数学人教A版必修3第三章 概 率（课件+练习）

章末检测试卷(三)(A)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列事件中，随机事件的个数是(　　)
①2020年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④若x∈R，则x2≥0.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
2．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本进行研究，则女同学甲被抽到的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为在分层抽样中，每位同学被抽到的机会是相等的，所以女同学甲被抽到的概率P＝＝.
3．某娱乐栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到带苦脸的商标就不获奖．参加这个游戏的观众有三次翻商标的机会．某观众前两次翻商标均获若干奖金，如果翻过的商标不能再翻，那么这位观众第三次翻商标获奖的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　该观众翻两次商标后，还有18个商标，其中有3个含奖金，所以第三次翻商标获奖的概率P＝＝.
4．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是(　　)
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案　A
解析　由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．
5．已知直线y＝x＋b在x轴上的截距在[－2,3]范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意知b∈[－3,2]，所以P(截距b大于1)＝＝.
6．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，有10种方法．能成为勾股数的只有3,4,5一组，∴P＝.
7．已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其面积平分，如图，故所求概率为.
8．某算法的程序框图如图所示．如果从集合{x|－5≤x≤5，x∈Z}中任取一个数作为x值输入，则输出的y值大于或等于3的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意得y＝集合{x|－5≤x≤5，x∈Z}中有11个整数，其中x＝－5，－4，－3时，
输出y≥3，所以P＝.故选B.
9．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有两个不相等的实根的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　方程有两个不相等的实根得到a与b的关系后求解，根据题意，a是从集合{1,2,3,4,5}中随机抽取的一个数，a有5种情况，b是从集合{1,2,3}中随机抽取的一个数，b有3种情况，则方程x2＋2ax＋b2＝0有3×5＝15(种)情况，若方程x2＋2ax＋b2＝0有两个不相等的实根，则Δ＝(2a)2－4b2>0，即a>b，其中总数有15种，a>b的情况有9种，概率为.
10．从一批苹果中随机抽取50个，其质量(单位：克)的频数分布表如下：
质量
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100]
频数
5
10
20
15
用分层抽样的方法从质量在[80,85)和[95,100]内的苹果中抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则恰有1个苹果的质量在[80,85)内的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设从质量在[80,85)内的苹果中抽取x个，则从质量在[95,100]内的苹果中抽取(4－x)个，因为频数分布表中[80,85)，[95,100]两组的频数分别为5,15，所以5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1，即抽取的4个苹果中质量在[80,85)内的有1个，记为a，质量在[95,100]内的有3个，记为b1，b2，b3，任取2个有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3，共6种情况，其中恰有1个苹果的质量在[80,85)内的有ab1，ab2，ab3，共3种情况，所以所求概率为＝，故选A.
11．如图，已知曲线C1：y＝，曲线C2和C3是半径相等且圆心在x轴上的半圆．在曲线C1与x轴所围成的区域内任取一点，则所取的点来自于阴影部分的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　曲线C1：y＝是圆(x－1)2＋y2＝1在x轴上方的一半，面积为π.曲线C2，C3是以为半径的半圆，所以阴影部分的面积为π2＝，所以所取的点来自阴影部分的概率为P＝＝.故选B.
12．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是(　　)
A．甲得9张，乙得3张
B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张
D．甲得10张，乙得2张
答案　A
解析　由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，
所以甲获胜的概率是＋×＝，
乙获胜的概率是×＝.
所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张)，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：
年降水量/mm
[100,150)
[150,200)
[200,250)
[250,300]
概率
0.21
0.16
0.13
0.12
则年降水量在[200,300](mm)范围内的概率是________．
答案　0.25
解析　“年降水量在[200,300](mm)范围内”由“年降水量在[200,250)(mm)范围内”和“年降水量在[250,300](mm)范围内”两个互斥事件构成，因此概率为0.13＋0.12＝0.25.
14．已知△ABC的面积等于S，在△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积不小于的概率等于________．
答案　
解析　设△ABC底边AB上的高为h，P1在△ABC的边AB上，且P1B＝，AP1＝.
则S△P1BC＝·P1B·h＝··h＝×·AB·h＝S，同理有S△P1AC＝S.因为△PBC的面积不小于，所以点P只能在线段AP1上．所以△PBC的面积不小于的概率等于.
15．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．
答案　
解析　第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为.
16．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A∪发生的概率为________．( 表示B的对立事件)
答案　
解析　事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与是互斥的，故P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1,2,3,4.现从盒子中随机抽取卡片．
(1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上的数字之和大于7的概率；
(2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求至少有一次抽到数字3的概率．
解　(1)设A表示事件“抽取的3张卡片上的数字之和大于7”，任取3张卡片，3张卡片上的数字的全部可能结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共4个．
其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，共2个，
故P(A)＝.
(2)设B表示事件“至少有一次抽到数字3”，
第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片的全部可能结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
至少有一次抽到数字3的结果有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，共7个．
故所求事件的概率为P(B)＝.
18．(12分)甲、乙两人相约于下午1：00～2：00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的．设在下午1：00～2：00之间该车站有四班公共汽车开出，开车时间分别是1：15,1：30,1：45,2：00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率：
(1)约定见车就乘；
(2)约定最多等一班车．
解　设甲、乙到站的时间分别是x，y，则1≤x≤2,1≤y≤2.试验区域D为点(x，y)所形成的正方形，以16个小方格表示，如图(a)所示．
(1)约定见车就乘的事件所表示的区域如图(b)中4个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为＝.
(2)约定最多等一班车的事件所表示的区域如图(c)中10个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为＝.
19．(12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．
解　(1)由题意可知：＝，解得n＝2.
(2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，
事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．
所以P(A)＝＝.
②记“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2＞4”，(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2＞4，(x，y)∈Ω}，
所以P(B)＝＝＝1－.
20．(12分)“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某组织进行了一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：
年龄/岁
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
调查人数
4
6
14
12
8
6
参与的人数
3
4
12
6
3
2
(1)补全如图所示有关调查人数的频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计这50名居民年龄的中位数和平均数(结果精确到0.1)；
(2)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20)，[20,30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率．
解　(1)补全频率分布直方图，如图所示：
这50名居民年龄的平均数约为(15×0.008＋25×0.012＋35×0.028＋45×0.024＋55×0.016＋65×0.012)×10＝41.4.
设中位数为x，则0.08＋0.12＋0.28＋0.024(x－40)＝0.5，解得x≈40.8，
所以这50名居民年龄的中位数约为40.8.
(2)记年龄在[10,20)内的居民为a1，A2，A3，A4(其中居民a1没有参与抢红包活动)，年龄在[20,30)内的居民为b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民b1，b2没有参与抢红包活动)．从年龄在[10,20)，[20,30)内的居民中各选取1人的情形有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，共24种．
其中仅有1人没有参与抢红包活动的情形有10种，所以选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率P＝＝.
21．(12分)M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩(单位：分)如茎叶图所示，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．
(1)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数；
(2)如果用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”的概率是多少？
解　(1)男生共有14人，中间两个成绩是175和176，因此男生成绩的中位数是175.5.
女生成绩的平均数＝＝181.
(2)用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是＝.
根据茎叶图，“甲部门”有8人，“乙部门”有12人．
所以选中的“甲部门”的有8×＝2(人)，“乙部门”的有12×＝3(人)．
记选中的“甲部门”的为A1，A2，选中的“乙部门”的为B，C，D.从这5人中选2人的所有可能情况为
(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种．
其中至少有一人是“甲部门”的结果有7种．
因此，至少有一人是“甲部门”的概率是.
22．(12分)交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)，畅通；T∈[2,4)，基本畅通；T∈[4,6)，轻度拥堵；T∈[6,8)，中度拥堵；T∈[8,10]，严重拥堵．在晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．
(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．
解　(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，
轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，
中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，
严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个)．
(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分为×6＝2，×9＝3，×3＝1，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，抽取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，抽取的1个严重拥堵路段为C1，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，共9种．
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为＝.
章末检测试卷(三)(B)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．以下事件是随机事件的是(　　)
A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄
C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大
答案　C
解析　A，B，D是必然事件．
2．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若它是肉馅包子的概率为，它不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　由题意，可知这个包子是肉馅或素馅的概率为，所以它是素馅包子的概率为－＝，故素馅包子的个数为10×＝3.
3．(2018·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(　　)
A．0.2 B．0.35 C．0.5 D．0.4
答案　B
解析　∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，
∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为
P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
4．(2018·钦州期中)根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为(　　)
A．15% B．20% C．45% D．65%
答案　D
解析　因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.
5．根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到一中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600人，则眼镜商应带滴眼液的数目为(　　)
A．600 B．787
C．不少于473 D．不多于473
答案　C
解析　由概率的意义，该校近视生人数约为78.7%×600＝472.2，结合实际情况，应带滴眼液不少于473瓶．
6．如图所示，将一个长与宽不等的长方形沿对角线分成四个区域，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，则下列对指针停留在各区域的可能性的说法正确的是(　　)
A．一样大 B．蓝白区域大
C．红黄区域大 D．由指针转动的圈数决定
答案　B
解析　哪个区域的张角大，则指针停留在哪个区域的可能性大，显然蓝、白区域的角度大，故选B.
7．小丽和小明一起用A，B两枚均匀的小正方体(小正方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小丽掷出的A小正方体朝上的数字为x，小明掷出的B小正方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在抛物线y＝－x2＋4x上的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　根据题意，两人各掷小正方体一次，每人都有6种可能性，则点P(x，y)的情况有6×6＝36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2,4)，(1,3)，(3,3)共3种．因此满足条件的概率为＝.
8．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　根据题意作出满足条件的几何图形求解．
如图所示，
正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是.
9．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法(　　)
A．公平，每个班被选到的概率都为
B．公平，每个班被选到的概率都为
C．不公平，6班被选到的概率最大
D．不公平，7班被选到的概率最大
答案　D
解析　P(1)＝0，P(2)＝P(12)＝，P(3)＝P(11)＝，P(4)＝P(10)＝，
P(5)＝P(9)＝，P(6)＝P(8)＝，P(7)＝，故选D.
10．下列概率模型中，几何概型的个数为(　　)
①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
②从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
③向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．
A．1 B．2 C．3 D．0
答案　B
解析　①是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；②不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；③是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性．
11．如图所示，在正方形围栏内均匀地撒入米粒，一只小鸡在其中随意啄食，则小鸡在正方形的内切圆中的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设正方形的边长为2R.
由几何概型的概率公式可得P＝＝，
即小鸡在正方形的内切圆中的概率为.
