高中物理 鲁科版选修3-5学案：第1章+第3节+科学探究——一维弹性碰撞Word版含答案

第3节科学探究——一维弹性碰撞
　　 　 　　　　　　　　　　　　1.碰撞过程中有动能损失的为非弹性碰撞；碰撞后
物体结合在一起的为完全非弹性碰撞；没有动能损
失的碰撞为弹性碰撞，又称完全弹性碰撞。
2．在弹性碰撞中，系统的动量和动能在碰撞前后
都不变。
3．在光滑水平面上质量为m1的小球A以速度v1
与质量为m2的静止小球B发生弹性碰撞，碰后两
球A、B的速度分别为v1′、v2′。由动量守恒和
动能守恒得：
(1)若m1＝m2，则v1′＝0，v2′＝v1，即碰撞后两
球交换速度。
(2)若m1>m2，则v1′>0，v2′>0，即碰撞后两球都
向前运动(与v1同向)。
(3)若m10，即碰撞后质量小
的小球A被弹回来，质量大的小球B向前运动。
1．碰撞的特点
碰撞时相互作用时间很短，碰撞物体间的作用力远大于外力，系统的动量守恒。
2．碰撞的分类
(1)弹性碰撞：物体碰撞后，形变能够完全恢复，碰撞前后系统总动能相等。
(2)非弹性碰撞：碰撞过程中动能有损失，碰撞后系统的总动能小于碰撞前系统的总动能。
(3)完全非弹性碰撞：碰撞后两物体合为一体，具有共同速度，这种碰撞系统动能损失最大。
3．一维碰撞
两物体碰撞前后的速度方向均在同一直线上，也称为正碰或对心碰撞。
4．弹性碰撞的实验结论(现象)
(1)质量相等的两个钢球碰撞后交换速度。
(2)质量较大的钢球与静止的质量较小的钢球碰撞后两球运动方向相同。
(3)质量较小的钢球与静止的质量较大的钢球碰撞后两球运动方向相反。
5．弹性碰撞规律的理论推导
在光滑水平面上，质量为m1的小球以速度v1与质量为m2的静止小球发生弹性正碰。根据动量守恒和机械能守恒：
m1v1＝m1v1′＋m2v2′，
m1v12＝m1v1′2＋m2v2′2。
碰后两个小球的速度分别为：
v1′＝，v2′＝。
(1)若m1＝m2，则有v1′＝__0__，v2′＝__v1__，即碰撞后交换速度。
(2)若m1>m2，v1′和v2′都是正值，表示v1′和v2′都与v1方向相同。(若m1?m2，v1′＝v1，v2′＝2v1，表示m1的速度不变，m2以2v1的速度被撞出去)
(3)若m11．自主思考——判一判
(1)弹性碰撞过程中动量守恒、动能不守恒。(×)
(2)完全非弹性碰撞，动量守恒，动能也守恒。(×)
(3)三种碰撞中，动量都守恒。(√)
(4)速度不同的两小球碰撞后粘在一起，碰撞过程中没有能量损失。(×)
(5)微观粒子在碰撞时并不接触，所以不能算是碰撞。(×)
(6)两个质量相同的小球发生正碰时一定交换速度。(×)
2．合作探究——议一议
(1)日常生活中哪些是弹性碰撞，哪些是完全非弹性碰撞？
提示：弹性碰撞：两钢球间的碰撞，台球中母球和子球间的碰撞。完全非弹性碰撞：子弹打入木块。
(2)如图所示，光滑水平面上并排静止着小球2、3、4，小球1以速度v0射来，已知四个小球完全相同，小球间发生弹性碰撞，则碰撞后各小球的运动情况如何？
提示：小球1与小球2碰撞后交换速度，小球2与3碰撞后交换速度、小球3与小球4碰撞后交换速度，最终小球1、2、3静止，小球4以速度v0运动。
碰撞的特点及分析
1．碰撞过程的特点
(1)时间短：在碰撞过程中，相互作用时间很短，相对于物体运动的全过程的时间可以忽略不计。
(2)相互作用力大：在相互作用过程中，相互作用力先是急剧增大，然后再急剧减小，平均作用力很大。
(3)满足动量守恒条件：系统的内力远远大于外力，所以，系统即使所受外力之和不为零，外力也可以忽略，所以可以认为系统的总动量守恒。
