数学人教B版必修3第三章　概　率（课件+练习）

模块综合试卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．要完成下列两项调查：
①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次为(　　)
A．①简单随机抽样；②系统抽样
B．①分层抽样；②简单随机抽样
C．①系统抽样；②分层抽样
D．①②都用分层抽样
答案　B
解析　①中总体由差异明显的几部分构成，宜采用分层抽样；②中总体中的个数较少，样本容量较小，宜采用简单随机抽样．
2．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有(　　)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
答案　B
解析　E1与E3，E1与E4均为互斥而不对立的事件．
3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　若x≤2，则x2－1＝3，∴x＝±2.
若x＞2，则log2x＝3，∴x＝8.4．一个电路板上装有甲、乙两根保险丝，甲保险丝熔断的概率为0.085，乙保险丝熔断的概率为0.074，两根同时熔断的概率为0.063，则至少有一根熔断的概率是(　　)
A．0.159 B．0.085 C．0.096 D．0.074
答案　C
解析　设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B，则A∪B表示“甲、乙至少有一根熔断”，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
＝0.085＋0.074－0.063＝0.096.
5．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为(　　)
A. B. C. D．2
答案　D
解析　∵样本的平均数为1，
即×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1.
∴样本方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
6．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
答案　C
解析　由图知，甲的成绩稳定，方差较小．
7．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)
A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8
答案　C
解析　由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x＝15，x＝5.又因为＝16.8，所以y＝8，故选C.
8．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是(　　)
A．30 B．40 C．50 D．55
答案　B
解析　频率分布直方图反映样本的频率分布，每个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率，故新生婴儿的体重在[3.2,4.0)的人数为100×(0.4×0.625＋0.4×0.375)＝40.
9．阅读如图所示的程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为(　　)
A．S＝2i－2 B．S＝2i－1 C．S＝2i D．S＝2i＋4
答案　C
解析　当i＝2时，S＝2×2＋1＝5<10；当i＝3时，仍然循环，排除D；当i＝4时，S＝2×4＋1＝9<10；当i＝5时，不满足S<10，即此时S≥10，输出i.此时A项求得S＝2×5－2＝8，B项求得S＝2×5－1＝9，C项求得S＝2×5＝10，故只有C项满足条件．
10．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于(　　)
A．54 B．90 C．45 D．126
答案　B
解析　依题意有×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.
11.如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形(图中的阴影部分)，在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为，那么△ABC的面积是________．
答案　6π
解析　由题意可知，阴影部分的扇形面积为一个以2为半径的半圆的面积，所以＝，所以S△ABC＝6π.
12．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归直线方程是＝－0.7x＋，则等于(　　)
A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25
答案　D
解析　由于回归直线必经过点(，)，而＝，＝，
∴＝－0.7×＋，∴＝5.25.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________．
答案　11
解析　[(2x1＋1)＋(2x2＋1)＋…＋(2xn＋1)]
＝＋1＝2×5＋1＝11.
14．为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为________．
答案　
解析　总体平均数为(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5，设事件A表示“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个．事件A包含的结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共7个．所以所求的概率为P(A)＝.
15．集合A＝{2,4,6,8,10}，集合B＝{1,3,5,7,9}，在集合A中任取一个元素m和在集合B中任取一个元素n，则所取两数m>n的概率是________．
答案　0.6
解析　基本事件总数为5×5＝25.当m＝2时，n＝1；当m＝4时，n＝1,3；当m＝6时，n＝1,3,5；当m＝8时，n＝1,3,5,7；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9.共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P＝＝0.6.
16．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．
答案　
解析　基本事件总数为6，事件包含的基本事件个数为2，∴P＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两货轮中有一艘在泊位停靠时，另一艘货轮必须等待的概率．
解　设甲、乙两货轮到达泊位的时刻分别为x，y.
则
作出如图所示的区域．
本题中，区域D的面积S1＝242＝576，
区域d的面积S2＝242－182＝252.
∴P＝＝.
即两货轮中有一艘在泊位停靠时，另一货轮必须等待的概率为.
18．(12分)某校举行运动会，高二一班有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女运动员组成混合双打组合代表本班参赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？
解　由于男生从4人中任意选取，女生从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，设男生为A，B，C，D，女生为1,2,3，用一个“数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：从男生中随机选取的是男生A，从女生中随机选取的是女生1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E.
女
结果
男
1
2
3
A
(A,1)
(A,2)
(A,3)
B
(B,1)
(B,2)
(B,3)
C
(C,1)
(C,2)
(C,3)
D
(D,1)
(D,2)
(D,3)
由上表可知，可能的结果总数是12.设该国家一级运动员为编号1，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P(E)＝＝.
19．(12分)一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品．现随机抽出两件产品．
(1)求恰好有一件次品的概率；
(2)求都是正品的概率；
(3)求抽到次品的概率．
解　将6件产品编号，正品为a，b，c，d；次品为e，f，从6件产品中选2件，其包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种．
(1)设恰好有一件次品为事件A，事件A包含的基本事件为ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，共有8种，则P(A)＝.
(2)设都是正品为事件B，事件B包含的基本事件数为6，则P(B)＝＝.
(3)设抽到次品为事件C，事件C与事件B是对立事件，则P(C)＝1－P(B)＝1－＝.
20．(12分)已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．
解　(1)a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，总的基本事件(a，b)共有36个．
设事件A表示“方程有两正根”，则
{Δ≥0，a－2>0，16－b2>0，即{(a－2(2＋b2≥16，a>2，－4故方程有两正根的概率为P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果构成的区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为SΩ＝4×4＝16.
设事件B表示“方程无实根”，则事件B的对应区域为{2≤a≤6，0≤b≤4，Δ<0，即{2≤a≤6，0≤b≤4，(a－2(2＋b2<16，如图所示，
其面积SB＝×π×42＝4π，
故方程没有实根的概率为P(B)＝＝.
21．(12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．
(1)计算甲班的样本方差；
(2)现从乙班10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
解　(1)＝＝170(cm)．
甲班的样本方差s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2＝57.2.
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A.
从乙班10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)．所以P(A)＝＝.
22．(12分)假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
(1)画出散点图并判断是否线性相关；
(2)如果线性相关，求回归直线方程；
(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
解　(1)作散点图如下：
由散点图可知是线性相关的．
(2)列表如下：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3
计算得：＝＝＝1.23，
所以＝－ ＝5－1.23×4＝0.08，
即得回归直线方程＝1.23x＋0.08.
(3)把x＝10代入回归直线方程＝1.23x＋0.08，
得y＝12.38，
因此，估计使用10年维修费用是12.38万元．
模块综合试卷(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2018·长春质检)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图所示，则其中位数和众数分别为(　　)
A．95,94 B．92,86
C．99,86 D．95,91
答案　B
解析　由题中茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,
96,98,99,101,103,114，共17个，故中位数为92，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.
2．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　第一次循环执行条件语句，此时N＝24,24能被3整除，则N＝24÷3＝8.
∵8≤3不成立，
∴进入第二次循环执行条件语句，此时N＝8,8不能被3整除，则N＝8－1＝7.
∵7≤3不成立，
∴进入第三次循环执行条件语句，此时N＝7,7不能被3整除，则N＝7－1＝6.
∵6≤3不成立，
∴进入第四次循环执行条件语句，此时N＝6,6能被3整除，则N＝6÷3＝2.
∵2≤3成立，∴此时输出N＝2.
故选C.
3．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为(　　)
A. B. C. D．1
答案　B
解析　坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.
4．某校有40个班，每班50人，要求每班随机选派3人参加“学生代表大会”，在这个问题中样本容量是(　　)
A．40 B．50 C．120 D．150
答案　C
解析　选派人数是40×3＝120，即为样本容量．
5．已知函数y＝a－x，当a在集合中任意取值时，函数为增函数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　y＝a－x＝x为增函数时，有>1，即0由于a∈，所以函数为增函数包含3个基本事件，基本事件总数为5，则函数为增函数的概率为.
6．如图所示，四个可以自由转动的转盘被平均分成若干个圆心角相同的扇形，转动转盘，当转盘停止转动后，有两个转盘的指针指向白色区域的概率相同，则这两个转盘是(　　)
A．转盘1和转盘2 B．转盘2和转盘3
C．转盘2和转盘4 D．转盘3和转盘4
答案　C
解析　四个转盘指针指向白色区域的概率分别为P1＝，P2＝＝，P3＝＝，P4＝，故P2＝P4，即转盘2和转盘4指针指向白色区域的概率相同．
7．某实验室有4个饲养房，分别养有18,54,24,48只白鼠供实验用，某项实验需抽取24只白鼠，你认为最合适的抽样方法是(　　)
A．在每个饲养房各抽取6只
B．把所有白鼠都加上编号不同的颈圈，用简单随机抽样法确定24只
C．从4个饲养房分别抽取3,9,4,8只
D．先确定这4个饲养房应分别抽取3,9,4,8只，再在各饲养房自己加号码颈圈，用简单随机抽样的方法确定
答案　D
解析　因为这24只白鼠要从4个饲养房中抽取，所以要先用分层抽样法决定各个饲养房应抽取的只数，再用简单随机抽样法从各个饲养房选出所需的白鼠．选项C用了分层抽样法，但在每层中没有考虑到个体的差异，也就是说在各个饲养房中抽取样本时，没有说明是否具有随机性．
8．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊的方法有10种，其中喜羊羊和美羊羊恰好只有一只的有6种，由古典概型概率计算公式可得，所求概率为.
9．现有1位女教师和2位男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出1道题进行说题，其中恰有1男1女抽到相同题目的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设2道题分别为A，B，所以抽取情况有AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，共8种，其中第1个，第2个字母分别表示2位男教师抽取的题目，第3个字母表示女教师抽取的题目，则满足恰有1男1女抽到相同题目的事件为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为.
10．执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
答案　C
解析　执行程序：
S＝，m＝，n＝1，S>t；
S＝，m＝，n＝2，S>t；
S＝，m＝，n＝3，S>t；
S＝，m＝，n＝4，S>t；
S＝，m＝，n＝5，S>t；
S＝，m＝，n＝6，S>t；
S＝，m＝，n＝7，
此时S>t不成立，退出循环，n＝7.
故选C.
11．为参加CCTV举办的中国汉字听写大赛，某中学举行了一次大型选拔活动，随机统计了甲、乙两班各6名学生的汉字听写的成绩如图所示，设甲、乙两班数据平均数依次为1，2，标准差依次为s1，s2，则(　　)
A.1>2，s1>s2 B.1>2，s1C.1＝2，s1>s2 D.1＝2，s1答案　C
解析　1＝(3×8＋6＋2×5＋120×2＋130×3＋140)＝135，
2＝×(2×9＋7＋8＋5＋2＋120×2＋130×3＋140)＝135，
s＝×[(－7)2＋(－9)2＋02＋32＋32＋102]＝，
s＝[(－8)2＋(－6)2＋32＋02＋42＋72]＝29，所以1＝2，s1>s2，故选C.
12．一批热水器共98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为14的样本，那么抽得甲、乙两厂生产的热水器的台数分别是(　　)
A．9,5 B．8,6 C．10,4 D．7,7
答案　B
解析　抽得甲厂生产的热水器的台数是×14＝8，抽得乙厂生产的热水器的台数是×14＝6.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若六进制数13m 502(6)化为十进制数为12 710，则m＝________.
答案　4
解析　根据将k进制数转化为十进制数的方法有13m 502(6)＝1×65＋3×64＋m×63＋5×62＋0×61＋2＝12 710，解得m＝4.
14．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x＝________.
答案　21
解析　中位数为＝22，所以x＝21.
15．设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.
答案　495
解析　取a1＝815，则b1＝851－158＝693≠815，
则a2＝693；
由a2＝693知b2＝963－369＝594≠693，则a3＝594；
由a3＝594知b3＝954－459＝495≠594，则a4＝495；
由a4＝495知b4＝954－459＝495＝a4，则输出b＝495.
16．如图所示，正方形ABCD内接于圆O，且AE＝BE＝CG＝DG，AH＝CF＝AD，则往圆O内投掷一点，该点落在四边形EFGH内的概率为________．
答案　
解析　设AB＝4a，则圆O的面积为8πa2，四边形EFGH的面积为16a2－2××a×2a－2××3a×2a＝8a2，则所求概率为＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)将一枚骰子连续抛掷两次，观察向上的点数．
(1)求点数之和是5的概率；
(2)设a，b分别是将一枚骰子连续抛掷两次后得到的向上的点数，求等式2a－b＝1成立的概率．
解　该试验所有可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，基本事件总数为36.
记事件A＝{点数之和是5}，则事件A所含的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个，所以P(A)＝＝.
(2)若等式2a－b＝1成立，则a－b＝0，即连续抛掷两次骰子所得的点数相等．记事件B＝{向上的点数相等}，则事件B所包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6个，所以P(B)＝＝.
18．(12分)某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数减少1人，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除2个个体，求n.
解　总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量为n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，
所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.
当样本容量为(n－1)时，总体容量剔除以后是34人，系统抽样的间隔为，因为必须是整数，
所以n只能取18，即样本容量n＝18.