12．(2018·湖北省部分重点中学考试)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a，b，c，日销售量为21个的2天记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P＝，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
答案　12 000
解析　设保护区内有这种动物x只，因为每只动物被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝12 000.
14．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏________(“公平”或“不公平”)．
答案　公平
解析　向空中同时抛两枚同样的一元硬币，落地后的结果有“正正”“反正”“正反”“反反”四种情况，其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是，因此游戏是公平的．
15．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________．
答案　
解析　由对立事件的概率公式可得，所求概率为1－＝.
16．如图所示，有一个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为________．
答案　
解析　由题意可知，所有的基本事件数为12，其中为2或3的倍数的是2,3,4,6,8,9,10,12，共8个，故所求的概率为＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)体育彩票的抽奖方式是从写在36个球上的不同号码中随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码；也有人说，由于每个号码出现的机会相等，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，则应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
解　体育彩票抽奖时所用的标有36个号码的球大小、重量是一致的，严格地说，为了保证公平，每次用的36个球，只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形．因此，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．
18．(12分)(CB即Citizen Band民用波段的英文缩写)两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都在卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：00时莉莉在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈这一概率有多大？
解　设x和y分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x≤30,0≤y≤40，则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x，y)，这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈这一事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生(如图)．
因此构成该事件的点由满足不等式≤25的数对组成，此不等式等价于x2＋y2≤625，图中的长方形区域代表总的基本事件，阴影部分代表所求事件，长方形区域的面积为1 200平方公里，
而阴影部分的面积为π·(25)2＝(平方公里)．
于是有P＝＝＝.
19．(12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.
组号
分组
频数
1
[4,5)
2
2
[5,6)
8
3
[6,7)
7
4
[7,8]
3
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
解　方法一　(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个，所以所求的概率P＝.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05.
方法二　(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．
所以所求的概率P＝1－＝.
(2)同方法一．
20．(12分)已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．
解　(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，
由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，
所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．
故满足a·b＝－1的概率为＝.
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为
Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．
满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．
画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，
阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，
故满足a·b<0的概率为.
21．(12分)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
解　(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
22．(12分)某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；
(2)已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女生的概率．
解　(1)设第2组[30,40)的频率为f2，
f2＝1－(0.005＋0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.35；
第4组的频率为0.02×10＝0.2.
所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为P1＝0.35＋0.2＝0.55.
(2)设第1组[20,30)的频数为n1，则n1＝120×0.005×10＝6.
记第1组中的男性为x1，x2，女性为y1，y2，y3，y4，
随机抽取3名群众的基本事件是：(x1，x2，y1)，(x1，x2，y2)，(x1，x2，y3)，(x1，x2，y4)，(x1，y2，y1)，(x1，y3，y2)，(x1，y1，y3)，(x1，y4，y1)，(x1，y2，y4)，(x1，y3，y4)，(x2，y2，y1)，(x2，y3，y2)，(x2，y1，y3)，(x2，y4，y1)，(x2，y2，y4)，(x2，y3，y4)，(y1，y2，y3)，(y1，y2，y4)，(y2，y3，y4)，(y1，y3，y4)共20种．
其中至少有两名女性的基本事件是：(x1，y2，y1)，(x1，y3，y2)，(x1，y1，y3)，(x1，y4，y1)，(x1，y2，y4)，(x1，y3，y4)，(x2，y2，y1)，(x2，y3，y2)，(x2，y1，y3)，(x2，x4，y1)，(x2，y4，y4)，(x2，y3，y4)，(y1，y2，y3)，(y1，y2，y4)，(y2，y3，y4)，(y1，y3，y4)共16种．所以至少有两名女性的概率为P2＝＝.

§3.1　随机事件的概率
3.1.1　随机事件的概率
3.1.2　概率的意义
学习目标　1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的含义.2.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.3.了解概率的意义以及频率与概率的区别．
知识点一　事件的有关概念
1．事件的分类及三种事件
2．对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
思考　随机事件概念中的“在条件S下”能否去掉？
答案　不可以．
知识点二　概率与频率
1．频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
2．概率
(1)含义：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．
(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
知识点三　概率的意义
1．概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性．
2．实际问题中的几个实例
(1)游戏的公平性
①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为，所以这个规则是公平的．
②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．
(2)决策中的概率思想
如果面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则．这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
(3)天气预报的概率解释
天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小．
(4)试验与发现
概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔用豌豆作试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律．
(5)遗传机理中的统计规律
孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系．
1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.(　√　)
2．小概率事件就是不可能发生的事件．(　×　)
3．某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．(　×　)
4．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　√　)

题型一　事件的分类
例1　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)从分别标有1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；
(2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；
(3)函数y＝logax(a＞0且a≠1)在其定义域内是增函数；
(4)平行于同一直线的两条直线平行；
(5)某同学竞选学生会主席成功．
解　(2)为不可能事件，(4)为必然事件，(1)(3)(5)为随机事件．
反思感悟　对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
跟踪训练1　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
解　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
题型二　试验结果分析
例2　下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．
解　(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．
反思感悟　(1)准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础．
(2)在写试验结果时，一般采用列举法，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果不重不漏．
跟踪训练2　袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；(2)从中任取2球．
解　(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．
题型三　利用频率估计概率
例3　下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.
试验序号
抛掷的次数n
正面朝上的次数m
“正面朝上”出现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
245
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
解　由fn(A)＝可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.
反思感悟　(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
(2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
跟踪训练3　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组
[500,900)
[900,1 100)
[1 100,1 300)
频数
48
121
208
频率

[1 300,1 500)
[1 500,1 700)
[1 700,1 900)
[1 900，＋∞)
223
193
165
42
(1)求各组的频率；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
解　(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
概率的应用
典例　(1)某转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
①如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
②为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
(2)为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．
解　(1)①为了尽可能获胜，乙应选择方案B，猜“不是4的整数倍数”，这是因为“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.
②为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．
(2)设水库中鱼的尾数为n，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，先从水库中任捕一尾，
设事件A＝{带有记号的鱼}，易知P(A)＝，①
第二次从水库中捕出500尾，观察其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，由概率的统计定义可知P(A)＝，②
由①②两式，得＝，
解得n＝25 000.
所以估计水库中约有鱼25 000尾．
[素养评析]　(1)由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生．从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率．
(2)应用概率解决问题，其关键是收集和整理数据，处理数据，根据数据获得和解释结果，这些都是核心素养数据分析的主要表现．
1．下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品；
④下周六是晴天．
其中，是随机事件的是(　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
答案　D
解析　①为必然事件；对于③，次品总数为2，故取到的3个不可能都是次品，所以③是不可能事件；②④为随机事件．
2．在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是(　　)
A．3件都是正品 B．至少有一件是次品
C．3件都是次品 D．至少有一件是正品
答案　D
解析　12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件，故选D.
3．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　)
A．概率为 B．频率为
C．频率为8 D．概率接近于8
答案　B
解析　做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故＝为事件A的频率．
4．在10个学生中，男生有x人．现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为________．
答案　3或4
解析　由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，所以x＝3或x＝4.
5．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表.
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1 500
2 000
3 000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1 370
1 786
2 709
发芽的频率
(1)请完成上述表格(保留3位小数)；
(2)该油菜籽发芽的概率约为多少？
解　(1)填入题表中的数据依次为1.000,0.800，0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.
填表如下：
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1 500
2 000
3 000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1 370
1 786
2 709
发芽的频率
1.000
0.800
0.900
0.857
0.892
0.910
0.913
0.893
0.903
(2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
1．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
2．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大．
3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
一、选择题
1．今天北京降雨的概率是80%，上海降雨的概率是20%，下列说法不正确的是(　　)
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能不降雨
C．北京和上海今天都可能不降雨
D．北京今天降雨的可能性比上海大
答案　A
解析　北京降雨的概率大于上海降雨的概率，说明北京降雨的可能性比上海大，两个城市可能都降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨．
2．从1,2,3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和大于6”这一事件是(　　)
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
答案　C
解析　从所给的10个数中，任取3个数，其和最小为6.故事件“这3个数的和大于6”为随机事件，故选C.
3．下列现象：
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码．
其中是随机现象的是(　　)
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
答案　C
解析　由随机事件的定义知②③④正确．
4．某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是(　　)
A．明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水
B．明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水
C．明天本地降水的可能性是80%
D．以上说法均不正确
答案　C
解析　选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%而不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%，故选C.
5．下列说法中正确的有(　　)
①做9次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有5次出现正面，所以出现正面的概率是；
②盒子中装有大小均匀的3个红球，3个黑球，2个白球，每种颜色的球被摸到的可能性相同；
③从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性相同；
④分别从2名男生，3名女生中各选1名作为代表，那么每名学生被选中的可能性相同．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案　A
解析　①中，应为出现正面的频率是；②中，摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率；③中，取得的数小于0的概率大于不小于0的概率；④中，男生被抽到的概率为，而女生被抽到的概率为，故①②③④均不正确．
6．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都随机地选择其中一个选项，则一定有3道选择题结果正确．”这句话(　　)
A．正确 B．错误
C．不一定正确 D．以上都不对
答案　B
解析　虽然答对一道题的概率为，但实际问题中，并不意味着一定答对3道，可能全对，可能对3道，也可能全不对．
7．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4位病人都未治愈，则第5位病人的治愈率为(　　)
A．1 B. C. D．0
答案　B
解析　治愈率为，表明每位病人被治愈的概率均为，并不是5人中必有1人被治愈．故选B.
8．下列结论正确的是(　　)
A．设事件A的概率为P(A)，则必有0＜P(A)＜1
B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
答案　C
解析　因为0≤P(A)≤1，所以A项不正确．若事件A是必然事件，则P(A)＝1，故B项不正确；奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D项不正确．故选C.
9．同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况(　　)
A．这100个铜板两面是相同的
B．这100个铜板两面是不相同的
C．这100个铜板中有50个两面是相同的，另外50个两面是不相同的
D．这100个铜板中有20个两面是相同的，另外80个两面是不相同的
答案　A
解析　落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是相同的可能性较大．
二、填空题
10．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________．
答案　3∶1
解析　将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：
(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．
至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1.
11．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
答案　120
解析　分层抽样也是等比例抽样，所以总体个数为10÷＝120.
12．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是.
其中正确的命题有__________．(填序号)
答案　④
解析　①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．
三、解答题
13．街头有人摆一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时，白方胜，这种游戏对双方公平吗？若不公平，请说明哪方占便宜？
解　两枚骰子点数之和如下表：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种，概率是＝，
两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共24种，概率是＝.所以这种游戏不公平，白方比较占便宜．
14．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2 100
1 000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，
所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为＝.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选C.
