§2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算(一)
学习目标 1.理解n次方根、n次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
知识点一 n次方根、n次根式
思考 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
答案 这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±.
梳理 (1)a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
a∈R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点二 根式的性质
(1)＝0(n∈N*，且n>1)；
(2)( )n＝a(n∈N*，且n>1)；
(3)＝a(n为大于1的奇数)；
(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
1．当a≥0时，表示一个数．( √ )
2．实数a的n次方根有且只有一个．( × )
3．当n为偶数，a≥0时，≥0.( √ )
4.＝n.( × )
类型一 根式的意义
例1 求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
考点 n次方根及根式概念
题点 根式化简中变量的取值范围
解 ＝
＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，
需解得a∈[－3,3]．
反思与感悟 对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要有意义，必不为负．
跟踪训练1 若＝a－1，求a的取值范围．
考点 n次方根及根式概念
题点 根式化简中变量的取值范围
解 ∵＝|a－1|＝a－1，
∴a－1≥0，∴a≥1.
类型二 利用根式的性质化简或求值
例2 化简：
(1)；
(2)(a>b)；
(3)()2＋＋.
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
解 (1)＝|3－π|＝π－3.
(2)＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
反思与感悟 n为奇数时n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，n才有意义，且n＝a；
而a为任意实数均有意义，且＝|a|.
跟踪训练2 求下列各式的值：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
解 (1)＝－2.
(2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3) ＋＝a＋|1－a|＝
类型三 有限制条件的根式的化简
例3 设－3
考点 根式的化简
题点 条件根式的化简
解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3∴当－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
引申探究
例3中，若将“－3解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
反思与感悟 当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．
跟踪训练3 已知x∈[1,2]，化简()4＋＝________.
考点 根式的化简
题点 条件根式的化简
答案 1
解析 ∵x∈[1,2]，∴x－1≥0，x－2≤0，
∴()4＋
＝x－1＋
＝x－1－(x－2)
＝1.
1．已知x5＝6，则x等于( )
A. B. C．－ D．±
考点 n次方根及根式概念
题点 n次方根及根式概念
答案 B
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A. B. C. D.
考点 n次方根及根式概念
题点 n次方根及根式概念
答案 C
3．()4运算的结果是( )
A．2 B．－2 C．±2 D．不确定
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
答案 A
4.的值是________．
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
答案 －2
5.＋的值是________．
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
答案 0或2(a－b)
解析 ＋＝|a－b|＋(a－b)＝
1．根式的概念：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.n为奇数时，x＝，n为偶数时，x＝±(a>0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
2．掌握两个公式：(1)( )n＝a；(2)n为奇数，＝a，n为偶数，＝|a|＝
3．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况.
一、选择题
1．已知m10＝2，则m等于( )
A. B．－ C. D．±
考点 n次方根及根式概念
题点 n次方根及根式概念
答案 D
解析 ∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±.故选D.
2．化简(2x>1)的结果是( )
A．1－2x B．0
C．2x－1 D．(1－2x)2
考点 根式的化简
题点 条件根式的化简
答案 C
解析 ＝|1－2x|，
∵2x>1，∴1－2x<0，
∴|1－2x|＝－(1－2x)＝2x－1.
3．化简的值是( )
A. B．－
C．± D．－
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
答案 B
解析 ＝ ＝－.
4．化简等于( )
A．e－e－1 B．e－1－e
C．e＋e－1 D．0
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
答案 A
解析 ＝
＝＝
＝|e－1－e|＝e－e－1.
5．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
考点 根式的化简
题点 条件根式的化简
答案 C
解析 ∵20，a－3<0，
∴＋＝|2－a|＋|3－a|
＝a－2＋3－a＝1.
6．5－2的平方根是( )
A.＋ B.－
C.－ D.－，－
考点 n次方根及根式概念
题点 n次方根及根式概念
答案 D
解析 ±＝±＝±
＝±(－)．
7．化简的值是( )
A．x B．－x
C．－x D．x
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
答案 C
解析 要使有意义，需－x3≥0，即x≤0.
