§2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数
学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．
知识点一 对数的概念
对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.
知识点二 对数与指数的关系
思考 求loga1(a>0，且a≠1)的值．
答案 设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.
梳理 一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝x.
对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
对数的性质：
(1)1的对数为零；
(2)底的对数为1；
(3)零和负数没有对数．
1．若3x＝2，则x＝log32.( √ )
2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.( √ )
3．logaN>0(a>0且a≠1，N>0)．( × )
4．若ln N＝，则N＝e.( × )
类型一 对数的概念
例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A．b<2或b>5 B．2
C．4考点 对数的概念
题点 对数的概念
答案 D
解析 ∵∴2反思与感悟 由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.
跟踪训练1 求f(x)＝logx的定义域．
考点 对数的概念
题点 对数的概念
解 要使函数式有意义，需解得0∴f(x)＝logx的定义域为(0,1)．
类型二 对数基本性质的应用
例2 求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解 (1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
反思与感悟 此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
跟踪训练2 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 A
解析 ∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
类型三 对数式与指数式的互化
命题角度1 指数式化为对数式
例3 将下列指数式写成对数式：
(1)54＝625；
(2)2－6＝；
(3)3a＝27；
(4)m＝5.73.
考点 对数式与指数式的互化
题点 指数式化为对数式
解 (1)log5625＝4；(2)log2＝－6；
(3)log327＝a；(4)
反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
跟踪训练3 (1)如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有( )
A．log2a＝b B．log2b＝a
C．logba＝2 D．logb2＝a
考点 对数式与指数式的互化
题点 指数式化为对数式
答案 C
解析 logba＝2，故选C.
(2)将3－2＝，6＝化为对数式．
考点 对数式与指数式的互化
题点 指数式化为对数式
解 3－2＝可化为log3＝－2；
6＝可化为
(3)解方程：m＝5.
考点 对数式与指数式的互化
题点 指数式化为对数式
命题角度2 对数式化为指数式
例4 求下列各式中x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；
(4)－ln e2＝x；(5)log(－1)＝x.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解 (1)
(2)因为x6＝8，所以
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.
(5)因为
所以(－1)x＝＝＝＝－1，
所以x＝1.
反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
跟踪训练4 计算：(1)log927；
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解 (1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.
∴x＝16.
(3)
∴x＝3.
1．logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是( )
A．ab＝N B．ba＝N
C．aN＝b D．bN＝a
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 B
2．若logax＝1，则( )
A．x＝1 B．a＝1
C．x＝a D．x＝10
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 C
3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．＝与log8＝－
C．log39＝2与＝3
D．log77＝1与71＝7
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式与指数式的互化
答案 C
4．已知logx16＝2，则x＝________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 4
5．设10lg x＝100，则x＝________.
考点 对数的运算
题点 对数恒等式的应用
答案 100
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
一、选择题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 对数的概念
题点 对数的概念
答案 C
解析 ①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
2．已知log3a＝2，则a等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 D
解析 把log3a＝2化为指数式，有a＝32＝9.
3．ln等于( )
A．0 B. C．1 D．2
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 B
解析 设ln＝x，则ex＝＝e，
∴x＝.
4．方程2＝的解是( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式与指数式的互化
答案 A
解析 ∵2＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
5．下列四个等式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.
其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 C
解析 ①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；
③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝ee.
6.－1＋log0.54的值为( )
A．6 B. C．0 D.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 C
解析 －1＋log0.54＝－1＋log4＝2－2＝0.
7．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )
A．15 B．75 C．45 D．225
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 C
解析 由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
8．log(3－2)等于( )
A．－2 B．－4 C．2 D．4
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 A
解析 3－2＝2－2＋1＝()2－2＋12
＝(－1)2
＝2＝(＋1)－2.
设log(3－2)＝t，则(＋1)t＝3－2
＝(＋1)－2，∴t＝－2.
二、填空题
9．log81＝________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 8
解析 设log81＝t，则()t＝81,3＝34，＝4，t＝8.