15．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为______，估计数据落在[2,10)内的概率约为________．
答案　64　0.4
解析　数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，
由频率估计概率知，所求概率为0.4.
课件39张PPT。3.1.1　随机事件的概率
3.1.2　概率的意义第三章 §3.1　随机事件的概率学习目标XUEXIMUBIAO1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的含义.
2.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
3.了解概率的意义以及频率与概率的区别.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一　事件的有关概念必然1.事件的分类及三种事件随机不可能2.对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.思考　随机事件概念中的“在条件S下”能否去掉？答案　不可以.知识点二　概率与频率
1.频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中______
为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝ 为事件A出现的频率.
2.概率
(1)含义：概率是度量随机事件发生的 的量.
(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的 随着试验次数的增加稳定于 ，因此可以用 来估计 .可能性大小频率fn(A)事件A概率P(A)频率fn(A)出现的次数nA概率P(A)知识点三　概率的意义
1.概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是 的，但随机性中含有 ，认识了这种随机性中的 ，就能比较准确地预测随机事件发生的 .
2.实际问题中的几个实例
(1)游戏的公平性
①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权
的概率均为 ，所以这个规则是 的.
②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是 的这一重要原则.随机规律性规律性可能性公平公平(2)决策中的概率思想
如果面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“__________
”可以作为决策的准则.这种判断问题的方法称为 ，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.
(3)天气预报的概率解释
天气预报的“降水概率”是 事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的 .现的可能性最大使得样本出极大似然法随机大小(4)试验与发现
概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔用豌豆作试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近 ，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律.
(5)遗传机理中的统计规律
孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律.利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与 的关系，以及频率与 的关系.3∶1规律性概率1.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.(　　)
2.小概率事件就是不可能发生的事件.(　　)
3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.(　　)
4.在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.(　　)思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√××√2题型探究PART TWO题型一　事件的分类例1　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.
(1)从分别标有1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；
(2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；
(3)函数y＝logax(a＞0且a≠1)在其定义域内是增函数；
(4)平行于同一直线的两条直线平行；
(5)某同学竞选学生会主席成功.解　(2)为不可能事件，(4)为必然事件，(1)(3)(5)为随机事件.反思感悟　对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.跟踪训练1　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；解　购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件.(2)三角形的内角和为180°；解　所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件.(3)没有空气和水，人类可以生存下去；解　空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件.(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；解　同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件.(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；解　任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件.(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.解　由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.解　一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正).题型二　试验结果分析例2　下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果.
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币；解　一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}.(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集.反思感悟　(1)准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础.
(2)在写试验结果时，一般采用列举法，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果不重不漏.跟踪训练2　袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球；解　条件为：从袋中任取1球.结果为：红、白、黄、黑4种.(2)从中任取2球.解　条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种.题型三　利用频率估计概率例3　下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果.n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.反思感悟　(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.
(2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率.跟踪训练3　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：(1)求各组的频率；解　频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.解　样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.核心素养之数据分析HEXINSUYANGZHISHUJUFENXI概率的应用典例　(1)某转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案中选一种：
A.猜“是奇数”或“是偶数”；
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”.
请回答下列问题：
①如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？解　为了尽可能获胜，乙应选择方案B，猜“不是4的整数倍数”，这是因为“不是4的整数倍数”的概率为 ＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.②为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？解　为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性.(2)为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数.解　设水库中鱼的尾数为n，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，先从水库中任捕一尾，第二次从水库中捕出500尾，观察其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，解得n＝25 000.
所以估计水库中约有鱼25 000尾.素养评析　(1)由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生.从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
(2)应用概率解决问题，其关键是收集和整理数据，处理数据，根据数据获得和解释结果，这些都是核心素养数据分析的主要表现.3达标检测PART THREE1.下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品；
④下周六是晴天.
其中，是随机事件的是
A.①② B.②③ C.③④ D.②④√12345解析　①为必然事件；
对于③，次品总数为2，故取到的3个不可能都是次品，所以③是不可能事件；
②④为随机事件.2.在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是
A.3件都是正品 B.至少有一件是次品
C.3件都是次品 D.至少有一件是正品解析　12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件，故选D.12345√3.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的12345√如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率.123454.在10个学生中，男生有x人.现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生.若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为______.3或4解析　由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，所以x＝3或x＝4.123455.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表.(1)请完成上述表格(保留3位小数)；解　填入题表中的数据依次为1.000,0.800,0.900,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.
填表如下：1234512345(2)该油菜籽发芽的概率约为多少？解　由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.课堂小结KETANGXIAOJIE1.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率.
2.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大.
3.利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养. 3.1.3　概率的基本性质
学习目标　1.了解互斥事件概率的加法公式.2.理解事件的关系与运算.3.会用对立事件的特征求概率．
知识点一　事件的关系与运算
1．事件的关系
定义
表示法
图示
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等关系
A?B且B?A
A＝B
2.关于事件的运算
定义
表示法
图示
并事件
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
知识点二　互斥与对立
互斥事件和对立事件的定义
互斥事件
定义
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
符号
A∩B＝?
图示
注意事项
例如，在掷骰子试验中，记C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，则C1与C2互斥
对立事件
定义
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
符号
A∩B＝?，且A∪B＝Ω
图示
注意事项
A的对立事件一般记作
知识点三　概率的基本性质
概率的几个基本性质
1．概率的取值范围为[0,1]．
2．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
3．概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，
则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
特别地，若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
1．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(　×　)
2．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(　√　)
3．若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(　√　)
题型一　事件关系的判断
例1　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
解　(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
反思感悟　(1)要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．
(2)考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．
跟踪训练1　(1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(　　)
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
(2)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．至多有一次中靶 B．只有一次中靶
C．两次都中靶 D．两次都不中靶
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．
(2)A，B，C中的事件均能与事件“至少有一次中靶”同时发生，故A，B，C错误，选D.
题型二　事件的运算
例2　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
解　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
反思感悟　事件间运算方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
跟踪训练2　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：
(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？
解　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.
题型三　用互斥、对立事件求概率
例3　某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
解　设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则
(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.
反思感悟　互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
跟踪训练3　甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
解　(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－－＝.
(2)方法一　“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输)＝＋＝.
方法二　“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)＝1－＝，故甲不输的概率为.
用方程的思想求概率
典例　袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.
(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；
(2)从中任取一球，求得到的不是红球或绿球的概率．
解　(1)从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，
则P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.
联立
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，，.
(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝＋＝，
故得到的不是红球或绿球的概率P＝1－P(A∪D)＝1－＝.
[素养评析]　(1)求概率可以考虑用对立事件、互斥事件的概率加法公式求解．如果有多个待求量，可以列方程组求解．
(2)理解运算对策，选择运算方法，求得运算结果，这都是数学核心素养数学运算的具体体现．
1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
答案　C
解析　A中两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.
2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7
答案　C
解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.
3．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(　　)
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
答案　D
解析　由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确．
4．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
答案　
解析　由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
5．由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.15
0.3
0.31
0.1
0.04
则至多2个人排队的概率为________．
答案　0.55
解析　P＝0.1＋0.15＋0.3＝0.55.
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
2．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.
一、选择题
1．袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．至少有一个白球与都是白球
B．至少有一个白球与至少有一个红球
C．恰有一个红球与一个白球一个黑球
D．至少有一个红球与红、黑球各一个
答案　C
解析　直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可．
2．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是(　　)
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
答案　D
解析　由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．
3．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　　)
A．0.3 B．0.7 C．0.1 D．1
答案　A
解析　∵A，B是互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，
∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.
4．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有(　　)
①恰有一名男生和全是男生；
②至少有一名男生和至少有一名女生；
③至少有一名男生和全是男生；
④至少有一名男生和全是女生．
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①④
答案　D
解析　①是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；②不是互斥事件；③不是互斥事件；④是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生．
5．某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为和，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　“甲班取得冠军”和“乙班取得冠军”是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为＋＝.
6．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　　)
A．A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与不可能互斥
答案　B
解析　用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，∪是必然事件，故选B.
7．下列四个命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　D
解析　对立事件首先是互斥事件，故①正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率的加法公式，故②不正确；概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故③不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确，比如在掷骰子试验中，设事件A＝{正面为奇数}，B＝{正面为1,2,3}，则P(A)＋P(B)＝1.而A，B不互斥，故④不正确．
8．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为，4位同学都选周日的概率为，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P＝1－－＝＝，故选D.
9．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝＝.
二、填空题
10．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
答案　
解析　由题意知摸出的2只球的颜色相同的概率为，故所求概率P＝1－＝.
11．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是________．
答案　
解析　设a，b分别为甲、乙摸出球的编号．由题意知，摸球试验共有36种不同的结果，满足a＝b的基本事件共有6种．所以摸出编号不同的概率P＝1－＝.
12．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
答案　120
解析　可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－＝.再由题意，知n－n＝12，解得n＝120.
三、解答题
13．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员在一次射击中：
(1)命中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
解　记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak之间彼此互斥．
(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6.
(2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
14．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券是特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖的概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解　(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
15．某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
派出人数
≤2
3
4
5
≥6
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率；
(2)求至少有3人外出家访的概率．
解　(1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C，D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，由对立事件的概率可知，P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
课件38张PPT。3.1.3　概率的基本性质第三章 §3.1　随机事件的概率学习目标XUEXIMUBIAO1.了解互斥事件概率的加法公式.
2.理解事件的关系与运算.
3.会用对立事件的特征求概率.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一　事件的关系与运算1.事件的关系一定发生B?AA?B2.关于事件的运算事件A发生或事A∪BA＋B件B发生事件A发生且事件B发生A∩BAB互斥事件和对立事件的定义知识点二　互斥与对立知识点三　概率的基本性质
概率的几个基本性质
1.概率的取值范围为 .
2. 的概率为1， 的概率为0.
3.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，
则P(A∪B)＝ .
特别地，若A与B为对立事件，则P(A)＝ .
P(A∪B)＝ ，P(A∩B)＝ .[0,1]不可能事件必然事件P(A)＋P(B)1－P(B)101.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.(　　)
2.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.(　　)
3.若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(　　)思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√2题型探究PART TWO题型一　事件关系的判断例1　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；解　是互斥事件，不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；解　既是互斥事件，又是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.解　不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.反思感悟　(1)要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件.
