§1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
学习目标 1.了解算法的含义和特征.2.会用自然语言描述简单的具体问题的算法.
知识点一 算法的概念
思考 解决一个问题的算法是唯一的吗？
答案 不唯一.如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种，但不同的算法有优劣之分.
梳理 算法的概念
12世纪的算法
是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程
数学中的算法
通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤
现代算法
通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题
知识点二 算法的特征
算法的五个特征
(1)有限性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止.
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的.
(3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列.
(4)普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题.
(5)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法.
特别提醒：判断一个问题是不是算法，关键是明确算法的含义及算法的特征.
知识点三 算法的设计
思考 自然语言是唯一描述算法的语言吗？
答案 不是.描述算法可以有不同的方式，常用的有自然语言、框图(流程图)、程序设计语言等.
梳理 (1)设计算法的目的
设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法，它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的.
(2)设计算法的要求
①写出的算法必须能解决一类问题.
②要使算法尽量简单、步骤尽量少.
③要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.
1.算法是解决一个问题的方法.( × )
2.一个算法可以产生不确定的结果.( × )
3.算法的步骤必须是明确的、有限的.( √ )
类型一 算法概念的理解
例1 下列关于算法的说法，正确的个数有( )
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
④算法执行后一定产生确定的结果.
A.1 B.2
C.3 D.4
考点 算法的概念
题点 算法概念的辨析
答案 C
解析 由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错.
反思与感悟 算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常用来解决某一个或某一类问题，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想.
跟踪训练1 下列说法中是算法的有________.(填序号)
①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；
②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；
③求以A(1,1)，B(－1，－2)两点为端点的线段AB的中垂线方程，可先求出AB的中点坐标，再求kAB及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB的中垂线方程；
④求1×2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6,6×4＝24，得最终结果为24；
⑤x＞2x＋4.
考点 算法的概念
题点 算法的步骤问题
答案 ①②③④
解析 ①说明了从上海到拉萨的行程安排；
②给出了解一元一次不等式这类问题的解法；
③给出了求线段的中垂线的方法及步骤；
④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果.
故①②③④都是算法.
类型二 算法的阅读理解
例2 下面算法要解决的问题是__________________________________________________.
第一步，输入三个数，并分别用a，b，c表示.
第二步，比较a与b的大小，如果a第三步，比较a与c的大小，如果a第四步，比较b与c的大小，如果b第五步，输出a，b，c.
考点 算法的特点
题点 算法特点的辨析
答案 输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出
解析 第一步是给a，b，c赋值.
第二步运行后a>b.
第三步运行后a>c.
第四步运行后b>c，所以a>b>c.
第五步运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列.
反思与感悟 一个算法的作用往往并不显而易见，这需要我们结合具体数值去执行一下才
知道.
跟踪训练2 下面给出了一个问题的算法：
第一步，输入a.
第二步，若a≥3，则执行第三步，否则执行第四步.
第三步，输出a＋5.
第四步，输出3a＋4.
这个算法解决的问题是_________________________________________________________.
考点 算法的特点
题点 具体问题的算法设计
答案 求函数f(x)＝
当x＝a时的函数值f(a).
类型三 算法的设计与应用
例3 有一个底面半径为3，母线为5的圆锥，写出求该圆锥体积的算法.
考点 算法的设计与应用
题点 数值型的算法设计
解 如图，先给r，l赋值，计算h，再根据圆锥体积公式V＝πr2h计算V，然后输出结果.
第一步，令r＝3，l＝5.
第二步，计算h＝.
第三步，计算V＝πr2h.
第四步，输出运算结果.
反思与感悟 利用公式解决问题时，必须先求出公式中的各个量，在设计算法时，应优先考虑未知量的求法.
跟踪训练3 已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积.设计一个算法解决这个问题.
考点 算法的设计与应用
题点 其它数值型的算法设计
解 第一步，输入a的值.
第二步，计算l＝的值.
第三步，计算S＝×l2的值.
第四步，输出S的值.
例4 所谓正整数p为素数是指：p的所有约数只有1和p.例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n(n＞1)是否为素数的算法.
考点 算法的设计与应用
题点 循环型算法设计
解 算法如下：
第一步，给出任意一个正整数n(n＞1).
第二步，若n＝2，则输出“2是素数”，判断结束.
第三步，令m＝1.
第四步，将m的值增加1，仍用m表示.
第五步，如果m≥n，则输出“n是素数”，判断结束.
第六步，判断m能否整除n，
①如果能整除，则输出“n不是素数”，判断结束；
②如果不能整除，则转第四步.
反思与感悟 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤
(1)认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法.
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述.
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤.
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来.
跟踪训练4 判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？
考点 算法的设计与应用
题点 循环型算法设计
解 第一步，给定大于2的整数n.
第二步，令i＝2.
第三步，用i除n，得到余数r.
第四步，判断“r＝0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.
第五步，判断“i>(n－1)”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.
1.下列关于算法的说法正确的是( )
A.一个算法的步骤是可逆的
B.描述算法可以有不同的方式
C.算法可以看成是按照要求设计好的、有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题
D.算法只能用一种方式显示
考点 算法的概念
题点 算法概念的辨析
答案 B
解析 由算法的定义知A，C，D错.
2.计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是( )
①S＝＋＋＋…＋；
②S＝＋＋＋…＋＋…；
③S＝＋＋＋…＋(n≥1，n∈N*).
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
考点 算法的特点
题点 判断问题是否可以设计算法求解
答案 B
解析 由算法的有限性知②不能设计算法求解，①③都能通过有限步输出确定结果.
3.已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：
(1)计算c＝；
(2)输入直角三角形两直角边长a，b的值；
(3)输出斜边长c的值.
其中正确的顺序是________.
考点 算法的特点
题点 具体问题的算法设计
答案 (2)(1)(3)
解析 算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算.
4.下面是解决一个问题的算法：
第一步：输入x.
第二步：若x≥4，转到第三步；否则转到第四步.
第三步：输出2x－1.
第四步：输出x2－2x＋3.
当输入x的值为________时，输出的数值最小值为________.
考点 算法的特点
题点 数值型的算法设计
答案 1 2
解析 所给算法解决的问题是求分段函数f(x)＝的函数值问题，当x≥4时，f(x)＝2x－1≥2×4－1＝7；当x＜4时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以f(x)min＝2，此时x＝1.即输入x的值为1时，输出的数值最小，最小值为2.
5.写出解二元一次方程组的算法.
考点 算法的设计与应用
题点 解方程组的算法设计
解 第一步，①＋2×②得7x＝1. ③
第二步，解③得x＝.