19．(12分)某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
求(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩．
解　(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又因为第一个小矩形的面积为0.3，前两个小矩形的面积和为0.3＋0.4＝0.7>0.5，所以设第二个小矩形底边的一部分长为x，
则x×0.04＝0.2，得x＝5，所以中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分．
20．(12分)下表数据是水的温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的.
x/℃
300
400
500
600
700
800
y/%
40
50
55
60
67
70
(1)画出散点图；
(2)指出x，y是否线性相关，若线性相关，求y对x的回归直线方程；
(3)估计水的温度是1 000 ℃时，黄酮延长性的情况．
解　(1)散点图如下：
(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关．计算得＝550，＝57，≈0.058 86，＝－≈57－0.058 86×550＝24.627.
因此所求的回归直线方程为＝0.058 86x＋24.627.
(3)将x＝1 000代入回归直线方程得＝0.058 86×1 000＋24.627＝83.487，即水的温度是1 000 ℃时，黄酮延长性大约是83.487%.
21．(2018·漳平模拟)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b)，其中a，分别表示甲组研发成功和失败；b，分别表示乙组研发成功和失败．
(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
解　(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数甲＝＝；
方差为s＝＝.
乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数乙＝＝；
方差为s＝＝.
因为甲>乙，s(2)记恰有一组研发成功为事件E，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，)，(，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(a，)，(，b)，共7个．因此事件E发生的频率为.用频率估计概率，即得所求概率为P(E)＝.
22．(12分)某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在[65,90]内)分组如下：第一组[65,70)，第二组[70,75)，第三组[75,80)，第四组[80,85)，第五组[85,90]．得到频率分布直方图如图所示．
(1)求测试成绩在[80,85)内的频率；
(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率．
解　(1)测试成绩在[80,85)内的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.
(2)第三组的人数为0.06×5×100＝30，第四组的人数为0.2×100＝20，
第五组的人数为0.02×5×100＝10，
所以第三组抽取3人，第四组抽取2人，第五组抽取1人．
设第三组抽到的3人为A1`，A2，A3，第四组抽到的2人为B1，B2，第五组抽到的1人为C.
从6名学生中随机选取2名的可能情况有15种：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)．
设“第四组2名学生中至少有1名学生被抽中”为事件M，则事件M包含的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共9个．
所以，第四组至少有1名学生被抽中的概率P(M)＝＝.
章末检测试卷(三) (A)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列事件中，随机事件的个数是(　　)
①2020年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④若x∈R，则x2≥0.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
2．利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　总体个数为N，样本容量为M，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝.
3．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是(　　)
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案　A
解析　由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．
4．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　所有的基本事件总数为4，分别为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，∴两胎均是女孩的概率为.
5．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是(　　)
A. B．1－ C. D.
答案　B
解析　如图所示，边长为4的正方形ABCD，分别以A，B，C，D为圆心，都以2为半径画弧截正方形ABCD后剩余部分是阴影部分．
则阴影部分的面积是42－4××π×22＝16－4π，
所以所求概率是＝1－.
6．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是(　　)
A．P(M)＝，P(N)＝
B．P(M)＝，P(N)＝
C．P(M)＝，P(N)＝
D．P(M)＝，P(N)＝
答案　D
解析　U＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，
M＝{(正，反)，(反，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P(M)＝，P(N)＝.
7．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为(　　)
A．100 m B．80 m C．50 m D．40 m
答案　A
解析　因为河宽为x m，则1－＝，∴x＝100.
8．在区间[－1,4]内取一个数x，则≥的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　不等式≥，可化为x2－x－2≤0，
则－1≤x≤2，
故所求概率为＝.
9．已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其面积平分，如图，故所求概率为.
10．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m>n的点应在梯形ABCD内，所以所求事件的概率为
P＝＝.
11．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，有10种方法．能成为勾股数的只有3,4,5一组，
∴P＝.
12．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是(　　)
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
答案　A
解析　由题意，为了决出胜负，最多再比赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)．所以甲获胜概率为，乙获胜概率为.
所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张)，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．袋中有3只白球和a只黑球，从中任取1只，是白球的概率为，则a＝________.
答案　18
解析　∵＝，∴a＝18.
14．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
答案　120
解析　设男教师为n人，则女教师为(n＋12)人，
∴＝.∴n＝54，
∴参加联欢会的教师共有120人．
15．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．
答案　
解析　第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为.
16．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A∪发生的概率为________．( 表示B的对立事件)
答案　
解析　事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与是互斥的，故P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知关于x的一次函数y＝mx＋n.
(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；
(2)实数m，n满足条件求函数y＝mx＋n的图象经过第一、二、三象限的概率．
解　(1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个，
设“使函数为增函数的事件”为A，则A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)m，n满足条件的区域如图所示．
要使函数的图象过第一、二、三象限，则m>0，n>0，故使函数图象过第一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求事件的概率为P＝＝.
18．(12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解　(1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25(种)，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种情况，
∴P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．因为和为偶数的基本事件数为13，即(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为.
所以这种游戏规则不公平．
19．(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解　(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：
由以上树形图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4种，故所求概率P＝＝.
20．(12分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解　(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2 000.
则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得＝，即a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件为：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．事件E包含的基本事件为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件为：9.4,8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.
21．(12分)M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩(单位：分)如茎叶图所示，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．
(1)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数；
(2)如果用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”的概率是多少？
解　(1)男生共有14人，中间两个成绩是175和176，因此男生成绩的中位数是175.5.
女生成绩的平均数＝＝181.
(2)用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是＝.
根据茎叶图，“甲部门”有8人，“乙部门”有12人．
所以选中的“甲部门”的有8×＝2(人)，“乙部门”的有12×＝3(人)．
记选中的“甲部门”的为A1，A2，选中的“乙部门”的为B，C，D.从这5人中选2人的所有可能情况为(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种．
其中至少有一人是“甲部门”的结果有7种．
因此，至少有一人是“甲部门”的概率是.
22．(12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
解　先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，
∴＝1，整理，得a2＋b2＝25.
由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，
∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4或a＝4，b＝3两种情况．
∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是＝.
(2)∵三角形的一条边长为5，三条线段围成等腰三角形，
∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝3时，b＝3,5，共2个基本事件；
当a＝4时，b＝4,5，共2个基本事件；
当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；
当a＝6时，b＝5,6，共2个基本事件；
∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14(个)．
∴三条线段能围成等腰三角形的概率为＝.
章末检测试卷(三)(B)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．以下事件是随机事件的是(　　)
A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄
C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大
答案　C
解析　A，B，D是必然事件．
2．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若它是肉馅包子的概率为，它不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　由题意，可知这个包子是肉馅或素馅的概率为，所以它是素馅包子的概率为－＝，故素馅包子的个数为10×＝3.
3．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为(　　)
A．两事件是互斥但非对立事件
B．两事件是对立事件
C．两事件的和事件是不可能事件
D．两事件的积事件是必然事件
答案　A
解析　由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．
4．(2018·钦州期中)根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为(　　)
A．15% B．20% C．45% D．65%
答案　D
解析　因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.
5．根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到一中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600人，则眼镜商应带滴眼液的数目为(　　)
A．600 B．787
C．不少于473 D．不多于473
答案　C
解析　由概率的意义，该校近视生人数约为78.7%×600＝472.2，结合实际情况，应带滴眼液不少于473瓶．
6．如图所示，将一个长与宽不等的长方形沿对角线分成四个区域，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，则下列对指针停留在各区域的可能性的说法正确的是(　　)
A．一样大 B．蓝白区域大
C．红黄区域大 D．由指针转动的圈数决定
答案　B
解析　哪个区域的张角大，则指针停留在哪个区域的可能性大，显然蓝、白区域的角度大，故选B.
7．小丽和小明一起用A，B两枚均匀的小正方体(小正方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小丽掷出的A小正方体朝上的数字为x，小明掷出的B小正方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在抛物线y＝－x2＋4x上的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　根据题意，两人各掷小正方体一次，每人都有6种可能性，则点P(x，y)的情况有6×6＝36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2,4)，(1,3)，(3,3)共3种．因此满足条件的概率为＝.
8．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　根据题意作出满足条件的几何图形求解．
如图所示，
正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是.
9．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法(　　)
A．公平，每个班被选到的概率都为
B．公平，每个班被选到的概率都为
C．不公平，6班被选到的概率最大
D．不公平，7班被选到的概率最大
答案　D
解析　P(1)＝0，P(2)＝P(12)＝，P(3)＝P(11)＝，P(4)＝P(10)＝，
P(5)＝P(9)＝，P(6)＝P(8)＝，P(7)＝，故选D.
10．下列概率模型中，几何概型的个数为(　　)
①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
②从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
③向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．
A．1 B．2 C．3 D．0
答案　B
解析　①是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；②不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；③是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性．
11．如图所示，在正方形围栏内均匀地撒入米粒，一只小鸡在其中随意啄食，则小鸡在正方形的内切圆中的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设正方形的边长为2R.
由几何概型的概率公式可得P＝＝，
即小鸡在正方形的内切圆中的概率为.
12．(2018·湖北省部分重点中学考试)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a，b，c，日销售量为21个的2天记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P＝，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
答案　12 000
解析　设保护区内有这种动物x只，因为每只动物被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝12 000.
14．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏________(“公平”或“不公平”)．
答案　公平
解析　向空中同时抛两枚同样的一元硬币，落地后的结果有“正正”“反正”“正反”“反反”四种情况，其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是，因此游戏是公平的．
15．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是________________．
答案　
解析　由题意可知即
解得所以16．如图所示，有一个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为________．
答案　
解析　由题意可知，所有的基本事件数为12，其中为2或3的倍数的是2,3,4,6,8,9,10,12，共8个，故所求的概率为＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)体育彩票的抽奖方式是从写在36个球上的不同号码中随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码；也有人说，由于每个号码出现的机会相等，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，则应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
解　体育彩票抽奖时所用的标有36个号码的球大小、重量是一致的，严格地说，为了保证公平，每次用的36个球，只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形．因此，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．
18．(12分)(CB即Citizen Band民用波段的英文缩写)两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都在卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：00时莉莉在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈这一概率有多大？
解　设x和y分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x≤30,0≤y≤40，则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x，y)，这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈这一事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生(如图)．
因此构成该事件的点由满足不等式≤25的数对组成，此不等式等价于x2＋y2≤625，图中的长方形区域代表总的基本事件，阴影部分代表所求事件，长方形区域的面积为1 200平方公里，
而阴影部分的面积为π·(25)2＝(平方公里)．
于是有P＝＝＝.
19．(12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.
组号
分组
频数
1
[4,5)
2
2
[5,6)
8
3
[6,7)
7
4
[7,8]
3
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
解　方法一　(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个，所以所求的概率P＝.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05.
方法二　(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．
所以所求的概率P＝1－＝.
(2)同方法一．
20．(12分)已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．
解　(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，
由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，
所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．
故满足a·b＝－1的概率为＝.
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为
Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．
满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．
画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，
阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，
故满足a·b<0的概率为.
21．(12分)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
解　(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
22．(12分)某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；
(2)已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女生的概率．
解　(1)设第2组[30,40)的频率为f2，
f2＝1－(0.005＋0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.35；
第4组的频率为0.02×10＝0.2.
所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为P1＝0.35＋0.2＝0.55.
(2)设第1组[20,30)的频数为n1，则n1＝120×0.005×10＝6.
记第1组中的男性为x1，x2，女性为y1，y2，y3，y4，
随机抽取3名群众的基本事件是：(x1，x2，y1)，(x1，x2，y2)，(x1，x2，y3)，(x1，x2，y4)，(x1，y2，y1)，(x1，y3，y2)，(x1，y1，y3)，(x1，y4，y1)，(x1，y2，y4)，(x1，y3，y4)，(x2，y2，y1)，(x2，y3，y2)，(x2，y1，y3)，(x2，y4，y1)，(x2，y2，y4)，(x2，y3，y4)，(y1，y2，y3)，(y1，y2，y4)，(y2，y3，y4)，(y1，y3，y4)共20种．其中至少有两名女性的基本事件是：(x1，y2，y1)，(x1，y3，y2)，(x1，y1，y3)，(x1，y4，y1)，(x1，y2，y4)，(x1，y3，y4)，(x2，y2，y1)，(x2，y3，y2)，(x2，y1，y3)，(x2，x4，y1)，(x2，y4，y4)，(x2，y3，y4)，(y1，y2，y3)，(y1，y2，y4)，(y2，y3，y4)，(y1，y3，y4)共16种．所以至少有两名女性的概率为P2＝＝.