∴＝＝|x|＝－x.
8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则的值为( )
A．a＋b B．－(a＋b)
C．a－b D．b－a
考点 根式的化简
题点 条件根式的化简
答案 D
解析 由图知f(－1)＝a－b＋0.1<0，
∴a－b<0.
∴＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a.
二、填空题
9．若x<0，则|x|－＋＝________.
考点 根式的化简
题点 条件根式的化简
答案 1
解析 ∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋
＝－x＋x＋1＝1.
10. ＝________.
考点 根式的化简
题点 二重根式的化简
答案 3－2
解析 方法一 ＝＝
＝＝3－2.
方法二 ＝ ＝3－2.
11．把a 根号外的a移到根号内等于________．
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
答案 －
解析 要使 有意义，需a<0.
∴a ＝－|a|
＝－ ＝－.
12．化简＋＋的值为______．
考点 根式的化简
题点 二重根式的化简
答案 －6
解析 ∵＝－6，
＝|－4|＝4－，
＝－4，
∴原式＝－6＋4－＋－4＝－6.
三、解答题
13．设f(x)＝，若0考点 根式的化简
题点 条件根式的化简
解 f?＝ ＝
＝ ＝，
因为0故f?＝－a.
四、探究与拓展
14．化简(1－a)·＝________.
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
答案 －
解析 方法一 要使函数有意义需a－1>0.
(1－a) ＝－ ＝－.
方法二 要使函数有意义需a－1>0，(1－a)＝(1－a)＝
＝－.
15．计算：
(1) － ＋；
(2)＋－；
(3) ·(＋1)＋(－)0.
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
解 (1)原式＝－＋
＝－＋＝.
(2)原式＝－8＋|－2|－(2－)
＝－8＋2－－2＋
＝－8.
(3)原式＝·(＋1)＋1
＝(－1)·(＋1)＋1
＝(3－1)＋1＝1＋1＝2.
2.1.1 指数与指数幂的运算(二)
学习目标 1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理数指数幂的意义．
知识点一 分数指数幂
思考 根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？
①＝＝a2＝(a>0)；
②＝＝a4＝(a>0)；
③＝＝a3＝ (a>0)．
答案 当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数．
梳理 分数指数幂的定义：
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
知识点二 有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点三 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．( × )
2．( × )
3．当a>0时，(ar)s＝(as)r.( √ )
4．( √ )
类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化
命题角度1 分数指数幂化根式
例1 用根式的形式表示下列各式(x>0)．
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的互化
解 (1) ＝.
(2)＝.
反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．
跟踪训练1 用根式表示(x>0，y>0)．
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的互化
解
命题角度2 根式化分数指数幂
例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.
(1)； (2)；
(3)； (4).
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式化为分数指数幂
解 (1)
(2)
(3)
(4)
反思与感悟 指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义．如但就不是实数了．为了保证在取任何实数时，都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．
跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂：
(1) ；(2) (a>0)；(3)b3·；(4) .
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式化为分数指数幂
解 (1)
(2)
(3)
(4)
类型二 运用指数幂运算公式化简求值
例3 计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1)
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的加减运算
解
＝()2＋ －＝0.09＋－＝0.09.
(2)
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的乘除运算
解 原式＝
(3)
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的乘除运算
解
反思与感悟 一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
跟踪训练3 (1)化简：
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的四则混合运算
解 原式＝
(2)化简：
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的乘除运算
解
(3)已知求的值．
考点 有理数指数幂的运算性质
题点 附加条件的幂的求值
解 由两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理，得x＋x－1＝23，则有＝23.
类型三 运用指数幂运算公式解方程
例4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
考点 有理数指数幂的运算性质
题点 附加条件的幂的求值
解 方法一 ∵a>0，b>0，又ab＝ba，
方法二 ∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，
即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝.
反思与感悟 指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到代入、消元等目的．
跟踪训练4 已知67x＝27,603y＝81，求－的值．
考点 有理数指数幂的运算性质
题点 附加条件的幂的求值
解 由67x＝33，由603y＝81，
＝＝9＝32，∴－＝2，故－＝－2.
