第七章 机械能守恒定律 第4、5节 题型整理word版含答案
文档属性
| 名称 | 第七章 机械能守恒定律 第4、5节 题型整理word版含答案 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 233.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2019-05-20 00:00:00 | ||
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文档简介
2019年春季学期人教版高一物理第七章第4、5节题型整理
题型一 重力势能的理解
题型二 重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性
题型三 绳、链条与流体类重力势能的计算
题型四 弹性势能的理解
题型五 弹性势能的探究
一、 重力势能的理解
(1)定义：物体由于被举高而具有的能．
(2)公式：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积．
．
h是物体重心到参考平面的高度．
(3)单位：焦(J)．
1J＝．
(4)重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．实际上是由h为相对量引起的．参考平面的选择不同，重力势能的值也就不同，一般取地面为参考平面．
在参考平面内的物体，EP＝0；
在参考平面上方的物体，EP＞0；
在参考平面下方的物体，EP＜0．
(5)重力势能是标量，它的正、负值表示大小．
(6)重力势能是地球和物体共有的．
例1、关于重力势能，下列说法中正确的是（ ）
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从-5J变化到-3J，重力势能变小了
D.重力势能的减小量等于重力对物体做的功
【答案】D
【解析】重力势能具有相对性，某个物体处于某个位置，相对不同的参考平面具有不同的重力势能，故A错；重力势能，h为相对零势能面的高度差，重力势能的大小与质量和高度两个因素有关，故B错误；重力势能可以为负，一个物体的重力势能从-5J变化到-3J，说明物体克服重力做功，重力势能变大，故C错误；只要重力做功，高度一定变化，故重力势能一定变化，重力做功多少，重力势能就变化多少，故D正确。
【总结升华】本题考查了重力势能的概念，及影响重力势能大小的两个因素，分析重力势能变化时，两个因素缺少一个得出的结论都是错误的。
例2、如图所示，一人造卫星绕地球做椭圆轨道运动，试比较该卫星在近地点与远地点时的重力势能大小．
【解析】设A、B两点与地球的距离分别为hA和hB．
错解一：因为，，，所以．
错解二：设卫星在A、B两处时的重力加速度分别为与．则有，．因为，所以．
正确解法：在AB连线上取A′点，使A与A′同处于以地心为圆心的同一圆弧上，则A′和A处物体重力势能大小相等。另外，卫星由B至A′时，引力做正功，重力势能减小，故有．
【总结升华】错解的原因是公式只能在地球表面及附近g值认为不变时才能适用，而卫星在A、B两点时的g值不同，重力势能的计算就不能用此公式了．
二、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性
1、重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．在参考平面内，物体的重力势能为零；在参考平面上方的物体，重力势能为正值；在参考平面下方的物体，重力势能为负值．
2、重力势能变化的不变性(绝对性)．
尽管重力势能的大小与参考平面的选择有关，但重力势能的变化量都与参考平面的选择无关，这体现了它的不变性(绝对性)．
3、某种势能的减少量，等于其相应力所做的功．
重力势能的减少量，等于重力所做的功；弹簧弹性势能的减少量，等于弹簧弹力所做的功．
4、重力势能的计算公式EP＝mgh，只适用于地球表面及其附近g值不变时的范围，若g值变化时，不能用其计算．
例3、质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h，如图所示，若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化分别是( )
A．mgh，减少mg(H-h) B．mgh，增加mg(H+h)
C．-mgh，增加mg(H-h) D．-mgh，减少mg(H+h)
【解析】小球落地时在参考平面以下，此时小球的重力势能为-mgh．小球在全过程中重力做正功，重力势能减少，，因此应选D．
【答案】D
【总结升华】重力势能的相对性是指其数值与参考平面的选择有关；重力势能变化的绝对性是指重力势能的变化量与所选择的参考平面无关．
例4、质量为20 kg的薄铁板平放在二楼的地面上，二楼地面与楼外地面的高度差为5 m．这块铁板相对二楼地面的重力势能为________J，相对楼外地面的重力势能为________J；将铁板提高1 m，若以二楼地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了________J；若以楼外地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了________J．(g取10N/kg)
【思路点拨】注意参考平面的选择。
【答案】0 103 200 200
【解析】根据重力势能的定义式，以二楼地面为参考平面：
EP＝0．
以楼外地面为参考平面：
EP＝mgh＝20×10×5J＝103 J．
以二楼地面为参考平面：
．
以楼外地面为参考平面：
．
【总结升华】重力势能的相对性是指其数值与参考平面的选择有关；重力势能变化的绝对性是指重力势能的变化量与所选择的参考平面无关．
三 绳、链条与流体类重力势能的计算
例5、如图所示，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂.用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l.重力加速度大小为g.在此过程中，外力做的功为( )
A．mgl B．mgl C．mgl D．mgl
【答案】A
【解析】由题意可知，PM段细绳的机械能不变，MQ段细绳的重心升高了，则重力势能增加ΔEp＝mg·＝mgl，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功为W＝mgl ，故选项A正确，B、C、D错误.
