§1.3 算法案例(一)
学习目标 1.了解辗转相除法与更相减损术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.3.对简单的案例能设计程序框图并写出算法程序.
知识点一 求两个数的最大公约数的算法
思考 注意到8 251＝6 105×1＋2 146，那么8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系？
答案 显然8 251与6 105的公约数也必是2 146的约数，同样6 105与2 146的公约数也必是8 251的约数，所以8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.
梳理 求两个数的最大公约数有2种算法：
(1)辗转相除法
①辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法.
②辗转相除法的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；
否则，返回第二步.
(2)更相减损术的运算步骤
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
知识点二 求n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值的算法
求n次多项式的值的算法，有一种比较好的算法叫秦九韶算法.
秦九韶算法的一般步骤：
把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：
(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
…
vn＝vn－1x＋a0，
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.
1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( √ )
2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法.( × )
3.编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句.( √ )
类型一 辗转相除法
例1 试用辗转相除法求325,130,270的最大公约数.
考点 辗转相除法
题点 利用辗转相除法求三个数的最大公约数
解 ∵325＝130×2＋65,130＝65×2，∴325与130的最大公约数是65.∵270＝65×4＋10,65＝10×6＋5,10＝5×2，∴65与270的最大公约数是5，故325,130,270这三个数的最大公约数为5.
反思与感悟 辗转相除法的实质：对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的小数就是原来两个正整数的最大公约数.
跟踪训练1 用辗转相除法求204与85的最大公约数时，需要做除法的次数是 .
考点 辗转相除法
题点 用辗转相除法求两个数的最大公约数
答案 3
解析 用辗转相除法可得204÷85＝2……34,85÷34＝2……17,34÷17＝2，此时可以判断204与85的最大公约数是17，做了3次除法得出结果.
类型二 更相减损术
例2 试用更相减损术求612,396的最大公约数.
考点 更相减损术
题点 利用更相减损术求最大公约数
解 方法一 612÷2＝306,396÷2＝198,306÷2＝153,198÷2＝99，∴153－99＝54,99－54＝45,54－45＝9,45－9＝36,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9.∴612,396的最大公约数为9×22＝36.
方法二 612－396＝216,396－216＝180,216－180＝36,180－36＝144,144－36＝108,108－36＝72,72－36＝36.故36为612,396的最大公约数.
反思与感悟 用更相减损术的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n，不妨设m＞n.
第二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n.
第三步，d＝m－n.
第四步，判断“d≠n”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2kd(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数.
跟踪训练2 用更相减损术求261和319的最大公约数.
考点 更相减损术
题点 利用更相减损术求最大公约数
解 ∵319－261＝58，
261－58＝203，
203－58＝145，
145－58＝87，
87－58＝29，
58－29＝29，
∴319与261的最大公约数为29.
类型三 秦九韶算法的应用
例3 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值.
考点 秦九韶算法
题点 利用秦九韶算法求多项式的值
解 f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1
＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.
当x＝－2时，有
v0＝1；
v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；
v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；
v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；
v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；
v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.
故f(－2)＝－1.
反思与感悟 (1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可.这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量.若用计算机计算，则可提高运算效率.
(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·xn.
跟踪训练3 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值.
考点 秦九韶算法
题点 利用秦九韶算法求多项式的值
解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：
v0＝1；
v1＝1×2－12＝－10；
v2＝－10×2＋60＝40；
v3＝40×2－160＝－80；
v4＝－80×2＋240＝80；
v5＝80×2－192＝－32；
v6＝－32×2＋64＝0.
所以当x＝2时，多项式的值为0.
1.1 337与382的最大公约数是( )
A.3 B.382
C.191 D.201
考点 辗转相除法
题点 利用辗转相除法求两个数的最大公约数
答案 C
解析 1 337＝382×3＋191,382＝191×2，所以1 337与382的最大公约数是191.
