模块综合试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知a>b，则下列不等式成立的是( )
A．a2－b2>0 B．ac>bc
C．ac2>bc2 D．2a>2b
答案 D
解析 A中，当a＝0，b＝－1时，a2－b2＝0－1＝－1<0，所以A错误．B中，当c＝0时，ac＝bc＝0，所以B错．C中，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，C错．D中，因为y＝2x为单调递增函数，所以当a>b时，2a>2b成立．
2．在△ABC中，A
A．tan Atan C
C．sin A答案 C
解析 由大边对大角及A3．已知等比数列{an}(a1≠a2)的公比为q，且a7，a1，a4成等差数列，则q等于( )
A．1或－ B．－
C. D．1
答案 B
解析 在等比数列{an}中，由a1≠a2，得q≠1，
因为a7，a1，a4成等差数列，所以a7＋a4＝2a1，
即a4(q3＋1)＝2，所以q6＋q3－2＝0，
解得q3＝1(舍)或q3＝－2.所以q＝－.
4．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 C
解析 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－.
5．若a＜b，d＜c，并且(c－a)(c－b)＜0，(d－a)(d－b)＞0，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d＜a＜c＜b B．a＜c＜b＜d
C．a＜d＜b＜c D．a＜d＜c＜b
答案 A
解析 因为a＜b，(c－a)(c－b)＜0，所以a＜c＜b，
因为(d－a)(d－b)＞0，
所以d＜a＜b或a＜b＜d，
又因为d＜c，所以d＜a＜b，
综上可得d＜a＜c＜b.
6．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是( )
A．P>Q B．PC．P＝Q D．无法确定
答案 A
解析 由题设知an>0，q>0且q≠1，所以a3≠a9，a3>0，a9>0，P＝>，因为a3·a9＝a5·a7，所以P>Q.
7．已知△ABC的面积为5，A＝，AB＝5，则BC等于( )
A．2 B．2 C．3 D.
答案 D
解析 因为A＝，AB＝5，△ABC的面积为5＝AB·AC·sin A＝×5×AC×，解得AC＝4，
所以BC＝＝＝.
8．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－2y的最小值为( )
A．－5 B．－4 C．－2 D．3
答案 B
解析 由约束条件可得可行域(如图阴影部分含边界所示)，
对于目标函数z＝3x－2y，可化为y＝x－z，
要使z取最小值，可知过A点时取得．
由得即A(0,2)，
∴zmin＝3×0－2×2＝－4.
9．等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n是( )
A．5 B．6 C．5或6 D．6或7
答案 C
解析 由题设可知a1＝－a11，所以a1＋a11＝0，所以a6＝0.因为d<0，故a5>0，a7<0，所以n＝5或6.
10．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是( )
A．1C．1答案 D
解析 由于△ABC为锐角三角形，故有
解得211．若在等差数列{an}中，d＝－2，a1＋a4＋a7＋…＋a31＝50，那么a2＋a6＋a10＋…＋a42的值为( )
A．60 B．－82 C．182 D．－96
答案 B
解析 a2＋a6＋a10＋…＋a42
＝a1＋d＋a4＋2d＋a7＋3d＋…＋a31＋11d
＝(a1＋a4＋…＋a31)＋(d＋2d＋3d＋…＋11d)
＝50＋d＝50＋66d＝－82.
12．对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
7
4
5
8
1
3
5
2
6
数列{xn}满足x1＝2，且对任意n∈N＋，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋x3＋…＋x9的值为( )
A．41 B．42 C．44 D．48
答案 B
解析 因为数列{xn}满足x1＝2，且对任意n∈N＋，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，xn＋1＝f(xn)，所以x1＝2，x2＝4，x3＝8，x4＝2，x5＝4，x6＝8，x7＝2，x8＝4，…，
所以数列是周期数列，周期为3，一个周期内的和为14，所以x1＋x2＋x3＋x4＋…＋x9＝3×(2＋4＋8)＝42.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知不等式x2＋bx－b－>0的解集为R，则b的取值范围是________．
答案 (－3，－1)
解析 由题意知b2－4<0，即b2＋4b＋3<0，所以－314．在数列{an}中，Sn＝2n2－3n＋1，则通项公式an＝________.
答案
解析 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n＋1－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5.
n＝1时，a1＝2－3＋1＝0不适合上式．
∴an＝
15．在锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是________．
答案 (，)
解析 因为△ABC为锐角三角形，
所以
所以
所以A∈.所以＝＝2cos A.