【易错点】没有在分析的过程中将绳子简化成质量都集中在重心的质点。
例6、如图所示，一条铁链长为2 m，质量为10 kg，放在水平地面上，拿住一端提起铁链直到铁链全部离开地面的过程中，物体克服重力做功为多少？物体的重力势能变化了多少?
【解析】:铁链从初状态到末状态，它的重心位置提高了，因而物体克服重力所做的功为，铁链的重力势能增加了98J．
例6、如图所示，有一连通器，左右两管的横截面积均为S，内盛密度为的液体，开始时两管内的液面高度差为h．若打开底部中央的阀门K，液体开始流动，最终两液面相平．在这一过程中，液体的重力势能变化了多少?是增加了还是减少了?如果是减少了，减少的重力势能到哪里去了?
【思路点拨】分析清楚哪段液柱的中心发生变化是关键。
【解析】由于A、B两管横截面积相等，液体是不可压缩的，所以B管中液面下降的高度和A管中液面上升的高度相同，液面最终静止在初始状态A管液面上方h处．
因为物体的重力势能变化与过程无关，只与初末状态的位置有关，所以可以将过程简化，视为将B管中高的液柱移动到A管中，达到液体最终静止的状态，而其他的液体的位置没有变化，对应的重力势能也没有变化，全部液体重力势能的变化，就是B管上部的液柱重力势能的减少．不难看出，B管中重力势能变化的部分液柱其重心的高度减小了，它的重力，所以全部液体重力势能减少了，减少的重力势能全部转化为了系统的内能．
例7、面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体小木块，木块边长a，密度为水的1/2，质量为m．开始时，木块静止，如图甲所示．现用力F将木块缓慢压到水池底部，不计摩擦．求：从木块刚好完全浸入水中到停止在池底的过程中，木块重力势能的改变量和池水重力势能的改变量．
【解析】由图乙知木块从位置1称到位置2，相当于使同体积的水从位置2移动到位置l，重心升高H-a，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置1和位置2的势能之差．木块的质量为m，与木块同体积的水的质量为2m，故水块和池水势能的改变量分别为，．
【总结升华】获取题目信息，同等效思想确定物体重心变化高度是解题关键．
例8、质量为m的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有的长度悬在桌边缘，如图所示，松手后，链条滑离桌面，问从开始到链条刚滑离桌面过程中重力势能变化了多少?
【答案】
【解析】解法一：等效法，由图中始态和末态比较，可等效成将开始桌面上的的链条移至末态的下端处，故重心下降了，所以重力势能减少了，即．
解法二：设桌面为参考面，开始时重力势能，末态时重力势能．
故重力势能变化量．
四 弹性势能的理解
例9、如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动．在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．弹簧的弹性势能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
c．弹簧的弹性势能先增大后减小
D．弹簧的弹性势能先减小后增大
【思路点拨】弹簧被压缩或被拉伸导致的形变量越大最长弹性势能越大。
【解析】由物体处于静止状态可知，弹簧处于压缩状态，撤去F物体在向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能应先减小后增大．
【答案】D
【总结升华】弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
例10、如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx，k为常量。
(1)请画出F随x变化的示意图；并根据F-x图像
求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功。
(2)物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中，
a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。
【解析】(1)F-x图像如图所示。
物块沿x轴从O点运动到位置x的过程，弹力做负功：F-x图线下的面积等于弹力做功大小。弹力做功
(2)a．物块由x1向右运动到x3的过程中，弹力做功
物块由x3向左运动到x2的过程中，弹力做功
整个过程中，弹力做功
弹性势能的变化量
b．整个过程中，摩擦力做功
与弹力做功比较：弹力做功与实际路径无关，只与始末位置有关，所以，我们可以定义一个由物体之间的相互作用力(弹力)和相对位置决定的能量——弹性势能。而摩擦力做功与x3有关，即与实际路径有关，所以，不可以定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”。
【总结升华】（1）由题设F=kx可知F与x成正比，即可画出F-x图像。图线下的面积即是弹力做功大小。（2）a.由弹力做功表达式求出全过程弹力功，弹性势能变化量等于弹力做功的负值。b. 列出全过程摩擦力的功的表达式可知，摩擦力做功与实际路径有关，所以不能定义“摩擦力势能”。
五、弹性势能的探究
例11、弹簧原长为，劲度系数为k．用力把它位到伸长量为l，拉力所做的功为W1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W2．试求W1与W2的比值．