3.1　事件与概率
3.1.1　随机现象
3.1.2　事件与基本事件空间
学习目标　1.了解随机现象、基本事件和基本事件空间的概念.2.在实际问题中，能正确的求出事件包含的基本事件的个数和基本事件空间中基本事件的总数．
知识点一　随机现象
思考1　随机现象是否为一种杂乱无章的现象？
答案　随机现象不是一种杂乱无章的现象，是有一定规律可循的．
思考2　自然界和人类社会里存在着必然现象和随机现象，下列几个现象是必然现象吗？为什么？
(1)把一石块抛向空中，它会掉到地面上来；
(2)我们生活的地球，每天都在绕太阳转动；
(3)一个人随着岁月的消逝，一定会衰老、死亡．
答案　都是必然现象．因为这些现象是在一定条件下必然要发生的现象．
梳理　必然现象与随机现象
现象
条件
特征
必然现象
在一定条件下
在一定条件下必然发生某种结果的现象
随机现象
当在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现
知识点二　事件与基本事件空间
思考　事件的分类是确定的吗？
答案　事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．
梳理　1.试验及试验的结果
名称
定义
试验
把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验
试验的结果
把观察结果或实验结果称为试验的结果
2.三种事件的概念
事
件
必然事件
在同样的条件下重复进行试验时，一定会发生的结果
不可能事件
在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果
随机事件
在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果
3.基本事件、基本事件空间
名称
定义
基本事件
试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘
基本事件空间
所有基本事件构成的集合称为基本事件空间．基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.
1．任何一个事件都是一个基本事件．(　×　)
2．事件：某同学竞选学生会主席成功是随机事件．(　√　)
题型一　随机现象及判断
例1　判断下列现象是必然现象还是随机现象．
(1)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；
(2)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；
(3)标准大气压下，把水加热至100℃沸腾；
(4)骑车经过十字路口时，信号灯的颜色．
解　(1)随机现象．因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定．
(2)随机现象．因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，是不可知的．
(3)必然现象．因为标准大气压下，水加热至100℃时沸腾这个结果一定会发生，是确定的．
(4)随机现象．因为信号灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的，是无法确定的．
反思与感悟　判断某一现象是随机现象还是必然现象的关键是看在一定条件下，现象的结果是否可以预知、确定．若在一定条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象为必然现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象称为随机现象．
跟踪训练1　下列现象是随机现象的是(　　)
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
答案　C
解析　由于方程x－|x|＝2无解，故①不可能发生，不是随机事件，由随机现象的定义知②③④正确．
题型二　确定基本事件空间
例2　连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？
解　(1)用类似上面一先一后掷两枚硬币时基本事件的记法，这个试验的基本事件空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．
(2)基本事件的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
反思与感悟　当基本事件的总数比较大时，首先要列举基本事件，然后查个数，得出总数．在列举时要按照一定的顺序，才能确保基本事件不重、不漏．
跟踪训练2　1个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,4,5，从中一次任取两球．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件中所包含的基本事件．
解　(1)Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}．
(2)基本事件总数为10.
(3)“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件为(1,5)，(2,4).

1．下列事件中的随机事件为(　　)
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．没有水和空气，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，反面向上
D．在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾
答案　C
解析　A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．
2．在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是(　　)
A．3件都是正品 B．至少有一件是次品
C．3件都是次品 D．至少有一件是正品
答案　D
解析　12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件，故选D.
3．下列事件中，是随机事件的是________．(填序号)
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②打开电视机，正好在播新闻；③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任摸4个，全部都是黄球；④下周六是晴天．
答案　②④
解析　①是必然事件，③是不可能事件，②④是随机事件．
4．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的基本事件空间为Ω＝________.
答案　{ab，ac，ad，bc，bd，cd}
解析　含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；
不含a，b，含c的有cd.∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．
5．从1,2,3,4中任取三个数字组成三位数，求该试验的基本事件空间．
解　画出树形图，如图：
由图可知基本事件空间Ω＝{123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,
324,341,342,412,413,421,423,431,432}．
1．事件
2．掌握基本事件与基本事件空间的概念．
3．在写基本事件空间时，要明确事件发生的条件，按一定次序列举，做到不重、不漏．
一、选择题
1．有下列事件：
①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；
②异性电荷相互吸引；
③在标准大气压下，水在1℃结冰；
④买了一注彩票就得了特等奖．
其中是随机事件的有(　　)
A．①② B．①④ C．①③④ D．②④
答案　B
解析　①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件．
2．下列事件中，不可能事件是(　　)
A．三角形的内角和为180°
B．a⊥α，b⊥α，a∥b
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任意两边之和大于第三边
答案　C
解析　锐角三角形中两内角和大于90°.
3．从1,2,3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和大于6”这一事件是(　　)
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
答案　C
解析　从所给的10个数中，任取3个数，其和最小为6.故事件“这3个数的和大于6”为随机事件，故选C.
4．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案　C
解析　该生选报的所有可能情况是：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个．
5．下列现象是必然现象的是(　　)
A．某路口单位时间内通过的车辆数
B．n边形的内角和为(n－2)·180°
C．某同学在期末考试中数学成绩高于60分
D．一名篮球运动员每场比赛所得的分数
答案　B
解析　A，C，D选项为随机现象，B选项为必然现象．
6．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的基本事件共有(　　)
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
答案　C
解析　“点P落在x轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数，故选C.
7．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　)
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
答案　B
解析　抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．
二、填空题
8．投掷两枚骰子，点数之和为8所含的基本事件有____种．
答案　5
解析　基本事件为(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)．
9．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的基本事件空间为________________，“它是偶数”这一事件包含的基本事件个数为________．
答案　Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}　5
10．写出下列试验的基本事件空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)______________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数____________．
答案　(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0,1,2,3,4}
三、解答题
11．指出下列试验的结果：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差．
解　(1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．
(2)结果：
1－3＝－2,3－1＝2，
1－6＝－5,3－6＝－3，
1－10＝－9,3－10＝－7，
6－1＝5,10－1＝9，
6－3＝3,10－3＝7，
6－10＝－4,10－6＝4.
即试验的结果为：－2,2，－5，－3，－9，－7,5,9,3,7，－4，4.
12．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况．
(1)写出该试验的基本事件空间；
(2)事件“三人出拳相同”包含的基本事件有哪些？
解　以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布．
(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)事件“三人出拳相同”包含下列三个基本事件：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)．
13．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设基本事件空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该事件的基本事件空间Ω；
(2)写出事件A、事件B包含的基本事件；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
解　(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；
B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
四、探究与拓展
14．在10个学生中，男生有x人．现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为(　　)
A．5 B．6
C．3或4 D．5或6
答案　C
解析　由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，∴x＝3或x＝4.故选C.
15．从1,2,3,5中任取两个数字作为直线Ax＋By＝0中的A，B.
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验基本事件的总数；
(3)写出“这条直线的斜率大于－1”这一事件所包含的基本事件．
解　(1)从1,2,3,5中任取两个数字构成有序实数对(A，B)，其中A是第一次取到的数字，B是第二次取到的数字，这个试验的基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}．
(2)这个试验基本事件的总数是12.
(13)直线Ax＋By＝0的斜率为－，若－＞－1，则＜1，因为A，B均为正数，所以A＜B.因此，“这条直线的斜率大于－1”这一事件包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,3)，(2,5)，(3,5)．
课件26张PPT。3.1.1　随机现象　3.1.2　事件与基本事件空间第三章　3.1　事件与概率学习目标
1.了解随机现象、基本事件和基本事件空间的概念.
2.在实际问题中，能正确的求出事件包含的基本事件的个数和基本事件空间中基本事件的总数.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　随机现象思考1　随机现象是否为一种杂乱无章的现象？
思考2　自然界和人类社会里存在着必然现象和随机现象，下列几个现象是必然现象吗？为什么？
(1)把一石块抛向空中，它会掉到地面上来；
(2)我们生活的地球，每天都在绕太阳转动；
(3)一个人随着岁月的消逝，一定会衰老、死亡. 答案　随机现象不是一种杂乱无章的现象，是有一定规律可循的.
答案　都是必然现象.因为这些现象是在一定条件下必然要发生的现象. 梳理　必然现象与随机现象必然发生不一定相同思考　事件的分类是确定的吗？知识点二　事件与基本事件空间答案　事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.梳理　1.试验及试验的结果某种目的试验的结果2.三种事件的概念一定会发生始终不会发生可能发生可能不发生3.基本事件、基本事件空间最简单的Ω[思考辨析 判断正误]
1.任何一个事件都是一个基本事件.(　　)
2.事件：某同学竞选学生会主席成功是随机事件.(　　)×√题型探究例1　判断下列现象是必然现象还是随机现象.
(1)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；
(2)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；题型一　随机现象及判断解答解　随机现象.因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定.
解　随机现象.因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，是不可知的.(3)标准大气压下，把水加热至100℃沸腾；
(4)骑车经过十字路口时，信号灯的颜色.解答解　必然现象.因为标准大气压下，水加热至100℃时沸腾这个结果一定会发生，是确定的.
解　随机现象.因为信号灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的，是无法确定的.反思与感悟　判断某一现象是随机现象还是必然现象的关键是看在一定条件下，现象的结果是否可以预知、确定.若在一定条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象为必然现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象称为随机现象.跟踪训练1　下列现象是随机现象的是
①当x是实数时，x－|x|＝2；②某班一次数学测试，及格率低于75%；③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；④体育彩票某期的特等奖号码.
A.①②③ B.①③④
C.②③④ D.①②④√答案解析解析　由于方程x－|x|＝2无解，故①不可能发生，不是随机事件，由随机现象的定义知②③④正确．题型二　确定基本事件空间例2　连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？解答解　用类似上面一先一后掷两枚硬币时基本事件的记法，这个试验的基本事件空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}.
解　基本事件的总数是8.
解　“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).反思与感悟　当基本事件的总数比较大时，首先要列举基本事件，然后查个数，得出总数.在列举时要按照一定的顺序，才能确保基本事件不重、不漏.跟踪训练2　1个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,4,5，从中一次任取两球.
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件中所包含的基本事件.解答解　Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}.
解　基本事件总数为10.
解　“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件为(1,5)，(2,4).达标检测1.下列事件中的随机事件为
A.若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B.没有水和空气，人也可以生存下去
C.抛掷一枚硬币，反面向上
D.在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾√答案解析12345解析　A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件.
在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件.
抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件.
在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件.答案2.在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是
A.3件都是正品 B.至少有一件是次品
C.3件都是次品 D.至少有一件是正品√12345解析解析　12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件，故选D.3.下列事件中，是随机事件的是______.(填序号)
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②打开电视机，正好在播新闻；
③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任摸4个，全部都是黄球；
④下周六是晴天.解析　①是必然事件，
③是不可能事件，
②④是随机事件.12345答案解析②④4.从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的基本事件空间为Ω
＝__________________________.12345答案{ab，ac，ad，bc，bd，cd}解析　含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；
不含a，b，含c的有cd.
∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}.解析5.从1,2,3,4中任取三个数字组成三位数，求该试验的基本事件空间.12345解答解　画出树形图，如图：由图可知基本事件空间Ω＝{123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,
241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432}.2.掌握基本事件与基本事件空间的概念.
3.在写基本事件空间时，要明确事件发生的条件，按一定次序列举，做到不重、不漏.3.1.3　频率与概率
学习目标　1.在具体情景中，了解随机事件发生的频率的稳定性与概率的意义.2.了解频率与概率的区别与联系．
知识点　频率与概率
思考　同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都一样吗？
答案　概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都是一样的．
梳理　(1)定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率．
(2)记法：P(A)．
(3)范围：0≤P(A)≤1.
(4)频率与概率的关系：概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一个近似．概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.(　√　)
2．小概率事件就是不可能发生的事件．(　×　)
3．某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．(　×　)
题型一　概率的定义
例1　解释下列概率的含义：
(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
解　(1)说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说，100件该厂的产品中大约有90件是合格品．
(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．
反思与感悟　概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．
跟踪训练1　任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学的生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97.据此我们知道(　　)
A．取定一个标准班，A发生的可能性是97%
B．取定一个标准班，A发生的概率大概是0.97
C．任意取定10 000个标准班，其中大约9 700个班A发生
D．随着抽取的标准班数n不断增大，A发生的频率逐渐稳定在0.97，在它附近摆动
答案　D
解析　对于给定的一个标准班来说，A发生的可能性不是0就是1，故A与B均不对；对于任意取定10 000个标准班，在极端情况下，事件A有可能都不发生，故C也不对，请注意，本题中A，B，C选项中错误的关键原因是“取定”这两个字，表示“明确了结果，结果是确定的”．
题型二　概率与频率的关系及求法
例2　下面是某批乒乓球质量检查结果表：
抽取球数
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数
45
92
194
470
954
1 902
优等品出现的频率

(1)在上表中填上优等品出现的频率；
(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少？
解　(1)如下表所示：
抽取球数
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数
45
92
194
470
954
1 902
优等品出现的频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
(2)从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是0.95.
引申探究
本例中若抽取乒乓球的数量为1 700只，则优等品的数量大约为多少？
解　由优等品的概率为0.95，则抽取1 700只乒乓球时，优等品数量为1 700×0.95＝1 615.
反思与感悟　如果随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验的次数n很大时，可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．
跟踪训练2　某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　)
A．概率为 B．频率为
C．频率为8 D．概率接近于8
答案　B
解析　做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故＝为事件A的频率．
1．抛掷一枚质地均匀的硬币1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　抛掷一枚质地均匀的硬币1 000次，每一次出现正面朝上的概率均为.
2．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4位病人都未治愈，则第5位病人的治愈率为(　　)
A．1 B. C. D．0
答案　B
解析　治愈率为，表明每位病人被治愈的概率均为，并不是5人中必有1人被治愈．故选B.