10．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x＝________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案
解析 ∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴23＝x，∴x＝(23) ＝＝＝.
11．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案
解析 ∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，
∴3a－b＝＝.
三、解答题
12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式．
①log68；②log62；③log26.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解 (1)①因为log2x＝－，所以x＝2＝.
②因为logx3＝－，所以x＝3，所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8得6a＝23，即6＝2，所以log62＝.
③由6＝2得2＝6，所以log26＝.
13．求2＋3的值．
考点 对数的运算
题点 对数恒等式的应用
解 2＋3＝22×2＋
＝4×3＋＝12＋1＝13.
四、探究与拓展
14．已知f(log2x)＝x，则f ＝________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式与指数式的互化
答案
解析 令log2x＝，则x＝2＝，
即f?＝f(log2)＝.
15．已知x＝log23，求＝________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案
解析 由x＝log23，得2x＝3，∴2－x＝＝，
∴23x＝(2x)3＝33＝27,2－3x＝＝，
∴＝＝＝＝.
第2课时 对数的运算
学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识点一 对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点二 换底公式
思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？
答案 设法换为同底．
梳理 对数换底公式：
logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
1．log2x2＝2log2x.( × )
2．loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．( × )
3．logaM·logaN＝loga(M＋N)．( × )
4．logx2＝.( √ )
类型一 具体数字的化简求值
例1 计算：(1)log345－log35；
(2)log2(23×45)；
(3)；
(4)log29·log38.
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
解 (1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2log33＝2.
(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)
＝13log22＝13.
(3)原式=
＝＝.
(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)
＝2log23·3log32
＝6·log23·
＝6.
反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循两个原则
(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．
(2)不同底化为同底．
跟踪训练1 计算：(1)2log63＋log64；
(2)(lg 25－lg )÷
(3)log43·log98；
(4)log2.56.25＋ln－
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
解 (1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.
(2)原式＝÷＝lg 102÷10－1
＝2×10＝20.
(3)原式＝·＝·＝.
(4)原式＝log2.5(2.5)2＋－
＝2＋－＝.
类型二 代数式的化简
命题角度1 代数式恒等变换
例2 化简loga.
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
解 ∵>0且x2>0，>0，∴y>0，z>0.
loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga
＝2loga|x|＋logay－logaz.
反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lg x2不一定等于2 lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.
跟踪训练2 已知y>0，化简loga.
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
解 ∵>0，y>0，∴x>0，z>0.
∴loga＝loga－loga(yz)＝logax－logay－logaz.
命题角度2 用代数式表示对数
例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝＝
＝＝.
方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝
＝＝.
方法三 ∵log189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
∴log3645＝＝＝
＝＝.
反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．
跟踪训练3 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
解 ∵log23＝a，则＝log32，又∵log37＝b，
∴log4256＝＝＝.
1．log5＋log53等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．log5
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 A
2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 B
解析 由logab·logcb＝·≠logca，故A错；由logab·logca＝·＝＝logcb.故选B.
3．log29×log34等于( )
A. B. C．2 D．4
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 D
4．lg 0.01＋log216的值是________．
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 2
解析 lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2.
5．若2x＝3y，则＝________.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 log23
解析 方法一 设2x＝3y＝t，
则x＝log2t，y＝log3t.
∴＝＝＝＝log23.
方法二 ∵2x＝3y，
则lg 2x＝lg 3y，
∴xlg 2＝ylg 3，
∴＝＝log23.
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N)．
一、选择题
1．下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga(M－N)＝；③a＝；④(am)n＝amn；⑤＝－nlogab.
A．2 B．3 C．4 D．5
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 B
解析 ①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确．
2．如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 A
解析 lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lg，
∴由lg x＝lg，可得x＝.
3．log4等于( )
A. B. C．2 D．4
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 D
解析 log4＝log ()4＝4.
4．化简等于( )
A．log54 B．3log52 C．2 D．3
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 D
解析 ＝log28＝log223＝3.
