滚动训练(三)
一、选择题
1．(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝?
考点 并集、交集的综合运算
题点 并集、交集的综合运算
答案 A
解析 ∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．
又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．
故选A.
2．(2018·绍兴期末)若函数f(x)＝(a，b∈R，且ab≠0)在区间(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．a>0，b>0 B．a<0，b<0
C．a>0，b<0 D．a<0，b>0
答案 B
解析 函数在区间(0＋∞)上单调递增，
x－a在区间(0，＋∞)内不等于0，故a<0，
当b<0时，函数才能递增，故选B.
3．已知f?＝2x＋3，则f(6)的值为( )
A．15 B．7 C．31 D．17
考点 对f(a)与f(x)的理解
题点 求函数值
答案 C
解析 令－1＝6，则x＝14，
则f(6)＝2×14＋3＝31.
4．已知二次函数图象的顶点坐标为(1,1)，且过(2,2)点，则该二次函数的解析式为( )
A．y＝x2－1 B．y＝－(x－1)2＋1
C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
答案 C
解析 设二次函数为y＝a(x－1)2＋1，将(2,2)代入上式，得a＝1.所以y＝(x－1)2＋1.
5．函数f(x)，g(x)由下列表格给出，则f(g(3))等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
2
4
3
1
g(x)
3
1
2
4
A.4 B．3 C．2 D．1
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法综合
答案 A
解析 g(3)＝2，f(g(3))＝f(2)＝4.
6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋x＋1
考点 函数的值域
题点 求函数的值域方法综合
答案 B
解析 A选项中，y的值可以取0；C选项中，y可以取负值；D选项中，x2＋x＋1＝2＋，故其值域为，只有B选项的值域是(0，＋∞)．故选B.
7．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f?的值为( )
A．2 B．－2 C．－2 D．2
考点 指数函数的概念
题点 根据指数函数的定义求参数的值
答案 D
解析 ∵函数f(x)是指数函数，
∴a－3＝1，∴a＝8.
∴f(x)＝8x，f?＝8＝＝2.
8．(2017·北京)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
考点 与指数函数相关的函数的奇偶性
题点 与指数函数相关的函数的奇偶性
答案 A
解析 ∵函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
∵函数y＝x在R上是减函数，
∴函数y＝－x在R上是增函数．
又∵y＝3x在R上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－x在R上是增函数．
故选A.
二、填空题
9．方程3x－1＝的解为________．
考点 指数方程的解法
题点 指数方程的解法
答案 －1
解析 ∵3x－1＝＝3－2，∴x－1＝－2，∴x＝－1.
10．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，4]
解析 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
11．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝________.
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
答案 2x－1
解析 ∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1.
12．已知f(x)＝若f(1)＋f(a＋1)＝5，则a＝________.
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 －1
解析 f(1)＝1×(1＋4)＝5，
∵f(1)＋f(a＋1)＝5，∴f(a＋1)＝0.
当a＋1≥0，即a≥－1时，
有(a＋1)(a＋5)＝0，
∴a＝－1或a＝－5(舍去)．
当a＋1<0，即a<－1时，
有(a＋1)(a－3)＝0，无解．
综上可知a＝－1.
三、解答题
13．将下列各数从小到大排列起来：(用序号即可)
①，②，③3，④，⑤，
⑥0，⑦(－2)3，⑧.
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
解 (－2)3<0，＝∈(0,1)，＝∈(0,1)，＝<＝，<
＝，0＝1，＝＝>1，＝>1,3＝>1，＝<
<3.
综上，有(－2)3<<<<0<<<3，即⑦<④<②<⑧<⑥<①<⑤<③.
四、探究与拓展
14．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法综合
解 (1)列表法如下：
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
15．已知奇函数f(x)，偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax(a>0且a≠1)，求证：f(2x)＝2f(x)·g(x)．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 ∵f(x)＋g(x)＝ax， ①
∴f(－x)＋g(－x)＝a－x.