所以∈(，)．
16．(2018·江苏)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
答案 9
解析 因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶．若甲船速度是乙船速度的倍，则甲船应取什么方向才能追上乙船？追上时甲船行驶了多少海里？
解 如图所示，
设到C点甲船追上乙船，乙到C点用的时间为t，乙船速度为v，
则BC＝tv，AC＝tv，B＝120°，
由正弦定理知，＝，
所以＝所以sin∠CAB＝，所以∠CAB＝30°，所以∠ACB＝30°，
所以BC＝AB＝a，所以AC＝BC＝a.
答：甲船应按北偏东30°方向才能追上乙船，追上时甲船行驶了a海里．
18．(12分)解关于x的不等式：mx2－(m－2)x－2＞0.
解 不等式：mx2－(m－2)x－2＞0化为(mx＋2)(x－1)＞0.
当m＝0时，不等式化为2(x－1)＞0，解得x＞1，
所以不等式的解集为(1，＋∞)；
当m≠0时，不等式对应方程为(x－1)＝0，
解得实数根为－，1.
当m＞0时，不等式化为
(x－1)＞0，且－＜1，
所以不等式的解集为∪(1，＋∞)；
当－2＜m＜0时，不等式化为(x－1)＜0，
且1＜－，所以不等式的解集为；
当m＝－2时，－＝1，不等式化为(x－1)2＜0，
其解集为?；
当m＜－2时，不等式化为(x－1)＜0，
且－＜1，所以不等式的解集为.
综上，m＞0时，不等式的解集为∪(1，＋∞)；
m＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)；
－2＜m＜0时，不等式的解集为；
m＝－2时，不等式的解集为?；
m＜－2时，不等式的解集为.
19．(12分)(2018·津南检测)求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和．
解 当a＝0时，Sn＝1.
当a＝1时，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝＝n2.
当a≠0且a≠1时，
Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－3)an－2＋(2n－1)an－1，
aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an，
两式相减，有
(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋…＋2an－1－(2n－1)an
＝1＋2－(2n－1)an，
此时Sn＝＋.
当a＝0时，也满足此式．
综上，Sn＝a≠1.
20．(12分)某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和，(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额72万元)．
(1)该厂从第几年开始盈利？
(2)该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．
解 (1)由题意知f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72.
由f(n)＞0，即－2n2＋40n－72＞0，解得2＜n＜18，
由n∈N＋知，从第三年开始盈利．
(2)年平均纯利润
＝40－2≤16，
当且仅当n＝6时等号成立．
即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值为16万元．
21．(12分)若关于x的不等式(2x－1)2解 原不等式可化为(4－a)x2－4x＋1<0(a>0)，
由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a>0，即a<4，故0解不等式有亦即<<<且要使该不等式的解集中的整数恰有3个，
那么3<≤4，解得22．(12分) 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播放甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
解 (1)由已知x，y满足的数学关系式为即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分内的整点(包括边界)：
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线．
为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(6,3)，
所以电视台每周播放甲连续剧6次，乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
模块综合试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( )
A．它的首项是－2，公差是3
B．它的首项是2，公差是－3
C．它的首项是－3，公差是2
D．它的首项是3，公差是－2
答案 A
解析 由题意得即
解得a1＝－2，d＝3.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c已知a＝3，c＝2，B＝150°，则S△ABC等于( )
A．2 B． C． D．
答案 B
解析 由三角形面积公式得S△ABC＝acsin B＝×3×2×＝，故选B.
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－1答案 D
解析 由题意知，－＝1，＝－2，
∴b＝－a，c＝－2a，
又∵a<0，∴原不等式化为x2－x－2≤0，
∴－1≤x≤2.
4．已知等差数列前n项和为Sn，且S13<0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
答案 C
解析 由S13＝13a7，S12＝6(a6＋a7)及S13<0，S12＞0，
知a7<0，a6＋a7＞0，即a6＞－a7＞0，故|a6|＞|a7|.
又等差数列为递减数列，故|a1|＞|a2|＞…＞|a6|＞|a7|，|a7|<|a8|<…，
故|a7|最小．
5．(2018·辽宁省凌源市高二月考)已知△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若＝4，则等于( )
A. B．4 C． D．3
答案 B
解析 由正弦定理可得＝＝＝4，则a＝4sin A，b＝4sin B，c＝4sin C，从而＝＝4.
