数学人教版必修5第三章　不等式（课件+练习）

§3.5　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.5.1　二元一次不等式(组)所表示的平面区域
学习目标　1.理解二元一次不等式(组)的解、解集的概念．2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.3.能把平面区域用不等式(组)表示．
知识点一　二元一次不等式(组)的概念
1．含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式称为二元一次不等式．
2．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
3．满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)称为二元一次不等式(组)的一个解．
4．所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
知识点二　二元一次不等式表示的平面区域
1．在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
2．对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得值的符号都相同．
3．在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0(或<0)表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
知识点三　二元一次不等式组表示的平面区域
1．二元一次不等式组的解集为组中各不等式解集的交集，其表示的平面区域是组中各不等式表示区域的公共部分．
2．画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：
(1)画线——画出不等式组中各不等式所对应的方程表示的直线(如果原不等式中带等号，则画成实线，否则画成虚线)；
(2)定侧——将某个区域内的一个特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；
(3)求交——在确定了各个不等式所表示的平面区域后，再求这些平面区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域，“直线定界，特殊点定域”的方法仍然适用．
1．点(1,2)是不等式组的解．(　×　)
2．x>1也可理解为二元一次不等式，其表示的平面区域位于直线x＝1右侧．(　√　)
3．点(1,2)不在2x＋y－1>0表示的平面区域内．(　×　)
4.表示的平面区域为第一象限．(　√　)
题型一　二元一次不等式解的几何意义
例1　已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．
答案　(－7,24)
解析　点(3,1)和(－4,6)必有一个是3x－2y＋a＞0的解，另一个点是3x－2y＋a<0的解．
∴或
即(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]<0，
(a＋7)(a－24)<0，解得－7反思感悟　对于直线l：Ax＋By＋C＝0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1＋By1＋C＞0，则Ax2＋By2＋C<0，即同侧同号，异侧异号．
跟踪训练1　经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
解　由题意知直线l的斜率存在，设为k．
则可设直线l的方程为kx－y－1＝0，
由题意知A，B两点在直线l上或在直线l的两侧，所以有(k＋1)(2k－2)≤0，所以－1≤k≤1．
题型二　二元一次不等式(组)表示的平面区域
命题角度1　给不等式画平面区域
例2　画出不等式x＋4y<4表示的平面区域．
解　先作出边界x＋4y＝4，
因为这条线上的点都不满足x＋4y<4，
所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x＋4y－4，
因为0＋4×0－4＝－4<0，
所以原点(0,0)在x＋4y－4<0表示的平面区域内，
所以不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方．
所以x＋4y<4表示的平面区域如图阴影部分所示．
反思感悟　画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别是当C≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点．
跟踪训练2　不等式x－2y＋6>0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的(　　)
A．右上方
B．右下方
C．左上方
D．左下方
答案　B
解析　在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0，
观察图象(图略)知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B．
命题角度2　给不等式组画平面区域
例3　画出下列不等式组所表示的平面区域．
(1)
(2)
解　(1)x－2y≤3，即x－2y－3≤0，表示直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；
x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方的区域；x≥0表示y轴及其右边区域；
y≥0表示x轴及其上方区域．
综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示．
(2)x－y<2，即x－y－2<0，表示直线x－y－2＝0左上方的区域；
2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线2x＋y－1＝0上及右上方的区域；
x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方的区域．
综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示．
反思感悟　在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包含边界．
跟踪训练3　画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域．
解　当x≥0且y≥0时，|x|＋|y|≤1，即x＋y≤1.
由可画出区域如图(1)
　
　　　
图(1)　　　　　　　图(2)
若点(x，y)满足|x|＋|y|≤1．
则点(－x，y)，(x，－y)也满足|x|＋|y|≤1．
∴|x|＋|y|≤1表示的平面区域关于x轴，y轴对称．
∴|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图(2)．
题型三　求区域面积
例4　在平面直角坐标系中，求不等式组表示的平面区域的面积．
解　在平面直角坐标系中，作出x＋y－2＝0，x－y＋2＝0和x＝2三条直线，利用特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分(含边界)所示，
所以面积为S＝×4×2＝4．
反思感悟　求平面区域的面积的方法
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．
跟踪训练4　不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　C
解析　作出平面区域如图所示为△ABC，
由可得A(1,1)，
又B(0,4)，C，
∴S△ABC＝·|BC|·|xA|＝××1＝，故选C．
数形结合的魅力
典例　我们可以验证点(1,2)是不等式x－y＜6的一个解．怎么证明直线x－y＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x－y＜6的解？
证明　设点A(x0，y0)位于直线x－y＝6左上方区域，
则过点A作直线AB∥y轴，交直线x－y＝6于点B．
设B(x0，y1)，则有y0＞y1．
∵B在直线x－y＝6上，
∴x0－y1＝6．
由y0＞y1，得－y0＜－y1，x0－y0＜x0－y1＝6．
即点(x0，y0)满足不等式x－y＜6．
∴x－y＝6左上方半平面区域任一点均是x－y＜6的解．
[素养评析]　提升学生的数形结合能力，是培养直观想象核心素养的一大具体任务，本例证明任务是代数问题：不等式的解的问题．在证明过程中，我们把“直线左上方区域”这一几何条件，转化成数：y0＞y1，再借助代数手段：不等式性质，严谨证明了一个初看无从下手的问题，完善诠释了数形结合的魅力．
1．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是(　　)
A．(0，0)
B．(1，1)
C．(0，2)
D．(2，0)
答案　D
解析　将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D．
2．已知点(－1，2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，6)
B．(－6，1)
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)
答案　A
解析　由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
即(a＋1)(a－6)<0，∴－13．画出下列二元一次不等式表示的平面区域．
(1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x．
解　(1)画出直线x－2y＋4＝0，
∵0－2×0＋4＝4>0，
∴x－2y＋4≥0表示的区域为含(0，0)的一侧(包含边界)，因此所求的平面区域为如图所示的区域，包括边界．
(2)画出直线y－2x＝0，
∵0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1，0)的一侧，
因此所求的平面区域为如图所示的区域，不包括边界．
4．(1)画出表示的平面区域；
(2)画出(y－2x)(x－2y＋4)≥0表示的平面区域．
解　
1．二元一次不等式(组)的一个解对应一个坐标点，解集对应点集一般形成一个平面区域．
2．画边界直线．画出不等式所对应的方程表示的直线，若此区域包括边界，则直线画成实线；若不包括边界，则画成虚线(即看不等式能否取到等号)．
3．特殊点定域．确定边界后，只需在直线的某一侧取一特殊点(原点不在边界上时，常取原点，在边界上时，取坐标轴上的点)验证其坐标是否满足二元一次不等式，若满足不等式，则区域为特殊点所在一侧，不满足，则为另一侧．
简记为“直线定界，特殊点定域”．
一、选择题
1．在3x＋5y<4表示的平面区域内的一个点是(　　)
A．(2,0)
B．(－1,2)
C．(1,1)
D．(－1,1)
答案　D
解析　将点(－1,1)代入3x＋5y<4，得2<4，所以点(－1，1)在不等式3x＋5y<4表示的平面区域内，故选D.
2．点A(－2，b)不在平面区域2x－3y＋5≥0内，则b的取值范围是(　　)
A．b≤
B．b<1
C．b＞
D．b＞－9
答案　C
解析　依题意，点A(－2，b)满足2x－3y＋5<0，
∴2×(－2)－3b＋5<0，即b＞.
3．不等式组表示的平面区域内整点(横坐标、纵坐标都是整数的点)的个数是(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
答案　C
解析　画出可行域后(图略)，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，共6个．
4．下列选项中与点(1,2)位于直线2x－y＋1＝0的同一侧的是(　　)
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(1,0)
答案　D
解析　∵2×1－2＋1＝1＞0，
∴点(1,2)位于2x－y＋1＞0表示的平面区域内，而四个点(－1,1)，(0,1)，(－1,0)，(1,0)中只有(1,0)满足2x－y＋1＞0.
5．已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)
A．(－24,7)
B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案　B
解析　因为点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－76．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　观察图象可知，阴影部分在直线y＝－2的上方，且不包含直线y＝－2，故可得不等式y>－2.又阴影部分在直线x＝0左边，且包含直线x＝0，故可得不等式x≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)，点(0,3)，故可得直线3x－2y＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分内，故可得不等式3x－2y＋6>0.观察选项可知选C.
7．不等式组表示的平面区域的面积等于(　　)
A．28
B．16
C.
D．121
答案　B
解析　作出不等式组表示的平面区域(图略)，可知该区域为等腰直角三角形，其三个顶点的坐标分别为(3，－3)，(3,5)，(－1,1)，所以其面积S＝×8×4＝16.
8．不等式组表示的平面区域是一个(　　)
A．三角形
B．直角梯形
C．梯形
D．矩形
答案　C
解析　在同一坐标系中画出直线x－y＋5＝0及x＋y＝0，取点(0,1)，代入(x－y＋5)(x＋y)中，得(－1＋5)×1＝4>0，可知点(0,1)在不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0表示的区域内，再画出直线x＝0和x＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．
二、填空题
9.如图所示的区域用不等式可表示为_____________________________________.
答案　5x－2y＋10>0
解析　过(－2,0)，(0,5)的直线方程为＋＝1，
即5x－2y＋10＝0.
代入(0,0)得5×0－2×0＋10>0，
∴(0,0)所在区域为5x－2y＋10>0.
10．(2018·柯桥区期末)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是________．
答案　
解析　作出不等式组对应的平面区域如图所示，
则对应区域为三角形ABC，
其中A(0,2)，B(1,2)，C(1,1)，
则△ABC的面积S＝×1×1＝.
11．记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．
答案　
解析　不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界)，
且A(1,1)，B(0,4)，C.
直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)，且斜率为a.
由斜率公式可知kAP＝，kBP＝4.
若直线y＝a(x＋1)与区域D有公共点，
由数形结合可得≤a≤4.
三、解答题
12．画出下列不等式表示的平面区域．
(1)3x－y>0；(2)y≤－2x＋3.
解　(1)画出直线3x－y＝0(画成虚线)，将点(1,0)代入3x－y，得3×1－0>0，所以不等式3x－y>0表示的平面区域与点(1,0)位于直线3x－y＝0的同侧，如图所示．
(2)将y≤－2x＋3变形得2x＋y－3≤0，先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)．将点(0,0)代入2x＋y－3得－3<0，所以2x＋y－3≤0表示的区域与点(0,0)位于直线2x＋y－3＝0的同侧，如图所示．
13．已知实数x，y满足不等式组
(1)画出满足不等式组的平面区域；
(2)求满足不等式组的平面区域的面积．
解　(1)满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示．
(2)解方程组得A，
解方程组得D，
所以满足不等式组的平面区域的面积为
S四边形ABCD＝S△AFE－S△BFC－S△DCE＝×(2＋3)×－×(1＋2)×1－×(3－1)×＝.
14．已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．
答案　
解析　由题意可得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)．
则不等式组表示的平面区域为△ABC及其内部．直线y＝kx＋1过点A.
要把△ABC分成面积相等的两部分，需过BC中点M.
此时k＝＝＝.
15．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x－by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是__________________．
答案　∪
解析　P(1，－2)关于(0,0)的对称点为(－1,2)，
依题意有或
所以b≤－或b≥－.§3.3　一元二次不等式及其解法
第1课时　一元二次不等式及其解法(一)
学习目标　1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2.掌握图象法解一元二次不等式．3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决．
知识点一　一元二次不等式的概念
1．一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般表达形式为ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，其中a，b，c均为常数．
3．能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．
4．不等式所有解的集合称为解集．
知识点二　“三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表．
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1

知识点三　一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：
(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；
(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；
(3)有根求根；
(4)根据图象写出不等式的解集．
1．x2＞1的一个解是x＝－2．解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(　√　)
2．方程x2－1＝0相当于函数y＝x2－1中y＝0．(　√　)
3．如果关于x的方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式ax2＋bx＋c>0也无解．(　×　)
4．x2－1>0与1－x2<0的解集相等．(　√　)
题型一　一元二次不等式的解法
命题角度1　二次项系数大于0
例1　求不等式4x2－4x＋1>0的解集．
解　因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，
所以原不等式的解集为.
反思感悟　在求解一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．
跟踪训练1　求不等式2x2－3x－2≥0的解集．
解　∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是.
命题角度2　二次项系数小于0
例2　解不等式－x2＋2x－3>0.
解　不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是 .
反思感悟　将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化，化归为二次项系数大于0的不等式，是为了减少记忆负担．
跟踪训练2　求不等式－3x2＋6x>2的解集．
解　不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴x1＝1－，x2＝1＋，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是.
题型二　“三个二次”间对应关系的应用
例3　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
解　由根与系数的关系，可得即
∴不等式bx2＋ax＋1>0，
即2x2－3x＋1>0.
解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
反思感悟　给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
跟踪训练3　已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1解　方法一　由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
由根与系数的关系，知解得
方法二　把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
得解得
数形结合解不等式
典例　函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的实数x的取值范围是(　　)
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
答案　D
解析　根据函数f(x)的性质可画出f(x)图象示意图：
不等式－1≤f(x)≤1的几何意义为当函数f(x)的纵坐标介于[－1,1]之间时，求横坐标x的取值集合．由已知，使－1≤f(x)≤1成立的x满足－1≤x≤1，所以由－1≤f(x－2)≤1得－1≤x－2≤1，即1≤x≤3，故选D．
[素养评析]　直观想象素养的主要表现为：能建立形与数(如本例－1≤f(x)≤1与f(x)图象)的联系；利用几何图形描述问题(f(x)的图象介于y＝－1，y＝1两直线之间)；借助几何直观理解问题(满足条件的图象部分的横坐标集合即所求解集).
1．不等式2x2－x－1>0的解集是(　　)
A．
B．{x|x＞1}
C．{x|x<1或x＞2}
D．
答案　D
解析　∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，∴不等式的解集为．
2．不等式－x2－x＋2>0的解集为_____________．
答案　{x|－2解析　由原式得x2＋x－2<0，得－2故其解集为{x|－23．若不等式x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为______．
答案　
解析　若不等式x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则x2－2ax＋a＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，解得a＝．
4．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7答案　3
解析　由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝，故a＝3．
5．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0答案　{t|10≤t≤15，t∈N}
解析　日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)，
依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m0，则可得{x|x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得{x|m有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．实际问题要注意变量的实际含义对变量范围的影响，如长度应该大于0，人数应该为自然数等．
3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．
一、选择题
1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　A
解析　因为6x2＋x－2≤0 (2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.
2．(2016·全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　D
解析　由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|10}＝，得A∩B＝＝，故选D.
3．若00的解集是(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　D
解析　∵01，∴>t.
∴(t－x)>0 (x－t)<0 t4．函数y＝的定义域为(　　)
A．[－7,1]
B．(－7,1)
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
答案　B
解析　由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－75．不等式<2的解集为(　　)
A．{x|x≠－2}
B．R
C．
D．{x|x<－2或x>2}
答案　A
解析　∵x2＋x＋1>0恒成立，
∴原不等式 x2－2x－2<2x2＋2x＋2 x2＋4x＋4>0 (x＋2)2>0，
∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
6．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
答案　A
解析　f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3所以f(x)>f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．
7．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为(　　)
A．{x|x<－1或x>－lg
2}
B．{x|－12}
C．{x|x>－lg
2}
D．{x|x<－lg
2}
答案　D
解析　由题知，一元二次不等式f(x)>0的解集为，即－1<10x<，解得x<－lg
2.
8．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA．a<α<βB．a<αC．αD．α答案　A
解析　设g(x)＝(x－a)(x－b)，
则g(x)向上平移2个单位长度得到f(x)的图象，
由图易知a<α<β二、填空题
9．不等式－1答案　{x|－3≤x<－2或0解析　∵∴－3≤x<－2或010．不等式x2－3|x|＋2≤0的解集为__________．
答案　{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}
解析　原不等式等价于|x|2－3|x|＋2≤0，即1≤|x|≤2.
当x≥0时，1≤x≤2；当x<0时，－2≤x≤－1.
所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．
11．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．
答案　(－∞，2]∪[4，＋∞)
解析　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，
把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
三、解答题
12．已知全集U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，求 UA．
解　依题意， UA中的元素应满足
即解得 UA＝{x|x<－1或x≥3}．
13．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．
解　由ax2＋bx＋c≥0的解集为，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，
∴
∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为
x2－x＋a<0，
即2ax2－5ax－3a>0．
又∵a<0，∴2x2－5x－3<0，
解得－∴所求不等式的解集为．
14．已知集合A＝{x|x2－x－12<0}，集合B＝{x|x2＋2x－8>0}，集合C＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a≠0}，若C (A∩B)，则实数a的取值范围是______________．
答案　
解析　A＝{x|－32}，
∴A∩B＝{x|2要使C (A∩B)，
需
即
解得≤a≤2，即a的取值范围为．
15．解不等式|x－2|－|x－5|≥x2－8x＋14．
解　设f(x)＝|x－2|－|x－5|．
①当x≤2时，f(x)＝－3，而x2－8x＋14＝(x－4)2－2≥－2，
∴f(x)≥x2－8x＋14无解；
②当2原不等式等价于解得3≤x<5；
③当x≥5时，f(x)＝3，原不等式等价于
解得5≤x≤4＋．
综上，原不等式的解集为[3,4＋]．阶段训练四(范围：§3.1～§3.2)
一、选择题
1．给定下列命题：
①a＞b a2＞b2；②a2＞b2 a＞b；③a＞b <1；④a＞b <．
其中正确的命题个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案　A
解析　对于①②，只有当a＞b＞0时，a2＞b2才成立，故①②都错误；
对于③，只有当a＞0且a＞b时，<1才成立，故③错误；
当a＞0，b<0时，④错误．
2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16
B．25
C．9
D．36
答案　B
解析　(1＋x)(1＋y)≤2
＝2＝2＝25，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25，故选B.
3．已知a，b∈(0,1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．MB．M＝N
C．M>N
D．不确定
答案　C
解析　M－N＝ab－a－b＋1＝(1－a)(1－b)>0，
∴M>N.
4．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　)
A．M＝N
B．MC．M≤N
D．M>N
答案　B
解析　∵x>0，y>0，
∴x＋y＋1>1＋x>0，1＋x＋y>1＋y>0，
∴<，<，
故M＝＝＋<＋＝N，即M5．若a>b>c，则下列不等式成立的是(　　)
A．>
B．<
C．ac>bc
D．ac答案　B
解析　因为a>b>c，所以a－c>0，b－c>0，且a－c>b－c，所以<.
6．已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为(　　)
A．
B．3
C．
D．1
答案　C
解析　因为x>0，y>0，2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝.
当且仅当2x＝3y＝3，即x＝，y＝1时等号成立，即xy的最大值为.
7．函数y＝(x＞1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　　)
A．1＋
B．2
C．3
D．4
答案　B
解析　∵x－1>0，∴y＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
二、填空题
8．已知函数f(x)＝ax＋b,0答案　
解析　由函数的解析式可知0且2a－b＝(a＋b)－(－a＋b)，
结合不等式的性质可得，
2a－b∈.
9．在数列{an}中，若an＝，则an与an＋1的大小关系为________．
答案　an解析　∵an＋1－an＝－
＝
＝>0，
∴an＋1>an.
10．已知0答案　2－2
解析　当0所以f(x)＝2＋log2x＋
＝2－≤2－2．
当且仅当－log2x＝，
即(log2x)2＝5，即x＝时，等号成立．
11．已知x>0，y>0，且＋＝1，若对任意x>0，y>0，x＋y>m2＋8m恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案　(－9,1)
解析　∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4≥9(当且仅当x＝3，y＝6时取等号)，∴(x＋y)min＝9．又∵对任意x>0，y>0，x＋y>m2＋8m恒成立，∴m2＋8m<9，解得－912．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．
答案　8
解析　设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t＝＝＋≥2
＝8(小时)，
当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，
所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时．
三、解答题
13．已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明　∵a，b，c>0，∴a2＋b2≥2ab，
∴＋b≥2a.同理＋c≥2b，＋a≥2c，
∴＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c.当且仅当a＝b＝c时，取等号．
14．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是________．
答案　4＋7
解析　∵log4(3a＋4b)＝log2＝log4(ab)，
∴3a＋4b＝ab，
∴＋＝1．
∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7．
当且仅当＝，即a＝2＋4，b＝3＋2时，取等号．
15．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1．
求证：＋＋<＋＋．
证明　因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋．
因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立．
所以＋＋<＋＋．(共31张PPT)
第2课时　简单线性规划(二)
第三章
3.5.2　简单线性规划
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解实际生活中线性规划问题的最优整数解求法.
2.会解决生活中常见的线性规划问题.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一　求解线性规划最优整数解的方法
1.平移找解法：先打网络、描整点、平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优解，这种方法需充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图进行.当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.
2.调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优解，最后筛选出整点最优解.
3.由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而迅速地找到最优解，此时将可能的解逐一检验即可.
知识点二　线性规划问题的实际应用
1.线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务.
2.求解线性规划应用题的步骤
1.可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点.(　　)
2.在线性规划问题中，最优解一定是边界点.(　　)
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
×
√
2
题型探究
PART
TWO
题型一　求目标函数的最优整数解
例1　画出2x－3其表示的平面区域如图(1).
对于2x－3表示的平面区域，如图(2)所示.
由图可知，在该区域内的横坐标、纵坐标都为正整数的点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3).
反思感悟　目标函数的最优整数解可能不止一个，有多个，注意不要漏写.
解析　不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，
当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0).
当a＝－1时，正好增加(－1,－1)，(0,－1)，(1,－1)，
(2,－1)，(3,－1)，5个整点.
再加上a＝0时的四个整点，共9个整点，故选C.
A.－3
B.－2
C.－1
D.0
√
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
题型二　生活中的线性规划问题
例2　某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品
A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体安排.通过调查，有关数据如下表：