5．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示lg 15为( )
A．b－a＋1 B．b(a－1)
C．b－a－1 D．b(1－a)
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 A
解析 lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5
＝lg 3＋lg ＝lg 3＋1－lg 2＝b－a＋1.
6．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9 B. C．25 D.
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案 D
解析 由换底公式，得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
7．计算(log32＋log23)2－－的值是( )
A．log26 B．log36
C．2 D．1
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 C
解析 原式＝(log32)2＋2log32·log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.
8．化简：＋log2 等于( )
A．2 B．2－2log23
C．－2 D．2log23－2
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 B
解析
＝＝|log23－2|＝2－log23.
∴原式＝2－log23＋log2＝2－log23－log23＝2－2log23.
二、填空题
9．(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
考点 对数的运算
题点 换底公式的应用
答案
解析 原式＝
＝log23·＝.
10．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.
考点 对数的运算
题点 利用lg 2＋lg 5＝1化简求解对数值
答案 1
解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
11．若3x＝4y＝36，则＋＝________.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 1
解析 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得
xlog63＝ylog64＝2，
∴＝log63，＝log64，即＝log62，
故＋＝log63＋log62＝1.
三、解答题
12．计算：
(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；
(2).
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
解 (1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1
＝2＋1＋9×－0＝＋1＋＝.
(2)＝
＝＝
＝＝
＝＝1.
13．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p的值；
(2)求证：－＝.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
(1)解 设3x＝4y＝6z＝t，则t>0，且t≠1.
∴x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t.
∵2x＝py，∴2log3t＝plog4t＝p·.
∵log3t≠0，∴p＝2log34＝4log32.
(2)证明 －＝－
＝logt6－logt3＝logt2.
又＝＝·logt4＝·2logt2＝logt2，
∴－＝.
四、探究与拓展
14．计算＋＋(－)0－log31＋2lg 5＋lg 4－5＝________.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
答案
解析 ∵
＝＝＝1，
(－)0＝1，log31＝0，
2lg 5＋lg 4＝lg(52×4)＝lg 102＝2,5＝2，
∴原式＝＋1＋1－0＋2－2＝.
15．若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
答案
解析 ∵a＝log43＝log23，
∴2a＋2－a＝＝＋＝.
2.2.2 对数函数及其性质(一)
学习目标 1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．
知识点一 对数函数的概念
思考 已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？
答案 由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)．习惯上用x，y分别表示自变量、因变量．上式可改为y＝log2x，x∈(0，＋∞)．
梳理 一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点二 对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
定义
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与y＝x的图象关于x轴对称
1．由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.( √ )
2．y＝2log2x是对数函数．( × )
3．y＝ax与y＝logax的单调区间相同．( × )
4．由loga1＝0，可得y＝logax恒过定点(1,0)．( √ )
类型一 对数函数的定义域的应用
例1 求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)．
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
解 (1)由得－3∴函数的定义域是{x|－3(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
引申探究
1．把本例(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定义域．
解 由得x>3.
∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x>3}．
2．求函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？
解 (x＋3)(x－3)>0，即或
解得x<－3或x>3.
∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}．
相比引申探究1，函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y＝loga[(x＋3)·(x－3)]，要使对数有意义，只需(x＋3)与(x－3)同号，而对于y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，要使对数有意义，必须(x－3)与(x＋3)同时大于0.
反思与感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．
跟踪训练1 求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
解 (1)要使函数有意义，需
即即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需即
所以－1故所求函数的定义域为{x|－1类型二 对数函数单调性的应用
命题角度1 比较同底对数值的大小
例2 比较下列各组数中两个值的大小．
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
考点 对数值大小比较
题点 对数值大小比较
解 (1)考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是增函数，
又3.4＜8.5，
于是log23.4(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，
又1.8＜2.7，
于是 log0.31.8>log0.32.7.
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1＜5.9，
于是loga5.1当0又5.1＜5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9，
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.
反思与感悟 比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22跟踪训练2 设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
考点 对数值大小比较
题点 对数值大小比较
答案 A
解析 ∵a＝log3π＞1，b＝log23，
其中log22则＜b＜1，c＝log32＜，∴a＞b＞c.