(2)考虑事件的结果间是否有交事件.可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析.跟踪训练1　(1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是
A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球√解析　根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；
B中两事件是对立事件；
C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；
D中两事件是互斥而不对立事件.(2)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是
A.至多有一次中靶 B.只有一次中靶
C.两次都中靶 D.两次都不中靶√解析　A，B，C中的事件均能与事件“至少有一次中靶”同时发生，故A，B，C错误，选D.题型二　事件的运算例2　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：解　因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；解　因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.反思感悟　事件间运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.跟踪训练2　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.则：
(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？解　对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？解　对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.题型三　用互斥、对立事件求概率例3　某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；解　设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.(2)至少射中7环的概率.解　因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.反思感悟　互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.跟踪训练3　甲、乙两人下棋，和棋的概率是 ，乙获胜的概率为 ，
求：(1)甲获胜的概率；解　“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，(2)甲不输的概率.解　方法一　“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，方法二　“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，典例　袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 .核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN用方程的思想求概率(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；解　从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，(2)从中任取一球，求得到的不是红球或绿球的概率.解　事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D，素养评析　(1)求概率可以考虑用对立事件、互斥事件的概率加法公式求解.如果有多个待求量，可以列方程组求解.
(2)理解运算对策，选择运算方法，求得运算结果，这都是数学核心素养数学运算的具体体现.3达标检测PART THREE1.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”√12345解析　A中两个事件能同时发生，故不互斥；
同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；
D中两个事件是对立的，故选C.2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是
A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.12345√3.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是
A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C.A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件12345√解析　由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确.123454.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为 ，乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠
军的概率为________.解析　由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，
但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，123455.由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：则至多2个人排队的概率为______.0.55解析　P＝0.1＋0.15＋0.3＝0.55.课堂小结KETANGXIAOJIE1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.
2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
3.求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.§3.2　古典概型
学习目标　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.理解(整数值)随机数(random numbers)的产生．
知识点一　基本事件
1．定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件．
2．特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
知识点二　古典概型
1．定义：古典概型满足的条件：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
2．计算公式：对于古典概型，任何事件的概率为
P(A)＝.
知识点三　随机数的产生
1．随机数的产生
(1)标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n.
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌．
(3)摸取：从中摸出一个．
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数．
2．伪随机数的产生
(1)规则：依照确定算法．
(2)特点：具有周期性(周期很长)．
(3)性质：它们具有类似随机数的性质．
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数．
3．产生随机数的常用方法
(1)用计算器产生．(2)用计算机产生．(3)抽签法．
4. 随机模拟方法(蒙特卡罗方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．
1．任何一个事件都是一个基本事件．(　×　)
2．古典概型中每一个基本事件出现的可能性相等．(　√　)
3．古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的．(　√　)
4．相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．(　×　)
题型一　基本事件的计数问题
例1　将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个基本事件？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？
解　方法一　(列举法)：
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的所有结果为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件．
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
方法二　(列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．
(1)由图知，基本事件总数为36.
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．
方法三　(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
(1)由图知，共36个基本事件．
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出)．
反思感悟　基本事件的三个探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．列表法适用于较简单的试验问题，基本事件数较多的试验不适合用列表法．
(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题．
跟踪训练1　(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有基本事件；
②求这个试验的基本事件的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？
(1)答案　C
解析　用列举法列举出“数字之和为奇数”的基本事件为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种．
(2)解　①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
②这个试验包含的基本事件的总数是8.
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
题型二　古典概型的概率计算
例2　将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况．
(1)一共有多少种不同的结果？
(2)点数之和为5的结果有多少种？
(3)点数之和为5的概率是多少？
解　(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6种结果，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(种)不同的结果．
(2)点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
共4种．
(3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36种结果是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的结果有4种，因此所求概率P(A)＝＝.
反思感悟　首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断基本事件是否为等可能事件，并用字母A表示所求事件；再次，求出基本事件的总数n及事件A包含的基本事件的个数m；最后，利用公式
P(A)＝＝，求出事件A的概率．
跟踪训练2　(2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
解　(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有
{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，
则所求事件的概率为P＝.
题型三　随机模拟法估计概率
例3　种植某种树苗成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．设计一个试验，用随机模拟法估计上述概率．
解　利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：
69801　66097　77124　22961　74235　31516　29747　24945
57558　65258　74130　23224　37445　44344　33315　27120
21782　58555　61017　45241　44134　92201　70362　83005
94976　56173　34783　16624　30344　01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率约为＝0.3.
反思感悟　利用随机模拟估计概率应关注三点
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
跟踪训练3　袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13　24　12　32　43　14　24　32　31　21
23　13　32　21　24　42　13　32　21　34
据此估计，直到第二次就停止的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　20组随机数中，第一次不是4且第二次是4的数共有5组，故估计直到第二次就停止的概率为＝.
综合型古典概型的概率计算
典例　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解　(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，
所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
因为事件A由4个基本事件组成，所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝.
[素养评析]　(1)解决有序和无序问题应注意两点
①关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
②关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
(2)对于求古典概型的概率问题，关键是判断事件是否为古典概型，能正确求出基本事件的个数，利用公式求解概率，这些都是数学核心素养数学运算的体现.
1．下列试验是古典概型的是(　　)
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球得白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．某篮球运动员投篮一次命中的概率
答案　B
解析　A，D不是等可能事件，C不满足有限性，故选B.
2．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出的三条线段为边可组成三角形的概率为(　　)
A．0 B. C. D.
答案　B
解析　从中任取三条线段共有4种取法，能构成三角形的只有长度为2,3,4的线段，所以P＝，故选B.
3．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝＝.
4．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为________．
答案　
解析　设两个红球分别为A，B，两个白球分别为C，D，从中任取两个球，有如下取法：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种情形，其中颜色相同的有(A，B)，(C，D)，共2种情形，故P＝＝.
5．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．求所取的2道题不是同一类题的概率．
解　将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
1．古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m，n.
2．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．
3．对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度．
一、选择题
1．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1、红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P＝＝.
2．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P＝.
3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则基本事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P＝.
4．从1,2,3,4,5,6这6个数中不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　从6个数中不放回地任取两数，共有30个基本事件，其中两数都是偶数的有(2,4)，(2,6)，(4,6)，(4,2)，(6,2)，(6,4)，共6种，则两数都是偶数的概率是.
5．从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　直线y＝kx＋b不经过第三象限，即将取出的两个数记为(k，b)，则一共有(－1，－2)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2,1)，(2,2)九种情况，符合题意的有(－1,1)，(－1,2)两种情况，所以概率为.
6．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－＝.
7．已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947
1417　4698　0371　6233　2616　8045　6011　3661
9597　7424　7610　4281
据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵4次射击中有1次或2次击中目标的有：7140,1417,0371,6011,7610，∴所求概率P＝1－＝.
8．袋中有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个．
两球颜色为一白一黑的基本事件有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．
所以其概率为＝.
9．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得，基本事件的总数有36种．因此他们“心有灵犀”的概率为＝.
10．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任选2人，则至少有1名优秀工人的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由茎叶图可知6名工人日加工的零件个数为17,19,20,21,25,30.平均数为×(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，因为日加工零件个数大于22的为25,30，
所以优秀工人有2人．
从该车间6名工人中，任取2人共有15种取法：(17,19)，(17,20)，(17,21)，(17,25)，(17,30)，(19,20)，(19,21)，(19,25)，(19,30)，(20,21)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30)．
其中至少有1名优秀工人的共有9种取法：(17,25)，(17,30)，(19,25)，(19,30)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30)．由概率公式可得P＝＝.故选C.
二、填空题
11．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________．
答案　
解析　用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种，2名都是女同学的选法为ab，ac，bc，共3种，故所求的概率为＝.
12．有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1,2,3,4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为________．
答案　
解析　从四个小球中任取两个，有6种取法，分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，其中两个号码都为偶数的只有(2,4)这1种取法，故其对立事件，即至少有一个号码为奇数的概率为1－＝.
三、解答题
13．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解　(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1,150×＝3,100×＝2，
所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，C1}，{A1，C2}，
{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，
{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，
共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件出现的机会是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
14．一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是________．
答案　
解析　一次掷两枚骰子，得到的基本事件共有36个．因为方程有实根，所以Δ＝(m＋n)2－16≥0.所以m＋n≥4，其对立事件是m＋n＜4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件．
所以所求概率为1－＝.
15．从中随机抽取一个数记为a，从{－1,1，－2,2}中随机抽取一个数记为b，求函数f(x)＝ax＋b的图象经过第三象限的概率．
解　根据题意，从集合中随机抽取一个数记为a，有4种情况，从{－1,1，－2,2}中随机抽取一个数记为b，有4种情况，则f(x)＝ax＋b的情况有4×4＝16种．
函数f(x)＝ax＋b的图象经过第三象限，有①a＝3，b＝－1，②a＝3，b＝－2，③a＝2，b＝－1，④a＝2，b＝－2，⑤a＝，b＝－2，⑥a＝，b＝－2，共6种情况．
故函数的图象经过第三象限的概率为＝.
课件41张PPT。§3.2　古典概型第三章　概　率学习目标XUEXIMUBIAO1.理解古典概型及其概率计算公式.
2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
3.理解(整数值)随机数(random numbers)的产生.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一　基本事件1.定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的____
事件称为该次试验的基本事件.
2.特点：(1)任何两个基本事件是 的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的 .随机互斥和知识点二　古典概型1.定义：古典概型满足的条件：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有 个；
(2)每个基本事件出现的可能性 .
2.计算公式：对于古典概型，任何事件的概率为有限相等1.随机数的产生
(1)标号：把n个 相同的小球分别标上1,2,3，…，n.
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们 .
(3)摸取：从中摸出 .
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.
2.伪随机数的产生
(1)规则：依照确定算法.
(2)特点：具有周期性(周期很长).
(3)性质：它们具有类似 的性质.
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为 .大小、形状一个充分搅拌知识点三　随机数的产生随机数伪随机数3.产生随机数的常用方法
(1) .(2) .(3) .
4. 随机模拟方法(蒙特卡罗方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的 来估计 ，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.用计算器产生频率用计算机产生抽签法概率1.任何一个事件都是一个基本事件.(　　)
2.古典概型中每一个基本事件出现的可能性相等.(　　)
3.古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的.(　　)
4.相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.(　　)思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√×2题型探究PART TWO题型一　基本事件的计数问题例1　将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个基本事件？解　方法一　(列举法)：
用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的所有结果为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件.方法二　(列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应.由图知，基本事件总数为36.方法三　(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.如图所示：由图知，共36个基本事件.(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？解　方法一　(列举法)：
“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).方法二　(列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应.(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出).方法三　(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.如图所示：点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出).反思感悟　基本事件的三个探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.
(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数.列表法适用于较简单的试验问题，基本事件数较多的试验不适合用列表法.
(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题.跟踪训练1　(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为
A.2 B.3 C.4 D.6√解析　用列举法列举出“数字之和为奇数”的基本事件为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种.(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上.