6．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
答案 C
解析 由＋＝知，a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.
7．在△ABC中，a＝26，cos A＝，cos B＝，则b等于( )
A．72 B．18 C． D．30
答案 D
解析 因为cos A＝，所以sin A＝＝.
同理得sin B＝.
由＝，得b＝＝＝30.
8．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C．(1－4－n) D．(1－2－n)
答案 C
解析 依题意a2＝a1q＝2，a5＝a1q4＝，
两式相除可求得q＝，a1＝4，
又因为数列{an}是等比数列，所以{anan＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，
根据等比数列前n项和公式可得
原式＝＝(1－4－n)．
9．已知A(2,5)，B(4,1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为( )
A．－1 B．3 C．7 D．8
答案 C
解析 作出线段AB，如图所示，
作直线2x－y＝0并将其向下平移至直线过点B(4,1)时，2x－y取最大值，为2×4－1＝7.
10．已知圆的半径R＝4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A．2 B．8 C． D．
答案 C
解析 ∵＝＝＝2R＝8，∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝.
11．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20 C．19 D．18
答案 B
解析 方法一 由a1＋a3＋a5＝105，得3a3＝105，
即a3＝35，由a2＋a4＋a6＝99，得3a4＝99，即a4＝33，
∴d＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n，由，得n＝20，故选B.
方法二 由方法一得到d＝－2，则由a3＝a1＋2×(－2)＝35得a1＝39，从而Sn＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400，则Sn最大时，n＝20，故选B.
12．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b>0，c>0)经过圆C：x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A．9 B．8 C．4 D．2
答案 A
解析 将圆C：x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，
得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.
因为b>0，c>0，所以＋≥2 ＝4，
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c且b＋c＝1，
即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.
答案 1
解析 设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d和q，则－1＋3d＝－q3＝8，求得q＝－2，d＝3，那么＝＝1.
14．已知a，b，c为△ABC的三边，且c＝2，b＝a，则△ABC的面积的最大值为________．
答案 2
解析 △ABC的面积S＝acsin B＝asin B．由余弦定理得cos B＝.因为sin B＝，所以S＝asin B＝a＝，当且仅当a＝2时，S取得最大值2，故△ABC的面积的最大值为2.
15．在1和17之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当＋取最小值时，n＝________.
答案 7
解析 由已知得a＋b＝18，则＋＝×＝≥(26＋10)＝2，当且仅当b＝5a时取等号，此时a＝3，b＝15，可得n＝7.
16．当x，y，z为正数时，的最大值为________．
答案
解析 ∵x2＋z2≥2xz，当且仅当x＝z时，取等号，y2＋z2≥2yz，当且仅当y＝z时，取等号．
∴x2＋y2＋z2＝＋≥2xz＋2yz＝(4xz＋yz)．∴≤，当且仅当x＝z，y＝z，即x∶y∶z＝4∶1∶时，取等号．∴的最大值为.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.
(1)求角A的值；
(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．
解 (1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2，又A∈(0，π)，化简得sin A＝，故A＝或.
(2)由题意知，若b≥a，则A＝，又a＝，
所以由正弦定理可得＝＝＝2，
得b＝2sin B，c＝2sin C，
故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin
＝3sin B－cos B＝2sin.
因为b≥a，所以≤B<，≤B－<，
所以2sin∈[，2)．
即2b－c的取值范围为[，2)．
18．(12分)已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
解 方法一 在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立，等价于x2＋2x＋a>0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，∴当x＝1时，ymin＝3＋a，当且仅当ymin＝3＋a>0时，不等式f(x)>0恒成立，故实数a的取值范围为{a|a>－3}．
方法二 f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正，当a<0时，函数f(x)单调递增，故当x＝1时，f(x)min＝3＋a，于是当且仅当f(x)min＝3＋a>0时，不等式f(x)>0恒成立．故实数a的取值范围为{a|a>－3}．
方法三 由x∈[1，＋∞)及题意可知a>(－x2－2x)max＝－3.故实数a的取值范围为{a|a>－3}．
19．(12分)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4(其中n∈N＋)．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N＋)．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2＋b3＝12，
得b1(q＋q2)＝12.
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，
解得q＝－3或q＝2.