3．下列说法正确的是__________．(填序号)
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；
③百分率是频率，不是概率；
④频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
答案　①④⑤
解析　由频率与概率的意义知，①正确；由频率与概率之间的关系知，②不正确；④，⑤正确；③不正确，百分率通常是指概率．
4．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492　496　494　495　498　497　501　502　504　496
497　503　506　508　507　492　496　500　501　499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为________．
答案　0.25
解析　袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的共有5袋，所以其概率约为＝0.25.
5．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？
解　两枚硬币的点数和可列下表：
一枚
另一枚　　　
1点
2点
1点
2
3
2点
3
4
很明显，试验的结果共有4种，而点数3占了两种，点数2和4各占一种，因此，每个班被选中的概率是不同的，这种选法是不公平的．
1．概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们平时所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的规律性，才是概率意义下的“可能性”，而日常生活中的“可能”“估计”侧重于某次的偶然性．
2．概率与频率关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率．
一、选择题
1．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到的号码为奇数的频率是(　　)
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
答案　A
解析　＝0.53.
2．下列结论正确的是(　　)
A．设事件A的概率为P(A)，则必有0＜P(A)＜1
B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
答案　C
解析　A项不正确，因为0≤P(A)≤1；若事件A是必然事件，则P(A)＝1，故B项不正确；对于D项，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D项不正确．故选C.
3．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2 100
1 000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意得，4 500－200－1 000＝3 300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为＝.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选C.
4．先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大(　　)
A．至少一枚硬币正面向上
B．只有一枚硬币正面向上
C．两枚硬币都是正面向上
D．两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上
答案　A
解析　抛掷两枚梗币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况．至少有一枚硬币正面向上或至少有一枚硬币反面向上，均包括三种情况，其概率最大．
5．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都选择第一个选项，则一定有3个题选择结果正确”这句话(　　)
A．正确 B．错误 C．不一定 D．无法解释
答案　B
解析　解答一个选择题作为一次试验，每次选择的正确与否都是随机的．即选择正确的概率是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的选择结果都正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大．同时也有可能都选错，亦或有2题，4题，甚至12个题都选择正确．
6．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是(　　)
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
答案　B
解析　对于A，C，D，甲胜，乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数之和等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．
7．从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是(　　)
A．次品率小于10% B．次品率大于10%
C．次品率等于10% D．次品率接近10%
答案　D
解析　抽出的样本中次品的频率为，即10%，所以样本中次品率大约为10%，所以总体中次品率大约为10%.
二、填空题
8．某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释：
①明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨；
②明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨；
③明天本地降雨的机率是80%.
其中正确的是________．(填序号)
答案　③
解析　①②显然不正确，因为80%的概率是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨或80%的时间降雨．
9．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________．
答案　3∶1
解析　将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．
至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1.
10．利用简单随机抽样的方法抽取某校200名学生，其中戴眼镜的学生有123人，若在这个学校随机调查一名学生，则他戴眼镜的概率约是________．
答案　0.615
解析　样本中的学生戴眼镜的频率为＝0.615，所以随机调查一名学生，他戴眼镜的概率约为0.615.
11．为了解在一个水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库的不同位置捕捞出n条鱼，将这n个样本分成若干组，若某组的频数和频率分别为30和0.25，则n＝________.
答案　120
解析　据题意知n×0.25＝30，所以n＝120.
三、解答题
12．某制造商今年3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
10
[39.97,39.99)
20
[39.99,40.01)
50
[40.01,40.03]
20
合计
100
(1)请将上表补充完整；
(2)已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率．
解　(1)频率分布表：
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
10
0.1
[39.97,39.99)
20
0.2
[39.99,40.01)
50
0.5
[40.01,40.03]
20
0.2
合计
100
1.0
(2)标准尺寸是40.00 mm，且误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97,40.03]内．由(1)中频率分布表知，直径落在[39.97,40.03]内的频率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9，所以直径误差不超过0.03 mm的概率约为0.9.
13．为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾．试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．
解　设水库中鱼的尾数为n，从水库中任捕一尾，每尾鱼被捕的频率(代替概率)为，第二次从水库中捕出500尾，带有记号的鱼有40尾，则带记号的鱼被捕的频率(代替概率)为，由≈，得n≈25 000.
所以水库中约有25 000尾．
四、探究与拓展
14．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是.
其中正确命题有__________．(填序号)
答案　④
解析　①错，次品率是指出现次品的可能性，从中任取200件，可能有10件次品，也可能没有．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．
15．街头有人摆一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时，白方胜，这种游戏对双方公平吗？若不公平，请说明哪方占便宜？
解　两枚骰子点数之和如下表：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
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7
8
9
10
11
12
其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种，概率是＝，
两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共24种，
概率是＝.所以这种游戏不公平，白方比较占便宜．
课件26张PPT。3.1.3　频率与概率第三章　3.1　事件与概率学习目标
1.在具体情景中，了解随机事件发生的频率的稳定性与概率的意义.
2.了解频率与概率的区别与联系.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　频率与概率思考　同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都一样吗？答案　概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都是一样的.梳理　(1)定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率 ，当n很大时，总是在某个 附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个 叫做事件A的概率.
(2)记法： .
(3)范围： .
(4)频率与概率的关系：概率是可以通过 来“测量”的，或者说频率是概率的一个 .概率从 上反映了一个事件发生的可能性的大小.常数常数P(A)0≤P(A)≤1频率近似数量[思考辨析 判断正误]
1.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.(　　)
2.小概率事件就是不可能发生的事件.(　　)
3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.(　　)√××题型探究例1　解释下列概率的含义：
(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.题型一　概率的定义解答解　说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说，100件该厂的产品中大约有90件是合格品.
解　说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖.反思与感悟　概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.跟踪训练1　任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学的生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97.据此我们知道
A.取定一个标准班，A发生的可能性是97%
B.取定一个标准班，A发生的概率大概是0.97
C.任意取定10 000个标准班，其中大约9 700个班A发生
D.随着抽取的标准班数n不断增大，A发生的频率逐渐稳定在0.97，在它
附近摆动√解析答案解析　对于给定的一个标准班来说，A发生的可能性不是0就是1，故A与B均不对；
对于任意取定10 000个标准班，在极端情况下，事件A有可能都不发生，故C也不对，请注意，本题中A，B，C选项中错误的关键原因是“取定”这两个字，表示“明确了结果，结果是确定的”.题型二　概率与频率的关系及求法例2　下面是某批乒乓球质量检查结果表：解答(1)在上表中填上优等品出现的频率；解　如下表所示：(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少？解答解　从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是0.95.引申探究
本例中若抽取乒乓球的数量为1 700只，则优等品的数量大约为多少？解答解　由优等品的概率为0.95，则抽取1 700只乒乓球时，优等品数量为1 700×0.95＝1 615.跟踪训练2　某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的
A.概率为 B.频率为
C.频率为8 D.概率接近于8 答案解析√如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率.达标检测1.抛掷一枚质地均匀的硬币1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是 √答案解析12345答案解析12345√3.下列说法正确的是________.(填序号)
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率 就是事件的概率；
③百分率是频率，不是概率；
④频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.12345答案解析①④⑤12345解析　由频率与概率的意义知，①正确；
由频率与概率之间的关系知，②不正确；
④，⑤正确；
③不正确，百分率通常是指概率.解析　袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的共有5袋，答案解析123454.从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492　496　494　495　498　497　501　502　504　496
497　503　506　508　507　492　496　500　501　499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为______.0.25123455.某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？解答解　两枚硬币的点数和可列下表：很明显，试验的结果共有4种，而点数3占了两种，点数2和4各占一种，
因此，每个班被选中的概率是不同的，这种选法是不公平的.1.概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们平时所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的规律性，才是概率意义下的“可能性”，而日常生活中的“可能”“估计”侧重于某次的偶然性.
2.概率与频率关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率.3.1.4　概率的加法公式
学习目标　1.理解互斥事件与对立事件的区别与联系.2.会用互斥事件的概率加法公式求概率.3.会用对立事件的概率公式求概率．
知识点一　事件的运算
思考　一粒骰子掷一次，记事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事件C，D至少有一个发生时呢？
答案　事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点数为2.事件C，D至少有一个发生，掷出的点数可以是1,2,4,6.
梳理　事件的并
一般地，由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)．记作C＝A∪B.事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合．如图中阴影部分所表示的就是A∪B.
知识点二　互斥与对立的概念
思考　一粒骰子掷一次，事件E＝{出现的点数为3}，事件F＝{出现的点数大于3}，事件G＝{出现的点数小于4}，则E与F是什么事件？G与F是什么事件？
答案　∵E，F不能同时发生，∴E与F是互斥事件但不是对立事件．
∵G，F不能同时发生，且G，F必有一个发生，∴G与F既是互斥事件又是对立事件．
梳理　
1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件)．
2．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作.由于A与是互斥事件，所以P(Ω)＝P(A∪)＝P(A)＋P()，又由Ω是必然事件，得到P(Ω)＝1.所以P(A)＋P()＝1，即P()＝1－P(A)．
知识点三　概率的基本性质
思考　概率的取值范围是什么？为什么？
答案　概率的取值范围是0～1之间，即0≤P(A)≤1；由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，因而概率的取值范围也在0～1之间．
梳理　概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为[0,1]．
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
(3)互斥事件的概率加法公式
①假定A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生(是指事件A1，A2，…，An中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
1．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(　×　)
2．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(　√　)
3．若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(　√　)
题型一　事件关系的判断
例1　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
解　(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
反思与感悟　(1)不可能事件记作?，任何事件都包含不可能事件．
(2)事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记忆．
(3)事件A也包含于事件A，即A?A.
(4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A，B总是同时发生或同时不发生．
跟踪训练1　从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(　　)
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
答案　D
解析　根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．
题型二　互斥事件的概率加法公式
例2　在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．
解　分别记小明的考试成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
反思与感悟　在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”．
跟踪训练2　假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一枚炸弹，军火库发生爆炸的概率．
解　因为只投掷了一枚炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的．
令A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，
则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
令D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C，又因为A，B，C是两两互斥事件，故所求概率为P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
题型三　用互斥、对立事件求概率
例3　甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
解　(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－－＝.
(2)方法一　“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输)＝＋＝.
方法二　“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)＝1－＝，故甲不输的概率为.
反思与感悟　(1)只有当A，B互斥时，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立．
(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求解．
跟踪训练3　从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”．已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　　)
A．0.20 B．0.39 C．0.35 D．0.90
答案　C
解析　∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.
1．从1,2，…，9中任取两数，其中： ①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述各对事件中，是对立事件的是(　　)
A．① B．②④ C．③ D．③④
答案　C
解析　从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．
2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7
答案　C
解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.
3．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
答案　
解析　由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
4.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______．
答案　0.10
解析　设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为
P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
5．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.
求：(1)他乘火车或飞机去的概率；
(2)他不乘轮船去的概率．
解　设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C，乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥．
(1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
2．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
一、选择题
1．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部击中 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．以上均不正确
答案　B
解析　A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发，2发或3发，故选B.
2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是(　　)
A．A与B B．B与C
C．A与D D．B与D
答案　C
解析　A与D互斥，但不对立．故选C.
3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是(　　)
A．0.62 B．0.38
C．0.70 D．0.68
答案　B
解析　利用对立事件的概率公式可得P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38.
4．袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．至少有一个白球与都是白球
B．至少有一个白球与至少有一个红球
C．恰有一个红球与一个白球一个黑球
D．至少有一个红球与红、黑球各一个
答案　C
解析　直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可．
5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为，4位同学都选周日的概率为，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P＝1－－＝，故选D.
6．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有(　　)
①恰有一名男生和全是男生；
②至少有一名男生和至少有一名女生；
③至少有一名男生和全是男生；
④至少有一名男生和全是女生．
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①④
答案　D
解析　①是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；②不是互斥事件；③不是互斥事件；④是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生．
7．一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件：
①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；
②“至少有1件次品”和“都是次品”；
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；
④“至少有1件次品”和“都是正品”．
其中互斥事件有(　　)
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
答案　B
解析　对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；
对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；
对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；
对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件．
二、填空题
8．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________.
答案　0.3
解析　因为A，B为互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．所以P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
9．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________．
答案　
解析　事件“至少取到1瓶已过保质期的饮料”与事件“没有取到已过保质期的饮料”是对立事件，根据对立事件的概率公式得P＝1－＝.
10．抛掷一枚骰子两次，若至少有一个1点或2点的概率为，则没有1点或2点的概率是________．
答案　
解析　记事件A为“没有1点或2点”，B为“至少有一个1点或2点”，则A与B是互斥事件，且A与B是对立事件，故P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
11．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个的概率是________．
答案　
解析　记“既不出现5点也不出现6点”的事件为A，则P(A)＝，“5点或6点至少出现一个”的事件为B.
因为A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故5点或6点至少出现一个的概率为.
三、解答题
12．根据以往的成绩记录，某队员击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示：
(1)确定图中a的值；
(2)该队员进行一次射击，求击中环数大于7的概率(频率看成概率使用)．
解　(1)由题图可得0.01＋a＋0.19＋0.29＋0.45＝1，所以a＝0.06.