【解析】利用F-l图像分析．
拉力F与弹簧的伸长量l成正比，故在图像中是一条倾斜直线，如图所示，直线下的相关面积表示功的大小．其中，线段OA下的三角形面积表示第一个过程中拉力所做的功W1，线段AB下的梯形面积表示第二个过程中拉力所做的功W2．显然，两块面积之比为l:3，即W1:W2＝1:3．
【总结升华】上述解法采用了教材探究弹性势能表达式的研究方法，即应用图像直观地进行分析．若记得弹性势能的表达式，也可由弹性势能的表达式进行计算．由于拉力做功使弹簧的弹性势能增加，故有，．
所以，W1与W2的比值W1:W2＝＝1:3．
例12、如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处由静止释放。某同学在研究小球落到弹簧上后继续向下运动到最低点的过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，做出小球所受弹力F大小随小球下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下判断正确的是（ ）
A． 当x=h+x0，小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和最小
B． 小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，速度先减小后增大
C． 小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，加速度先减小后增大
D． 小球动能的最大值为
【答案】ACD
【解析】根据乙图可知，当x=h+x0，小球的重力等于弹簧的弹力，此时小球具有最大速度，以弹簧和小球组成的系统，机械能守恒可知，重力势能与弹性势能之和最小，故A正确；小球刚落到弹簧上时，弹力小于重力，小球加速度向下，速度增大，随弹力的增加，加速度减小，当弹力等于重力时加速度为零，此时速度最大；然后向下运动时弹力大于重力，小球的加速度向上且逐渐变大，小球做减速运动直到最低点，则小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大，选项B错误，C正确；小球达到最大速度的过程中，根据动能定理可知mg(h+x0)?mg?x0＝mv2，故小球动能的最大值为mgh+mgx0，故D正确；故选ACD。
【易错点】不能正确分析小球的运动状态。
题型一 重力势能的理解
题型二 重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性
题型三 绳、链条与流体类重力势能的计算
题型四 弹性势能的理解
题型五 弹性势能的探究
一、 重力势能的理解
(1)定义：物体由于被举高而具有的能．
(2)公式：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积．
．
h是物体重心到参考平面的高度．
(3)单位：焦(J)．
1J＝．
(4)重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．实际上是由h为相对量引起的．参考平面的选择不同，重力势能的值也就不同，一般取地面为参考平面．
在参考平面内的物体，EP＝0；
在参考平面上方的物体，EP＞0；
在参考平面下方的物体，EP＜0．
(5)重力势能是标量，它的正、负值表示大小．
(6)重力势能是地球和物体共有的．
例1、关于重力势能，下列说法中正确的是（ ）
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从-5J变化到-3J，重力势能变小了
D.重力势能的减小量等于重力对物体做的功
【答案】D
【解析】重力势能具有相对性，某个物体处于某个位置，相对不同的参考平面具有不同的重力势能，故A错；重力势能，h为相对零势能面的高度差，重力势能的大小与质量和高度两个因素有关，故B错误；重力势能可以为负，一个物体的重力势能从-5J变化到-3J，说明物体克服重力做功，重力势能变大，故C错误；只要重力做功，高度一定变化，故重力势能一定变化，重力做功多少，重力势能就变化多少，故D正确。
【总结升华】本题考查了重力势能的概念，及影响重力势能大小的两个因素，分析重力势能变化时，两个因素缺少一个得出的结论都是错误的。
例2、如图所示，一人造卫星绕地球做椭圆轨道运动，试比较该卫星在近地点与远地点时的重力势能大小．
【解析】设A、B两点与地球的距离分别为hA和hB．
错解一：因为，，，所以．
错解二：设卫星在A、B两处时的重力加速度分别为与．则有，．因为，所以．
正确解法：在AB连线上取A′点，使A与A′同处于以地心为圆心的同一圆弧上，则A′和A处物体重力势能大小相等。另外，卫星由B至A′时，引力做正功，重力势能减小，故有．
【总结升华】错解的原因是公式只能在地球表面及附近g值认为不变时才能适用，而卫星在A、B两点时的g值不同，重力势能的计算就不能用此公式了．
二、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性
1、重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．在参考平面内，物体的重力势能为零；在参考平面上方的物体，重力势能为正值；在参考平面下方的物体，重力势能为负值．