命题角度2 求y＝logaf?x?型的函数值域
例3 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．
考点 对数函数的值域
题点 对数函数的值域
答案 (0，＋∞)
解析 f(x)的定义域为R.
∵3x>0，∴3x＋1>1.
∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0.
即f(x)的值域为(0，＋∞)．
反思与感悟 在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y＝logaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf(x)的取值范围．
跟踪训练3 已知f(x)＝log2(1－x)＋log2(x＋3)，求f(x)的定义域、值城．
考点 对数函数的值域
题点 真数为二次函数的对数型函数的值域
解 要使函数式有意义，需解得定义域为(－3,1)．
f(x)＝log2[(1－x)(x＋3)]＝log2[－(x＋1)2＋4]．
∵x∈(－3,1)，
∴－(x＋1)2＋4∈(0,4]．
∴log2[－(x＋1)2＋4]∈(－∞，2]．
即f(x)的值域为(－∞，2]．
类型三 对数函数的图象
例4 画出函数y＝lg|x－1|的图象．
考点 对数函数的图象
题点 含绝对值的对数函数的图象
解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图)．
(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图)．
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图)．
反思与感悟 现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
跟踪训练4 画出函数y＝|lg(x－1)|的图象．
考点 对数函数的图象
题点 含绝对值的对数函数的图象
解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图)．
(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图)．
(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．
1．下列函数为对数函数的是( )
A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)
B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)
D．y＝2logax(a＞0且a≠1)
考点 对数函数的概念
题点 对数函数的概念
答案 C
2．函数y＝log2(x－2)的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
答案 C
3．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
考点 对数函数的图象
题点 对数函数的图象
答案 C
解析 函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.
4．函数f(x)＝log0.2(2x＋1)的值域为________．
考点 对数函数的值域
题点 对数函数的值域
答案 (－∞，0)
5．若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________．
考点 对数函数的性质
题点 对数函数图象过定点问题
答案 (1,3)
1．含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数．
判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式．如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数．
2．研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质．
一、选择题
1．给出下列函数：
①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.
其中是对数函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点 对数函数的概念
题点 对数函数的概念
答案 A
解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－1考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
答案 C
解析 ∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，
N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，
∴M∩N＝{x|－13．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是下图中的( )
考点 对数函数的图象
题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象
答案 B
解析 y＝ax与y＝loga(－x)的单调性相反，排除A，D.y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)，排除C，故选B.
4．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )
A．－2 B．2 C. D．－
考点 对数函数的性质
题点 对数函数图象过定点问题
答案 B
解析 代入(6,3)，3＝loga(6＋2)＝loga8，
即a3＝8，∴a＝2.
∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2.
5．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示：其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
考点 对数函数的图象
题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象
答案 D
解析 由f(x)的图象可知0∴g(x)的图象应为D.
6．下列不等号连接错误的一组是( )
A．log0.52.2>log0.52.3
B．log34>log65
C．log34>log56
D．logπe>ln π
考点 对数值大小比较
题点 对数值大小比较
答案 D
解析 对A，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确．
对B，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．
对C，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．
对D，由π>e>1，得ln π>1>logπe可知错误．
7．已知f(x)＝2＋log3x，x∈，则f(x)的最小值为( )
A．－2 B．－3 C．－4 D．0
考点 对数函数的值域
题点 对数函数的值域
答案 A
解析 ∵≤x≤9，
∴log3≤log3x≤log39，即－4≤log3x≤2，
∴－2≤2＋log3x≤4.
∴当x＝时，f(x)min＝－2.
8．已知函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，那么( )
A．f(x)在(－∞，0)上是增函数
B．f(x)在(－∞，0)上是减函数
C．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
考点 对数函数的图象
题点 含绝对值的对数函数的图象
答案 C
解析 当x∈(－1,0)时，|x＋1|∈(0,1)，
∵loga|x＋1|>0，∴0画出f(x)的图象如图：
由图可知选C.
