专题突破二 数列的单调性和最大(小)项
一、数列的单调性
(1)定义：若数列{an}满足：对一切正整数n，都有an＋1＞an(或an＋1＜an)，则称数列{an}为递增数列(或递减数列)．
(2)判断单调性的方法
①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性．
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较an＋1与an的大小；作商比较法，即作商比较an＋1与an的大小，从而判断出数列{an}的单调性．
例1 已知函数f
(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f
(n)(n∈N＋)．试判断数列的单调性．
解 f
(x)＝＝－2＋.
方法一 ∵an＝－2＋(n∈N＋)，an＋1＝－2＋，
∴an＋1－an＝－＝
＝＜0.
∴an＋1＜an.
∴数列{an}是递减数列．
方法二 设x1＞x2≥1，则
f
(x1)－f
(x2)＝－
＝－
＝，
∵x1＞x2≥1，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＜0，
∴f
(x1)－f
(x2)＜0，
即f
(x1)＜f
(x2)，
∴f
(x)在[1，＋∞)上为减函数，
∴an＝f
(n)为递减数列．
反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1
跟踪训练1 数列{an}的通项公式为an＝－3×2n-2＋2×3n-1，n∈N＋.求证：{an}为递增数列．
证明 an＋1－an＝－3×2n-1＋2×3n－(－3×2n-2＋2×3n-1)
＝3(2n-2－2n-1)＋2(3n－3n-1)
＝－3×2n-2＋4×3n-1
＝2n-2，
∵n≥1，n∈N＋，∴n-2≥1-2＝，
∴12×n-2≥8＞3，
∴12×n-2－3＞0，又2n-2＞0，
∴an＋1－an＞0，即an＋1＞an，n∈N＋.
∴{an}是递增数列．
二、求数列中的最大(或最小)项问题
常见方法：
(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．
(2)利用(n≥2)求数列中的最大项an；利用(n≥2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
例2 在数列{an}中，an＝，则该数列前100项中的最大项与最小项的项数分别是________．
答案 45,44
解析 an＝＝1＋，设f(x)＝1＋，则f(x)在区间(－∞，)与(，＋∞)上都是减函数．
因为44<<45，
故数列{an}在0反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．
跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，则{an}的最大项是( )
A．a3
B．a4
C．a5
D．a6
答案 C
解析 f(x)＝在，上都是增函数．
且1≤n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴{an}的最大值为a5.
例3 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N＋.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出其最小值．
解 (1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.
∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(2)∵an＝n2－5n＋4＝2－，且n∈N＋，
∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
反思感悟 有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．
跟踪训练3 已知(－1)na＜1－对任意n∈N＋恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 设f(n)＝1－，n≥1，则f(n)单调递增．
当n为奇数时，有－a＜1－
又f(n)min＝f(1)＝1－＝.
∴－a＜即a＞－.
当n为偶数时，a＜1－.
f(n)min＝f(2)＝1－＝.
∴a＜.综上，－＜a＜.
例4 已知数列{an}的通项公式为an＝nn+1，n∈N＋，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，请说明理由．
解 ∵an＋1－an＝(n＋1)·n+2－nn+1＝n+1·，且n∈N＋，
∴当n>3，n∈N＋时，an＋1－an<0；
当1≤n≤3，n∈N＋时，an＋1－an>0.
综上，可知{an}在n∈{1,2,3}时，单调递增；在n∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a3＝3×3+1反思感悟 如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．
跟踪训练4 已知数列{bn}的通项公式为bn＝，n∈N＋，求{bn}的最大值．
解 ∵bn＋1－bn＝－＝，且n∈N＋，
∴当n＝1,2,3,4,5时，bn＋1－bn＞0，即b1＜b2＜b3＜b4＜b5.
当n＝6,7,8，…时，bn＋1－bn＜0，即b6＞b7＞b8＞…，
又b5＝＜b6＝.
∴{bn}的最大值为b6＝.
三、利用数列的单调性确定变量的取值范围
常利用以下等价关系：
数列{an}递增 an＋1＞an恒成立；数列{an}递减 an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．
例5 已知数列{an}中，an＝n2＋λn，n∈N＋.
(1)若{an}是递增数列，求λ的取值范围．
(2)若{an}的第7项是最小项，求λ的取值范围．
解 (1)由{an}是递增数列 an λ>－(2n＋1)，n∈N＋ λ>－3.
∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．
(2)依题意有即
解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．
反思感悟 注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足不一定a7最小．
跟踪训练5 数列{an}中，an＝2n－1－k·2n－1，n∈N＋，若{an}是递减数列，求实数k的取值范围．
解 an＋1＝2(n＋1)－1－k·2n＋1－1＝2n＋1－k·2n，
an＋1－an＝2－k·2n－1.
∵{an}是递减数列，
∴对任意n∈N＋，有2－k·2n－1＜0，
即k＞恒成立，
∴k＞max＝2，
∴k的取值范围为(2，＋∞)．
1．设an＝－2n2＋29n＋3，n∈N＋，则数列{an}的最大项是( )
A．103
B.
C.
D．108
答案 D
解析 ∵an＝－22＋2×＋3，n∈N＋，
∴当n＝7时，an取得最大值，最大值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n-1－n-1(n∈N＋)，则数列{an}( )
A．有最大项，没有最小项
B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项
D．既没有最大项也没有最小项
答案 C
解析 an＝n-1－n-1＝2－n-1，
令n-1＝t，则t是区间(0,1]内的值，而an＝t2－t＝2－，所以当n＝1，即t＝1时，an取最大值．
使n-1最接近的n的值为数列{an}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．
3．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大( )
A．10
B．11
C．10或11
D．12
答案 C
解析 ∵an＝－n2＋10n＋11是关于n的二次函数，∴数列{an}是抛物线f(x)＝－x2＋10x＋11上的一些离散的点，∴{an}前10项都是正数，第11项是0，∴数列{an}前10项或前11项的和最大．故选C.
4．数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N＋，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项的值为________．
答案 1
024
解析 ∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴＝2＞1，
∴an＞an－1，即{an}单调递增，∴{an}的最大项为a10＝2a9＝22a8＝…＝29·a1＝29·2＝210＝1
024.
5．已知数列{an}中，an＝1＋.若a6为最大项，则实数m的取值范围是________．
答案 (－11，－9)
解析 根据题意知，y＝1＋的图象如下：
由a6为最大项，知5＜＜6.∴－11＜m＜－9.
一、选择题
1．已知数列{an}满足a1>0，2an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．以上都不对
答案 B
解析 ∵a1>0，an＋1＝an，
∴an>0，∴＝<1，
∴an＋12．在数列{an}中，an＝n，则{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．以上都不是
答案 A
解析 ∵an＋1－an＝(n＋1)－n＝1>0，
∴数列{an}是递增数列．
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－9n－100，则其最小项是( )
A．第4项
B．第5项
C．第6项
D．第4项或第5项
答案 D
解析 f(x)＝x2－9x－100的对称轴为x＝，且开口向上．
∴an＝n2－9n－100的最小项是第4项或第5项．
4．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0]
答案 C
解析 ∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
5．函数f(x)满足f
(n＋1)＝f
(n)＋3(n∈N＋)，an＝f(n)，则{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不能确定
答案 A
解析 an＋1－an＝f
(n＋1)－f
(n)＝3>0.
6．已知p>0，n∈N＋，则数列{log0.5pn}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．增减性与p的取值有关
D．常数列
答案 C
解析 令an＝log0.5pn.
当p>1时，pn+1>pn，∴log0.5pn+1当07．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则该数列的最大项为( )
A．第2项
B．第3项
C．第2项或第3项
D．不存在
答案 C
解析 易知，an＝.函数y＝x＋(x>0)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，故数列an＝(n∈N＋)在区间(0，)上递增，在区间(，＋∞)上递减．
又2<<3，且a2＝a3，所以最大项为第2项或第3项．
8．已知数列an的通项公式an＝n＋，若对任意的n∈N＋，都有an≥a3，则实数k的取值范围为( )
A．[6,12]
B．(6,12)
C．[5,12]
D．(5,12)
答案 A
解析 n＋≥3＋对任意的n∈N＋恒成立，则k≥3－n，
≥3－n，
当n≥4时，k≤3n，所以k≤12，
当n＝1时，k≥3，
当n＝2时，k≥6，
以上三个要都成立，故取交集得6≤k≤12.
二、填空题
9．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n，则数列{an}的各项中的最小项是第________项．
答案 5
解析 易知，an＝3n2－28n＝32－，故当n取附近的正整数时，an最小．
又4<<5，且a4＝－64，a5＝－65，故数列{an}的各项中的最小项是第5项．
10．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为________(填序号)．
①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝；④an＝(－1)n.
答案 ①③
解析 可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．
11．设函数f
(x)＝数列{an}满足an＝f
(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．
答案 (2,3)
解析 由题意，得点(n，an)分布在分段函数
f(x)＝的图象上．
因此当3－a>0时，a1当a>1时，a8为使数列{an}递增还需a7故实数a满足条件解得2故实数a的取值范围是(2,3)．
三、解答题
12．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}递增，求实数k的取值范围．
解 因为an＋1＝(n＋1)2－k(n＋1)，an＝n2－kn，
所以an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k.
由于数列{an}递增，故应有an＋1－an>0，
即2n＋1－k>0，n∈N＋恒成立，分离变量得k<2n＋1，
故需k<3即可，
所以k的取值范围为(－∞，3)．
13．已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)判断{an}的单调性；
(2)求{an}的最小项．
解 (1)an＋1－an＝(n＋1)＋－
＝1＋－＝，且n∈N＋，
当1≤n≤2时，an＋1－an＜0，
当n≥3时，an＋1－an＞0，
即n＝1，n＝2时，{an}递减，
n≥3时，{an}递增．
(2)由(1)知{an}的最小项从a2，a3中产生．
由a2＝＞a3＝，
∴{an}的最小项为a3＝.
14．已知数列an＝，则数列{an}中的最小项是第________项．
答案 5
解析 an＝＝＝＋，
令3n－16<0，得n<.
又f(n)＝an在上单调递减，且n∈N＋，
所以当n＝5时，an取最小值．
15．作出数列{an}：an＝－n2＋10n＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值．
解 列表
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
an
20
27
32
35
36
35
32
27
20
11
0
…
图象如图所示．
由数列的图象知，
当1≤n≤5时数列递增；
当n>5时数列递减，最大值为a5＝36，无最小值．(共32张PPT)
第1课时 等差数列的前n项和公式
第二章
2.2.2 等差数列的前n项和
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.
3.已知数列{an}的前n项和公式求通项an.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一 等差数列的前n项和
1.定义：对于数列{an}，一般地，称
为数列{an}的前n项和.
2.表示：常用符号Sn表示，即Sn＝
.
知识点二 等差数列前n项和公式
等差数列的前n项和公式
a1＋a2＋a3＋…＋an
a1＋a2＋a3＋…＋an
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝____________
Sn＝_____________
知识点三 a1，d，n，an，Sn知三求二
两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和.
2.依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.
知识点四 数列中an与Sn的关系
对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，
S1
Sn－Sn－1
特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用.
(2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示.
若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.
1.若数列{an}的前n项和为Sn，则S1＝a1.( )
2.若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.( )
3.等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.( )
4.1＋2＋3＋…＋100＝
.( )
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
题型一 等差数列前n项和公式的基本运算
例1 在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
解 方法一 由已知条件得
∴a1＋a10＝42，
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
∴a4＝6.
∴n＝20.
反思感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用.
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二.
跟踪训练1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
题型二 由数列{an}的前n项和Sn求an
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋
n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2，n∈N＋)，
当n≥2时，
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
反思感悟 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示.
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.
解 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.
题型三 等差数列在实际生活中的应用
例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1
150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1
000×1%＝60，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5，
…
a10＝50＋(1
000－9×50)×1%＝55.5，
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
即全部付清后实际付款1
105＋150＝1
255(元).
反思感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70
m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2
m，以后每分钟比前1分钟多走1
m，乙每分钟走5
m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
解 设n分钟后两人第1次相遇，由题意，
解得n＝7，n＝－20(舍去).
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1
m，乙继续每分钟走5
m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
整理得n2＋13n－420＝0.
解得n＝15，n＝－28(舍去).
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于
A.2
300
B.2
400
C.2
600
D.2
500
√
解析 由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，
1
2
3
4
5
2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于
A.2
B.3
C.6
D.7
√
方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，
所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
1
2
3
4
5
3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
190
＝19a10＝19×10＝190.
1
2
3
4
5
4.已知数列{an}是等差数列，Sn是它的前n项和.若S4＝20，a4＝8，则S8＝________.
72
解得a1＝d＝2，
1
2
3
4
5
5.已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，则an＝_______________.
3(n＋1)(n∈N＋)
解析 由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，
①
当n≥2，n∈N＋时，得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)，
②
①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)
＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，
∴an＝3(n＋1)(n≥2，n∈N＋).
又当n＝1时，a1＝1×2×3＝6也适合上式，
∴an＝3(n＋1)，n∈N＋.
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.
2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N＋).
3.由Sn与an的关系求an主要使用an＝(共33张PPT)
专题突破三 数列通项公式的求法
第二章
数列
求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法.
一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
例1 由数列的前n项，写出通项公式：
(1)3，5，3，5，3，5，…；
解 这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.
所以它的一个通项公式为an＝4＋(－1)n，n∈N＋.
解 数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，
反思感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系.需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一.
跟踪训练1 由数列的前几项，写出通项公式：
(1)1，－7，13，－19，25，…；
解 数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，
且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(6n－5)，n∈N＋.
二、利用递推公式求通项公式
命题角度1 累加、累乘
例2 (1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式；
解 ∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，
即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).
等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2).
反思感悟 形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用叠加法，步骤如下：
第一步 将递推公式写成an＋1－an＝f(n)；
第二步 当n≥2时，依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们叠加起来；
第三步 得到an－a1的值，解出an；
第四步 检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.叠乘法类似.
跟踪训练2 在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1(n＝2，3，4，…)，求{an}的通项公式.
解 ∵当n＝1时，a1＝1，
命题角度2 构造等差(比)数列
例3 已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝___________.
2×3n－1－1
解析 设an＋1＋A＝3(an＋A)，化简得an＋1＝3an＋2A.
又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1.
∴数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3.
则an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.
反思感悟 形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：
第一步 假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；
第四步 写出数列{an}通项公式.
跟踪训练3 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式.
解 设an＋1＋λ×5n＋1＝2(an＋λ×5n)，
①
将an＋1＝2an＋3×5n代入①式，
得2an＋3×5n＋λ×5n＋1＝2an＋2λ×5n，
等式两边消去2an，得3×5n＋λ×5n＋1＝2λ×5n，
两边除以5n，得3＋5λ＝2λ，则λ＝－1，
代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n).
②
由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，
则数列{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
则an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n(n∈N＋).
命题角度3 预设阶梯转化为等差(比)数列
例4 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
证明 由an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)，可知an－n＝4n－1，n∈N＋，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，n∈N＋.
反思感悟 课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学者证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深.
跟踪训练4 在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N＋).
证明 由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，
(2)求数列{an}的通项公式.
三、利用前n项和Sn与an
的关系求通项公式
例5 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N＋，则an等于
A.2n＋1
B.2n
C.2n－1
D.2n－2
解析 因为Sn＝2an－4，所以n≥2时，Sn－1＝2an－1－4，
两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，
所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.
√
反思感悟 已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)的解题步骤：
第一步 利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式；
第二步 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；
第三步 若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{an}的递推公式，则问题化归为例3形式的问题.
得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，
即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，
于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2·3n－2.
达标检测
DABIAOJIANCE
1.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是
√
1
2
3
4
5
6
7
√
解析 注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可.
1
2
3
4
5
6
7
以上(n－1)个式子相乘得
1
2
3
4
5
6
7
4.数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n＋1，n∈N＋，则它的通项公式为______________________.
解析 当n＝1时，a1＝S1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2.
1
2
3
4
5
6
7
5.在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式是__________.
an＝4n－1
解析 依题意a1＋4a1＋42a1＝21，
所以a1＝1，
所以an＝a1qn－1＝4n－1.
1
2
3
4
5
6
7
6.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n.求{an}的通项公式.
解 因为Sn＝2n2－3n，
所以当n≥2时，
Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，
所以an＝Sn－Sn－1＝4n－5，n≥2，
又当n＝1时，a1＝S1＝－1，满足an＝4n－5，
所以an＝4n－5，n∈N＋.
1
2
3
4
5
6
7
7.已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.证明{an}是等比数列，并求其通项公式.
1
2
3
4
5
6
7
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，
得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，
1
2
3
4
5
6
7(共38张PPT)
第1课时 等比数列的概念及通项公式
第二章
2.3.1 等比数列
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.通过实例，理解等比数列的概念.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一 等比数列的概念
等比数列的概念和特点.
1.文字定义：如果一个数列从第
项起，每一项与它的
一项的
等于______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的
，通常用字母q表示(q≠0).
3.等比数列各项均
为0.
2
前
比
同一
公比
不能
知识点二 等比中项的概念
等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
对比项
等差中项
等比中项
定义
若x，A，y成等差数列，则A叫做x与y的等差中项
若x，G，y成
数列，则G叫做x与y的
中项
定义式
A－x＝y－A
公式
A＝
G＝±
个数
x与y的等差中项唯一
x与y的等比中项有
个，且互为_______
备注
任意两个数x与y都有等差中项
只有当
时，x与y才有等比中项
等比
等比
两
相反数
xy＞0
知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝
(n∈N＋).
a1qn－1
1.若an＋1＝qan，n∈N＋，且q≠0，则{an}是等比数列.( )
2.任何两个数都有等比中项.( )
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
4.常数列既是等差数列，又是等比数列.( )
×
×
√
×
2
题型探究
PART
TWO
题型一 等比数列的判定
命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列
多维探究
例1 判断下列数列是否为等比数列.
(1)1，3，32，33，…，3n－1，…；
解 记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，….
∴数列为等比数列，且公比为3.
(2)－1，1，2，4，8，…；
解 记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，
∴此数列不是等比数列.
(3)a1，a2，a3，…，an，….
解 当a＝0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，
显然此数列为等比数列，且公比为a.
反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点：
①从第二项起.②要判定每一项，不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.
跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是
①1，－2，4，－8；②－
，2，－2
，4；
③x，x2，x3，x4；
④a－1，a－2，a－3，a－4.
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
√
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是.
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
∴数列{an＋1}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.即an＝2n－1.
跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…).
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
又a1－1＝－2，
∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.