∵f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．
∴－f(x)＋g(x)＝a－x. ②
解由①②所组成的方程组，得
f(x)＝，g(x)＝.
f(x)·g(x)＝·
＝＝f(2x)，即f(2x)＝2f(x)·g(x)，故原结论成立．
滚动训练(四)
一、选择题
1．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)等于( )
A．{3} B．{4} C．{3,4} D．?
考点 交并补集的综合问题
题点 有限集合的交并补运算
答案 A
解析 ∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}．
又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．
又?UB＝{3,4}，∴A∩(?UB)＝{3}．
2．已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)的图象过点，则函数f(x)的值域为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
考点 求幂函数的解析式
题点 求幂函数的解析式后再求值
答案 C
解析 ∵f(x)＝xα(α是常数)的图象过点，
∴2α＝，则α＝－1，
故f(x)＝x－1，易知值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
3．函数f(x)＝x－1的定义域、值域分别是( )
A．定义域是R，值域是R
B．定义域是R，值域是(0，＋∞)
C．定义域是(0，＋∞)，值域是R
D．定义域是R，值域是(－1，＋∞)
考点 指数函数的定义域和值域
题点 指数函数的定义域和值域
答案 D
解析 显然函数f(x)的定义域为R，
因为x>0，故x－1>－1，
即f(x)>－1，故选D.
4．若a<，则化简的结果是( )
A. B．－
C. D．－
考点 n次方根及根式概念
题点 根式的化简
答案 C
解析 ∵a<，∴2a－1<0，
于是，原式＝＝.
5．21＋log25等于( )
A．7 B．10 C．6 D.
考点 对数的运算
题点 对数恒等式的应用
答案 B
解析 21＋log25＝2·2log25＝2×5＝10.
6．比较的大小关系是( )
A． B．
C． D．
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
答案 C
解析 ∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，1.5<2，
∴1.5<2.
又∵指数函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数，
<3.1，
∴2<23.1，
∴1.5<2<23.1.
7．函数f(x)＝log2|2x－1|的图象大致是( )
考点 对数函数的图象
题点 含绝对值的对数函数的图象
答案 A
解析 当x>0时，函数f(x)单调递增，
当x<0时，f(x)<0，故选A.
8．已知f(x)＝loga|x＋b|是偶函数，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为( )
A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)>f(a＋1)
C．f(b－2)
考点 对数函数的综合问题
题点 与单调性有关的对数函数综合问题
答案 C
解析 ∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，
此时f(x)＝loga|x|.
当a>1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；
当0∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．
综上可知f(b－2)二、填空题
9．式子的值为________．
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案
解析 ∵log89＝＝log23，
∴原式＝.
10．函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．
考点 对数函数的综合问题
题点 与奇偶性有关的对数函数综合问题
答案 －3
解析 ∵>0，∴－3∴f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)＝－3.
11．设f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)>0，则实数a的取值范围为________．
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案
解析 因为f(1－a)>f(a)，f(x)＝lg x单调递增，
所以解得0即实数a的取值范围为.
12．设f(x)＝则f(log0.51.5)＝________.
考点 指数函数的求值
题点 指数函数的求值
答案
解析 由对数的运算性质可得log0.51.5＝log2<0，
所以f(log0.51.5)＝f?＝f?＝2＝.
三、解答题
13．已知集合A＝{x|a－1(1)若a＝0，求A∩B；
(2)若A?B，求实数a的取值范围．
考点 集合各类问题的综合
题点 集合各类问题的综合
解 (1)若a＝0，则A＝{x|－1A∩B＝{x|0(2)由得1≤a≤2，
所以实数a的取值范围是{a|1≤a≤2}．
四、探究与拓展
14．f(x)＝a＋(a∈R)．
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；
(2)用定义法判断函数f(x)的单调性；
(3)若当x∈[－1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
考点 函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点 奇偶性、单调性及最值的综合问题
解 (1)若函数f(x)为奇函数，
∵x∈R，∴f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，
验证当a＝－1时，f(x)＝－1＋＝为奇函数，
∴a＝－1.