(4)位移为零：碰撞、爆炸过程是在一瞬间发生的，时间极短，所以可忽略物体的位移。可以认为物体在碰撞、爆炸前后仍在同一位置。
(5)能量不增加：若碰撞过程中没有其他形式的能转化为机械能，则系统碰前总动能Ek与碰后总动能Ek′满足：Ek≥Ek′。
2．如何判断物体碰撞后可能的运动状态？
两物体碰撞后的运动状态受到以下三个因素的制约：
(1)系统动量守恒。
(2)碰撞过程中系统的总动能不会增加，顶多是物体发生弹性碰撞，总动能不变。
(3)碰撞后的运动状态应合乎情理。如果做同向运动的物体碰撞后仍做同向运动，则前面物体的速度一定比碰撞前的速度大，且一定大于或等于后面物体的速度。
[例1]　[多选]质量为M的物块以速度v运动，与质量为m的静止物块发生正碰，碰撞后二者的动量正好相等。二者质量之比可能为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
[思路点拨]　根据两物块在碰撞过程中动量守恒和碰撞前的总动能大于或等于碰撞后的总动能进行分析。
[解析]　设碰撞后两物块的动量都为p，
根据动量守恒定律可得总动量为2p，
根据p2＝2mEk可得碰撞前的总动能为Ek1＝
碰撞后的总动能为Ek2＝＋
根据碰撞前后的动能关系可得≥＋
所以≤3，故选项A、B正确。
[答案]　AB
要牢记碰撞过程的三项基本原则：①动量守恒的原则；②总动能不增加的原则；③运动状态的合理性原则。　　　　
1．[多选]下面关于碰撞的理解正确的是(　　)
A．碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短时间内它们的运动状态发生了显著变化的过程
B．在碰撞现象中，一般内力都远远大于外力，所以可以认为碰撞时系统的总动量守恒
C．如果碰撞过程中机械能也守恒，这样的碰撞叫做非弹性碰撞
D．微观粒子的碰撞由于不发生直接接触，所以不满足动量守恒的条件，不能应用动量守恒定律求解
解析：选AB　碰撞过程中机械能守恒的碰撞为弹性碰撞，C错；动量守恒定律是自然界普遍适用的规律之一。不仅低速、宏观物体的运动遵守这一规律，而且高速、微观物体的运动也遵守这一规律，D错。
2．现有甲、乙两滑块，质量分别为3m和m，以大小相等的速度v在光滑水平面上相向运动，发生了碰撞。已知碰撞后，甲滑块静止不动，那么这次碰撞是(　　)
A．弹性碰撞 B．非弹性碰撞
C．完全非弹性碰撞 D．条件不足，无法确定
解析：选A　由动量守恒有3m·v－mv＝0＋mv′，所以v′＝2v，碰前总动能：Ek＝·3m·v2＋mv2＝2mv2，碰后总动能：Ek′＝mv′2＝2mv2，Ek＝Ek′，所以A对。
完全非弹性碰撞问题
[例2]　质量为M的物块静止在光滑水平桌面上，质量为m的子弹以水平速度v0射入物块后，以水平速度射出。则物块的速度为________，此过程中损失的机械能为________。
[思路点拨]　解此题注意两点：
(1)子弹打物块过程中系统外力为零，动量守恒。
(2)子弹和物块系统动能的减少量等于损失的机械能。
[解析]　由动量守恒定律，mv0＝m·＋Mv，
解得v＝。
由能量守恒定律，此过程中损失的机械能为
ΔE＝mv02－m·2－Mv2
＝mv02－ m2v02。
[答案]　　mv02－ m2v02
“子弹打木块”模型在子弹未穿出的情况下与完全非弹性碰撞具有相同的运动特征。这种模型的特征是系统的动量守恒(或某一方向上的动量守恒)，部分动能转化为其他形式的能，末状态两物体相对静止。解决这类问题的要点是抓住两个守恒：动量守恒和能量守恒。　　　　
1．质量为M的木块在光滑的水平面上以速度v1向右运动，质量为m的子弹以速度v2向左射入木块并停留在木块中，要使木块停下来，发射子弹的数目是(　　)