①写出这个试验的所有基本事件；解　这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反).②求这个试验的基本事件的总数；解　这个试验包含的基本事件的总数是8.③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？解　“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).题型二　古典概型的概率计算例2　将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况.
(1)一共有多少种不同的结果？解　将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6种结果，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(种)不同的结果.(2)点数之和为5的结果有多少种？解　点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种.解　正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36种结果是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的结果有4种，因此所求概率P(A)(3)点数之和为5的概率是多少？反思感悟　首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断基本事件是否为等可能事件，并用字母A表示所求事件；再次，求出基本事件的总数n及事件A包含的基本事件的个数m；最后，利用公式跟踪训练2　(2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；解　由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个.
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解　从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有
{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，题型三　随机模拟法估计概率例3　种植某种树苗成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率.设计一个试验，用随机模拟法估计上述概率.解　利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组.例如，产生30组随机数：
69801　66097　77124　22961　74235　31516　29747　24945
57558　65258　74130　23224　37445　44344　33315　27120
21782　58555　61017　45241　44134　92201　70362　83005
94976　56173　34783　16624　30344　01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率约为 ＝0.3.反思感悟　利用随机模拟估计概率应关注三点
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.跟踪训练3　袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13　24　12　32　43　14　24　32　31　21
23　13　32　21　24　42　13　32　21　34
据此估计，直到第二次就停止的概率为√解析　20组随机数中，第一次不是4且第二次是4的数共有5组，典例　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件.
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN综合型古典概型的概率计算解　每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2).
其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的.
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，
所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}.(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.解　有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件.
由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}.素养评析　(1)解决有序和无序问题应注意两点
①关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.
②关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.
(2)对于求古典概型的概率问题，关键是判断事件是否为古典概型，能正确求出基本事件的个数，利用公式求解概率，这些都是数学核心素养数学运算的体现.3达标检测PART THREE1.下列试验是古典概型的是
A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球得
白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D.某篮球运动员投篮一次命中的概率√12345解析　A，D不是等可能事件，C不满足有限性，故选B.2.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出的三条线段为边可组成三角形的概率为解析　从中任取三条线段共有4种取法，能构成三角形的只有长度为2,3,4的线段，12345√3.在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为12345解析　用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，√123454.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球
颜色相同的概率为_____.解析　设两个红球分别为A，B，两个白球分别为C，D，从中任取两个球，有如下取法：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种情形，其中颜色相同的有(A，B)，(C，D)，共2种情形，123455.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.求所取的2道题不是同一类题的概率.解　将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，
而且这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“不是同一类题”这一事件，
则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，12345课堂小结KETANGXIAOJIE1.古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝ 时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m，n.
2.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.
3.对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度.§3.3　几何概型
学习目标　1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.2.会求一些简单的几何概型的概率.3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率．
知识点一　几何概型的概念及特点
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
知识点二　几何概型的概率公式
事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成比例，故可用区域的测度代替基本事件数．
P(A)＝.
知识点三　均匀随机数
1．均匀随机数的定义
如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．
2．均匀随机数的特征
(1)随机数是在一定范围内产生的．
(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等．
3．均匀随机数的产生
(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是RAND.
(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand ( )”．
(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；
③由计算器或计算机产生．
1．在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　√　)
2．与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　×　)
3．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　√　)
4．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．(　×　)
题型一　几何概型的识别
例1　下列关于几何概型的说法错误的是(　　)
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
答案　A
解析　几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个．
反思感悟　几何概型特点的理解
(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；
(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．
跟踪训练1　判断下列概率模型是古典概型还是几何概型．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；
(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．
解　(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型．
(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．

题型二　几何概型的计算
命题角度1　与长度有关的几何概型
例2　取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率为多少？
解　如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A)＝.
反思感悟　在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．
跟踪训练2　(1)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)
A. B. C. D.
(2)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为 ．
答案　(1)B　(2)
解析　(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知，所求概率为P＝＝.故选B.
(2)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1，得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，
∴在[－1,2]上取一个数x，则|x|≤1的概率P＝.
命题角度2　与面积有关的几何概型
例3　(1)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)
A．1－ B.－1 C．2－ D.
(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率．
(1)答案　A
解析　由题意知，将两个四分之一圆合在一起，其面积为×π×12＝，矩形面积为2，则所求概率为＝1－.
(2)解　在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，区域Ω是边长为4的正方形区域，其中满足x2＋y2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S阴＝π×22＝4π，所以P＝＝.
反思感悟　解与面积有关的几何概型问题的关键点
(1)根据题意确认是不是与面积有关的几何概型问题．
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式求得概率．
跟踪训练3　一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
解　如图所示，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形．
图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．
由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．
所以P(A)＝＝≈0.31.
即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为0.31.
命题角度3　与体积有关的几何概型
例4　已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率．
解　如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于.
设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得△A1B1C1的面积为.
由题意，知区域D(三棱锥S－ABC)的体积为Sh，
区域d(三棱台ABC－A1B1C1)的体积为
Sh－··＝Sh·.
所以点M到底面的距离小于的概率为P＝.
反思感悟　如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．其概率的计算公式为P(A)＝.
跟踪训练4　在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝，球的体积V2＝π×3＝π，
则此点落在正方体内部的概率P＝＝.
随机模拟方法的应用
典例　(1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]上随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)
A. B.
C. D.
(2)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为 ．
答案　(1)C　(2)
解析　(1)由题意得，(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，
由几何概型概率计算公式知，＝，所以π＝.
(2)由几何概型的概率公式可得＝，
又S正方形＝4，所以S阴影＝4×＝.
[素养评析]　(1)解决此类问题时应注意两点：一是选取适当的对应图形，二是由几何概型的概率公式正确地计算概率．
(2)明确这类问题的运算对象，采用随机模拟的运算方法，设计运算程序，求得运算结果，这些就是数学核心素养中的数学运算.
1．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，
所以P＝＝.
2．如图，在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60°，而整个角集合对应的角度为360°，∴该角终边落在∠xOT内的概率P＝＝，故选A.
3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，由几何概型的概率计算公式，得看到黄灯的概率P＝＝.
4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ．
答案　
解析　不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.
5．在区间[0,3]内任意取一个数，则此数大于2的概率为 ．
答案　
解析　由于区间[0,3]的长度为3，区间(2,3]的长度为1，故所求概率P＝.
1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．
2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．
3．注意理解几何概型与古典概型的区别．
4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为
P(A)＝.
一、选择题
1．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．所以所求概率P＝＝.
2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)
答案　A
解析　∵P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．
3．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　△ABE的面积是矩形ABCD面积的一半，由几何概型知，点Q取自△ABE内部的概率为.
4．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.
5．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设AC＝x cm，则BC＝(12－x)cm(0＜x＜12)，
∴矩形面积为x(12－x)cm2，
由x(12－x)＜32，解得x＞8或x＜4，
∴0＜x＜4或8＜x＜12.∴所求概率为＝，
故选C.
6．如图，在一个边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边长分别为，，且高为b.现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　S梯形＝b＝ab，S矩形＝ab.
所以P＝＝.
7．在[0,5]之间随机取一个数作为x的值，则使1A. B. C. D.
答案　B
解析　由1即3故选B.
8．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，过顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM<AC的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，则AC＝AD，即AD＝AC，AB＝AC＝3AD，所以要使过顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM<AC，只要AM9．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0使f(x0)＞0的概率为(　　)
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
答案　C
解析　如图，在[－5,5]上函数的图象和x轴分别交于两点(－1,0)，(2,0)，只有x0∈[－5，－1)∪(2,5]时，f(x0)＞0，由题意，知本题是几何概型问题．记事件A为“任取一点x0，使f(x0)＞0”，事件A的区域长度是区间[－5，－1)与(2,5]的长度和，全体基本事件的长度是[－5,5]的区间长度．由几何概型的概率计算公式，得P(A)＝＝0.7.故选C.
二、填空题
10．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为 ．
答案　π
解析　点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1可视作试验的所有结果构成的区域，则用“体积比”公式计算概率，得
P＝＝π.
11．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为 ．
答案　
解析　设圆面半径为R，如图所示△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·AC·OD＝3·CD·OD
＝3·Rsin 60°·Rcos 60°＝，
∴P＝＝＝.
12．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝ .
答案　3
解析　当m≤0时，不合题意．
当m≤2时，＝无解．当2＜m≤4时，
由＝得m＝3，综上m＝3.
三、解答题
13．(2018·惠州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图所示是赵爽的弦图．弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，试估计落在黄色图形内的图钉个数．
解　设勾为a，则股为a，所以弦为2a，小正方形的边长为a－a，所以题图中大正方形的面积为4a2，小正方形的面积为(－1)2a2，所以小正方形与大正方形的面积比为＝1－，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为×1 000≈134.
14．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过的概率是多少？
(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，其长度超过的概率是多少？
(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长度超过的概率是多少？
解　(1)设事件A＝{弦长超过}，弦长只与它跟圆心的距离有关，
当且仅当它与圆心的距离小于时才能满足条件．
由几何概型概率公式知P(A)＝.
(2)设事件B＝{弦长超过}，由于弦中点已确定，故弦被确定，当且仅当弦中点在以半径为的同心圆内时才能满足条件．
由几何概型概率公式知P(B)＝＝.
(3)设事件C＝{弦长超过}，如图，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作圆的内接正三角形ABC，显然只有当弦的另一端点D落在上(不包括B，C两点)时，才有|AD|＞|AB|＝，由几何概型概率公式知P(C)＝.
15．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为(　　)
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.8
答案　C
解析　画出图形(如图所示)，m，n所满足的区域为矩形ABCD，而m>n所满足的区域为梯形ABCE，所以m>n的概率P＝＝＝0.7.故选C.
16．某校早8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 ．(用数字作答)
答案　
解析　设小张和小王到校的时间分别为y和x，
则则满足条件的区域如图中阴影部分所示．
故所求概率P＝＝.
课件35张PPT。§3.3　几何概型第三章　概　率学习目标XUEXIMUBIAO1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.
2.会求一些简单的几何概型的概率.
3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一　几何概型的概念及特点1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与 ，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
2.几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 .
(2)每个基本事件出现的可能性 .构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例无限多个相等知识点二　几何概型的概率公式
事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成比例，故可用区域的测度代替基本事件数.知识点三　均匀随机数1.均匀随机数的定义
如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是
，则称这些实数为均匀随机数.
2.均匀随机数的特征
(1)随机数是在 内产生的.
(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性 .等可能的一定范围相等3.均匀随机数的产生
(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是 .
(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“ ”.