二、填空题
9.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是____________．
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
答案 {x|2解析 由题意知，f(x)>0，由所给图象可知f(x)>0的解集为{x|210．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a，b，c的大小关系是______________．
考点 对数值大小比较
题点 指数、对数值大小比较
答案 a>c>b
解析 因为π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝logπ<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0c>b.
11．已知函数f(x)＝|lg x|，若0考点 对数函数的图象
题点 含绝对值的对数函数的图象
答案 (5，＋∞)
解析 因为f(a)＝f(b)，且0g(1)＝1＋＝5，即a＋4b的取值范围是(5，＋∞)．
三、解答题
12．已知f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)在函数y＝f(x)的图象上时，点在函数y＝g(x)的图象上．
(1)写出y＝g(x)的解析式；
(2)求方程f(x)－g(x)＝0的根．
考点 对数函数的解析式
题点 对数函数的解析式
解 (1)设＝x′，＝y′，
则x＝3x′，y＝2y′.
∵(x，y)在y＝f(x)的图象上，
∴y＝log2(x＋1)，
∴2y′＝log2(3x′＋1)，y′＝log2(3x′＋1)，
即点(x′，y′)在y＝log2(3x＋1)的图象上．
∴g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)f(x)－g(x)＝0，即log2(x＋1)＝log2(3x＋1)＝log2，
∴x＋1＝，
∴
解得x＝0或x＝1.
13．已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2×log2的最大值与最小值．
考点 对数函数的值域
题点 对数函数的值域
解 ∵f(x)＝log2×log2
＝(log2x－2)(log2x－1)
＝2－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝2＝2时，f(x)取最小值－；
当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取最大值2.
∴函数f(x)的最大值是2，最小值是－.
四、探究与拓展
14．已知loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围是________．
考点 对数函数的图象
题点 对数函数的图象
答案
解析 由题意知loga(3a－1)>0＝loga1.
当a>1时，y＝logax是增函数，
∴解得a>，∴a>1；
当0∴解得∴综上所述，a的取值范围是.
15．已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
考点 对数函数的值域
题点 求对数函数的定义域与值域
解 (1)若f(x)的定义域为R，则y＝ax2＋2x＋1的图象恒在x轴的上方，
所以
所以a>1.
(2)若f(x)的值域为R，则y＝ax2＋2x＋1的图象一定要与x轴有交点，且能取得y轴正半轴的任一值，
所以a＝0或
所以0≤a≤1.
2.2.2 对数函数及其性质(二)
学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式.4.了解反函数的概念及它们的图象特点．
知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置
思考 y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？
答案 可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数．
梳理 一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0知识点二 反函数的概念
思考 如果把y＝2x视为A＝R→B＝(0，＋∞)的一个映射，那么y＝log2x是从哪个集合到哪个集合的映射？
答案 如图，y＝log2x是从B＝(0，＋∞)到A＝R的一个映射，相当于A中元素通过f：x→2x对应B中的元素2x，y＝log2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x.
梳理 一般地，像y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)这样的两个函数互为反函数．
(1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
(3)互为反函数的两个函数的单调性相同．但单调区间不一定相同．
1．y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(×)
2．在(0，＋∞)上为增函数．(×)
3．ln x<1的解集为(－∞，e)．(×)
4．y＝ax与x＝logay的图象相同．(√)
类型一 对数型复合函数的单调性
命题角度1 求单调区间
例1 求函数的单调区间．
考点 对数函数的单调性
题点 对数型复合函数的单调区间
解 令1－|x|>0，即|x|<1.
