解析：选B.在平行六面体中，＝x＋2y＋3 ＝＋＋＝＋－.
比较系数知x＝1，y＝， ＝－，
∴x＋y＋ ＝.
5．已知两个平面的一个法向量分别是m＝(1，2，－1)，n＝(1，－1，0)，则这两个平面所成的二面角的平面角的余弦值为(　　)
A．－ B．
C．－或 D．－或
解析：选C.cos〈m，n〉＝＝＝－，
由于两平面所成角的二面角与〈m，n〉相等或互补．故选C.
6．已知a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为(　　)
A. B．
C．4 D．8
解析：选A.cos〈a，b〉＝＝＝，
sin〈a，b〉＝＝，
∴S＝|a b|sin〈a，b〉＝9×＝.
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面B1BCC1的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
解析：选B.
建立如图所示的空间直角坐标系，
＝(0，a，0)为平面B1BCC1的一个法向量，
M(a，a，a)，
N(a，a，a)，
＝(－a，0，a)，
由于·＝0，且MN?平面B1BCC1，
∴MN∥平面B1BCC1.
8．
如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则·的值等于(　　)
A．0 B．
C．4 D．－
解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得，|AC|2＝42＋42－2×4×4cos 30°＝32－16，
∴|AC|＝2(－)，cos∠CAD＝cos〈，〉＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝，
又AD＝AB＝2，
∴·＝| |cos〈，〉＝4(－)×＝4，故选C.
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C.
以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)．
∴＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，0，1)．
设n＝(x，y， )是平面DA1B的一个法向量，
则即
∴x＝－y＝－ .
令x＝1，得n＝(1，－1，－1)．
设直线BC1与平面A1BD所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
10．四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，E，F分别为PB，PD的中点，则P到直线EF的距离为(　　)
A．1 B．
C. D．
解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
设AC与BD的交点为O，∵|PB|＝|PD|，
∴PO⊥BD，
又O(1，1，0)，
∴P点到BD的距离为|PO|＝＝，
又EF綊BD，
∴P到EF的距离为.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11．已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ＝ ．
解析：λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ＞0，解得λ＝3.
答案：3
12．若A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，当||取最小值时，x的值等于 ．
解析：＝(1－x，2x－3，－3x＋3)，
所以||＝
＝＝，
当x＝时，||取得最小值．
答案：
13．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是 ．
解析：a·b＝－3－2(x－1)－3＝－2x－4，由题意知cos〈a，b〉∈(－1，0)，即－1≠＜0，解之得x＞－2且x≠.
答案：(－2，)∪(，＋∞)
14．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C的对角线相交于点M，则BM与平面AA1C1C所成角的大小是 ．
解析：法一：取AC的中点D，连接BD，MD，由于BD⊥平面AA1C1C，故∠BMD即为所求直线与平面所成角，设三棱柱棱长为a，其中BD＝a，DM＝，
故tan∠BMD＝＝，解得∠BMD＝60°.
法二：由题意知此三棱柱为各棱长均相等的正三棱柱，设棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(，1，0)，M(0，1，1)，＝(－，0，1)，
取平面ACC1A1的一个法向量n＝(1，0，0)，
cos〈，n〉＝＝－，
设BM与平面ACC1A1所成的角为θ，
则sin θ＝，∴θ＝60°.
答案：60°
15.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为 ．
解析：∵A1B1∥平面D1EF，
∴G到平面D1EF之距等于A1点到平面D1EF之距，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，F(1，1，)，E(1，0，)，设平面D1EF的法向量为n＝(x，y， )，由，
易求得平面D1EF的一个法向量n＝(1，0，2)，＝(0，0，－)，
∴d＝
＝.
答案：
三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)(2014·德州高二检测)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，若向量a分别与向量，垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
解：＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，设a＝(x，y， )，
由题意知，即，
解得或.
∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1)．
17．(本小题满分10分)
已知在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，记＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
解：＝(b＋c)，＝a，＝b＋c－a，
∵＝2，∴＝＝b＋c－a，
∴＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c.
18．(本小题满分10分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是AA1上靠近点A的三等分点，在线段DD1上是否存在一点G，使CG∥EF？若存在，求出点G的位置，若不存在，说明理由．
解：存在．如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则E(1，，0)，F(1，0，)，C(0，1，0)，假设在DD1上存在一点G，使CG∥EF，则∥，由于点G在 轴上，设G(0，0， )，∴＝(0，－，)，＝(0，－1， )．
∵∥，∴＝λ，即(0，－1， )＝λ(0，－，)，
∴解得
由于 ＝∈[0，1]，所以点G在线段DD1上，其坐标为(0，0，)，
故在线段DD1上存在一点G，使CG∥EF，点G是DD1上靠近点D1的三等分点．
19．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，且∠ACB＝90°，AC＝BC＝CP＝2.
(1)求二面角B-AP-C的余弦值；
(2)求点C到平面PAB的距离．
解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系．
则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)．
易得面PAC的法向量为n1＝(1，0，0)，
＝(0，2，－2)，＝(2，0，－2)，
n2＝(x，y， )为平面PAB的法向量，
∴，即.
可取n2＝(1，1，1)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.
∴二面角B-AP-C的余弦值为.
(2)d＝＝＝，
∴点C到平面PAB的距离为.
20．(本小题满分13分)
已知在几何体A-BCED中，∠ACB＝90°，CE⊥平面ABC，平面BCED为梯形，且AC＝CE＝BC＝4，DB＝1.
(1)求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
(2)试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ，并说明理由．
解：(1)由题知，CA，CB，CE两两垂直，以C为原点，以CA，CB，CE所在直线分别为x，y， 轴建立空间直角坐标系．
则A(4，0，0)，B(0，4，0)，D(0，4，1)，E(0，0，4)，
∴＝(0，－4，3)，＝(－4，4，0)，
∴cos〈，〉＝－，
∴异面直线DE与AB所成角的余弦值为.
(2)设满足题设的点Q存在，其坐标为(0，m，n)，则＝(－4，m，n)，
＝(0，m－4，n)，＝(0，m，n－4)，＝(0，4－m，1－n)．
∵AQ⊥BQ，∴m(m－4)＋n2＝0，①
∵点Q在ED上，∴存在λ∈R(λ＞0)使得＝λ，
∴(0，m，n－4)＝λ(0，4－m，1－n)，∴m＝，②
n＝.③
由①②③得＝，
∴λ2－8λ＋16＝0，解得λ＝4.
∴m＝，n＝.
∴满足题设的点Q存在，其坐标为.