(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由 或 产生.RANDrand ( )计算器计算机1.在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(　　)
2.与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.(　　)
3.随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(　　)
4.几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关.(　　)思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√×2题型探究PART TWO题型一　几何概型的识别例1　下列关于几何概型的说法错误的是
A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B.几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关
C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性√解析　几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个.反思感悟　几何概型特点的理解
(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；
(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.跟踪训练1　判断下列概率模型是古典概型还是几何概型.
(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；解　先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型.(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.解　游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型.题型二　几何概型的计算例2　取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率为多少？解　如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A)＝ .多维探究命题角度1　与长度有关的几何概型反思感悟　在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.跟踪训练2　(1)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是√解析　如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知，(2)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为 .解析　∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1，得x∈[－1,1]，
而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，例3　(1)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是命题角度2　与面积有关的几何概型√解析　由题意知，将两个四分之一圆合在一起，(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率.解　在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，区域Ω是边长为4的正方形区域，
其中满足x2＋y2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S阴＝π×22＝4π，反思感悟　解与面积有关的几何概型问题的关键点
(1)根据题意确认是不是与面积有关的几何概型问题.
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式求得概率.跟踪训练3　一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.解　如图所示，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形.
图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，
问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.
由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2).即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为0.31.例4　已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于 的概率.命题角度3　与体积有关的几何概型解　如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，反思感悟　如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占
的区域体积.其概率的计算公式为跟踪训练4　在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为√解析　由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，典例　(1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]上随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN随机模拟方法的应用√解析　由题意得，(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，(2)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机
撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 ，则阴影区域的面积为 .素养评析　(1)解决此类问题时应注意两点：一是选取适当的对应图形，二是由几何概型的概率公式正确地计算概率.
(2)明确这类问题的运算对象，采用随机模拟的运算方法，设计运算程序，求得运算结果，这些就是数学核心素养中的数学运算.3达标检测PART THREE1.在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为12345解析　问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，√2.如图，在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内的概率是解析　∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60°，而整个角集合对应的角度为360°，12345√3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是12345解析　由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件.事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，√123454.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则
此点取自黑色部分的概率是 .解析　不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，123455.在区间[0,3]内任意取一个数，则此数大于2的概率为 .课堂小结KETANGXIAOJIE1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型.
2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题.
3.注意理解几何概型与古典概型的区别.
4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公
式为专题突破四　用两种概型计算时的几个关注点
一、关注基本事件的有限性和等可能性
例1　袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．
(1)把每个球的编号看作一个基本事件建立的概率模型是不是古典概型？
(2)把球的颜色作为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立的概率模型是不是古典概型？
思维切入　将基本事件列出来，分析是否有限和等可能．
解　(1)因为基本事件个数有限，而且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型．
(2)把球的颜色作为划分基本事件的依据，可得到“取得一个白球”“取得一个红球”“取得一个黄球”，共3个基本事件．这些基本事件个数有限，但“取得一个白球”的概率与“取得一个红球”或“取得一个黄球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型．
点评　只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型．
跟踪训练1　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已有不同编号的三个黑球，从中任意摸出2个球．
(1)共有多少个不同的基本事件，这样的基本事件是否为等可能的？该试验是古典概型吗？
(2)摸出的两个球都是黑球记为事件A，问事件A包含几个基本事件？
(3)计算事件A的概率．
解　(1)任意摸出两球，共有{白球和黑球1}，{白球和黑球2}，{白球和黑球3}，{黑球1和黑球2}，{黑球1和黑球3}，{黑求2和黑球3}6个基本事件．
因为4个球的大小相同，所以摸出每个球是等可能的，故6个基本事件都是等可能事件．
由古典概型定义知，这个试验是古典概型．
(2)从4个球中摸出2个黑球包含3个基本事件．故事件A包含3个基本事件．
(3)因为试验中基本事件总数n＝6，而事件A包含的基本事件数m＝3.所以P(A)＝＝＝.
二、关注基本事件的计算，做到不重不漏
例2　一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个基本事件？
(2)“2个都是白球”包含几个基本事件？
思维切入　将结果一一列举，再计算基本事件数．
解　方法一(1)(列举法)
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则所有的基本事件如下：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，共10个(其中{1,2}表示摸到1号球和2号球)．
(2)由(1)中知，“2个都是白球”包含{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个基本事件．
方法二(2)(列表法)
(1)设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：
a
b
c
d
e
a
{a，b}
{a，c}
{a，d}
{a，e}
b
{b，a}
{b，c}
{b，d}
{b，e}
c
{c，a}
{c，b}
{c，d}
{c，e}
d
{d，a}
{d，b}
{d，c}
{d，e}
e
{e，a}
{e，b}
{e，c}
{e，d}
由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到{b，a}与{a，b}是相同的事件，故共有10个基本事件．
(2)由(1)中知，“2个都是白球”包含{a，b}，{b，c}，{a，c}，共3个基本事件．
点评　计算基本事件的个数时，要做到不重不漏，就需要按一定程序操作，如列举法，列表法，还可以用树状图法求解．
跟踪训练2　从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)A＝{三个数字中不含1和5}；
(2)B＝{三个数字中含1或5}．
解　这个试验的所有可能结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．
(1)事件A为(2,3,4)，故P(A)＝.
(2)事件B的所有可能结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9种．故P(B)＝.
三、关注事件间的关系，优化概率计算方法
例3　有3个完全相同的小球a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率．
思维切入　先分析三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件，再确定两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空所包含的事件，从而确定该事件的概率．
解　a，b，c三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为：
甲盒
a，b，c
a，b
a
a，c
b，c
b
c
空
乙盒
空
c
b，c
b
a
c，a
a，b
a，b，c
两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共2个，故P＝1－＝.
点评　在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得．
跟踪训练3　袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中任取1只，有放回地抽取3次，求3只颜色不全相同的概率．
解　记“3只颜色全相同”为事件A，则所求事件为A的对立事件．因为“3只颜色全相同”又可分为“3只全是红球(事件B)”，“3只全是黄球(事件C)”，“3只全是白球(事件D)”，且它们彼此互斥，
故3只颜色全相同即为事件B∪C∪D，
由于红、黄、白球的个数一样，基本事件的总数为27，
故有P(B)＝P(C)＝P(D)＝，
所以P(A)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝，因此有P()＝1－＝.
四、关注事件的测度，规避几何概型易错点
例4　(1)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BM≤AB的概率；
(2)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在线段BC上取一点M，求BM≤AB的概率．
思维切入　(1)“过点A作一射线”等可能地分布在∠BAC内，测度为角度．
(2)“在线段BC上取一点M”，等可能地分布在线段BC上，测度为长度．
解　(1)记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω，由于是过点A作一射线交线段BC于点M，所以射线在∠BAC内是等可能出现的，又当AB＝BM时∠BAM＝67.5°，所以P(Ω)＝＝＝.
(2)设AB＝AC＝1，则BC＝，设“在线段BC上取一点M，使BM≤AB”为事件Ω，
则P(Ω)＝＝＝.
点评　当试验是“过点A作一射线”时，用角度作测度；当试验是“在线段BC上取一点”时，用线段长度作测度．一般地，试验是什么，可以确定基本事件是什么．基本事件累积起来，就可以确定区域是角度、长度还是面积等．
跟踪训练4　(1)如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
解　弦长不超过1，故OQ≥，因为Q点在直径AB上是随机的，设事件A为“弦长长度超过1”，由几何概型的概率计算公式得，P(A)＝＝.
所以其对立事件“弦长不超过1”的概率为P()＝1－P(A)＝1－.
(2)设A为单位圆O圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点B与A连接，则弦长超过的概率是________．
答案　
解析　在圆O上有一定点A，任取一点B与点A连接，且弦长超过，即为∠AOB的度数大于90°，而小于270°.
P(A)＝＝.
1．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字不同外其他完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　随机取出2个小球得到的结果有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1,2}，{1,5}，{2,4}，共3种，所以P＝，故选A.
2．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　集合{a，b，c，d，e}共有25＝32(个)子集，而集合{a，b，c}的子集有23＝8(个)，所以所求概率为P＝＝.
3．盒子里有25个外形相同的球，其中有10个白球，5个黄球，10个黑球，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5＋10＝15(种)结果，
满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，
因此它是黑球的概率P＝＝.故选D.
4．在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为________．
答案　
解析　∵在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a，
再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，
∴基本事件总数n＝4×3＝12.
“不是整数”包含的基本事件有，，，，，，，，共8个．
∴“不是整数”的概率P＝＝.
5．在区间[0,2]中随机地取出两个数，求两数之和小于1的概率．
解　设x，y表示所取的任意两个数，
由于x∈[0,2]，y∈[0,2]，
∴以两数x，y为坐标的点在以2为边长的正方形区域内，
设“两数和小于1”为事件A，则事件A所在区域为直线x＋y＝1的下方且在正方形的区域内，设其面积为S.
则S＝，
∴P(A)＝＝.
6．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a，b).
(1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数y＝f(x)有零点的概率；
(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解　(1)(a，b)有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15种情况．
函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况满足条件．
所以函数y＝f(x)有零点的概率为＝.
(2)因为a＞0，函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝，在区间[1，＋∞)上是增函数，所以有≤1，满足条件的(a，b)为(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种．
所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题．这只小狗在任何一个区域的可能性一样．图中有大小相同的方砖共9块，显然小狗停在阴影方砖的概率为.
2．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元．
乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．
乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．
根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝＝.
3．(2018·自贡模拟)已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，
∴基本事件总数n＝3×4＝12.
函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，
①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；
②当a≠0时，需要满足≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．
∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P＝.
4．(2018·郑州检测)每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设男生为A，B，C，女生为a，b，从5人中选出2名志愿者有：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种等可能情况，其中选出的2名志愿者性别相同的有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共4种等可能的情况，则选出的2名志愿者性别相同的概率为P＝＝.
5．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　先后两次出现的点数中有5的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求事件的概率P＝.
6．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝＝.
7.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M—ABCD的体积小于的概率为(　　)
A. B. C．1 D．2
答案　B
解析　过点M作平面RST∥平面ABCD(图略)，则两平面间的距离是四棱锥M—ABCD的高，显然点M在平面RST上任意位置时，四棱锥M—ABCD的体积都相等．若此时四棱锥M—ABCD的体积等于，只要M在截面以下即可小于，当VM—ABCD＝时，即×1×1×h＝，解得h＝，此时点M到底面ABCD的距离为，所以所求概率P＝＝.
8．(2018·衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是(　　)
A. mm2 B. mm2
C. mm2 D. mm2
答案　A
解析　向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S＝×π×112＝(mm2)．
9.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自空白部分的概率是(　　)
A．1－ 　　　 B.－
C. 　　　 D.
答案　C
解析　设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，分别取OA，OB的中点为D，E，如图，连接OC，DC，CE，
不妨令OA＝OB＝2，
则OD＝DA＝DC＝OE＝CE＝1.