(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1∴2＋1<2＋1，2＋1－2＋1>0，又2＋1>0,2＋1>0，
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
(3)当x∈[－1,5]时，∵f(x)为减函数，
∴f(x)max＝f(－1)＝＋a，
若f(x)≤0恒成立，则满足f(x)max＝＋a≤0，
得a≤－，
∴a的取值范围为.
15．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
考点 对数函数的值域
题点 真数为二次函数的对数型函数的值域
解 (1)∵f(1)＝2，
∴loga(1＋1)＋loga(3－1)＝loga4＝2，
解得a＝2(a>0，且a≠1)，
由得x∈(－1,3)．
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]
＝log2，
∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数；
当x∈时，f(x)是减函数．
∴函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
习题课 对数函数
学习目标 1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．
知识点一 对数概念及其运算
1．由指数式对数式互化可得恒等式：?＝N (a>0，且a≠1)．
2．对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即N>0；
(2)loga1＝0；
(3)logaa＝1.
3．运算公式
已知a>0，且a≠1，M，N>0.
(1)logaM＋logaN＝loga(MN)；
(2)logaM－logaN＝loga；
(3)＝logaM；
(4)logaM＝＝(c>0，且c≠1，M≠1)．
知识点二 对数函数及其图象、性质
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数．
(1)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；值域为R；
(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(1,0)；
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；
当0(4)直线y＝1与函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象交点为(a,1)．
(5)y＝logax与y＝ax的图象关于y＝x对称．
y＝logax与y＝的图象关于x轴对称．
1．y＝x与y＝是相等函数．( × )
2．＝logab.( × )
3．若ax>b，则x>logab.( × )
4．y＝loga(x＋1)恒过定点(0,0)．( √ )
类型一 对数式的化简与求值
例1 (1)计算：
(2)已知2lg＝lg x＋lg y，求
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
解 (1)方法一 利用对数定义求值：
设
则(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1，
∴x＝－1.
方法二 利用对数的运算性质求解：
(2)由已知得lg2＝lg xy，
∴2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴2－6＋1＝0.
∴＝3±2.
∵
∴＞1，∴＝3＋2，
∴
反思与感悟 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化．
跟踪训练1 (1)
＝________.
(2)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
答案 (1)－ (2)2
解析 (1)∵＝
＝1－lg 3，
lg＋lg 8－lg＝lg 3＋3lg 2－
＝(lg 3－1)＋3lg 2＝(lg 3＋2lg 2－1)，
lg 0.3·lg 1.2＝lg ·lg ＝(lg 3－1)(lg 12－1)
＝(lg 3－1)(lg 3＋2lg 2－1)，
∴原式＝－.
(2)∵f(ab)＝lg(ab)＝1，
∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2.
类型二 对数函数图象的应用
例2 已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，求abc的取值范围．
考点 对数函数的图象
题点 指数、对数函数图象的应用
解 f(x)的图象如图：
设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，
不妨设a则直线y＝m与f(x)交点横坐标从左到右依次为a，b，c，
由图象易知0∴f(a)＝|ln a|＝－ln a，f(b)＝|ln b|＝ln b.
∴－ln a＝ln b，ln a＋ln b＝0，ln ab＝ln 1，∴ab＝1.
∴abc＝c∈(e，e2)．
反思与感悟 函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．
跟踪训练2 已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
考点 对数函数的图象
题点 指数、对数函数图象的应用
解 ∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如图．
由图知，要使x∈时恒有|f(x)|≤1，
只需≤1，即－1≤loga≤1，
即logaa－1≤loga≤logaa，亦当a＞1时，
得a－1≤≤a，即a≥3；
当0＜a＜1时，a－1≥≥a，得0＜a≤.