1．化简的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的互化
答案 B
2．等于( )
A．25 B. C．5 D.
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的互化
答案 D
3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－＝ B.＝
C． D．
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式化为分数指数幂
答案 C
4．()4＝________.
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式化为分数指数幂
答案 a2
5．计算的结果是________．
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的乘除运算
答案 16
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．
2．指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
一、选择题
1．化简式子的结果是( )
A. B．－ C. D．－
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式化为分数指数幂
答案 C
解析
2．化简·的结果为( )
A．－ B．－
C. D.
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式化为分数指数幂
答案 A
解析 显然a≥0.
3.·等于( )
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式化为分数指数幂
答案 B
解析
4．中x的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B.∪
C. D.
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的互化
答案 C
解析 要使该式有意义，需3－2x>0，即x<.
5．这三个数的大小关系为( )
A． B．
C． D．
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的互化
答案 B
解析
∵<<，
6．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于( )
A. B. C. D.
考点 有理数指数幂的运算性质
题点 附加条件的幂的求值
答案 D
解析 由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋
＝1＋＝.
7．设则等于( )
A．m2－2 B．2－m2
C．m2＋2 D．m2
考点 有理数指数幂的运算性质
题点 附加条件的幂的求值
答案 C
解析 将两边平方，得
即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋＝m2＋2，所以＝m2＋2.
8若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于( )
A. B．2或－2
C．－2 D．2
考点 有理数指数幂的运算性质
题点 附加条件的幂的求值
答案 D
解析 设ab－a－b＝t.∵a>1，b>0，
∴ab>1，a－b<1，
∴t＝ab－a－b>0，
则t2＝(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4，
∴t＝2.
二、填空题
9．计算＝________.
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的乘除运算
答案
解析 原式＝＝47－9＝4－2＝.
10．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则________.
考点 有理数指数幂的运算性质
题点 附加条件的幂的求值
答案 9
解析
11．(＋)2 015×(－)2 016＝________.
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的四则混合运算
答案 －
解析 (＋)2 015×(－)2 016
＝[(＋)(－)]2 015×(－)
＝12 015×(－)＝－.
12．化简的值为________．
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的乘除运算
答案
解析 原式＝
＝.
三、解答题
13．计算：
(1)7－3－6＋；
(2)
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的四则混合运算
解 (1)原式＝
(2)原式=
四、探究与拓展
14．已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)·(c－1)．
考点 有理数指数幂的运算性质
题点 附加条件的幂的求值
证明 ∵2a·3b＝6＝2×3，∴2a－1·3b－1＝1.
∴(2a－1·3b－1)d－1＝1，
即2(a－1)(d－1)·3(b－1)(d－1)＝1. ①
又2c·3d＝6＝2×3，∴2c－1·3d－1＝1.
∴(2c－1·3d－1)b－1＝1，
即2(c－1)(b－1)·3(d－1)(b－1)＝1. ②
由①②知2(a－1)(d－1)＝2(c－1)(b－1)，
∴(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．
15．已知函数f(x)＝，g(x)＝.
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(已知y＝在R上是增函数)
(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的四则混合运算
(1)证明 设x1>x2>0，∵y＝在R上是增函数，
又∵
∴f(x1)－f(x2)＝
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)解 经计算知f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)·g(3)＝0，由此猜想：f(x2)－5f(x)g(x)＝0.
证明如下：
f(x2)－5f(x)g(x)
2.1.2 指数函数及其性质(一)
学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．
知识点一 指数函数
思考 细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？
答案 y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．
梳理 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：
①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．
知识点二 指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
1．y＝xx(x>0)是指数函数．( × )
2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．( × )
3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．( √ )
4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.( × )
类型一 求指数函数的解析式
例1 已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．
考点 待定系数法求指数函数解析式
题点 待定系数法求指数函数解析式
解 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入，
得到f(3)＝π，
即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝.
反思与感悟 (1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．
(2)要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
跟踪训练1 已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值．
考点 待定系数法求指数函数解析式
题点 待定系数法求指数函数解析式
解 由指数函数的定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.