产品A
产品B
搭载要求
研制成本与搭载实验费用之和(万元/件)
20
30
计划最大资金额300万元
产品质量(千克/件)
10
5
最大搭载质量110千克
预计收益(万元/件)
80
60

解　设搭载A产品x件，B产品y件，预计总收益为z万元，
则目标函数为z＝80x＋60y.
画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示.
作出直线l0：4x＋3y＝0，并将其向右上方平移，
由图象可知，当直线l0经过点M(整点)时，z能取得最大值.
所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元).
即搭载9件产品A，4件产品
B，可使得总预计收益最大，最大为960万元.
反思感悟　(1)从实际问题抽象出约束条件时要选择适当的决策变量作为x，y.并用x，y把约束条件准确表达出来.
(2)实际问题有时会要求整数解，但高考很少涉及.有兴趣的同学可以自行搜索相关资料.
跟踪训练2　某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为____.
货物
体积(m3/箱)
重量(50
kg/箱)
利润(百元/箱)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13

4,1
解析　设甲、乙两种货物应各托运的箱数为
x，y，
目标函数
z＝20x＋10y，画出可行域
如图阴影部分(含边界)所示.
易知当直线
z＝20x＋10y
平移经过点A时，z
取得最大值，
即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润.
从实际问题中建立线性规划模型一般有3个步骤
1.根据影响目标的因素找到决策变量.
2.由决策变量与目标的关系确定目标函数.
3.由决策变量所受限制确定约束条件.
如何从实际问题中建立线性规划模型
核心素养之数学建模
HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO
典例　某人准备投资1
200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45/班
2/班
26/班
2/人
高中
40/班
3/班
54/班
2/人
因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜，试用数学关系式表示上述的限制条件.
解　设开设初中班
x
个，开设高中班
y
个，
根据题意，总共招生班数应限制在20至30之间，
所以有20≤x＋y≤30.
考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1
200，
即x＋2y≤40.
另外，开设的班数应为自然数，则x∈N，y∈N.
素养评析　1947年美国数学家G.B.Dantzing为线性规划奠定基础，却水花不起；1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此获1975年诺贝尔经济学奖.由此可见应用实践能力的重要.认识数学模型在科学、社会、工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学模型核心素养的培养目标之一.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
√
1
2
3
4
如图中阴影部分所示(含边界).
因为直线
2x＋y－10＝0过点
A(5,0)，
且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率
，
所以只有一个公共点(5,0)，故选B.
1
2
3
4
2.设点P(x，y)，其中x，y∈N，则满足x＋y≤3的点P有
A.10个
B.9个
C.3个
D.无数个
√
如图中阴影部分的整点所示，
由图知，符合要求的点
P
有10个，故选A.
1
2
3
4
3.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用为400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用为300元，可装洗衣机10台.若每辆货车至多运一次，则该厂所花的最少运输费用为
A.2
000元
B.2
200元
C.2
400元
D.2800元
√
1
2
3
4
解析　设需使用甲型货车
x
辆，乙型货车
y
辆，运输费用为
z
元，
目标函数为z＝400x＋300y，画出可行域(图略)可知，
当x＝4，y＝2时z取得最小值，zmin＝2
200，故选B.
1
2
3
4
(2，＋∞)
1
2
3
4
要使目标函数
z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，
只需使目标函数对应的直线能平移到与可行域的边界直线x＋y－2＝0重合，
所以当n>2时，目标函数的最优解有无穷多个.
解析　作出不等式组
所表示的可行域，如图中阴影部分所示，
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.
2.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.第2课时　一元二次不等式及其解法(二)
学习目标　1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论．3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
知识点一　分式不等式的解法
一般的分式不等式的同解变形法则：
(1)>0 f(x)·g(x)>0；
(2)≤0
(3)≥a ≥0.
知识点二　一元二次不等式恒成立问题
一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象全部在x轴上方．区间[a，b]是不等式f(x)>0的解集的子集．
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：
k≥f(x)恒成立 k≥f(x)max；
k≤f(x)恒成立 k≤f(x)min．
知识点三　含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是 ．
在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论．
1．由于>0等价于(x－5)(x＋3)>0，故y＝与y＝(x－5)(x＋3)图象也相同．(　×　)
2．x2＋1≥2x等价于(x2＋1)min≥2x．(　×　)
3．(ax＋1)(x＋1)>0 (x＋1)>0．(　×　)
题型一　分式不等式的解法
例1　解下列不等式：
(1)<0；
(2)≤1.
解　(1)<0 (2x－5)(x＋4)<0 －4∴原不等式的解集为.
(2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，
解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
反思感悟　分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可．
跟踪训练1　解下列不等式：
(1)≥0；
(2)>1.
解　(1)原不等式可化为
解得∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)方法一　原不等式可化为或
解得或∴－3∴原不等式的解集为.
方法二　原不等式可化为>0，
化简得>0，即<0，∴(2x＋1)(x＋3)<0，
解得－3∴原不等式的解集为.
题型二　不等式恒成立问题
例2　设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
若m≠0，则即－4(2)方法一　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
就要使m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二　当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m<即可．
综上所述，m的取值范围是.
引申探究
把例2(2)改为：对于任意m∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数x的取值范围．
解　f(x)<－m＋5，即mx2－mx－1<－m＋5，
m(x2－x＋1)－6<0.
设g(m)＝m(x2－x＋1)－6.
则g(m)是关于m的一次函数且斜率
x2－x＋1＝2＋＞0.
∴g(m)在[1,3]上为增函数，要使g(m)<0在[1,3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)<0，
即3(x2－x＋1)－6<0，x2－x－1<0，
方程x2－x－1＝0的两根为x1＝，x2＝，
∴x2－x－1<0的解集为，
即x的取值范围为.
反思感悟　有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．
(3)若已知参数的取值范围，求x的取值范围，通常用变换变元的方法解答．
跟踪训练2　当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案　(－∞,－5]
解析　构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，
则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．
由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有即
可得所以m≤－5.
题型三　含参数的一元二次不等式
例3　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
解　当a<0时，不等式可化为(x－1)＞0，
∵a<0，∴<1，∴不等式的解集为.
当a＝0时，不等式可化为－x＋1<0，解集为{x|x＞1}．
当a＞0时，不等式可化为(x－1)<0.
当0当a＝1时，不等式的解集为 .
当a＞1时，<1，不等式的解集为.
综上，当a<0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0当a＝1时，解集为 ；
当a＞1时，解集为.
反思感悟　解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．
跟踪训练3　解关于x的不等式(x－a)(x－a2)<0.
解　当a<0或a＞1时，有a当0当a＝0或a＝1时，原不等式无解．
综上，当a<0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a当0当a＝0或a＝1时，解集为 .
穿针引线解高次不等式
观察下列不等式解集与图象的关系．猜想第三个不等式的解集.
不等式
函数图象
不等式解集
x－1＞0
(1，＋∞)
(x－1)(x－2)＞0
(－∞，1)∪(2，＋∞)
x(x－1)(x－2)＞0
对于函数f(x)＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)…(x－xn)，
不妨设x1＜x2＜x3＜…＜xn.
其图象有两个特点：
①当x＞xn时，x－x1＞0，x－x2＞0，…，x－xn＞0，∴f(x)＞0.该区间内f(x)图象在x轴上方．
②从x轴右上方开始，f(x)的图象每穿过一个零点，就从x轴一侧到另一侧变化一次．
根据这个原理，只要画出f(x)示意图(穿针引线)，即可得到f(x)＞0(或f(x)＜0)的解集．如第三个不等式解集为(0，1)∪(2，＋∞)．在此过程中，y轴可省略不画．
③注意对于奇数次根穿而过，偶数次根穿而不过．
典例　解不等式＞0.
解　＞0即x(x－1)(x＋1)＞0，
穿针引线：
解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
[素养评析]　穿针引线法的发现归功于从简单到复杂，从具体到一般的观察，发现问题，提出命题，这就是逻辑推理素养中的归纳.
1．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥2
B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2
D．－2≤m≤2
答案　D
解析　由题意，得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.
2．不等式≥0的解集为(　　)
A．[1，2]
B．(－∞，1]∪[2，＋∞)
C．[1，2)
D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
答案　D
解析　由题意可知，不等式等价于
∴x>2或x≤1.
3．不等式≥1的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(－1，2]
B．[－1，2]
C．(－∞，2]
D．(－1，2]
答案　D
解析　∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，
即≤0，等价于(x－2)(x＋1)＜0或x－2＝0，
故－1＜x≤2.
4．若不等式x2＋x＋k＜0在区间[－1，1]上恒成立，则实数k的取值范围是________．
答案　(－∞，－2)
解析　x2＋x＋k＜0，即k＜－(x2＋x)在区间[－1，1]上恒成立，
即k＜[－(x2＋x)]min.
当x＝1时，[－(x2＋x)]min＝－2.∴k＜－2.
5．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.
解　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以
①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a②当a＝－1时，原不等式的解集为 ；
③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－11．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立 a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a3．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0．
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不等根(Δ>0)，两相等实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1一、选择题
1．不等式≤0的解集为(　　)
A．
B．
C．∪[1，＋∞)
D．∪[1，＋∞)
答案　A
解析　原不等式等价于
解得－∴原不等式的解集为.
2．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0，1]恒成立，则m的最大值为(　　)
A．1
B．－1
C．－3
D．3
答案　C
解析　由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0，1]恒成立，
又f(x)＝x2－4x在(0，1]上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3，
∴m的最大值为－3.
3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(0，4)
B．[0，4)
C．(0，4]
D．[0，4]
答案　D
解析　当a＝0时，ax2－ax＋1<0无解，符合题意．
当a<0时，ax2－ax＋1<0解集不可能为空集．
当a＞0时，要使ax2－ax＋1<0解集为空集，
需解得0综上，a∈[0,4]．
4．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　A
解析　∵a<－1，
∴a(x－a)<0 (x－a)·>0.
又a<－1，∴>a，
∴x>或x∴不等式的解集为.
5．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A．
B．R
C．
D．
答案　A
解析　因为Δ＝a2＋4m>0，
所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，
又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D，故选A.
6．若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案　C
解析　令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，
依题意得f(1)<0，即1＋a2－1＋a－2<0，
∴a2＋a－2<0，∴－27．对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则实数x的取值范围是(　　)
A．1B．x<1或x>3
C．1D．x<1或x>2
答案　B
解析　设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
g(a)＞0恒成立且a∈[－1，1]

x<1或x>3.
8．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)
B．(－∞，2]
C．(－2，2)
D．(－2，2]
答案　D
解析　当a－2≠0时，
即
解得－2当a－2＝0时，－4<0恒成立，
综上所述，－2二、填空题
9．不等式≥1的解集为________．
答案　
解析　因为≥1等价于≥0，所以≤0，等价于解得－410．若不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是 ，则实数a的取值范围是__________．
答案　(－1,0]
解析　当a＝0时，－2≥0，解集为 ，满足题意；
当a≠0时，a满足条件
解得－111．(2018·上饶模拟)当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则实数a的最小值为________．
答案　－2
解析　当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立，当Δ＝a2－4＞0时，有f(0)＝1＞0，若要原不等式恒成立，则需解得a＞2，所以使不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立的实数a的最小值是－2.
三、解答题
12．已知f(x)＝－3x2＋a(5－a)x＋b.
(1)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值；
(2)若对任意实数a，f(2)<0恒成立，求实数b的取值范围．
解　(1)由f(x)>0，得－3x2＋a(5－a)x＋b>0，
∴3x2－a(5－a)x－b<0.
又f(x)>0的解集为(－1,3)，
∴
∴或
(2)由f(2)<0，得－12＋2a(5－a)＋b<0，
即2a2－10a＋(12－b)>0.
又对任意实数a，f(2)<0恒成立，
∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b)<0，
∴b<－，∴实数b的取值范围为.
13．已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
解　方法一　由题意可得a<0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴由根与系数的关系得
∵a<0，0<α<β，
∴由②得c<0，
则cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋＞0.
①÷②，得＝＝－<0.
由②得＝＝·＞0.
∴，为方程x2＋x＋＝0的两根．
又∵0<α<β，
∴0<<，
∴不等式x2＋x＋＞0的解集为
，
即不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．
方法二　由题意知a<0，
∴由cx2＋bx＋a<0，得x2＋x＋1＞0．
将方法一中的①②代入，
得αβx2－(α＋β)x＋1＞0，
即(αx－1)(βx－1)＞0．
又∵0<α<β，
∴0<<．
∴所求不等式的解集为．
14．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围为________．
答案　[－3,2)
解析　∵－2是2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解，
∴2(－2)2＋(2k＋5)(－2)＋5k＝k－2<0．
∴k<2，－k>－2>－，
∴2x2＋(2k＋5)x＋5k＝(x＋k)(2x＋5)<0的解集为，
又x2－x－2>0的解集为{x|x<－1或x>2}，
∴－2<－k≤3，∴k的取值范围为[－3,2)．
15．解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.
解　(1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，
解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}．
(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2．
①当02，
所以原不等式的解集为；
②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当a>1时，<2，
所以原不等式的解集为．
(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2，则<2，
所以原不等式的解集为．
综上，当a<0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；
当0当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠2}；
当a>1时，原不等式的解集为．(共41张PPT)
第2课时　一元二次不等式及其解法(二)
第三章
§3.3　一元二次不等式及其解法
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.
2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.
3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一　分式不等式的解法
一般的分式不等式的同解变形法则：
f(x)·g(x)>0
f(x)·g(x)≤0
g(x)≠0
知识点二　一元二次不等式恒成立问题
一般地，“不等式
f
(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数
y＝f
(x)
在区间[a，b]上的图象全部在
x
轴___方.区间[a，b]是不等式
f
(x)>0的解集的_____.
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：
k≥f
(x)恒成立 k≥_______；
k≤f
(x)恒成立 k≤_______.
上
子集
f
(x)max
f
(x)min
知识点三　含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是 .
在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论.
2.x2＋1≥2x等价于(x2＋1)min≥2x.(　　)
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
题型一　分式不等式的解法
例1　解下列不等式：
跟踪训练1　解下列不等式：
题型二　不等式恒成立问题
例2　设函数
f
(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数
x，f
(x)<0恒成立，求实数
m
的取值范围；
解　要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
即－4(2)对于x∈[1,3]，f
(x)<－m＋5恒成立，求实数
m
的取值范围.
解　方法一　要使
f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.
方法二　当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.
引申探究
把例2(2)改为：对于任意m∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数x的取值范围.
解　f(x)<－m＋5，即mx2－mx－1<－m＋5，m(x2－x＋1)－6<0.
设
g(m)＝m(x2－x＋1)－6.
则g(m)是关于m的一次函数且斜率
∴g(m)在[1,3]上为增函数，
要使g(m)<0在[1,3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)<0，
即3(x2－x＋1)－6<0，x2－x－1<0，
反思感悟　有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式.
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解.
(3)若已知参数的取值范围，求x的取值范围，通常用变换变元的方法解答.
跟踪训练2　当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是__________.
解析　构造函数
f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，
则
f(x)在[1,2]上的最大值为
f
(1)或
f
(2).
由于当
x∈(1,2)时，不等式
x2＋mx＋4<0恒成立.
(－∞,－5]
题型三　含参数的一元二次不等式
例3　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
当a＝0时，不等式可化为－x＋1<0，解集为{x|x＞1}.
当a＝1时，不等式的解集为 .
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当a＝1时，解集为 ；
反思感悟　解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.
跟踪训练3　解关于x的不等式(x－a)(x－a2)<0.
解　当a<0或a＞1时，有a当0当a＝0或a＝1时，原不等式无解.
综上，当a<0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a当0当a＝0或a＝1时，解集为 .
观察下列不等式解集与图象的关系.猜想第三个不等式的解集.
穿针引线解高次不等式
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
不等式
函数图象
不等式解集
x－1＞0
(1，＋∞)
(x－1)(x－2)＞0
(－∞，1)∪
(2，＋∞)
x(x－1)(x－2)＞0