又因为q＞0，所以q＝2.所以bn＝2n(n∈N＋)．
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8. ①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16. ②
联立①②，解得a1＝1，d＝3，
由此可得an＝3n－2(n∈N＋)．
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2(n∈N＋)，数列{bn}的通项公式为bn＝2n(n∈N＋)．
(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn.
由a2n＝6n－2，得
Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，
2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1.
上述两式相减，得
－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1
＝－4－(6n－2)×2n＋1
＝－(3n－4)2n＋2－16，
所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.
所以数列{a2nbn}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16(n∈N＋)．
20．(12分)一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量p万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足p＝3－(其中0≤x≤a，a为正数)．已知生产该产品还需投入成本(10＋2p)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
解 (1)由题意知，y＝·p－(10＋2p)－x，
将p＝3－代入得
y＝16－－x,0≤x≤a.
(2)y＝16－－x＝17－≤17－2＝13，
当且仅当＝x＋1，即x＝1时，等号成立．
当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当a<1时，y＝17－在[0，a]上单调递增，
所以当x＝a时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a<1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
21．(12分)关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有实数解，求实数m的取值范围．
解 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
若f(x)＝0在区间[0,2]上有一个实数解，
∵f(0)＝1>0，
∴f(2)<0或或
又f(2)＝22＋(m－1)×2＋1＝2m＋3，
∴m<－或m＝－1.
若f(x)＝0在区间[0,2]上有两个实数解，
则即
∴∴－≤m<－1.
综上，实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
22．(12分)营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少kg?
将已知数据列成下表：
食物/kg
碳水化合物/kg
蛋白质/kg
脂肪/kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
解 设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，则即
目标函数为z＝28x＋21y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
把目标函数z＝28x＋21y变形为y＝－x＋，
它表示斜率为－，且随z变化的一族平行直线，
是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小．
由图可知，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，
截距最小，即z最小．
解方程组得M点的坐标为.
所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A kg，食物B kg.
模块综合试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC等于( )
A．4 B．2 C． D．
答案 B
解析 由正弦定理得＝，即＝，
所以AC＝×＝2，故选B.
2．已知{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9的值是( )
A．24 B．27 C．30 D．33
答案 D
解析 根据等差数列的性质可知a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，
故a3＋a6＋a9＝2×39－45＝33.故选D.
3．若a＞0，b＞0，则不等式－b<A．
B．
C．
D．
答案 A
解析 原不等式即
可得
故不等式的解集为.
4．(2018·宁夏六盘山高级中学高二(上)月考)在△ABC中，若b＝3，c＝3，B＝30°，则a等于( )
A．3 B．4 C．3或6 D．4或6
答案 C
解析 在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，及b＝3，c＝3，B＝30°，得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos 30°，即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3，经检验都满足题意．
5．若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋t，则t＋a3的值为( )
A．1 B．－1 C．17 D．18
答案 C
解析 a1＝S1＝3＋t，
由a1＋a2＝9＋t得a2＝6，
由a1＋a2＋a3＝27＋t得a3＝18，
由a1a3＝a，得t＝－1，故t＋a3＝17.
6．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
答案 A
解析 令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，则不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a7．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案 B
解析 ∵最大边AC所对角为B，
又cos B＝<0，
∴B为钝角，△ABC为钝角三角形．
8.＋1与－1的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．
答案 C
解析 设x为＋1与－1的等比中项，
则x2＝(＋1)(－1)＝1，∴x＝±1.
9．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
答案 A
解析 因为a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2，故ab≤4.又因为cd≤，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立．
10．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°.若△ABC有两解，则x的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(0,2)
C．(2,2) D．(，2)
答案 C
解析 因为△ABC有两解，所以asin B即xsin 45°<211．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，又bn＝，则数列{bn}的前n项的和Sn为( )
A．4 B．4
C．1－ D．－
答案 A
解析 ∵an＝＝＝，
∴bn＝＝＝4.
∴Sn＝4＝4.
12．(2018·天津市河东区模拟)已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当取最小值时，a＋b－c的最大值为( )
A．2 B． C． D．
答案 C
解析 正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，可得c＝a2－ab＋4b2，＝＝＋－1≥2－1＝3.当且仅当a＝2b时取得等号，则a＝2b时，取得最小值，且c＝6b2，∴a＋b－c＝2b＋b－6b2＝－6b2＋3b＝－62＋，当b＝时，a＋b－c有最大值.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
答案 1
解析 ∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴()2＝a2＋12－2a×1×cos，
∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0.