题型二 等比数列基本量的计算
例3 在等比数列{an}中.
解 设等比数列的公比为q，
解 设等比数列{an}的公比为q.
∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.
反思感悟 已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项.
跟踪训练3 在等比数列{an}中：
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
解 由等比数列的通项公式得a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
解 设等比数列的公比为q，
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1，n∈N＋.
核心素养之数学运算
HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN
方程的思想在等比数列中的应用
典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1.
故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当a＝3，q＝
时，所求的四个数为15，9，3，1.
故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
典例2 设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？
当q＝－2时，a＝－4，
所求四个数依次为2，－4，8，－16.
当q＝－
时，a＝8，
所求四个数依次为－16，8，－4，2，
综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.
素养评析 (1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：
(2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.
3
达标检测
PART
THREE
1.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4
B.8
C.6
D.32
√
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1
，
2n－1＝32，所以n＝6.
1
2
3
4
5
6
2.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于
A.64
B.81
C.128
D.243
√
又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.
1
2
3
4
5
6
3.设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于
A.607.5
B.608
C.607
D.159
√
解析 ∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，
∴1＋2a6＝5×35，
1
2
3
4
5
6
4.等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于
A.－24
B.0
C.12
D.24
√
解析 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，
所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.
1
2
3
4
5
6
5.45和80的等比中项为_________.
－60或60
解析 设45和80的等比中项为G，
则G2＝45×80，∴G＝±60.
1
2
3
4
5
6
6.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
1
2
3
4
5
6
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.等比数列的判断或证明
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋(n≥3)，则a5等于( )
A.
B.
C．4
D．5
答案 A
解析 a3＝a2＋＝3＋1＝4，a4＝a3＋＝4＋＝，a5＝a4＋＝＋＝.
2．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 ∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，
∴d＝a4－a3＝7－5＝2.
3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3·a11＝16，则a5等于( )
A．1
B．2
C．4
D．8
答案 A
解析 ∵a3·a11＝a＝16，∴a7＝4，∴a5＝＝＝1.
4．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是( )
A．S7
B．S8
C．S13
D．S15
答案 C
解析 ∵a2＋a8＋a11＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋10d)＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)为常数，
∴a1＋6d为常数．
∴S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)也为常数．
5．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11等于( )
A．58
B．88
C．143
D．176
答案 B
解析 S11＝＝＝＝88.
6．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( )
A．81
B．120
C．168
D．192
答案 B
解析 由a5＝a2q3得q＝3.
∴a1＝＝3，S4＝＝＝120.
7．数列{(－1)n·n}的前2
019项的和S2
019为( )
A．－2
017
B．－1
010
C．2
017
D．1
010
答案 B
解析 S2
019＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2
018－2
019
＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2
018－2
019)
＝(－1)＋(－1)×1
009＝－1
010.
8．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于( )
A．1或2
B．1或－2
C．－1或2
D．－1或－2
答案 C
解析 由题意得2a4＝a6－a5，
即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，
∴q2－q－2＝0，即(q－2)(q＋1)＝0.
∴q＝－1或q＝2.
9．一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数，则它的公差是( )
A．－2
B．－3
C．－4
D．－6
答案 C
解析 由题意，知a6≥0，a7<0.
∴
∴－≤d<－.
∵d∈Z，∴d＝－4.
10．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N＋)，则S6等于( )
A．44
B．45
C.(46－1)
D.(45－1)
答案 B
解析 an＋1＝Sn＋1－Sn＝3Sn，∴Sn＋1＝4Sn，又S1＝a1＝1，
∴＝4.即{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列．
∴S6＝S1·q5＝45.
11．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
答案 C
解析 由S50.
又S6＝S7 a7＝0，所以d<0.
由S7>S8 a8<0，
因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9
＝2(a7＋a8)<0，
即S912．从2015年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2019年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为( )
A．a(1＋p)4
B．a(1＋p)5
C.[(1＋p)4－(1＋p)]
D.[(1＋p)5－(1＋p)]
答案 D
解析 设自2016年起每年到5月1日存款本息合计为a1，a2，a3，a4.
则a1＝a＋a·p＝a(1＋p)，
a2＝a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，
a3＝a2(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)，
a4＝a3(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)4＋(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]＝a·
＝[(1＋p)5－(1＋p)]．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N＋.若a3＝18，S20＝60，则S10的值为________．
答案 130
解析 设{an}的首项、公差分别是a1，d，
则
解得∴S10＝10×22＋×(－2)＝130.
14．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，n∈N＋，则此数列的通项公式an＝________.
答案 2n-1
解析 当n＝1时，S1＝2a1－1，
即a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，
∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，
∴an＝2n－1，n≥2，n∈N＋，经检验n＝1也符合．
15．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
答案
解析 设三边为a，aq，aq2(q>1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.较小锐角记为θ，则sin
θ＝＝.
16．将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是________．
答案 34
950
解析 在“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列．因为前99组中数的个数共有＝4
950(个)，且第1个数为30，故第100组中的第1个数是34
950.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的公比；
(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
(1)解 设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，
由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0，得q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)，所以q＝－2.
(2)证明 方法一 对任意k∈N＋，
Sk＋2＋Sk＋1－2Sk
＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)
＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1
＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，
所以对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
方法二 对任意k∈N＋，2Sk＝，
Sk＋2＋Sk＋1＝＋
＝，
则2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)
＝－
＝[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]
＝(q2＋q－2)＝0，
因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
18．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，a3＝5，S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得解得
所以an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)因为bn＝＋2n＝×4n＋2n，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)
＝＋n2＋n＝×4n＋n2＋n－.
19．(12分)已知数列{log2(an－1)}(n∈N＋)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<1.
(1)解 设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.
由a1＝3，a3＝9，
得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.
所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，
即an＝2n＋1(n∈N＋)．
(2)证明 因为＝＝，
所以＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＝1－<1.
20．(12分)某市2018年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制汽车总量，从2018年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型的牌照的数量维持在这一年的水平不变．
(1)记2018年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{bn}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式.
a1＝10
a2＝9.5
a3＝____
a4＝____
…
b1＝2
b2＝____
b3＝____
b4＝____
…
(2)从2018年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？
解 (1)
a1＝10
a2＝9.5
a3＝9
a4＝8.5
…
b1＝2
b2＝3
b3＝4.5
b4＝6.75
…
当1≤n≤20且n∈N＋时，an＝10＋(n－1)×(－0.5)＝－0.5n＋10.5；
当n≥21且n∈N＋时，an＝0.
所以an＝
而a4＋b4＝15.25>15，
所以bn＝
(2)当n＝4时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋b1＋b2＋b3＋b4＝53.25.
当5≤n≤21时，Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋…＋bn)
＝10n＋·＋＋(n－4)
＝－n2＋17n－，
由Sn≥200得－n2＋17n－≥200，
即n2－68n＋843≤0，得34－≤n≤21.
所以结合实际情况，可知到2034年累积发放汽车牌照超过200万张．
21．(12分)(2018·浙江)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.
(1)求q的值；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解 (1)由a4＋2是a3，a5的等差中项，得a3＋a5＝2a4＋4，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，
解得a4＝8.
由a3＋a5＝20得8＝20，
解得q＝2或q＝，
因为q>1，所以q＝2.
(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}的前n项和为Sn.
由cn＝解得cn＝4n－1，n∈N＋.
由(1)可知an＝2n-1，
所以bn＋1－bn＝(4n－1)·n-1，
故bn－bn－1＝(4n－5)·n-2，n≥2，
bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)
＝(4n－5)·n-2＋(4n－9)·n-3＋…＋7·＋3.
设Tn＝3＋7·＋11·2＋…＋(4n－5)·n-2，n≥2，
Tn＝3·＋7·2＋…＋(4n－9)·n-2＋(4n－5)·n-1，
所以Tn＝3＋4·＋4·2＋…＋4·n-2－·n-1，
因此Tn＝14－(4n＋3)·n-2，n≥2，
又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)·n-2，n≥2，又b1＝1也适合上式，
所以bn＝15－(4n＋3)·n-2.
22．(12分)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
则由已知可得
解得或
故an＝·3n-1或an＝－5·(－1)n-1，n∈N＋.
(2)设Sm＝＋＋…＋，
若an＝·3n-1，则＝n-1，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
从而Sm＝＝·<<1.
若an＝－5·(－1)n-1，
则＝－(－1)n-1，
故数列是首项为－，公比为－1的等比数列，
从而Sm＝
故Sm<1.
综上，对任何正整数m，总有Sm<1.
故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．(共31张PPT)
专题突破二 数列的单调性和最大(小)项
第二章
数列
一、数列的单调性
(1)定义：若数列{an}满足：对一切正整数n，都有an＋1＞an(或an＋1＜an)，则称数列{an}为递增数列(或递减数列).
(2)判断单调性的方法
①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较an＋1与an的大小；作商比较法，即作商比较an＋1与an的大小，从而判断出数列{an}的单调性.
例1 已知函数
f
(x)＝
(x≥1)，构造数列an＝f
(n)(n∈N＋).试判断数列的单调性.
∴an＋1＜an.
∴数列{an}是递减数列.
方法二 设x1＞x2≥1，则
∵x1＞x2≥1，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＜0，
∴f
(x1)－f
(x2)＜0，
即f
(x1)＜f
(x2)，
∴f
(x)在[1，＋∞)上为减函数，
∴an＝f
(n)为递减数列.
反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性.之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1跟踪训练1 数列{an}的通项公式为an＝－3×2n－2＋2×3n－1，n∈N＋.求证：{an}为递增数列.
证明 an＋1－an＝－3×2n－1＋2×3n－(－3×2n－2＋2×3n－1)
＝3(2n－2－2n－1)＋2(3n－3n－1)
＝－3×2n－2＋4×3n－1
∴an＋1－an＞0，即an＋1＞an，n∈N＋.
∴{an}是递增数列.
二、求数列中的最大(或最小)项问题
常见方法：
(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值.
45，44
故数列{an}在0反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项.
跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式an＝
(n∈N＋)，则{an}的最大项是
A.a3
B.a4
C.a5
D.a6
√
且1≤n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴{an}的最大值为a5.
例3 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N＋.
(1)数列中有多少项是负数？
解 由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.
∵n∈N＋，∴n＝2，3.
∴数列中有两项是负数.
(2)n为何值时，an有最小值？并求出其最小值.
∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
反思感悟 有时也可借助函数最值来求数列最值.但应注意函数最值点不是正整数的情形.
跟踪训练3 已知(－1)na＜1－
对任意n∈N＋恒成立，则实数a的取值范围是
_________.
解析 设f(n)＝1－
，n≥1，则f(n)单调递增.
当n为奇数时，有－a＜1－
∴当n>3，n∈N＋时，an＋1－an<0；
当1≤n≤3，n∈N＋时，an＋1－an>0.
综上，可知{an}在n∈{1，2，3}时，单调递增；
在n∈{4，5，6，7，…}时，单调递减.所以存在最大项.
反思感悟 如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦.
∴当n＝1，2，3，4，5时，bn＋1－bn＞0，即b1＜b2＜b3＜b4＜b5.
当n＝6，7，8，…时，bn＋1－bn＜0，即b6＞b7＞b8＞…，
三、利用数列的单调性确定变量的取值范围
常利用以下等价关系：
数列{an}递增 an＋1＞an恒成立；数列{an}递减 an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决.
例5 已知数列{an}中，an＝n2＋λn，n∈N＋.
(1)若{an}是递增数列，求λ的取值范围.
解 由{an}是递增数列 an－(2n＋1)，n∈N＋ λ>－3.
∴λ的取值范围是(－3，＋∞).
(2)若{an}的第7项是最小项，求λ的取值范围.
解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13].
∴k的取值范围为(2，＋∞).
跟踪训练5 数列{an}中，an＝2n－1－k·2n－1，n∈N＋，若{an}是递减数列，求实数k的取值范围.
解 an＋1＝2(n＋1)－1－k·2n＋1－1＝2n＋1－k·2n，an＋1－an＝2－k·2n－1.
∵{an}是递减数列，
∴对任意n∈N＋，有2－k·2n－1＜0，
达标检测
DABIAOJIANCE
1
2
3
4
5
1.设an＝－2n2＋29n＋3，n∈N＋，则数列{an}的最大项是
√
∴当n＝7时，an取得最大值，
最大值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.
A.有最大项，没有最小项
B.有最小项，没有最大项
C.既有最大项又有最小项
D.既没有最大项也没有最小项
√
即t＝1时，an取最大值.
所以该数列既有最大项又有最小项.
1
2
3
4
5
2
3
4
5
解析 ∵an＝－n2＋10n＋11是关于n的二次函数，
∴数列{an}是抛物线f(x)＝－x2＋10x＋11上的一些离散的点，
∴{an}前10项都是正数，第11项是0，
∴数列{an}前10项或前11项的和最大.故选C.
3.设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大
A.10
B.11
C.10或11
D.12
√
1
2
3
4
5
4.数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N＋，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项的值为________.
1
024
解析 ∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，
∴an＞an－1，即{an}单调递增，
∴{an}的最大项为a10＝2a9＝22a8＝…＝29·a1＝29·2＝210＝1
024.
1
(－11，－9)
2
3
4
5
1第2课时 等比数列的性质
学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.
知识点一 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1·qn-1
①
＝am·qn-m
②
＝·qn
③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q＞0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数．
知识点二 等比数列常见性质
(1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an-m+1(n>m且n，m∈N＋)；
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an；
(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列；
(5)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.
(6)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.
1．an＝amqn-m(n，m∈N＋)，当m＝1时，就是an＝a1qn-1.( √ )
2．等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列．( √ )
3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．( × )
4．若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．( × )
题型一 等比数列通项公式的推广应用
例1 已知等比数列{an}中．
(1)若a4＝2，a7＝8，求an；
(2)若{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.
解 (1)∵＝q7-4＝，
即q3＝4，∴q＝，
∴
(n∈N＋)．
(2)由a＝a10＝a5·q10-5，且a5≠0，
得a5＝q5，即a1q4＝q5，
又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，
解得q＝或q＝2.
∵a1＝q，且{an}为递增数列，∴
∴an＝2·2n-1＝2n(n∈N＋)．
反思感悟 (1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练1 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( )
A．21
B．42
C．63
D．84
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，
解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.
题型二 等比数列的性质及其应用
例2 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
反思感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
跟踪训练2 设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于( )
A．38
B．39
C．9
D．7
答案 C
解析 ∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，
∴log3(a1a2…a9)＝log3a＝log339＝9.
题型三 由等比数列衍生的新数列
例3 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．4
B．6
C．7
D．5
答案 D
解析 ∵{an}为等比数列，
∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，
∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)
＝5×10，
又{an}各项均为正数，
∴a4a5a6＝5.
反思感悟 借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．
跟踪训练3 等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为( )
A．32
B．64
C．128
D．256
答案 B
解析 由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且＝2，
故a36＝4×24＝64.
等比数列的实际应用
典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值．
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 (1)n年后车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5(1－10%)，a2＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
∴n年后车的价值为an＝13.5×(0.9)n万元．
(2)由(1)得a4＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．
[素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．
(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
答案 A
解析 由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.
2．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝.
3．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( )
A.
B.
C．2
D．2
答案 C
解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则＝q5＝32，则q＝2，故选C.
4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
答案 8
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7
＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)
＝(a1a8)3＝23＝8.
5．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
解 不是等比数列．
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，
∴a1a3≠a，∴数列{an}不是等比数列．
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．
2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
一、选择题
1．在等比数列{an}中，若a2
019＝8a2
016，则公比q的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
答案 A
解析 ∵a2
019＝8a2
016＝a2
016·q3，∴q3＝8，∴q＝2.
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100
B．－100
C．10
000
D．－10
000
答案 C
解析 ∵lg(a3a8a13)＝lg
a＝6，
∴a＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a＝10
000.
3．(2018·大连模拟)在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1等于( )
A．2
B．4
C.
D．2
答案 B
解析 在等比数列{an}中，a2a4＝a＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为单调递减数列，所以a2＝2，a4＝，所以q2＝＝，所以q＝(舍负)，a1＝＝4.
4．等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6.则a8等于( )
A．64
B．128
C．256
D．512
答案 B
解析 a2＋a3＝q(a1＋a2)＝3q＝6，
∴q＝2，∴a1＋a2＝a1＋2a1＝3a1＝3，
∴a1＝1.∴a8＝27＝128.
5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为( )
A.
B．3
C．±
D．±3
答案 B
解析 设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.
则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
化简得d2＝－2a1d，
∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝＝3.
6．(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( )
A．8
B．9
C．10
D．11
答案 C
解析 由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∵a1am＝9，∴a1am＝a5a6，∴m＝10，故选C.
7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于( )
A．12
B．13
C．14
D．15
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n-3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14，故选C.
二、填空题
8．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
答案 18
解析 由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.
9．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
答案 －6
解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，
∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，
解得a1＝－8，∴a2＝－6.
10．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
答案 8
解析 由等比数列的性质，得a3a11＝a，∴a＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
11．在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.
答案 1
024
解析 设等比数列{an}的公比为q，
a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1，
①
a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8，
②
②÷①得q48＝8，q16＝2，
∴a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)(q16)10＝210＝1
024.
三、解答题
12．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
解 ∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.
又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4，此时a11＝a3q8＝4×42＝64.
②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝，此时a11＝a3q8＝16×2＝1.
13．在等比数列{an}(n∈N＋)中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an；
(3)试比较an与Sn的大小．
(1)证明 因为bn＝log2an，
所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q(q＞0)为常数，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)解 因为b1＋b3＋b5＝6，
所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1＞1，
所以b1＝log2a1＞0，
又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
即即解得
因此Sn＝4n＋·(－1)＝.
又因为d＝log2q＝－1，
所以q＝，b1＝log2a1＝4，
即a1＝16，
所以an＝25－n(n∈N＋)．
(3)解 由(2)知，an＝25－n＞0，
当n≥9时，Sn＝≤0，
所以当n≥9时，an＞Sn.
又因为a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，
a7＝，a8＝，
S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，
所以当n＝3,4,5,6,7,8时，an当n＝1,2或n≥9，n∈N＋时，an＞Sn.
14．已知等比数列{an}的公比为q(q≠－1)，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N＋)，则以下结论一定正确的是( )
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2
D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm
答案 C
解析 bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋…＋qm-1)，由q≠－1易知bn≠0，＝＝qm，故数列{bn}为等比数列，公比为qm，选项A，B均错误；
cn＝a·q1＋2＋…＋(m-1)，＝＝m＝(qm)m＝，故数列{cn}为等比数列，公比为，D错误．故选C.
