第三章检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为32,且过点(2,0)的椭圆的方程是( )
A.x24+y2=1
B.x24+y2=1或x2+y24=1
C.x2+4y2=1
D.x2+4y2=4或4x2+y2=16
解析:若焦点在x轴上,则a=2.
又e=32,∴c=3,
∴b2=a2-c2=1,
∴椭圆的方程为x24+y2=1,即x2+4y2=4.
若焦点在y轴上,则b=2.
又e=32,∴b2a2=1?34=14,
∴a2=4b2=16,
∴椭圆的方程为x24+y216=1,
即4x2+y2=16.
答案:D
2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为( )
A.14,±24B.18,±24
C.14,24D.18,24
答案:B
3.设a>1,则双曲线x2a2?y2(a+1)2=1的离心率e的取值范围是( )
A.(2,2)B.(2,5)C.(2,5)D.(2,5)
解析:依题可知离心率e=a2+(a+1)2a
=2a2+2a+1a=2+2a+1a2=1a+12+1.
∵a>1,
∴0<1a<1,
∴1a+12∈(1,4),∴e∈(2,5).
答案:B
4.以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线x29?y216=1的渐近线相切的圆的方程为( )
A.(x-5)2+y2=16 B.(x+5)2+y2=16
C.(x-10)2+y2=16 D.(x+10)2+y2=16
解析:双曲线的渐近线方程为y=±43x,取其中一条渐近线4x+3y=0,抛物线的焦点为(5,0),到4x+3y=0的距离为2042+32=4,所以圆的方程为(x-5)2+y2=16.
答案:A
5.若点P(x,y)在椭圆x225+y216=1上,则x2+y2?6x+9的最大值和最小值分别为( )
A.8和2 B.64和4
C.4和2 D.8和6
答案:B
6.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.(0,1) B.0,12
C.0,22D.22,1
解析:由题意知,点M的轨迹为以焦距为直径的圆,
则c又e∈(0,1),∴e∈0,22.
答案:C
7.一动圆P与圆O:x2+y2=1外切,而与圆C:x2+y2-6x+8=0内切,则动圆的圆心P的轨迹是( )
A.双曲线的一支 B.椭圆
C.抛物线 D.圆
解析:圆C的方程即(x-3)2+y2=1,圆C与圆O相离,设动圆P的半径为R.
∵圆P与圆O外切而与圆C内切,
∴R>1,且|PO|=R+1,|PC|=R-1.
又|OC|=3,∴|PO|-|PC|=2<|OC|,即点P在以O,C为焦点的双曲线的右支上.故选A.
答案:A
8.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )
A.(0,2) B.[0,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
解析:因为x2=8y,所以焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.
由抛物线的定义知|MF|=y0+2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.
因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,且圆心F到准线的距离为4,所以42.
答案:C
9.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若FP=4FQ,则|QF|=( )
A.72B.3C.52D.2
解析:如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4.过Q作QH⊥l于H,则|QH|=|QF|.
由题意,得△PHQ∽△PMF,
则有|HQ||MF|=|PQ||PF|=34,
∴|HQ|=3.∴|QF|=3.
答案:B
10.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
A.334B.938
C.6332D.94
解析:由已知得F34,0,故直线AB的方程为y=tan 30°x-34,即y=33x?34.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立y=33x-34,y2=3x, ①??②
将①代入②并整理得13x2?72x+316=0,
∴x1+x2=212,
∴线段|AB|=x1+x2+p=212+32=12.
又原点(0,0)到直线AB的距离为d=3413+1=38.
∴S△OAB=12|AB|d=12×12×38=94.
答案:D
11.设e1,e2为焦点在x轴上且具有公共焦点F1,F2的标准椭圆和标准双曲线的离心率,O为坐标原点,P为两曲线的一个公共点,且满足2|OP|=|F1F2|,则e1e2e12+e22的值为( )
A.2 B.22C.2D.1
解析:如图所示,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,它们的半焦距为c,
设|PF1|=m,|PF2|=n,m>n,则由椭圆和双曲线的定义可知m+n=2a1,m-n=2a2,
解得m=a1+a2,n=a1-a2.