类型二 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域
命题角度1 f?ax?型
例2 求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1.
考点 指数函数的值域
题点 指数型复合函数的值域
解 (1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1)．
∵y＝＝1－，
又∵3x>0,1＋3x>1，
∴0<<1，∴－1<－<0，
∴0<1－<1，∴值域为(0,1)．
(2)函数的定义域为R，
y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，
∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值，
同时y可以取一切大于的实数，
∴值域为.
反思与感悟 解决此类题可采用换元法，利用二次函数与指数函数的性质求解．
跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝；
(2)y＝(a>0，且a≠1)．
考点 指数函数的值域
题点 指数型复合函数的值域
解 (1)∵1－x≥0，∴x≤1，解得x≥0，
∴原函数的定义域为[0，＋∞)．
令t＝1－x (x≥0)，则0≤t<1，∴0≤<1，
∴原函数的值域为[0,1)．
(2)原函数的定义域为R.
方法一 设ax＝t，则t∈(0，＋∞)，
y＝＝＝1－.
∵t>0，∴t＋1>1，
∴0<<1，∴－2<<0，
∴－1<1－<1.
即原函数的值域为(－1,1)．
方法二 由y＝(a>0，且a≠1)，得ax＝－.
∵ax>0，∴－>0，∴－1∴原函数的值域是(－1,1)．
命题角度2 af?x?型
例3 求函数y＝ 的定义域、值域．
考点 指数函数的值域
题点 指数型复合函数的值域
解 要使函数有意义，
则x应满足32x－1－≥0，
即32x－1≥3－2.
∵y＝3x在R上是增函数，
∴2x－1≥－2，解得x≥－.
故所求函数的定义域为.
当x∈时，32x－1∈.
∴32x－1－∈[0，＋∞)．
∴原函数的值域为[0，＋∞)．
反思与感悟 y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围．
跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：
考点 指数函数的值域
题点 指数型复合函数的值域
解 (1)由x－1≠0得x≠1，
所以函数定义域为{x|x≠1}．
由≠0得y≠1，
所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0得x≥，
所以函数定义域为.
由≥0得y≥1，
所以函数值域为{y|y≥1}．
类型三 指数函数图象的应用
命题角度1 指数函数整体图象
例4 在如图所示的图象中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝x的图象可能是( )
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的位置与底数的关系
答案 A
解析 根据图中二次函数图象可知c＝0，
∴二次函数y＝ax2＋bx，∵>0，
∴二次函数的对称轴为x＝－<0，
排除B，D.
对于A，C，都有0<<1，∴－<－<0，C不符合．
故选A.
反思与感悟 函数y＝ax的图象主要取决于01.但前提是a>0且a≠1.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是( )
A．(－1,5) B．(－1,4) C．(0,4) D．(4,0)
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象过定点问题
答案 A
解析 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，
此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．
命题角度2 指数函数局部图象
例5 若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的应用
解 y＝|2x－1|＝
图象如下：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，需0<2a<1，即0反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．
跟踪训练5 函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的应用
答案 B
解析 函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝x
考点 指数函数的概念
题点 指数函数的判断
答案 D
2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．a>0且a≠1 B．a≥0且a≠1
C．a>且a≠1 D．a≥
考点 指数函数的概念
题点 根据指数函数的定义求参数的值
答案 C
3.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的位置与底数的关系
答案 D
4．函数的值域是________．
考点 指数函数的值域
题点 指数型复合函数的定义域
答案 (0,1]
5．函数f(x)＝＋的定义域为________．
考点 指数函数的定义域
题点 指数型复合函数的定义域
答案 (－3,0]
解析 由题意，自变量x应满足
解得－31．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．
3．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．
一、选择题
1．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
考点 指数函数的概念
题点 根据指数函数的定义求参数的值
答案 C
解析 由题意得解得a＝2.