15．在等差数列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比数列，已知数列a1，a3，，，…，，…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式．
解 由题意得a＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
得d(d－a1)＝0，
又d≠0，∴a1＝d.
又a1，a3，，，…，，…成等比数列，
∴该数列的公比q＝＝＝3，
∴＝a1·3n+1.
又＝a1＋(kn－1)d＝kna1，
∴数列{kn}的通项公式为kn＝3n+1(n∈N＋)．2.3.2 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列前n项和公式
学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
知识点一 等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和
公式
Sn＝
Sn＝
知识点二 错位相减法
1．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．
2．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，也可以用这种方法．
思考 如果Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn-1，其中{an}是公差为d的等差数列，q≠1.两边同乘以q，再两式相减会怎样？
答案 Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn-1
，
①
qSn＝a1q＋a2q2＋…＋an－1qn-1＋anqn，
②
①－②得，(1－q)Sn＝a1＋(a2－a1)q＋(a3－a2)q2＋…＋(an－an－1)qn-1－anqn
＝a1＋d(q＋q2＋…＋qn-1)－anqn.
同样能转化为等比数列求和．
知识点三 使用等比数列求和公式时注意事项
(1)一定不要忽略q＝1的情况；
(2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q，可以用Sn＝；
(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．
1．在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q，则前3项和为.( × )
2．求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法．( √ )
3.＝.( √ )
4．等比数列前n项和Sn不可能为0.( × )
题型一 等比数列前n项和公式的直接应用
例1 求下列等比数列前8项的和：
(1)，，，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
解 (1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q<0，可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
反思感悟 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．
跟踪训练1 (1)求数列{(－1)n＋2}的前100项的和；
(2)在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数．
解 (1)方法一 a1＝(－1)3＝－1，q＝－1.
∴S100＝＝0.
方法二 数列{(－1)n+2}为－1,1，－1,1，…，
∴S100＝50×(－1＋1)＝0.
(2)设此数列的公比为q(易知q≠1)，
则解得
故此数列共有5项．
题型二 等比数列基本量的计算
例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
解 由题意，得若q＝1，
则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝－2(q＝1舍去)．
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
反思感悟 (1)an＝a1qn-1，Sn＝两公式共有5个量．解题时，有几个未知量，就应列几个方程求解．
(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．
跟踪训练2 已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
答案 63
解析 ∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且{an}是递增数列，∴a1＝1，a3＝4，则q＝2，因此S6＝＝63.
题型三 利用错位相减法求数列的前n项和
例3 求数列的前n项和．
解 设Sn＝＋＋＋…＋，
则有Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－，
即Sn＝－＝1－－.
∴Sn＝2－－＝2－(n∈N＋)．
反思感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．
跟踪训练3 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn
(x≠0)．
解 当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn+1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn+1
＝－nxn+1，
∴Sn＝－.
综上可得，Sn＝
分期付款模型
典例 小华准备购买一部售价为5
000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)
解 方法一 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则
A2＝5
000×(1＋0.008)2－x＝5
000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5
000×1.0084－1.0082x－x，
…，
A12＝5
000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝
＝≈883.5.
故小华每期付款金额约为883.5元．
方法二 设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则A2＝x；
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；
…，
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．
∵年底付清欠款，
∴A12＝5
000×1.00812，
即5
000×1.00812
＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，
∴x＝≈883.5.
故小华每期付款金额约为883.5元．
[素养评析] 本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.
1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝.
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2
B．4
C.
D.
答案 C
解析 方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，得＝＋1＋q＋q2＝.
方法二 ∵S4＝，a2＝a1q，∴＝＝.
3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是( )
A．179
B．211
C．243
D．275
答案 B
解析 ∵q4＝＝＝4，且q>0，
∴q＝，∴S5＝＝＝211.
4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
答案 11a(1.15－1)
解析 去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a，
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝____________________.
答案 (n－1)2n+1＋2(n∈N＋)
解析 ∵an＝n·2n，
∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
①
∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，
②
①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1
＝－n·2n+1＝2n+1－2－n·2n+1
＝(1－n)2n+1－2.
∴Sn＝(n－1)2n+1＋2(n∈N＋)．
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和.
一、选择题
1．等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于( )
A．4－2100
B．4＋2100
C．4－2－98
D．4－2－100
答案 C
解析 q＝＝.
S100＝＝
＝4(1－2－100)＝4－2－98.
2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
答案 B
解析 显然q≠1，由Sn＝，得93＝，解得q＝2.由an＝a1qn-1，得48＝3×2n-1，解得n＝5.故选B.
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11
B．5
C．－8
D．－11
答案 D
解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∵a1≠0，q≠0，
∴q＝－2，则＝＝－11.
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( )
A.
B．－
C.
D．－
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，
由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，
即a3＝9a1，q2＝9，
又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.
5．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于( )
A．－2
B．－1
C.
D.
答案 B
解析 由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1，故选B.
6．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于
( )
A．－6(1－3-10)
B.(1－3-10)
C．3(1－3-10)
D．3(1＋3-10)
答案 C
解析 由3an＋1＋an＝0，得＝－，
故数列{an}是公比q＝－的等比数列．
又a2＝－，可得a1＝4.
所以S10＝＝3(1－3－10)．
7．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A．300米
B．299米
C．199米
D．166米
答案 A
解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．
二、填空题
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
答案 3
解析 ∵S6＝4S3，∴q≠1，∴＝，
∴q3＝3，∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
9．数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
答案 2n－1(n∈N＋)
解析 an－an－1＝a1qn－1＝2n－1(n≥2)，
即
各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
an＝a1＋2n－2＝2n－1(n≥2)．
当n＝1时，a1＝2－1＝1，符合．
∴an＝2n－1(n∈N＋)．
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
答案
解析 由已知4S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．
∴a2＝3a3，∴{an}的公比q＝＝.
11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q＝________.
答案 －
解析 当q＝1时，
Sn＝na1，S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9；
当q≠1时，＋＝2×，
得2－q3－q6＝2－2q9，
∴2q9－q6－q3＝0，
解得q3＝－或q3＝1(舍去)或q3＝0(舍去)，
∴q＝－.
三、解答题
12．(2018·绵阳检测)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．
解 设数列{an}的公比为q(q≠0)．
由已知可得所以
解②得q＝3或q＝1.
由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．
故公比q＝3，首项a1＝1.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＝＝(n∈N＋)．
13．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an＝，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an＝，
∴a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-2an－1＝(n≥2)，
两式相减得3n-1an＝－＝(n≥2)，
∴an＝(n≥2)．
验证当n＝1时，a1＝也满足上式，
故an＝(n∈N＋)．
(2)∵bn＝＝n·3n，
∴Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，
①
①×3，得3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n+1，
②
由①－②，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n+1，
即－2Sn＝－n·3n+1，
∴Sn＝·3n+1＋(n∈N＋)．
14．在等比数列{an}中，对任意n∈N＋，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2
B.
C．4n－1
D.
答案 D
解析 ∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1，∴a1＝21－1＝1.
∵a1＋a2＝1＋a2＝22－1＝3，∴a2＝2，
∴{an}的公比为2.∴{a}的公比为4，首项为a＝1.
∴a＋a＋…＋a＝＝.
15．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n，n∈N＋.
(2)设数列的前n项和为Sn，
即Sn＝a1＋＋…＋，
①
＝＋＋…＋＋.
②
所以，当n＞1时，①－②得
＝a1＋＋…＋－
＝1－－
＝1－－＝.
所以Sn＝，当n＝1时也成立．
综上，数列的前n项和Sn＝，n∈N＋.(共42张PPT)
专题突破四 数列求和
第二章
数列
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.
2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.
3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.
4.进一步熟悉错位相减法.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一 分组分解求和法
总结 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和.
知识点二 奇偶并项求和法
思考 求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.
答案 12－22＋32－42＋…＋992－1002
＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)
＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)
＝－5
050.
总结 奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论.
知识点三 裂项相消求和法
总结 如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项.裂项相消求和常用公式：
知识点四 错位相减求和法
思考 记bn＝n·2n，求数列{bn}的前n项和Sn.
答案 ∵Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
①
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，
②
①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1
＝－2－(n－1)·2n＋1.
∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1，n∈N＋.
总结 错位相减法主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和.
利用“错位相减法”时，先写出Sn与qSn的表达式，再将两式对齐作差，正确写出(1－q)Sn的表达式；(利用此法时要注意讨论公比q是否等于1).
1.并项求和一定是相邻两项结合.( )
2.裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消.( )
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
×
×
2
题型探究
PART
TWO
题型一 分组分解求和
解 当x≠±1时，
当x＝±1时，Sn＝4n.
反思感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和.
跟踪训练1 已知正项等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝24.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 设数列{an}的公比为q(q>0)，
∴an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n.
(2)数列{bn}满足bn＝log2an，求数列{an＋bn}的前n项和.
解 bn＝log22n＝n，设{an＋bn}的前n项和为Sn，
则Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn)
＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)
＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)
题型二 裂项相消求和
以下同例2解法.
引申探究
反思感悟 求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为f
(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和法.
跟踪训练2 求和：
题型三 奇偶并项求和
例3 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1).
解 当n为奇数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)
当n为偶数时，
∴Sn＝(－1)nn
(n∈N＋).
反思感悟 通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和.
跟踪训练3 已知数列－1，4，－7，10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.
解 当n为偶数时，令n＝2k(k∈N＋)，
Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n·(3n－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]
当n为奇数时，令n＝2k－1(k∈N＋)，
∴Sn＝S2k－1＝S2k－a2k＝3k－(6k－2)
题型四 错位相减求和
例4 (2018·佛山检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝3Sn－2(n∈N＋).
(1)求数列{an}的通项公式；
解 当n＝1时，a1＝3S1－2＝3a1－2，解得a1＝1.
当n≥2时，an＝3Sn－2，an－1＝3Sn－1－2，
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
两式相减得
反思感悟 用错位相减要“能识别，按步走，慎化简”.
跟踪训练4 已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，在等差数列{bn}中，bn＞0，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列.
(1)求数列{anbn}的通项公式；
解 ∵an＝3n－1，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9.
∵在等差数列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，∴3b2＝15，则b2＝5.
设等差数列{bn}的公差为d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2.
∵bn＞0，∴d＝－10应舍去，∴d＝2，
∴b1＝3，∴bn＝2n＋1.
故anbn＝(2n＋1)·3n－1，n∈N＋.
解 由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，
①
3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，
②
①－②，得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n
＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n
＝3＋2×
－(2n＋1)3n
＝3n－(2n＋1)3n
＝－2n·3n.
∴Tn＝n·3n，n∈N＋.
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
1.数列{1＋2n－1}的前n项和为_____________________.
Sn＝n＋2n－1，n∈N＋
解析 ∵an＝1＋2n－1，
1
2
3
4
1
2
3
4
解析 由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)
＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)
＝5
000.
5
000
1
2
3
4
4.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N＋.
证明 由已知an＋1＝2an＋2n，
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
1
2
3
4
(2)在(1)的条件下求数列{an}的前n项和Sn.
∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，
两边同时乘以2得
2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
课堂小结
KETANGXIAOJIE
求数列的前n项和，一般有下列几种方法.
1.错位相减
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
2.分组求和
把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
3.裂项相消
有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
4.奇偶并项
当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论.
5.倒序相加
例如，等差数列前n项和公式的推导方法.第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
学习目标 1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
知识点一 等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．
知识点二 等比数列前n项和的性质
等比数列{an}前n项和的三个常用性质
(1)若数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍构成等比数列．
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋)．
(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．
1．等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.( √ )
2．若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.( √ )
3．若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.( √ )
4．等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn}也是递增数列．( × )
题型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2(n∈N＋)．求{an}的通项公式．
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝2·3n-1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．
∴an＝
反思感悟 (1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n-1＋t，则t＝________.
答案 －
解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
题型二 等比数列前n项和的性质
命题角度1 连续n项之和问题
例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
当q≠1时，Sn＝(1－qn)，
S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．
又Sn(S2n＋S3n)＝2(1－qn)(2－q2n－q3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
方法二 根据等比数列的性质有
S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，
Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解 因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝.
③
将③代入①得＝64，
所以S3n＝＝64×＝63.
命题角度2 不连续n项之和问题
例3 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
解 设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，
∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝64，∴a·q3＝64，得a1＝12.
故所求通项公式为an＝12×n-1，n∈N＋.
反思感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快．
跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则＝________.
答案 126
解析 ∵，
∴{
}是首项为b2，公比为2的等比数列．
∴＝＝126.
等比数列前n项和的分类表示
典例 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an，n∈N＋.求{an}的前n项和Sn.
解 由an≠0，所以＝3，于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列．
因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n-1.
于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n-1)＋2(1＋3＋…＋3n-1)＝3(1＋3＋…＋3n-1)＝，
从而S2n－1＝S2n－a2n＝－2×3n－1＝(5×3n－2－1)．
综上所述，Sn＝
[素养评析] 数学中有不少概念表达式相当抽象．只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则．本例中，涉及到很多对n的赋值，只有理解了an，a2n，S2n与S2n－1之间的联系，才能顺利挖掘出{a2n}是首项为2，公比为3的等比数列，S2n－1＝S2n－a2n等关系.
1．已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于( )
A．31
B．33
C．35
D．37
答案 B
解析 设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案 C
解析 方法一 ∵Sn＝x·3n-1－＝·3n－，
由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝，故选C.
方法二 当n＝1时，a1＝S1＝x－；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n-2，
∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n-2，
即2x·3-1＝x－，解得x＝.
3．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为( )
A．1
B.
C.
D．无法确定
答案 A
解析 由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模为1.
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于( )
A．24
B．12
C．18
D．22
答案 B
解析 设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于( )
A．8
B．6
C．4
D．2
答案 C
解析 S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．
即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．
∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg
an}构成等差数列．
2．等比数列前n项和中用到的数学思想
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0(2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn-1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系．
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解；把奇数项、偶数项、连续若干项之和等整体处理．
一、选择题
1．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于( )
A．2
B.
C．4
D.
答案 C
解析 ∵a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，
∴a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，
∴q＝＝4.
2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于( )
A．1
B．0
C．1或0
D．－1
答案 A
解析 ∵Sn－Sn－1＝an(n≥2且n∈N＋)，又{Sn}是等差数列，
∴an为定值，即数列{an}为常数列，
∴q＝＝1(n≥2且n∈N＋)．
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A.
B．－
C.
D.
答案 A
解析 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝.
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为( )
A.
B．2
C.
D．17
答案 C
解析 ＝q3＝，∴q＝.
∴＝＝1＋＝1＋q4＝.
5．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于( )
A．90
B．70
C．40
D．30
答案 C
解析 由S30＝13S10，知q≠1，由得
由等比数列的前n项和的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍去)，故选C.
6．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为( )
A．－2
B．2
C．－3
D．3
答案 B
解析 设公比为q，若q＝1，则＝2，
与题中条件矛盾，故q≠1.
∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.
∴＝＝qm＝8＝，
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
7．已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为( )
A．580
B．585
C．590
D．595
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由题意有得
∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2·＝585.
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于( )
A．2
B.
C.
D．3
答案 B
解析 由题意知q≠1，否则＝＝2≠3.
∴＝＝1＋q3＝3，
∴q3＝2.
∴＝＝＝＝.
二、填空题
9．若等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________.
答案 210
解析 由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，
S15－S10成等比数列，故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，
即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，若对任意n∈N＋，有an＋1＝Sn，则Sn＝________.
答案 n-1
解析 由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，即Sn＋1＝Sn，则数列{Sn}是以S1＝1为首项，公比q为的等比数列，所以Sn＝S1·qn-1＝n-1.
11．已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列，Sn是{an}的前n项和，且＝5，则数列的前5项和为________．
答案
解析 ＝＝1＋q2＝5，q＝±2.
∵{an}是摆动数列，∴q＝－2.
∴的首项为1，公比为－，
前5项和为＝＝.
三、解答题
12．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
解 (1)设等差数列{an}公差为d，因为a2＋a4＝2a3＝10，所以a3＝5＝1＋2d，所以d＝2，所以an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)设{bn}的公比为q，b2·b4＝a5 q·q3＝9，所以q2＝3，
所以{b2n－1}是以b1＝1为首项，q′＝q2＝3为公比的等比数列，所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝＝.
13．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)设数列{an}的公比为q，
由题意知2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴q3－2q2＋q－2＝0，
即(q－2)(q2＋1)＝0.
∴q＝2，即an＝2·2n-1＝2n，n∈N＋.
(2)由题意得，bn＝n·2n，
∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
①
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，
②
①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n+1
＝－2－(n－1)·2n+1.
∴Sn＝2＋(n－1)·2n+1，n∈N＋.
14．等比数列{an}中，a1－a3＝3，前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列，则Sn的最大值为________．
答案 4
解析 设公比为q，
由
解得
当n为奇数时，
Sn＝≤＝4，
当n为偶数时，Sn＝<.
综上，Sn的最大值为4.
15．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.
(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn.
(1)证明 当n＝1时，S1－2S1＝1－4，故S1＝3，
得S1－1＋2＝4.
n≥2时原式转化为Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－4，
即Sn＝2Sn－1－n＋4，
所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]，
所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)解 由(1)知，Sn－n＋2＝2n+1，所以Sn＝2n+1＋n－2，
于是Tn＝(22＋23＋…＋2n+1)＋(1＋2＋…＋n)－2n
＝＋－2n＝.§2.3 等比数列
2.3.1 等比数列
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
知识点一 等比数列的概念
等比数列的概念和特点．
1．文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：＝q(n≥2).
3．等比数列各项均不能为0.
知识点二 等比中项的概念
等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
对比项
等差中项
等比中项
定义
若x，A，y成等差数列，则A叫做x与y的等差中项
若x，G，y成等比数列，则G叫做x与y的等比中项
定义式
A－x＝y－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
x与y的等差中项唯一
x与y的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数x与y都有等差中项
只有当xy＞0时，x与y才有等比中项
知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N＋)．
1．若an＋1＝qan，n∈N＋，且q≠0，则{an}是等比数列．( × )
2．任何两个数都有等比中项．( × )
3．等比数列1，，，，…中，第10项为.( √ )
4．常数列既是等差数列，又是等比数列．( × )
题型一 等比数列的判定
命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列
例1 判断下列数列是否为等比数列．
(1)1,3,32,33，…，3n-1，…；
(2)－1,1,2,4,8，…；
(3)a1，a2，a3，…，an，….