在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－＝1，
所以整个图形中空白部分面积S2＝2S1＝2.
又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，
所以所求概率P＝.
二、填空题
10．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．
答案　
解析　基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件数为3，故所求概率P＝.
11．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6，2.7，2.8,2.9，若从中随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
答案　0.2
解析　从5根竹竿中随机抽取2根竹竿的基本事件有10个，它们的长度恰好相差0.3 m的是2.5和2.8,2.6和2.9两个，故它们的长度恰好相差0.3 m的概率为＝0.2.
12．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．
答案　
解析　该树枝的树梢有6处，蚂蚁到达各处的可能性相同，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝.
三、解答题
13．某地区有21所小学，14所中学，7所大学，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率．
解　(1)6×＝3,6×＝2,6×＝1，所以从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)在抽取到的6所学校中，将3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为
{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件A)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，所以P(A)＝＝.

14．设有一质地均匀的蛇螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1]上的数字，另一半均匀地刻上区间[1,3]上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于上的概率是________．
答案　
解析　由题意，记事件A为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于”．设圆的周长为C，则P(A)＝＝.
15．(1)在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；
(2)某班在一次数学活动中，老师让全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x，y，统计出两数能与1构成锐角三角形的三边长的数对(x，y)共有12对，请据此估计π的近似值(精确到0.001)．
解　(1)如图，在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内(图中阴影部分)．由几何概型的概率计算公式，有P(|AM|≤1)＝＝，故事件“|AM|≤1”的概率为.
(2)以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
任取两个小于1的正数x，y，所有基本事件构成区域Ω＝，即正方形ABCD内部．
事件“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域N＝，即扇形BAD以外正方形ABCD以内的阴影部分．易知区域Ω中任取一点来自区域N的概率P(N)＝1－.
全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x，y，可以看作在区域Ω中任取56个点，满足“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”的数对(x，y)共有12对，即有12个点落在区域N中，故其频率为＝，用频率估计概率，有1－≈，即≈，
所以π≈×4＝≈3.143，即π的近似值为3.143.
课件29张PPT。专题突破四　用两种概型计算时的几个关注点第三章　概　率一、关注基本事件的有限性和等可能性思维切入　将基本事件列出来，分析是否有限和等可能.例1　袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球.
(1)把每个球的编号看作一个基本事件建立的概率模型是不是古典概型？解　因为基本事件个数有限，而且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型.(2)把球的颜色作为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立的概率模型是不是古典概型？解　把球的颜色作为划分基本事件的依据，可得到“取得一个白球”“取得一个红球”“取得一个黄球”，共3个基本事件.这些基本事件个数有限，但“取得一个白球”的概率与“取得一个红球”或“取得一个黄球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型.点评　只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型.跟踪训练1　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已有不同编号的三个黑球，从中任意摸出2个球.
(1)共有多少个不同的基本事件，这样的基本事件是否为等可能的？该试验是古典概型吗？解　任意摸出两球，共有{白球和黑球1}，{白球和黑球2}，{白球和黑球3}，{黑球1和黑球2}，{黑球1和黑球3}，{黑求2和黑球3}6个基本事件.
因为4个球的大小相同，所以摸出每个球是等可能的，故6个基本事件都是等可能事件.
由古典概型定义知，这个试验是古典概型.(2)摸出的两个球都是黑球记为事件A，问事件A包含几个基本事件？解　从4个球中摸出2个黑球包含3个基本事件.故事件A包含3个基本事件.(3)计算事件A的概率.解　因为试验中基本事件总数n＝6，而事件A包含的基本事件数m＝3.二、关注基本事件的计算，做到不重不漏例2　一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球.
(1)共有多少个基本事件？思维切入　将结果一一列举，再计算基本事件数.解　方法一(列举法)
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则所有的基本事件如下：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，共10个(其中{1,2}表示摸到1号球和2号球).
方法二(列表法)
设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球.列表如下：由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到{b，a}与{a，b}是相同的事件，故共有10个基本事件.(2)“2个都是白球”包含几个基本事件？解　方法一(列举法)
由(1)中知，“2个都是白球”包含{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个基本事件.
方法二(列表法)
由(1)中知，“2个都是白球”包含{a，b}，{b，c}，{a，c}，共3个基本事件.点评　计算基本事件的个数时，要做到不重不漏，就需要按一定程序操作，如列举法，列表法，还可以用树状图法求解.跟踪训练2　从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)A＝{三个数字中不含1和5}；解　这个试验的所有可能结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种.(2)B＝{三个数字中含1或5}.解　事件B的所有可能结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9种.三、关注事件间的关系，优化概率计算方法例3　有3个完全相同的小球a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率.思维切入　先分析三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件，再确定两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空所包含的事件，从而确定该事件的概率.解　a，b，c三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为：两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共2个，点评　在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式P(A)＝1－P( )求得.跟踪训练3　袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中任取1只，有放回地抽取3次，求3只颜色不全相同的概率.解　记“3只颜色全相同”为事件A，则所求事件为A的对立事件.因为“3只颜色全相同”又可分为“3只全是红球(事件B)”，“3只全是黄球(事件C)”，“3只全是白球(事件D)”，且它们彼此互斥，
故3只颜色全相同即为事件B∪C∪D，
由于红、黄、白球的个数一样，基本事件的总数为27，四、关注事件的测度，规避几何概型易错点例4　(1)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BM≤AB的概率；解　记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω，
由于是过点A作一射线交线段BC于点M，所以射线在∠BAC内是等可能出现的，
又当AB＝BM时∠BAM＝67.5°，思维切入　“过点A作一射线”等可能地分布在∠BAC内，测度为角度.(2)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在线段BC上取一点M，求BM≤AB的概率.设“在线段BC上取一点M，使BM≤AB”为事件Ω，思维切入　“在线段BC上取一点M”，等可能地分布在线段BC上，测度为长度.点评　当试验是“过点A作一射线”时，用角度作测度；当试验是“在线段BC上取一点”时，用线段长度作测度.一般地，试验是什么，可以确定基本事件是什么.基本事件累积起来，就可以确定区域是角度、长度还是面积等.跟踪训练4　(1)如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率.因为Q点在直径AB上是随机的，
设事件A为“弦长长度超过1”，(2)设A为单位圆O圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点B与A连接，则弦长
超过 的概率是________.即为∠AOB的度数大于90°，而小于270°.123451.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字不同外其他完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是6达标检测DABIAOJIANCE√解析　随机取出2个小球得到的结果有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1,2}，{1,5}，{2,4}，共3种，所以P＝ ，故选A.1234562.从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是√解析　集合{a，b，c，d，e}共有25＝32(个)子集，而集合{a，b，c}的子集有23＝8(个)，1234563.盒子里有25个外形相同的球，其中有10个白球，5个黄球，10个黑球，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为√解析　试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5＋10＝15(种)结果，
满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，1234564.在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽
取一个数记为b，则“ 不是整数”的概率为____.解析　∵在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a，
再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，
∴基本事件总数n＝4×3＝12.1234565.在区间[0,2]中随机地取出两个数，求两数之和小于1的概率.解　设x，y表示所取的任意两个数，
由于x∈[0,2]，y∈[0,2]，
∴以两数x，y为坐标的点在以2为边长的正方形区域内，
设“两数和小于1”为事件A，则事件A所在区域为直线x＋y＝1的下方且在正方形的区域内，设其面积为S.1234566.已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a，b).
(1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数y＝f(x)有零点的概率；解　(a，b)有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15种情况.
函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况满足条件.123456(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率.在区间[1，＋∞)上是增函数，满足条件的(a，b)为(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种.章末复习
学习目标　1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步理解频率与概率的关系.3.巩固随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.4.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．
1．频率与概率
频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．
2．求较复杂概率的常用方法
(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；
(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
3．古典概型概率的计算
关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．
4．几何概型事件概率的计算
关键是求得事件A所占区域和整个区域的几何测度，然后代入公式求解．
1．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　√　)
2．“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．(　×　)
3．几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　√　)
题型一　频率与概率
例1　对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
解　(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，
所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
反思感悟　概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．
跟踪训练1　某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假如该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
解　(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．
(4)不一定．
题型二　互斥事件与对立事件
例2　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解　把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.
反思感悟　在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．
跟踪训练2　某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
解　(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N*)，那么事件Ak之间彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为B.根据对立事件的概率公式，得P(B)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
题型三　古典概型
例3　甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解　甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示．
(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
从中选出的2名教师性别相同的结果有
(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，
所以选出的2名教师性别相同的概率P＝.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
从中选出的2名教师来自同一学校的结果有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．
所以选出的2名教师来自同一学校的概率P＝＝.
反思感悟　解决古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
跟踪训练3　甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若用A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若用B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件，为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解　(1)基本事件个数与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤5，1≤y≤5}中的元素一一对应，所以S中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数n＝25.
事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共有5个，故P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次时，B，C同时发生．
(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件有13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以这种游戏规则不公平．
题型四　几何概型
例4　在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
答案　
解析　由题意，得
解得所以所求概率P＝＝.
反思感悟　对于概率问题的计算，首先应判断概率模型．若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．
跟踪训练4　如图所示的大正方形的面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设阴影小正方形的边长为x，
则在直角三角形中，有22＋(x＋2)2＝()2，
解得x＝1或x＝－5(舍去)，
∴阴影部分的面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为.
数形结合思想求概率
典例　甲、乙两艘轮船都要停靠在一个不能同时停泊两艘船的泊位上，它们可以在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是3 h和5 h，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．
解　以甲船到达泊位的时刻x、乙船到达泊位的时刻y为横、纵轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可得，0≤x≤24且0≤y≤24.
设事件A＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件B＝{甲船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件C＝{乙船停靠泊位时必须等待一段时间}，则A＝B∪C，并且事件B与C是互斥事件，所以
P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)．
而甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0则S正方形＝242＝576，
S阴影＝242－×(24－3)2－×(24－5)2＝175，
所以由几何概型概率公式得P(A)＝，所以有一艘船停靠泊位时等待一段时间的概率为.
[素养评析]　(1)数形结合思想主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在本章中，主要是借助形的生动性和直观性来阐明基本事件之间的联系．数形结合思想在本章中的应用有：借助树状图列举基本事件，利用Venn图理解各种事件之间的关系；利用一维图形求线型几何概型的概率；利用二维图形求面积型几何概型的概率；利用三维图形求体积型几何概型的概率等．
(2)直观想象能提升学生数形结合的能力，形成数学直观，是学生数学核心素养的直接体现.