第三步，②×3－①×2得7y＝5. ④
第四步，解④得y＝.
第五步，得到方程组的解为
1.算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性.
2.算法设计的要求：
(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用.
(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少.
(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果.
一、选择题
1.下列可以看成算法的是( )
A.学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题
B.今天餐厅的饭真好吃
C.这道数学题难做
D.方程2x2－x＋1＝0无实数根
考点 算法的概念
题点 算法概念的辨析
答案 A
解析 A是学习数学的一个步骤，所以是算法.
2.在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是( )
A.这个算法可以求所有的零点
B.这个算法可以求任何方程的零点
C.这个算法能求所有零点的近似解
D.这个算法可以求变号零点的近似解
考点 算法的特点
题点 判断问题是否可以设计算法求解
答案 D
解析 二分法的理论依据是函数的零点存在性定理.它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值.
3.有蓝、黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，现有空墨水瓶若干，解决这一问题最少需要的步骤数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
考点 算法的设计与应用
题点 应用问题的算法设计
答案 B
解析 第一步，将蓝墨水装到一个空墨水瓶中；第二步，将黑墨水装到黑墨水瓶中；第三步，将蓝墨水装到蓝墨水瓶中，这样就解决了这个问题，故选B.
4.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程.下列选项中最好的一种算法是( )
A.第一步，洗脸刷牙.第二步，刷水壶.第三步，烧水.第四步，泡面.第五步，吃饭.第六步，听广播
B.第一步，刷水壶.第二步，烧水同时洗脸刷牙.第三步，泡面.第四步，吃饭.第五步，听广播
C.第一步，刷水壶.第二步，烧水同时洗脸刷牙.第三步，泡面.第四步，吃饭同时听广播
D.第一步，吃饭同时听广播.第二步，泡面.第三步，烧水同时洗脸刷牙.第四步，刷水壶
考点 算法的设计与应用
题点 应用问题的算法设计
答案 C
解析 最好算法的标准是方便、省时、省力.
A中共需5＋2＋8＋3＋10＋8＝36(min)，
B中共需2＋8＋3＋10＋8＝31(min)，
C中共需2＋8＋3＋10＝23(min)，
D中共需10＋3＋8＋2＝23(min)，但算法步骤不合理，最好的算法为C.
5.对于求18的正因数，给出下列两种算法：
算法1：
第一步，1是18的正因数，将1列出.
第二步，2是18的正因数，将2列出.
第三步，3是18的正因数，将3列出.
第四步，4不是18的正因数，将4剔除.
……
第十八步，18是18的正因数，将18列出.
算法2：
第一步，18＝2×9.
第二步，18＝2×32.
第三步，列出所有的正因数1,2,3,32,2×3,2×32.
则这两个算法( )
A.都正确
B.算法1正确，算法2不正确
C.算法1不正确，算法2正确
D.都不正确
考点 算法的设计与应用
题点 数值型算法设计
答案 A
解析 算法1是用1～18的整数逐一验证，得出正因数.算法2是利用因数分解得到18的正因数.两种算法都正确.故选A.
6.下列各式中T的值不能用算法求解的是( )
A.T＝12＋22＋32＋42＋…＋1002
B.T＝＋＋＋＋…＋
C.T＝1＋2＋3＋4＋5＋…
D.T＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100
考点 算法的特点
题点 判断问题是否可以设计算法求解
答案 C
解析 根据算法的有限性知C不能用算法求解.
7.一个算法步骤如下：
第一步，S取值0，i取值1.
第二步，若i≤9，则执行第三步；否则，执行第六步.
第三步，计算S＋i并用结果代替S.
第四步，用i＋2的值代替i.
第五步，转去执行第二步.
第六步，输出S.
运行以上算法，则输出的结果S等于( )
A.16 B.25
C.36 D.以上均不对
考点 算法的设计与应用
题点 循环型算法设计
答案 B
解析 解本题关键是读懂算法，本题中的算法功能是求S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.
8.对于算法：
第一步，输入n.
第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行第三步.
第三步，依次从2到(n－1)检验能不能被n整除，若不能被n整除，则执行第四步；若能整除n，则结束算法.
第四步，输出n.
满足条件的n是( )
A.质数 B.奇数
C.偶数 D.约数
考点 算法的设计与应用
题点 循环型算法设计
答案 A
解析 此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n－1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数.
9.结合下面的算法：
第一步，输入x.
第二步，判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步.
第三步，输出x－1.
当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( )
A.－1,0,1 B.－1,1,0
C.1，－1,0 D.0，－1,1
考点 算法的概念
题点 算法功能的判断与结果的求解
答案 C
解析 依据算法可知，当x＝－1时，满足x<0，则输出x＋2＝－1＋2＝1；当x＝0时，不满足x<0，则输出x－1＝0－1＝－1；当x＝1时，不满足x<0，则输出x－1＝1－1＝0.故选C.
二、填空题
10.下面给出了解决问题的算法：
第一步：输入x.
第二步：若x≤1，则y＝2x－1，否则y＝x2＋3.
第三步：输出y.
(1)这个算法解决的问题是________；
(2)当输入的x值为________时，输入值与输出值相等.
答案 (1)求分段函数y＝的函数值
(2)1
11.以下是解二元一次方程组的一个算法，请将该算法补充完整.
第一步，①②两式相加得3x＋9＝0.③
第二步，由③式可得________.④
第三步，将④式代入①式得y＝0.
第四步，输出方程组的解为________.
考点 算法的设计与应用
题点 解方程组的算法设计
答案 x＝－3
解析 该算法的流程实质是解二元一次方程组的过程，由消元法易得.
12.下面是求15和18的最小公倍数的算法，其中不恰当的一步是________.
第一步，先将15分解素因数：15＝3×5.
第二步，然后将18分解素因数：18＝32×2.
第三步，确定它们的所有素因数：2,3,5.
第四步，计算出它们的最小公倍数：2×3×5＝30.
考点 算法的特点
题点 具体问题的算法设计
答案 第四步
解析 素因数2,3,5的最高指数是1,2,1，算出它们的最小公倍数为2×32×5＝90.
三、解答题
13.某商场举办优惠促销活动.若购物金额在800元以上(不含800元)，打7折；若购物金额在400元以上(不含400元)，800元以下(含800元)，打8折；否则，不打折.请为商场收银员设计一个算法，要求输入购物金额x，输出实际交款额y.
考点 算法的设计与应用
题点 应用问题的算法设计
解 算法步骤如下：
第一步，输入购物金额x(x>0).
第二步，判断“x>800”是否成立，若是，则y＝0.7x，转第四步；否则，执行第三步.