解 (1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n-1，….
∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)，
∴数列为等比数列，且公比为3.
(2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，
∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列．
(3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a.
反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点：
①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.
跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是( )
①1，－2,4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
答案 C
解析 ①②显然是等比数列；由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是．
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
∴＝2(n∈N＋)．
∴数列{an＋1}是等比数列．
(2)解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.即an＝2n－1.
反思感悟 等比数列的判定方法
(1)定义法：＝q(n≥2，q是不为0的常数) {an}是公比为q的等比数列．
(2)等比中项法：a＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1均不为0) {an}是等比数列．
跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
＝＝＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n-1，∴an＝n－2·3n-1.
题型二 等比数列基本量的计算
例3 在等比数列{an}中．
(1)已知a2＝4，a5＝－，求an；
(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.
解 (1)设等比数列的公比为q，
则解得
∴an＝a1qn-1＝(－8)n-1＝n-4.
(2)设等比数列{an}的公比为q.
∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝.
∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.
∴a4＝16，an＝a4·qn-4＝16·n-4.
由16·n-4＝，得n－4＝5，∴n＝9.
反思感悟 已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．
跟踪训练3 在等比数列{an}中：
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
解 (1)由等比数列的通项公式得a6＝3×(－2)6-1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
那么解得
所以an＝a1qn-1＝5×2n-1，n∈N＋.
方程的思想在等比数列中的应用
典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解 方法一 设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得解得或
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二 设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)，
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
典例2 设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？
解 设这四个数依次为，a，aq，aq2(q≠0)，
根据题意得解得q＝－2或－，
当q＝－2时，a＝－4，
所求四个数依次为2，－4，8，－16.
当q＝－时，a＝8，
所求四个数依次为－16，8，－4，2，
综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.
[素养评析] (1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：
①若三个数成等比数列，可设三个数为，a，aq或a，aq，aq2(q≠0)．
②若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2或，，aq，aq3(q≠0)．
(2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.
1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4
B．8
C．6
D．32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n-1，2n-1＝32，所以n＝6.
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64
B．81
C．128
D．243
答案 A
解析 ∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.
3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于( )
A．607.5
B．608
C．607
D．159
答案 C
解析 ∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n-1，
∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.
4．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于( )
A．－24
B．0
C．12
D．24
答案 A
解析 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.
5．45和80的等比中项为________．
答案 －60或60
解析 设45和80的等比中项为G，
则G2＝45×80，∴G＝±60.
6．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．
解 设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
②÷①，得q＝，
将q＝代入①，得a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8.
综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N＋，且数列各项均不为零)．
2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.
一、选择题
1．2＋和2－的等比中项是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．2
答案 C
解析 设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.
2．(2018·四川广安中学高一月考)有下列四个说法：
①等比数列中的某一项可以为0；
②等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)；
③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；
④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列．
其中正确说法的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 只有③正确．
3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则a5等于( )
A．1
B．2
C．4
D．8
答案 A
解析 ∵a2a12＝a1q·a1q11＝a·q12＝a·212＝16，
∴a＝2-8，又an＞0，∴a1＝2-4，
∴a5＝a1q4＝2-4·24＝1.
4．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16
B．27
C．36
D．81
答案 B
解析 ∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
5．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
答案 B
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.
6．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9
B．10
C．11
D．12
答案 C
解析 在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.∵am＝a1qm-1＝qm-1，∴m－1＝10，∴m＝11.
7．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3
B．2
C．1
D．－2
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
二、填空题
8．在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.
答案 2
解析 a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
9．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________．
答案 80,40,20,10
解析 设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.
∴这4个数依次为80,40,20,10.
10．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
答案 1
解析 设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，
∴q＝＝＝1.
11．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________．
答案
解析 设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q石，
∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.
又0＜q＜1，∴q＝.
三、解答题
12．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
解 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.
∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0，
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴＝2，∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列．
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
13．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解 (1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，
因此an＝，n∈N＋.
14．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
15．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式；
(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
解 (1)∵2an＝3an＋1，∴＝.
又∵数列{an}的各项均为负数，∴a1＜0，
∴数列{an}是以为公比的等比数列．
∴an＝a1·qn-1＝a1·n-1，
∴a2＝a1·2-1＝a1，
a5＝a1·5-1＝a1，
又∵a2·a5＝a1·a1＝，
∴a＝.又∵a1<0，∴a1＝－.
∴an＝×n-1＝－n-2(n∈N＋)．
(2)令an＝－n-2＝－，
则n－2＝4，n＝6∈N＋，
∴－是这个等比数列中的项，且是第6项．(共39张PPT)
第2课时 等差数列前n项和的性质
第二章
2.2.2 等差数列的前n项和
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.会利用等差数列性质简化求和运算.
2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一 等差数列{an}的前n项和Sn的性质
性质1
等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列
性质2
若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，
＝
(S奇≠0)；
若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，
＝
(S奇≠0)
性质3
{an}为等差数列
为等差数列
思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？
答案 (a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)
＝3d＋3d＋3d＝9d，
(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d.
∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列.
知识点二 等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
二次
最大
2.等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
最大
最小
最小
1.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.( )
2.等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋bn.即{an}的公差为2A.( )
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
4.数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列.( )
×
√
√
√
2
题型探究
PART
TWO
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
题型一 等差数列前n项和的性质的应用
例1 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
解 方法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
反思感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
跟踪训练1 一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和.
解 设Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
题型二 求等差数列前n项和的最值问题
例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值.
解 方法一 ∵S9＝S17，a1＝25，
解得d＝－2.
＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，
又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三 同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法四 同方法一，求出公差d＝－2.设Sn＝An2＋Bn.
∵S9＝S17，
∴二次函数f(x)＝Ax2＋Bx的对称轴为x＝
＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
反思感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和.
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
②运用二次函数求最值.
跟踪训练2 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N＋).
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解 方法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
方法二 由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.
∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
题型三 求数列{|an|}的前n项和
例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解 ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
反思感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}.若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和.
跟踪训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N＋).
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)
＝n2－10n＋50，
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
用数形结合思想求解数列中的参数问题
典例 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时
Sn取得最大值，则d的取值范围为____________.
解析 方法一 由当且仅当n＝8时Sn最大，知a8＞0且a9＜0，
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于
A.13
B.35
C.49
D.63
√
1
2
3
4
5
2.若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于
A.12
B.13
C.14
D.15
√
解析 ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.
1
2
3
4
5
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于
A.63
B.45
C.36
D.27
√
解析 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，
而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
1
2
3
4
5
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为
A.5
B.6
C.7
D.8
√
解析 由7a5＋5a9＝0，即7a1＋28d＋5a1＋40d＝0，
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.
1
2
3
4
5
5.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋3n，p－q＝5，则ap－aq＝________.
20
∴ap－aq＝(p－q)d＝5×4＝20.
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形
3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.
2.求等差数列前n项和最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.专题突破三 数列通项公式的求法
求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法.
一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
例1 由数列的前n项，写出通项公式：
(1)3,5,3,5,3,5，…；
(2)，，，，，…；
(3)2，，，，，…；
(4)，，，，，….
解 (1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为an＝4＋(－1)n，n∈N＋.
(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)数列可化为1＋1,2＋，3＋，4＋，5＋，…，
所以它的一个通项公式为an＝n＋，n∈N＋.
(4)数列可化为，，，，，…，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
反思感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一．
跟踪训练1 由数列的前几项，写出通项公式：
(1)1，－7,13，－19,25，…；
(2)，，，，，…；
(3)1，－，，－，….
解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n+1(6n－5)，n∈N＋.
(2)数列化为，，，，，…，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)数列化为，－，，－，…，
所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n+1，n∈N＋.
二、利用递推公式求通项公式
命题角度1 累加、累乘
例2 (1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式；
(2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an.
解 (1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，
即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)．
即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
又a1＝1也适合上式，∴an＝，n∈N＋.
(2)由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，
代入上式得(n－1)个等式，累乘，即···…·＝×××…×(n≥2)．
∴＝，又∵a1＝，∴an＝.
又a1＝也适合上式，∴an＝，n∈N＋.
反思感悟 形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用叠加法，步骤如下：
第一步 将递推公式写成an＋1－an＝f(n)；
第二步 当n≥2时，依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们叠加起来；
第三步 得到an－a1的值，解出an；
第四步 检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．叠乘法类似．
跟踪训练2 在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1(n＝2,3,4，…)，求{an}的通项公式．
解 ∵当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，这n－1个等式累加得，
an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝，
故an＝＋a1＝且a1＝1也满足该式，
∴an＝(n∈N＋)．
命题角度2 构造等差(比)数列
例3 已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝________.
答案 2×3n-1－1
解析 设an＋1＋A＝3(an＋A)，化简得an＋1＝3an＋2A.
又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1.
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.
∴数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3.
则an＋1＝2×3n-1，即an＝2×3n-1－1.
反思感悟 形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：
第一步 假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；
第二步 由待定系数法，解得t＝；
第三步 写出数列的通项公式；
第四步 写出数列{an}通项公式．
跟踪训练3 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式．
解 设an＋1＋λ×5n+1＝2(an＋λ×5n)，
①
将an＋1＝2an＋3×5n代入①式，
得2an＋3×5n＋λ×5n+1＝2an＋2λ×5n，
等式两边消去2an，得3×5n＋λ×5n+1＝2λ×5n，
两边除以5n，得3＋5λ＝2λ，则λ＝－1，
代入①式得an＋1－5n+1＝2(an－5n)．
②
由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，
则＝2，
则数列{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
则an－5n＝2n-1，故an＝2n-1＋5n(n∈N＋)．
命题角度3 预设阶梯转化为等差(比)数列
例4 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.
因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)解 由(1)，可知an－n＝4n-1，n∈N＋，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n，n∈N＋.
反思感悟 课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学者证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深．
跟踪训练4 在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N＋)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，
整理得－＝3(n≥2)，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
(2)解 由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝，n∈N＋.
三、利用前n项和Sn与an
的关系求通项公式
例5 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N＋，则an等于( )
A．2n+1
B．2n
C．2n-1
D．2n-2
答案 A
解析 因为Sn＝2an－4，所以n≥2时，Sn-1＝2an-1－4，两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an-1，整理得an＝2an－1，因为S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以＝2.所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＝4×2n-1＝2n+1，故选A.
反思感悟 已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)的解题步骤：
第一步 利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式；
第二步 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；
第三步 若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．如果求出的是{an}的递推公式，则问题化归为例3形式的问题．
跟踪训练5 在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式an.
解 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，得
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an，
两式作差得nan＝an＋1－an，
得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，
即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2·3n-2.
于是an＝
1．已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )
A．an＝(－1)n-1＋1
B．an＝
C．an＝2sin
D．an＝cos(n－1)π＋1
答案 C
解析 对n＝1,2,3,4进行验证，知an＝2sin
不合题意，故选C.
2．数列0，，，，…的一个通项公式为( )
A．an＝(n∈N＋)
B．an＝(n∈N＋)
C．an＝(n∈N＋)
D．an＝(n∈N＋)
答案 C
解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则an＝________.
答案
解析 因为an＝an－1(n≥2)，
所以an－1＝an－2，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时，a1＝1也满足an＝.
综上an＝.
4．数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n＋1，n∈N＋，则它的通项公式为________．
答案 an＝
解析 当n＝1时，a1＝S1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2.
故数列{an}的通项公式为an＝
5．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式是________．
答案 an＝4n-1
解析 依题意a1＋4a1＋42a1＝21，
所以a1＝1，
所以an＝a1qn-1＝4n-1.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n.求{an}的通项公式．
解 因为Sn＝2n2－3n，
所以当n≥2时，
Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，
所以an＝Sn－Sn－1＝4n－5，n≥2，
又当n＝1时，a1＝S1＝－1，满足an＝4n－5，
所以an＝4n－5，n∈N＋.
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.证明{an}是等比数列，并求其通项公式．
解 由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，
得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，
所以＝.
所以{an}是首项为，公比为的等比数列，
所以an＝n－1，n∈N＋.
一、选择题
1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N＋)，则a100的值是( )
A．9
900
B．9
902
C．9
904
D．11
000
答案 B
解析 a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2
＝2×＋2＝9
902.
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项为( )
A．2n－1
B．2n＋1
C.
D.
答案 C
解析 ∵an＋1＝，a1＝1，∴－＝2.
∴为等差数列，公差为2，首项＝1.
∴＝1＋(n－1)·2＝2n－1，
∴an＝.
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的通项公式an等于( )
A．2n
B．n(n＋1)
C.
D.
答案 C
解析 ∵an＋1＝an＋，∴2n+1an＋1＝2nan＋2，
即2n+1an＋1－2nan＝2.
又21a1＝2，
∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴an＝.
4．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an等于( )
A.
B.
C.
D．8n
答案 A
解析 ∵a－a＝4，
∴数列{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，
∴a＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又an>0，∴an＝.
5．已知数列{an}满足：Sn＝1－an(n∈N＋)，其中Sn为数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式an等于( )
A.
B.n
C．21-2n
D．2n
答案 B
解析 因为Sn＝1－an，
①
所以Sn＋1＝1－an＋1，
②
②－①得an＋1＝－an＋1＋an，所以an＋1＝an.
n＝1时，a1＝1－a1，解得a1＝，
所以{an}是首项为，公比为的等比数列，
所以an＝·n-1＝n.
6．某种细胞开始时有2个，一小时后分裂为4个并死去1个，两小时后分裂为6个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数为( )
A．2100－1
B．2100＋1
C．299－1
D．299＋1
答案 B
解析 由题意得∴＝2，
∴an＝2n-1＋1，∴a101＝2101-1＋1＝2100＋1.
二、填空题
7．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
答案 2n-1
解析 当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，
∴an＝2an－1，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an＝2n-1，n∈N＋.
8．等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
则数列{an}的通项公式为________．
答案 an＝2·3n-1
解析 当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.
所以公比q＝3，故an＝2·3n-1.
9．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案 n
解析 当n≥2时，an＝··…···a1＝··…··＝n，
n＝1时，a1＝1也符合此式．
10．数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝(n≥2且n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为an＝________.
答案 2－
解析 ∵an－an－1＝(n≥2)，a1＝1，
∴a2－a1＝＝1－，
a3－a2＝＝－，
a4－a3＝＝－，…，
an－an－1＝＝－.
以上各式累加，得
an－a1＝＋＋…＋＝1－.
∴an＝a1＋1－＝2－，当n＝1时，2－＝1＝a1，
∴an＝2－，故数列{an}的通项公式为an＝2－.
11．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
答案 (－2)n-1
解析 当n＝1时，a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
故＝－2，故an＝(－2)n-1.
三、解答题
12．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，数列{bn}中，b1＝1，且点(bn＋1，bn)在直线y＝x－1上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解 (1)∵an＋1＝2an＋3，
∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
∴＝2，
又∵a1＋3＝4，
∴数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴an＋3＝4·2n-1＝2n＋1，∴an＝2n+1－3，n∈N＋.
(2)∵(bn＋1，bn)在直线y＝x－1上，
∴bn＝bn＋1－1，即bn＋1－bn＝1，又b1＝1，
∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴bn＝n，n∈N＋.
13．已知Sn＝4－an－，求an与Sn.
解 ∵Sn＝4－an－，
∴Sn－1＝4－an－1－，n≥2，
当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.
∴an＝an－1＋n-1.
∴－＝2，
∴2nan－2n-1an－1＝2，
∴{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1.
∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，
∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.
∴an＝n·n-1，n∈N＋，
∴Sn＝4－an－＝4－n·－＝4－.
14．若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整数)，则它的通项公式an为________________．
答案 an＝
解析 由题意知an>0，将an＋1＝a两边取对数得lg
an＋1＝2lg
an，即＝2，所以数列{lg
an}是以lg
a1＝lg
3为首项，2为公比的等比数列，lg
an＝(lg
a1)·2n－1＝lg
，即an＝.
15．已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求{an}的通项an.
(1)证明 因为an＋1＝，
所以＝＝＋.
所以－＝.
又a1＝1，所以－＝，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知－＝·n-1＝，
即＝＋，所以an＝.专题突破四 数列求和
学习目标 1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法．
知识点一 分组分解求和法
思考 求和：1＋2＋3＋…＋.
答案 1＋2＋3＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝＋
＝＋1－.
总结 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．
知识点二 奇偶并项求和法
思考 求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.
答案 12－22＋32－42＋…＋992－1002
＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)
＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)
＝－5
050.
总结 奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论．
知识点三 裂项相消求和法
思考 我们知道
＝－，试用此公式求和：＋＋…＋.
答案 由＝－得
＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－.
总结 如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式：
(1)＝(－)；
(2)＝(－)；
(3)＝(－)；
(4)＝[－]．
知识点四 错位相减求和法
思考 记bn＝n·2n，求数列{bn}的前n项和Sn.
答案 ∵Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
①
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，
②
①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n+1
＝－2－(n－1)·2n+1.
∴Sn＝2＋(n－1)·2n+1，n∈N＋.
总结 错位相减法主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
利用“错位相减法”时，先写出Sn与qSn的表达式，再将两式对齐作差，正确写出(1－q)Sn的表达式；(利用此法时要注意讨论公比q是否等于1)．
1．并项求和一定是相邻两项结合．( × )
2．裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消．( × )
题型一 分组分解求和
例1 求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)．
解 当x≠±1时，
Sn＝2＋2＋…＋2
＝＋＋…＋
＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋
＝＋＋2n
＝＋2n；
当x＝±1时，Sn＝4n.
综上知，Sn＝
反思感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
跟踪训练1 已知正项等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝24.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足bn＝log2an，求数列{an＋bn}的前n项和．
解 (1)设数列{an}的公比为q(q>0)，
则
解得
∴an＝a1·qn-1＝2·2n-1＝2n.
(2)bn＝log22n＝n，设{an＋bn}的前n项和为Sn，
则Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn)
＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)
＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)
＝＋
＝2n+1－2＋n2＋n.
题型二 裂项相消求和
例2 求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N＋.
解 ∵＝＝，
∴原式＝
＝
＝－(n≥2，n∈N＋)．
引申探究
求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N＋.
解 ∵＝＝1＋，
∴原式＝＋＋＋…＋
＝(n－1)＋
以下同例2解法．
反思感悟 求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为f
(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和法．
跟踪训练2 求和：
1＋＋＋…＋，n∈N＋.
解 ∵an＝＝＝2，
∴Sn＝2＝.
题型三 奇偶并项求和
例3 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．
解 当n为奇数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)
＝2·＋(－2n＋1)＝－n.