对于函数f(x)＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)…(x－xn)，
不妨设x1＜x2＜x3＜…＜xn.
其图象有两个特点：
①当x＞xn时，x－x1＞0，x－x2＞0，…，x－xn＞0，∴f(x)＞0.该区间内f(x)图象在
x
轴上方.
②从x轴右上方开始，f(x)的图象每穿过一个零点，就从x轴一侧到另一侧变化一次.
根据这个原理，只要画出
f(x)示意图(穿针引线)，即可得到
f(x)＞0(或
f(x)＜0)的解集.如第三个不等式解集为(0，1)∪(2，＋∞).在此过程中，y轴可省略不画.
③注意对于奇数次根穿而过，偶数次根穿而不过.
解集为(－1,0)∪(1，＋∞).
穿针引线：
素养评析　穿针引线法的发现归功于从简单到复杂，从具体到一般的观察，发现问题，提出命题，这就是逻辑推理素养中的归纳.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
1.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是
A.m≥2
B.m≤－2
C.m≤－2或m≥2
D.－2≤m≤2
√
解析　由题意，得Δ＝m2－4≤0，
∴－2≤m≤2.
5
1
2
3
4
A.[1，2]
B.(－∞，1]∪[2，＋∞)
C.[1，2)
D.(－∞，1]∪(2，＋∞)
5
√
∴x>2或x≤1.
1
2
3
4
5
A.(－∞，－1)∪(－1，2]
B.[－1，2]
C.(－∞，2]
D.(－1，2]
√
故－1＜x≤2.
1
2
3
4
4.若不等式x2＋x＋k＜0在区间[－1，1]上恒成立，则实数k的取值范围是_____________.
解析　x2＋x＋k＜0，即k＜－(x2＋x)在区间[－1，1]上恒成立，
即k＜[－(x2＋x)]min.
当x＝1时，[－(x2＋x)]min＝－2.∴k＜－2.
5
(－∞，－2)
1
2
3
4
5.解关于
x
的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.
5
解　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以
①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a②当a＝－1时，原不等式的解集为 ；
③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零.
2.对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然，这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立 a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a3.含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不等根(Δ>0)，两相等实根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x13.1.1　不等关系与不等式
学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系．2.学会用作差法比较两实数的大小．
知识点一　不等关系与不等式的概念
1．用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．
2．符号“≥”和“≤”的含义：如果a，b是两个实数，那么a≥b，即为a>b或a＝b；a≤b即为a3．对于任意实数a，b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．
知识点二　p推出q的符号表示
1．“如果p，则q”为正确的命题，则简记为p q，读作“p推出q”．
2．如果p q，且q p都是正确的命题，则记为p q，读作“p等价于q”或“q等价于p”．
知识点三　作差法
作差法的理论依据：a>b a－b>0；a＝b a－b＝0；a1．不等式x≥2的含义是指x不小于2．(　√　)
2．若a3．“p q”表示由p成立就能得出q成立．(　√　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型一　用不等式(组)表示不等关系
例1　某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2
000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解　提价后销售的总收入为x万元，
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20(x≥2.5)．
反思感悟　数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系，思维要严密、规范．
跟踪训练1　(1)雷电的温度大约是28
000
℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t
℃，那么t应满足的关系式是________．
答案　4.5t<28
000
解析　由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28
000.
(2)配制A，B两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y所满足的不等关系．
解　根据题意可得
题型二　作差法的应用
命题角度1　作差法比较大小
例2　已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2．
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2．
反思感悟　比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．
跟踪训练2　已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．
解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)
，
∵＋＞0，x－1＜0，
∴(x－1)
＜0，
∴x3－1＜2x2－2x．
命题角度2　作差法证明不等式
例3　证明函数f
(x)＝x3(x∈R)为增函数．
证明　任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f
(x1)－f
(x2)＝x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)
＝(x1－x2)
．
因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，
又2＋x＞0，
所以(x1－x2)
＜0，
即f
(x1)－f
(x2)＜0，
所以f
(x1)＜f
(x2)．
所以函数f
(x)＝x3(x∈R)为增函数．
反思感悟　有时证明a＞b不易，可以转为证明其等价命题a－b＞0，因为作差过程中使不等号两端的信息集中到一端，从而可以使用消去、分解因式、配方等方法，使问题变得易于解决．
跟踪训练3　若a＞b，ab＞0，求证：＜．
证明　－＝．
∵a＞b，∴b－a＜0．
又ab＞0，∴＜0，
即－＜0，∴＜．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　D
解析　“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45．
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
答案　C
解析　由a＋b>0，知a>－b，
∴－a又b<0，∴－b>0，
∴a>－b>b>－a．
3．比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解　∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)
＝－7<0，
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
4．某市政府准备投资1
800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？
解　设该校有初中班x个，高中班y个，
则有
1．比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了．
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.57～0.6之间，用不等式表示为(　　)
A．＜0.57
B．＞0.6
C．0.57＜≤0.6
D．0.57≤＜0.6
答案　D
解析　在a～b之间，即a≤x＜b．
2．已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是(　　)
A．a－b≤0
B．a＋b<0
C．|a|>|b|
D．a2＋b2≥－2ab
答案　D
解析　a>0，b<0.则a－b>0，而a＋b的符号不确定，
|b|与|a|的大小也不确定；(a＋b)2≥0，则a2＋b2≥－2ab，故选D.
3．设xA．x2B．x2>ax>a2
C．x2D．x2>a2>ax
答案　B
解析　∵x2－ax＝x(x－a)>0，
∴x2>ax．
又ax－a2＝a(x－a)>0，
∴ax>a2，
∴x2>ax>a2．
4．不等式：①a2＋2＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab恒成立的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案　D
解析　a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，
∴a2＋2＞2a，①对；
a2＋b2－2(a－b－1)＝a2－2a＋1＋b2＋2b＋1
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴②对．
a2＋b2－ab＝a2－ab＋＋
＝2＋≥0，
∴③对．
5．若A＝＋3，B＝＋2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A＞B
B．A＜B
C．A≥B
D．不确定
答案　A
解析　A－B＝＋3－－2
＝－＋1
＝2＋＞0．
∴A＞B．
6．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＜N
B．M
＞N
C．M＝N
D．不确定
答案　B
解析　M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)．
∵a1，a2∈(0，1)，
∴a1－1＜0，a2－1＜0，
∴M－N＞0，
∴M＞N．
7．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b≤c
B．b≤c＜a
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
答案　A
解析　由c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，
得b≤c，
再由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，
得2b＝2＋2a2，
因为1＋a2－a＝2＋＞0，
所以b＝1＋a2＞a，
所以a＜b≤c．
二、填空题
8．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：____________.
答案　>
解析　变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．
9．若x∈R，则与的大小关系为________．
答案　≤
解析　∵－＝＝≤0．
∴≤．
10．(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小关系为_________________________．
答案　(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2
解析　因为(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2
＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36)＝－1<0．
所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2．
11．已知0答案　M
>N
解析　∵00，1＋b>0．
M＝＋＝，
N＝＋＝．
∵ab<1，∴2ab<2，
∴a＋b＋2ab<2＋a＋b，
∴M
>N．
三、解答题
12．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
解　∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．
13．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；
(2)按总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯为x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法的y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱？
解　由优惠办法(1)得y1＝20×4＋5(x－4)
＝5x＋60(x≥4)，
由优惠办法(2)得
y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4)．
y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4)，
令y1－y2＝0，得x＝34，
当购买34只茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x＜34时，y1＜y2，优惠办法(1)省钱；当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)省钱．
14．已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
解　－(＋)＝＋
＝＋＝＝．
因为a，b为正实数，
所以＋>0，>0，(－)2≥0，
所以≥0，
所以＋≥＋．
15．规定AB＝A2＋B2，A B＝A·B，A，B∈R，若M＝a－b，N＝a＋b，a，b∈R，判断MN与M N的大小．
解　MN＝M2＋N2＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2a2＋2b2．
M N＝M·N＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2，
MN－M N＝2a2＋2b2－(a2－b2)＝a2＋3b2≥0，
所以MN≥M N．§3.4　不等式的实际应用
学习目标　1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题．2.掌握建立均值不等式模型解决实际问题．
知识点一　不等式模型
建立不等式模型解决实际问题的过程：
(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)；
(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；
(3)解决数学问题；
(4)回归实际问题，写出准确答案．
知识点二　常见的不等式模型
1．一元二次不等式模型
根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响．
2．均值不等式模型
根据题意抽象出的模型是(1)y＝x＋(a＞0)，(2)a＋b，ab中有一个是定值，求另一个的最值，解决办法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a＞0，b＞0，以及等号成立的条件是否具备．
题型一　一元二次不等式的实际应用
命题角度1　范围问题
例1　国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？
解　设产销量每年为x万瓶，则销售收入每年70x万元，
从中征收的金额为70x·R%万元，其中x＝100－10R.
由题意，得70(100－10R)·R%≥112，
整理，得R2－10R＋16≤0.
因为Δ＝36＞0，
所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.
由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，
得不等式的解集为{R|2≤R≤8}．
所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元．
反思感悟　解有关不等式应用题的步骤
(1)选用合适的字母表示题中的未知数．
(2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)解所列出的不等式(组)．
(4)结合问题的实际意义写出答案．
跟踪训练1　某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400
km.该热带风暴中心B以40
km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350
km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
解　如图，
以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，
因为AB＝400，∠BAx＝30°，
所以热带风暴中心B的坐标为(200，－200)，
x
h后热带风暴中心B到达点P(200，40x－200)处，
由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350，
即(200)2＋(40x－200)2≤3502，
整理得16x2－160x＋375≤0，
解不等式，得3.75≤x≤6.25，
A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5，
故在3.75
h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5
h.
命题角度2　最值问题
例2　甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险．
(1)若f(0)＝10，g(0)＝20，试解释它们的实际意义；
(2)设f(x)＝＋10，g(x)＝＋20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？
解　(1)
f
(0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g(0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．
(2)设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，依题意，
当且仅当成立．
故y≥(＋20)＋10，则4y－－60≥0，
所以(－4)(4＋15)≥0，得≥4，
故y≥16，x≥＋20≥24，
即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费．
反思感悟　与最值相关的二次函数问题的解题方法
(1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数，再通过配方求最值．
(2)需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系．
(3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小．
跟踪训练2　已知不等式sin2x－2asin
x＋a2－2a＋2>0对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解　设f(x)＝sin2x－2asin
x＋a2－2a＋2，
则f(x)＝(sin
x－a)2＋2－2a.
当a<－1时，f(x)在sin
x＝－1时取到最小值，且f(x)min＝a2＋3，a2＋3>0显然成立，∴a<－1.
当－1≤a≤1时，f(x)在sin
x＝a时取到最小值，且f(x)min＝2－2a，由2－2a>0，解得a<1，∴－1≤a<1.
当a>1时，f(x)在sin
x＝1时取到最小值，且f(x)min＝a2－4a＋3，由a2－4a＋3>0，解得a<1或a>3，
∴a>3.综上所述，a的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
题型二　均值不等式的实际应用
例3　某单位决定投资3
200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．
(1)仓库底面积S(m2)的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解　(1)设铁栅长为x
m，一侧砖墙长为y
m，
则有S＝xy.
由题意得40x＋2×45y＋20xy＝3
200.
由均值不等式，得
3
200≥2＋20xy＝120＋20xy
＝120＋20S，
∴S＋6≤160，即(＋16)(－10)≤0.
∵＋16>0，∴－10≤0，∴S≤100.
∴S的最大允许值是100
m2.
(2)由(1)知取得最大值的条件是40x＝90y，而xy＝100，由此求得x＝15，即铁栅的长应是15
m.
反思感悟　(1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求．均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查．
(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视．在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性．
跟踪训练3　把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为(　　)
A．4
B．8
C．16
D．32
答案　B
解析　设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,01．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为(　　)
A．12元
B．16元
C．12元到16元之间
D．10元到14元之间
答案　C
解析　设售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12所以每件售价应定为12元到16元之间．
2．某校要建一个面积为392
m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2
m和4
m的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为________m2.
答案　648
解析　设游泳池的长为x
m，则游泳池的宽为
m，
又设占地面积为y
m2，依题意，得y＝(x＋8)
＝424＋4≥424＋224＝648(m2)．
当且仅当x＝，即x＝28时，取“＝”．
3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
答案　5
解析　设仓库到车站距离为x公里，
则y1＝，y2＝k2x且
k1＝20，k2＝，
则两项费用之和S＝＋x≥8(万元)，
当且仅当＝x，
即x＝5公里时，两项费用之和最小为8万元．
4．要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18
000
cm2，四周空白的宽度为10
cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．
解　设矩形栏目的高为a
cm，宽为b
cm，ab＝9
000.①
广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a＞0，b＞0．
广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500
＝18
500＋25a＋40b≥18
500＋2
＝18
500＋2＝24
500．
当且仅当25a＝40b时，等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75，即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24
500，
故广告的高为140
cm，宽为175
cm时，可使广告的面积最小，最小值为24
500
cm2．
1．解不等式实际应用题的解题思路
2．建立一元二次不等式模型求解实际问题操作步骤为：
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
一、选择题
1．若－2x2＋5x－2＞0，则＋2|x－2|等于(　　)
A．4x－5
B．－3
C．3
D．5－4x
答案　C
解析　∵－2x2＋5x－2＞0，∴＜x＜2，
∴2x＞1，x＜2，原式＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1－2(x－2)＝3．
2．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是(　　)
A．5月、6月
B．6月、7月
C．7月、8月
D．8月、9月
答案　C
解析　n个月累积的需求量为Sn，
∴第n个月的需求量为an＝Sn－Sn－1
＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]
＝(－n2＋15n－9)．
∵a1＝S1＝<1.5，∵an>1.5即满足条件，
∴(－n2＋15n－9)>1.5，
解得6∴n＝7或n＝8.故选C．
3．某汽车运输公司买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，营运了(　　)
A．3年
B．4年
C．5年
D．6年
答案　C
解析　设y＝a(x－6)2＋11，
由条件知7＝a(4－6)2＋11，∴a＝－1．
∴y＝－(x－6)2＋11＝－x2＋12x－25．
∴每辆客车营运的年平均利润＝
＝－＋12≤－2＋12＝2(万元)，
当且仅当x＝，即x＝5时等号成立．
4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(　　)
A．a＜v＜
B．v＝
C.＜v＜
D．v＝
答案　A
解析　依题意，设甲，乙两地路程为s，则
v＝＝．
∵0＜a＜b，∴＝＜＝．
又＞＝a，∴a＜v＜．
5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300
m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)
A．[15,20]
B．[12,25]
C．[10,30]
D．[20,30]
答案　C
解析　依题意，设矩形高为y
m，
则·x·(40－y)＋(40－x)·y＋xy＝×40×40，
即x＋y＝40，∴y＝40－x，
∴xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30．
6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
答案　B
解析　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝＝＋．
∵x＞0，∴＋≥2＝20．
当且仅当＝，即x＝80时取等号．
即每批生产80件，平均每件费用最小．
二、填空题
7．若把总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________
m2.
答案　25
解析　设矩形的一边为x
m，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25．
8．现有含盐7%的盐水200克，生产含盐5%以上6%以下的盐水，设需要加入含盐4%的盐水x克，则x的取值范围是________．
答案　(100,400)
解析　由题意，得5%<×100%<6%，解得1009．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24
000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t
%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9
000万元，t
变动的范围是________．
答案　[3,5]
解析　由题意可列不等式·24
000·t%≥9
000 3≤t≤5．
10．要制作一个容积为4
m3，高为1
m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______(单位：元)．
答案　160
解析　设长方体底面的一边长为x，则另一边长为，
故总造价S＝4·20＋x·10·2＋·10·2＝80＋20≥160，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，
故最低总造价为160元．
11．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．
①6.5
m；②6.8
m；③7
m；④7.2
m.
答案　③
解析　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．故③既够用，浪费也最少．
三、解答题
12．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0＜x＜1)．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即解得0＜x＜，
所以投入成本增加的比例应在内．
13．一服装厂生产某种风衣，月销售x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x(元)．
(1)当月产量为多少时，该厂的月获利不少于1
300元？
(2)当月产量为多少时，该厂的月获利最大？最大月获利是多少？
解　(1)设该厂月获利为y，
则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，
由题意得y≥1
300，解得20≤x≤45，
∴当月产量在20至45件之间时，月获利不少于1
300元．
(2)由(1)知y＝－22＋1
612.5．
∵x为正整数，
∴当x＝32或33时，y取最大值为1
612，
∴当月产量为32或33件时，月获利最大，且最大为1
612元．
14．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足关系：s＝＋(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中则n为(　　)
A．7
B．5
C．6
D．8
答案　C
解析　依题意，得
解得又n∈N，所以n＝6．
15．学校食堂定期从某粮店以每吨1
500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元．已知食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．
(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．
解　(1)设每t天购进一次大米，易知每次购进大米量为t吨，那么库存总费用即为
2[t＋(t－1)＋…＋2＋1]＝t(t＋1)．
若设平均每天所支付的总费用为y1，则
y1＝[t(t＋1)＋100]＋1
500＝t＋＋1
501≥1
521．
当且仅当t＝，即t＝10时，等号成立，
故应每10天购买一次大米，能使平均每天支付的总费用最少．
(2)若接受价格优惠条件则至少每20天购买一次，
设t(t≥20)天购买一次，每天支付费用y2，则
y2＝[t(t＋1)＋100]＋1
500×0.95＝t＋＋1
426，
令f(t)＝t＋(t≥20)，
设20≤t1f(t2)－f(t1)＝
>0，
即f(x)在[20，＋∞)上单调递增．
故当t＝20时，y2取最小值为1
451元<1
521元，从而知该食堂应接受价格优惠条件．(共32张PPT)
第1课时　均值不等式
第三章
§3.2　均值不等式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解均值不等式的内容及证明.
2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.
3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点二　均值不等式常见推论
1.均值定理
如果a，b∈R＋，那么
___
.当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论通常称为_____定理，又叫均值不等式.
均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.
知识点一　算术平均值与几何平均值
对任意两个正实数a，b，数
叫做a，b的算术平均值，数
叫做a，b的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.
≥
均值
2.常见推论
(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).
1.对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(　　)
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
题型一　常见推论的证明
例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
引申探究
方法二　由例1知，a2＋b2≥2ab.
证明　由例1，得a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，
当且仅当a＝b时，取等号.
反思感悟　(1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识.
(2)不等式a2＋b2≥2ab和均值不等式
≤
成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.
题型二　用均值不等式证明不等式
例2　已知x，y都是正数.
当且仅当x＝y时，等号成立.
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立.
反思感悟　利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.
跟踪训练2　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
证明　∵a，b，c都是正实数，
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
题型三　用均值不等式比较大小
例3　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则
√
解析　第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b).
若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a＞0，b＞0，x＞0，
综合①②，有PA.RB.PC.QD.P√
解析　∵a＞b＞1，∴lg
a＞lg
b＞0，
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
演绎：从一般到特殊
∵x＞－1，∴x＋1＞0.
当且仅当x＝1时，等号成立.
3
达标检测
PART
THREE
1.若0√
1
2
3
4
5
解析　∵0a＋b，
∵b>a>0，∴ab>a2，
2.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是
√
解析　对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；
对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；
对于D，当x<0时，不成立；
1
2
3
4
5
3.四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则
√
1
2
3
4
5
解析　因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，
又因为a，b，c，d
均大于0且不相等，
1
2
3
4
5
4.lg
9×lg
11与1的大小关系是
A.lg
9×lg
11>1
B.lg
9×lg
11＝1
C.lg
9×lg
11<1
D.不能确定
√
解析　∵lg
9>0，lg
11>0，
即lg
9×lg
11<1.
1
2
3
4
5
5.设a>0，b>0，给出下列不等式：
其中恒成立的是________.(填序号)
①②③
1
2
3
4
5
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；
当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
课堂小结
KETANGXIAOJIE
2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.(共40张PPT)
章末复习
第三章
不等式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.
2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.
3.会用均值不等式证明不等式，求解最值问题.
4.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.
5.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
知识梳理
题型探究
达标检测
1
知识梳理
PART
ONE
知识梳理
1.不等式的性质
ZHISHISHULI
名称
式子表达
性质1(对称性)
a＞b b__a
性质2(传递性)
a＞b，b＞c a__c
性质3
a＞b a＋c__b＋c

