第六章 万有引力理论的成就 题型整理 word版含答案
文档属性
| 名称 | 第六章 万有引力理论的成就 题型整理 word版含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 317.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2019-05-20 18:42:30 | ||
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文档简介
2019年人教版高一物理必修二《万有引力理论的成就》题型整理
题型一 万有引力的计算
题型二 天体表面重力加速度问题
题型三 天体质量、密度的计算
题型四 双星问题
题型五 三星问题
一 万有引力的计算
例1、已知地球的质量大约是M＝6.0×1024kg，地球的平均半径为R＝6370 km，地球表面的重力加速度g取9.8 m/s2．求：
(1)地球表面一质量为10 kg的物体受到的万有引力；
(2)该物体受到的重力；
(3)比较说明为什么通常情况下重力可以认为等于万有引力．
【思路点拨】明白重力与万有引力的关系是解决问题的关键。
【解析】(1)由万有引力定律得：，代入数据得：F＝98.6 N．
(2)该物体受到的重力为mg＝98N．
(3)比较结果万有引力比重力大．原因是在地球表面上的物体所受万有引力可分解为重力和随地球自转所需的向心力．但计算结果表明物体随地球自转所需向心力远小于它受到的万有引力，所以通常情况下可认为重力等于万有引力．
【点评】重力是由万有引力产生的，它与万有引力能不能视为相等，关键要看题目的条件．
例2、已知太阳的质量M=2.0×1030kg，地球的质量m=6.0×1024kg，太阳与地球相距r=1.5×1011m，求
（1）太阳对地球的万有引力；
（2）地球对太阳的万有引力。
【思路点拨】太阳对地球的万有引力与地球对太阳的万有引力是作用力与反作用力。
【解析】根据万有引力定律有：
根据作用力与反作用力的关系，地球对太阳的引力与太阳对地球的引力大小相等，方向相反，即F'=F=3.56×1022N
【总结升华】根据万有引力定律，任何两个物体之间都相互吸引，引力的大小与两物体质量的乘积成正比，与其距离的平方成反比，即，地球对太阳的引力与太阳对地球的引力大小相等，方向相反，二者的关系是作用力与反作用力。
例3、要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的，可采取的方法是（ ）
A．两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的
B．两物体间距离保持不变，仅一个物体的质量减为原来的
C．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的
D．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍
【答案】B
【解析】根据知，两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的，则万有引力减为原来的，故A错误；两物体间距离保持不变，仅一个物体的质量减为原来的 ，则万有引力减为原来的，故B正确；两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的 ，则万有引力变为原来的4倍，故C错误；两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍，则则万有引力减为原来的，故D错误。
二 天体表面重力加速度问题
例4、宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比:＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比:．
【思路点拨】本题是平抛运动与万有引力知识的综合题目。
【解析】(1)依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：，
在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为：
，所以．
(2)星球表面物体所受的重力等于其所受星球的万有引力，则有，
所以，可解得:＝1:80．
【点评】本题主要考查学生的类比迁移能力、对物理过程的分析能力以及运用所学知识处理问题的实践应用能力．把竖直上抛运动的规律迁移到星球上运用．
例5.紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km。若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球半径R=6400km，地球表面重力加速度为g。这个小行星表面的重力加速度为（ ）
A.400g B. C.20g D.