(2)设事件A为“该队员射击，击中环数大于7”，它包含三个两两互斥的事件：该队员射击，击中环数为8,9,10.所以P(A)＝0.29＋0.45＋0.01＝0.75.
13．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员在一次射击中：
(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
解　记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak之间彼此互斥．
(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6.
(2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
四、探究与拓展
14．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．
答案　0.45
解析　由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
15．某商场有奖销售中，购物满100元可得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖．
设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝.故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
课件31张PPT。3.1.4　概率的加法公式第三章　3.1　事件与概率学习目标
1.理解互斥事件与对立事件的区别与联系.
2.会用互斥事件的概率加法公式求概率.
3.会用对立事件的概率公式求概率.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　事件的运算思考　一粒骰子掷一次，记事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事件C，D至少有一个发生时呢？答案　事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点数为2.事件C，D至少有一个发生，掷出的点数可以是1,2,4,6.梳理　事件的并
一般地，由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件C，称为事件A与B的 (或和).记作C＝ .事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合.如图中阴影部分所表示的就是A∪B.并A∪B知识点二　互斥与对立的概念思考　一粒骰子掷一次，事件E＝{出现的点数为3}，事件F＝{出现的点数大于3}，事件G＝{出现的点数小于4}，则E与F是什么事件？G与F是什么事件？答案　∵E，F不能同时发生，
∴E与F是互斥事件但不是对立事件．
∵G，F不能同时发生，且G，F必有一个发生，
∴G与F既是互斥事件又是对立事件．梳理　
1.互斥事件：不可能 的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件).
2.对立事件：不能同时发生且 的两个事件叫做互为对立事件.事件A的对立事件记作 .由于A与 是互斥事件，所以P(Ω)＝P(A∪ )＝P(A)＋P( )，又由Ω是必然事件，得到P(Ω)＝1.所以P(A)＋P( )＝1，即P( )＝ .同时发生必有一个发生1－P(A)知识点三　概率的基本性质思考　概率的取值范围是什么？为什么？答案　概率的取值范围是0～1之间，即0≤P(A)≤1；
由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，
因而概率的取值范围也在0～1之间.梳理　概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为 .
(2) 的概率为1， 的概率为0.
(3)互斥事件的概率加法公式
①假定A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝ .
②一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生(是指事件A1，A2，…，An中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝
.[0,1]不可能事件必然事件P(A)＋P(B)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)[思考辨析 判断正误]
1.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.(　　)
2.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.(　　)
3.若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(　　)×√√题型探究例1　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.题型一　事件关系的判断解答解　(1)是互斥事件，不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件，又是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.反思与感悟　(1)不可能事件记作?，任何事件都包含不可能事件.
(2)事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记忆.
(3)事件A也包含于事件A，即A?A.
(4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A，B总是同时发生或同时不发生.跟踪训练1　从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球
D.恰有一个红球与恰有两个红球√解析答案解析　根据互斥事件与对立事件的定义判断.
A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件；
B中两事件是对立事件；
C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；
D中两事件是互斥而不对立事件.题型二　互斥事件的概率加法公式例2　在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.解答解　分别记小明的考试成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.反思与感悟　在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.跟踪训练2　假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一枚炸弹，军火库发生爆炸的概率.解答解　因为只投掷了一枚炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的.
令A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，
则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
令D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C，
又因为A，B，C是两两互斥事件，
故所求概率为P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.题型三　用互斥、对立事件求概率解答解　“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，(2)甲不输的概率.解答解　方法一　“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，方法二　“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，反思与感悟　(1)只有当A，B互斥时，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立.
(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P( )求解.跟踪训练3　从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”.已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为
A.0.20 B.0.39
C.0.35 D.0.90答案解析√解析　∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，
∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.达标检测1.从1,2，…，9中任取两数，其中： ①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.
在上述各对事件中，是对立事件的是
A.① B.②④ C.③ D.③④√答案解析12345解析　从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，
所以只有③中的两个事件才是对立事件.答案解析2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是
A.0.42 B.0.28
C.0.3 D.0.7√12345解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.解析　由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，
即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，12345答案解析解析　设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，
则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，
故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.答案解析123454.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______.0.10123455.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.
求：(1)他乘火车或飞机去的概率；
(2)他不乘轮船去的概率.解答解　设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C，乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥.
P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
解　P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.
2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
3.求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.3.2　古典概型
学习目标　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解概率的一般加法公式及适用条件．
知识点一　古典概型
思考1　“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
答案　不属于．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
思考2　若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型吗？
答案　不一定符合．还必须满足每个基本事件出现的可能性相等才符合古典概型．
梳理　(1)古典概型的特征：
①有限性　在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；
②等可能性　每个基本事件发生的可能性是均等的．
(2)古典概型的计算公式：P(A)＝.
知识点二　概率的一般加法公式(选学)
1．事件的交(或积)
由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．
2．概率的一般加法公式：如果A，B不是互斥事件，
则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1．每一个基本事件出现的可能性相等．(　√　)
2．古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的．(　√　)
题型一　古典概型的判断
例1　某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
解　不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的(为什么？)，即不满足古典概型的第二个条件.
反思与感悟　判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．
跟踪训练1　从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？
解　不是，因为有无数个基本事件.
题型二　古典概型的概率计算
例2　将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况．
(1)一共有多少种不同的结果？
(2)点数之和为5的结果有多少种？
(3)点数之和为5的概率是多少？
解　(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6种结果，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(种)不同的结果．
(2)点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种．
(3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36种结果是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的结果有4种，因此所求概率P(A)＝＝.
反思与感悟　古典概型问题包含的题型较多，但都必须紧扣古典概型的定义，进而用公式进行计算．列举法是求解古典概型问题的常用方法，借助于图表等有时更实用更有效．
跟踪训练2　在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率为________．
答案　
解析　试验结果如表所示：
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
6
2
2
3
4
5
6
7
3
3
4
5
6
7
8
4
4
5
6
7
8
9
5
5
6
7
8
9
10
由表可知两张卡片上数字之和共有36种情况，其中和为7有4种情况，
∴所求事件的概率为＝.
1．下列不是古典概型的是(　　)
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
答案　C
解析　A，B，D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不满足等可能性，故不为古典概型．
2．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出的三条线段为边可组成三角形的概率为(　　)
A．0 B. C. D.
答案　B
解析　从中任取三条线段共有4种取法，能构成三角形的只有长度为2,3,4的线段，所以P＝，故选B.
3．从数字1,2,3,4,5中任取2个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　从数字1,2,3,4,5中任取2个不同的数字能构成20个两位数：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，而大于40的数有8个：41,42,43,45,51,52,53,54，故所求的概率是＝.
4．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则loga b为整数的概率为________．
答案　
解析　从2,3,8,9中任取2个分别记为(a，b)，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，其中符合loga b为整数的有log3 9和log2 8两种情况，∴P＝＝.
5．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．求所取的2道题不是同一类题的概率．
解　将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m，n.
一、选择题
1．下列是古典概型的是(　　)
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
答案　C
解析　A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
2．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都入选的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　从五个人中选取三个人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都入选的结果有3种，故所求的概率为.
3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则一共有：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P＝.
4．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P＝.
5．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1,2,3,4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　从装有四个小球的盒子里随机摸出两个小球，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有6种取法，其中小球上标有的数字之和为5的取法共有2种，分别为(1,4)，(2,3)，根据古典概型的概率公式，得其概率为，故选A.
6．袋中有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个．
两球颜色为一白一黑的基本事件有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．
∴其概率为＝.
7．假如小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是.
8．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得，基本事件的总数有36种．因此他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.
二、填空题
9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．
答案　
解析　基本事件的总数为6×6＝36，记事件A＝{点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内}，则A所包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(1,3)，(1,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共8个．
∴P(A)＝＝.
10．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________．
答案　
解析　设3件正品为A，B，C,1件次品为D，从中不放回地任取2件，有以下基本事件：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个．其中恰有1件是次品的基本事件有：AD，BD，CD，共3个，故P＝＝.
11．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．
答案　
解析　用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc共15种，其中2名都是女同学的有ab，ac，bc共3种，故所求的概率为＝.
三、解答题
12．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师、中级教师、高级老师中分别抽取的人数；
(2)若从分层抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．
解　(1)由分层抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.
(2)在分层抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝＝.
13．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解　(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1,150×＝3,100×＝2，
所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，C1}，{A1，C2}，
{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，
{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，
共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件出现的机会是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，
则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
四、探究与拓展
14．一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是________．
答案　
解析　基本事件共有36个．因为方程有实根，所以Δ＝(m＋n)2－16≥0.所以m＋n≥4，其对立事件是m＋n＜4，它包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件．
所以所求概率为1－＝.
15．“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某发红包单位进行一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，组织员工在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：
年龄(岁)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
调查人数
m
n
14
12
8
6
参与的人数
3
4
12
6
3
2
表中所调查的居民年龄在[10,20)，[20,30)，[50,60)内的人数成等差数列．
(1)求表中m，n的值，并补全如图所示的频率分布直方图；
(2)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20)，[20,30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率．
解　(1)由题意得解得
补全频率分布直方图，如图所示：
(2)记年龄在[10,20)内的居民为a1，A2，A3，A4(其中居民a1没有参与抢红包括动)，年龄在[20,30)内的居民为b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民b1，b2没有参与抢红包活动)．各选取1人的情形有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，共24种．
其中仅有一人没有参与抢红包活动的情形有10种，分别为(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A3，b1)，(A4，b1)，(A2，b2)，(A3，b2)，(A4，b2)，所以选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率P＝＝.
课件24张PPT。3.2　古典概型第三章　概　率学习目标
1.理解古典概型及其概率计算公式.
2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
3.了解概率的一般加法公式及适用条件.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　古典概型思考1　“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
思考2　若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型吗？ 答案　不属于.因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型.
答案　不一定符合.还必须满足每个基本事件出现的可能性相等才符合古典概型. 梳理　(1)古典概型的特征：
①有限性　在一次试验中，可能出现的结果只有 个，即只有 个不同的基本事件；
②等可能性　每个基本事件发生的可能性是 .有限有限均等的1.事件的交(或积)
由事件A和B 所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝ (或D＝ ).
2.概率的一般加法公式：如果A，B不是互斥事件，
则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).知识点二　概率的一般加法公式(选学)同时发生A∩BAB[思考辨析 判断正误]
1.每一个基本事件出现的可能性相等.(　　)
2.古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的.(　　)√√题型探究例1　某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？ 题型一　古典概型的判断解答解　不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的(为什么？)，即不满足古典概型的第二个条件. 反思与感悟　判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性.跟踪训练1　从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？ 解答解　不是，因为有无数个基本事件. 题型二　古典概型的概率计算例2　将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况.
(1)一共有多少种不同的结果？
(2)点数之和为5的结果有多少种？解答解　将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6种结果，
故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(种)不同的结果.
解　点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种.(3)点数之和为5的概率是多少？解答解　正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36种结果是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的结果有4种，反思与感悟　古典概型问题包含的题型较多，但都必须紧扣古典概型的定义，进而用公式进行计算.列举法是求解古典概型问题的常用方法，借助于图表等有时更实用更有效.跟踪训练2　在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率为____.答案解析解析　试验结果如表所示：由表可知两张卡片上数字之和共有36种情况，其中和为7有4种情况，达标检测1.下列不是古典概型的是
A.从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率答案解析12345√解析　A，B，D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不满足等可能性，故不为古典概型.2.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出的三条线段为边可组成三角形的概率为 √解析　从中任取三条线段共有4种取法，能构成三角形的只有长度为2,3,4的线段，答案解析123453.从数字1,2,3,4,5中任取2个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是 12345解析解析　从数字1,2,3,4,5中任取2个不同的数字能构成20个两位数：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，而大于40的数有8个：41,42,43,45,51,52,53,54，√答案解析4.从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则loga b为整数的概率为_____.12345答案解析　从2,3,8,9中任取2个分别记为(a，b)，
则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，
其中符合loga b为整数的有log3 9和log2 8两种情况，5.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.求所取的2道题不是同一类题的概率.解答解　将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.
任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，
而且这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“不是同一类题”这一事件，
则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，12345古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝ 时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m，n.3.3　随机数的含义与应用
3.4　概率的应用
学习目标　1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.2.会求一些简单的几何概型的概率.3.了解随机数的意义，能用计算机随机模拟法估计事件的概率.4.应用概率解决实际问题．
知识点一　几何概型的概念
思考　往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？
答案　出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．
梳理
1．几何概型的定义
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，如图，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
知识点二　几何概型的概率公式
思考　既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？
答案　可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示．
梳理
几何概型的概率计算公式
在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝，其中，μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．
知识点三　均匀随机数
1．随机数
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．
2．计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法
建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法．
1．与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　×　)
2．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　√　)
题型一　几何概型的识别
例1　下列关于几何概型的说法错误的是(　　)
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
答案　A
解析　几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件为有限个．
反思与感悟　几何概型特点的理解
(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；
(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．
跟踪训练1　判断下列概率模型是古典概型还是几何概型．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；
(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．
解　(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型．
(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．
题型二　几何概型的计算

例2　某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率．
解　如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T2＝15.
设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.
则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．
因为T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，
所以P(A)＝＝.
引申探究　
1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率．
解　由原题解析图可知，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P＝＝.