解得的定义域为(－1,1)．
＝
在区间(－1,0]上，y＝1＋x为增函数，
故为减函数．
同理在区间(0,1)上为增函数，
∴的增区间为(0,1)，减区间为(－1,0]．
反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．
(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”．
跟踪训练1 求y＝ln 的单调区间．
考点 对数函数的单调性
题点 对数型复合函数的单调区间
解 y＝ln 的定义域为(1，＋∞)，在区间(1，＋∞)上，y＝为减函数，
∴y＝ln 也为减函数．
∴y＝ln 的减区间为(1，＋∞)，没有增区间．
命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围
例2 已知函数在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围．
考点 对数函数的单调性
题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
解 令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是减函数，∵0<<1，
∴是减函数，而已知复合函数在区间(－∞，)上是增函数，
∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2(＋1)]．
反思与感悟 若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0跟踪训练2 若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,3)
C．(1,3] D．[3，＋∞)
考点 对数函数的单调性
题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案 B
解析 函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1类型二 对数型复合函数的奇偶性
例3 判断函数f(x)＝ln 的奇偶性．
考点 对数函数的综合问题
题点 与奇偶性有关的对数函数综合问题
解 由>0可得－2所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称．
方法一 f(－x)＝ln ＝ln－1＝－ln
＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln 是奇函数．
方法二 f(x)＋f(－x)＝ln ＋ln
＝ln＝ln 1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln 是奇函数．
引申探究
若已知f(x)＝ln为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？
解 由>0得－b∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，即a＝b.
当a＝b时，f(x)＝ln.
f(－x)＋f(x)＝ln＋ln
＝ln
＝ln 1＝0，
∴有f(－x)＝－f(x)，
∴此时f(x)为奇函数．
故f(x)为奇函数时，a＝b.
反思与感悟 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单．
跟踪训练3 判断函数f(x)＝lg(－x)的奇偶性．
考点 对数函数的综合问题
题点 与奇偶性有关的对数函数综合问题
解 方法一 由－x>0可得x∈R，
所以函数的定义域为R且关于原点对称，
又f(－x)＝lg(＋x)
＝lg
＝lg
＝－lg(－x)＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)．
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
方法二 由－x>0可得x∈R，
f(x)＋f(－x)＝lg(－x)＋lg(＋x)
＝lg[(－x)(＋x)]
＝lg(1＋x2－x2)＝0.
所以f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
类型三 简单的对数型不等式的解法
例4 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1)，解关于x的不等式loga(1－ax)＞f(1)．
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a)，
∴1－a＞0，∴0＜a＜1，
∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a)．
∴即∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为(0,1)．
反思与感悟 对数不等式解法要点
(1)化为同底logaf(x)＞logag(x)．
(2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向．
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.
跟踪训练4 函数f(x)＝的定义域为( )
A．(0,2) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 C
解析 要使函数有意义，则有
即解得x>2，
即函数的定义域为(2，＋∞).
1.如图所示，曲线是对数函数f(x)＝logax的图象，已知a取，，，，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
考点 对数函数的图象
题点 对数函数的图象
答案 A
2．如果那么( )
A．yC．1考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 D
3．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )
A．bC．c考点 对数值大小比较
题点 指数、对数值大小比较
答案 B
解析 ∵a＝log37，∴1∵b＝21.1，∴b>2.
∵c＝0.83.1，∴0即c4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝________.
考点 函数的反函数
题点 求函数的反函数
答案 log2x
5．函数f(x)＝ln x2的减区间为____________．
考点 对数函数的单调性
题点 对数型复合函数的单调区间
答案 (－∞，0)
1．与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响．
2．y＝ax与x＝logay图象是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于直线y＝x对称，因为点(a，b)与点(b，a)关于直线y＝x对称．
一、选择题
1．函数y＝的定义域为( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C. D.
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 A
解析 要使函数有意义，需满足
∴ ∴x≥1，
∴函数y＝的定义域为[1，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝那么f?的值为( )
A．27 B. C．－27 D．－
考点 对数函数的求值
题点 对数函数的求值
答案 B
解析 f?＝log2＝log22－3＝－3，f?＝f(－3)＝3－3＝.
3．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
考点 对数值大小比较
题点 对数值大小比较
答案 D
解析 a＝log36＝log32＋1，b＝log52＋1，c＝log72＋1，
在同一坐标系内分别画出y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，
当x＝2时，由图易知log32>log52>log72，
∴a>b>c.
4．已知loga<1，那么a的取值范围是( )
A．0
C.1
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 D
解析 当a>1时，由loga，得a>1；当0故0综上可知，a的取值范围是.