2.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )
A.10 B.9
C.12 D.8
考点 秦九韶算法
题点 秦九韶算法中算法的次数问题
答案 C
解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，
∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.
3.用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为 .
考点 更相减损术
题点 更相减损术的应用
答案 先除以2，得到18与67
解析 ∵36与134都是偶数，∴第一步应为先除以2，得到18与67.
4.已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r＜b)成立的q和r的值分别为 .
考点 辗转相除法
题点 辗转相除法的简单应用
答案 13,21
解析 用333除以24，商即为q，余数就是r.333÷24＝13……21.
5.用辗转相除法求85与51的最大公约数时，需要做除法的次数为 .
考点 辗转相除法
题点 辗转相除法中除法次数问题
答案 3
解析 85＝51×1＋34，
51＝34×1＋17，
34＝17×2＋0.
1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数.
2.更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.
3.用秦九韶算法求多项式f(x)当x＝x0的值的思路为(1)改写；(2)计算
(3)结论f(x0)＝vn.
一、选择题
1.1 037和425的最大公约数是( )
A.51 B.17
C.9 D.3
考点 辗转相除法
题点 利用辗转相除法求两个数的最大公约数
答案 B
解析 ∵1 037＝425×2＋187，
425＝187×2＋51，
187＝51×3＋34，
51＝34×1＋17，
34＝17×2，
即1 037和425的最大公约数是17.
2.利用秦九韶算法求当x＝2时，f(x)＝1＋2x＋3x2＋4x3＋5x4＋6x5的值，下列说法正确的是( )
A.先求1＋2×2
B.先求6×2＋5，第二步求2×(6×2＋5)＋4
C.用f(2)＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25直接运算求解
D.以上都不正确
考点 秦九韶算法
题点 利用秦九韶算法求多项式的值
答案 B
3.45和150的最大公约数和最小公倍数分别是( )
A.5,150 B.15,450
C.450,15 D.15,150
考点 辗转相除法
题点 利用辗转相除法求两个数的最大公约数
答案 B
解析 利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150＝45×3＋15,45＝15×3，所以45和150的最大公约数为15.所以45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B.
4.用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( )
A.5,4 B.5,5
C.4,4 D.4,5
考点 秦九韶算法
题点 秦九韶算法中的算法次数问题
答案 D
解析 n次多项式，当最高次项的系数不为1时，需进行n次乘法；若各项均不为0，则需进行n次加法(或减法)，缺一项就减少一次加法(或减法)运算，而这个5次多项式的5次项系数不为1，缺常数项，因而乘法次数为5，加法(或减法)次数为5－1＝4.故选D.
5.运行下面的程序，当输入168,72时，输出的结果是( )
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL r＝0
PRINT m
END
A.12 B.24
C.36 D.72
考点 辗转相除法
题点 和辗转相除法有关的程序问题
答案 B
解析 分析程序可知，该程序是求168和72的最大公约数，故应输出的结果是24.
6.用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4当x＝－1时的值时，v2的结果是( )
A.－4 B.－1
C.5 D.6
考点 秦九韶算法
题点 利用秦九韶算法求多项式的值
答案 D
解析 此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式
得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5，v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6，故选D.
7.三个数4 557,1 953,5 115的最大公约数是( )
A.31 B.93
C.217 D.651
考点 辗转相除法
题点 利用辗转相除法求三个数的最大公约数
答案 B
8.已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算当x＝3时的值时，v3的值为( )
A.27 B.11
C.109 D.36
考点 秦九韶算法
题点 利用秦九韶算法求多项式的值
答案 D
解析 将函数式化成如下形式，
f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1.
由内向外依次计算：
v0＝1，
v1＝1×3＋0＝3，
v2＝3×3＋2＝11，
v3＝11×3＋3＝36，
v4＝36×3＋1＝109，
v5＝109×3＋1＝328.