推论1
a＋b＞c a__c－b
a＞b，c＞d a＋c__b＋d
推论2
性质4
a＞b，c＜0 ac__bc
a＞b，c＞0 ac__bc
＜
＞
＞
＞
＞
＜
＞

推论1
a＞b＞0，c＞d＞0 ac__bd
a＞b＞0 an__bn(n∈N＋，n＞1)
a＞b＞0
__
(n∈N＋，n＞1)
推论2
推论3
＞
＞
＞
2.均值不等式
利用均值不等式证明不等式和求最值的区别
(1)利用均值不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件.
(2)利用均值不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.
设
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程
ax2＋bx＋c＝0的判别式
Δ＝b2－4ac
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤
求方程f(x)＝0的解
有两个不等的实数解
x1，x2
有两个相等的实数解
x1，x2
没有实数解
画函数y＝f(x)的示意图
得不等式的解集
f(x)>0
{x|xx2}
R
f(x)<0
{x|x1

3.三个二次之间的关系
4.线性规划问题求解步骤
(1)把问题要求转化为约束条件；
(2)根据约束条件作出可行域；
(3)对目标函数变形并解释其几何意义；
(4)移动目标函数寻找最优解；
(5)解相关方程组求出最优解.
2
题型探究
PART
TWO
题型一　利用均值不等式求最值
例1　函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则
的最小值为____.
4
解析　y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点
A(1,1)，
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，∴m＋n＝1，
反思感悟　当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为命题角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值.
题型二　“三个二次”之间的关系
－14
∴a＋b＝－14.
反思感悟　(1)“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化.
(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想.
跟踪训练2　设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M [1,4]，求实数a的取值范围.
解　M [1,4]有两种情况：
其一是M＝ ，此时Δ<0；其二是M≠ ，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围.
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
对方程x2－2ax＋a＋2＝0，
有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，
①当Δ<0时，－1②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，M＝{－1}

[1,4]，不满足题意；
当a＝2时，M＝{2} [1,4]，满足题意.
③当Δ>0时，a<－1或a>2.
设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1那么M＝[x1,x2]，M [1,4] 1≤x1题型三　一元二次不等式的解法
例3　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R).
解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；
当0a}；
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a>1时，aa2}；
综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}.
反思感悟　对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏.
跟踪训练3　已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
解　(1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解集为{x|x>0}.
(2)若a>0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即0②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为 .
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为 .
(3)若a<0，Δ＝4－4a2.
∴当0②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式化为(x＋1)2>0，
∴当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}.
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为 ；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；
当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；
当a<－1时，原不等式的解集为R.
题型四　线性规划问题
解　如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域.
设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，
显然，直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；
直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小.
上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；
当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
反思感悟　(1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确.
(2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵截距越大，z越大还是越小.
跟踪训练4　某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3
m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2
m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小.
解　设需要甲种原料x张，乙种原料y张，
则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.
在一组平行直线3x＋2y＝z中，
经过可行域内的点A时，z取得最小值，
直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，
即最优解为(2,1).
所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
1.(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则 RA等于
A.{x|－1B.{x|－1≤x≤2}
C.{x|x<－1}∪{x|x>2}
D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
√
解析　方法一　A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，
所以 RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
方法二　因为A＝{x|x2－x－2>0}，
所以 RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
5
取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为
1
2
3
4
√
解析　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，
由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
5
1
2
3
4
A.－18
B.8
C.－13
D.1
√
5
1
2
3
4
4.若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围
是_______.
(－2,2]
解析　不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；
解得－25
1
2
3
4
5.已知
f
(x)＝32x－k·3x＋2，当
x
∈R时，f
(x)恒为正，则
k
的取值范围为___________.
解析　f(x)＝(3x)2－k·3x＋2＞0，
5
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.不等式的基本性质
不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的性质.
2.一元二次不等式的求解方法
对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a≠0)的解集.
3.二元一次不等式表示的平面区域的判定
对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点.
4.求目标函数最优解的方法
通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点(或边界)，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解.
5.运用均值不等式求最值时把握三个条件
①“一正”——各项为正数；
②“二定”——“和”或“积”为定值；
③“三相等”——等号一定能取到.
这三个条件缺一不可.(共34张PPT)
第2课时　均值不等式的应用
第三章
§3.2　均值不等式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.
2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一　均值不等式及变形
均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件.
当且仅当______时，以上三个等号同时成立.
≤
≤
≤
a＝b
知识点二　用均值不等式求最值
(1)x，y是否是_____；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为_____；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为_____；
(3)等号成立的条件是否满足.
正数
定值
定值
(　　)
(　　)
2.因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2.
×
×
×
(　　)
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
×
2
题型探究
PART
TWO
命题角度1　求一元解析式的最值
题型一　利用均值不等式求最值
多维探究
解　∵x>2，∴x－2>0，
反思感悟　在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.
－4
解析　∵x＜0，∴－x＞0，
命题角度2　求二元解析式的最值
例2　(1)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是____；
18
当且仅当2x＝y且2x＋y＋6＝xy，
即x＝3，y＝6时等号成立，故xy的最小值为18.
(2)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是_____.
当且仅当x＝y＞0且x2＋y2＋xy＝1，
反思感悟　均值不等式连接了和“x＋y”与积“xy”，使用均值不等式就是根据解题需要进行和、积的转化.
9
题型二　均值不等式在实际问题中的应用
例3　某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1
800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解　设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为
6x
吨.
由题意可知，面粉的保管及其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为
y
元，
所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少.
引申探究
若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？
解　设x1，x2∈[15，＋∞)，且x1∵15≤x1∴当x＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天所支付的费用最少.
反思感悟　应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解.
易知n＝3时，y
最小.故最适宜的教室应在
3
楼.
跟踪训练3　高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但高处嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为
，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为
A.2
B.3
C.4
D.8
√
核心素养之数学建模
HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO
典例　某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某种新能源汽车.假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增.
(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f
(n)，试写出f
(n)的表达式；
解　由题意得，f(n)＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n)＋0.9n
＝0.1n2＋n＋14.4.
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年年平均费用最少)？年平均费用的最小值是多少？
故这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元.
解　设该车的年平均费用为S万元，
素养评析　数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值.本例(2)中所涉及的y＝x＋
(a＞0)就是一个应用广泛的函数模型.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
5
A.x＝3
B.x＝－3
C.x＝5
D.x＝－5
√
解析　∵x＞2，∴x－2＞0.
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有
√
1
2
3
4
5
√
解析　由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.
当且仅当a＝b＝
时，等号成立.
1
2
3
4
5
5.设a，b，c∈R，ab＝2，且c≤a2＋b2恒成立，则c的最大值是
解析　∵ab＝2，∴a2＋b2≥2ab＝4.
又c≤a2＋b2恒成立，∴c≤4.故选D.
√
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.用均值不等式求最值
(1)利用均值不等式，通过恒等变形以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，若运用均值不等式求最值，等号取不到，这时通常可以借助函数y＝x＋
(p>0)的单调性求得函数的最值.
2.求解应用题的方法与步骤
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.3.5.2　简单线性规划
第1课时　简单线性规划(一)
学习目标　1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法.4.会画常见非线性约束条件的可行域及解释其目标函数的几何意义．
引例　已知x，y满足条件①
该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x＋3y②的最大值．
以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念．
知识点一　线性约束条件及目标函数
1．在上述问题中，不等式组①是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．
2．在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量x，y的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数．
知识点二　可行解、可行域和最优解
满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解．
知识点三　线性规划问题与图解法
一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．
在确定了线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求”．
(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；
(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；
(3)求：求出取得最大值或最小值时的点的坐标(解方程组)及最大值或最小值．
1．可行解是可行域的一个元素．(　√　)
2．最优解一定是可行解．(　√　)
3．目标函数z＝ax＋by中，z为在y轴上的截距．(　×　)
4．当直线z＝ax＋by在y轴上的截距最大时，z也最大．(　×　)
题型一　求线性目标函数的最值
例1　已知x，y满足约束条件该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求2x＋3y的最大值．
解　
设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，
则y＝－x＋，
这是斜率为－，在y轴上的截距为的直线，如图．
由图可以看出，
当直线y＝－x＋经过直线x＝4与直线x＋2y－8＝0的交点M(4,2)时，截距的值最大，
此时2x＋3y＝14.
反思感悟　(1)由于求最优解是通过图形来观察的，故画图要准确，否则观察的结果可能有误．
(2)作可行域时要注意特殊点与边界．
(3)在可行域内求最优解时，通常转化为直线在y轴上的截距的最值问题来研究，故一定要注意直线在y轴上的截距的正负，否则求出的结果恰好相反．
跟踪训练1　(2018·北京)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
答案　3
解析　由条件得
即
作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．
设z＝2y－x，即y＝x＋z，
作直线l0：y＝x并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin＝2×2－1＝3.
题型二　已知线性目标函数的最值求参数
例2　已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．
答案　(1，＋∞)
解析　作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分含边界所示)．
解方程组得即C(3,1)，
目标函数为z＝ax＋y(a>0)，由题意可知，当直线y＝－ax＋z经过点C时，z取得最大值，
∴－a反思感悟　(1)线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
(2)若b>0，则当截距最大时，z取得最大值，当截距最小时，z取得最小值；若b<0，则当截距最大时，z取得最小值，当截距最小时，z取得最大值．
跟踪训练2　在本例条件下，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则a的值为________．
答案　1
解析　如上例中图形，若使z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4重合，所以－a＝kCD，即－a＝－1，此时a＝1.
题型三　求非线性目标函数的最值
例3　已知实数x，y满足约束条件则z＝的最大值为________，最小值为________．
答案　3　
解析　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，
由于z＝＝，
故z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此的最值是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)，∴zmax＝kMB＝3，zmin＝kMC＝.
∴z的最大值为3，最小值为.
引申探究
1．把目标函数改为z＝，则z的取值范围为________．
答案　
解析　z＝·，其中k＝的几何意义为点(x，y)与点N连线的斜率．
由图易知，kNC≤k≤kNB，即≤k≤，
∴≤k≤7，∴z的取值范围是.
2．把目标函数改为z＝，则z的取值范围为________．
答案　
解析　z＝＝＋2.
设k＝，仿例1解得－≤k≤1.∴z∈.
反思感悟　对于形如的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．
跟踪训练3　(2018·湖北省荆州中学月考)设x，y满足约束条件则的最大值为(　　)
A．1
B．
C．
D．
答案　B
解析　画出可行域如图(阴影部分含边界)所示：
联立解得则B.
表示可行域内的点(x，y)与C(－2，－2)连线的斜率，从图象可以看出，经过点B时，有最大值.
类比：思想方法的迁移方式之一
典例　若实数x，y满足不等式组则z＝2|x|＋y的取值范围是(　　)
A．[－1,3]
B．[1,11]
C．[1,3]
D．[－1,11]
答案　D
解析　作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，
当x≥0时，z＝2x＋y，即y＝－2x＋z，由图象可知其经过A(0，－1)时，zmin＝－1，经过B(6，－1)时，zmax＝11；当x≤0时，y＝2x＋z，由图象可知其经过C(－2，－1)时，zmax＝3，经过A(0，－1)时，zmin＝－1，综上所述，－1≤z≤11.
[素养评析]　逻辑推理主要有两类：演绎是从一般到特殊，归纳与类比是从特殊到一般．其中类比是从此类到彼类，找到两类之间的关联．本例中的目标函数乍看新颖，但只要去掉绝对值，就变成常规的截距型，我们只要把解截距型问题的思想方法迁移过来即可.
1．若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是(　　)
A．－
B．0
C．
D．
答案　C
解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
设z＝x＋2y，即y＝－x＋z，平行移动直线y＝－x＋z，当直线y＝－x＋过点B时，z取最大值，所以(x＋2y)max＝.
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．23
答案　B
解析　作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.
3．已知a，b是正数，且满足2A.
B.
C.
D.
答案　A
解析　画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(不含边界).
的几何意义是可行域内的点M(a，b)与点P(－1，－1)连线的斜率，由图得，当点M与点B(0,2)重合时，最大；当点M与点A(4,0)重合时，最小．由图知kPB＝＝3，kPA＝＝，因为a，b是正数，且点A，B不在可行域内，所以<<3，故选A.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是(　　)
A.
B.
C．[－1,6]
D.
答案　A
解析　作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
由z＝3x－y，可得y＝3x－z，则－z为直线y＝3x－z在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图形可知，当直线y＝3x－z平移到B时，z最小，平移到C时，z最大，可得B，zmin＝－，C(2,0)，zmax＝6，∴－≤z≤6.
5．若x，y满足约束条件则z＝的最大值是________．
答案　3
解析　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．
z＝可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率．由图可知z＝的最大值为kAB＝3.
1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤
(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；
(3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
3．对于非线性约束条件，仍然用“方程定界，特殊点定域”.
一、选择题
1．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域内，则2x－y的最小值为(　　)
A．－6
B．－2
C．0
D．2
答案　A
解析　如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，
令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点A(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6.
2．(2018·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　　)
A．6
B．19
C．21
D．45
答案　C
解析　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，
作出直线y＝－x，平移该直线，当经过点C时，z取得最大值，由得即C(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C.
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为(　　)
A．－7
B．－4
C．1
D．2
答案　A
解析　可行域如图阴影部分(含边界)所示，
令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，
当直线l0过D点时，z取得最小值．
由得D(5,3)．
∴zmin＝3－2×5＝－7，故选A.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为(　　)
A．3，－11
B．－3，－11
C．11，－3
D．11,3
答案　A
解析　作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，
由图可知z＝3x－4y经过点A时，z有最小值，经过点B时，z有最大值．易求得A(3,5)，B(5,3)．
∴zmax＝3×5－4×3＝3，zmin＝3×3－4×5＝－11.
5．已知x，y满足约束条件则(x＋3)2＋y2的最小值为(　　)
A.
B．2
C．8
D．10
答案　D
解析　作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．
因为(x＋3)2＋y2的几何意义是点A(－3,0)与可行域上点(x，y)间距离的平方，显然|AC|最小，所以(x＋3)2＋y2的最小值为|AC|2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，故选D.
6．实数x，y满足约束条件则z＝的取值范围是(　　)
A．[－1,0]
B．[0,2)
C．[－1，＋∞)
D．[－1,1)
答案　B
解析　作出可行域，如图(阴影部分)所示，
＝1＋，k＝的几何意义是点(x，y)与点(0,1)连线l的斜率，当直线l过B(1,0)时kl最小，最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行，
∴kl<1.综上，k∈[－1,1)，k＋1∈[0,2)．
7．已知x，y满足约束条件如果目标函数z＝的取值范围为[0,2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥1
B．a≤2
C．a<2
D．a<1
答案　D
解析　画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
因为目标函数z＝的取值范围为[0,2)，
所以可行域内的点与点(a，－2)连线的斜率的取值范围是[0,2)．
又直线2x－y－4＝0的斜率为2，所以由图可知点(a，－2)在直线BA上，且在A(1，－2)的左侧，所以a<1.故选D.
8．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于(　　)
A．
B．
C．1
D．2
答案　B
解析　作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
易知直线z＝2x＋y过交点B时，z取最小值，
由得
∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝，故选B.
二、填空题
9．已知x2＋y2<1，则w＝的取值范围是________．
答案　(－∞，0)
解析　可行域为单位圆(阴影部分)内部，不包含边界．
w＝的几何意义为点(x，y)与点(－1,1)连线的斜率．
由图知w∈(－∞，0)．
10．在线性约束条件下，z＝2x－y的最小值是________．
答案　－7
解析　如图作出线性约束条件下的可行域，包含边界．
三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，
x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，
x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，
作一族与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z.
即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.
11．已知实数x，y满足不等式组若z＝的最大值为1，则正数a的值为________．
答案　4
解析　作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，
z＝表示可行域内的点(x，y)与定点B(－1,1)连线的斜率，
由图可知，点A与点B连线的斜率最大．
由得A(1，a－1)．∴z的最大值为＝1，解得a＝4.
三、解答题
12．已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的取值范围．
解　作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，
过M作AC的垂线，易知垂足N在AC上，
故|MN|＝＝＝.
∴|MN|2＝2＝，∴z的最小值为.
(2)z＝2·表示可行域内的点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍，
∵kQA＝，kQB＝，∴z的取值范围是.
13．等差数列{an}中，a3<1，a4＞1.求a7的取值范围．
解　设an＝kn＋b.
则可行域如图阴影部分．
a7＝7k＋b.当k＝0，b＝1时最小，但(0,1)取不到．∴a7∈(1，＋∞)．
14．设实数x，y满足则z＝＋的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　令k＝，则y＝kx(因为x≠0，所以k存在)，直线y＝kx恒过原点，不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
当直线y＝kx过点A(1,2)时，斜率有最大值2；当直线y＝kx过点B(3,1)时，斜率有最小值，所以斜率k的取值范围为，又z＝＋＝k＋，当k∈时，z＝k＋为减函数；当k∈[1,2]时，z＝k＋为增函数，可得z的取值范围为，故选D.
15．已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，b≥a＋c，求的最大值．
解　题设条件可转化为
记x＝，y＝，则
表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部．
且目标函数为z＝，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率．
由方程组
得交点坐标为C，
此时zmax＝7，即的最大值为7.(共33张PPT)
3.1.2　不等式的性质
第三章
§3.1　不等关系与不等式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解并掌握不等式的性质.
2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较.
3.会证明一些简单的不等式.
NEIRONGSUOYIN
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1
自主学习
PART
ONE
知识点一　不等式的基本性质
思考　试用作差法证明a>b，b>c a>c.
答案　a>b，b>c a－b>0，b－c>0 a－b＋b－c>0 a－c>0 a>c.
总结　不等式性质：
名称
式子表达
性质1(对称性)
a＞b b___a
性质2(传递性)
a＞b，b＞c a___c
性质3
a＞b a＋c___b＋c

推论1
a＋b＞c a___c－b
a＞b，c＞d a＋c___b＋d
推论2
性质4
a＞b，c＞0 ac___bc
a＞b，c＜0 ac___bc
＜
＞
＞
＞
＞
＞
＜