因为2|OP|=|F1F2|,
所以PF1⊥PF2,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即m2+n2=4c2,(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,
即a12+a22=2c2,得1e12+1e22=2,
所以e1e2e12+e22=22.
答案:B
12.已知抛物线y2=4x的焦点为F,A,B是抛物线上横坐标不相等的两点,若AB的垂直平分线与x轴的交点为(4,0),则|AB|的取值范围为( )
A.(0,4) B.(0,8) C.(0,6) D.(0,10)
解析:由题意,得F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(4,0),
由|MA|2=|MB|2,得(4-x1)2+y12=(4?x2)2+y22.
将y12=4x1,y22=4x2代入上式并展开,得16-8x1+x12+4x1=16?8x2+x22+4x2,即x12?x22=4x1?4x2,
所以x1+x2=4,所以|AB|≤|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=6,当且仅当A,B,F三点共线时取等号,所以|AB|max=6.
故|AB|的取值范围为(0,6).
答案:C
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.如图所示,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则ba= .?
解析:由题意,知Ca2,-a,Fb+a2,b.
又C,F在抛物线y2=2px(p>0)上,
所以a2=2p×a2, ①b2=2pb+a2,②
由②÷①,得b2a2=2b+aa,即b2-2ba-a2=0,
解得ba=1±2(负值舍去).故ba=1+2.
答案:1+2
14.已知椭圆C:x29+y24=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .?
解析:如图所示,设MN的中点为P,则由F1是AM的中点,可知|AN|=2|PF1|.
同理可得|BN|=2|PF2|.
∴|AN|+|BN|
=2(|PF1|+|PF2|).
根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴|AN|+|BN|=12.
答案:12
15.以下关于圆锥曲线的命题中:
①设A,B为两个定点,k为非零常数,|PA|?|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线;②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=12(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆;③方程2x2?5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线x225?y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点.
其中真命题的序号为 .?
解析:对于①,其中的常数k与A,B间的距离大小关系不定,所以动点P的轨迹未必是双曲线;对于②,动点P的轨迹为圆;对于③④,显然成立.
答案:③④
16.已知A,B,P是双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上不同的三个点,且A,B的连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率的乘积kPA·kPB=23,则该双曲线的离心率为 .?
解析:因为A,B的连线经过坐标原点,所以A,B关于原点对称,设P(x0,y0),A(x1,y1),B(-x1,-y1),由A,B,P在双曲线上得x02a2?y02b2=1,x12a2?y12b2=1,两式相减并变形得y02-y12x02-x12=b2a2,所以kPA·kPB=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12=b2a2=23,即c2-a2a2=e2?1=23,e=153.
答案:153
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为32,6,求抛物线方程和双曲线方程.
解由题意可知抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线经过双曲线的左焦点,所以p=2c.
设抛物线的方程为y2=4cx.因为抛物线过点32,6,所以6=4c×32,即c=1,
抛物线方程为y2=4x.
由双曲线过点32,6,且c=1,
所以94a2-6b2=1,a2+b2=1,化简得94a2?61-a2=1,
解得a2=14或a2=9(舍去),所以b2=34,
所以双曲线方程为4x2?4y23=1.
18.(12分)过点(1,0)的直线l与中心在原点、焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A,B两点,直线y=12x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.
解由e=ca=22,得a2-b2a2=12,
所以a2=2b2,所以c=b.
设椭圆的方程为x2+2y2=2b2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,
两式相减,得(x12?x22)+2(y12?y22)=0,
所以y1-y2x1-x2=?x1+x22(y1+y2).
设线段AB中点的坐标为(x0,y0),则kAB=?x02y0.
又点(x0,y0)在直线y=12x上,则y0=12x0,
所以kAB=-1,则直线l的方程为y=-x+1.
设右焦点(b,0)关于l的对称点坐标为(x',y'),
则y'x'-b=1,y'2=-x'+b2+1,解得x'=1,y'=1-b.
由点(1,1-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,
所以b=34,所以b2=916,a2=98.