9.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a等于( )
A.0 B.2 C.4 D.14
考点 更相减损术
题点 和更相减损术有关的程序问题
答案 B
解析 开始：a＝14，b＝18，
第一次循环：a＝14，b＝4；第二次循环：a＝10，b＝4；
第三次循环：a＝6，b＝4；第四次循环：a＝2，b＝4；
第五次循环：a＝2，b＝2.
此时，a＝b，退出循环，输出a＝2.
二、填空题
10.用辗转相除法计算60和48的最大公约数，需要做的除法次数是 .
考点 辗转相除法
题点 利用辗转相除法求两个数的最大公约数
答案 2
解析 60＝48×1＋12,48＝12×4，故需做2次除法.
11.用更相减损术求459和357的最大公约数，需进行减法的次数为 .
考点 更相减损术
题点 更相减损术中减法次数问题
答案 5
解析 利用更相减损术，有459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，共进行了5次减法.
12.用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6当x＝－1时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，v6＝v5x＋a0，则v3的值是 .
考点 秦九韶算法
题点 利用秦九韶算法求多项式的值
答案 －15
解析 f(x)＝x6－5x5＋6x4－3x3＋1.8x2＋0.35x＋2＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2，
所以v0＝1，v1＝1×(－1)－5＝－6，
v2＝(－6)×(－1)＋6＝12，
v3＝12×(－1)－3＝－15.
三、解答题
13.用辗转相除法和更相减损术两种方法，求三个数72,120,168的最大公约数.
考点 更相减损术
题点 辗转相除法与更相减损术的综合应用
解 (辗转相除法)：
先求120,168的最大公约数.
因为168＝120×1＋48,120＝48×2＋24,48＝24×2，
所以120,168的最大公约数是24.
再求72,24的最大公约数.
因为72＝24×3，所以72,24的最大公约数为24，
即72,120,168的最大公约数为24.
(更相减损术)：
先求120,168的最大公约数.
168－120＝48,120－48＝72,72－48＝24,48－24＝24，
所以120,168的最大公约数为24.
再求72,24的最大公约数.
72－24＝48,48－24＝24，
所以72,24的最大公约数为24，
即72,120,168的最大公约数为24.
四、探究与拓展
14.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )
A.9 B.18
C.20 D.35
考点 秦九韶算法
题点 和秦九韶算法有关的程序问题
答案 B
解析 初始值n＝3，x＝2，
程序运行过程如下：
v＝1
i＝2 v＝1×2＋2＝4
i＝1 v＝4×2＋1＝9
i＝0 v＝9×2＋0＝18
i＝－1 跳出循环，输出v＝18，故选B.
15.用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值.
考点 秦九韶算法
题点 利用秦九韶算法求多项式的值
解 将f(x)写为f(x)＝((((x＋0)·x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.
按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：
v0＝1，
v1＝1×0.3＋0＝0.3，
v2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2，
v3＝0.2×0.3＋0＝0.06，
v4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132，
v5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.
∴当x＝0.3时，f(x)的值为－0.079 6.
§1.3 算法案例(二)
学习目标 1.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制.2.学会各种进位制转换成十进制的计算方法.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律.
知识点一 进位制
思考 59分59秒再过1秒是多少时间？
答案 1小时.
上述计时法遵循的是满60进一，称为六十进制.类比给出k进制的概念.“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.
梳理 一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式anan－1…a1a0(k)(an，an－1，…，a1，a0∈N,0
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10(2)，六进制数341(6)，十进制数一般不标注基数.
知识点二 k进制化为十进制
思考 2小时3分4秒共多少秒？
答案 共2×602＋3×60＋4＝7 384秒.
梳理 一般地，将k进制数anan－1…a1a0(k)转化为十进制：
anan－1…a1a0(k)＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.
知识点三 除k取余法
思考 7 384秒是多少小时多少分多少秒？
答案 7 384＝123×60＋4，即123分钟4秒.而123分钟＝2×60＋3，即2小时3分.故7 384秒是2小时3分4秒.