2、重力势能变化的不变性(绝对性)．
尽管重力势能的大小与参考平面的选择有关，但重力势能的变化量都与参考平面的选择无关，这体现了它的不变性(绝对性)．
3、某种势能的减少量，等于其相应力所做的功．
重力势能的减少量，等于重力所做的功；弹簧弹性势能的减少量，等于弹簧弹力所做的功．
4、重力势能的计算公式EP＝mgh，只适用于地球表面及其附近g值不变时的范围，若g值变化时，不能用其计算．
例3、质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h，如图所示，若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化分别是( )
A．mgh，减少mg(H-h) B．mgh，增加mg(H+h)
C．-mgh，增加mg(H-h) D．-mgh，减少mg(H+h)
【解析】小球落地时在参考平面以下，此时小球的重力势能为-mgh．小球在全过程中重力做正功，重力势能减少，，因此应选D．
【答案】D
【总结升华】重力势能的相对性是指其数值与参考平面的选择有关；重力势能变化的绝对性是指重力势能的变化量与所选择的参考平面无关．
例4、质量为20 kg的薄铁板平放在二楼的地面上，二楼地面与楼外地面的高度差为5 m．这块铁板相对二楼地面的重力势能为________J，相对楼外地面的重力势能为________J；将铁板提高1 m，若以二楼地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了________J；若以楼外地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了________J．(g取10N/kg)
【思路点拨】注意参考平面的选择。
【答案】0 103 200 200
【解析】根据重力势能的定义式，以二楼地面为参考平面：
EP＝0．
以楼外地面为参考平面：
EP＝mgh＝20×10×5J＝103 J．
以二楼地面为参考平面：
．
以楼外地面为参考平面：
．
【总结升华】重力势能的相对性是指其数值与参考平面的选择有关；重力势能变化的绝对性是指重力势能的变化量与所选择的参考平面无关．
三 绳、链条与流体类重力势能的计算
例5、如图所示，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂.用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l.重力加速度大小为g.在此过程中，外力做的功为( )
A．mgl B．mgl C．mgl D．mgl
【答案】A
【解析】由题意可知，PM段细绳的机械能不变，MQ段细绳的重心升高了，则重力势能增加ΔEp＝mg·＝mgl，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功为W＝mgl ，故选项A正确，B、C、D错误.
【易错点】没有在分析的过程中将绳子简化成质量都集中在重心的质点。
例6、如图所示，一条铁链长为2 m，质量为10 kg，放在水平地面上，拿住一端提起铁链直到铁链全部离开地面的过程中，物体克服重力做功为多少？物体的重力势能变化了多少?
【解析】:铁链从初状态到末状态，它的重心位置提高了，因而物体克服重力所做的功为，铁链的重力势能增加了98J．
例6、如图所示，有一连通器，左右两管的横截面积均为S，内盛密度为的液体，开始时两管内的液面高度差为h．若打开底部中央的阀门K，液体开始流动，最终两液面相平．在这一过程中，液体的重力势能变化了多少?是增加了还是减少了?如果是减少了，减少的重力势能到哪里去了?
【思路点拨】分析清楚哪段液柱的中心发生变化是关键。
【解析】由于A、B两管横截面积相等，液体是不可压缩的，所以B管中液面下降的高度和A管中液面上升的高度相同，液面最终静止在初始状态A管液面上方h处．
因为物体的重力势能变化与过程无关，只与初末状态的位置有关，所以可以将过程简化，视为将B管中高的液柱移动到A管中，达到液体最终静止的状态，而其他的液体的位置没有变化，对应的重力势能也没有变化，全部液体重力势能的变化，就是B管上部的液柱重力势能的减少．不难看出，B管中重力势能变化的部分液柱其重心的高度减小了，它的重力，所以全部液体重力势能减少了，减少的重力势能全部转化为了系统的内能．
例7、面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体小木块，木块边长a，密度为水的1/2，质量为m．开始时，木块静止，如图甲所示．现用力F将木块缓慢压到水池底部，不计摩擦．求：从木块刚好完全浸入水中到停止在池底的过程中，木块重力势能的改变量和池水重力势能的改变量．
【解析】由图乙知木块从位置1称到位置2，相当于使同体积的水从位置2移动到位置l，重心升高H-a，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置1和位置2的势能之差．木块的质量为m，与木块同体积的水的质量为2m，故水块和池水势能的改变量分别为，．
【总结升华】获取题目信息，同等效思想确定物体重心变化高度是解题关键．
例8、质量为m的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有的长度悬在桌边缘，如图所示，松手后，链条滑离桌面，问从开始到链条刚滑离桌面过程中重力势能变化了多少?