2．函数y＝ax－a (a>0且a≠1)的大致图象可能是( )
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的位置与底数的关系
答案 C
解析 如果函数的图象是A，那么由1－a＝1，得a＝0，这与a>0且a≠1相矛盾，故A不可能；如果函数的图象是B，那么由a1－a<0，得0<0，这是不可能的，故B不可能；如果函数的图象是C，那么由0<1－a<1，得03．设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式中不正确的是( )
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝
C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)
考点 指数函数的性质
题点 指数函数的性质
答案 D
解析 f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A对；
f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B对；
f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，C对；
[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n≠(axy)n，D错．
4．设f(x)＝若方程f(x)＝a(a为实常数)有2个根，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
考点 指数函数的求值
题点 指数函数的求值
答案 D
解析 f(x)的图象如图所示．
由图可知，当且仅当a≥1时，
y＝a与y＝f(x)有两个交点，
从而f(x)＝a有2个根．
5．函数y＝3x与y＝3－x的图象关于下列哪条直线对称( )
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．直线y＝－x
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数的图象与性质
答案 B
解析 若点(x0，y0)在y＝3x的图象上，即y0＝，
则
∴(－x0，y0)在y＝3－x的图象上，反之亦然，
∴y＝3x与y＝3－x关于y轴对称．
6．已知函数f(x)＝(a2－1)x，若x>0时总有f(x)>1，则实数a的取值范围是( )
A．1<|a|<2 B．|a|<2
C．|a|>1 D．|a|>
考点 指数函数的概念
题点 根据指数函数的定义求参数的取值范围
答案 D
解析 由题意知a2－1>1，解得a>或a<－，故选D.
7．若函数f(x)＝，则此函数在(－∞，＋∞)上( )
A．单调递减且无最小值
B．单调递减且有最小值
C．单调递增且无最大值
D．单调递增且有最大值
考点 指数函数的最值
题点 指数函数的最值
答案 A
解析 函数f(x)的定义域是R，设2x＝t，x∈R，得t>0，则f(t)＝.画出函数f(t)＝(t>0)的图象，如图．观察f(t)的图象，得此函数单调递减且无最小值．
8.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点E，B，则a等于( )
A. B. C．2 D．3
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的应用
答案 A
解析 设点C(0，m)(m>0)则由已知可得A，E，B.又因为点E，B在指数函数的图象上，所以
①式两边平方得m2＝a， ③
②③联立，得m2－2m＝0，
所以m＝0(舍)或m＝2，
所以a＝.
二、填空题
9．函数y＝的定义域是________．
考点 指数不等式的解法
题点 指数不等式的解法
答案 (－∞，5]
解析 由32－2x≥0，得2x≤25，∴x≤5.
10．已知5a＝0.3,0.7b＝0.8，则ab与0的大小关系是________．
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的应用
答案 ab<0
解析 由f(x)＝5x与g(x)＝0.7x的图象可知，5a＝0.3<1时，a<0，同理b>0.所以ab<0.
11．给出函数f(x)＝则f(x)的值域为________．
考点 指数函数的值域
题点 与指数函数有关的值域问题
答案 [8，＋∞)
解析 当x≥3时，2x≥23＝8；当x<3时，皆可通过有限次加1转化为第一类．
三、解答题
12．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝3；
(2)y＝5－x－1.
考点 指数函数的值域
题点 指数型复合函数的值域
解 (1)令1－x≥0，得x≤1.
∴定义域为(－∞，1]．
设t＝≥0，
则3t≥30＝1，
∴值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R，∵5－x>0，∴5－x－1>－1，
∴值域为(－1，＋∞)．
13．已知x∈[－3,2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．
考点 指数函数的值域
题点 指数型复合函数的值域
解 f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝2＋，
∵x∈[－3,2]，∴≤2－x≤8，则当2－x＝，即x＝1时，f(x)有最小值，
当2－x＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57.
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(a－1)
b____0.(填“>”“<”“＝”)
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的位置与底数的关系
答案 <
解析 已知函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，画出草图如图所示．
由图象可得
解得a>1且b<0，∴(a－1)b<0.
15．已知函数y＝|x＋1|.