2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．
解　由原题解析图可知，当t落在T0T2上时，乘客立即上车，故所求概率P＝＝＝.
反思与感悟　若一次试验中所有可能的结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A发生的概率．
跟踪训练2　平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径为r(r＜a)的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．
解　记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A，如图，由图可知，硬币圆心在线段AB上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD(不含点C，D)上出现时硬币不与平行线相碰，所以P(A)＝＝＝.

例3　设点M(x，y)在区域{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上均匀分布出现，求：
(1)x＋y≥0的概率；
(2)x＋y＜1的概率；
(3)x2＋y2≥1的概率．
解　如图，满足|x|≤1，|y|≤1的点(x，y)组成一个边长为2的正方形(ABCD)区域(含边界)，S正方形ABCD＝4.
(1)x＋y＝0的图象是直线AC，满足x＋y≥0的点在AC的右上方(含AC)，即在△ACD内(含边界)，而S△ACD＝·S正方形ABCD＝2，所以P(x＋y≥0)＝＝.
(2)设E(0,1)，F(1,0)，则x＋y＝1的图象是EF所在的直线，满足x＋y＜1的点在直线EF的左下方，即在五边形ABCFE内(不含边界EF)，而S五边形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－＝，
所以P(x＋y＜1)＝＝＝.
(3)满足x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，S⊙O＝π，所以P(x2＋y2≥1)＝＝.
反思与感悟　如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．
跟踪训练3　欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有一个边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵S正方形＝1 cm2，S圆＝π·2＝(cm2)，
∴P＝＝，故选A.

例4　已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率．
解　如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于.
设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得△A1B1C1的面积为.
由题意，知区域D(三棱锥S－ABC)的体积为Sh，
区域d(三棱台ABC－A1B1C1)的体积为Sh－··＝Sh.
所以点M到底面的距离小于的概率为P＝.
反思与感悟　如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝.
解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．
跟踪训练4　在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为(　　)
A. B.π
C. D.
答案　D
解析　由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝，球的体积V2＝π×3＝π，则此点落在正方体内部的概率P＝＝.
题型三　均匀随机数及随机模拟方法
例5　在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.
解　随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，
即≈.
设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则＝＝，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以π≈×4.所以就得到了π的近似值．
反思与感悟　(1)用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大．
(2)用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
跟踪训练5　利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2所围成的图形的面积．
解　以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，
(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND；
(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；
(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．
例如做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝698，
所以P＝＝＝，
即阴影部分的面积S＝矩形面积×＝2×＝1.396.

1．下列概率模型是几何概型的为(　　)
A．已知a，b∈{1,2,3,4}，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率
B．已知a，b满足|a|≤2，|b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率
C．从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，求甲被选中的概率
D．求张三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天计算)
答案　B
解析　对于选项B，a，b满足的条件为坐标平面内某一区域，涉及面积问题，为几何概型，其他三个选项均为古典概型．
2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝＝.
3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积是(　　)
A. B.
C. D．无法计算
答案　C
解析　在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构
成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)＝＝＝，解得S＝.
4．在200 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出20 mL水样利用显微镜观察，则发现草履虫的概率是________．
答案　0.1
解析　记“从200 mL水中随机取出20 mL水样利用显微镜观察，发现草履虫”为事件A，则由几何概型的概率计算公式可得P(A)＝＝0.1.
5．在区间[0,1]上任取三个数a，b，c，若向量m＝(a，b，c)，求|m|≥1的概率．
解　∵a，b，c∈[0,1]，
∴Ω＝{(a，b，c)|0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1}构成的区域为单位正方体(其中原点O为正方体的一个顶点)．
设“|m|≥1”为事件A，
则表示“|m|＜1”，即a2＋b2＋c2＜1，这样的点(a，b，c)位于单位正方体内，且在以原点为球心，1为半径的球内，V′＝×π×13＝.
又V正方体＝1，∴P()＝＝，
因此P(|m|≥1)＝P(A)＝1－P()＝1－.
1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．
2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．
3．注意理解几何概型与古典概型的区别．
4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为
P(A)＝.
一、选择题
1．在区间(15,25)内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17A. B. C. D.
答案　C
解析　∵a∈(15,25)，∴P(172．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，以AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P＝＝.
3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你立刻看到黄灯的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得立刻看到黄灯的概率为P＝＝.
4．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)
A．1－ B.－1 C．2－ D.
答案　A
解析　由题意得，无信号的区域面积为2×1－2×π×12＝2－，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P＝＝1－.
5．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设AC＝x cm，则BC＝(12－x)cm(0＜x＜12)，
∴矩形面积为x(12－x)cm2，
由x(12－x)＜32，解得x＞8或x＜4，
∴0＜x＜4或8＜x＜12.
∴所求概率为＝，故选C.
6．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)
答案　A
解析　选项A中，概率P＝；选项B中，概率P＝＝；选项C中，概率P＝＝；选项D中，概率P＝，则概率最大的为A，故选A.
7．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，过顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM<AC的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，则AC＝AD，即AD＝AC，AB＝AC＝3AD，所以要使过顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM<AC，只要AM二、填空题
8．有一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m的概率是________．
答案　
解析　从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点．
如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，于是事件A发生的概率P(A)＝.
9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．
答案　
解析　设圆面半径为R，
如图所示，△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·AC·OD＝3·CD·OD
＝3·Rsin 60°·Rcos 60°＝，
∴P＝＝＝.
10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm，黄心直径是12.2 cm，运动员在距离靶面70 m外射箭．假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么射中黄心的概率是________．
答案　0.01
解析　由于中靶点随机地落在面积为×π×1222 cm2的大圆内，若要射中黄心，则中靶点落在面积为×π×12.22 cm2的圆内，所以P＝＝0.01.
11．已知圆O：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，则圆O上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．
答案　
解析　因为圆心(0,0)到直线l的距离为5，圆O的半径为2，所以直线l与圆O相离．设l0∥l且圆心到l0的距离为3，则满足题意的点A位于l0，l之间的弧上(不在直线l0上)，结合条件可求得该弧所对的圆心角为周角的，由几何概型的概率计算公式可得P＝.
三、解答题
12．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，求使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率．
解　在区间[－π，π]内随机取两个数记为(a，b)，表示边长为2π的正方形边界及内部(正方形的中心为原点)．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，需4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，表示以原点为圆心，为半径的圆的圆周及外部，且在正方形的内部，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以有零点的概率为＝.
13.如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
解　弦长不超过1，故OQ≥，因为Q点在直径AB上是随机的，设事件A为“弦长长度超过1”，由几何概型概率的计算公式得，
P(A)＝＝.所以其对立事件“弦长不超过1”的概率为P()＝1－P(A)＝1－.
四、探究与拓展
14．在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．
答案　1－
解析　如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率P＝＝1－.
15．两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．
解　设两人分别于(20＋x)时和(20＋y)时到达约定地点(0≤x，y≤1)，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－≤x－y≤.(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．
因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P＝＝＝.
课件41张PPT。3.3　随机数的含义与应用　3.4　概率的应用第三章　概　率学习目标
1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.
2.会求一些简单的几何概型的概率.
3.了解随机数的意义，能用计算机随机模拟法估计事件的概率.
4.应用概率解决实际问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　几何概型的概念思考　往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？答案　出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的.梳理
1.几何概型的定义
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，如图，A的概率只与子区域A的 (长度、面积或体积)成 ，而与A的 和 无关.满足以上条件的试验称为 .
2.几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 .
(2)每个基本事件出现的可能性 . 几何度量正比位置形状几何概型无限多个相等思考　既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？知识点二　几何概型的概率公式答案　可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示.梳理
几何概型的概率计算公式
在几何概型中，事件A的概率定义为： ，其中，μΩ表示______
__________，μA表示__________________.
?区域Ω的几何度量子区域A的几何度量知识点三　均匀随机数1.随机数
随机数就是在 ，并且得到这个范围内的______
.
2.计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法
建立一个概率模型，它与某些我们 有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来 .按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法.一定范围内随机产生的数每一个数的机会一样感兴趣的量确定这些量[思考辨析 判断正误]
1.与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.(　　)
2.随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(　　)×√题型探究例1　下列关于几何概型的说法错误的是
A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B.几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关
C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性题型一　几何概型的识别答案解析√解析　几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件为有限个.反思与感悟　几何概型特点的理解
(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；
(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.跟踪训练1　判断下列概率模型是古典概型还是几何概型.
(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；
(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，
规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求
甲获胜的概率.解答解　先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型.
解　游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型.题型二　几何概型的计算命题角度1　与长度有关的几何概型
例2　某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率.解答解　如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T2＝15.设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.
则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生.
因为T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，解答引申探究　
1.本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率.解　由原题解析图可知，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，2.本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率.解　由原题解析图可知，当t落在T0T2上时，乘客立即上车，反思与感悟　若一次试验中所有可能的结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A发生的概率.解答跟踪训练2　平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径为r(r＜a)的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.解　记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A，如图，
由图可知，硬币圆心在线段AB上的任意一点的出现是等可能的.
圆心在线段CD(不含点C，D)上出现时硬币不与平行线相碰，命题角度2　与面积有关的几何概型
例3　设点M(x，y)在区域{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上均匀分布出现，求：
(1)x＋y≥0的概率；解　如图，满足|x|≤1，|y|≤1的点(x，y)组成一个边长为2的正方形(ABCD)区域(含边界)，S正方形ABCD＝4.
x＋y＝0的图象是直线AC，满足x＋y≥0的点在AC的右上方(含AC)，解答(2)x＋y＜1的概率；解　设E(0,1)，F(1,0)，
则x＋y＝1的图象是EF所在的直线，满足x＋y＜1的点在直线EF的左下方，
即在五边形ABCFE内(不含边界EF)，解答(3)x2＋y2≥1的概率.解答解　满足x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，S⊙O＝π，反思与感悟　如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解.跟踪训练3　欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿.若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有一个边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是 答案解析√解答命题角度3　与体积有关的几何概型
例4　已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于 的概率.解　如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，答案解析跟踪训练4　在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为 √解析　由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，题型三　均匀随机数及随机模拟方法解答例5　在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值. 解　随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，
落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以就得到了π的近似值.反思与感悟　(1)用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大.
(2)用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.解答跟踪训练5　利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2所围成的图形的面积.解　以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，
(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND；
(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；
(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积. 例如做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝698，达标检测1.下列概率模型是几何概型的为
A.已知a，b∈{1,2,3,4}，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率
B.已知a，b满足|a|≤2，|b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率
C.从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，求甲被选中的概率
D.求张三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天计算)答案解析12345√解析　对于选项B，a，b满足的条件为坐标平面内某一区域，涉及面积问题，为几何概型，其他三个选项均为古典概型.2.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为 答案解析√解析　向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型.
设点落在△ABD内为事件M，123453.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是 ，则阴影区域的面积是 √解析　在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型.
设“落在阴影区域内”为事件A，
则事件A构成的区域是阴影部分.
设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，12345解析答案4.在200 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出20 mL水样利用显微镜观察，则发现草履虫的概率是_____.解析　记“从200 mL水中随机取出20 mL水样利用显微镜观察，发现草履虫”为事件A，解析12345答案0.15.在区间[0,1]上任取三个数a，b，c，若向量m＝(a，b，c)，求|m|≥1的概率.12345解答解　∵a，b，c∈[0,1]，
∴Ω＝{(a，b，c)|0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1}构成的区域为单位正方体(其中原点O为正方体的一个顶点).
设“|m|≥1”为事件A，123451.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型.
2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题.
3.注意理解几何概型与古典概型的区别.
4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为
1　辨析频率与概率
概率与频率虽只有一字之差，但意义大不相同，同时二者之间又有一定的联系．下面和同学们一起认识一下这对“孪生兄弟”．
一、频率与概率的区别
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，它的值等于随机事件发生的次数与试验总次数的比．频率是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的某事件发生的频率不一定相同．而概率是一个确定的值，是客观存在的，与每次试验无关，与试验次数也无关．
例1 连续抛掷一枚硬币10次，落地后正面向上出现了6次，设“抛一次硬币，正面向上”为事件A，则下列说法正确的有________．
①P(A)＝；②P(A)≈；
③再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数还是6；
④事件A发生的频率为；
⑤无论哪一次抛，硬币落地后正面向上的概率相同．
解析　④⑤正确．在一次试验中，事件A发生的概率为，再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数不确定．
答案　④⑤
点评　频率的随机性和概率的确定性是二者的本质区别．
二、频率与概率的联系
1．在大量重复进行同一试验时，频率总是在某个常数附近摆动．由于事件的随机性，有时候频率也可能出现偏离该“常数”较大的情形，但随着试验次数的增加，这种情形出现的可能性会减小．概率是频率的稳定值，可看作是频率在
理论上的平均值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．
2．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切的得到，因此我们常常通过大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计概率．
例2 一个不透明的袋中装有大小质地相同的红、白两种颜色的小球，某学习小组做摸球试验，每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸．试验的部分数据如下表：
摸球次数
30
60
90
120
150
180
210
270
300
摸到红球的次数
6
25
31
38
45
53
67
摸到红球的频率
0.300
0.247
(1)将表格补充完整；(所求频率保留3位小数)
(2)估计从中随机摸一个球，求摸到红球的概率P.(保留2位小数)
解　(1)第二行依次填：18,74.