推论1
a＞b＞0，c＞d＞0 ac___bd
a＞b＞0 an___bn(n∈N＋，n＞1)
a＞b＞0
___
(n∈N＋，n＞1)
推论2
推论3
＞
＞
＞
知识点二　不等式性质的注意事项
思考1　在性质4的推论1中，若把a，b，c，d为正数的条件去掉，即a＞b，c＞d，能推出ac＞bd吗？若不能，试举出反例.
答案　不能，例如1＞－2，2＞－3，但1×2＝2＜(－2)×(－3).
思考2　在性质3的推论2中，能把“ ”改为“ ”吗？为什么？
答案　不能，因为由a＋c＞b＋d，不能推出a＞b，c＞d，例如1＋100＞2＋3，但显然1＜2.
总结　(1)注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要想当然随意捏造性质.
(2)注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性，只有a＞b b＜a，a＞b a＋c＞b＋c，a＞b ac＞bc(c＞0)是可以逆推的，其余几条性质不可逆推.
1.若a>b，则ac>bc一定成立.(　　)
2.若a＋c>b＋d，则a>b且c>d.(　　)
3.若a>b且db＋d.(　　)
4.若a>b且c>d，则ac>bd.(　　)
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
×
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
题型一　不等式性质的证明
例1　若a＞b，c＞0，求证：ac＞bc.
证明　ac－bc＝(a－b)c.
∵a＞b，∴a－b＞0.
又c＞0，∴(a－b)c＞0，即ac－bc＞0，
∴ac＞bc.
反思感悟　对任意两个实数a，b有a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.数学是个讲究逻辑的学科，不能以理解代替证明.
跟踪训练1　(1)若ac2＞bc2，求证：a＞b；
解　∵ac2＞bc2，
∴ac2－bc2＞0，即(a－b)c2＞0.
若c2＝0，则ac2＝bc2与条件矛盾.
∴c2＞0，
∴a－b＞0，即a＞b.
(2)由a＞b能推出ac2＞bc2吗？
解　不能.当c＝0时，ac2＝bc2.
例2　判断下列命题的真假：
(1)若a>b，则ac命题角度1　利用不等式的性质判断命题真假
解　由于c的正、负或是否为零未知，
因而判断ac与bc的大小缺乏依据.故该命题为假命题.
(2)若aab>b2；
所以a2>ab>b2，故该命题为真命题.
题型二　不等式性质的应用
多维探究
反思感悟　要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，应熟练掌握不等式的性质及其推论的条件和结论，若判断命题是假命题只需举一反例即可.
跟踪训练2　下列命题中正确的个数是
①若a>b，b≠0，则>1；
②若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d；
③若a>b，且ac>bd，则c>d.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析　①若a＝2，b＝－1，则不符合题意；
②取a＝10，b＝2，c＝1，d＝3，虽然满足a>b且a＋c>b＋d，但不满足c>d，故错；
③当a＝－2，b＝－3时，取c＝－1，d＝2，则c＞d不成立.
√
命题角度2　利用不等式性质证明简单不等式
证明　∵c－d>0，
∵a>b>0，
反思感悟　利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件，如果不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式性质进行转化.
证明　∵c－d>0.
又a>b>0，∴－ac>－bd>0，∴ac命题角度3　应用不等式性质求取值范围
解　∵－6，
2∴－10<2a＋b<19.
又∵－3<－b<－2，∴－9反思感悟　解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错.同时在变换过程中要准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的情况，同时，要特别注意同向不等式相乘的条件是同为正.
又知α<β，∴α－β<0，
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
用好不等式性质，确保推理严谨性
素养评析　逻辑推理讲究言必有据.在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质.通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和交流能力得到提升.
3
达标检测
PART
THREE
1.如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的个数是
1
2
3
4
解析　①正确，②③④可举反例排除，
如对②③，设a＝－9，b＝1，
对④，设a＝－1，b＝2即可.
A.0
B.1
C.2
D.3
√
解析　由题意可令a＝1，b＝－1，此时①不对，②不对，
1
2
3
4
A.0
B.1
C.2
D.3
√
1
2
3
4
√
解析　∵ab>0，
即－bc>－ad，即bc1
2
3
4
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆.只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆.
2.不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行推导，不能自己“制造”性质运算.章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2018·广东中山纪念中学期末)若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．＞
B．a2＜ab
C．aa＞ba
D．＜
答案　D
解析　当a＝－2＜b＝－1＜0时，＝，aa＝＜ba＝1，所以选项A，C都不一定成立．又a＜b＜0，所以a2＞ab，所以选项B不成立．又－＝＝＜0，所以＜，故选D.
2．不等式<的解集是(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(0,2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　由<，
得－＝<0，
即x(2－x)<0，解得x>2或x<0，故选D.
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则(　　)
A．M
>N
B．M
≥N
C．MD．M≤N
答案　A
解析　∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)
＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3
＝(a－1)2＋2>0.
∴M
>N.
4．已知点P(x0，y0)和点A(1,2)在直线l：3x＋2y－8＝0的异侧，则(　　)
A．3x0＋2y0>0
B．3x0＋2y0<0
C．3x0＋2y0<8
D．3x0＋2y0>8
答案　D
解析　设f(x，y)＝3x＋2y－8，则由题意，得f(x0，y0)·f(1,2)<0，得3x0＋2y0－8>0.
5．不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为(　　)
A．(－3a,4a)
B．(4a，－3a)
C．(－3,4)
D．(2a,6a)
答案　B
解析　方程x2－ax－12a2＝0的两根为4a，－3a，
且4a<－3a，故不等式的解集为{x|4a6．已知m＝a＋(a＞2)，n＝(x＜0)，则m，n的大小关系为(　　)
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．m≤n
答案　A
解析　因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4，当且仅当a＝3时等号成立，n＝＜＝4，所以m＞n.
7．(2018·湖南衡阳八中月考)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)
B．[－2，＋∞)
C．[－2,2]
D．[0，＋∞)
答案　B
解析　当x＝0时，x2＋a|x|＋1＝1≥0成立．
当x≠0时，a|x|≥－(x2＋1)，a≥－恒成立．
∵|x|＋≥2，∴－≤－2.∴a≥－2.
8．(2018·全国Ⅰ改编)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为(　　)
A．－3
B．6
C．－20
D．20
答案　B
解析　作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域(含边界)，
作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2,0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.
9．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　)
A．3
B．6
C．9
D．12
答案　C
解析　因为x＞0，y＞0，所以x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时，等号成立，故选C.
10．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集是(　　)
A．[－1,1]
B．[－2,2]
C．[－2,1]
D．[－1,2]
答案　A
解析　由f(x)≥x2，可得或
解得或
即或
∴－1≤x≤0或011．在满足对任意的x，不等式f(x)≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫作f(x)的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　)
A．－
B．
C．
D．－4
答案　A
解析　因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝×(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－.
12．(2018·全国Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋bB．abC．a＋b<0D．ab<0答案　B
解析　由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0<＋<1，得0<<1.又a>0，b<0，所以ab<0，所以ab二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围为____________．
答案　
解析　当a2－4＝0时，a＝±2.若a＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题意；若a＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当a≠±2时，要使不等式的解集为空集，则
解得－2综上，实数a的取值范围为.
14．函数f(x)＝的最小值为________．
答案　
解析　＝＝＋，因为≥2，所以根据对勾函数y＝x＋在[2，＋∞)上单调递增的性质，可知当＝2，即x＝0时，取得最小值.
15．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
答案　5
解析　∵x＋3y＝5xy，∴＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)×1＝(3x＋4y)
＝＋＋＋≥＋2
＝5，
当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立．
16．(2018·贵州铜仁一中月考)已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是________．
答案　
解析　由题意，可知x1，x2是方程x2－4ax＋3a2＝0的两个根，则x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，所以x1＋x2＋＝4a＋≥，当且仅当a＝时，等号成立．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解　(1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，则解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，原不等式的解集为{x|2②当c<2时，原不等式的解集为{x|c③当c＝2时，原不等式无解．
综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2当c<2时，原不等式的解集为{x|c当c＝2时，原不等式的解集为 .
18．(12分)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)若f(x)在[m，n]上的值域是[m，n]，求a的取值范围，并求相应的m，n的值；
(2)若f(x)≤2x在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
解　(1)因为f(x)＝－(a>0，x>0)，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
那么当x∈[m，n]时，y∈[m，n]，所以
即m，n是方程－＝x相异的两实根，
由－＝x，得x2－x＋1＝0，
由题设知所以0此时，m＝，n＝.
(2)若－≤2x在(0，＋∞)上恒成立，
那么a≥恒成立．
令g(x)＝(x>0)．
所以g(x)≤＝.
故a≥.
19．(12分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，试比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．
解　(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.
因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p，
所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.
因为p，q都为正数，所以－pq(x－y)2≤0，
因此(px＋qy)2≤px2＋qy2，当且仅当x＝y时等号成立．
20．(12分)(2018·烟台检测)已知lg(3x)＋lg
y＝lg(x＋y＋1)．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值．
解　由lg(3x)＋lg
y＝lg(x＋y＋1)得
(1)因为x＞0，y＞0，
所以3xy＝x＋y＋1≥2＋1，
所以3xy－2－1≥0，
即3()2－2－1≥0，
所以(3＋1)(－1)≥0，
所以≥1，所以xy≥1，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
所以xy的最小值为1.
(2)因为x＞0，y＞0，
所以x＋y＋1＝3xy≤3·2，
所以3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
所以[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，
所以x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，
所以x＋y的最小值为2.
21．(12分)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2
000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
解　(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1
000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意得当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，
等价于当x＞25时，a≥＋＋有解．
由于＋≥2＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，
所以a≥10.2.
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
22．(12分)已知函数f(x)＝2x＋2－x.
(1)解不等式f(x)>；
(2)若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
解　(1)设2x＝t>0，则2－x＝，∴t＋>，
即2t2－5t＋2>0，解得t<或t>2，
即2x<或2x>2，∴x<－1或x>1.
∴f(x)>的解集为{x|x<－1或x>1}．
(2)f(x)＝2x＋2－x，
令t＝2x＋2－x，则t≥2(当且仅当x＝0时，等号成立)．
又f(2x)＝22x＋2－2x＝t2－2，
故f(2x)≥mf(x)－6可化为t2－2≥mt－6，
即m≤t＋，
又t≥2，t＋≥2＝4
(当且仅当t＝2，即x＝0时等号成立)．
∴m≤min＝4.即m的最大值为4.§3.2　均值不等式
第1课时　均值不等式
学习目标　1.理解均值不等式的内容及证明．2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．
知识点一　算术平均值与几何平均值
对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
知识点二　均值不等式常见推论
1．均值定理
如果a，b∈R＋，那么≥．当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论通常称为均值定理，又叫均值不等式．
均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
2．常见推论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2)＋≥2(a，b同号)；
(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab．(　√　)
2．n∈N＋时，n＋≥2．(　√　)
3．x≠0时，x＋≥2．(　×　)
4．a>0，b>0时，＋≥．(　√　)
题型一　常见推论的证明
例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab．
引申探究
1．求证≥(a＞0，b＞0)．
证明　方法一　－＝[()2＋()2－2·
]＝·
(－)2≥0，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．
方法二　由例1知，a2＋b2≥2ab．
∴当a＞0，b＞0时有()2＋()2≥2，
即a＋b≥2，≥．
2．证明不等式2≤(a，b∈R)．
证明　由例1，得a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，
两边同除以4，即得2≤，当且仅当a＝b时，取等号．
反思感悟　(1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识．
(2)不等式a2＋b2≥2ab和均值不等式≤成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．
跟踪训练1　当a＞0，b＞0时，求证：≤.
证明　∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2＞0，
∴≤，∴≤＝．
又∵＝，
∴≤(当且仅当a＝b时取等号)．
题型二　用均值不等式证明不等式
例2　已知x，y都是正数．
求证：(1)＋≥2；
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
证明　(1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，
∴＋≥2
＝2，即＋≥2，
当且仅当x＝y时，等号成立．
(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0，
x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0，
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)
≥2·2·2＝8x3y3，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立．
反思感悟　利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．
跟踪训练2　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
证明　∵a，b，c都是正实数，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0，
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc，
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
题型三　用均值不等式比较大小
例3　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　)
A．x＝
B．x≤
C．x＞
D．x≥
答案　B
解析　第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．
若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2．
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a＞0，b＞0，x＞0，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，
∴1＋x≤＝1＋，
∴x≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．
反思感悟　均值不等式≥一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．
跟踪训练3　设a＞b＞1，P＝，Q＝，
R＝lg
，则P，Q，R的大小关系是(　　)
A．RB．PC．QD．P答案　B
解析　∵a＞b＞1，∴lg
a＞lg
b＞0，
∴＞，即Q＞P．①
又＞>0，
∴lg
＞lg＝(lg
a＋lg
b)，即R＞Q．②
综合①②，有P演绎：从一般到特殊
典例　(1)当x＞0，a＞0时，证明x＋≥2；
(2)当x＞－1时，证明≥9.
证明　(1)∵x＞0，a＞0，∴＞0．
由均值不等式可知，x＋≥2＝2．
当且仅当x＝时，等号成立．
(2)＝
＝(x＋1)＋＋5．
∵x＞－1，∴x＋1＞0．
∴(x＋1)＋≥2＝4，
∴(x＋1)＋＋5≥9，即≥9．
当且仅当x＝1时，等号成立．
[素养评析]　逻辑推理主要有两类：从特殊到一般，从一般到特殊，演绎就是从一般到特殊的一种推理形式．
在本例中，“一般”指均值不等式≥．当我们对a，b赋予特殊值．如令a＝x，b＝，就有x＋≥2；①
再令①中的x＝x＋1，a＝4，就有x＋1＋≥2．
均值不等式的应用关键就是给a，b赋予什么样的值．
1．若0A．a>>>b
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
答案　C
解析　∵0a＋b，∴b>>．
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a．故b>>>a．
2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是(　　)
A．lg(x2＋1)≥lg(2x)
B．x2＋1>2x
C．≤1
D．x＋≥2
答案　C
解析　对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立；对于C，x2＋1≥2x，∴≤1成立．故选C．
3．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则(　　)
A．>
B．<
C．＝
D．≤
答案　A
解析　因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c>2，故＝>．
4．lg
9×lg
11与1的大小关系是(　　)
A．lg
9×lg
11>1
B．lg
9×lg
11＝1
C．lg
9×lg
11<1
D．不能确定
答案　C
解析　∵lg
9>0，lg
11>0，
∴lg
9×lg
11<2＝2
＝2<2＝1，
即lg
9×lg
11<1．
5．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；
②≥4；
③(a＋b)≥4；
④a2＋9>6a．
其中恒成立的是________．(填序号)
答案　①②③
解析　由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；
由于a＋≥2，b＋≥2，∴≥4，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；
由于a＋b≥2，＋≥2，
故(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．
综上，恒成立的是①②③．
1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b．
2.
在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．
一、选择题
1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)
A．a2＋b2≥2|ab|
B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|
D．a2＋b2>2|ab|
答案　A
解析　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
2．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C．＋>
D．＋≥2
答案　D
解析　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；
对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误；
对于D，∵ab>0，∴＋≥2
＝2，
当且仅当a＝b时，等号成立．
3．对于a＞0，b＞0，下列不等式中不正确的是(　　)
A．＜＋
B．ab≤
C．ab≤2
D．2≤
答案　A
解析　当a＞0，b＞0时，因为≤，所以≤＋，当且仅当a＝b时等号成立，故A不正确；显然B，C，D均正确．
4．设f(x)＝ln
x,0，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)
A．q＝rB．p＝rC．q＝r>p
D．p＝r>q
答案　B
解析　因为0．
又因为f(x)＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f
>f
()，即p而r＝(f(a)＋f(b))＝(ln
a＋ln
b)
＝ln(ab)＝ln，
所以r＝p，故p＝r5．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2
B．(a＋b)≥4
C．≥2
D．>
答案　D
解析　a＋b＋≥2＋≥
2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；
(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
∵a2＋b2≥2ab>0，
∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
∵a＋b≥2，且a，b∈(0，＋∞)，
∴≤1，≤，
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．
6．下列说法正确的是(　　)
A．若x≠kπ，k∈Z，则min＝4
B．若a<0，则a＋≥－4
C．若a>0，b>0，则lg
a＋lg
b≥2
D．若a<0，b<0，则＋≥2
答案　D
解析　对于A，x≠kπ，k∈Z，则sin2x∈(0,1]．
令t＝sin2x，则y＝t＋，函数y在(0,1]上单调递减，所以y≥5，
即sin2x＋≥5，当sin2x＝1时，等号成立．
对于B，若a<0，则－a>0，－>0．
∴a＋＝－≤－4，
当且仅当a＝，即a＝－2时，等号成立．
对于C，若a∈(0，1)，b∈(0，1)，
则lg
a<0，lg
b<0，不等式不成立．
对于D，a<0，b<0，则>0，>0，
∴＋≥2＝2，
当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．
二、填空题
7．设正数a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，则logat________loga.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”)
答案　≤
解析　∵a2＋a－2＞0，∴a＞1或a＜－2(舍)，
∴y＝logax是增函数，
又≥
，∴loga≥loga＝logat．
8．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2．其中恒成立的不等式是________．
答案　①②
解析　由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；＝＝≥＝＝2，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．
9．已知a＞b＞c，则与的大小关系是____________________________．
答案　≤
解析　因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，
所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
10．设a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________．(用“＞”连接)
答案　m＞p＞n
解析　∵a＞1，∴a2＋1＞2a＞a＋1，
∴loga(a2＋1)＞loga(2a)＞loga(a＋1)，故m＞p＞n．
三、解答题
11．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c．
证明　∵a，b，c都是正数，
∴，，也都是正数，
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
12．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；(2)≥9．
证明　(1)＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．
(2)方法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9，
∴≥9(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．
方法二　＝1＋＋＋．
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立．
13．设0A．logab＋logba≥2
B．logab＋logba≥－2
C．logab＋logba≤－2
D．logab＋logba>2
答案　C
解析　∵0∴logab<0，logba<0，－logab>0，－logba＞0，
∴(－logab)＋(－logba)＝(－logab)＋≥2，
当且仅当ab＝1时，等号成立，
∴logab＋logba≤－2．
14．设x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)
A．x＋y≥2(＋1)
B．xy≤＋1
C．x＋y≤(＋1)2
D．xy≥2(＋1)
答案　A
解析　∵x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，xy≤2，∴2－(x＋y)－1≥0，解得x＋y≥2(＋1)，当且仅当x＝y＝1＋时取等号．第2课时　简单线性规划(二)
学习目标　1.了解实际生活中线性规划问题的最优整数解求法．2.会解决生活中常见的线性规划问题．
知识点一　求解线性规划最优整数解的方法
1．平移找解法：先打网络、描整点、平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优解，这种方法需充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图进行．当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
2．调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．
3．由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而迅速地找到最优解，此时将可能的解逐一检验即可．
知识点二　线性规划问题的实际应用
1．线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它
们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务．
2．求解线性规划应用题的步骤
1．可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点．(　√　)
2．在线性规划问题中，最优解一定是边界点．(　×　)
题型一　求目标函数的最优整数解
例1　画出2x－3解　所给不等式等价于不等式组其表示的平面区域如图(1)．
对于2x－3由图可知，在该区域内的横坐标、纵坐标都为正整数的点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)．
反思感悟　目标函数的最优整数解可能不止一个，有多个，注意不要漏写．
跟踪训练1　若满足条件的整点(x，y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a的值为(　　)
A．－3
B．－2
C．－1
D．0
答案　C
解析　不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，
当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，5个整点．再加上a＝0时的四个整点，共9个整点，故选C.
题型二　生活中的线性规划问题
例2　某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：
产品A
产品B
搭载要求
研制成本与搭载实验费用之和(万元/件)
20
30
计划最大资金额300万元
产品质量(千克/件)
10
5
最大搭载质量110千克
预计收益(万元/件)
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
解　设搭载A产品x件，B产品y件，预计总收益为z万元，则目标函数为z＝80x＋60y.
由题意，得即
画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
将z＝80x＋60y变形为y＝－x＋.
作出直线l0：4x＋3y＝0，并将其向右上方平移，由图象可知，
当直线l0经过点M(整点)时，z能取得最大值．
由解得即M(9,4)．
所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)．
即搭载9件产品A,4件产品B，可使得总预计收益最大，最大为960万元．
反思感悟　(1)从实际问题抽象出约束条件时要选择适当的决策变量作为x，y．并用x，y把约束条件准确表达出来．
(2)实际问题有时会要求整数解，但高考很少涉及．有兴趣的同学可以自行搜索相关资料．
跟踪训练2　某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.
货物
体积(m3/箱)
重量(50
kg/箱)
利润(百元/箱)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
答案　4,1
解析　设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，则
目标函数z＝20x＋10y，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
由得A(4,1)．
易知当直线z＝20x＋10y平移经过点A时，z取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润．
如何从实际问题中建立线性规划模型
从实际问题中建立线性规划模型一般有3个步骤
1．根据影响目标的因素找到决策变量．
2．由决策变量与目标的关系确定目标函数．
3．由决策变量所受限制确定约束条件．
典例　某人准备投资1
200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45/班
2/班
26/班
2/人
高中
40/班
3/班
54/班
2/人
因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜，试用数学关系式表示上述的限制条件．
解　设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20至30之间，所以有20≤x＋y≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1
200，即x＋2y≤40.
另外，开设的班数应为自然数，则x∈N，y∈N.
把上面的四个不等式合在一起，得到
[素养评析]　1947年美国数学家G.B.Dantzing为线性规划奠定基础，却水花不起；1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此获1975年诺贝尔经济学奖．由此可见应用实践能力的重要．认识数学模型在科学、社会、工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学模型核心素养的培养目标之一.
1．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
答案　B
解析　画出不等式组
表示的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)．
因为直线2x＋y－10＝0过点A(5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－，所以只有一个公共点(5,0)，故选B.
2．设点P(x，y)，其中x，y∈N，则满足x＋y≤3的点P有(　　)
A．10个
B．9个
C．3个
D．无数个
答案　A
解析　作出所表示的平面区域，如图中阴影部分的整点所示，
由图知，符合要求的点P有10个，故选A.
3．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用为400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用为300元，可装洗衣机10台．若每辆货车至多运一次，则该厂所花的最少运输费用为(　　)
A．2
000元
B．2
200元
C．2
400元
D．2800元
答案　B
解析　设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用为z元，
根据题意，得线性约束条件为目标函数为z＝400x＋300y，画出可行域(图略)可知，
当x＝4，y＝2时z取得最小值，zmin＝2
200，故选B.
4．若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________．
答案　(2，＋∞)
解析　作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，
要使目标函数z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，只需使目标函数对应的直线能平移到与可行域的边界直线x＋y－2＝0重合，所以当n>2时，目标函数的最优解有无穷多个．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．
一、选择题
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最大值为(　　)
A．
B．2
C．
D．－
答案　B
解析　画出满足约束条件的平面区域，如图所示．
由题意可得A(1,0)．由图可知，当直线z＝2x＋y过A(1,0)时，z取得最大值，最大值是2.故选B.
2.
如图所示，已知x，y满足的可行域为四边形OACB(含边界)，若C是目标函数z＝ax－y取最小值时所对的点，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　∵y＝ax－z在C点取最优解，∴目标函数z＝ax－y在点C处取得最小值．∵kAC＝－，kBC＝－，
∴－3．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
确定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为(　　)
A．3
B．4
C．3
D．4
答案　B
解析　由线性约束条件
画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，
目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，当目标函数的图象过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入z＝x＋y，得z的最大值为4.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最大值为(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　C
解析　作出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分)所示．
设m＝2x＋y，由图可知，当直线2x＋y＝m过点B时，m取得最小值．由得B(1,1)，所以mmin＝2×1＋1＝3，则目标函数z＝2x＋y的最大值为3＝.
5．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工1箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工1箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间共能完成至多70箱原料的加工，且两车间耗费工时总和不得超过480小时，则使甲、乙两车间总获利最大的生产计划为(　　)
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案　B
解析　设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，总获利为z元，由题意可知甲、乙两车间总获利为z＝280x＋200y，画出可行域如图中阴影部分(包括边界)内的整点所示．
点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图知在点M(15,55)处z取得最大值，故选B.
6．已知变量x，y满足的约束条件为若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是(　　)
A．a>
B．a>
C．0D．a>0
答案　A
解析　依据约束条件，画出可行域．
∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－，
目标函数z＝ax＋y(a＞0)对应直线的斜率k2＝－a，
若符合题意，则需k1＞k2.即－＞－a，得a＞.
7．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为(　　)
A．36万元
B．31.2万元
C．30.4万元
D．24万元
答案　B
解析　设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润z万元，
则z＝0.4x＋0.6y.
可行域如图阴影部分(含边界)所示，
由图象知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
由得A(24,36)，
∴zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．
8．不等式组表示的平面区域内整点的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案　D
解析　不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．
由图可知，满足条件的平面区域中的整点为(1，－1)，(2，－2)，(0,0)，(0，－1)，共有4个．
二、填空题
9．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是________．
答案　90
解析　原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由图可知，当直线10x＋10y－z＝0过点时z有最大值，由于x，y∈N＋，可行域内与点最接近整点为(5,4)，故当x＝5，y＝4时，z取得最大值，为90.
10．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5
kg，乙材料1
kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5
kg，乙材料0.3
kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2
100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150
kg，乙材料90
kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
答案　216
000
解析　设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为
目标函数z＝2
100x＋900y.
作出可行域为图中的四边形，包括边界，
顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax＝2
100×60＋900×100＝216
000(元)．
11.给出平面区域如图所示，其中A(5,3)，B(1,1)，C(1,5)，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a＝________.
答案　
解析　直线y＝－ax＋z(a>0)的斜率为－a<0，当直线y＝－ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴－a＝－，即a＝.
三、解答题
12．设x，y满足求z＝x＋y的取值范围．
解　作出约束条件表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
z＝x＋y表示直线y＝－x＋z过可行域时在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A点时，z有最小值．
联立解得A(2,0)．
zmin＝2，z无最大值．∴x＋y∈[2，＋∞)．
13．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180
t支援物资的任务．该公司有8辆载重为6
t的A型卡车与4辆载重为10
t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？
解　设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据.
A型车
B型车
限量
车辆数
x
y
10
运物吨数
24x
30y
180
费用
320x
504y
z
由表可知x，y满足线性约束条件且目标函数z＝320x＋504y.
作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
可知当直线z＝320x＋504y过A(7.5,0)时，z最小，但A(7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z＝320x＋504y，可知点(8,0)是最优解．这时zmin＝320×8＋504×0＝2
560(元)，即用8辆A型车，成本费最低．
所以公司每天调出A型卡车8辆时，花费成本最低．
14．设非负实数x，y满足(2,1)是目标函数z＝ax＋3y(a>0)取最大值时的最优解，求a的取值范围．
解　作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分含边界)，
由z＝ax＋3y(a>0)，得y＝－x＋，因为当直线z＝ax＋3y(a>0)过P(2,1)时，z取最大值，所以由图可知－≤－2，所以a≥6，所以a的取值范围是[6，＋∞)．
15．某人有一幢楼房，室内面积共180
m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大客房每间面积为18
m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15
m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元．装修大房间每间需1
000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8
000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
解　设他应隔出大房间x间，小房间y间，获得的收益为z元，
由题意可得
即
目标函数为z＝200x＋150y，即y＝－x＋，
画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
当直线y＝－x平移到经过B点时，z取得最大值，
但B并非整点，故要进一步搜索．
利用B附近的网格，可在B附近找到A(2,9)，C(2,8)，D(3,8)这几个整点．
因为斜率为－，故在直线平移过程中，必先过D点，因此A，C两点被排除，利用网格知(0,12)，(3,8)为最优整点解．
所以他隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．章末复习
学习目标　1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识．2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式．3.会用均值不等式证明不等式，求解最值问题．4.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.5.能熟练地运用图解法解决线性规划问题．
1．不等式的性质
名称
式子表达
性质1(对称性)
a＞b b＜a
性质2(传递性)
a＞b，b＞c a＞c
性质3
a＞b a＋c＞b＋c
推论1
a＋b＞c a＞c－b
a＞b，c＞d a＋c＞b＋d
推论2
性质4
a＞b，c＜0 ac＜bc
a＞b，c＞0 ac＞bc
推论1
a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd
a＞b＞0 an＞bn(n∈N＋，n＞1)
a＞b＞0 ＞(n∈N＋，n＞1)
推论2
推论3
2.均值不等式
利用均值不等式证明不等式和求最值的区别
(1)利用均值不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．
(2)利用均值不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等．
3．三个二次之间的关系
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤
求方程f(x)＝0的解
有两个不等的实数解x1，x2
有两个相等的实数解x1，x2
没有实数解
画函数y＝f(x)的示意图
得不等式的解集
f(x)>0
{x|xx2}
R
f(x)<0
{x|x1