当n为偶数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.
∴Sn＝(－1)nn
(n∈N＋)．
反思感悟 通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．
跟踪训练3 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.
解 当n为偶数时，令n＝2k(k∈N＋)，
Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n·(3n－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]
＝3k＝n；
当n为奇数时，令n＝2k－1(k∈N＋)，
∴Sn＝S2k－1＝S2k－a2k＝3k－(6k－2)
＝2－3k＝.
∴Sn＝
题型四 错位相减求和
例4 (2018·佛山检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝3Sn－2(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解 (1)当n＝1时，a1＝3S1－2＝3a1－2，解得a1＝1.
当n≥2时，an＝3Sn－2，an－1＝3Sn－1－2，
两式相减得an－an－1＝3an，化简得an＝－an－1，
所以数列{an}是首项为1，公比为－的等比数列，
所以an＝n-1，n∈N＋.
(2)由(1)可得nan＝n·n-1.
Tn＝1·0＋2·1＋3·2＋…＋n·n-1，
－Tn＝1·1＋2·2＋…＋(n－1)·n-1＋n·n，
两式相减得
Tn＝1＋1＋2＋…＋n-1－n·n＝－n·n＝－·n.
所以数列{nan}的前n项和Tn＝－·n.
反思感悟 用错位相减要“能识别，按步走，慎化简”．
跟踪训练4 已知数列{an}的通项公式为an＝3n-1，在等差数列{bn}中，bn＞0，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列．
(1)求数列{anbn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
解 (1)∵an＝3n－1，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9.
∵在等差数列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，∴3b2＝15，则b2＝5.
设等差数列{bn}的公差为d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2.
∵bn＞0，∴d＝－10应舍去，∴d＝2，
∴b1＝3，∴bn＝2n＋1.
故anbn＝(2n＋1)·3n-1，n∈N＋.
(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n-2＋(2n＋1)3n-1，
①
3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n-1＋(2n＋1)3n，
②
①－②，得
－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n-1－(2n＋1)3n
＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n
＝3＋2×－(2n＋1)3n
＝3n－(2n＋1)3n
＝－2n·3n.
∴Tn＝n·3n，n∈N＋.
1．数列{1＋2n-1}的前n项和为________．
答案 Sn＝n＋2n－1，n∈N＋
解析 ∵an＝1＋2n-1，
∴Sn＝n＋＝n＋2n－1.
2．数列的前2
018项和为________．
答案
解析 因为＝2，
所以S2
018＝2
＝2＝.
3．已知数列an＝则S100＝________.
答案 5
000
解析 由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)
＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)
＝5
000.
4．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N＋.
(1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；
(2)在(1)的条件下求数列{an}的前n项和Sn.
(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，
得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.
∴an＝n·2n-1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n-1，
两边同时乘以2得
2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n-1＋n·2n，
两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n-1－n·2n
＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
求数列的前n项和，一般有下列几种方法．
1．错位相减
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
2．分组求和
把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
3．裂项相消
有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
4．奇偶并项
当数列通项中出现(－1)n或(－1)n+1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论．
5．倒序相加
例如，等差数列前n项和公式的推导方法．
一、选择题
1．数列2，4，6，…的前n项和Sn为( )
A．n2＋1＋
B．n2＋2－
C．n(n＋1)＋－
D．n(n＋1)＋
答案 C
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，Sn＝10，则n等于( )
A．90
B．119
C．120
D．121
答案 C
解析 an＝＝－，∴Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10，∴n＋1＝121，故n＝120.
3．数列，，，…，，…的前n项和为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由数列通项公式＝，
得前n项和Sn＝(－＋－＋－＋…＋－)
＝＝.
4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，n∈N＋，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项的和是( )
A.n(n＋2)
B.n(n＋4)
C.n(n＋5)
D.n(n＋7)
答案 C
解析 ∵a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n.
∴bn＝n＋2，∴{bn}的前n项和Sn＝.
5．如果一个数列{an}满足an＋an＋1＝H
(H为常数，n∈N＋)，则称数列{an}为等和数列，H为公和，Sn是其前n项的和，已知等和数列{an}中，a1＝1，H＝－3，则S2
019等于( )
A．－3
016
B．－3
015
C．－3
026
D．－3
013
答案 C
解析 S2
019＝a1＋(a2＋a3＋…＋a2
019)
＝a1＋1
009×H＝1＋1
009×(－3)＝－3
026.
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，n∈N＋，则an等于( )
A．2＋ln
n
B．2＋(n－1)ln
n
C．2＋nln
n
D．1＋n＋ln
n
答案 A
解析 ∵an＋1＝an＋ln，
∴an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－ln
n.
又a1＝2，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln
2－ln
1＋ln
3－ln
2＋ln
4－ln
3＋…＋ln
n－ln(n－1)]＝2＋ln
n－ln
1＝2＋ln
n.
二、填空题
7．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，n∈N＋，则S50＝________.
答案 －25
解析 S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.
8．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，n∈N＋，则S15＋S22－S31的值是________．
答案 －76
解析 S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，
S22＝－4×11＝－44，
S31＝－4×15＋a31＝－60＋121＝61，
S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在f(x)的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.
解 由题得an＝2n－3n－1，
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)－3(1＋2＋3＋…＋n)－n
＝－3·－n
＝2n＋1－－2.
10．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以
解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
所以an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝×
＝×，
所以Tn＝×(1－＋－＋…＋－)
＝×(1－)＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
11．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)由已知，得当n>1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22n＋1，
an＝22n－1，
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，
①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.
②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式．
(2)令cn＝
设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.
解 (1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，
得解得
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.
(2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝n(n＋2)，
则n为奇数时，cn＝＝－.
n为偶数时，cn＝2n－1，
所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)
＝＋(2＋23＋…＋22n－1)
＝1－＋＝＋(4n－1)．阶段训练三(范围：§2.1～§2.3)
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a4·a8＝2，a2＋a10＝3，则等于( )
A．2
B.
C．2或
D．－2或－
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q.由等比数列的性质可得a2·a10＝2，又a2＋a10＝3，所以a2＝1，a10＝2或a2＝2，a10＝1，所以q8＝2或q8＝，所以＝2或＝.
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案 B
解析 3S3－3S2＝3a3＝a4－a3 a4＝4a3 q＝4.
3．(2018·全国Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( )
A．－12
B．－10
C．10
D．12
答案 B
解析 方法一 设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
方法二 设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4.
∴S5＝＝＝8＝.
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
答案 B
解析 由题意可知，塔每一层的灯数由上至下构成等比数列．设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.
6．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )
A．16
B．26
C．30
D．80
答案 C
解析 由题意得q>0且q≠1，因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列．
设S2n＝x(x>0)，则2，x－2,14－x成等比数列，(x－2)2＝2(14－x)，解得x＝6.
由S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，可得(6－2)×(S4n－14)＝(14－6)2，解得S4n＝30.
7．已知公差d不为零的等差数列{an}的首项，a1＝50，a7，a15，a17成等比数列，则使{an}的前n项和Sn取得最大值的n的值为( )
A．16
B．17
C．18
D．19
答案 B
解析 由题意可知a＝a7a17，即(50＋14d)2＝(50＋6d)(50＋16d)，解得d＝－3或d＝0(舍去)，则Sn＝50n＋n(n－1)·(－3)＝＝－2＋，因为n为整数，所以当n＝17时，Sn取得最大值，故选B.
8．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和．若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为( )
A．8
B．9
C．10
D．16
答案 A
解析 ∵S16＝＝8(a8＋a9)>0，∴a8＋a9>0，即a8>－a9.
∵S17＝＝17a9<0，∴a9<0，a8>－a9>0，则当n＝8时，Sn最大，故选A.
二、填空题
9．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则它的通项公式是________________________．
答案 an＝
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，不符合上式，
∴an＝
10．已知等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则这个数列的前n项和最大时n＝________.
答案 15
解析 方法一 设数列{an}的公差为d，
∵S10＝S20，∴10×29＋d＝20×29＋d，
解得d＝－2，∴an＝－2n＋31，
设这个数列的前n项和最大，
则需即
∴14.5≤n≤15.5，∵n∈N＋，∴n＝15.
方法二 设数列{an}的公差为d，
∵S10＝S20，∴10×29＋d＝20×29＋d，
解得d＝－2.
等差数列{an}的前n项和Sn
＝n2＋(a1－)n是关于n的不含常数项的二次函数，根据其图象的对称性，由S10＝S20，知n＝＝15是其对称轴，
由d＝－2知二次函数的图象开口向下，
故n＝15时Sn最大．
11．已知an＝2n，bn＝，则{bn}的前n项和Tn＝__________________.
答案
解析 ＝，
Tn＝
＝
＝.
三、解答题
12．(2018·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解 (1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9(n∈N＋)．
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
13．设数列{an}前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)当n＝1时，T1＝2S1－1，
∵T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，求得a1＝1.
(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，
∴Sn＝2Sn－1＋2n－1，①
∴Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②
②－①得an＋1＝2an＋2，
∴an＋1＋2＝2(an＋2)，求得a1＋2＝3，a2＋2＝6，
∴an＋2≠0.∴＝2(n≥2)．
又＝2，也满足上式，
∴{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．
∴an＋2＝3·2n-1，∴an＝3·2n-1－2，n∈N＋.
14．已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且＝，则数列{|log2an|}的前10项和为________．
答案 58
解析 根据题意＝＝q3，所以q＝，从而有an＝32·n-1＝27-2n，所以log2an＝7－2n，所以有|log2an|＝|2n－7|，所以数列的前10项和为5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝＋＝58.
15．在等比数列{an}中，an>0
(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值．
解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a＋2a3a5＋a＝25，
又an>0，∴a3＋a5＝5.
又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，
∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
∴q＝，a1＝16，∴an＝16×()n-1＝25-n.
(2)bn＝log2an＝5－n，
∴bn＋1－bn＝－1，
∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，
∴Sn＝，∴＝，
∴当n≤8时，>0；
当n＝9时，＝0；
当n>9时，<0.
∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大．(共38张PPT)
章末复习
第二章
数列
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.
2.熟练掌握解决等差数列、等比数列问题的基本技能.
3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
知识梳理
题型探究
达标检测
1
知识梳理
PART
ONE
1.等差数列和等比数列的基本概念与公式
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
递推公式
an＋1－an＝d
＝q
2.数列中的基本方法和思想
(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了
法和
法；
(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了
法和_________法.
(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意
个求其余
个，用到了方程思想.
(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了
思想.
叠加
叠乘
倒序相加
错位相减
三
两
函数
2
题型探究
PART
TWO
解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，
an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有
由q(6＋d)＝64知q为正有理数，
又由q＝
知d为6的因子1，2，3，6之一，解①②得d＝2，q＝8，
故an＝2n＋1，bn＝8n－1.
题型一 方程思想求解数列问题
例1 等差数列{an}各项为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝1且b2S2＝64，{
}是公比为64的等比数列，求{an}，{bn}的通项公式.
反思感悟 在等比数列和等差数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量.
跟踪训练1 记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
解 设数列{an}的公差为d，
题型二 转化与化归思想求解数列问题
例2 在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
证明 ∵Sn＋1＝4an＋2，
①
∴当n≥2，n∈N＋时，Sn＝4an－1＋2.
②
①－②得an＋1＝4an－4an－1.
方法一 对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得
即cn＋1＋cn－1＝2cn，
∴数列{cn}是等差数列.
由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，
则a2＝3a1＋2＝5，
方法二 ∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，
令bn＝an＋1－2an，
则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝3·2n－1.
(2)
求数列{an}的通项公式及前n项和的公式.
∴an＝(3n－1)·2n－2.
∴Sn＋1＝4an＋2＝2n(3n－1)＋2.
∴Sn＝2n－1·(3n－4)＋2(n≥2).
当n＝1时，S1＝1＝a1，符合.
∴Sn＝2＋(3n－4)·2n－1(n∈N＋).
反思感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出.
跟踪训练2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋).
(1)求a2，a3的值；
解 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，
∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，
∴a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，
∴a3＝8.
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列.
证明 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，
①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1).
②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2
＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2
＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2).
∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.
故n＝20时，Sn最大，即前20项之和最大.
题型三 函数思想求解数列问题
命题角度1 借助函数性质解数列问题
多维探究
例3 一个等差数列{an}中，3a8＝5a13，a1>0.若Sn为{an}的前n项和，则S1，S2，…，Sn中没有最大值？请说明理由.
解 因为此等差数列不是常数列，所以其前n项和Sn是关于n的二次函数，
我们可以利用配方法，结合二次函数的性质求解.
设{an}的首项为a1，公差为d，则有3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，
反思感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或{1，2，3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响.
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝2n－2
019，问这个数列前多少项的和最小？
解 设an＝2n－2
019，对应的函数为y＝2x－2
019，
易知y＝2x－2
019在R上单调递增，
因此，数列{an}为单调递增数列，a1
009<0，a1
010>0，
故当1≤n≤1
009时，an<0；当n>1
009时，an>0.
∴数列{an}中前1
009项的和最小.
命题角度2 以函数为载体给出数列
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.
解 Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
反思感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题.
跟踪训练4 设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________.
2n2＋3n
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，则b＝1，
所以f(x)＝kx＋1(k≠0).
又[f(4)]2＝f(1)f(13)，
所以(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2.
所以f(x)＝2x＋1，则f(2n)＝4n＋1.
所以{f(2n)}是公差为4的等差数列.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于
A.6
B.7
C.8
D.9
√
解析 设等差数列{an}的公差为d，
∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，
故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.
1
2
3
4
5
2.数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为
A.2100－101
B.299－101
C.2100－99
D.299－99
√
所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)
1
2
3
4
5
3.在等比数列{an}中，已知a2＝4，a6＝16，则a4＝_____.
8
∴a4＝－8舍去.∴a4＝8.
1
2
3
4
5
4.等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝_____.
5
1
2
3
4
5
所以n＝3时，nan的值最小.
an＝3n－16
3
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题.
2.数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.
3.在求通项求和的基础上，可以借助不等式、单调性等研究数列的最值、取值范围、存在性问题.第2课时 等差数列前n项和的性质
学习目标 1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值．
知识点一 等差数列{an}的前n项和Sn的性质
性质1
等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列
性质2
若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；
若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0)
性质3
{an}为等差数列 为等差数列
思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？
答案 (a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3d＋3d＋3d＝9d，
(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d.
∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列．
知识点二 等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．
2．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
1．等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．( × )
2．等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋bn.即{an}的公差为2A.( √ )
3．若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.( √ )
4．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列．( √ )
题型一 等差数列前n项和的性质的应用
例1 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
解 (1)方法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(2)＝＝＝＝＝.
反思感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
跟踪训练1 一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．
解 设Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴Sn＝－n2＋n.
∴S110＝－×1102＋×110＝－110.
题型二 求等差数列前n项和的最值问题
例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．
解 方法一 ∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，
解得d＝－2.
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，
由得
又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三 同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法四 同方法一，求出公差d＝－2.设Sn＝An2＋Bn.
∵S9＝S17，
∴二次函数f(x)＝Ax2＋Bx的对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
反思感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和．
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．
②运用二次函数求最值．
跟踪训练2 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N＋)．
(2)方法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二 由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
题型三 求数列{|an|}的前n项和
例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解 ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.
∴Tn＝
反思感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．
跟踪训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2＝16，S4＝24，得
即解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N＋)．
由an≥0，解得n≤5，则
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)
＝n2－10n＋50，
故Tn＝
用数形结合思想求解数列中的参数问题
典例 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
答案
解析 方法一 由当且仅当n＝8时Sn最大，知a8＞0且a9＜0，
于是解得－1＜d＜－，
故d的取值范围为.
方法二 Sn＝n2＋n.
对称轴为＝－，
∵n＝8时，Sn取最大值．∴7.5＜－＜8.5，
即－8＜＜－7，∴d∈.
[素养评析] 利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷，等差数列{an}(a1>0，d<0或a1<0，d>0)中，an＝dn＋(a1－d)，其图象为y＝dx＋(a1－d)上的一系列点，要求Sn的最大(小)值，只需找出距x轴最近的两个点；Sn＝n2＋n，其图象为y＝x2＋x上的一系列点．要求Sn的最大(小)值，只需找出距对称轴最近的点.
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13
B．35
C．49
D．63
答案 C
解析 S7＝＝7·＝7·＝49.
2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( )
A．12
B．13
C．14
D．15
答案 B
解析 ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63
B．45
C．36
D．27
答案 B
解析 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
答案 B
解析 由7a5＋5a9＝0，即7a1＋28d＋5a1＋40d＝0，
得＝－.
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.
5．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋3n，p－q＝5，则ap－aq＝________.
答案 20
解析 由Sn＝n2＋n＝2n2＋3n知公差d＝4，
∴ap－aq＝(p－q)d＝5×4＝20.
1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形
(1)Sn＝n·；
(2)Sn＝n2＋n；
(3)＝n＋.
2．求等差数列前n项和最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.
一、选择题
1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( )
A．11或12
B．12
C．13
D．12或13
答案 D
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列．
又a1＝24，d＝－2，
∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n
＝－2＋.
∵n∈N＋，∴当n＝12或13时，Sn最大，故选D.
2．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为( )
A．160
B．180
C．200
D．220
答案 B
解析 由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，
由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，
于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180.
3．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2
B．－1
C．0
D．1
答案 B
解析 ∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn，
∴λ＝－1.
4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2
011＝S2
016，Sk＝S2
008，则正整数k为( )
A．2
017
B．2
018
C．2
019
D．2
020
答案 C
解析 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2
011＝S2
016，Sk＝S2
008，可得＝，解得k＝2
019.故选C.
5．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
答案 B
解析 因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有
所以即≤k≤.
因为k∈N＋，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.
6．已知{an}为项数为2n＋1的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
7．已知等差数列{an}中，a1
009＝4，S2
018＝2
018，则S2
019等于( )
A．－2
019
B．2
019
C．－4
038
D．4
038
答案 C
解析 因为{an}是等差数列，所以S2
018＝1
009(a1＋a2
018)＝1
009(a1
009＋a1
010)＝2
018，则a1
009＋a1
010＝2.又a1
009＝4，所以a1
010＝－2，则S2
019＝＝2
019a1
010＝－4
038.
8．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，则k的值为( )
A．22
B．21
C．20
D．19
答案 C
解析 对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，即Sk为Sn的最大值．
因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，
当Sn取得最大值时，满足解得19≤n≤20.
即满足对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立的k的值为20.