第三行依次填：0.200,0.278,0.258,0.253,0.250，0.252，0.248.
(2)由(1)知，虽然抽取次数不同，所得频率值不同，但随试验次数的增加，频率在常数0.250附近摆动，故P≈0.25.
点评　只有当频率值在某一常数附近摆动时，才能将此常数近似看作该事件发生的概率．现实生活中很多事件的概率是难以确切得到的，鉴于随机事件的发生带有随机性的同时又存在一定的规律性，故一般通过大量的重复试验，用随机事件的频率来估计概率.
2　概率加法公式应用点拨
概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率．概率的加法公式可推广为若事件A1，A2，…，An彼此互斥(两两互斥)，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和．用此公式时，同学们首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．下面举例说明概率加法公式的应用．
一、计算互斥事件和的概率
例1 由经验得知，某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表：
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.10
0.16
0.30
0.3
0.10
0.04
求：(1)至多2人排队的概率；
(2)至少2人排队的概率．
解　(1)记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，则A，B，C彼此互斥．
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.
(2)记“至少2人排队”为事件D，“少于2人排队”为事件A∪B，那么事件D与事件A∪B是对立事件，则P(D)＝P()＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.10＋0.16)＝0.74.
点评　应用概率加法公式求概率的前提有两个：一是所求事件是几个事件的和，二是这几个事件彼此互斥．在应用概率加法公式前，一定要弄清各事件之间的关系，把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件的和，再应用公式求解所求概率．
二、求解“至少”与“至多”型问题
例2 甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，已知恰有1人过关(事件A)的概率为0.198，恰有2人过关(事件B)的概率为0.38，恰有3人过关(事件C)的概率为0.302,4人都过关(事件D)的概率为0.084.求：
(1)至少有2人过关的概率P1；
(2)至多有3人过关的概率P2.
分析　“至少有2人过关”即事件B∪C∪D.“至多有3人过关”即事件A，B，C与事件“4人均未过关”的并事件，其对立事件为D.(注意“4人均未过关”这种可能情况)
解　由条件知，事件A，B，C，D彼此互斥．
(1)P1＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.766.
(2)P2＝P()＝1－P(D)＝1－0.084＝0.916.
点评　处理“至多”“至少”型问题，既可以分情况讨论，也可以从反面考虑，即借助对立事件的概率间接求解．当事件包含的情况较多时，常利用P(A)＝1－P()求P(A)．
三、列方程求解概率问题
例3 某班级同学的血型分别为A型、B型、AB型、O型，从中任取一名同学，其血型为AB型的概率为0.09，为A型或O型的概率为0.61，为B型或O型的概率为0.6，试求任取一人，血型为A型、B型、O型的概率各是多少？
分析　设出所求事件的概率，将题中涉及到的事件用所求事件表示出来，借助这些事件的概率及公式，列方程求解即可．
解　记“任取一人，血型为A型”，“任取一人，血型为B型”，“任取一人，血型为AB型”，“任取一人，血型为O型”分别为事件E，F，G，H，显然事件E，F，G，H两两互斥．
故
解得
所以任取一人，血型为A型、B型、O型的概率分别为0.31、0.3、0.3.
点评　本题很好地应用了全体事件的和为必然事件这一点．挖掘题目中的隐含条件并合理利用是解决某些问题的关键，同学们应注重这种能力的培养.
3　随机事件的概率
结论1　概率大的随机事件不一定意味着肯定发生．在一次试验中，概率大的随机事件的发生不一定优于概率小的随机事件的发生．
释义　对于概率的大小问题，只能说明相对于同一随机事件而言，概率大的发生的可能性大，概率小的发生的可能性小．
例1　在一次试验中，随机事件A发生的概率是0.3，随机事件B发生的概率是0.7，你认为如果做一次试验，可能出现B不发生A发生的现象吗？为什么？
解　这是可能的．因为随机事件B的发生概率大于随机事件A的发生概率，但并不意味着在一次试验中随机事件B的发生一定优于随机事件A的发生，随机事件的发生是不确定的．
结语　结论1实现实际生活中小概率事件发生的可能性．对于概率问题，必须注意的是概率是相对于大量重复试验的前提下得到的理论值，但在少数的有限试验中，概率不一样的随机事件发生的可能性无法确定．
结论2　概率是由巨大数据统计后得出的结论，是一种大的整体的趋势；而频率是数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．概率可以看作频率在理论上的期望值．
释义　概率与频率的关系是整体与具体、理论与实践、战略与战术的关系，频率随着随机事件次数的增加会趋向于概率．在处理具体的随机事件时，用概率作指导，以频率为依据．
例2　在某次射击比赛中，甲运动员在决赛中以0.2环的微弱优势战胜了乙运动员，摘得该项的金牌．下表是两人在参赛前训练中击中10环以上的次数统计：
甲运动员：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中10环以上的次数m
9
17
44
92
179
450
击中10环以上的频率
乙运动员：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中10环以上的次数m
8
19
44
93
177
453
击中10环以上的频率
请根据以上表格中的数据回答以下问题：
(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；
(2)根据(1)中计算的结果预测两位运动员在该比赛中每次击中10环以上的概率．
解　(1)两运动员击中10环以上的频率分别为：
甲：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9；
乙：0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906；
(2)由(1)中的数据可知两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.9这个数的附近，所以可以预测两位运动员在该比赛中每次击中10环以上的概率为0.9，即两人的实力相当．
结语　结论2实现频率与概率既有联系又有区别，频率随着随机事件的试验次数的不断增加而趋向于概率．
结论3　两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立．
释义　对立事件是互斥事件的一个特例，两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件必为互斥事件．
例3　一个不透明的袋中装入4个白球与4个黑球，从中任意摸出3个球．
(1)可能发生哪些事件？
(2)指出其中每个事件的互斥事件；
(3)事件“至少摸出1个白球”是哪几个事件的和事件？它的对立事件是哪个事件？
解　(1)以白球或黑球的个数作为讨论标准，可能发生下列事件：
①摸出3个白球，记为事件A；
②摸出2个白球，1个黑球，记为事件B；
③摸出1个白球，2个黑球，记为事件C；
④摸出3个黑球，记为事件D；
(2)事件A，B，C，D彼此互斥；
(3)“至少摸出1个白球”的事件为A，B，C的和事件，即“至少摸出1个白球”的对立事件是D.
结语　结论3实现对立事件与互斥事件的联系与区别．特别在解答一些问题时，在把复杂事件加以分解的事件个数不是太多的情况下，可以把所有的事件罗列下来，结合互斥事件与对立事件的概念加以辨析.
4　点击互斥事件
一、互斥事件、对立事件的概念
1．“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，也就是说互斥事件至多有一个发生，也有可能两个都不发生，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件．因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说对立事件是互斥事件的充分不必要条件．
2．从集合的角度理解：两个互斥事件对应的基本事件所组成的集合的交集为空集，并集可能是全集，也可能不是全集；当A，B是对立事件时，其交集为空集，并集是全集．
3．互斥事件之间的关系中的“不能同时发生”体现了分类讨论的原则“不重复”，而“不遗漏”则表现在所有互斥事件的和是整个事件(必然事件)．
二、例题点击
1．互斥事件、对立事件的判断
例1　从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥但不对立的事件是(　　)
A．至少有1个红球与都是红球
B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．恰有1个黑球与恰有2个红球
D．至少有1个黑球与都是红球
解析　“从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球”这一事件共包含3个基本事件：(红，红)，(黑，黑)，(红，黑)，故恰有1个黑球与恰有2个红球互斥但不对立，所以选C.
答案　C
评注　借助于列举基本事件，结合定义，易判断出互斥与对立事件．
2．互斥事件的计算
例2　袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中任取1只，有放回地抽取3次，求3只颜色不全相同的概率．
解　记“3只颜色全相同”为事件A，则所求事件为A的对立事件．
因为“3只颜色全相同”又可分为“3只全是红球(事件B)”“3只全是黄球(事件C)”“3只全是白球(事件D)”，且它们彼此互斥，故3只颜色全相同即为事件B＋C＋D，
由于红球、黄球、白球的个数一样，
故有P(B)＝P(C)＝P(D)＝，
所以P(A)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝，
因此有P()＝1－＝.
答　3只颜色不全相同的概率是.
评注　本题可将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，但比较麻烦，故转化为其对立事件求解，体现了“正难则反”的思想．注意“3只颜色全相同”可分为三个彼此互斥的基本事件，它的对立事件为“3只颜色不全相同”.
5　解古典概型的几个注意
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点：(1)有限性：做一次试验，可能出现的结果为有限个，即只有有限个不同的基本事件．(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的．其计算公式P(A)＝也比较简单，但是这类问题的解法多样，技巧性强，下面说一下在解题中需要注意的几个问题．
注意1——有限性和等可能性
例1　掷两枚均匀的硬币，求出现一正一反的概率．
分析　这个试验的基本事件(所有可能结果)共有4种：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A“出现一正一反”的所有可能结果为：(正，反)，(反，正)．
解　P(A)＝＝.
评注　均匀硬币在抛掷过程中出现正、反面的概率是相等的，并且试验结果是有限个．
注意2——计算基本事件的数目时，必须做到不重不漏
例2　从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)A＝{三个数字中不含1和5}；(2)B＝{三个数字中含1或5}．
分析　这个试验的所有可能结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．
解　(1)事件A为(2,3,4)，故P(A)＝.
(2)事件B的所有可能结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9种．故P(B)＝.
评注　在计算事件数目时，要做到不重不漏，如B中可分为含1的：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)．含5的：(1,2,5)，(1,3,5)，(2,3,5)，(3,4,5)，(1,4,5)，(2,4,5)．在归于集合B中时，(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)这三个不能重复计算．
注意3——利用事件间的关系
例3　有3个完全相同的小球a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率．
分析　先分析三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件，再确定两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空所包含事件，从而确定该事件的概率．
解　a，b，c三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为：
甲盒
a，b，c
a，b
a
a，c
b，c
b
c
空
乙盒
空
c
b，c
b
a
c，a
a，b
a，b，c
两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，
所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共两个，故P＝1－＝.
评注　在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得.
6　走出解几何概型的几个误区
几何概型和古典概型是概率中典型的问题，几何概型和古典概型有共同点，也有很多不一样的地方．我们在求解几何概型问题时，经常会出现一些典型的错误．下面用具体的例子帮你走出误区．
一、若P(A)＝0，则A未必是不可能事件；若P(A)＝1，则A未必是必然事件
例1　有一个底面是圆形的容器，底面圆半径是一枚硬币半径的10倍，现在把这枚硬币随机地扔进容器，求硬币与底面恰好相切的概率．
解　记“硬币与底面圆相切”为事件A，由题意知所求问题是以面积为测度的几何概型的概率问题，事件A中硬币的位置可由硬币的中心确定，当硬币与底面相切时，硬币的中心形成一个圆周(不包括圆周内部)，故其对应的面积可以认为是0，故P(A)＝0.
点评　在古典概型中，P(A)＝0?A是不可能事件；而在几何概型P(A)＝0，则A未必是不可能事件；P(A)＝1，A也未必是必然事件．
二、背景相似的问题，当试验的角度不同时，其概率不一样
例2　(1)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BM≤AB的概率．
(2)在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，在线段BC上取一点M，求BM≤AB的概率．
解　(1)记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω，由于是过点A作一射线交线段BC于点M，所以射线在∠BAC内是等可能出现的，
又当AB＝BM时∠BAM＝67.5°，
所以P(Ω)＝＝＝.
(2)设AB＝AC＝1，则BC＝，
设“在线段BC上取一点M，使BM≤AB”为事件Ω，
则P(Ω)＝＝＝.
点评　几何概型有关问题，有的背景相似，试验的角度不同时，其概率是不一样的．
三、错用测度类型
例3　在区间[0,2]中随机地取出两个数，求两数之和小于1的概率．
错解　两数之和小于1，那么每一个数是[0,1]之间，故每一个数对应的概率为，那么所求两个数的概率为×＝.
错因分析　因为两数之和小于1，故两个数之间有相互制约的关系，即两个变量之间不是相互独立的，不可将两个变量的概率相乘，故这种做法是错误的，应用面积做测度，计算概率．
正确答案　设x，y表示所取的任意两个数，由于x∈[0,2]，y∈[0,2]，∴以两数x，y为坐标的点在以2为边长的正方形区域内，设两数和小于1为事件A，则事件A所在区域为直线x＋y＝1的下方且在正方形内的阴影区域．∴P(A)＝＝.
四、忽视等可能
例4　以等腰直角三角形的直角顶点为圆心作圆，使这个圆与斜边相交，则截得弦长不大于直角边的概率为多少？
错解　如图所示，
设MN是以C为圆心，以MC为半径的圆所截取的线段，
故所求事件发生的概率为P＝＝.
错因分析　本试验以直角顶点为圆心作圆，使这个圆与斜边相交，因此用圆和线段相交的长度反映概率，忽视了等可能．
正确答案　以直角顶点为圆心作圆，使这个圆与斜边相交，半径r的取值范围在CH而事件对应的r的取值范围为CH故记所求事件为Ω，则P(Ω)＝，
设AC＝2，则CH＝，CM＝，
故P(Ω)＝.