1．下列事件：
①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温.
其中为随机事件的是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
答案　B
解析　任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；
从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；若实数a，b都不为0，则a2＋b2一定不等于0，故③为不可能事件；由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温，故④为随机事件．故选B.
2．不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种，满足要求的基本事件有(1,4,5)，(2,3,5)，
共2种，故所求概率为.故选B.
3．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为＝.
4．已知a，b∈(0,1)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________．
答案　
解析　函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
由二次函数的单调性可知－＝≤1，即a≥2b.
由题意得即图中阴影部分．
∴函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为＝.
5．小明爱好玩飞镖，现有图形构成如图所示的两个边长为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕点O旋转，若小明每次投镖都能射中图形，则小明射中阴影部分的概率是________．
答案　
解析　连接OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N.因为△OBM≌△OAN，所以阴影部分的面积等于△OAB的面积，其面积为1.整个图形的面积为8－1＝7.
所以小明射中阴影部分的概率是.
1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题
(1)本试验是不是等可能的？
(2)本试验的基本事件有多少个？
(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．
3．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．
4．关于随机数与随机模拟试验问题
随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下两个方面考虑：
(1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组．
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式．
课件43张PPT。章末复习第三章　概　率学习目标XUEXIMUBIAO1.梳理本章知识，构建知识网络.
2.进一步理解频率与概率的关系.
3.巩固随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.
4.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究达标检测1知识梳理PART ONE1.频率与概率
频率是概率的 ，是随机的，随着试验的不同而 ；概率是多数次的试验中 的稳定值，是一个 ，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.
2.求较复杂概率的常用方法
(1)将所求事件转化为彼此 的事件的和；
(2)先求其 事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P( )求解.近似值变化频率常数互斥对立3.古典概型概率的计算
关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝ 求解.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.
4.几何概型事件概率的计算
关键是求得事件A所占 和 的几何测度，然后代入公式求解.区域整个区域1.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.(　　)
2.“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”.(　　)
3.几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.(　　)思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×√2题型探究PART TWO题型一　频率与概率例1　对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1)计算表中次品的频率；解　表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？解　当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？解　设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，
所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘.反思感悟　概率是个常数.但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计.跟踪训练1　某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？解　由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)假如该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？解　击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？解　由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心.(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解　不一定.题型二　互斥事件与对立事件例2　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？解　把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.
因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？反思感悟　在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解.跟踪训练2　某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？解　设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N*)，那么事件Ak之间彼此互斥，
设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，
根据互斥事件概率加法公式，
得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解　事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为B.
根据对立事件的概率公式，得P(B)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.题型三　古典概型例3　甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；解　甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种.
从中选出的2名教师性别相同的结果有(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.解　从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.
从中选出的2名教师来自同一学校的结果有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种.反思感悟　解决古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.跟踪训练3　甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
(1)若用A表示和为6的事件，求P(A)；解　基本事件个数与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤5，1≤y≤5}中的元素一一对应，
所以S中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数n＝25.
事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共有5个，(2)现连玩三次，若用B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件，为什么？解　B与C不是互斥事件.因为B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次时，B，C同时发生.(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由.解　这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件有13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，题型四　几何概型例4　在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负
根的概率为_____.反思感悟　对于概率问题的计算，首先应判断概率模型.若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型.由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝ 求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.跟踪训练4　如图所示的大正方形的面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为√解析　设阴影小正方形的边长为x，解得x＝1或x＝－5(舍去)，
∴阴影部分的面积为1，典例　甲、乙两艘轮船都要停靠在一个不能同时停泊两艘船的泊位上，它们可以在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是3 h和5 h，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG数形结合思想求概率解　以甲船到达泊位的时刻x、乙船到达泊位的时刻y为横、纵轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可得，0≤x≤24且0≤y≤24.设事件A＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，
事件B＝{甲船停靠泊位时必须等待一段时间}，
事件C＝{乙船停靠泊位时必须等待一段时间}，
则A＝B∪C，并且事件B与C是互斥事件，
所以P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C).而甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0(2)直观想象能提升学生数形结合的能力，形成数学直观，是学生数学核心素养的直接体现.3达标检测PART THREE1.下列事件：
①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；
②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；
③实数a，b都不为0，但a2＋b2＝0；
④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温，
其中为随机事件的是
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④√12345解析　任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；
从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；
若实数a，b都不为0，则a2＋b2一定不等于0，故③为不可能事件；
由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温，故④为随机事件.故选B.12345123542.不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为√解析　基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种，满足要求的基本事件有(1,4,5)，(2,3,5)，共2种，故所求概率为 .故选B.123543.任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是√解析　三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，12344.已知a，b∈(0,1)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概
率为________.5解析　函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，12345.小明爱好玩飞镖，现有图形构成如图所示的两个边长为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕点O旋转，
若小明每次投镖都能射中图形，则小明射中阴影部分的概率是________.51234解析　连接OA，OB，
设OR交BC于M，OP交AB于N.
因为△OBM≌△OAN，
所以阴影部分的面积等于△OAB的面积，其面积为1.整个图形的面积为8－1＝7.51.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
2.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题
(1)本试验是不是等可能的？
(2)本试验的基本事件有多少个？
(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.
3.几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解.课堂小结KETANGXIAOJIE4.关于随机数与随机模拟试验问题
随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下两个方面考虑：
(1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组.
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式.阶段训练三(§3.1～§3.3)
一、选择题
1．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　从中有放回地取2次，所取号码共有8×8＝64(种)，其中编号和不小于15的有3种，分别是(7,8)，(8,7)，(8,8)，故所求概率P＝.
2．将红、黑、蓝、白4张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥事件，但不是对立事件
D．以上答案都不对
答案　C
解析　记事件A＝{甲分得红牌}，记事件B＝{乙分得红牌}，它们不会同时发生，所以是互斥事件，但事件A和事件B也可能都不发生，所以它们不是对立事件．
3．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.2，是不可能事件的概率为0.3，则这10个事件中随机事件的个数是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　C
解析　这10个事件中，必然事件的个数为10×0.2＝2，不可能事件的个数为10×0.3＝3.
而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为10.
故随机事件的个数为10－2－3＝5.故选C.
4．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取2个球，则恰好取到2个同色球的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　记3个黑球分别为黑1，黑2，黑3,2个红球分别为红1，红2，从中任取2个球，则基本事件有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，共10个，其中为同色球的有4个，故所求概率为＝.
5．如图，圆周上的6个点是该圆周的6个等分点，分别连接AC，CE，EA，BD，DF，FB，向圆内部随机投掷一点，则该点不落在阴影部分内的概率是(　　)
A．1－ B.
C．1－ D.
答案　A
解析　设圆的半径为1，则正六边形ABCDEF的边长为1，其面积为，
如图将整个正六边形割成了3×6＝18个小三角形，那么整个阴影部分的面积是正六边形的面积的＝，故S阴影＝×＝，圆的面积为S圆＝π.故向圆内部随机投掷一点，该点不落在阴影部分内的概率是1－.故选A.
6．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设齐王的下等马、中等马、上等马分别记为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别记为b1，b2，b3，
齐王与田忌赛马，其情况有：
(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；
(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜，共6种．
其中田忌获胜的只有一种(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，
则田忌获胜的概率为，故选D.
7．设函数f(x)＝x2－2x＋m，m∈R.若在区间[－2,4]上随机取一个数x，f(x)＜0的概率为，则m的值为(　　)
A．2 B．－2 C．3 D．－3
答案　D
解析　在[－2,4]上任取一个数x对应事件的总体所构成的区间长度为4－(－2)＝6.又因为f(x)的图象的对称轴是x＝1，开口向上，所以不妨设f(x)的图象与x轴的交点是(1－x0,0)和(1＋x0,0)(x0>0)，所以f(x)＜0的事件所构成的区间长度是(1＋x0)－(1－x0)＝2x0.令＝，得x0＝2，所以f(x)＝0的两个根是－1和3，由根与系数的关系，得m＝－3，经检验符合题意，故选D.
8．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在矩形ABCD内随机取一点，则取到的点到点O的距离大于1的概率为(　　)
A. B．1－
C. D．1－
答案　B
解析　取到的点到点O的距离大于1的概率为矩形内位于以O为圆心，1为半径的圆外区域面积与矩形ABCD面积的比值，所以P＝＝1－，故选B.
二、填空题
9．质地均匀的正方体骰子各面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，每次抛掷这样两个相同的骰子，规定向上的两个面的数字的和为这次抛掷的点数，则每次抛掷时点数被4除余2的概率是________．
答案　
解析　由题意知基本事件总数n＝6×6＝36，每次抛掷时点数被4除余2包含的基本事件有(1,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，共9个，所以抛掷时点数被4除余2的概率是P＝＝.
10．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是________．
答案　
解析　设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．
其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，
所以P(A)＝＝.
11．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，在矩形ABCD内随机取一点M，则BM答案　
解析　矩形ABCD的面积为2.
BM三、解答题
12．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考试级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
解　将5杯饮料分别编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．
设事件D表示“此人被评为优秀”，事件E表示“此人被评为良好”，事件F表示“此人被评为良好及以上”，则
(1)P(D)＝.
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
13．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X(单位：株)之间的关系如下表所示．
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
解　(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下.
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝＝＝46.
(2)由(1)，知P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
14．在三棱锥P－ABC内任取一点Q，使VQ－ABC<VP－ABC的概率为________．
答案　
解析　如图，作出P在底面△ABC内的射影O.
若VQ－ABC＝VP－ABC，
则三棱锥Q－ABC的高h＝PO，
则VQ－ABC<VP－ABC的点Q位于三棱锥P－ABC的截面DEF以下的棱台内，其中D，E，F分别为BP，AP，CP的三等分点．
则VQ－ABC<VP－ABC的概率P＝1－3＝.
15．已知－2≤x≤2，－2≤y≤2，点P的坐标为(x，y)．
(1)求当x，y∈Z时，点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；
(2)求当x，y∈R时，点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．
解　如图，点P所在的区域为长方形ABCD的内部(含边界)，
满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．
(1)当x，y∈Z时，满足－2≤x≤2，－2≤y≤2的点有25个，满足x，y∈Z，且(x－2)2＋(y－2)2≤4的点有6个，
依次为(2,0)，(2,1)，(2,2)，(1,1)，(1,2)，(0,2)．
∴所求的概率P＝.
(2)当x，y∈R时，
满足－2≤x≤2，－2≤y≤2的面积为4×4＝16，
满足(x－2)2＋(y－2)2≤4，且－2≤x≤2，－2≤y≤2的面积为×π×22＝π，∴所求的概率P＝.