【答案】B
【思路点拨】 此题属于天体表面重力加速度问题，需用黄金代换法求解。
【解析】质量分布均匀的球体的密度
地球表面的重力加速度：
吴健雄星表面的重力加速度：
故B选项正确。
【总结升华】对天体来说，可以认为重力等于万有引力。随着高度的增加重力加速度减小，物体所受的重力减小。
【训练】1、如果地球表面的重力加速度为g，物体在距地面3倍的地球半径时的重力加速度为g'。则二者加速度之比是 。
A、1：91 B、9：1 C、1：16 D、16：1
【答案】D
【解析】距地面的高度为3R，则距地心为4R，根据万有引力公式有：
解上述方程得
2、假定 Z星和地球都是球体。Z星质量和地球质量之比为p，Z星的半径与地球半径之比为q。那么离Z星表面高处的重力加速度和离地球表面高处的重力加速度之比等于多少？
【解析】因物体的重力来自万有引力，所以离Z星表面高处有：
可得：
同理可得：
故
三、天体质量、密度的计算
例6、以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法．
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即，可求得地球的质量
．
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
．
可得地球的质量为．
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
，
．
以上两式消去r，解得
．
(4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
，
解得地球的质量为．
密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．
由和，
得 ．
其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径．
(2)利用天体的卫星来求天体的密度．
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
，
，
得 ．
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为
．
【训练】1、设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R，速率为v，则太阳的质量可用v、R和引力常量G表示为________．太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍．为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳的质量，则银河系中恒星的数目约为________．
【答案】 1011
【解析】地球围绕太阳运动，而两者间的万有引力是其做匀速圆厨运动的向心力，则由，可得．设太阳的运动速率为v′，则v′＝7v．轨道半径r＝2×109 R，则，所以，又因为，故个．
2、太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是T，在行星的赤道处用弹簧测力计测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%，已知引力常量为G，求此行星的平均密度．
解析：(1)上面的结果是错误的，地球半径R在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果：
，得．
(2)方法一：对月球绕地球做圆周运动，有，得．
方法二：在地球表面重力近似等于万有引力，有，得．
3．如图所示为中国月球探测工程的想象标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想．一位勤于思考的同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x；通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：
(1)月球表面的重力加速度；
(2)月球的质量M；
解析：(1)设月球表面的重力加速度为，取水平抛出的物体研究，有：
，，
解得．
(2)取月球表面上的物体m研究，它受到的重力与万有引力相等，即
，
解得：．
四、双星问题
例8、天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)
【思路点拨】 双星之间的作用力是两星之间的万有引力，要做稳定的匀速圆周运动，只有依靠万有引力提供向心力，又因以两者连线上某点为圆心，所以半径之和不变，故运动过程中角速度不变，再由万有引力定律可以解得。
【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2．根据题意有
ω1＝ω2 ①
r1+r2＝r ②
根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
③
④
联立①②③④式解得
⑤
根据角速度与周期的关系知
⑥
联立③⑤⑥式解得
【点评】由于双星做匀速圆周运动的角速度相等，其轨道半径和线速度均与双星的质量成反比．
例9.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。
（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比。
（2）设两者的质量分别为和，两者相距L，试写出它们角速度的表达式。
【思路点拨】 双星之间的作用力是两星之间的万有引力，要做稳定的匀速圆周运动，只有依靠万有引力提供向心力，又因以两者连线上某点为圆心，所以半径之和不变，故运动过程中角速度不变，再由万有引力定律可以解得。
【解析】（1）要保持两天体间距L不变，两者做圆周运动的角速度必须相同。设两者轨迹圆心为O，圆半径分别为和，如图所示，
所以
根据线速度与角速度的关系
得
所以
（2）由得
由得
且
联立解得
【总结升华】解决双星问题的关键，要抓住两点：（1）两星的角速度相同；（2）所需向心力的大小相等