(1)画出函数的图象(简图)；
(2)由图象指出函数的单调区间；
(3)由图象指出当x取何值时函数有最值，并求出最值．
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的应用
解 (1)方法一 y＝|x＋1|＝
其图象由两部分组成：
一部分：y＝x(x≥0)的图象y＝x＋1(x≥－1)的图象；
另一部分：y＝3x(x<0)的图象y＝3x＋1(x<－1)的图象．
得到的函数图象如图所示．
方法二 ①可知函数y＝|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝x(x≥0)的图象，当x<0时，其图象与y＝x(x≥0)的图象关于y轴对称，从而得出y＝|x|的图象．
②将y＝|x|的图象向左平移1个单位长度，即可得y＝|x＋1|的图象，如图所示．
(2)由图象知函数的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．
(3)由图象知当x＝－1时，函数有最大值1，无最小值．
2.1.2 指数函数及其性质(二)
学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数的性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式．
知识点一 不同底指数函数图象的相对位置
思考 y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？
答案 经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方．
梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：
(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．
(2)指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．
知识点二 比较幂的大小
思考 若x1＜x2，则与(a＞0且a≠1)的大小关系如何？
答案 当a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以
当0＜a＜1时，y＝ax在R上为减函数，所以
梳理 一般地，比较幂大小的方法有：
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
知识点三 解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
知识点四 与指数函数复合的函数单调性
思考 的定义域与y＝的定义域是什么关系？的单调性与y＝的单调性有什么关系？
答案 由于y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，故的定义域与y＝的定义域相同，故研究的单调性，只需在y＝的定义域内研究．若设0＜x1＜x2，则＞，不等号方向的改变与y＝x，y＝的单调性均有关．
梳理 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当01．y＝21－x是R上的增函数．( × )
2．若0.1a>0.1b，则a>b.( × )
3．a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.( × )
4．由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．( × )
类型一 解指数方程
例1 解下列方程．
(1)81×32x＝x＋2；
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.
考点 指数方程的解法
题点 指数方程的解法
解 (1)∵81×32x＝x＋2，
∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
∴2x＋4＝－2(x＋2)，
∴x＝－2.
(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝或t＝－1(舍去)．
∴2x＝，解得x＝－2.
反思与感悟 (1)af(x)＝b型通常化为同底来解．
(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．
跟踪训练1 解下列方程．
(1)33x－2＝81；
(2)＝；
(3)52x－6×5x＋5＝0.
考点 指数方程的解法
题点 指数方程的解法
解 (1)∵81＝34，∴33x－2＝34，∴3x－2＝4，解得x＝2.
(2)∵＝，
∴＝，解得x＝.
(3)令t＝5x，则t>0，原方程可化为t2－6t＋5＝0，
解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，
∴x＝1或x＝0.
类型二 指数函数单调性的应用
命题角度1 比较大小
例2 比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；
(3)1.70.3,0.83.1.
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
解 (1)∵1.7＞1，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.
(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方．
而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.
方法二 ∵1.50.3＞0，且＝0.3，
又＞1,0.3＞0，∴0.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3.
(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，
∴1.70.3＞0.83.1.
反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.
跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小．
(1)0.8－0.1,1.250.2；
(2)－π，1；
(3)0.2－3，(－3)0.2.
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
解 (1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1＜1.250.2.
(2)∵0＜＜1，∴函数y＝x在R上是减函数．
又∵－π＜0，∴－π＞0＝1，即－π＞1.
(3)0.2－3＝－3＝－3＝53，
命题角度2 解指数不等式
例3 解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
考点 指数不等式的解法
题点 指数不等式的解法
解 ①当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
跟踪训练3 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
考点 指数不等式的解法
题点 指数不等式的解法
答案
解析 ∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x?x>1－x?x>.
∴x∈.
类型三 求与指数函数复合的函数的单调区间
例4 (1)求函数的单调区间；
(2)求函数y＝2x－8·x＋17的单调区间．
考点 指数函数的单调性
题点 指数型复合函数的单调区间
解 (1)函数的定义域为R.