第三步，判断“x>400”是否成立，若是，则y＝0.8x，转第四步；否则，y＝x.
第四步，输出y，结束算法.
四、探究与拓展
14.如图所示，汉诺塔问题是指有3根杆子A，B，C，杆子上有若干碟子，把所有的碟子从B杆移动到A杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面.把B杆上的3个碟子全部移动到A杆上，最少需要移动的次数是________.
考点 算法的设计与应用
题点 应用问题的算法设计
答案 7
解析 直接进行分析，将最小的碟子命名为①，中间的
碟子命名为②，最大的碟子命名为③，进行如下移动：①→A，②→C，①→C，③→A，①→B，②→A，①→A，此时按要求全部放好，移动7次.
15.给出下列算法：
第一步，输入x的值.
第二步，当x＞4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步.
第三步，计算y＝.
第四步，输出y.
当输入x＝0时，输出y＝________.
考点 算法的特点
题点 具体问题的算法设计
答案 2
解析 0＜4，执行第三步，y＝＝2.
1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
第1课时 程序框图、顺序结构
学习目标 1.了解各种程序框及流程线的功能与作用.2.能够读懂简单的程序框图.3.能够用程序框图表示顺序结构的算法.
知识点一 程序框图
思考 许多办事机构都有工作流程图，你觉得要向来办事的人员解释工作流程，是用自然语言好，还是用流程图好？
答案 使用流程图好.因为使用流程图表达更直观准确.
梳理 (1)程序框图的基本构成
其中程序框图中的图框表示各种操作，图框内的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序.
(2)常见的程序框、流程线及各自表示的功能
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框(执行框)
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框
?
连接点
连接程序框图的两部分
在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序.
(3)算法的逻辑结构
顺序结构、条件结构和循环结构是算法的基本逻辑结构，所有算法都是由这三种基本结构构成的.
知识点二 顺序结构
思考 如何理解顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构？
答案 顺序结构描述的是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按照从上到下的顺序进行的.
梳理 (1)顺序结构的定义
由若干个依次执行的步骤组成的.这是任何一个算法都离不开的基本结构.
(2)结构形式
1.任何一个程序框图必须有起止框.( √ )
2.任何一个算法都离不开顺序结构.( √ )
3.对于一个程序框图来说，判断框内的条件是唯一的.( × )
类型一 程序框的认识和理解
例1 下列说法正确的是( )
A.程序框图中的图形符号可以由个人来确定
B.也可以用来执行计算语句
C.程序框图中可以没有输出框，但必须要有输入框
D.用程序框图表达算法，其优点是算法的基本逻辑结构展现得非常直接
考点 程序框图的概念
题点 程序框图的结构
答案 D
解析 一个完整的程序框图至少要有起止框和输入、输出框，输入、输出框只能用来输入、输出信息，不能用来执行计算.
反思与感悟 (1)理解程序框图中各框图的功能是解此类题的关键，用程序框图表示算法更直观、清晰、易懂.
(2)起止框用表示，是任何流程不可少的，表明程序的开始或结束.
(3)输入、输出框用表示，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，需要输入的字母、符号、数据都填在框内.
(4)处理框用表示，算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内，另外，对变量进行赋值时，也用到处理框.
(5)判断框用表示，是唯一具有超过一个退出点的图形符号.
跟踪训练1 程序框图中表示判断框的是( )
A.矩形框 B.菱形框
C.圆形框 D.椭圆形框
考点 程序框图的概念
题点 程序框图的功能
答案 B
解析 要画好程序框图，就必须准确了解各图形符号的意义，圆角矩形框为起止框，矩形框为执行框，平行四边形框为输入、输出框，菱形框为判断框，故选B.
类型二 利用顺序结构表示算法
例2 已知直角三角形的两条直角边长分别为a，b，设计一个求直角三角形内切圆面积的算法，并画出对应的程序框图.
考点 顺序结构
题点 顺序结构的简单应用
解 算法步骤如下：
第一步，输入直角三角形的直角边长a，b的值.
第二步，计算斜边长c＝.
第三步，计算直角三角形内切圆半径r＝(a＋b－c).
第四步，计算内切圆面积S＝πr2.
第五步，输出S.
程序框图如图.
反思与感悟 在顺序结构中，语句与语句之间、框与框之间是按照从上到下的顺序连接的，中间没有“转弯”，也没有“回头”.
跟踪训练2 利用梯形的面积公式计算上底为2，下底为4，高为5的梯形面积，设计出该问题的算法及程序框图.
考点 顺序结构
题点 顺序结构的简单应用
解 算法如下：
第一步，a＝2，b＝4，h＝5.
第二步，S＝(a＋b)h.
第三步，输出S.
程序框图如图.
类型三 程序框图的应用
例3 一个算法如图，它的功能是什么？
考点 顺序结构
题点 顺序结构的简单应用
解 其功能是求点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离.
反思与感悟 程序框图本身就是为直观清晰表达算法而生，故只需弄清各种程序框、流程线的功能，再依次执行一下程序，不难读懂该图所要表达的算法.
跟踪训练3 写出下列算法的功能：
(1)图①中算法的功能是(a>0，b>0)___________________________________________；
(2)图②中算法的功能是________________.
考点 顺序结构
题点 顺序结构的简单应用
答案 (1)求以a，b为直角边的直角三角形斜边c的长 (2)求两个实数a，b的和
1.下列关于程序框图的说法中正确的是( )
①程序框图只有一个入口，也只有一个出口；
②程序框图中的每一部分都应有一条从入口到出口的路径通过它；
③程序框图中的循环可以是无尽的循环；
④程序框图中的语句可以有执行不到的.
A.①②③ B.②③
C.①④ D.①②
考点 程序框图的概念
题点 程序框图的功能
答案 D
解析 由程序框图的概念知，整个框图只有一个入口，一个出口，程序框图中的每一部分都有可能执行到，不能出现“死循环”，必须在有限步骤内完成.故①②正确，③④错误.
2.程序框图符号“”可用于( )
A.输出a＝10 B.赋值a＝10
C.判断a＝10 D.输入a＝1
答案 B
解析 图形符号“”是处理框，它的功能是赋值、计算，不是用来输出、判断和输入的，故选B.
3.如图所示的程序框图的运行结果是________.
考点 顺序结构
题点 由顺序结构程序框图求结果
答案 2.5
解析 初始值a＝2，b＝4，
得S＝＋＝2＋＝2.5，
输出S的值为2.5.
4.如图所示的程序框图，若输出的结果是S＝7，则输入的A值为________.