例10、银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体和构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文学观测得其周期为T，到C点的距离为，和的距离为，已知万有引力常量为G。由此可求出的质量为（ ）
A． B． C． D．
解析：设和两星体的质量分别为，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：
对有
解之得，故选项D正确。
总结：对于双星欲求的质量，要以为研究对象。
五、三星问题
例7、由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
A星体所受合力大小FA；
B星体所受合力大小FB；
C星体的轨道半径RC；
三颗星体做圆周运动的周期T。
【思路点拨】（1）（2）由万有引力率，分别求出单个的力，然后求出合力即可；（3）C与B的质量相等，所以运行的规律也相等，然后结合向心力的公式即可求出C的轨道半径；（4）选择一颗星体，根据万有引力提供向心力和联立可求得周期T
【解析】（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为
方向如图，则合力大小为
（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
方向如图，则合力大小为
。可得
（3）通过对B受力分析可知，由于，，合力的方向经过BC的的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在在中垂线AD的中点，故：
（4）三星体运动周期相同，对C星体，由
可得
【总结升华】该题借助于三星模型考察万有引力定律，其中B、C的质量相等，则运行的规律、运动的半径是相等的，画出它们的受力图像，再结合图像和万有引力定律即可正确解答。
题型一 万有引力的计算
题型二 天体表面重力加速度问题
题型三 天体质量、密度的计算
题型四 双星问题
题型五 三星问题
一 万有引力的计算
例1、已知地球的质量大约是M＝6.0×1024kg，地球的平均半径为R＝6370 km，地球表面的重力加速度g取9.8 m/s2．求：
(1)地球表面一质量为10 kg的物体受到的万有引力；
(2)该物体受到的重力；
(3)比较说明为什么通常情况下重力可以认为等于万有引力．
【思路点拨】明白重力与万有引力的关系是解决问题的关键。
【解析】(1)由万有引力定律得：，代入数据得：F＝98.6 N．
(2)该物体受到的重力为mg＝98N．
(3)比较结果万有引力比重力大．原因是在地球表面上的物体所受万有引力可分解为重力和随地球自转所需的向心力．但计算结果表明物体随地球自转所需向心力远小于它受到的万有引力，所以通常情况下可认为重力等于万有引力．
【点评】重力是由万有引力产生的，它与万有引力能不能视为相等，关键要看题目的条件．
例2、已知太阳的质量M=2.0×1030kg，地球的质量m=6.0×1024kg，太阳与地球相距r=1.5×1011m，求
（1）太阳对地球的万有引力；
（2）地球对太阳的万有引力。
【思路点拨】太阳对地球的万有引力与地球对太阳的万有引力是作用力与反作用力。
【解析】根据万有引力定律有：
根据作用力与反作用力的关系，地球对太阳的引力与太阳对地球的引力大小相等，方向相反，即F'=F=3.56×1022N
【总结升华】根据万有引力定律，任何两个物体之间都相互吸引，引力的大小与两物体质量的乘积成正比，与其距离的平方成反比，即，地球对太阳的引力与太阳对地球的引力大小相等，方向相反，二者的关系是作用力与反作用力。
例3、要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的，可采取的方法是（ ）
A．两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的
B．两物体间距离保持不变，仅一个物体的质量减为原来的
C．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的
D．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍
【答案】B
【解析】根据知，两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的，则万有引力减为原来的，故A错误；两物体间距离保持不变，仅一个物体的质量减为原来的 ，则万有引力减为原来的，故B正确；两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的 ，则万有引力变为原来的4倍，故C错误；两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍，则则万有引力减为原来的，故D错误。
二 天体表面重力加速度问题
例4、宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比:＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比:．
【思路点拨】本题是平抛运动与万有引力知识的综合题目。
【解析】(1)依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：，
在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为：
，所以．
(2)星球表面物体所受的重力等于其所受星球的万有引力，则有，
所以，可解得:＝1:80．
【点评】本题主要考查学生的类比迁移能力、对物理过程的分析能力以及运用所学知识处理问题的实践应用能力．把竖直上抛运动的规律迁移到星球上运用．
例5.紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km。若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球半径R=6400km，地球表面重力加速度为g。这个小行星表面的重力加速度为（ ）
A.400g B. C.20g D.