梳理 一般地，把十进制的数化为k进制的数的方法是：
把十进制数除以k，余数为k进制的个位数.把商再除以k，余数为k进制倒数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法.
1.二进制数中可以出现数字3.( × )
2.把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法.( √ )
3.不同进制数之间可以相互转化.( √ )
类型一 k进制化为十进制
例1 二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化为十进制
解 110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.
反思与感悟 将k进制数anan－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数anan－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数.
跟踪训练1 (1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数.
(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数.
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
解 (1)1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.
(2)314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.
所以，化为十进制数是104 902.
类型二 十进制化k进制
例2 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.
考点 十进位制化k进制
题点 十进位制化其它进制
解 算式如图，
则458＝13 022(4)＝2 042(6).
反思与感悟 十进制数化为k进制数的思路为
→→.
跟踪训练2 把89化为二进制数.
考点 十进位制化k进制
题点 十进位制化二进制
解 算式如图，
则89＝1 011 001(2).
类型三 两种非十进制互化
例3 324(5)化为二进制数是________.
考点 k进制化十进制
题点 其它进制之间的互化
答案 1 011 001(2)
解析 先将五进制数324(5)化为十进制数：324(5)＝3×52＋2×5＋4＝89，再把十进制数89化成二进制数的算法
如图.
得1 011 001(2)，∴324(5)化为二进制数是1 011 001(2).
反思与感悟 两种非十进制之间转化以十进制为中转站.
跟踪训练3 将七进制数235(7)化为八进制数为________.
考点 k进制化十进制
题点 其它进制之间的互化
答案 174(8)
解析 235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124，
利用除8取余法可得124＝174(8)，
所以235(7)＝174(8).
1.已知175(r)＝125(10)，则r的值为( )
A.1 B.5
C.3 D.8
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制中的运算
答案 D
解析 ∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15(舍去)，∴r＝8，故选D.
2.下列各数中，最小的数是( )
A.85(9) B.210(6)
C.1 000(4) D.111 111(2)
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制中的运算
答案 D
解析 85(9)＝8×9＋5＝77,210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78,1 000(4)＝1×43＝64,111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63.故最小的是63.
3.把189化为三进制数，则末位数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
考点 十进位制化k进制
题点 十进位制化其它进制
答案 A
解析 采用“除k取余法”，得
即189＝21 000(3).
4.已知1 0b1(2)＝a02(3)，则a＋b的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
考点 k进位制化十进制
题点 其它进制之间的互化
答案 C
解析 ∵1 0b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，
a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，
∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.
∵a∈{1,2}，b∈{0,1}，
∴当a＝1，b＝1时符合题意，
当a＝2，b＝时不合题意，
∴a＝1，b＝1，即a＋b＝2，
故选C.
5.(1)将二进制数(2)转化成十进制数；
(2)将53(8)转化为二进制数.
考点 k进位制化十进制
题点 其它进位制之间的互化
解 (1)(2)＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.
(2)先将八进制数53(8)转化为十进制数：
53(8)＝5×81＋3×80＝43；
再将十进制数43转化为二进制数的算法如图.
所以53(8)＝101 011(2).
1.要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和.
2.十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：
3.把一个非十进制数化为另一个非十进制数时，要先把这个数化为十进制数，再利用“除k取余法”化为另一个非十进制数.
一、选择题
1.下列各数可能是五进制数的是( )
A.55 B.106
C.732 D.2 134
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制的概念
答案 D
解析 五进制数的基数是5，在所构成的数中，只可能用0,1,2,3,4这5个数字.
2.下列写法正确的是( )
A.751(16) B.751(7)
C.095(12) D.901(2)
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制的概念
答案 A
解析 七进制不可能有数字7，二进制也不可能有数字9，B，D错. C项首位为0，也错.