A.　　 　 　　　B.
C. D.
解析：选D　设需发射n颗子弹，对整个过程由动量守恒定律可得：Mv1－nmv2＝0，所以n＝。
2．A、B两球发生碰撞，在碰撞过程中，A球的动量变化为ΔpA，B球的动量变化为ΔpB，则下列说法正确的是(　　)
A．只有发生对心碰撞时，才有ΔpA＝－ΔpB
B．只有发生弹性碰撞时，才有ΔpA＝－ΔpB
C．只有发生对心弹性碰撞时，才有ΔpA＝－ΔpB
D．不论碰撞是否为弹性，也不论是否对心，总有ΔpA＝－ΔpB
解析：选D　碰撞系统的总动量守恒，即总动量的变化量为零。所以A球的动量变化量与B球的动量变化量大小相等、方向相反，合动量为零，即Δp＝ΔpA＋ΔpB＝0，所以ΔpA＝－ΔpB。
3.如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑的水平面上，物体A被水平速度为v0的子弹击中，子弹嵌在其中，已知A的质量是B的质量的，子弹的质量是B的质量的。求：
(1)A物体获得的最大速度。
(2)弹簧压缩量最大时B物体的速度。
解析：设子弹的质量为m，则mB＝4m，mA＝3m。
(1)对子弹进入A的过程，由动量守恒得
mv0＝(m＋mA)v1
解得它们的共同速度，也是A的最大速度
v1＝＝。
(2)以子弹、A、B及弹簧组成的系统为研究对象，整个过程总动量守恒，当弹簧具有最大压缩量时，它们的速度相等，由动量守恒定律得
mv0＝(m＋mA＋mB)v2，
解得三者的共同速度，即弹簧有最大压缩量时B的速度
v2＝＝。
答案：(1)　(2)
　　　　　　　　　　 　　　　动量综合问题　 　　　　　　　　　　
一、选择题
1．如图，两滑块A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动，滑块A的质量为m，速度大小为2v0，方向向右，滑块B的质量为2m，速度大小为v0，方向向左，两滑块发生弹性碰撞后的运动状态是(　　)
A．A和B都向左运动　　 B．A和B都向右运动
C．A静止，B向右运动 D．A向左运动，B向右运动
解析：选D　取向右为正方向，根据动量守恒：m·2v0－2mv0＝mvA＋2mvB，知系统总动量为零，所以碰后总动量也为零，即A、B的运动方向一定相反。所以D正确；A、B、C错误。
2．质量M＝100 kg的小船静止在水面上，船首站着质量m甲＝40 kg的游泳者甲，船尾站着质量m乙＝60 kg的游泳者乙，船首指向左方，若甲、乙两游泳者同时在同一水平线上甲朝左、乙朝右以3 m/s的速率跃入水中，则(　　)
A．小船向左运动，速率为1 m/s
B．小船向左运动，速率为0.6 m/s
C．小船向右运动，速率大于1 m/s
D．小船仍静止
解析：选B　取向左为正方向，由动量守恒定律，有：0＝m甲 v＋Mv′＋m乙(－v)，代入数据得v′＝0.6 m/s，方向向左。
3.如图所示，光滑水平面上P物体与一个连着弹簧的Q物体正碰，正碰后P物体静止，Q物体以P物体碰前的速度v离开。已知P与Q质量相等，弹簧质量忽略不计，那么当弹簧被压缩至最短时，下列说法正确的是(　　)
A．P的速度恰好为零 B．P与Q具有相同的速度
C．Q刚开始运动 D．Q的速度等于v
解析：选B　P物体接触弹簧后，在弹簧弹力的作用下，P做减速运动，Q做加速运动，P、Q间的距离减小，当P、Q两物体速度相等时，弹簧被压缩到最短，所以B正确，A、C错误；由于作用过程中动量守恒，设速度相等时速度为v′，则mv＝(m＋m)v′，所以弹簧被压缩至最短时，P、Q的速度v′＝，故D错误。
4．一弹丸在飞行到距离地面5 m高时仅有水平速度v＝2 m/s，爆炸成为甲、乙两块水平飞出，甲、乙的质量比为3∶1。不计质量损失，取重力加速度g＝10 m/s2，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是(　　)
解析：选B　由h＝gt2可知，爆炸后甲、乙两块做平抛运动的时间t＝1 s，爆炸过程中，爆炸力对沿原方向运动的一块的冲量沿运动方向，故这一块的速度必然增大，即v＞2 m/s，因此水平位移大于2 m，C、D项错；甲、乙两块在爆炸前后，水平方向不受外力，故水平方向动量守恒，即甲、乙两块的动量改变量大小相等，两块质量比为3∶1，所以速度变化量之比为1∶3，由平抛运动在水平方向上，x＝v0t，所以A图中，v乙＝－0.5 m/s，v甲＝2.5 m/s，Δv乙＝2.5 m/s，Δv甲＝0.5 m/s，A项错，B图中，v乙＝0.5 m/s，v甲＝2.5 m/s，Δv乙＝1.5 m/s，Δv甲＝0.5 m/s，B项正确。