在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，
∴在(－∞，3]上是增函数．
在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数，
∴在[3，＋∞)上是减函数．
∴的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)．
(2)函数y＝2x－8·x＋17的定义域为R.
设t＝x>0，又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，
令x≤4，得x≥－2，
∴当－2≤x1即4≥t1>t2，∴t－8t1＋17∴y＝2x－8·x＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．
同理可得减区间是(－∞，－2]．
反思与感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x1跟踪训练4 求下列函数的单调区间．
(2)y＝.
考点 指数函数的单调性
题点 指数型复合函数的单调区间
解 (1)设y＝au，u＝x2＋2x－3，
由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．
当a>1时，y关于u为增函数；
当0∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当0(2)已知函数的定义域为{x|x≠0}．
设y＝，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数．
而根据y＝的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的减函数，
∴原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
1．下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4<π0 B．0.43<π0<30.4
C．30.4<0.43<π0 D．π0<30.4<0.43
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
答案 B
解析 0.43<0.40＝π0＝30<30.4.
2．方程42x－1＝16的解是( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝1 D．x＝2
考点 指数方程的解法
题点 指数方程的解法
答案 B
解析 ∵42x－1＝42，∴2x－1＝2，x＝.
3．函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
考点 指数函数的单调性
题点 指数型复合函数的单调区间
答案 A
解析 ∵，0<<1，∴f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．
4．设0＜a＜1，则关于x的不等式的解集为________．
考点 指数不等式的解法
题点 指数不等式的解法
答案 (1，＋∞)
解析 ∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，
又∵，
∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.
5．f(x)＝2x＋2－x的奇偶性是________．
考点 与指数函数相关的函数的奇偶性
题点 与指数函数相关的函数的奇偶性
答案 偶函数
解析 f(x)的定义域为R.
f(－x)＝2－x＋2－(－x)＝2x＋2－x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．
3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．
当0(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间．
一、选择题
1．设x<0，且1A．0C．1考点 指数不等式的解法
题点 指数不等式的解法
答案 B
解析 ∵1当x＝－1时，<，即b>a，∴02．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )
A．6 B．1 C．3 D.
考点 指数函数的最值
题点 根据指数函数的最值求底数
答案 C
解析 函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.
3．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的关系为( )
A．m＋n<0 B．m＋n>0
C．m>n D．m考点 指数不等式的解法
题点 指数不等式的解法
答案 D
解析 ∵0<<1，∴f(x)＝ax＝x在R上单调递减，
又∵f(m)>f(n)，∴m4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
考点 指数函数的单调性
题点 指数型复合函数的单调区间
答案 B
解析 由f(1)＝得a2＝，
所以a＝(a＝－舍去)，
即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
故选B.
5．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
答案 D
解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，
根据y＝2x在R上是增函数，
得21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2，
故选D.
6．设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是( )
A．3c≤3b B．3c>3b
C．3c＋3a>2 D．3c＋3a<2
考点 指数函数性质的综合应用
题点 指数函数的综合问题
答案 D
解析 f(x)＝|3x－1|的图象如下．
由c＜b＜a且f(c)>f(a)>f(b)可知c，b，a不在同一个单调区间上．
故有c<0，a>0.
∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.
∴f(c)>f(a)，即1－3c>3a－1,3c＋3a<2.
7．已知函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)，若f(x)是偶函数，记a＝m，若f(x)是奇函数，记a＝n，则m＋2n的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．－1
考点 与指数函数相关的函数的奇偶性
题点 与指数函数相关的函数的奇偶性
答案 B
解析 当f(x)是偶函数时，f(x)＝f(－x)，即x(ex＋ae－x)＝－x(e－x＋aex)，即(1＋a)(ex＋e－x)x＝0，
因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1，即m＝－1.
当f(x)是奇函数时，f(x)＝－f(－x)，即x(ex＋ae－x)＝x(e－x＋aex)，即(1－a)(ex－e－x)x＝0，
因为上式对任意实数x都成立，
所以a＝1，即n＝1，所以m＋2n＝1.