【答案】
【解析】解法一：等效法，由图中始态和末态比较，可等效成将开始桌面上的的链条移至末态的下端处，故重心下降了，所以重力势能减少了，即．
解法二：设桌面为参考面，开始时重力势能，末态时重力势能．
故重力势能变化量．
四 弹性势能的理解
例9、如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动．在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．弹簧的弹性势能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
c．弹簧的弹性势能先增大后减小
D．弹簧的弹性势能先减小后增大
【思路点拨】弹簧被压缩或被拉伸导致的形变量越大最长弹性势能越大。
【解析】由物体处于静止状态可知，弹簧处于压缩状态，撤去F物体在向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能应先减小后增大．
【答案】D
【总结升华】弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
例10、如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx，k为常量。
(1)请画出F随x变化的示意图；并根据F-x图像
求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功。
(2)物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中，
a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。
【解析】(1)F-x图像如图所示。
物块沿x轴从O点运动到位置x的过程，弹力做负功：F-x图线下的面积等于弹力做功大小。弹力做功
(2)a．物块由x1向右运动到x3的过程中，弹力做功
物块由x3向左运动到x2的过程中，弹力做功
整个过程中，弹力做功
弹性势能的变化量
b．整个过程中，摩擦力做功
与弹力做功比较：弹力做功与实际路径无关，只与始末位置有关，所以，我们可以定义一个由物体之间的相互作用力(弹力)和相对位置决定的能量——弹性势能。而摩擦力做功与x3有关，即与实际路径有关，所以，不可以定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”。
【总结升华】（1）由题设F=kx可知F与x成正比，即可画出F-x图像。图线下的面积即是弹力做功大小。（2）a.由弹力做功表达式求出全过程弹力功，弹性势能变化量等于弹力做功的负值。b. 列出全过程摩擦力的功的表达式可知，摩擦力做功与实际路径有关，所以不能定义“摩擦力势能”。
五、弹性势能的探究
例11、弹簧原长为，劲度系数为k．用力把它位到伸长量为l，拉力所做的功为W1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W2．试求W1与W2的比值．
【解析】利用F-l图像分析．
拉力F与弹簧的伸长量l成正比，故在图像中是一条倾斜直线，如图所示，直线下的相关面积表示功的大小．其中，线段OA下的三角形面积表示第一个过程中拉力所做的功W1，线段AB下的梯形面积表示第二个过程中拉力所做的功W2．显然，两块面积之比为l:3，即W1:W2＝1:3．
【总结升华】上述解法采用了教材探究弹性势能表达式的研究方法，即应用图像直观地进行分析．若记得弹性势能的表达式，也可由弹性势能的表达式进行计算．由于拉力做功使弹簧的弹性势能增加，故有，．
所以，W1与W2的比值W1:W2＝＝1:3．
例12、如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处由静止释放。某同学在研究小球落到弹簧上后继续向下运动到最低点的过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，做出小球所受弹力F大小随小球下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下判断正确的是（ ）
A． 当x=h+x0，小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和最小
B． 小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，速度先减小后增大
C． 小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，加速度先减小后增大
D． 小球动能的最大值为
【答案】ACD
【解析】根据乙图可知，当x=h+x0，小球的重力等于弹簧的弹力，此时小球具有最大速度，以弹簧和小球组成的系统，机械能守恒可知，重力势能与弹性势能之和最小，故A正确；小球刚落到弹簧上时，弹力小于重力，小球加速度向下，速度增大，随弹力的增加，加速度减小，当弹力等于重力时加速度为零，此时速度最大；然后向下运动时弹力大于重力，小球的加速度向上且逐渐变大，小球做减速运动直到最低点，则小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大，选项B错误，C正确；小球达到最大速度的过程中，根据动能定理可知mg(h+x0)?mg?x0＝mv2，故小球动能的最大值为mgh+mgx0，故D正确；故选ACD。
【易错点】不能正确分析小球的运动状态。