二、非选择题
5．一个物体静止于光滑水平面上，外面扣一质量为M的盒子，如图甲所示，现给盒子一初速度v0，此后，盒子运动的v-t图像呈周期性变化，如图乙所示，请据此求盒内物体的质量。
解析：设物体的质量为m，t0时刻受盒子碰撞获得速度v，根据动量守恒定律Mv0＝mv
3t0时刻物体与盒子右壁碰撞使盒子速度又变为v0，说明碰撞是弹性碰撞
则Mv02＝mv2，解得m＝M。
答案：M
6.如图所示，三个质量相同的滑块A、B、C，间隔相等地静置于同一水平直轨道上。现给滑块A向右的初速度v0，一段时间后A与B发生碰撞，碰后A、B分别以v0、v0的速度向右运动，B再与C发生碰撞，碰后B、C粘在一起向右运动。滑块A、B与轨道间的动摩擦因数为同一恒定值。两次碰撞时间均极短。求B、C碰后瞬间共同速度的大小。
解析：设滑块质量为m，A与B碰撞前A的速度为vA，由题意知，碰撞后A的速度vA′＝v0，
B的速度vB＝v0，由动量守恒定律得
mvA＝mvA′＋mvB①
设碰撞前A克服轨道阻力所做的功为WA，
由功能关系得WA＝mv02－mvA2②
设B与C碰撞前B的速度为vB′，B克服轨道阻力所做的功为WB，由功能关系得WB＝mvB2－mvB′2③
据题意可知WA＝WB④
设B、C碰撞后瞬间共同速度的大小为v，由动量守恒定律得mvB′＝2mv⑤
联立①②③④⑤式，代入数据得v＝v0。⑥
答案：v0
7.两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示。B与C碰撞后二者会粘在一起运动。则在以后的运动中：
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
解析：(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大。由A、B、C三者组成的系统动量守恒有
(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)·vABC，
解得vABC＝ m/s＝3 m/s。
(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为vBC，
则mBv＝(mB＋mC)vBC，解得vBC＝ m/s＝2 m/s，
设物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为Ep，根据能量守恒
Ep＝(mB＋mC)vBC2＋mAv2－(mA＋mB＋mC)vABC2＝×(2＋4)×22 J＋×2×62 J－×(2＋2＋4)×32 J＝12 J。
答案：(1)3 m/s　(2)12 J
8．如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3 m(h小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量为m1＝30 kg，冰块的质量为m2＝10 kg，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。
(1)求斜面体的质量；
(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
解析：(1)规定向右为速度正方向。冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3。由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得m2v20＝(m2＋m3)v①
m2v202＝(m2＋m3)v2＋m2gh②
式中v20＝－3 m/s为冰块推出时的速度。联立①②式并代入题给数据得m3＝20 kg。③
(2)设小孩推出冰块后的速度为v1，由动量守恒定律有m1v1＋m2v20＝0④
代入数据得v1＝1 m/s⑤
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒和机械能守恒定律有
m2v20＝m2v2＋m3v3⑥
m2v202＝m2v22＋m3v32⑦
联立③⑥⑦式并代入数据得v2＝1 m/s。⑧
答案：(1)20 kg　(2)不能