考点 顺序结构
题点 由顺序结构程序框图求条件
答案 3
解析 该程序框图的功能是输入A，计算2A＋1的值.由2A＋1＝7，解得A＝3.
5.写出求过点P1(3,5)，P2(－1,2)的直线斜率的算法，并画出程序框图.
考点 顺序结构
题点 顺序结构的简单应用
解 算法如下：
第一步，输入x1＝3，y1＝5，x2＝－1，y2＝2.
第二步，计算k＝.
第三步，输出k.
程序框图如图.
1.在设计计算机程序时要画出程序运行的程序框图，有了这个程序框图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用程序语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端.
2.规范程序框图的表示
(1)使用标准的框图符号；
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画，流程线要规范；
(3)除判断框外，其他框图符号只有一个进入点和一个退出点；
(4)在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚.
一、选择题
1.一个完整的程序框图至少包含( )
A.终端框和输入、输出框
B.终端框和处理框
C.终端框和判断框
D.终端框、处理框和输入、输出框
考点 程序框图的概念
题点 程序框图的结构
答案 A
解析 一个完整的程序框图至少需包括终端框和输入、输出框.对于处理框，由于含有计算功能，所以可不必有.
2.能够使算法的步骤表达更直观的是( )
A.自然语言 B.程序框图
C.数学语言 D.逻辑分析
考点 程序框图的概念
题点 程序框图的结构
答案 B
解析 用程序框图表达算法，能使算法的结构更清楚，步骤更直观也更精确.
3.a表示“处理框”，b表示“输入、输出框”，c表示“起止框”，d表示“判断框”，以下四个图形依次为( )
A.abcd B.dcab
C.cbad D.bacd
考点 程序框图的概念
题点 程序框图的结构
答案 C
解析 根据框图表示的意义逐一判断.
4.在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用( )
A.连接点 B.判断框
C.流程线 D.处理框
考点 程序框图的概念
题点 程序框图的定义
答案 C
解析 流程线的作用是连接程序框及体现程序进行的方向，一个算法步骤到另一个算法步骤表示的是程序进行的方向.而连接点的作用是连接程序框图的两部分.判断框的作用是判断某一条件是否成立.处理框的作用是赋值、计算、数据处理等.故选C.
5.关于终端框的说法正确的是( )
A.表示一个算法的起始和结束，图形符号是
B.表示一个算法输入和输出的信息，图形符号是
C.表示一个算法的起始和结束，图形符号是
D.表示一个算法输入和输出的信息，图形符号是
考点 程序框图的概念
题点 程序框图的结构
答案 C
解析 终端框表示一个算法的起始和结束，图形符号是.
6.下列是程序框图中的一部分，表示恰当的是( )
考点 程序框图的概念
题点 程序框图的功能
答案 A
解析 由各图形符号的功能和流程线的意义知选A.
7.如图所示的程序框图表示的算法意义是( )
A.边长为3,4,5的直角三角形面积
B.边长为3,4,5的直角三角形内切圆面积
C.边长为3,4,5的直角三角形外接圆面积
D.以3,4,5为弦的圆面积
考点 顺序结构
题点 顺序结构的简单应用
答案 B
解析 直角三角形内切圆半径r＝，故选B.
8.给出如图程序框图，若输出的结果为2，则①处的处理框内应填的是( )
A.x＝2 B.b＝2
C.x＝1 D.a＝5
考点 顺序结构
题点 顺序结构的简单应用
答案 C
解析 ∵结果是b＝2，∴2＝a－3，即a＝5.
当2x＋3＝5时，得x＝1.
9.阅读如图的程序框图，若输入的a，b，c分别是21,32,75，则输出的a，b，c分别是( )
A.75,21,32 B.21,32,75
C.32,21,75 D.75,32,21
考点 顺序结构
题点 由顺序结构程序框图求结果
答案 A
解析 由程序框图可知x＝a，则x的值为21，由“a＝c”知a的值是75，依次得到c的值为32，b的值为21.
二、填空题
10.根据下面的程序框图所表示的算法，输出的结果是________.
考点 顺序结构
题点 由顺序结构程序框图求结果
答案 2
解析 该算法的第1步分别将X，Y，Z赋于1,2,3三个数，第2步使X取Y的值，即X取值变成2，第3步使Y取X的值，即Y的值也是2，第4步使Z取Y的值，即Z取值也是2，从而第5步输出时，Z的值是2.
11.下面程序框图表示的算法的运行结果是________.
考点 顺序结构
题点 由顺序结构程序框图求结果
答案 6
解析 由题意P＝＝9，S＝＝6.
12.下图(1)是计算图(2)所示的阴影部分的面积的程序框图，则图(1)中执行框内应填________.
考点 顺序结构
题点 由顺序结构程序框图求条件
答案 S＝a2
解析 正方形的面积为S1＝a2，扇形的面积为S2＝πa2，则阴影部分的面积为S＝S1－S2＝a2.因此图中执行框内应填入S＝a2.
三、解答题
13.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，设计一个算法，求该三角形的面积，并画出相应的程序框图.
考点 顺序结构
题点 顺序结构的简单应用
解 算法如下：
第一步，输入两直角边的长a，b.
第二步，计算S＝ab.
第三步，输出S.
程序框图如图.
四、探究与拓展
14.程序框图如图所示.
则该程序框图的功能是________________.
考点 顺序结构
题点 顺序结构的简单应用
答案 交换两个变量x，y的值
解析 输入x与y的值，把x的值赋于m，则m为x的取值；把y的值赋于x，则x为y的取值；再把m的值赋于y，则完成x与y取值的交换.
15.如图所示，图①是计算图②中空白部分面积的一个框图，则“？”处应填________.
① ②
答案 S＝a2－a2
解析 由题图②知S阴影＝2＝2a2－，所以S空白＝a2－S阴影＝a2－2a2＋＝a2－a2.故“？”处应填S＝a2－a2.
第2课时 条件结构
学习目标 1.掌握条件结构的程序框图的画法.2.能用条件结构程序框图描述实际问题.
知识点一 条件结构
思考 我们经常需要处理分类讨论的问题，顺序结构能否完成这一任务？为什么？
答案 分类讨论是带有分支的逻辑结构，而顺序结构是一通到底的“直肠子”，所以不能表达分支结构，这就需要条件结构出场.
梳理 在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.处理这种过程的结构叫条件结构.
知识点二 条件结构的两种形式
条件结构的形式及特征
结构形式
特征
两个步骤A，B根据条件选择一个执行
根据条件选择是否执行步骤A
知识点三 条件结构的嵌套
条件结构的嵌套实际上就是将一个条件结构置于另一个条件结构的分支中，这个分支结束后，要与另一个分支交汇.