故所求椭圆C的方程为8x29+16y29=1,直线l的方程为y=-x+1.
19.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于55?若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由.
解(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p,∴p=2.
故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.
由y=-2x+t,y2=4x,得y2+2y-2t=0.
∵直线l与抛物线C有公共点,
∴Δ=4+8t≥0,解得t≥?12.
由直线OA与l的距离d=55,
得|t|5=55,解得t=±1.
∵-1?-12,+∞,
∴t=1,
∴符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
20.(12分)已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62,且它的一个顶点到较近焦点的距离为3?2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若C的左、右顶点分别为A1,A2,点P,Q是双曲线上不同的两个关于x轴的对称点,求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程.
解(1)由题意知c-a=3?2, ①
且e=ca=62,即c=62a, ②
由①②联立,得a=2,c=3,所以b=1,故双曲线C的方程为x22?y2=1.
(2)设M(x,y),P(x1,y1),则Q(x1,-y1).
因为A1(?2,0),A2(2,0),
所以yx+2=y1x1+2, ③yx-2=-y1x1-2,④
两式相除得xx1=2,x≠0,x1=2x,将x1=2x代入③式得y1=2yx.
因为点P(x1,y1)在双曲线x22?y2=1上,
所以x122?y12=1,2x2?2y2x2=1,
即x22+y2=1,故点M的轨迹方程为x22+y2=1(x≠0,且x≠±2).
21.(12分)已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),左、右焦点分别为F1,F2,焦距为4,点M是椭圆C上一点,满足∠F1MF2=60°,且S△F1MF2=433.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P(0,2)分别作直线PA,PB交椭圆C于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,求证:直线AB过定点.
(1)解在△F1MF2中,设|F1M|=r1,|F2M|=r2,
由余弦定理得4c2=r12+r22?2r1r2cos 60°,
即4c2=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos 60°,
即4c2=(r1+r2)2-3r1r2,得3r1r2=4b2.
因为S△F1MF2=12r1r2sin 60°=433,r1r2=4b23,
所以b2=4.
又因为2c=4,所以a2=b2+c2=8,故所求椭圆的方程为x28+y24=1.
(2)证明显然直线AB的斜率k存在,
设直线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=kx+m,x2+2y2=8,得x2+2(kx+m)2=8,
即(2k2+1)·x2+4kmx+2m2-8=0,
所以Δ=(4km)2-4(2k2+1)(2m2-8)≥0,
x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2(m2-4)2k2+1.
由k1+k2=4,得y1-2x1+y2-2x2=4.
因为y1=kx1+m,y2=kx2+m,
所以kx1+m-2x1+kx2+m-2x2=4,
2k+(m-2)(x1+x2)x1x2=4,
2k+(m-2)-4km2k2+12(m2-4)2k2+1=4,
所以m=k-2,
所以y=k(x+1)-2,故直线AB过定点(-1,-2).
22.(12分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设椭圆E:x24a2+y24b2=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
①求|OQ||OP|的值;
②求△ABQ面积的最大值.
解(1)由题意知2a=4,则a=2.
又ca=32,a2?c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为x216+y24=1.
①设P(x0,y0),|OQ||OP|=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).
因为x024+y02=1,又(-λx0)216+(-λy0)24=1,
即λ24x024+y02=1,所以λ=2,即|OQ||OP|=2.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),
将y=kx+m代入椭圆E的方程,
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,
由Δ>0,可得m2<4+16k2. ①
则有x1+x2=?8km1+4k2,x1x2=4m2-161+4k2.
所以|x1-x2|=416k2+4-m21+4k2.
因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),
所以△OAB的面积S=12|m||x1?x2|
=216k2+4-m2|m|1+4k2=2(16k2+4-m2)m21+4k2=24-m21+4k2m21+4k2.
设m21+4k2=t.
将y=kx+m代入椭圆C的方程,
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ≥0,可得m2≤1+4k2. ②
由①②可知0因此S=2(4-t)t=2-t2+4t.
故S≤23,
当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值23.
由①知,△ABQ面积为3S,
所以△ABQ面积的最大值为63.