4.线性规划问题求解步骤
(1)把问题要求转化为约束条件；
(2)根据约束条件作出可行域；
(3)对目标函数变形并解释其几何意义；
(4)移动目标函数寻找最优解；
(5)解相关方程组求出最优解．
题型一　利用均值不等式求最值
例1　函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为________．
答案　4
解析　y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，∴m＋n＝1，
方法一　＋＝＝≥＝4，
当且仅当m＝n＝时，取等号．
方法二　＋＝(m＋n)
＝2＋＋≥2＋2
＝4，
当且仅当即m＝n＝时取等号．
∴min＝4.
反思感悟　当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为命题角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值．
跟踪训练1　设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．
解　∵＋＝3，∴＝1.
∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×
＝≥
＝＋＝.
当且仅当＝，即y＝2x时，取等号．
又∵＋＝3，∴x＝，y＝.
∴2x＋y的最小值为.
题型二　“三个二次”之间的关系
例2　若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝________.
答案　－14
解析　∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴解得
∴a＋b＝－14.
反思感悟　(1)“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化．
(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．
跟踪训练2　设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M [1,4]，求实数a的取值范围．
解　M [1,4]有两种情况：
其一是M＝ ，此时Δ<0；其二是M≠ ，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
对方程x2－2ax＋a＋2＝0，
有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，
①当Δ<0时，－1②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，M＝{－1}