1.条件结构的程序框图中含有顺序结构.( √ )
2.条件结构的程序框图中可以不含判断框.( × )
3.条件结构的判断条件要写在判断框内.( √ )
4.条件结构的两种形式执行结果可能不同.( × )
类型一 条件结构的概念
例1 (1)下列算法中，含有条件结构的是( )
A.求两个数的积 B.求点到直线的距离
C.解一元二次方程 D.已知梯形两底和高求面积
(2)条件结构不同于顺序结构的特征是( )
A.处理框 B.判断框
C.输入、输出框 D.起止框
(3)给出以下四个问题：
①输入一个数x，输出它的绝对值；
②求面积为6的正方形的周长；
③求a，b，c三个数中的最大值；
④求函数f(x)＝的函数值.
其中需要用条件结构来描述算法的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点 条件结构
题点 条件结构概念的辨析
答案 (1)C (2)B (3)C
解析 (1)解一元二次方程时，当判别式Δ＜0时，方程无解，当Δ≥0时，方程有解，由于分情况，故用到条件结构.
(2)在条件结构中含有判断框，而顺序结构中没有.
(3)①③④都要对条件作出判断，故需要用条件结构，②用顺序结构即可.
反思与感悟 条件结构中含有判断框，且判断框内相应的判定条件是依据所给具体问题设定的.
跟踪训练1 下列问题的算法适宜用条件结构表示的是( )
A.求点P(2,5)到直线l：3x－2y＋1＝0的距离
B.由直角三角形的两条直角边求斜边
C.解不等式ax＋b＞0(其中a≠0)
D.计算3个数的平均数
考点 条件结构
题点 条件结构概念的辨析
答案 C
解析 条件结构是处理逻辑判断并根据判断进行不同处理的结构，只有C中需判断a的符号，其余选项中都不含逻辑判断，故选C.
类型二 条件结构的简单应用
例2 如图所示的程序框图，若输出y的值为3，求输入的x值.
考点 条件结构
题点 条件结构的简单应用
解 由程序框图可得y＝当x≤0时，y∈(1,2]，
此时不可能输出y＝3；当x＞0时，令y＝2x＋1＝3，解得x＝1，符合题意，故输入的x的值为1.
引申探究
本例中，若输入x的值为－1，则输出y的值为多少？
解 由x＝－1＜0，故y＝2－1＋1＝，故y＝，从而输出y的值为.
反思与感悟 先由条件作出判断，然后再决定选择哪一个步骤，在画框图时，必须用到条件结构.
跟踪训练2 画出计算函数y＝|x－2|的函数值的程序框图.
考点 条件结构
题点 条件结构的简单应用
解 算法如下：
第一步，输入x.
第二步，若x≥2，则y＝x－2；否则y＝2－x.
第三步，输出y.
程序框图如下.
类型三 条件结构的嵌套
例3 设计一个求解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的算法，并画出程序框图.
考点 条件结构
题点 条件结构的简单应用
解 算法步骤如下：
第一步，输入3个系数a，b，c.
第二步，计算Δ＝b2－4ac.
第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则计算p＝－，q＝；
否则，输出“方程没有实数根”，结束算法.
第四步，判断Δ＝0是否成立.
若是，则输出x1＝x2＝p；
否则，计算x1＝p＋q，x2＝p－q，并输出x1，x2.
程序框图如下.
反思与感悟 (1)当给出一个一元二次方程求根时，必须先确定判别式的值，然后再根据判别式的值的取值情况确定方程是否有解.
(2)解决分段函数求值问题一般采用条件结构来设计算法.对于判断具有两个以上条件的问题，往往需要用到条件结构的嵌套，这时要注意嵌套的次序.
跟踪训练3 已知函数y＝写出输入一个x值，输出y值的算法并画出程序框图.
考点 条件结构
题点 条件结构的简单应用
解 算法如下：
第一步，输入x.
第二步，如果x＜0，那么使y＝2x－1，执行第五步；否则，执行第三步.
第三步，如果x＜1，那么使y＝x2＋1，执行第五步；否则，执行第四步.
第四步，y＝x2＋2x.
第五步，输出y.
程序框图如图所示.
1.在如图所示的程序框图中，输入x＝2，则输出的结果是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
考点 条件结构
题点 条件结构的功能及求解结果
答案 B
解析 因为x＝2＞1成立，所以y＝＝2，故输出的y＝2.
2.若输入x＝－5，按图中所示程序框图运行后，输出的结果是( )
A.－5 B.0
C.－1 D.1
考点 条件结构
题点 条件结构的功能及求解结果
答案 D
解析 因为x＝－5，不满足x＞0，所以在第一个判断框中执行“否”，在第二个判断框中，由于－5＜0，执行“是”，所以得y＝1.
3.如图所示给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是( )
A.输出a，b，c三数中的最大数
B.输出a，b，c三数中的最小数
C.将a，b，c按从小到大排列
D.将a，b，c按从大到小排列
考点 条件结构
题点 条件结构的功能
答案 B
解析 先比较a，b的值，把较小的值赋值给a；再比较a，c的值，把较小的值赋值给a，输出a.
4.已知函数y＝|x－3|，如图表示的是给定x的值，求其相应函数的值的算法.请将该程序框图补充完整，其中①处应填________，②处应填________.
考点 条件结构
题点 条件的输入与框图的补充
答案 x＜3？或x≤3？ y＝x－3
解析 由已知得y＝结合所给程序框图易得.
5.如果学生的数学成绩大于或等于120分，则输出“良好”，否则输出“一般”.用程序框图表示这一算法过程.
考点 条件结构
题点 条件结构的简单应用
解 程序框图如图：
1.条件结构是程序框图的重要组成部分.其特点是先判断后执行.
2.在利用条件结构画程序框图时要注意两点：一是需要判断条件是什么，二是条件判断后分别对应着什么样的结果.
3.设计程序框图时，首先设计算法步骤，再转化为程序框图，待熟练后可以省略算法步骤直接画出程序框图.对于算法中分类讨论的步骤，通常设计成条件结构来解决.
一、选择题
1.求下列函数的函数值的算法中需要用到条件结构的是( )
A.f(x)＝x2－1
B.f(x)＝2x＋1
C.f(x)＝
D.f(x)＝2x
考点 条件结构
题点 条件结构概念的辨析
答案 C
解析 C项中函数f(x)是分段函数，需分类讨论x的取值范围，要用条件结构来设计算法，A，B，D项中均不需要用条件结构.