【答案】B
【思路点拨】 此题属于天体表面重力加速度问题，需用黄金代换法求解。
【解析】质量分布均匀的球体的密度
地球表面的重力加速度：
吴健雄星表面的重力加速度：
故B选项正确。
【总结升华】对天体来说，可以认为重力等于万有引力。随着高度的增加重力加速度减小，物体所受的重力减小。
【训练】1、如果地球表面的重力加速度为g，物体在距地面3倍的地球半径时的重力加速度为g'。则二者加速度之比是 。
A、1：91 B、9：1 C、1：16 D、16：1
【答案】D
【解析】距地面的高度为3R，则距地心为4R，根据万有引力公式有：
解上述方程得
2、假定 Z星和地球都是球体。Z星质量和地球质量之比为p，Z星的半径与地球半径之比为q。那么离Z星表面高处的重力加速度和离地球表面高处的重力加速度之比等于多少？
【解析】因物体的重力来自万有引力，所以离Z星表面高处有：
可得：
同理可得：
故
三、天体质量、密度的计算
例6、以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法．
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即，可求得地球的质量
．
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
．
可得地球的质量为．
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
，
．
以上两式消去r，解得
．
(4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
，
解得地球的质量为．
密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．
由和，
得 ．
其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径．
(2)利用天体的卫星来求天体的密度．
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
，
，
得 ．
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为
．
【训练】1、设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R，速率为v，则太阳的质量可用v、R和引力常量G表示为________．太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍．为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳的质量，则银河系中恒星的数目约为________．
【答案】 1011
【解析】地球围绕太阳运动，而两者间的万有引力是其做匀速圆厨运动的向心力，则由，可得．设太阳的运动速率为v′，则v′＝7v．轨道半径r＝2×109 R，则，所以，又因为，故个．
2、太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是T，在行星的赤道处用弹簧测力计测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%，已知引力常量为G，求此行星的平均密度．
解析：(1)上面的结果是错误的，地球半径R在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果：
，得．
(2)方法一：对月球绕地球做圆周运动，有，得．
方法二：在地球表面重力近似等于万有引力，有，得．
3．如图所示为中国月球探测工程的想象标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想．一位勤于思考的同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x；通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：
(1)月球表面的重力加速度；
(2)月球的质量M；
解析：(1)设月球表面的重力加速度为，取水平抛出的物体研究，有：
，，
解得．
(2)取月球表面上的物体m研究，它受到的重力与万有引力相等，即
，
解得：．
四、双星问题
例8、天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)
【思路点拨】 双星之间的作用力是两星之间的万有引力，要做稳定的匀速圆周运动，只有依靠万有引力提供向心力，又因以两者连线上某点为圆心，所以半径之和不变，故运动过程中角速度不变，再由万有引力定律可以解得。
【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2．根据题意有
ω1＝ω2 ①
r1+r2＝r ②
根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
③
④
联立①②③④式解得
⑤
根据角速度与周期的关系知
⑥
联立③⑤⑥式解得
【点评】由于双星做匀速圆周运动的角速度相等，其轨道半径和线速度均与双星的质量成反比．
例9.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。
（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比。
（2）设两者的质量分别为和，两者相距L，试写出它们角速度的表达式。
【思路点拨】 双星之间的作用力是两星之间的万有引力，要做稳定的匀速圆周运动，只有依靠万有引力提供向心力，又因以两者连线上某点为圆心，所以半径之和不变，故运动过程中角速度不变，再由万有引力定律可以解得。
【解析】（1）要保持两天体间距L不变，两者做圆周运动的角速度必须相同。设两者轨迹圆心为O，圆半径分别为和，如图所示，
所以
根据线速度与角速度的关系
得
所以
（2）由得
由得
且
联立解得
【总结升华】解决双星问题的关键，要抓住两点：（1）两星的角速度相同；（2）所需向心力的大小相等
例10、银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体和构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文学观测得其周期为T，到C点的距离为，和的距离为，已知万有引力常量为G。由此可求出的质量为（ ）
A． B． C． D．
解析：设和两星体的质量分别为，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：
对有
解之得，故选项D正确。
总结：对于双星欲求的质量，要以为研究对象。
五、三星问题
例7、由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
A星体所受合力大小FA；
B星体所受合力大小FB；
C星体的轨道半径RC；
三颗星体做圆周运动的周期T。
【思路点拨】（1）（2）由万有引力率，分别求出单个的力，然后求出合力即可；（3）C与B的质量相等，所以运行的规律也相等，然后结合向心力的公式即可求出C的轨道半径；（4）选择一颗星体，根据万有引力提供向心力和联立可求得周期T
【解析】（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为
方向如图，则合力大小为
（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
方向如图，则合力大小为
。可得
（3）通过对B受力分析可知，由于，，合力的方向经过BC的的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在在中垂线AD的中点，故：
（4）三星体运动周期相同，对C星体，由
可得
【总结升华】该题借助于三星模型考察万有引力定律，其中B、C的质量相等，则运行的规律、运动的半径是相等的，画出它们的受力图像，再结合图像和万有引力定律即可正确解答。