[1,4]，不满足题意；
当a＝2时，M＝{2} [1,4]，满足题意．
③当Δ>0时，a<－1或a>2.
设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1那么M＝[x1，x2]，M [1,4] 1≤x1 即
解得2综上可知，当M [1,4]时，a的取值范围是.
题型三　一元二次不等式的解法
例3　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；
当0a}；
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a>1时，aa2}；
综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}．
反思感悟　对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．
跟踪训练3　已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
解　(1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解集为{x|x>0}．
(2)若a>0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即0∴当0②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为 .
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为 .
(3)若a<0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即－1②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式化为(x＋1)2>0，
∴当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为 ；
当0当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；
当－1当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；
当a<－1时，原不等式的解集为R.
题型四　线性规划问题
例4　已知变量x，y满足约束条件求z＝2x＋y的最大值和最小值．
解　如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．
设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．
上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
反思感悟　(1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确．
(2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵截距越大，z越大还是越小．
跟踪训练4　某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3
m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2
m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．
解　设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
在一组平行直线3x＋2y＝z中，
经过可行域内的点A时，z取得最小值，
直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，
即最优解为(2,1)．
所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.
1．(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则 RA等于(　　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
答案　B
解析　方法一　A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以 RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
方法二　因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以 RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
2．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为(　　)
A．1
B．
C．－
D．－1
答案　A
解析　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，
由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
3．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为，则a＋b等于(　　)
A．－18
B．8
C．－13
D．1
答案　C
解析　∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的两根．
∴
∴∴a＋b＝－13.
4．若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是__________．
答案　(－2,2]
解析　不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需
解得－25．已知f(x)＝32x－k·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正，则k的取值范围为________．
答案　(－∞，2)
解析　f(x)＝(3x)2－k·3x＋2＞0，
∴k＜＝3x＋，3x＋≥2＝2，
当且仅当3x＝时，等号成立．∴k＜2.
1．不等式的基本性质
不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的性质．
2．一元二次不等式的求解方法
对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a≠0)的解集．
3．二元一次不等式表示的平面区域的判定
对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．
4．求目标函数最优解的方法
通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点(或边界)，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．
5．运用均值不等式求最值时把握三个条件
①“一正”——各项为正数；
②“二定”——“和”或“积”为定值；
③“三相等”——等号一定能取到．
这三个条件缺一不可．第2课时　均值不等式的应用
学习目标　1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．
知识点一　均值不等式及变形
均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．
当a>0，b>0时，有≤≤≤
；
当且仅当a＝b时，以上三个等号同时成立．
知识点二　用均值不等式求最值
用均值不等式≥求最值应注意：
(1)x，y是否是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值；
(3)等号成立的条件是否满足．
1．y＝x＋的最小值为2．(　×　)
2．因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2．(　×　)
3．由于sin2x＋≥2＝4，所以sin2x＋的最小值为4．(　×　)
4．当x>0时，x3＋＝x3＋＋≥2＋＝2x＋≥2，∴min＝2．(　×　)
题型一　利用均值不等式求最值
命题角度1　求一元解析式的最值
例1　(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)已知x>2，求x＋的最小值；
(3)设0解　(1)当x>0时，x＋≥2
＝4，
当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时，取等号．
∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2处取得最小值4．
(2)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2
＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
∴x＋的最小值为6．
(3)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝．
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵∈，
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为．
反思感悟　在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．
跟踪训练1　函数y＝2x＋(x＜0)的最大值为________．
答案　－4
解析　∵x＜0，∴－x＞0，
∴(－2x)＋≥2＝4，
即y＝2x＋≤－4
．
命题角度2　求二元解析式的最值
例2　(1)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________；
(2)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
答案　(1)18　(2)
解析　(1)∵xy＝2x＋y＋6≥2＋6，设＝t(t＞0)，即t2≥2t＋6，(t－3)(t＋)≥0，∴t≥3，则xy≥18，当且仅当2x＝y且2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，故xy的最小值为18．
(2)根据题意，1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－2＝(x＋y)2，所以≥(x＋y)2，所以x＋y≤，当且仅当x＝y＞0且x2＋y2＋xy＝1，即x＝y＝时等号成立．
反思感悟　均值不等式连接了和“x＋y”与积“xy”，使用均值不等式就是根据解题需要进行和、积的转化．
跟踪训练2　已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．
答案　9
解析　∵x＋y＝1，∴＋＝(x＋y)
＝1＋4＋＋．
∵x＞0，y＞0，∴＞0，＞0，
∴＋≥2＝4，∴5＋＋≥9．
当且仅当即x＝，y＝时等号成立．
∴min＝9．
题型二　均值不等式在实际问题中的应用
例3　某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1
800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解　设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．
由题意可知，面粉的保管及其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．
设平均每天所支付的总费用为y元，
则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1
800
＝9x＋＋10
809≥2
＋10
809＝10
989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立．
所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少．
引申探究
若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？
解　设x1，x2∈[15，＋∞)，且x1则－
＝9(x1－x2)＋900
＝(x1－x2)
＝(x1－x2)
．
∵15≤x1∴(x1－x2)<0，
即y＝9x＋＋10
809在[15，＋∞)上为增函数．
∴当x＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天所支付的费用最少．
反思感悟　应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．
跟踪训练3　高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但高处嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．8
答案　B
解析　由题意知，教室在第n层楼时，同学们总的不满意度y＝n＋≥4，当且仅当n＝，即n＝2时，不满意度最小，又n∈N＋，分别把n＝2，3代入y＝n＋，易知n＝3时，y最小．故最适宜的教室应在3楼．
一种常见的函数模型y＝x＋(a＞0)
典例　某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某种新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．
(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f
(n)，试写出f
(n)的表达式；
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年年平均费用最少)？年平均费用的最小值是多少？
解　(1)由题意得，f(n)＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n)＋0.9n＝14.4＋＋0.9n＝0.1n2＋n＋14.4．
(2)设该车的年平均费用为S万元，则有S＝
f
(n)＝(0.1n2＋n＋14.4)＝＋＋1≥2＋1＝3.4，当且仅当＝，即n＝12时等号成立，此时S取得最小值3.4．
故这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元．
[素养评析]　数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例(2)中所涉及的y＝x＋(a＞0)就是一个应用广泛的函数模型．
1．不等式＋(x－2)≥6(x＞2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3
B．x＝－3
C．x＝5
D．x＝－5
答案　C
解析　∵x＞2，∴x－2＞0．
∴＋(x－2)≥2＝6，
当且仅当x－2＝，即x－2＝3，x＝5时取等号．故选C．
2．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是(　　)
A．3
B．3－2
C．－1
D．3－2
答案　D
解析　∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则y＝3－3x－≤3－2，故选D．
3．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有(　　)
A．最小值和最大值1
B．最小值和最大值1
C．最小值和最大值
D．最小值1
答案　B
解析　∵x2y2≤2＝，当且仅当x2＝y2＝时，等号成立，∴(1－xy)(1＋xy)＝1－x2y2≥．
∵x2y2≥0，∴≤1－x2y2≤1．
4．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8
B．4
C．1
D．
答案　B
解析　由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1．
因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2
＝4，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
5．设a，b，c∈R，ab＝2，且c≤a2＋b2恒成立，则c的最大值是(　　)
A．
B．2
C．
D．4
答案　D
解析　∵ab＝2，∴a2＋b2≥2ab＝4．又c≤a2＋b2恒成立，∴c≤4．故选D．
1．用均值不等式求最值
(1)利用均值不等式，通过恒等变形以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．
(3)在求最值的一些问题中，若运用均值不等式求最值，等号取不到，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值．
2．求解应用题的方法与步骤
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．
一、选择题
1．下列函数中，最小值为4的是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝sin
x＋(0＜x＜π)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝＋
答案　C
解析　∵y＝x＋中x可取负值，∴其最小值不可能为4；由于0＜x＜π，∴0＜sin
x≤1，又∵y＝sin
x＋在(0，1]上单调递减，∴最小值为5；由于ex＞0，∴y＝ex＋4e－x≥2＝4，当且仅当ex＝2时取等号，∴其最小值为4，∵≥1，∴y＝＋≥2，当且仅当x＝±1时取等号，∴其最小值为2．
2．已知x>1，y>1且lg
x＋lg
y＝4，则lg
xlg
y的最大值是(　　)
A．4
B．2
C．1
D．
答案　A
解析　∵x>1，y>1，
∴lg
x>0，lg
y>0，lg
xlg
y≤2＝4，
当且仅当lg
x＝lg
y＝2，即x＝y＝100时取等号．
3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A．
B．4
C．
D．5
答案　C
解析　∵a＋b＝2，∴＝1．
∴＋＝
＝＋＋≥＋2
＝
，
故y＝＋的最小值为．
4．若0＜x＜，则函数y＝x的最大值为(　　)
A．1
B．
C．
D．
答案　C
解析　因为0＜x＜，所以1－4x2＞0，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C．
5．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)
A．3
B．
C．4
D．
答案　C
解析　2＋2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4，
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
二、填空题
6．(2018·天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
答案　
解析　由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立．
7．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
答案　9
解析　∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2
＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1．
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9．
8．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为______．
答案　
解析　设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，
则＋1＝a＋b＋≥2＋，
解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，
所以直角三角形的面积S＝ab≤，
即S的最大值为．
9．设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
答案　3
解析　由a，b＞0，≤
，
所以a＋b≤．
所以＋≤·＝3，
当且仅当＝，即a＝，b＝时“＝”成立，所以所求最大值为3．
10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.
答案　20
解析　总运费与总存储费用之和
f(x)＝4x＋×4＝4x＋≥2
＝160，
当且仅当4x＝，即x＝20时取等号．
三、解答题
11．已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}．
(1)求实数a，b的值；
(2)若0解　(1)依题意可得方程x2－5ax＋b＝0的根为4和1，
∴即
(2)由(1)知f(x)＝＋，∵0∴0<1－x<1，>0，>0，
∴＋＝[x＋(1－x)]＝＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当＝，即x＝时，等号成立，
∴f(x)的最小值为9．
12．已知x＞0，y＞0,2xy＝x＋4y＋a.
(1)当a＝6时，求xy的最小值；
(2)当a＝0时，求x＋y＋＋的最小值．
解　(1)由题意，知x＞0，y＞0，
当a＝6时，2xy＝x＋4y＋6≥4＋6，
即()2－2－3≥0，∴(＋1)(－3)≥0，
∴≥3，∴xy≥9，当且仅当x＝4y＝6时，等号成立，故xy的最小值为9．
(2)由题意，知x＞0，y＞0，当a＝0时，可得2xy＝x＋4y．两边都除以2xy，得＋＝1，
∴x＋y＋＋＝x＋y＋1＝(x＋y)·＋1＝＋≥＋2＝，
当且仅当＝，即x＝3，y＝时，等号成立，
故x＋y＋＋的最小值为．
13.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知{an}为等差数列，相关信息如图所示．
(1)设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；(总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用)
(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．
解　(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则an＝6＋2(n－1)＝2n＋4(n∈N＋)，
所以y＝25n－－36＝－n2＋20n－36
＝－(n－10)2＋64，
当n＝10时，y的最大值为64万元．
(2)年平均盈利为＝＝－n－＋20＝－＋20≤－2×
＋20＝8
(当且仅当n＝，即n＝6时取“＝”)．
故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．
14．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)
A．2
B．2
C．4
D．5
答案　C
解析　∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4
＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号同时成立．
15．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　)
A．2∈M，0∈M
B．2 M，0 M
C．2∈M，0 M
D．2 M，0∈M
答案　A
解析　M＝．
当k∈R时，＝
＝＝(k2＋1)＋－2
≥2－2＝2－2>2(当且仅当k2＝－1时，取等号)．∴2∈M，0∈M．(共29张PPT)
§3.4　不等式的实际应用
第三章
不等式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题.
2.掌握建立均值不等式模型解决实际问题.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一　不等式模型
建立不等式模型解决实际问题的过程：
(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)；
(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；
(3)解决数学问题；
(4)回归实际问题，写出准确答案.
知识点二　常见的不等式模型
1.一元二次不等式模型
根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响.
2.均值不等式模型
根据题意抽象出的模型是(1)y＝x＋
(a＞0)，(2)a＋b，ab中有一个是定值，求另一个的最值，解决办法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a＞0，b＞0，以及等号成立的条件是否具备.
2
题型探究
PART
TWO
题型一　一元二次不等式的实际应用
多维探究
命题角度1　范围问题
例1　国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？
解　设产销量每年为x万瓶，则销售收入每年70x万元，
从中征收的金额为70x·R%万元，其中x＝100－10R.
由题意，得70(100－10R)·R%≥112，
整理，得R2－10R＋16≤0.
因为Δ＝36＞0，
所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.
由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，
得不等式的解集为{R|2≤R≤8}.
所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元.
反思感悟　解有关不等式应用题的步骤
(1)选用合适的字母表示题中的未知数.
(2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组).
(3)解所列出的不等式(组).
(4)结合问题的实际意义写出答案.
跟踪训练1　某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400
km.该热带风暴中心B以40
km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350
km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
解　如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，
因为AB＝400，∠BAx＝30°，
由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350，
整理得16x2－160x＋375≤0，
解不等式，得3.75≤x≤6.25，
A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5，
故在3.75
h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5
h.
解　f
(0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；
g(0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.
命题角度2　最值问题
例2　甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险.
(1)若f(0)＝10，g(0)＝20，试解释它们的实际意义；
解　设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，依题意，
即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费.
反思感悟　与最值相关的二次函数问题的解题方法
(1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数，再通过配方求最值.
(2)需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系.
(3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小.
解　设
f(x)＝sin2x－2asin
x＋a2－2a＋2，
则
f(x)＝(sin
x－a)2＋2－2a.
当a<－1时，f(x)在sin
x＝－1时取到最小值，且
f(x)min＝a2＋3，a2＋3>0显然成立，∴a<－1.
当－1≤a≤1时，f(x)在sin
x＝a时取到最小值，且
f(x)min＝2－2a，由2－2a>0，解得a<1，∴－1≤a<1.
当a>1时，f(x)在sin
x＝1时取到最小值，且
f(x)min＝a2－4a＋3，由a2－4a＋3>0，解得a<1或a>3，
∴a>3.综上所述，a
的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞).
跟踪训练2　已知不等式sin2x－2asin
x＋a2－2a＋2>0对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
题型二　均值不等式的实际应用
例3　某单位决定投资3
200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.
(1)仓库底面积S(m2)的最大允许值是多少？
解　设铁栅长为x
m，一侧砖墙长为y
m，
则有S＝xy.
由题意得40x＋2×45y＋20xy＝3
200.
由均值不等式，得
∴S的最大允许值是100
m2.
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解　由(1)知取得最大值的条件是40x＝90y，
而xy＝100，
由此求得x＝15，即铁栅的长应是15
m.
反思感悟　(1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求.均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查.
(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视.在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性.
跟踪训练3　把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为
A.4
B.8
C.16
D.32
解析　设截成的两段铁丝长分别为x，16－x
，
0故两个正方形面积之和的最小值为8，故选B.
√
3
达标检测
PART
THREE
解析　设售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12所以每件售价应定为12元到16元之间.
1.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为
A.12元
B.16元
C.12元到16元之间
D.10元到14元之间
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.某校要建一个面积为392
m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2
m和4
m的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为_____m2.
648
即x＝5公里时，两项费用之和最小为8万元.
1
2
3
4
3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站___公里处.
解析　设仓库到车站距离为x公里，
5
1
2
3
4
4.要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18
000
cm2，四周空白的宽度为10
cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值.
1
2
3
4
解　设矩形栏目的高为a
cm，宽为b
cm，ab＝9
000.
①
广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a＞0，b＞0.
广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500
代入①式得a＝120，从而b＝75，
即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24
500，
故广告的高为140
cm，宽为175
cm时，可使广告的面积最小，最小值为24
500
cm2.
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.解不等式实际应用题的解题思路
2.建立一元二次不等式模型求解实际问题操作步骤为：
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解.3.1.2　不等式的性质
学习目标　1.理解并掌握不等式的性质．2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较．
3.会证明一些简单的不等式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　不等式的基本性质
思考　试用作差法证明a>b，b>c a>c.
答案　a>b，b>c a－b>0，b－c>0 a－b＋b－c>0 a－c>0 a>c.
总结　不等式性质：
名称
式子表达
性质1(对称性)
a＞b b＜a
性质2(传递性)
a＞b，b＞c a＞c
性质3
a＞b a＋c＞b＋c
推论1
a＋b＞c a＞c－b
a＞b，c＞d a＋c＞b＋d
推论2
性质4
a＞b，c＞0 ac＞bc
a＞b，c＜0 ac＜bc
推论1
a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd
a＞b＞0 an＞bn(n∈N＋，n＞1)
a＞b＞0 ＞(n∈N＋，n＞1)
推论2
推论3
知识点二　不等式性质的注意事项
思考1　在性质4的推论1中，若把a，b，c，d为正数的条件去掉，即a＞b，c＞d，能推出ac＞bd吗？若不能，试举出反例．
答案　不能，例如1＞－2，2＞－3，但1×2＝2＜(－2)×(－3)．
思考2　在性质3的推论2中，能把“ ”改为“ ”吗？为什么？
答案　不能，因为由a＋c＞b＋d，不能推出a＞b，c＞d，例如1＋100＞2＋3，但显然1＜2.
总结　(1)注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要想当然随意捏造性质．
(2)注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性，只有a＞b b＜a，a＞b a＋c＞b＋c，a＞b ac＞bc(c＞0)是可以逆推的，其余几条性质不可逆推．
1．若a>b，则ac>bc一定成立．(　×　)
2．若a＋c>b＋d，则a>b且c>d．(　×　)
3．若a>b且db＋d．(　√　)
4．若a>b且c>d，则ac>bd．(　×　)
题型一　不等式性质的证明
例1　若a＞b，c＞0，求证：ac＞bc.
证明　ac－bc＝(a－b)c.
∵a＞b，∴a－b＞0.
又c＞0，∴(a－b)c＞0，即ac－bc＞0，
∴ac＞bc.
反思感悟　对任意两个实数a，b有a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．数学是个讲究逻辑的学科，不能以理解代替证明．
跟踪训练1　(1)若ac2＞bc2，求证：a＞b；
(2)由a＞b能推出ac2＞bc2吗？
解　(1)∵ac2＞bc2，
∴ac2－bc2＞0，即(a－b)c2＞0．
若c2＝0，则ac2＝bc2与条件矛盾．
∴c2＞0，
∴a－b＞0，即a＞b．
(2)不能．当c＝0时，ac2＝bc2．
题型二　不等式性质的应用
命题角度1　利用不等式的性质判断命题真假
例2　判断下列命题的真假：
(1)若a>b，则ac(2)若aab>b2；
(3)若a.
解　(1)由于c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据．故该命题为假命题．
(2)由 a2>ab；由 ab>b2．
所以a2>ab>b2，故该命题为真命题．
(3)由a－b>0 a2>b2 >，即>，故该命题为假命题．
反思感悟　要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，应熟练掌握不等式的性质及其推论的条件和结论，若判断命题是假命题只需举一反例即可．
跟踪训练2　下列命题中正确的个数是(　　)
①若a>b，b≠0，则>1；
②若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d；
③若a>b，且ac>bd，则c>d．
A．0
B．1
C．2
D．3
答案　A
解析　①若a＝2，b＝－1，则不符合题意；
②取a＝10，b＝2，c＝1，d＝3，虽然满足a>b且a＋c>b＋d，但不满足c>d，故错；
③当a＝－2，b＝－3时，取c＝－1，d＝2，则c＞d不成立．
命题角度2　利用不等式性质证明简单不等式
例3　已知a>b>0，c.
证明　∵c－d>0，
∵a>b>0，
∴a－c>b－d>0，∴0<<．
又∵e<0，∴>．
反思感悟　利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件，如果不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式性质进行转化．
跟踪训练3　若a>b>0，c证明　∵c－d>0．
又a>b>0，∴－ac>－bd>0，∴ac又c<0，d<0，∴cd>0．∴<，即<．
命题角度3　应用不等式性质求取值范围
例4　已知－6解　∵－6∴－10<2a＋b<19．
又∵－3<－b<－2，∴－9又<<，
当0≤a<8时，0≤<4；当－6∴－3<<4．
反思感悟　解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错．同时在变换过程中要准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的情况，同时，要特别注意同向不等式相乘的条件是同为正．
跟踪训练4　已知－≤α<β
≤，求，的取值范围．
解　∵－≤α<β≤，
∴－≤<，－<≤．
上面两式相加得－<<．
∵－<≤，∴－≤－<，
∴－≤<．
又知α<β，∴α－β<0，
故－≤<0．
用好不等式性质，确保推理严谨性
典例　已知12＜a＜60,15＜b＜36，求的取值范围．
解　∵15＜b＜36，∴＜＜，又12＜a＜60，
∴＜＜，∴＜＜4，
即的取值范围是．
[素养评析]　逻辑推理讲究言必有据．在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质．通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和交流能力得到提升．
1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的个数是(　　)
①＜；②＜；③a2＜b2；④|a|＞|b|.
A．0
B．1
C．2
D．3
答案　B
解析　①正确，②③④可举反例排除，如对②③，设a＝－9，b＝1，对④，设a＝－1，b＝2即可．
2．已知a>b，不等式：①a2>b2；②<；③>成立的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案　A
解析　由题意可令a＝1，b＝－1，此时①不对，②不对，③a－b＝2，此时有<，故③不对．故选A．
3．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－>－，则(　　)
A．bcB．bc>ad
C．>
D．<
答案　A
解析　∵ab>0，
∴在－>－两侧乘ab不变号，
即－bc>－ad，即bc4．若α∈，β∈，那么2α－的取值范围是________________．
答案　
解析　∵α∈，∴2α∈(0，π)，
∵β∈，∴－∈，
∴－<2α－<π．
1．不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆．只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆．
2．不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行推导，不能自己“制造”性质运算．
一、选择题
1．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②acloga(b－c)．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
答案　D
解析　由不等式性质及a>b>1知<，
又c<0，∴>，①正确；
构造函数y＝xc，
∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，
又a>b>1，∴ac∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．
2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a>>
B．>>a
C．>a>
D．>>a
答案　D
解析　取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，
∴>>a．
3．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A．<
B．a2>b2
C．>
D．a|c|>b|c|
答案　C
解析　对于A，若a>0>b，则>0，<0，
此时>，∴A不成立；
对于B，若a＝1，b＝－2，则a2对于C，∵c2＋1≥1，且a>b，
∴>恒成立，∴C成立；
对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．
4．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．ab>ac
B．ac>bc
C．a|b|>c|b|
D．a2>b2>c2
答案　A
解析　由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，
ab>ac．
5．若a<0，－1A．aB．ab2>a>ab
C．ab>b>ab2
D．ab>ab2>a
答案　D
解析　∵－1又a<0，∴ab>ab2>a．
6．如果－1A．<B．<C．<D．<答案　A
解析　∵－10，
∴<即<<0，
∴1>a2>b2>0，
∴<<0二、填空题
7．已知a，b为非零实数，且a(1)a2b答案　(2)
解析　对于(1)，
当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于(2)，
∵a0，∴<，故成立；
对于(3)，
当a＝－1，b＝1时，＝＝－1，故不成立．
8．如果a，b，c满足c(1)ab>ac；
(2)c(b－a)>0；
(3)cb2(4)ac(a－c)<0．
答案　(3)
解析　c0，c<0，而b的取值不确定，当b＝0时，(3)不成立．
9．若－1≤a≤3,1≤b≤2，则a－b的范围为________．
答案　[－3,2]
解析　∵－1≤a≤3，－2≤－b≤－1，∴－3≤a－b≤2．
10．已知a>b，e>f，c>0，则f－ac________e－bc．(填“>”“<”或“＝”)
答案　＜
解析　因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc．
又e>f，即f三、解答题
11．判断下列各命题是否正确，并说明理由：
(1)若<且c>0，则a>b；
(2)若a>b，ab≠0，则<；
(3)若a>b，c>d，则ac>bd．
解　(1) <，但推不出a>b，故(1)错．
(2)例如，当a＝1，b＝－1时，不成立，故(2)错．
(3)例如，当a＝c＝1，b＝d＝－2时，不成立，故(3)错．
12．已知a＞b＞0，c＞d＞0，
(1)求证：ac＞bd．
(2)试比较与的大小．
(1)证明　因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bc，bc＞bd，所以ac＞bd．
(2)解　因为a＞b＞0，c＞d＞0，
所以＞＞0，＞＞0，
所以＞＞0，所以＞．
13．已知函数f
(x)＝ax2－c，－4≤f
(1)≤－1，－1≤f
(2)≤5，求f(3)的取值范围．
解　∵f
(x)＝ax2－c，
∴
∴
∴f
(3)＝9a－c＝
f
(2)－
f
(1)，
又∵－4≤f
(1)≤－1，－1≤f
(2)≤5，
∴≤－
f
(1)≤，①
－≤
f
(2)≤．②
把①②的两边分别相加，得－1≤
f
(2)－
f
(1)≤20，即－1≤f
(3)≤20.所以f
(3)的取值范围是[－1,20]．
14．已知不等式：①a<00；⑥a答案　①②④⑤⑥
解析　因为< <0 b－a与ab异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都能使<．
15．已知：f(x)＝logax，a>1>b>c>0，
证明：>．
证明　∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，
∴0<<，
又∵f(b)＝logab，f(c)＝logac，a>1，
∴f(b)>f(c)，
又∵1>b>c>0，∴f(b)<0，f(c)<0，
∵f(b)>f(c)，∴0<－f(b)<－f(c)，
∴b－f(c)>c－f(b)>0，
∴>．(共35张PPT)
第1课时　简单线性规划(一)
第三章
3.5.2　简单线性规划
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解线性规划的意义.
2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.
3.掌握线性规划问题的图解法.
4.会画常见非线性约束条件的可行域及解释其目标函数的几何意义.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，
求2x＋3y②的最大值.
以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念.
知识点一　线性约束条件及目标函数
1.在上述问题中，不等式组①是一组对变量
x，y
的约束条件，这组约束条件都是关于
x，y的___次不等式，故又称线性约束条件.
2.在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量
x，y的___次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数.
一
一
知识点二　可行解、可行域和最优解
满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫_______，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个_______，其中能使②式取最大值的可行解称为_______.
可行域
可行解
最优解
知识点三　线性规划问题与图解法
一般地，在线性约束条件下求_____________的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
在确定了线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求”.
(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；
(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；
(3)求：求出取得最大值或最小值时的点的坐标(解方程组)及最大值或最小值.
线性目标函数
1.可行解是可行域的一个元素.(　　)
2.最优解一定是可行解.(　　)
3.目标函数z＝ax＋by中，z为在y轴上的截距.(　　)
4.当直线z＝ax＋by在y轴上的截距最大时，z也最大.(　　)
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
×
√
√
×
2
题型探究
PART
TWO
题型一　求线性目标函数的最值
该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求2x＋3y的最大值.
解　
设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，
由图可以看出，
此时2x＋3y＝14.
反思感悟　(1)由于求最优解是通过图形来观察的，故画图要准确，否则观察的结果可能有误.
(2)作可行域时要注意特殊点与边界.
(3)在可行域内求最优解时，通常转化为直线在
y
轴上的截距的最值问题来研究，故一定要注意直线在
y
轴上的截距的正负，否则求出的结果恰好相反.
跟踪训练1　(2018·北京)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是___.
作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示.
zmin＝2×2－1＝3.
3
题型二　已知线性目标函数的最值求参数
解析　作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分含边界所示).
目标函数为z＝ax＋y(a>0)，
由题意可知，当直线y＝－ax＋z经过点C时，z取得最大值，
∴－a(1，＋∞)
(2)若b>0，则当截距最大时，z取得最大值，当截距最小时，z取得最小值；若b<0，则当截距最大时，z取得最小值，当截距最小时，z取得最大值.
跟踪训练2　在本例条件下，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则a的值为__.
解析　如上例中图形，若使z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，
则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4重合，
所以－a＝kCD，即－a＝－1，此时a＝1.
1
题型三　求非线性目标函数的最值
3
解析　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，
故z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，
引申探究
√
解析　画出可行域如图(阴影部分含边界)所示：
A.[－1,3]
B.[1,11]
C.[1,3]
D.[－1,11]
类比：思想方法的迁移方式之一
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
√
解析　作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，
当x≥0时，z＝2x＋y，即y＝－2x＋z，
由图象可知其经过A(0，－1)时，zmin＝－1，
经过B(6，－1)时，zmax＝11；
当x≤0时，y＝2x＋z，
由图象可知其经过C(－2，－1)时，
zmax＝3，经过A(0，－1)时，zmin＝－1，综上所述，－1≤z≤11.
素养评析　逻辑推理主要有两类：演绎是从一般到特殊，归纳与类比是从特殊到一般.其中类比是从此类到彼类，找到两类之间的关联.本例中的目标函数乍看新颖，但只要去掉绝对值，就变成常规的截距型，我们只要把解截距型问题的思想方法迁移过来即可.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
√
解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)所示.
5
1
2
3
4
解析　作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.
2.设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝2x＋3y的最小值为
A.6
B.7
C.8
D.23
√
由图可知，z＝2x＋3y
经过点
A(2,1)时，
z有最小值，z的最小值为7.
5
1
2
3
4
3.已知a，b是正数，且满足2的取值范围是
√
5
如图阴影部分所示(不含边界).
的几何意义是可行域内的点
M(a,b)与点
P(－1,－1)
连线的斜率，
由图得，当点M与点B(0,2)重合时，
最大；
当点M与点A(4,0)重合时，
最小.
1
2
3
4
解析　画出不等式组
表示的平面区域，
5
由z＝3x－y，可得y＝3x－z，
则－z为直线
y＝3x－z在y轴上的截距，截距越大，z
越小，
结合图形可知，当直线y＝3x－z平移到B时，z
最小，平移到C时，z
最大，
1
2
3
4
解析　作出不等式组表示的平面区域，
如图阴影部分(含边界)所示，
4.设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝3x－y的取值范围是
√
5
1
2
3
4
5
3
解析　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤
(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；
(3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.
2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.
3.对于非线性约束条件，仍然用“方程定界，特殊点定域”.(共29张PPT)
第1课时　一元二次不等式及其解法(一)
第三章
§3.3　一元二次不等式及其解法
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式.
3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一　一元二次不等式的概念
1.一般地，含有一个未知数，且未知数的____________的整式不等式，叫做一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般表达形式为__________________或_____________
(a≠0)，其中a，b，c均为常数.
3.能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解.
4.不等式所有解的_____称为解集.
最高次数是2
ax2＋bx＋c>0(a≠0)
ax2＋bx＋c<0
集合
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
__________________________
____________
____________
没有实数根
有两相异实根
有两相等实根
x1，x2(x1知识点二　“三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
____________
____________
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
__________