2.已知a＝，b＝，执行如图所示的程序框图，则输出的值为( )
A. B.
C. D.
考点 条件结构
题点 条件结构的功能及求解结果
答案 D
解析 由a＝，b＝＝＝2，知a＞b不成立，故输出＝.
3.某市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素).相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填( )
A.y＝7＋2.6x B.y＝8＋2.6x
C.y＝7＋2.6(x－2) D.y＝8＋2.6(x－2)
考点 条件结构
题点 条件的输入与框图的补充
答案 D
解析 当x＞2时，2公里内的收费为7元，2公里外的收费为7＋(x－2)×2.6(元)，另外燃油附加费为1元，所以y＝7＋2.6(x－2)＋1＝8＋2.6(x－2).
4.执行下面的程序框图，如果输入t∈[－1,3]，则输出的s的范围为( )
A.[－3,4] B.[－5,2]
C.[－4,3] D.[－2,5]
考点 条件结构
题点 条件结构的功能及求解结果
答案 A
解析 因为t∈[－1,3]，当t∈[－1,1)时，s＝3t∈[－3,3)；当t∈[1,3]时，s＝4t－t2＝－(t2－4t)＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，所以s∈[－3,4].
5.如图所示的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入( )
A.c>x? B.x>c? C.c>b? D.b>c?
考点 条件结构
题点 条件的输入与框图的补充
答案 A
解析 从程序框图中可以看出，应填c>x？，其含义是当c>x不成立时，说明x最大，输出x，当c>x成立时，执行x＝c后，x的值变为c，从而输出x(也就是c).
6.如图所示，是关于判断闰年的程序框图，则以下年份是闰年的为( )
A.1996年 B.1998年
C.2010年 D.2100年
考点 条件结构
题点 条件结构的功能及求解结果
答案 A
解析 由程序框图可知，闰年的年份能被4整除，但不能被100整除，或能被400整除，经检验知，只有选项A满足，故选A.
7.如图所示的程序框图运行后输出结果为，则输入的x值为( )
A.－1 B.
C. D.－1或
考点 条件结构
题点 条件结构的简单应用
答案 D
解析 程序框图表示的是求分段函数
f(x)＝的函数值，
由得x＝；由得x＝－1.
又无解，故选D.
8.程序框图如图所示，若输出y的值是4，则输入的实数x的值为( )
A.1 B.－2
C.1或2 D.1或－2
考点 条件结构
题点 条件结构的简单应用
答案 D
解析 根据题意和程序框图可知，程序框图反映的函数关系式为y＝
令y＝4，解得当x＜1时，x＝－2；当1≤x＜10时，x＝1；当x≥10时无解.故选D.
9.如图是计算函数y＝的值的程序框图，在①②③处应分别填入的是( )
A.y＝ln(－x)，y＝0，y＝2x
B.y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0
C.y＝0，y＝2x，y＝ln(－x)
D.y＝0，y＝ln(－x)，y＝2x
考点 条件结构
题点 条件的输入与框图的补充
答案 B
解析 ①处应填入当自变量x≤－2时的解析式，②处应填入当自变量x＞3时的解析式，③处应填入当自变量－2＜x≤3时的解析式，故选B.
10.如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值.若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点 条件结构
题点 条件结构的功能及求解结果
答案 C
解析 由题意得该程序的功能是计算并输出分段函数y＝的值，
当x≤2时，由x＝x2，解得x＝0或x＝1，
当2＜x≤5时，由x＝2x－4，解得x＝4，
当x＞5时，由x＝，解得x＝±1(舍去)，
故满足条件的x值共有3个.故选C.
二、填空题
11.已知函数y＝图中表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图.①处应填写________；②处应填写________.
考点 条件结构
题点 条件的输入与框图的补充
答案 x＜2？y＝log2x
解析 框图中的①处就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写x＜2？，②就是函数的另一段表达式y＝log2x.
12.阅读如图所示的程序框图.如果输入a＝log3，b＝，c＝，那么输出的是________.
考点 条件结构
题点 条件结构的功能及求解结果
答案 c
解析 该程序框图的算法功能是输出a，b，c中的最大值.因为a＝log3＜0,0＜b＝＜1，c＝＞1，所以a＜b＜c，因此最后输出的为c.
三、解答题
13.有一城市，市区是半径为15 km的圆形区域，近郊区为距市中心15～25 km的范围内的环形地带，距市中心25 km以外的为远郊区，坐标原点O为市中心，如图所示.市区地价为每公顷100万元，近郊区地价为每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元.请画出输入坐标为(x，y)的点处的地价的算法的程序框图.
考点 条件结构
题点 条件结构的简单应用
解 程序框图如图所示.
四、探究与拓展
14.某次考试，为了统计成绩情况，设计了如图所示的程序框图.当输入一个同学的成绩x＝75时，输出结果为________.
考点 条件结构
题点 条件结构的功能及求解结果
答案 及格
解析 由于75<80，在程序框图中的第一个判断框中，将按“否”的指向进入第二个判断框，又因为75≥60，将按“是”的指向，所以输出的是“及格”.
15.如图，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3＝________.
考点 条件结构
题点 条件结构的简单应用
答案 8
解析 x1＝6，x2＝9，|x1－x2|＝3<2不成立，即为“否”，所以再输入x3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x3－x1|<|x3－x2|知，点x3到点x1的距离小于点x3到点x2的距离，所以当x3<7.5时，|x3－x1|<|x3－x2|成立，即为“是”，此时x2＝x3，所以p＝，即＝8.5，解得x3＝11>7.5，不合题意；当x3>7.5时，|x3－x1|<|x3－x2|不成立，即为“否”，此时x1＝x3，所以p＝，即＝8.5，解得x3＝8>7.5，符合题意.
第3课时 循环结构
学习目标 1.掌握当型和直到型两种循环结构的程序框图的画法.2.理解两种循环结构程序框图的执行功能，并能正确解题.
知识点一 循环结构
1.循环结构的定义
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构.反复执行的步骤称为循环体.
2.循环结构的特点
(1)重复性：在一个循环结构中，总有一个过程要重复一系列的步骤若干次，而且每次的操作完全相同.
(2)判断性：每个循环结构都包含一个判断条件，它决定这个循环的执行与终止.
(3)函数性：循环变量在构造循环结构中起了关键作用，蕴含着函数的思想.
知识点二 两种循环结构的比较
思考 两种循环结构会导致执行结果不一样吗？
答案 不会.两种循环结构形式虽然不一样，但不会导致执行结果的变化.