二、填空题
9．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1(n∈N＋)，则它的通项公式是______________________．
答案 an＝
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，不符合上式，
∴an＝
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
答案 4或5
解析 由解得
∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5且同时最大．
∴n＝4或5.
11．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝(n∈N＋)，则＋＝________.
答案
解析 设An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，则n≥2，n∈N＋时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，则＝＝，＝＝，所以＋＝＋＝.
三、解答题
12．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值．
解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，
得解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N＋.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
13．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0
(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴{an}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N＋.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2.
∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；
当n＝5时，an＝0；
当n<5时，an>0.
∴当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
∴Tn＝
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n等于( )
A．12
B．14
C．16
D．18
答案 B
解析 因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
15．已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈N＋)，则＋＝________.
答案
解析 因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以＋＝＝＝＝＝.§2.1 数 列
2.1.1 数 列
学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
知识点一 数列及其有关概念
1．按照一定次序排列起来的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….
2.
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
思考 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案 不是．顺序不一样．
知识点二 通项公式
如果数列的第n项an与序号n之间的关系可以用一个函数式an＝f
(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一．
知识点三 数列的分类
1．按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
2．按项的大小变化分类：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项都相等的数列叫做常数列．
1．1,1,1,1是一个数列．( √ )
2．数列1,3,5,7，…的第10项是21.( × )
3．每一个数列都有通项公式．( × )
4．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × )
题型一 数列的分类
例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
答案 C
解析 A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．
反思感悟 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)2
010,2
012,2
014,2
016,2
018；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)－，，－，，…；
(5)1,0，－1，…，sin
，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列．
题型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－，，－；
(2)，2，，8；
(3)9,99,999,9
999.
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)各项加1后，变为10,100,1
000,10
000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋.
反思感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系．
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－，，－，；
(2)，，，；
(3)7,77,777,7
777.
解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9
999，
即×(10－1)，×(100－1)，×(1
000－1)，×(10
000－1)，
即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)，
所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N＋.
题型三 数列通项公式的简单应用
例3 (1)已知数列，，，，…，那么0.94,0.96，0.98，0.99中是该数列中某一项值的数应当有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案 C
解析 数列，，，，…的通项公式为an＝，
0.94＝＝，0.96＝＝，0.98＝＝，0.99＝，
，，都在数列中，故有3个．
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝2n2－10n＋4.
问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值．
解 ∵an＝2n2－10n＋4＝22－，
∴当n＝2或3时，an取得最小值，其最小值为a2＝a3＝－8.
反思感悟 (1)判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．
(2)利用函数的性质研究数列的单调性与最值．
跟踪训练3 (1)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，那么是这个数列的第______项．
答案 10
解析 ∵＝，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
(2)已知数列{an}中，an＝－n2＋25n(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第________项．
答案 12或13
解析 ∵an＝－2＋2是关于n的二次函数，又n∈N＋，
∴当n＝12或n＝13时，an最大．
归纳法求数列的通项公式
典例 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有_______小圆圈．
答案 n2－n＋1
解析 观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1.故第n个图中小圆圈的个数为(n－1)·n＋1＝n2－n＋1.
[素养评析] 归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题．本例完美诠释了“观察现象，归纳规律，大胆猜想，小心求证”这一认识发展规律．
1．下列叙述正确的是( )
A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C．数列0,1,0,1，…是常数列
D．数列是递增数列
答案 D
解析 由数列的通项an＝知，
an＋1－an＝－＝>0，
即数列是递增数列，故选D.
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A．an＝n，n∈N＋
B．an＝n＋1，n∈N＋
C．an＝n＋2，n∈N＋
D．an＝2n，n∈N＋
答案 B
解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N＋.
3．数列{an}中，an＝2n2－3，n∈N＋，则125是这个数列的第________项．
答案 8
解析 令2n2－3＝125，解得n＝8(n＝－8舍去)．
所以125是该数列的第8项．
4．已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N＋，则a1＝________；an＋1＝________.
答案 1
解析 a1＝＝1，
an＋1＝＝.
5．写出数列：1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式．
解 该数列的通项公式为an＝(－1)n+1·(2n－1)，n∈N＋.
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
一、选择题
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0
B．0,1,0,1
C．,0,,0
D．2,0,2,0
答案 A
解析 当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N＋，则－8是该数列的( )
A．第5项
B．第6项
C．第7项
D．非任何一项
答案 C
解析 解n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1
B．an＝
C．an＝
D．an＝n2＋1
答案 C
解析 令n＝1,2,3,4，代入A，B，C，D检验，即可排除A，B，D，故选C.
4．数列，，，，…的第10项是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝，n∈N＋，
当n＝10时，a10＝＝.
5．已知an＋1－an－3＝0，n∈N＋，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不能确定
答案 A
解析 an＋1＝an＋3＞an，n∈N＋，即该数列每一项均小于后一项，故数列{an}是递增数列．
6．设an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么an＋1－an等于( )
A.
B.
C.＋
D.－
答案 D
解析 ∵an＝＋＋＋…＋，
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
7．数列0.3,0.33,0.333,0.333
3，…的一个通项公式an等于( )
A.(10n－1)
B.(10n－1)
C.
D.(10n－1)
答案 C
解析 代入n＝1检验，排除A，B，D，故选C.
8．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )
A．an＝n，n∈N＋
B．an＝，n∈N＋
C．an＝，n∈N＋
D．an＝n2，n∈N＋
答案 C
解析 ∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，
∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，….
二、填空题
9．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，________，，….
答案 3
解析 由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3.
10．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是________________．
答案 an＝2n＋1，n∈N＋
11．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
答案 17
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．
∴323是数列{n(n＋2)}的第17项．
三、解答题
12．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
解 (1)设an＝kn＋b，k≠0.
则解得
∴an＝4n－2，n∈N＋.
(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5 N＋.
∴88不是数列{an}中的项．
13．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N＋，请回答下列问题：
(1)这个数列共有几项为负？
(2)这个数列从第几项开始递增？
(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
解 (1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)，
所以当0所以数列{an}共有9项为负．
(2)因为an＋1－an＝2n－7，
所以当an＋1－an>0时，n>，
故数列{an}从第4项开始递增．
(3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，
根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，
即这个数列有最小值，最小值为－36.
14．已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)，则a3＋＝________.
答案
解析 a3＝2-3＝，a4＝＝，
∴＝，∴a3＋＝.
15．已知数列，n∈N＋.
(1)求证：该数列是递增数列；
(2)在区间内有无数列中的项？若有，有几项；若没有，请说明理由．
(1)证明 ∵an＝＝＝＝＝1－，
∴an＋1－an＝－
＝＝＞0，n∈N＋，
∴{an}是递增数列．
(2)解 令∴
∴
∴∴当且仅当n＝2时，上式成立，
故区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝.(共31张PPT)
第1课时 等差数列的概念及通项公式
第二章
2.2.1 等差数列
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解等差数列的定义.
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差中项的概念.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个______，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的
，公差通常用字母d表示，可正可负可为零.
2
常数
公差
知识点二 等差中项的概念
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的__________，且A＝
.
思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2，4；(2)－1，5；(3)0，0；(4)a，b.
答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)
.
等差中项
知识点三 等差数列的通项公式
若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.此公式可用叠加法证明.
1.数列4，4，4，……是等差数列.( )
2.数列3，2，1是等差数列.( )
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
4.等差数列{an}中，a1，n，d，an任给三个，可求其余.( )
√
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
题型一 等差数列的概念
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…；
(2)－1，11，23，35，…，12n－13，…；
(3)1，2，1，2，…；
(4)1，2，4，6，8，10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列.
反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N＋)是不是一个与n无关的常数.
解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列.
跟踪训练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5(n∈N＋)，则此数列
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
√
题型二 等差中项
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
解 ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴该数列为－1，1，3，5，7.
反思感悟 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝
，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为
＝3.
题型三 等差数列通项公式的求法及应用
例3 在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项.
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项.
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，
所以a10＝13－10＝3.
反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.
解 由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
跟踪训练3 (1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
解 由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项.
核心素养之数学抽象
HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG
等差数列的判定与证明
典例1 已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.
(1)证明：数列
是等差数列；
证明 由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1，
(2)求数列{an}的通项公式.
故an＝n·3n－1，n∈N＋.
典例2 已知数列{an}：a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
解 当n≥3时，an＝an－1＋2，即an－an－1＝2，
而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
∴{an}不是等差数列.
(2)求{an}的通项公式.
解 当n≥2时，an是等差数列，公差为2.
当n≥2时，an＝1＋2(n－2)＝2n－3，
又a1＝1不适合上式，
素养评析 (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可.
(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.下列数列不是等差数列的是
A.1，1，1，1，1
B.4，7，10，13，16
√
1
2
3
4
5
2.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为
A.2
B.3
C.－2
D.－3
√
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
1
2
3
4
5
3.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
√
解析 因为A，B，C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，从而B＝60°.
1
2
3
4
5
4.若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是
A.公差为1的等差数列
B.公差为
的等差数列
C.公差为－
的等差数列
D.不是等差数列
√
解析 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝
.
所以数列{an}是公差为
的等差数列.
1
2
3
4
5
5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是
A.92
B.47
C.46
D.45
√
解析 d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，
则－89＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·(－2)，∴n＝46.
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋) {an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋) {an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋) {an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.(共36张PPT)
2.1.1 数 列
第二章
§2.1 数 列
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解数列及其有关概念.
2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一 数列及其有关概念
1.按照
排列起来的
称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的
.数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的
，
，…，
，….
2.数列的一般形式可以写成
，简记为
.
一定次序
一列数
项
第1项(或首项)
第2项
第n项
a1，a2，a3，…，an，…
{an}
思考 数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列吗？
答案 不是.顺序不一样.
知识点二 通项公式
如果数列的第n项an与序号n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一.
知识点三 数列的分类
1.按项数分类：项数有限的数列叫做
数列，项数无限的数列叫做_____数列.
2.按项的大小变化分类：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做__________；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做_________；各项都相等的数列叫做
.
有穷
无穷
递增数列
递减数列
常数列
1.1，1，1，1是一个数列.( )
2.数列1，3，5，7，…的第10项是21.( )
3.每一个数列都有通项公式.( )
4.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.( )
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
题型一 数列的分类
例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是
√
解析 A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意.
反思感悟 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外.
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)2
010，2
012，2
014，2
016，2
018；
解 (1)(6)是有穷数列；
(1)(2)是递增数列；
(3)是递减数列；
(4)(5)是摆动数列；
(6)是常数列.
题型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，
并且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为an＝
，n∈N＋.
解 数列中的项，有的是分数，有的是整数，
(3)9，99，999，9
999.
解 各项加1后，变为10，100，1
000，10
000，…，
此数列的通项公式为10n，
可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋.
反思感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系.
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解 这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，
并且奇数项为负，偶数项为正，
解 这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，
分子都是比序号大1的数的平方减1，
(3)7，77，777，7
777.
题型三 数列通项公式的简单应用
√
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝2n2－10n＋4.
问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值.
∴当n＝2或3时，an取得最小值，其最小值为a2＝a3＝－8.
反思感悟 (1)判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是.
(2)利用函数的性质研究数列的单调性与最值.
10
∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
(2)已知数列{an}中，an＝－n2＋25n(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第________项.
12或13
∴当n＝12或n＝13时，an最大.
典例 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有_____________小圆圈.
解析 观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1.
故第n个图中小圆圈的个数为(n－1)·n＋1＝n2－n＋1.
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
归纳法求数列的通项公式
n2－n+1
素养评析 归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题.本例完美诠释了“观察现象，归纳规律，大胆猜想，小心求证”这一认识发展规律.
3
达标检测
PART
THREE
1.下列叙述正确的是
A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B.数列0，1，2，3，…可以表示为{n}
C.数列0，1，0，1，…是常数列
D.数列
是递增数列
√
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
即数列
是递增数列，故选D.
2.数列2，3，4，5，…的一个通项公式为
A.an＝n，n∈N＋
B.an＝n＋1，n∈N＋
C.an＝n＋2，n∈N＋
D.an＝2n，n∈N＋
√
解析 这个数列的前4项都比序号大1，
所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N＋.
1
2
3
4
5
3.数列{an}中，an＝2n2－3，n∈N＋，则125是这个数列的第_____项.
1
2
3
4
5
8
解析 令2n2－3＝125，解得n＝8(n＝－8舍去).
所以125是该数列的第8项.
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
5.写出数列：1，－3，5，－7，9，…的一个通项公式.
解 该数列的通项公式为an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N＋.
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.
(2)可重复性：数列中的数可以重复.
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关.
2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
3.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.(共31张PPT)
2.1.2 数列的递推公式(选学)
第二章
§2.1 数 列
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列.
2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一 递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第
项(或某一项)开始的任一项___与它的前一项
(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数n的恒等式.
(3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.
二
an
an－1
知识点二 递推公式与通项公式的比较
通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项.
答案 a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋2＝6，a4＝a3＋2＝8；
(2)已知an＝2n，求a4.
答案 a4＝2×4＝8.
1.数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N＋，则a2＝2a1.( )
2.利用an＋1＝2an，n∈N＋可以确定数列{an}.( )
3.an＝n与y＝x的图象是相同的.( )
4.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松表示.
( )
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
题型一 由数列前若干项归纳递推公式
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式.
解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，
个数依次为1，3，9，27.
则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1，n∈N＋.
反思感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观.
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n－1(n≥2，n∈N＋)个三角形数多___个石子.
n
解析 ∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
∴an－an－1＝n.
题型二 数列的递推公式
命题角度1 由递推公式求前若干项
多维探究
引申探究
反思感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.
解 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….
发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.
证明如下：∵an＋2＝an＋1－an，
∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.
∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.
∴数列{an}是周期数列，且T＝6.
∴a2
019＝a336×6＋3＝a3＝1.
跟踪训练2 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，n∈N＋，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2
019项？
命题角度2 由递推公式求通项
例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N＋，求通项an；
解 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋
＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1，n∈N＋.
a1＝1也符合上式，
…，
∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
又当n＝1时，a1＝－1也符合上式.
3
达标检测
PART
THREE
1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式是
A.an＋1＝an＋n，n∈N＋
B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋
D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
√
1
2
3
4
5
解析 由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，
an＋1－an＝n＋1，n∈N＋，故选C.
√
解析 由a1＝1得a2a1＝a1＋(－1)2，则a2＝2；
1
2
3
4
5
由a3a2＝a2＋(－1)3，得a3＝
；
3.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项an等于
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
D.3－n
1
2
3
4
5
√
解析 ∵an＋1－an＝－1.
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式.
故数列的通项an＝3－n(n∈N＋).
1
2
3
4
5
1
解析 ∵x1＝1，∴x2＝－
，∴x3＝1，
∴数列{xn}的周期为2，∴x2
019＝x1＝1.
1
2
3
4
5
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，
∴an＝2n＋1，n∈N＋.
5.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是__________________.
an＝2n＋1，n∈N＋
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.
2.数列的表示方法
(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.
3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
课堂小结
KETANGXIAOJIE阶段训练二(范围：§2.1～§2.2)
一、选择题
1．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的( )
A．第20项
B．第24项
C．第25项
D．第30项
答案 B
解析 由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…可得通项公式为an＝n(n＋1)，n∈N＋，令n(n＋1)＝600，求得n＝24，故选B.
2．若数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2
019等于( )
A.
B．－1
C．2
D．3
答案 C
解析 ∵an＋1＝1－，∴a2＝1－＝1－2＝－1，a3＝1－＝1＋1＝2，a4＝1－＝，则数列{an}是周期为3的周期数列．
∵2
019＝3×673，∴a2
019＝a3＝2.
3．若x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是( )
A．a＝－b
B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b
D．a＝b＝0
答案 C
解析 由等差中项的定义知x＝，x2＝，
∴＝2，即a2－2ab－3b2＝0，故a＝－b或a＝3b.
4．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，n∈N＋，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于( )
A．2n+1－2
B．3n
C．2n
D．3n－1
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q，
则an＝2qn-1.
因数列{an＋1}也是等比数列，
则(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
即a＋2an＋1＝an·an＋2＋an＋an＋2，
即an＋an＋2＝2an＋1，即an(1＋q2－2q)＝0，
即(q－1)2＝0，解得q＝1.
由a1＝2，得an＝2，所以Sn＝2n.
5．(2018·新乡模拟)已知等差数列{an}中，a1
012＝3，S2
017＝2
017，则S2
020等于( )
A．2
020
B．－2
020
C．－4
040
D．4
040
答案 D
解析 由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，
S2
017＝×2
017＝×2
017＝2
017a1
009＝2
017，
则a1
009＝1，据此可得，
S2
020＝×2
020＝1
010＝1
010×4＝4
040.
6．等差数列{an}中，已知a1＝－6，an＝0，公差d∈N＋，则n(n≥3)的最大值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
答案 C
解析 由an＝a1＋(n－1)d，得－6＋(n－1)d＝0，n＝＋1，因为d∈N＋，所以当d＝1时，n取最大值7.
7．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 D
解析 ∵＝＝＝＝7＋为正整数，∴n＝1,2,3,5,11.
8．设等差数列{an}的公差为d，若数列为递减数列，则( )
A．d>0
B．d<0
C．a1d>0
D．a1d<0
答案 D
解析 由数列为递减数列，得，
再由指数函数性质得a1an－1>a1an，
由等差数列的公差为d知，an－an－1＝d，
所以a1an－1>a1an，即a1an－a1an－1<0，
即a1(an－an－1)<0，即a1d<0.
二、填空题
9．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋12，则该数列中为负数的项一共有________项．
答案 3
解析 令an＝n2－8n＋12<0，解得210．在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，m，n∈N＋，且m>n，则am＝________.
答案
解析 因为am＋n与am－n的等差中项是am，
所以am＝.
11．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝3n2＋n，则数列{an}的公差d＝________.
答案 6
解析 当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2.
当n＝1时，a1＝4满足上式，∴an＝6n－2.
又∵{an}为等差数列，∴4＋(n－1)d＝6n－2，∴d＝6.
12．在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
答案 10
解析 在等差数列{an}中，
所有奇数项的和S奇＝＝165，
所有偶数项的和S偶＝＝150.
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，∴n＝10.
三、解答题
13．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，求{an}的通项公式．
解 因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1
＝2(n－1)．
两式相减得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2)
.
又由题设可得a1＝2，符合an＝，
从而{an}的通项公式为an＝，n∈N＋.
14．在等差数列{an}中，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.
(1)解 由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，可得解得∴an＝2n＋10.