∴a＝1或a＝－2(舍去)．∴a＝1.
14．已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________.
答案 10
解析 观察可知a1＋a2＝2，a3＋a4＝2，…，a9＋a10＝2，故a1＋a2＋a3＋…＋a10＝10.
15．已知数列{an}中，a1＝1，且P(an，an＋1)(n∈N＋)在直线x－y＋1＝0上，若函数f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋，且n≥2)，则函数f(n)的最小值为________．
答案
解析 由题意得an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an＝n，∴f(n)＝＋＋…＋，
∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋…＋－
＝＋－＝－>0，
∴{f(n)}(n∈N＋，n≥2)为递增数列，
∴f(n)min＝f(2)＝＋＝＋＝.
16．若正实数x，y，z满足x2＋4y2＝z＋3xy，则当取最大值时，＋－的最大值为________．
答案
解析 ∵z＝x2＋4y2－3xy，x，y，z∈(0，＋∞)，
∴＝＝≤1(当且仅当x＝2y时等号成立)，
此时＋－＝－，
令＝t>0，则＋－＝t－t2＝－(t－1)2＋≤(当且仅当t＝1，即y＝1时等号成立)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝6，A＝30°，求B及S△ABC.
解 在△ABC中，由正弦定理得sin B＝sin A＝×＝.
又A＝30°，且a①当B＝60°时，C＝90°，△ABC为直角三角形，故S△ABC＝ab＝6.
②当B＝120°时，C＝30°，△ABC为等腰三角形，故S△ABC＝absin C＝×2×6sin 30°＝3.
18．(12分)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1.
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
解 (1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n.
由题意知，当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
易知当n≥2时，
b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＝bn－1，①
b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1，②
②－①得，bn＝bn＋1－bn，
整理得＝(n≥2)，
所以bn＝··…··b2＝n(n≥2)，又b1＝1也满足上式，所以bn＝n.
(2)由(1)知，anbn＝n·2n，
所以Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
所以Tn－2Tn＝－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，
所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.
19．(12分)已知不等式ax2－3x＋2＞0.
(1)若a＝－2，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集为{x|x<1或x＞b}，求a，b的值．
解 (1)当a＝－2时，不等式为－2x2－3x＋2＞0，即2x2＋3x－2<0，方程2x2＋3x－2＝0的两根为x1＝－2，x2＝，∴不等式2x2＋3x－2<0的解集为.
(2)由题意知1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，∴a－3＋2＝0，即a＝1，又1×b＝，∴b＝2.
20．(12分)如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD，公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成，已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米．
(1)求矩形ABCD所占面积S(单位：平方米)关于x的函数解析式；
(2)要使公园所占面积最小，问休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少米？
解 (1)S＝(x＋20)×＝8x＋＋4 160，x>0.
(2)∵x>0，∴S≥2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，
当且仅当8x＝，即x＝100时取等号．
故要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长为100米，宽为40米．
21．(12分)解关于x的不等式：x2－(m＋m2)x＋m3<0.
解 方程x2－(m＋m2)x＋m3＝0的解为x1＝m和x2＝m2.
二次函数y＝x2－(m＋m2)x＋m3的图象开口向上，所以
①当m＝0或1时，原不等式的解集为?；
②当0③当m<0或m>1时，原不等式的解集为{x|m22．(12分)设函数f(x)＝x2＋2ax＋3.
(1)解关于x的不等式f(x)<1；
(2)若函数f(x)在区间[－1，]上有零点，求实数a的取值范围．
解 (1)由f(x)<1，得x2＋2ax＋3<1，
即x2＋2ax＋2<0，其中Δ＝4a2－8.
当Δ＝4a2－8≤0，即－≤a≤时，不等式无解；
当Δ＝4a2－8>0，即a<－或a>时，
解方程x2＋2ax＋2＝0，可得x1＝＝－a－，x2＝＝－a＋，则不等式的解集为(－a－，－a＋)．
综上所述，当－≤a≤时，不等式无解；当a<－或a>时，不等式的解集为(－a－，－a＋)．
(2)要使函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间[－1，]上有零点，则有
或f()·f(－1)≤0，
即或(4－2a)(5＋2a)≤0，
解得a≤－或a≥2.
所以实数a的取值范围为a≤－或a≥2.