梳理 常见的两种循环结构
名称
结构图
特征
直到型循环结构
先执行循环体后判断条件，若不满足条件则执行循环体，否则终止循环
当型循环结构
先对条件进行判断，满足时执行循环体，否则终止循环
1.循环结构中，判断框内的条件不是唯一的.( √ )
2.判断框中的条件成立时，要结束循环向下执行.( × )
3.循环体中要对判断框中的条件变量有所改变才会使循环结构不会出现“死循环”.( √ )
类型一 循环结构程序框图的运行
例1 (1)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )
A.15 B.105 C.245 D.945
(2)如图所示，程序框图的输出结果是________.
考点 循环结构
题点 解读循环结构求输出结果
答案 (1)B (2)
解析 (1)当i＝1时，T＝3，S＝3；当i＝2时，T＝5，S＝15；当i＝3时，T＝7，S＝105，当i＝4时输出S＝105.
(2)第一次循环：s＝，n＝4，
第二次循环：s＝＋＝，n＝6，
第三次循环：s＝＋＝，n＝8<8不成立，退出循环，输出结果为.
反思与感悟 利用循环结构解决问题的“三个确定”：
(1)确定循环变量及初始值，弄清循环变量表示的意义、取值范围及变化规律.
(2)确定循环体的功能，根据实际情况确定采用哪种循环结构.
(3)确定循环结构的终止条件，弄清不等号的方向及是否含有等号.
跟踪训练1 执行如图所示的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________.
答案 3
解析 由程序框图可知：第一次循环，
F1＝1＋2＝3，F0＝3－1＝2，n＝2，
此时＝≤0.25不成立；第二次循环，F1＝2＋3＝5，F0＝5－2＝3，n＝3，
此时＝≤0.25成立，
输出n＝3.
类型二 画循环结构的程序框图
例2 设计一个计算1＋2＋…＋100的值的算法，并画出程序框图.
考点 循环结构
题点 循环结构的画法
解 方法一 第一步，令i＝1，S＝0.
第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法.
第三步，S＝S＋i.
第四步，i＝i＋1，返回第二步.
程序框图：
方法二 第一步，令i＝1，S＝0.
第二步，S＝S＋i.
第三步，i＝i＋1.
第四步，若i＞100不成立，则返回第二步；否则，输出S，结束算法.
程序框图：
反思与感悟 两种循环结构的联系和区别
(1)联系
①当型循环结构与直到型循环结构可以相互转化；
②循环结构中必然包含条件结构，以保证在适当的时候终止循环；
③循环结构只有一个入口和一个出口；
④循环结构内不存在死循环，即不存在无终止的循环.
(2)区别
直到型循环结构是先执行一次循环体，然后再判断是否继续执行循环体，当型循环结构是先判断是否执行循环体；直到型循环结构是在条件不满足时执行循环体，当型循环结构是在条件满足时执行循环体.要掌握这两种循环结构，必须抓住它们的区别.
跟踪训练2 设计算法求1×2×3×…×2 016×2 017的值，并画出程序框图.
考点 循环结构
题点 循环结构的画法
解 算法如下：
第一步，设M的值为1.
第二步，设i的值为2.
第三步，如果i≤2 017，则执行第四步；否则执行第六步.
第四步，计算M＝M×i.
第五步，计算i＝i＋1，返回执行第三步.
第六步，输出M的值，并结束算法.
程序框图如图所示.
例3 写出一个求满足1×3×5×7×…×n＞50 000的最小正整数n的算法，并画出相应的程序框图.
考点 循环结构
题点 循环结构的画法
解 算法如下：
第一步，S＝1.
第二步，n＝3.
第三步，如果S≤50 000，那么S＝S×n，n＝n＋2，重复第三步；否则，执行第四步.
第四步，n＝n－2.
第五步，输出n.
程序框图如图所示.
反思与感悟 (1)在使用循环结构时，需恰当地设置累加(乘)变量和计数变量，在循环体中要设置循环终止的条件.
(2)在最后输出结果时，要避免出现多循环一次或少循环一次的情况.
跟踪训练3 画出求满足12＋22＋32＋…＋i2>106的最小正整数i的程序框图.
考点 循环结构
题点 循环结构的画法
解 程序框图如图：
类型三 循环结构在实际中的应用
例4 以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77,82,94,
60.要求将80分以上的同学的平均分求出来，请画出程序框图.
考点 循环结构
题点 循环结构的应用
解 程序框图如图所示.
反思与感悟 应用循环结构解决实际问题的策略
跟踪训练4 在申办奥运会的最后阶段，国际奥委会是如何通过投票决定主办权归属的呢？
对选出的5个申办城市进行表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市淘汰，然后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止.试画出该过程的程序框图.
考点 循环结构
题点 循环结构的应用
解 如图所示.
1.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )
A.－10 B.6 C.14 D.18
考点 循环结构
题点 解读程序框图求输出结果
答案 B
解析 执行程序：S＝20，i＝1，i＝2，S＝20－2＝18；i＝4，S＝18－4＝14；i＝8，S＝14－8＝6，满足i＞5的条件，结束循环，输出S的值为6，故选B.
2.如图所示的程序框图输出的S是126，则①应为( )
A.n≤5? B.n≤6? C.n≤7? D.n≤8?
考点 循环结构
题点 循环结构框图的完善
答案 B
解析 2＋22＋23＋24＋25＋26＝126，所以应填“n≤6？”.
3.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )
A.1 B.2 C.4 D.7
考点 循环结构
题点 解读循环结构求输出结果
答案 C
解析 当i＝1时，s＝1＋1－1＝1；
当i＝2时，s＝1＋2－1＝2；
当i＝3时，s＝2＋3－1＝4；
当i＝4时，退出循环，输出s＝4.故选C.
4.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是( )
A.＜P≤ B.P＞
C.＜P≤ D.≤P＜
考点 循环结构
题点 解读循环结构求输入条件
答案 C
解析 ∵S＜P时，执行循环体，S≥P时输出n＝4，
∴S加上的最后一项为＝，此时S＝＋＋＝，∴≥P，结合输出的值为4知，＜P≤.
5.运行如图所示的程序框图，则输出的T＝________.
考点 循环结构
题点 解读循环结构求输出结果
答案 20
解析 T＝0，S＝0，T＞S不成立.执行第一次循环后，S＝4，n＝2，T＝2,2＞4仍不成立.执行第二次循环后，S＝8，n＝4，
T＝6,6＞8仍不成立.执行第三次循环后，S＝12，n＝6，T＝12,12＞12仍不成立.执行第四次循环后，S＝16，n＝8，T＝20,20＞16成立，故输出T的值为20.