(2)证明 由(1)可知＝，
∴Tn＝，
∴Tn＝＝<.(共35张PPT)
第2课时 等差数列的性质
第二章
2.2.1 等差数列
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
2.能运用等差数列的性质简化计算.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一 等差数列通项公式的变形及推广
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，
其中①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上.
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
知识点二 等差数列的性质
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋___＝ap＋___.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
an
aq
知识点三 由等差数列衍生的新数列
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
1.若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则{an}是公差为k的等差数列.( )
2.等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.( )
3.若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.( )
4.若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…是等差数列.( )
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√
×
√
×
2
题型探究
PART
TWO
题型一 an＝am＋(n－m)d的应用
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.
解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N＋.
反思感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担.
跟踪训练1 {bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝___.
8
解析 方法一 ∵{bn}为等差数列，
∴可设其公差为d，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
＝2×5＋(－2)＝8.
题型二 等差数列性质的应用
例2 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.
解 方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5.
①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，
即(5－2d)(5＋2d)＝9，
②
联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N＋；
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13，n∈N＋.
引申探究
1.在例2中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？
解 设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝_____.
20
解析 ∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
反思感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.
跟踪训练2 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值.
解 方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列.
∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)
＝3a1＋9d＝39，
∴a1＋3d＝13，
①
∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)
＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.
∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)
＝3a1＋12d＝33.
∴a1＋4d＝11，
②
题型三 等差数列的设法与求解
例3 已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
∵d>0，∴a＝6，d＝2.
∴这个数列是4，6，8.
反思感悟 设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.
(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.
(3)等差数列的通项可设为an＝pn＋q.
跟踪训练3 三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数.
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d.
∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.
核心素养之数学运算
HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN
数列问题如何选择运算方法
典例 等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.
解 方法一 设{an}的公差为d.
则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d)
＝4a1＋36d＝4(a1＋9d)
＝4a10＝40，
∴a10＝10.
方法二 ∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，
∴a10＝10.
素养评析 等差数列中的计算大致有2条路：一是都化为基本量(a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算.前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于
A.3
B.－6
C.4
D.－3
√
解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，
1
2
3
4
5
2.在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于
A.32
B.－32
C.35
D.－35
√
解析 由a8－a4＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12，得d＝3，
所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
1
2
3
4
5
3.等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于
A.3
B.－3
√
解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
1
2
3
4
5
4.设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于
A.－182
B.－78
C.－148
D.－82
√
解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
1
2
3
4
5
5.在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝______.
30
解析 ∵a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，
∴a8＝30.
2a9－a10＝2(a10－d)－a10＝a10－2d＝a8＝30.
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.
2.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.(共34张PPT)
第1课时 等比数列前n项和公式
第二章
2.3.2 等比数列的前n项和
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一 等比数列的前n项和公式
知识点二 错位相减法
1.推导等比数列前n项和的方法叫
法.
2.该方法一般适用于求一个
数列与一个
数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，也可以用这种方法.
错位相减
等差
等比
思考 如果Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn－1，其中{an}是公差为d的等差数列，q≠1.两边同乘以q，再两式相减会怎样？
答案 Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn－1
，
①
qSn＝a1q＋a2q2＋…＋an－1qn－1＋anqn，
②
①－②得，(1－q)Sn＝a1＋(a2－a1)q＋(a3－a2)q2＋…＋(an－an－1)qn－1－anqn
＝a1＋d(q＋q2＋…＋qn－1)－anqn.
同样能转化为等比数列求和.
知识点三 使用等比数列求和公式时注意事项
(1)一定不要忽略q＝1的情况；
(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.
2.求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法.( )
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
×
√
√
×
4.等比数列前n项和Sn不可能为0.( )
2
题型探究
PART
TWO
题型一 等比数列前n项和公式的直接应用
例1 求下列等比数列前8项的和：
反思感悟 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立.
跟踪训练1 (1)求数列{(－1)n＋2}的前100项的和；
解 方法一 a1＝(－1)3＝－1，q＝－1.
方法二 数列{(－1)n＋2}为－1，1，－1，1，…，
∴S100＝50×(－1＋1)＝0.
解 设此数列的公比为q(易知q≠1)，
故此数列共有5项.
解得q＝－2(q＝1舍去).
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
题型二 等比数列基本量的计算
例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
解 由题意，得若q＝1，
则S3＝3a1＝6，符合题意.
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
跟踪训练2 已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
63
解析 ∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且{an}是递增数列，
∴a1＝1，a3＝4，则q＝2，
题型三 利用错位相减法求数列的前n项和
反思感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.
跟踪训练3 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn
(x≠0).
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
核心素养之数学建模
HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO
分期付款模型
典例 小华准备购买一部售价为5
000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.(参考数据：1.00812≈1.10)
解 方法一 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则
A2＝5
000×(1＋0.008)2－x＝5
000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5
000×1.0084－1.0082x－x，
…，
A12＝5
000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
故小华每期付款金额约为883.5元.
方法二 设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则
A2＝x；
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；
…，
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).
∵年底付清欠款，
∴A12＝5
000×1.00812，
即5
000×1.00812
＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，
故小华每期付款金额约为883.5元.
素养评析 本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
√
1
2
3
4
5
解析 方法一 由等比数列的定义，
√
1
2
3
4
5
3.等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是
A.179
B.211
C.243
D.275
√
解析 去年产值为a，
今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a，
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1).
1
2
3
4
5
4.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为____________.
11a(1.15－1)
1
2
3
4
5
5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝____________________.
(n－1)2n＋1＋2(n∈N＋)
解析 ∵an＝n·2n，
∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
①
∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，
②
①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝(1－n)2n＋1－2.
∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N＋).
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.
2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
3.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和.2.1.2 数列的递推公式(选学)
学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式.
知识点一 递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数n的恒等式.
(3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.
知识点二 递推公式与通项公式的比较
通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项.
思考 (1)已知求a4；
(2)已知an＝2n，求a4.
答案 (1)a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋2＝6，a4＝a3＋2＝8；
(2)a4＝2×4＝8.
1.数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N＋，则a2＝2a1.( √ )
2.利用an＋1＝2an，n∈N＋可以确定数列{an}.( × )
3.an＝n与y＝x的图象是相同的.( × )
4.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松表示.( √ )
题型一 由数列前若干项归纳递推公式
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式.
解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n-1，n∈N＋.
反思感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观.
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n－1(n≥2，n∈N＋)个三角形数多________个石子.
答案 n
解析 ∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.
题型二 数列的递推公式
命题角度1 由递推公式求前若干项
例2 设数列{an}满足写出这个数列的前5项.
解 由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.
引申探究
若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N＋，求a2
019.
解 a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2
019＝a4×504＋3＝a3＝－.
反思感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.
跟踪训练2 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，n∈N＋，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2
019项？
解 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….
发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.
证明如下：∵an＋2＝an＋1－an，
∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.
∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.
∴数列{an}是周期数列，且T＝6.
∴a2
019＝a336×6＋3＝a3＝1.
命题角度2 由递推公式求通项
例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N＋，求通项an；
(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N＋)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N＋)，求通项an.
解 (1)当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1，n∈N＋.
(2)当n≥2时，an＝a1···…·
＝1···…·＝.
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝，n∈N＋.
反思感悟 形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)求通项公式；形如＝f(n)的递推公式，可以利用a1···…·＝an(n≥2，n∈N＋)求通项公式.以上方法分别叫叠加法和叠乘法.
跟踪训练3 已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋－，n∈N＋，求数列的通项公式an.
解 ∵an＋1－an＝－，
∴a2－a1＝－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…，
an－an－1＝－(n≥2)，
∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝＋＋…＋，
即an－a1＝1－(n≥2，n∈N＋).
∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2，n∈N＋)，
又当n＝1时，a1＝－1也符合上式.∴an＝－，n∈N＋.
1.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A.an＋1＝an＋n，n∈N＋
B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋
D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
答案 C
解析 由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N＋，故选C.
2.已知数列{an}满足anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N＋)且a1＝1，则等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由a1＝1得a2a1＝a1＋(－1)2，则a2＝2；
由a3a2＝a2＋(－1)3，得a3＝；同理得a4＝3，a5＝，故＝＝，故选B.
3.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项an等于( )
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
D.3－n
答案 D
解析 ∵an＋1－an＝－1.
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式.
故数列的通项an＝3－n(n∈N＋).
4.数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1(n∈N＋)，则x2
019＝________.
答案 1
解析 ∵x1＝1，∴x2＝－，∴x3＝1，
∴数列{xn}的周期为2，∴x2
019＝x1＝1.
5.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________.
答案 an＝2n＋1，n∈N＋
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，
a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N＋.
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.
2.数列的表示方法
(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.
3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
一、选择题
1.数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是( )
A.an＋1＝2an
B.an＋1＝－2an
C.an＋1＝an
D.an＋1＝－an
答案 D
2.已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋(n∈N＋)，则此数列的第4项是( )
A.1
B.
C.
D.
答案 B
解析 a2＝a1＋＝1；a3＝a2＋＝；a4＝a3＋＝.
3.已知数列{an}中，an－1＝man＋1(n>1，n∈N＋)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于( )
A.
B.
C.2
D.3
答案 A
解析 由题意得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1，∴m＝.
4.已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N＋)，则数列的通项公式为( )
A.an＝3n＋1
B.an＝3n
C.an＝3n－2
D.an＝3(n－1)
答案 C
解析 ∵an＝an－1＋3(n≥2，n∈N＋)，∴an－an－1＝3.
∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，
以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，
∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2，a1＝1也符合上式，故选C.
5.若a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，则给出的数列{an}的第4项是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝.
6.已知数列{an}中，an＝－2n2＋25n＋30(n∈N＋)，则数列中最大项的值是( )
A.107
B.108
C.108
D.109
答案 B
解析 由已知得an＝－2n2＋25n＋30＝－22＋108，
由于n∈N＋，故当n取距离最近的正整数6时，an取得最大值108.
∴数列{an}中的最大项的值为a6＝108.
二、填空题
7.已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2，n∈N＋)，则a2
019＝________.
答案 2
解析 ∵a2＝－＝－，a3＝－＝2，a4＝－＝a2，
∴{an}的周期为2，∴a2
019＝a1＝2.
8.若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2，n∈N＋)，且a1＝1，则a100＝________.
答案 5
050
解析 由(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝(n≥2，n∈N＋)，
则a100＝a1···…·＝1×××…×＝5
050.
9.已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N＋)，则a9＝________.
答案
解析 a1a2…a8＝82，
①
a1a2…a9＝92，
②
②÷①得a9＝＝.
10.如图是一棵小树的生长示意图，第二年新生枝桠2个，第三年新生枝桠4个，……，
设第n年新生枝桠数为an，则数列{an}的递推公式为________.
答案 an＝
三、解答题
11.根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式.
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N＋)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N＋).
解 (1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.
猜想an＝(n－1)2(n∈N＋).
(2)a1＝1，a2＝，a3＝＝2，a4＝.
猜想an＝(n∈N＋).
12.已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N＋)，求数列{an}的通项公式.
解 ∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，
∴－＝1.
∴当n≥2时，
＝＋＋＋…＋
＝2＋＝n＋1.
∴＝n＋1，∴当n≥2时，an＝.
∵a1＝也符合上式，∴an＝(n∈N＋).
13.已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值.
解 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，若a2为偶数，则＝1，a2＝2.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)，
若a1为偶数，＝2，a1＝4；
若a3为偶数，则＝4，a3＝8，
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去).
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4,5,32.
14.由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝，则b6的值是( )
A.9
B.17
C.33
D.65
答案 C
解析 ∵bn＝，∴b2＝＝a2＝3，b3＝＝a3＝5，b4＝＝a5＝9，b5＝＝a9＝17，b6＝＝a17＝33.
15.在一个数列中，如果对任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
答案 28
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.第2课时 等差数列的性质
学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．
知识点一 等差数列通项公式的变形及推广
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，
③d＝(m，n∈N＋，且m≠n)．
其中①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③即斜率公式k＝，可用来由等差数列任两项求公差．
知识点二 等差数列的性质
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
知识点三 由等差数列衍生的新数列
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
1．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则{an}是公差为k的等差数列．( √ )
2．等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.( × )
3．若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．( √ )
4．若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…是等差数列．( × )
题型一 an＝am＋(n－m)d的应用
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N＋.
反思感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．
跟踪训练1 {bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.
答案 8
解析 方法一 ∵{bn}为等差数列，
∴可设其公差为d，
则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
方法二 由＝＝d，
得b8＝×5＋b3
＝2×5＋(－2)＝8.
题型二 等差数列性质的应用
例2 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
解 方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5.
①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，
即(5－2d)(5＋2d)＝9，
②
联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N＋；
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13，n∈N＋.
引申探究
1．在例2中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？
解 设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
答案 20
解析 ∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
反思感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练2 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．
解 方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．
∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)
＝3a1＋9d＝39，
∴a1＋3d＝13，
①
∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)
＝3a1＋12d＝33.
∴a1＋4d＝11，
②
联立①②解得
∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)
＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.
题型三 等差数列的设法与求解
例3 已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
由题意可得
解得或
∵d>0，∴a＝6，d＝2.
∴这个数列是4,6,8.
反思感悟 设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.
(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.
(3)等差数列的通项可设为an＝pn＋q.
跟踪训练3 三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d.
由题意可得
解得或
∴所求三个数为－2,2,6或6,2,－2.
数列问题如何选择运算方法
典例 等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.
解 方法一 设{an}的公差为d.
则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d)
＝4a1＋36d＝4(a1＋9d)
＝4a10＝40，
∴a10＝10.
方法二 ∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，
∴a10＝10.
[素养评析] 等差数列中的计算大致有2条路：一是都化为基本量(a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算．前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法.
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A．3
B．－6
C．4
D．－3
答案 B
解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，
所以d＝＝－6.
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( )
A．32
B．－32
C．35
D．－35
答案 C
解析 由a8－a4＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12，得d＝3，
所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
3．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )
A．3
B．－3
C．
D．－
答案 A
解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
4．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182
B．－78
C．－148
D．－82
答案 D
解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
5．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝________.
答案 30
解析 ∵a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，
∴a8＝30.
2a9－a10＝2(a10－d)－a10＝a10－2d＝a8＝30.
1．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
一、选择题
1．已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a9＝18，则公差d为( )
A．1
B．3
C．2
D．4
答案 C
解析 因为数列{an}为等差数列，所以a9＝a3＋6d，即18＝6＋6d，所以d＝2.
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于( )
A．45
B．75
C．180
D．300
答案 C
解析 ∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5
＝5a5＝450，∴a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为( )
A．12
B．8
C．6
D．4
答案 B
解析 由等差数列的性质，得
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
4．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21.则a7等于( )
A．7
B．10
C．20
D．30
答案 C
解析 ∵a3＋a7－a10＋a11－a4
＝a3＋a7＋a11－(a10＋a4)
＝3a7－2a7＝a7，
∴a7＝21－1＝20.
5．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A.
B．±
C．－
D．－
答案 D
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan
＝tan
＝－.
6．已知数列是等差数列，且a3＝2，a15＝30，则a9等于( )
A．12
B．24
C．16
D．32
答案 A
解析 令bn＝，由题意可知b3＝＝，b15＝＝2，则等差数列{bn}的公差d＝＝，则b9＝b3＋(9－3)d＝，所以a9＝9b9＝12，故选A.
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．1或2
答案 D
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
8．(2018·河南省实验中学期末)已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为( )
A．105
B．120
C．90
D．75
答案 A
解析 由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝5，所以a1＋a3＝10.又a1a2a3＝80，所以a1a3＝16，所以a1＝2，a3＝8或a1＝8，a3＝2.又等差数列{an}的公差为正数，所以{an}是递增数列，所以a1＝2，a3＝8，所以等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝5－2＝3，所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝105.
二、填空题
9．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N＋，则am＋n的值为________．
答案 0
解析 设等差数列的公差为d，
则d＝＝＝－1，
从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.
10．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
答案 －21
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴这三个数的积为－21.
11．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是__________．
答案 n2＋n
解析 第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.所以数表中的第n行第n＋1列的数是n2＋n.
三、解答题
12．在等差数列{an}中，
(1)若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，求a7－a8；
(2)已知a1＋2a8＋a15＝96，求2a9－a10.
解 (1)a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
(2)∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝96，∴a8＝24.
∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
13．已知{an}为等差数列，且a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24.
(1)求a20的值；
(2)若bn＝an－，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.
解 (1)因为a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24，
所以a3＝6，a4＝8，则公差d＝2，
所以a20＝a3＋17d＝40.
(2)由(1)得an＝a3＋(n－3)d＝6＋(n－3)×2＝2n，
所以bn＝×2n－＝3n－.
由bn>0，即3n－>0，得n>，
所以数列{bn}从第7项开始大于0.
14．若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为__________________．
答案 an＝2n－(n∈N＋)
解析 由题意得an＋1＋an＝4n－3，
①
an＋2＋an＋1＝4n＋1，
②
②－①，得an＋2－an＝4.
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2.
∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－.
∴an＝－＋(n－1)×2＝2n－(n∈N＋)．
15．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
解 因为an＝3n＋2(n∈N
)，bk＝4k－1(k∈N
)，两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得，
所以n＝k－1.而n∈N
，k∈N
，
所以设k＝3r(r∈N
)，得n＝4r－1.
由已知且r∈N
，可得1≤r≤25.
所以共有25个相同数值的项．章末复习
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握解决等差数列、等比数列问题的基本技能.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题．
1．等差数列和等比数列的基本概念与公式
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
递推公式
an＋1－an＝d
＝q
中项
由三个数x，A，y组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时A叫做x与y的等差中项，并且A＝
如果在x与y中间插入一个数G，使x，G，y成等比数列，那么G叫做x与y的等比中项，且G＝±
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
前n项和公式
Sn＝＝na1＋d
当q≠1时，Sn＝＝，当q＝1时，Sn＝na1
性质
am，an的关系
am－an＝(m－n)d
＝qm－n
m，n，s，t∈N＋，
m＋n＝s＋t
am＋an＝as＋at
aman＝asat
性质
{kn}是等差数列，且kn∈N＋
{
}是等差数列
{}是等比数列
n＝2k－1，k∈N＋
S2k－1＝(2k－1)·ak
a1a2·…·a2k－1＝a
判断方法
利用定义
an＋1－an是同一常数
是同一常数
利用中项
an＋an＋2＝2an＋1
anan＋2＝a
利用通项公式
an＝pn＋q，其中p，q为常数
an＝abn(a≠0，b≠0)
利用前n项和公式
Sn＝an2＋bn
(a，b为常数)
Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数)
2.数列中的基本方法和思想
(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了叠加法和叠乘法；
(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法．
(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想．
(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想．
题型一 方程思想求解数列问题
例1 等差数列{an}各项为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝1且b2S2＝64，{
}是公比为64的等比数列，求{an}，{bn}的通项公式．
解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，
an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有
由q(6＋d)＝64知q为正有理数，又由q＝知d为6的因子1,2,3,6之一，解①②得d＝2，q＝8，
故an＝2n＋1，bn＝8n－1.