3.两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为( )
A.12 B.11
C.10 D.9
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 B
解析 101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5,110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.即和为5＋6＝11.
4.四位二进制数能表示的最大十进制数是( )
A.4 B.64
C.255 D.15
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 D
解析 由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大，
此时，1 111(2)＝15.
5.已知44(k)＝36，把67(k)转化为十进制数为( )
A.8 B.55
C.56 D.62
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 B
解析 由题意得，36＝4×k1＋4×k0，所以k＝8.
则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.
6.下列与二进制数1 001 101(2)相等的是( )
A.115(8) B.113(8)
C.114(8) D.116(8)
考点 k进位制化十进制
题点 其它进位制间的互化
答案 A
解析 先化为十进制数：
1 001 101(2)＝1×26＋1×23＋1×22＋1×20＝77，
再化为八进制：
所以77＝115(8)，
所以1 001 101(2)＝115(8).
7.已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于( )
A.7或4 B.－7
C.4 D.都不对
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 C
解析 132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，
∴k2＋3k＋2＝30，
即k2＋3k－28＝0，
解得k＝4或k＝－7(舍去).
8.三位七进制数中的最大数表示的十进制的数是( )
A.322 B.402
C.342 D.365
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 C
解析 三位七进制数中的最大数为666(7)，则转化为十进制为666(7)＝6×72＋6×71＋6×70＝294＋42＋6＝342.
9.下列四个数最大的是( )
A.322(7) B.402(6)
C.342(7) D.355(6)
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 C
解析 342(7)＝3×72＋4×7＋2＝177，
402(6)＝4×62＋0×6＋2＝146.
所以342(7)＞402(6).
而342(7)＞322(7)，402(6)＞355(6)，
所以最大的数是342(7).
10.类似于十进制中的逢10进1，十二进制的进位原则是逢12进1，采用数字0,1,2，…，9和字母M，N作计数符号，这些符号与十进制的数字对应关系如下表：
十二进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
M
N
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
例如，因为563＝3×122＋10×12＋11，所以十进制中的563在十二进制中就表示为3MN.那么十进制中的2 008在十二进制中被表示为( )
A.1 1N4 B.1 N25
C.1 2N4 D.1 N24
考点 十进位制化k进制
题点 十进位制化其它进制
答案 A
解析 利用除12取余法得
∴2 008(10)＝1 1N4(12).
二、填空题
11.若146(x)＝66，则x的值为________.
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 6
解析 146(x)＝1×x2＋4×x＋6×x0＝66.
可得x＝6.
12.若6×6＝44，则在这种进制里的数76记成十进制数是________.
考点 k进制化十进制
题点 k进位制中的运算
答案 62
解析 设44为k进制数，而6×6＝36，
∴44(k)＝36.
∴4×k＋4＝36，∴k＝8.
故76(8)＝7×8＋6＝62.
三、解答题
13.将五进制数44(5)转化为二进制数.
考点 k进位制化十进制
题点 其它进制之间的互化
解 44(5)＝4×51＋4×50＝24，
所以24＝11 000(2)，即44(5)＝11 000(2).
四、探究与拓展
14.已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________________.
考点 k进制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 33(4)<12(16)<25(7)
解析 将三个数都化为十进制数.
12(16)＝1×16＋2＝18,25(7)＝2×7＋5＝19，
33(4)＝3×4＋3＝15，
∴33(4)<12(16)<25(7).
15.十六进制数与十进制数的对应如表：
十六进制数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
D
E
F
十进制数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
例如：A＋B＝11＋12＝16＋7＝F＋7＝17(16)，所以A＋B的值用十六进制表示就等于17(16).
试计算：A×B＋D＝________.(用十六进制表示)
考点 k进位制化十进制
题点 k进位制化十进制
答案 92(16)
解析 ∵A×B＋D＝11×12＋14＝146，
146÷16＝9…2,9÷16＝0…9，
∴用十六进制表示146为92(16).