7　概率中的数学思想
概率的有关知识在实际生活中的应用非常广泛，恰当合理地运用数学思想方法，可以帮助我们更快、更准确地解决问题．下面举例说明求解概率问题时常用的三种思想方法．
一、数形结合思想
例1　在一次商贸交易会上，某商家开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约参与抽奖．若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．
分析　本题属于几何概型问题，由于涉及到两个变量，故可建立坐标系，借助面积来解决．
解　设两人到达的时间分别为9点到10点之间的第x分钟、第y分钟，用(x，y)表示，则所有可能结果可表示为{(x，y)|0≤x≤40,20≤y≤60}．记“甲比乙提前到达”为事件A，则事件A的可能结果为{(x，y)|x如图所示，试验全部结果构成的区域为图中的正方形，而构成事件A的区域是正方形内的阴影部分，所以P(A)＝＝＝.
点评　某些概率问题用常规方法来解，比较困难，而利用数形结合的方法求解，则可以形象地反映概率的本质，从而顺利解决问题．
二、转化与化归思想
例2 现从5名优秀学生中随机抽取2人参加数学竞赛，问其中的甲、乙两人至多有一人去参加竞赛的概率是多少？
分析　对于这种含有“至多”“至少”等类型的概率问题，我们往往采用“正难则反”原理．这里因为每名学生被抽出的概率相等，且所有可能结果有限，所以为古典概型问题．
解　从5名优秀学生中随机抽取2人去参加竞赛，共有10个基本事件．设事件A为“甲、乙两人至多有一人去参加竞赛”，它的对立事件是“甲、乙两人都去参加竞赛”，而“甲、乙两人都去参加竞赛”的抽取方法只有1种，所以P()＝，故P(A)＝1－P()＝，即甲、乙两人至多有一人去参加竞赛的概率是.
点评　从正面求解比较困难时，可以逆向思考．一般我们是先求其对立事件发生的概率，再利用P(A)＝1－P()求所求事件的概率．
三、分类讨论思想
例3 将数1.5随机地分成两个正实数之和，例如1.143＋0.357，或者0.6＋0.9，然后对每一个数四舍五入取整数．如在上述第一种分法中取1和0，在第二种分法中取1和1.那么这两个整数之和等于2的概率是多少？
分析　随机地将1.5分成两个正实数之和，就是在区间(0,1.5)内随机地取一个实数x，将该区间分成两部分，且另一个数是1.5－x.由于对x和1.5－x取整数有多种情况，故最好分类讨论．
解　若在区间(0,1.5)内随机地取一个实数x，则另一个数是y＝1.5－x.
若x∈(0,0.5)，则y∈(1,1.5)，此时有0＋1＝1；
若x∈[0.5,1]，则y∈[0.5,1]，此时有1＋1＝2；
若x∈(1,1.5)，则y∈(0,0.5)，此时有1＋0＝1.
记事件A为“两整数之和等于2”．因为实数x是在区间(0,1.5)内随机抽取的，所以属长度型几何概型问题．因为构成事件A的区域长度是0.5，所以P(A)＝＝.
点评　概率中的分类讨论，一般是对试验结果是否满足事件A进行的．(
章末复习
学习目标　1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．
1．频率与概率
频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．
2．求较复杂概率的常用方法
(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；
(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
3．古典概型概率的计算：关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．
4．几何概型事件概率的计算
关键是求得事件A所占区域和整个区域的几何测度，然后代入公式求解．
1．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　√　)
2．“在适当条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型．(　×　)
3．几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　√　)
题型一　频率与概率
例1　对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
解　(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
反思与感悟　概率是个常数．但除了几何概型，概率并不易知，故可用频率来估计．
跟踪训练1　某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
解　(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．
(4)不一定．
题型二　互斥事件与对立事件
例2　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解　把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.
反思与感悟　在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．
跟踪训练2　猎人在距离100米处射击一野兔，命中的概率为，如果第一次没有命中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150米，如果又没有击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200米．已知猎人命中兔子的概率与距离的平方成反比，则三次内击中野兔的概率是多少？
解　三次内击中野兔，即第一次击中野兔或第二次击中野兔或第三次击中野兔，设第一、二、三次击中野兔分别为事件A，B，C.
设距离为d，命中的概率为P，则有P＝，
将d＝100，P＝代入上式，可得k＝5 000，
所以P＝，
所以P(B)＝×＝，
P(C)＝××＝.
又已知P(A)＝，
所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
故三次内击中野兔的概率为.
题型三　古典概型与几何概型
例3　某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
解　(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
反思与感悟　古典概型与几何概型的共同点是各基本事件的等可能性；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限．
跟踪训练3　如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中
有22＋(x＋2)2＝()2，
解得x＝1或x＝－5(舍去)，
∴阴影部分面积为1，
∴飞镖落在阴影部分的概率为.
题型四　数形结合思想在求解概率中的应用
例4　口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出1个球(不放回)，试求“第二个人摸到白球”的概率．
解　把四个人依次编号为甲、乙、丙、丁，把2个白球编上序号1,2，把2个黑球也编上序号1,2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出1个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来，如图所示．
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果为24.第二人摸到白球的结果有12种，记第二个人摸到白球为事件A，则P(A)＝＝.
反思与感悟　事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树形图直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达．
跟踪训练4　如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　)
A．1－ B.－
C. D.
答案　A
解析　设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.
不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.
在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－＝1，
所以整体图形中空白部分面积S2＝2.
又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，
所以阴影部分面积为S3＝π－2.
所以P＝＝＝1－.
1．下列事件：
①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温，其中为随机事件的是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
答案　B
解析　任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；
从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；
若实数a，b都不为0，则a2＋b2一定不等于0，故③为不可能事件；
由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温．故④为随机事件．故选B.
2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．必然事件
答案　B
解析　根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
3．下列试验属于古典概型的有(　　)
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；
②在公交车站候车不超过10分钟的概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；
④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　A
解析　古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.
4．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是(　　)
A. B.
C. D．无法确定
答案　C
解析　共有4个事件“甲、乙同住房间A，甲、乙同住房间B，甲住A乙住B，甲住B乙住A”，且各事件等可能，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是.
5．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为＝.
1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：
(1)本试验是不是等可能的？
(2)本试验的基本事件有多少个？
(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．
3．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．
一、选择题
1．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：
“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
答案　A
解析　从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，基本事件为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑．除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立．②符合，理由同上．③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥．
2．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3,4}，点P的坐标为(m，n)，m∈A，n∈B，则点P在直线x＋y＝6上方的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　基本事件总数为25，点P在直线x＋y＝6上方的个数为6，
∴P＝.
3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　基本事件36个，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，故概率为＝.
4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，则恰有一件次品的概率为(　　)
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
答案　B
解析　用列举法列出基本事件总数为10.事件“恰有一件次品”包含的基本事件个数为6，则P＝＝0.6.
5．某运动会期间，从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　基本事件总数为15，事件包括的基本事件数为9，∴P＝＝.
6．从正方形的四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　共可组成10条线段，其中小于边长的有4条，故不小于边长的有6条，所以不小于边长的概率为.
7．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由几何概型公式知，所求概率为半圆的面积与矩形的面积之比，则P＝＝，故选B.
二、填空题
8．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．
答案　
解析　基本事件有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个．其中有a的事件的个数为4个，分别为ab，ac，ad，ae.故所求概率为P＝＝.
9．在区间[－3,2]上随机取一个数x，则事件“1≤x≤4”发生的概率是________．
答案　
解析　∵1≤x≤4，∴－2≤x≤0，∴所求概率P＝＝.
10．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
答案　
解析　两本数学书编号为1,2，语文书编号为3，则共有123,132,231,213,312,321,6个基本事件．其中2本数学书相邻的事件有4个，分别为123,213,312,321，故所求概率P＝＝.
11．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
答案　
三、解答题
12．如图所示，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，求弦AA′的长度大于等于半径的概率．
　　　
解　如图，当AA′的长度等于半径时，∠AOA′＝60°，使AA′大于半径的弧度为240°，所以P＝＝.
13．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵孵出8 513条鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30 000个鱼卵大约能孵化出多少条鱼苗？
(3)要孵化出5 000条鱼苗，大约需准备多少个鱼卵(精确到百位)?
解　(1)这种鱼卵的孵化频率为＝0.851 3，把它近似作为孵化的概率，即这种鱼卵的孵化概率是0.851 3.
(2)设能孵化出x条鱼苗，则＝0.851 3，所以x＝25 539，即30 000个鱼卵大约能孵化出25 539条鱼苗．
(3)设大约需准备y个鱼卵，则＝0.851 3，所以y≈5 900，即大约需准备5 900个鱼卵．
四、探究与拓展
14．设集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，从集合A和B中各随机取一个数，分别记为a，b，从而确定平面上的一个点P(a，b)，设“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(0≤n≤4，n∈N)．若事件Cn的概率最大，则n的值为________．
答案　2
解析　基本事件为：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9个．
当n＝0时，落在直线x＋y＝0上的点只有(0,0)；
当n＝1时，落在直线x＋y＝1上的点有(0,1)，(1,0)，共2个；
当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点只有(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3个；
当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点只有(1,2)，(2,1)，共2个；
当n＝4时，落在直线x＋y＝4上的点只有(2,2)．
因此，当事件Cn的概率最大时，n＝2.
15．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解　(1)由题意，得(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3, 1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
课件42张PPT。章末复习第三章　概 率学习目标
1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.
2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.
3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.频率与概率
频率是概率的 ，是随机的，随着试验的不同而 ；概率是多数次的试验中 的稳定值，是一个 ，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.
2.求较复杂概率的常用方法
(1)将所求事件转化为彼此 的事件的和；
(2)先求其 事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P( )求解.近似值变化频率常数互斥对立3.古典概型概率的计算：关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝ 求解.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.
4.几何概型事件概率的计算
关键是求得事件A所占 和 的几何测度，然后代入公式求解.区域整个区域[思考辨析 判断正误]
1.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.(　　)
2.“在适当条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型.(　　)
3.几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.(　　)√×√题型探究例1　对一批U盘进行抽检，结果如下表：题型一　频率与概率(1)计算表中次品的频率；解答解　表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？解答解　当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
解　设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘.反思与感悟　概率是个常数.但除了几何概型，概率并不易知，故可用频率来估计.跟踪训练1　某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？解答解　由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
解　击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解答解　由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心.
解　不一定.题型二　互斥事件与对立事件解答例2　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？解　把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.
因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，解答(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？反思与感悟　在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解.解答跟踪训练2　猎人在距离100米处射击一野兔，命中的概率为 ，如果第一次没有命中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150米，如果又没有击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200米.已知猎人命中兔子的概率与距离的平方成反比，则三次内击中野兔的概率是多少？解　三次内击中野兔，即第一次击中野兔或第二次击中野兔或第三次击中野兔，
设第一、二、三次击中野兔分别为事件A，B，C.所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)题型三　古典概型与几何概型例3　某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级.若S≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：解答(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；解　计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.解答(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；解　在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种.解答②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.解　在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，
则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种.反思与感悟　古典概型与几何概型的共同点是各基本事件的等可能性；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限.跟踪训练3　如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为 答案解析√解析　设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中有22＋(x＋2)2＝ 解得x＝1或x＝－5(舍去)，
∴阴影部分面积为1，题型四　数形结合思想在求解概率中的应用解答例4　口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出1个球(不放回)，试求“第二个人摸到白球”的概率.解　把四个人依次编号为甲、乙、丙、丁，把2个白球编上序号1,2，把2个黑球也编上序号1,2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出1个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来，如图所示.
从右面的树形图可以看出，试验的所有可能结果为24.第二人摸到白球的结果有12种，记第二个人摸到白球为事件A， 反思与感悟　事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树形图直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达.跟踪训练4　如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 答案解析√解析　设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.
不妨令OA＝OB＝2，
则OD＝DA＝DC＝1.所以整体图形中空白部分面积S2＝2.所以阴影部分面积为S3＝π－2.达标检测答案解析1.下列事件：
①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温，其中为随机事件的是
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④√1234512345解析　任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；
从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；
若实数a，b都不为0，则a2＋b2一定不等于0，故③为不可能事件；
由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，
也可能低于今年12月28日的最高气温，
还可能等于今年12月28日的最高气温.故④为随机事件.故选B.答案解析2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是
A.对立事件 B.互斥但不对立事件
C.不可能事件 D.必然事件√12345解析　根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，
故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，
所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.3.下列试验属于古典概型的有
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；②在公交车站候车不超过10分钟的概率；③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12345解析答案√解析　古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性.①符合两个特征；
对于②和④，基本事件的个数有无限多个；
对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.4.甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是 解析12345答案√解析　共有4个事件“甲、乙同住房间A，甲、乙同住房间B，甲住A乙住B，甲住B乙住A”，
且各事件等可能，两人各住一个房间共有两种情况，5.任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是 解析　三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，12345解析答案√1.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
2.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：
(1)本试验是不是等可能的？
(2)本试验的基本事件有多少个？
(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.3.几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解.