反思感悟 在等比数列和等差数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．
跟踪训练1 记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
解 设数列{an}的公差为d，
依题设有
即
解得或
因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N＋.
题型二 转化与化归思想求解数列问题
例2 在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
(1)
设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)
求数列{an}的通项公式及前n项和的公式．
(1)证明 ∵Sn＋1＝4an＋2，
①
∴当n≥2，n∈N＋时，Sn＝4an－1＋2.
②
①－②得an＋1＝4an－4an－1.
方法一 对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得
＝2－，
即＋＝2，
即cn＋1＋cn－1＝2cn，
∴数列{cn}是等差数列．
由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，
则a2＝3a1＋2＝5，
∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝，
∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
方法二 ∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，
令bn＝an＋1－2an，
则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝3·2n－1.
∵
cn＝，∴
cn＋1－cn＝－＝
＝＝＝，
c1＝＝，
∴
{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)解 由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列，
∴＝＋(n－1)＝n－，
∴an＝(3n－1)·2n－2.
∴Sn＋1＝4an＋2＝2n(3n－1)＋2.
∴Sn＝2n－1·(3n－4)＋2(n≥2)．
当n＝1时，S1＝1＝a1，符合．
∴Sn＝2＋(3n－4)·2n－1(n∈N＋)．
反思感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．
跟踪训练2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)．
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
(1)解 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，
∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，
∴a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，
∴a3＝8.
(2)证明 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，
①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．
②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2
＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2
＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．
∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
题型三 函数思想求解数列问题
命题角度1 借助函数性质解数列问题
例3 一个等差数列{an}中，3a8＝5a13，a1>0.若Sn为{an}的前n项和，则S1，S2，…，Sn中没有最大值？请说明理由．
解 因为此等差数列不是常数列，所以其前n项和Sn是关于n的二次函数，我们可以利用配方法，结合二次函数的性质求解．设{an}的首项为a1，公差为d，则有3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，所以d＝－a1，所以Sn＝na1＋d＝－n2a1＋na1＝－a1(n－20)2＋a1，故n＝20时，Sn最大，即前20项之和最大．
反思感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝2n－2
019，问这个数列前多少项的和最小？
解 设an＝2n－2
019，对应的函数为y＝2x－2
019，易知y＝2x－2
019在R上单调递增，且当y＝0时，x＝，因此，数列{an}为单调递增数列，a1
009<0，a1
010>0，故当1≤n≤1
009时，an<0；当n>1
009时，an>0.
∴数列{an}中前1
009项的和最小．
命题角度2 以函数为载体给出数列
例4 已知函数f
(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f
，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.
解 (1)∵an＋1＝f
＝＝＝an＋，
∴an＋1－an＝，
∴{an}是以为公差的等差数列．
又a1＝1，∴an＝n＋.
(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－(a2＋a4＋…＋a2n)
＝－·＝－(2n2＋3n)．
反思感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题．
跟踪训练4 设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________.
答案 2n2＋3n
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，则b＝1，
所以f(x)＝kx＋1(k≠0)．
又[f(4)]2＝f(1)f(13)，
所以(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2.
所以f(x)＝2x＋1，则f(2n)＝4n＋1.
所以{f(2n)}是公差为4的等差数列．
所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝＝2n2＋3n.
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6
B．7
C．8
D．9
答案 A
解析 设等差数列{an}的公差为d，
∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，
∴d＝＝2，∴a6＝－1<0，a7＝1>0，
故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.
2．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为( )
A．2100－101
B．299－101
C．2100－99
D．299－99
答案 A
解析 由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.
3．在等比数列{an}中，已知a2＝4，a6＝16，则a4＝________.
答案 8
解析 a＝a2a6＝4×16＝64，∴a4＝±8.
若a4＝－8，则a＝a2a4＜0.∴a4＝－8舍去．∴a4＝8.
4．等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
答案 5
解析 log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2…a5)＝log2a，
又a1a5＝a＝4，且a3＞0，∴a3＝2.
∴log2a＝log225＝5.
5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．
答案 an＝3n－16 3
解析 利用an＝求得an＝3n－16.
则nan＝3n2－16n＝3，
所以n＝3时，nan的值最小．
1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．
2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
3．在求通项求和的基础上，可以借助不等式、单调性等研究数列的最值、取值范围、存在性问题．(共32张PPT)
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
第二章
2.3.2 等比数列的前n项和
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.
2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一 等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
知识点二 等比数列前n项和的性质
等比数列{an}前n项和的三个常用性质
(1)若数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍构成等比数列.
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋).
1.等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.( )
2.若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.( )
3.若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.
( )
4.等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn}也是递增数列.( )
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√
√
√
×
2
题型探究
PART
TWO
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式.
题型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2(n∈N＋).求{an}的通项公式.
跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝______.
解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
题型二 等比数列前n项和的性质
命题角度1 连续n项之和问题
多维探究
证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
方法二 根据等比数列的性质有
S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解 因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
命题角度2 不连续n项之和问题
例3 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式.
解 设数列{an}的首项为a1，公比为q，
全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，
由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，
反思感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快.
跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则
＝________.
126
解析 ∵
，
∴{
}是首项为b2，公比为2的等比数列.
核心素养之数学运算
HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN
等比数列前n项和的分类表示
典例 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an，n∈N＋.求{an}的前n项和Sn.
于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；
数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列.
因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.
于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)
综上所述，
素养评析 数学中有不少概念表达式相当抽象.只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则.本例中，涉及到很多对n的赋值，只有理解了an，a2n，S2n与S2n－1之间的联系，才能顺利挖掘出{a2n}是首项为2，公比为3的等比数列，S2n－1＝S2n－a2n等关系.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于
A.31
B.33
C.35
D.37
√
解析 设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，
则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，
∴S10＝1＋32＝33.
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，
∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
1
2
3
4
5
3.已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为
√
解析 由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，
所以向量a＝(c，d)的模为1.
1
2
3
4
5
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于
A.24
B.12
C.18
D.22
√
解析 设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.
∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
1
2
3
4
5
5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于
A.8
B.6
C.4
D.2
√
解析 S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.
即1，2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列.
∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg
an}构成等差数列.
2.等比数列前n项和中用到的数学思想
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0，01或a1>0，0第2课时 等比数列的性质
第二章
2.3.1 等比数列
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.
2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习
题型探究
达标检测
1
自主学习
PART
ONE
知识点一 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1·
①
＝am·
②
＝
·
③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q＞0且q≠1时，y＝
·qx为指数型函数.
qn－1
qn－m
qn
知识点二 等比数列常见性质
(1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m且n，m∈N＋)；
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an；
(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或
)的等比数列；
1.an＝amqn－m(n，m∈N＋)，当m＝1时，就是an＝a1qn－1.( )
2.等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列.( )
3.若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.( )
4.若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.( )
思考辨析
判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
题型一 等比数列通项公式的推广应用
例1 已知等比数列{an}中.
(1)若a4＝2，a7＝8，求an；
∴
(n∈N＋).
∴an＝2·2n－1＝2n(n∈N＋).
解 由
＝a10＝a5·q10－5，且a5≠0，
得a5＝q5，即a1q4＝q5，
又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，
(2)若{an}为递增数列，且
＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.
反思感悟 (1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练1 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于
A.21
B.42
C.63
D.84
√
解析 设等比数列{an}的公比为q，
则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，
解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，
于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.
题型二 等比数列的性质及其应用
例2 已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解 根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
反思感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题.
跟踪训练2 设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于
A.38
B.39
C.9
D.7
解析 ∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，
√
题型三 由等比数列衍生的新数列
例3 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于
解析 ∵{an}为等比数列，
∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，
∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)
＝5×10，
又{an}各项均为正数，
√
反思感悟 借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量.
跟踪训练3 等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为
A.32
B.64
C.128
D.256
√
解析 由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，
解 n年后车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5(1－10%)，a2＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
∴n年后车的价值为an＝13.5×(0.9)n万元.
核心素养之数学建模
HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO
等比数列的实际应用
典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 由(1)得a4＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
素养评析 (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.
(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为
A.2
B.3
C.4
D.8
√
解析 由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是
√
解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，
1
2
3
4
5
4.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为___.
8
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7
＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)
＝(a1a8)3＝23＝8.
1
2
3
4
5
5.已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
解 不是等比数列.
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法.
2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量.
3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.2.2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和公式
学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.已知数列{an}的前n项和公式求通项an.
知识点一 等差数列的前n项和
1．定义：对于数列{an}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和．
2．表示：常用符号Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.
知识点二 等差数列前n项和公式
等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
知识点三 a1，d，n，an，Sn知三求二
1．在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d.
两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和．
2．依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．
知识点四 数列中an与Sn的关系
对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，
则有an＝
特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用．
(2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示．
若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式．
1．若数列{an}的前n项和为Sn，则S1＝a1.( √ )
2．若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.( × )
3．等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法．( √ )
4．1＋2＋3＋…＋100＝.( √ )
题型一 等差数列前n项和公式的基本运算
例1 在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
解 (1)方法一 由已知条件得
解得
∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210.
方法二 由已知条件得
∴a1＋a10＝42，
∴S10＝＝5×42＝210.
(2)S7＝＝7a4＝42，
∴a4＝6.
∴Sn＝＝＝＝510.
∴n＝20.
反思感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用．
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．
跟踪训练1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解 由得
解方程组得或
题型二 由数列{an}的前n项和Sn求an
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2，n∈N＋)，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－
＝2n－，
①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－，n∈N＋.
∵an＋1－an＝2(n＋1)－－＝2，
故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列．
引申探究
若将本例中前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求通项公式．
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝2n－.
①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式．
∴an＝
反思感悟 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示．
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.
解 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝3n－3n-1＝2·3n-1.
当n＝1时，代入an＝2·3n-1得a1＝2≠3.
∴an＝
题型三 等差数列在实际生活中的应用
例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1
150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1
000×1%＝60，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5，
…
a10＝50＋(1
000－9×50)×1%＝55.5，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1
105，
即全部付清后实际付款1
105＋150＝1
255(元)．
反思感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．
跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70
m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2
m，以后每分钟比前1分钟多走1
m，乙每分钟走5
m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1
m，乙继续每分钟走5
m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解 (1)设n分钟后两人第1次相遇，由题意，
得2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.
解得n＝7，n＝－20(舍去)．
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，由题意，
得2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解得n＝15，n＝－28(舍去)．
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.
1．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于( )
A．2
300
B．2
400
C．2
600
D．2
500
答案 D
解析 由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，
解得m＝50，所以S50＝50×1＋×2＝2
500.
2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A．2
B．3
C．6
D．7
答案 B
解析 方法一 由解得d＝3.
方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
答案 190
解析 S19＝＝
＝19a10＝19×10＝190.
4．已知数列{an}是等差数列，Sn是它的前n项和．若S4＝20，a4＝8，则S8＝________.
答案 72
解析 设{an}的公差为d，则由解得a1＝d＝2，
∴S8＝8×2＋×2＝72.
5．已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，则an＝________.
答案 3(n＋1)(n∈N＋)
解析 由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，
①
当n≥2，n∈N＋时，得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)，
②
①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)
＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，
∴an＝3(n＋1)(n≥2，n∈N＋)．
又当n＝1时，a1＝1×2×3＝6也适合上式，
∴an＝3(n＋1)，n∈N＋.
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N＋)．
3．由Sn与an的关系求an主要使用an＝
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于( )
A．18
B．27
C．36
D．45
答案 C
解析 S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.
2．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )
A．200
B．100
C．90
D．70
答案 B
解析 S10＝＝100.
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an-1＋(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于( )
A．27
B.
C．45
D．－9
答案 A
解析 由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，
∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.
4．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为( )
A．10
000
B．8
000
C．9
000
D．11
000
答案 A
解析 由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100＝
＝50×(25＋75＋100)＝10
000.
5．在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则等于( )
A.
B．2
C.
D．4
答案 A
解析 由题意得10a1＋×10×9d＝4，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴＝.
6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765
B．665
C．763
D．663
答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
7．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于( )
A．－9
B．－11
C．－13
D．－15
答案 D
解析 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n(n∈N＋)，则a2＋a18等于( )
A．36
B．35
C．34
D．33
答案 C
解析 方法一 a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，
a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.
∴a2＋a18＝34.
方法二 易知{an}为等差数列．∴a2＋a18＝a1＋a19，S19＝＝192－2×19，∴a1＋a19＝34，即a2＋a18＝34.
二、填空题
9．在等差数列{an}中，an＝2n＋3，n∈N＋，前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，则a－b＋c＝________.
答案 －3
解析 因为an＝2n＋3，所以a1＝5，Sn＝＝n2＋4n，与Sn＝an2＋bn＋c比较，得a＝1，b＝4，c＝0，所以a－b＋c＝－3.
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200·，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.
答案 100
解 因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，
所以a1＋a200＝1，所以S200＝＝100.
11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
答案 15
解析 设等差数列的公差为d，
则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
三、解答题
12．在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；
(2)已知a2＋a4＝，求S5.
解 (1)方法一 ∵a6＝10，S5＝5，
∴解得∴a8＝a6＋2d＝16.
方法二 ∵S6＝S5＋a6＝15，
∴15＝，即3(a1＋10)＝15.
∴a1＝－5，d＝＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.
(2)方法一 ∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，
∴a1＋2d＝.
∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24.
方法二 ∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，
∴S5＝＝×＝24.
13．已知数列{an}的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn＝a＋an－(n∈N＋)．
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，
解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn-1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)．
所以4an＝a－a＋2an－2an-1，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
因为an＋an-1>0，所以an－an-1＝2(n≥2)．
所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N＋.
14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．
答案 10
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
15．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，∴a3∴∴∴an＝4n－3，n∈N＋.
(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－
(c＝0舍去)．
经检验，c＝－符合题意，∴c＝－.§2.2 等差数列
2.2.1 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．
知识点一 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．
知识点二 等差中项的概念
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项，且A＝.
思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.
答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4).
知识点三 等差数列的通项公式
若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.此公式可用叠加法证明．
1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ )
2．数列3,2,1是等差数列．( √ )
3．数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列．( × )
4．等差数列{an}中，a1，n，d，an任给三个，可求其余．( √ )
题型一 等差数列的概念
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．
反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N＋)是不是一个与n无关的常数．
跟踪训练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5(n∈N＋)，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
答案 A
解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
题型二 等差中项
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
解 ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
反思感悟 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为＝3.
题型三 等差数列通项公式的求法及应用
例3 在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项．
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
解 (1)因为解得
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项．
(2)设{an}的公差为d，则解得
∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，
所以a10＝13－10＝3.
反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．
跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
解 (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
等差数列的判定与证明
典例1 已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1，
得＝＋，即－＝.
由等差数列的定义知，数列是以＝为首项，为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知＝＋(n－1)×＝，
故an＝n·3n-1，n∈N＋.
典例2 已知数列{an}：a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
解 (1)当n≥3时，an＝an－1＋2，即an－an－1＝2，
而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
∴{an}不是等差数列．
(2)当n≥2时，an是等差数列，公差为2.
当n≥2时，an＝1＋2(n－2)＝2n－3，
又a1＝1不适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝
[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．
(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.
1．下列数列不是等差数列的是( )
A．1,1,1,1,1
B．4,7,10,13,16
C.，，1，，
D．－3，－2，－1,1,2
答案 D
2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为( )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
答案 C
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
3．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
答案 B
解析 因为A，B，C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，从而B＝60°.
4．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是( )
A．公差为1的等差数列
B．公差为的等差数列
C．公差为－的等差数列
D．不是等差数列
答案 B
解析 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}是公差为的等差数列．
5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )
A．92
B．47
C．46
D．45
答案 C
解析 d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，则－89＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·(－2)，∴n＝46.
1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋) {an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋) {an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋) {an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
一、选择题
1．设数列{an}(n∈N＋)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于( )
A．4
B．3
C．2
D．1
答案 D
解析 ∵a4－a2＝2d＝6－4＝2.∴d＝1.
2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( )
A．52
B．62
C．－62
D．－52
答案 A
解析 公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝a1＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A．52
B．51
C．50
D．49
答案 A
解析 因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52.
4．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26
B．29
C．39
D．52
答案 C
解析 ∵5，x，y，z，21成等差数列，
∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，
∴x＋y＋z＝39.
5．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A．15
B．22
C．7
D．29
答案 A
解析 设{an}的首项为a1，公差为d，
根据题意得
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项
B．第8项
C．第9项
D．第10项
答案 B
解析 ∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.
故数列中第一个负数项是第8项．
7．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 ∵b是x,2x的等差中项，∴b＝＝，
又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，
∴a＝，∴＝.
8．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由题意可得＝＋，解得a4＝，故选A.
二、填空题
9．若一个等差数列的前三项为a,2a－1,3－a，则这个数列的通项公式为__________________．
答案 an＝＋1，n∈N＋
解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.
∴这个等差数列的前三项依次为，，，
∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1，n∈N＋.
10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
答案
解析 设此等差数列为{an}，公差为d，
则∴
解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．
答案
解析 设an＝－24＋(n－1)d，
则解得三、解答题
12．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0，求{an}的通项公式．
解 设数列{an}的公差为d，
由已知得
解得
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
13．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由＝＝
＝＝＝＋，
得－＝，n∈N＋，
故数列是等差数列．
(2)解 由(1)知＝＋(n－1)×＝，
所以an＝，n∈N＋.
14．已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，则a10＝________.
答案
解析 易知an≠0，∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，∴－＝1(n≥2，n∈N＋)，故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，∴＝1＋9＝10，∴a10＝.
15．已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式．
解 由an－an＋2＝2知，{an}的奇数项，偶数项
分别构成公差为－2的等差数列．
当n＝2k－1时，2k＝n＋1，a2k－1＝a1＋(k－1)·(－2)＝12－2k，
∴an＝12－(n＋1)＝11－n(n为奇数)．
当n＝2k时，a2k＝a2＋(k－1)·(－2)＝5－2k＋2＝7－2k.
∴an＝7－n(n为偶数)．
∴an＝