5．若函数y＝loga|x－2|(a>0，且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性为( )
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
考点 对数函数的单调性
题点 对数型复合函数的单调区间
答案 D
解析 当1(2，＋∞)上是一个单调递减函数．
6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[1,2] B.
C. D．(0,2]
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 C
解析 ∵f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.综上可知≤a≤2.
7．若＝loga，且|logba|＝－logba，则a，b满足的关系式是( )
A．a>1且b>1 B．a>1且0C．01 D．0考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 C
解析 依题意有loga≥0，∴0又logba<0，∴b>1.
8．已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f?等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
考点 对数函数的综合问题
题点 与奇偶性有关的对数函数综合问题
答案 D
解析 易知函数f(x)的定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝ln 1＋2＝2，由上式关系知，f(1g 2)＋f?＝f(lg 2)＋f(－lg 2)＝2.
二、填空题
9．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________.
考点 函数的反函数
题点 反函数的图象与性质
答案
解析 因为点在y＝f(x)的图象上，
所以点在y＝ax的图象上，则有＝a，
即a2＝2，又因为a>0，所以a＝.
10．函数y＝log2(x2－1)的增区间为________．
考点 对数函数的单调性
题点 对数型复合函数的单调区间
答案 (1，＋∞)
解析 由x2－1>0解得定义域为{x|x<－1或x>1}，
又y＝log2x在定义域上单调递增，y＝x2－1在(1，＋∞)上单调递增，
∴函数的增区间为(1，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，则不等式0考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案
解析 不等式0即0由得－1由0因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，
解得－由得－三、解答题
12．已知函数y＝lg是奇函数，求实数a的值．
考点 对数函数的综合问题
题点 与奇偶性有关的对数函数综合问题
解 由函数y＝lg是奇函数，得
lg＝－lg＝lg ，
即－a＝，
化简得4－4a＋a2(1－x2)＝1－x2，
所以解得a＝1.
13．已知f(x)＝log (x2－ax－a)．
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域；
(2)若f(x)在上为增函数，求实数a的取值范围．
考点 对函数的单调性
题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝log(x2＋x＋1)，
∵x2＋x＋1＝2＋≥，
∴log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，
∴f(x)的值域为(－∞，2－log23]．
∵y＝x2＋x＋1在上递减，在上递增，y＝logx在(0，＋∞)上递减，
∴f(x)的增区间为，
减区间为.
(2)令u(x)＝x2－ax－a＝2－－a，
∵f(x)在上为单调增函数，
又∵y＝logu(x)为单调减函数，
∴u(x)在上为单调减函数，且u(x)＞0在上恒成立.
因此即
解得－1≤a≤.
故实数a的取值范围是.
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．
考点 对数函数的综合问题
题点 与单调性有关的对数函数综合问题
答案
解析 当a>1时，y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上是增函数，
∴f(x)max＝a＋loga2，f(x)min＝a0＋loga1＝1，
∴a＋loga2＋1＝a，∴loga2＝－1，a＝(舍去)；
当0y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上是减函数，
∴f(x)max＝a0＋loga(0＋1)＝1，f(x)min＝a＋loga2，
∴a＋loga2＋1＝a，∴a＝.
综上所述，a＝.
15．如图所示，过函数f(x)＝logcx(c>1)的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M(a,0)，N(b,0)(b>a>1)，线段BN与函数g(x)＝logmx(m>c>1)的图象交于点C，且AC与x轴平行．
(1)当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；
(2)当b＝a2时，求－的最小值．
考点 对数函数的综合问题
题点 与单调性有关的对数函数综合问题
解 (1)由题意得A(2，log32)，B(4，log34)，C(4，logm4)，
因为AC与x轴平行，所以logm4＝log32，所以m＝9.
(2)由题意得A(a，logca)，B(b，logcb)，C(b，logmb)，
因为AC与x轴平行，所以logmb＝logca，
因为b＝a2，所以m＝c2，
所以－＝－＝2－1，
所以当＝1时，－取得最小值－1.