1.(1)循环结构是指在算法中需要重复执行一条或多条指令的控制结构；
(2)在循环结构中，通常都有一个起循环计数作用的变量，即计数变量；
(3)循环变量、循环体、循环终止条件称为循环结构的三要素.
2.画程序框图要注意：
(1)使用标准的框图符号；
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
(3)除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；
(4)框图中若出现循环结构，一定要分清当型和直到型结构的不同；
(5)在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚.
一、选择题
1.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
考点 循环结构
题点 解读循环结构求输出结果
答案 C
解析 当k＝0时，满足k<3，因此S＝1×20＝1；
当k＝1时，满足k<3，因此S＝1×21＝2；
当k＝2时，满足k<3，因此S＝2×22＝8；
当k＝3时，不满足k<3，因此输出S＝8.
2.如图是一个算法的程序框图，该程序所输出的结果是( )
A. B. C. D.
考点 循环结构
题点 解读循环结构求输出结果
答案 C
解析 运行第一次的结果为i＝2，m＝1，n＝0＋＝；
第二次i＝3，m＝2，n＝＋＝；
第三次i＝4，m＝3，n＝＋＝.
此时i＝4程序终止，即输出n＝.
3.程序框图如图，如果程序运行的结果为S＝132，若要使输出的结果为1 320，则正确的修改方法是( )
A.①处改为k＝13，S＝1
B.②处改为k<10?
C.③处改为S＝S×(k－1)
D.④处改为k＝k－2
考点 循环结构
题点 循环结构的应用
答案 B
解析 由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题.
由于1 320＝10×11×12，
故判断框中应改为k≤9？或者k<10？.故选B.
4.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S的范围为( )
A.[－6，－2] B.[－5，－1]
C.[－4,5] D.[－3,6]
考点 循环结构
题点 解读循环结构求输出结果
答案 D
解析 当0≤t≤2时，S＝t－3∈[－3，－1].
当－2≤t＜0时，2t2＋1∈(1,9]，
则S∈(－2,6].
综上，S∈[－3,6]，故选D.
5.某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…，aN，其中收入记为正数，支出记为负数.该店用如图的程序框图计算月总收入S和月净盈利V.那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )
A.A＞0？，V＝S－T
B.A＜0？，V＝S－T
C.A＞0？，V＝S＋T
D.A＜0？，V＝S＋T
考点 循环结构
题点 循环结构的完善及补充
答案 C
解析 本题主要考查程序框图的识图能力，由框图知月总收入S应当为本月的各项收入之和，故需满足A＞0，月净盈利应当为月总收入减去本月的各项支出之和.因为T＜0，故V＝S＋T.
6.执行如图所示的程序框图，第3次和最后一次输出的A的值分别是( )
A.7,9 B.5,11
C.7,11 D.5,9
考点 循环结构
题点 解读循环结构求输出结果
答案 D
解析 模拟执行程序框图，可得A＝1，S＝1，
输出A的值为1，S＝2，不满足条件S>5，A＝3；
输出A的值为3，S＝3，不满足条件S>5，A＝5；
输出A的值为5，S＝4，不满足条件S>5，A＝7；
输出A的值为7，S＝5，不满足条件S>5，A＝9；
输出A的值为9，S＝6，满足条件S>5，退出循环体，结束.
故第3次和最后一次输出的A的值分别是5,9.
故选D.
7.读程序框图，循环体执行的次数为( )
A.50 B.49 C.100 D.99
考点 循环结构
题点 循环结构的应用
答案 B
解析 ∵i＝i＋2，∴当2＋2n≥100时，循环结束，
此时n＝49.
8.如图所示的程序框图，输出S的值是，则判断框内应填( )
A.n＜2 015? B.n≤2 014?
C.n≤2 016? D.n≤2 015?
考点 循环结构
题点 循环结构的完善及补充
答案 D
解析 由程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构输出1××××…×＝的值，
若输出S的值是，
则循环变量的终值为2 015，
故判断框内应填入n≤2 015？，故选D.
9.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S为( )
A.24 B.25
C.30 D.20
考点 循环结构
题点 解读循环结构求输出结果
答案 C
解析 框图表示的运算是S＝2＋4＋…＋10，其运算结果为30.
10.执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是( )
A.k≤6? B.k≤7?
C.k≤8? D.k≤9?
考点 循环结构
题点 循环结构的完善及补充
答案 B
解析 k＝2，s＝1×log23＝log23；
k＝3，s＝log23×log34＝log24；
k＝4，s＝log24×log45＝log25；
k＝5，s＝log25×log56＝log26；
k＝6，s＝log26×log67＝log27；
k＝7，s＝log27×log78＝log28＝3，停止，说明判断框内应填“k≤7？”.
二、填空题
11.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出结果为________.
考点 循环结构
题点 解读循环结构求输出结果
答案 8
解析 根据程序框图得，
第一次进入循环体后，S＝1×2＝2，k＝1＋1＝2；
第二次进入循环体后，S＝2×2＝4，k＝2＋1＝3；
第三次进入循环体后，S＝4×2＝8，k＝3＋1＝4，
此时不满足条件k≤3，退出循环，故输出的结果是8.
12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是________.
考点 循环结构
题点 解读循环结构求输出结果
答案 8
解析 S＝2，n＝1；
S＝＝－1，n＝2；
S＝＝，n＝4；
S＝＝2，n＝8.
故输出值为8.
三、解答题
13.设计求使1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＜100成立的最大自然数n的值的算法，并画出程序框图.
考点 循环结构
题点 循环结构的应用
解 算法：
第一步，令S＝0，n＝1.
第二步，S＝S＋n.
第三步，n＝n＋1.
第四步，若S≥100，则输出n－2，结束算法；
否则，返回第二步.程序框图如图所示.
四、探究与拓展
14.根据条件把图中的程序框图补充完整，求区间[1,1 000]内所有奇数的和，(1)处填________；(2)处填________.
考点 循环结构
题点 循环结构步骤的完善及补充
答案 (1)S＝S＋i (2)i＝i＋2
解析 求[1,1 000]内所有奇数和，初始值i＝1，S＝0，并且i<1 000，所以(1)应填“S＝S＋i”，(2)应填“i＝i＋2”.
15.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1，x2，…，xn(单位：吨).根据如图所示的程序框图，若n＝2，且x1，x2分别为1,2，则输出的结果S为________.
考点 三种结构的综合应用
题点 由输入条件求输出结果
答案
解析 当i＝1时，S1＝1，S2＝1，此时S＝0；
当i＝2时，S1＝1＋2＝3，S2＝1＋22＝5，
此时S＝＝.
i的值变成3，从循环体中跳出，输出S的值为.