{x|xx2}
{x|x1知识点三　一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：
(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；
(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；
(3)有根求根；
(4)根据图象写出不等式的解集.
1.x2＞1的一个解是x＝－2.解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).(　　)
2.方程x2－1＝0相当于函数y＝x2－1中y＝0.(　　)
3.如果关于x的方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式ax2＋bx＋c>0也无解.
(　　)
4.x2－1>0与1－x2<0的解集相等.(　　)
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√
√
√
×
2
题型探究
PART
TWO
题型一　一元二次不等式的解法
多维探究
命题角度1　二次项系数大于0
例1　求不等式4x2－4x＋1>0的解集.
解　因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
反思感悟　在求解一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.
跟踪训练1　求不等式2x2－3x－2≥0的解集.
且a＝2>0，
命题角度2　二次项系数小于0
例2　解不等式－x2＋2x－3>0.
解　不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是 .
反思感悟　将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化，化归为二次项系数大于0的不等式，是为了减少记忆负担.
跟踪训练2　求不等式－3x2＋6x>2的解集.
解　不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
题型二　“三个二次”间对应关系的应用
例3　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
∴不等式bx2＋ax＋1>0，
即2x2－3x＋1>0.
反思感悟　给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
跟踪训练3　已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1解　方法一　由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.
方法二　把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
解析　根据函数
f(x)
的性质可画出
f(x)
图象示意图：
不等式－1≤f(x)≤1的几何意义为当函数f(x)的
纵坐标介于[－1,1]之间时，
求横坐标x的取值集合.
由已知，使－1≤f(x)≤1成立的x满足－1≤x≤1，
所以由－1≤f(x－2)≤1得－1≤x－2≤1，即1≤x≤3，故选D.
典例　函数
f
(x)
在
(－∞，＋∞)
上单调递减，且为奇函数.若
f
(1)
＝－1，则满足－1≤
f
(x－2)≤1的实数
x
的取值范围是
A.[－2,2]
B.[－1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]
数形结合解不等式
√
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
素养评析　直观想象素养的主要表现为：能建立形与数(如本例－1≤f(x)≤1与f(x)图象)的联系；利用几何图形描述问题(f(x)的图象介于y＝－1，y＝1两直线之间)；借助几何直观理解问题(满足条件的图象部分的横坐标集合即所求解集).
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
1.不等式2x2－x－1>0的解集是
√
解析　∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，
5
1
2
3
4
2.不等式－x2－x＋2>0的解集为___________.
解析　由原式得x2＋x－2<0，得－2故其解集为{x|－2{x|－25
1
2
3
4
3.若不等式x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为______.
解析　若不等式x2－2ax＋a≤－1有唯一解，
则x2－2ax＋a＝－1有两个相等的实根，
所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，解得a＝
.
5
1
2
3
4
4.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－73
解析　由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.
∴－7×(－1)＝
，故a＝3.
5
1
2
3
4
5.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(05
{t|10≤t≤15，t∈N}
解析　日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)，
依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}.
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集.
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m0，则可得{x|x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得{x|m有口诀如下：大于取两边，小于取中间.
2.实际问题要注意变量的实际含义对变量范围的影响，如长度应该大于0，人数应该为自然数等.
3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.阶段训练五(范围：§3.1～§3.5)
一、选择题
1．(2018·北京)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则(　　)　　　　　　　　　
A．对任意实数a，(2,1)∈A
B．对任意实数a，(2,1) A
C．当且仅当a<0时，(2,1) A
D．当且仅当a≤时，(2,1) A
答案　D
解析　若(2,1)∈A，则解得a>，所以当且仅当a≤时，(2,1) A，故选D.
2．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)
A．4
B.
C．2
D.
答案　A
解析　由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅且a＝b＝1时取等号．
3．不等式－3x2＋7x－2<0的解集为(　　)
A．
B．
C．
D．{x|x＞2}
答案　B
解析　不等式－3x2＋7x－2<0可化为3x2－7x＋2＞0，方程3x2－7x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝2，则不等式3x2－7x＋2＞0的解集是，故选B.
4．不等式≤2的解集是(　　)
A．{x|x<－8或x>－3}
B．{x|x≤－8或x>－3}
C．{x|－3≤x≤2}
D．{x|－3答案　B
解析　原不等式可化为－2≤0，即≤0，即(x＋3)(x＋8)≥0且x≠－3，解得x≤－8或x>－3.
5．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)
A．8
B．7
C．6
D．5
答案　C
解析　∵2a＋b＝6·(2a＋b)
＝6≥6×(5＋4)＝54(当且仅当a＝b时，取等号)．
∴9m≤54，即m≤6.
6．已知a>0，b>0且a2＋＝1，则a的最大值为(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　C
解析　∵·≤＝＝＝，当且仅当＝时等号成立，∴a≤，故a的最大值为.
7．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为4，则ab的取值范围是(　　)
A．(0,4)
B．(0,4]
C．[4，＋∞)
D．(4，＋∞)
答案　B
解析　作出不等式组表示的区域如图中阴影部分(含边界)所示，
由图可知，当目标函数的图象z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时，z取最大值，∴a＋b＝4，∴ab≤2＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，又∵a>0，b>0，∴ab∈(0,4]，故选B.
二、填空题
8．已知x，y∈(0，＋∞)，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
答案　3
解析　因为x>0，y>0，＋＝1，
所以＋≥2＝(当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号)，
即≤1，解得xy≤3，
所以xy的最大值为3.
9．若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________．
答案　[25，＋∞)
解析　令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7.
∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，
∴由二次函数图象得
解得
∴m的取值范围是[25，＋∞)．
10．一段长为40
m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________m2.
答案　100
解析　设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，则2(x＋y)＝40，即x＋y＝20，∴矩形的面积S＝xy≤2＝100，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大面积是100
m2.
11．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，则a的最小值为________．
答案　－
解析　因为对一切x∈，不等式x2＋ax＋1≥0都成立，
所以ax≥－x2－1，即a≥－x－.
设g(x)＝－x－，只需a≥g(x)max，
而g(x)＝－x－在x∈上是增函数，
所以g(x)＝－x－的最大值是g＝－.
三、解答题
12．正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
解　(1)由1＝＋≥2，得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
(2)由题意，可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，
即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.
13．已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0恒成立等价于解得－4综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]．
(2)令f(x)＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，
由解得m<，
所以0③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若当x∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象知只需f(1)<0即可，解得m∈R，所以m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是.
14．第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x(x＞0)台，需另投入成本C(x)万元．若年产量不足80台，则C(x)＝x2＋40x；若年产量不小于80台，则C(x)＝101x＋－2
180.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
解　(1)当0当x≥80时，y＝100x－－500＝1
680－.
所以y＝
(2)当0300，
当x＝60时，y取得最大值，最大值为1
300.
当x≥80时，y＝1
680－
≤1
680－2＝1
500，
当且仅当x＝，即x＝90时，y取得最大值，最大值为1
500.
所以，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1
500万元．(共33张PPT)
3.5.1　二元一次不等式(组)所表示的平面区域
第三章
§3.5　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解二元一次不等式(组)的解、解集的概念.
2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.
3.能把平面区域用不等式(组)表示.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一　二元一次不等式(组)的概念
1.含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式称为_________不等式.
2.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
3.满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)称为二元一次不等式(组)的一个___.
4.所有这样的有序数对(x，y)构成的_____称为二元一次不等式(组)的解集.
二元一次
解
集合
知识点二　二元一次不等式表示的平面区域
1.在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成_____以表示区域不包括边界.
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.
2.对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得值的符号都相同.
3.在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0(或<0)表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.
虚线
知识点三　二元一次不等式组表示的平面区域
1.二元一次不等式组的解集为组中各不等式解集的交集，其表示的平面区域是组中各不等式表示区域的公共部分.
2.画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：
(1)画线——画出不等式组中各不等式所对应的方程表示的直线(如果原不等式中带等号，则画成实线，否则画成虚线)；
(2)定侧——将某个区域内的一个特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；
(3)求交——在确定了各个不等式所表示的平面区域后，再求这些平面区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域，“直线定界，特殊点定域”的方法仍然适用.
2.x>1也可理解为二元一次不等式，其表示的平面区域位于直线x＝1右侧.
(　　)
3.点(1,2)不在2x＋y－1>0表示的平面区域内.(　　)
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
×
√
√
×
2
题型探究
PART
TWO
题型一　二元一次不等式解的几何意义
例1　已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________.
解析　点(3,1)和(－4,6)必有一个是3x－2y＋a＞0的解，
另一个点是3x－2y＋a<0的解.
即(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]<0，(a＋7)(a－24)<0，
解得－7(－7,24)
反思感悟　对于直线l：Ax＋By＋C＝0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1＋By1＋C＞0，则Ax2＋By2＋C<0，即同侧同号，异侧异号.
跟踪训练1　经过点P(0，－1)作直线
l，若直线
l
与连接
A
(1，－2)，B
(2，1)的线段总有公共点，求直线
l
的斜率
k
的取值范围.
解　由题意知直线l的斜率存在，设为k.
则可设直线l的方程为kx－y－1＝0，
由题意知A，B两点在直线l上或在直线l的两侧，
所以有(k＋1)(2k－2)≤0，所以－1≤k≤1.
解　先作出边界x＋4y＝4，
因为这条线上的点都不满足x＋4y<4，
所以画成虚线.取原点(0,0)，代入x＋4y－4，
因为0＋4×0－4＝－4<0，
所以原点(0,0)在x＋4y－4<0表示的平面区域内，
所以不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方.
所以x＋4y<4表示的平面区域如图阴影部分所示.
命题角度1　给不等式画平面区域
题型二　二元一次不等式(组)表示的平面区域
多维探究
例2　画出不等式x＋4y<4表示的平面区域.
反思感悟　画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特别是当C≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点.
跟踪训练2　不等式
x－2y＋6>0表示的平面区域在直线
x－2y＋6＝0的
A.右上方
B.右下方
C.左上方
D.左下方
解析　在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0，
观察图象(图略)知原点在直线的右下方，
将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0，
所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.
√
命题角度2　给不等式组画平面区域
例3　画出下列不等式组所表示的平面区域.
解　x－2y≤3，即x－2y－3≤0，表示直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；
x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方的区域；
x≥0表示y轴及其右边区域；
y≥0表示
x
轴及其上方区域.
综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示.
解　x－y<2，即x－y－2<0，表示直线x－y－2＝0左上方的区域；
2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线2x＋y－1＝0上及右上方的区域；
x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方的区域.
综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示.
反思感悟　在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示.但要注意是否包含边界.
跟踪训练3　画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域.
解　当x≥0且y≥0时，|x|＋|y|≤1，即x＋y≤1.
若点(x，y)满足|x|＋|y|≤1.
则点(－x，y)，(x，－y)也满足|x|＋|y|≤1.
∴|x|＋|y|≤1表示的平面区域关于x轴，y轴对称.
∴|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图(2).
图(1)
图(2)
解　在平面直角坐标系中，作出x＋y－2＝0，x－y＋2＝0和x＝2三条直线，
利用特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分(含边界)所示，
题型三　求区域面积
反思感悟　求平面区域的面积的方法
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积.若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解.
解析　作出平面区域如图所示为△ABC，
√
证明　设点A(x0，y0)位于直线x－y＝6左上方区域，
设B(x0，y1)，则有y0＞y1.
∵B在直线x－y＝6上，
∴x0－y1＝6.
由y0＞y1，得－y0＜－y1，x0－y0＜x0－y1＝6.
即点(x0，y0)满足不等式x－y＜6.
∴x－y＝6左上方半平面区域任一点均是x－y＜6的解.
典例　我们可以验证点(1,2)是不等式x－y＜6的一个解.怎么证明直线
x－y＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x－y＜6的解？
数形结合的魅力
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
则过点A作直线AB∥y轴，交直线x－y＝6于点
B.
素养评析　提升学生的数形结合能力，是培养直观想象核心素养的一大具体任务，本例证明任务是代数问题：不等式的解的问题.在证明过程中，我们把“直线左上方区域”这一几何条件，转化成数：y0＞y1，再借助代数手段：不等式性质，严谨证明了一个初看无从下手的问题，完善诠释了数形结合的魅力.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是
A.(0，0)
B.(1，1)
C.(0，2)
D.(2，0)
√
解析　将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立，
故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
1
2
3
4
2.已知点(－1，2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是
A.(－1，6)
B.(－6，1)
C.(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D.(－∞，－6)∪(1，＋∞)
解析　由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
即(a＋1)(a－6)<0，∴－1√
1
2
3
4
3.画出下列二元一次不等式表示的平面区域.
(1)x－2y＋4≥0；
解　画出直线x－2y＋4＝0，
∵0－2×0＋4＝4>0，
∴x－2y＋4≥0表示的区域为含(0，0)的一侧(包含边界)，
因此所求的平面区域为如图所示的区域，包括边界.
1
2
3
4
(2)y>2x.
解　画出直线y－2x＝0，
∵0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1，0)的一侧，
因此所求的平面区域为如图所示的区域，不包括边界.
1
2
3
4
解　
1
2
3
4
解　
(2)画出(y－2x)(x－2y＋4)≥0表示的平面区域.
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.二元一次不等式(组)的一个解对应一个坐标点，解集对应点集一般形成一个平面区域.
2.画边界直线.画出不等式所对应的方程表示的直线，若此区域包括边界，则直线画成实线；若不包括边界，则画成虚线(即看不等式能否取到等号).
3.特殊点定域.确定边界后，只需在直线的某一侧取一特殊点(原点不在边界上时，常取原点，在边界上时，取坐标轴上的点)验证其坐标是否满足二元一次不等式，若满足不等式，则区域为特殊点所在一侧，不满足，则为另一侧.
简记为“直线定界，特殊点定域”.(共25张PPT)
3.1.1　不等关系与不等式
第三章
§3.1　不等关系与不等式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.
2.学会用作差法比较两实数的大小.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一　不等关系与不等式的概念
1.用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接_______或_______，以表示它们之间的_____关系，含有这些_______的式子叫做不等式.
2.符号“≥”和“≤”的含义：如果a，b是两个实数，那么a≥b，即为___________；a≤b即为___________.
3.对于任意实数a，b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立.
两个数
代数式
不等
不等号
a>
b或a＝
b
a知识点二　p推出q的符号表示
1.“如果p，则q”为正确的命题，则简记为p___q，读作“p推出q”.
2.如果p q，且q p都是正确的命题，则记为p___q，读作“p等价于q”或“q等价于p”.
知识点三　作差法
作差法的理论依据：a>b a－b>0；a＝b a－b＝0；a

1.不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　)
2.若a3.“p q”表示由p成立就能得出q成立.(　　)
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√
√
√
2
题型探究
PART
TWO
题型一　用不等式(组)表示不等关系
例1　某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2
000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
反思感悟　数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系，思维要严密、规范.
跟踪训练1　(1)雷电的温度大约是28
000
℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t
℃，那么t应满足的关系式是___________.
4.5t<28
000
解析　由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28
000.
(2)配制
A，B
两种药剂，需要甲，乙两种原料.已知配一剂
A
种药需甲料
3
克，乙料
5
克；配一剂
B
种药需甲料5克，乙料
4
克.今有甲料
20
克，乙料
25
克，若
A，B
两种药至少各配一剂，设
A，B
两种药分别配
x，y
剂(x，y∈N)，请写出
x，y
所满足的不等关系.
解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
例2　已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小.
命题角度1　作差法比较大小
题型二　作差法的应用
多维探究
反思感悟　比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了.作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.
跟踪训练2　已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.
解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
∴x3－1＜2x2－2x.
例3　证明函数
f
(x)＝x3(x∈R)为增函数.
命题角度2　作差法证明不等式
证明　任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，
即f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)＝x3(x∈R)为增函数．
反思感悟　有时证明a＞b不易，可以转为证明其等价命题a－b＞0，因为作差过程中使不等号两端的信息集中到一端，从而可以使用消去、分解因式、配方等方法，使问题变得易于解决.
∵a＞b，∴b－a＜0.
3
达标检测
PART
THREE
1.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是
1
2
3
4
√
解析　“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，
∴x≥95，y>380，z>45.
2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是
A.a>b>－b>－a
B.a>－b>－a>b
C.a>－b>b>－a
D.a>b>－a>－b
√
解析　由a＋b>0，知a>－b，
∴－a又b<0，∴－b>0，
∴a>－b>b>－a.
1
2
3
4
3.比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小.
1
2
3
4
解　∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)
＝－7<0，
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4).
1
2
3
4
4.某市政府准备投资1
800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？
解　设该校有初中班
x
个，高中班
y
个，
1.比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了.
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2.作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论.
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.
课堂小结
KETANGXIAOJIE