8．若存在正实数x使2x(x－a)<1，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
考点 指数函数的单调性
题点 根据指数函数的单调性求参数的取值范围
答案 D
解析 由2x(x－a)<1，得a>x－(x>0)，
令f(x)＝x－，即a>f(x)有解，则a>f(x)min，又 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)>f(0)＝－1，∴a>－1.故选D.
二、填空题
9．函数f(x)＝的单调递减区间是________．
考点 指数函数的单调性
题点 指数型复合函数的单调区间
答案 (2，＋∞)
解析 函数由f(t)＝t，t(x)＝x2－4x－5复合而成，其中f(t)＝t是减函数，t(x)＝x2－4x－5在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为(2，＋∞)．
10．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足解析式f(x)＝规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过______ h后才能开车．(精确到1 h)
考点 指数函数的实际应用
题点 指数函数的实际应用
答案 4
解析 当0≤x≤1时，≤5x－2≤，此时不宜开车；由·x≤0.02，可得x≥3.10.故至少要过4 h后才能开车．
11．若4x＋2x＋1＋m>1对一切实数x成立，则实数m的取值范围是__________．
考点 指数函数性质的综合应用
题点 与指数函数有关的恒成立问题
答案 [1，＋∞)
解析 4x＋2x＋1＋m>1等价于(2x)2＋2·2x＋1>2－m，即(2x＋1)2>2－m.∵2x∈(0，＋∞)，
∴2x＋1∈(1，＋∞)，∴2－m≤1，解得m≥1.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)>0；
(2)当a＝，x∈[0,2]时，求f(x)的值域．
考点 指数函数性质的综合应用
题点 与指数函数有关的恒成立问题
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
f(x)>0，即2·(2x)2－2x－1>0，
解得2x>1或2x<－(舍去)，
∴x>0，
∴不等式f(x)>0的解集为{x|x>0}．
(2)当a＝时，f(x)＝4x－2x－1，x∈[0,2]．
设t＝2x，∵x∈[0,2]，∴t∈[1,4]．
令y＝g(t)＝t2－t－1(1≤t≤4)，
画出g(t)＝t2－t－1(1≤t≤4)的图象(如图)，
可知g(t)min＝g(1)＝－1，g(t)max＝g(4)＝11，
∴f(x)的值域为[－1,11]．
13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，
(1)写出f(x)的单调区间；
(2)求不等式f(x)<－的解集．
考点 指数函数性质的综合应用
题点 与指数函数有关的恒成立问题
解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(2)f(x)<－＝－f(1)＝f(－1)，
由(1)知f(x)在R上是增函数，∴x<－1.
即f(x)<－的解集为(－∞，－1)．
四、探究与拓展
14．设f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且当x>2时，f(x)是增函数，则a＝f(1.10.9)，b＝f(0.91.1)，c＝f(2)的大小关系是________．(按由大到小排列)
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
答案 b>a>c
解析 ∵f(x)＝f(4－x)，∴f(x)关于x＝2对称．
又∵f(x)在(2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，2)上是减函数．
又∵1.10.9>1,0<0.91.1<1，∴0.91.1<1.10.9<2，
∴f(0.91.1)>f(1.10.9)>f(2)，即b>a>c.
15．已知函数f(x)＝3x＋k·3－x为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若关于x的不等式f(9)＋f(1－3ax－2)<0只有一个整数解，求实数a的取值范围．
考点 指数函数性质的综合应用
题点 指数函数的综合问题
解 (1)显然f(x)的定义域为R.
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＋f(－x)＝3x＋k·3－x＋3－x＋k·3x
＝(k＋1)(3x＋3－x)＝0对一切实数x都成立，
∴k＝－1.
(2)由(1)可知f(x)为R上的增函数，又f(x)是奇函数，
∴f(9)＋f(1－3ax－2)<0?9<3ax－2－1?3<3ax－2?2ax2－4x?(ax－2)(2x－1)<0.
当a≤0时，显然不符合题意；
当a>0时，由不等式只有一个整数解，可知不等式的解集为，且1<≤2?1≤a<2，
∴实数a的取值范围是[1,2)．