综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)．
类型三 对数函数的综合应用
例3 已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
考点 对数函数的综合问题
题点 与最值有关的对数函数综合问题
解 (1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，
则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，
即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
设F(x)＝loga＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可．
∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m≤0即为所求．
反思与感悟 指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．
跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是(－1,1)，对于任意的x，y∈(－1,1)，有f(x)＋f(y)＝f?，且当x＜0时，f(x)＞0.
(1)验证函数g(x)＝ln，x∈(－1,1)是否满足上述这些条件；
(2)你发现这样的函数f(x)还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明．
考点 对数函数的综合问题
题点 与奇偶性有关的对数函数的综合问题
解 (1)因为g(x)＋g(y)＝ln＋ln
＝ln＝ln，
g＝ln＝ln，
所以g(x)＋g(y)＝g成立．
又当x＜0时，1－x＞1＋x＞0，所以＞1，
所以g(x)＝ln＞0成立，
综上g(x)＝ln满足这些条件．
(2)发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是奇函数．
将x＝y＝0代入条件，得f(0)＋f(0)＝f(0)，
所以f(0)＝0.
将y＝－x代入条件得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0?f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是奇函数．
又发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是减函数．
因为f(x)－f(y)＝f(x)＋f(－y)＝f，
当－1＜x＜y＜1时，＜0，由条件知f＞0，
即f(x)－f(y)＞0?f(x)＞f(y)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是减函数.
1．若logx＝z，则( )
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
答案 B
解析 由logx＝z，得xz＝，
∴7＝(xz)7，即y＝x7z.
2．当0A. B. C．(1，) D．(，2)
考点 对数函数的图象
题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象
答案 B
解析 当a>1,0当0即logaa2，
又a∈(0,1)，∴a∈.
3．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为( )
A．[－1,1] B. C．[1,2] D．[，4]
考点 对数函数的定义域
题点 与对数函数有关的抽象函数的定义域
答案 D
解析 ∵－1≤x≤1，∴2－1≤2x≤2，即≤2x≤2.
∴y＝f(x)的定义域为，即≤log2x≤2，
∴≤x≤4.
4．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是________．
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 当x0≥2时，由log2(x0－1)>1，得log2(x0－1)>log22，所以x0－1>2，得x0>3；当x0<2时，由得所以x0<－1，所以x0的取值范围是(－∞，－1)∪
(3，＋∞)．
5．已知则________.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式与指数式的互化
答案 3
解析 设则a＝x，
又
即
∴x＝2，解得x＝3.
1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．
2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．
3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式＝·logab，logab＝在解题中的灵活应用．
4．在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
5．同底的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
6．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．
一、选择题
1．已知a＝log0.60.5，b＝ln 0.5，c＝0.60.5，则( )
A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a
考点 对数值大小比较
题点 指数、对数值大小比较
答案 B
解析 ∵y＝log0.6x在(0，＋∞)上为减函数，
∴log0.60.61.
同理，ln 0.5∵0<0.60.5<0.60，即0∴a>c>b.
2．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
考点 对数函数的图象
题点 同一坐标系下的对数函数与其他函数图象
答案 A
解析 由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数过(0,0)点，排除B，D.
3．已知a>0，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( )
A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 D
解析 由a>0，b＞0且a≠1，b≠1，及logab＞1＝logaa可得：
当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1，
代入验证只有D满足题意．
4．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为( )
A. B．60 C. D.
考点 对数的运算
题点 用代数式表示对数
答案 B
解析 由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝，即logzm＝60.
5．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．先减后增
考点 对数函数的单调性
题点 对数型复合函数的单调区间
答案 A
解析 ∵当a>1时，y＝logau，u＝(a－1)x＋1都是增函数，
当0∴f(x)在定义域上为增函数．
6．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 D
解析 f(x)≤2等价于或
解得0≤x≤1或x>1.
∴x的取值范围是[0，＋∞)．
7．(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0B．0C．0D．0考点 对数函数的单调性
题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案 A
解析 由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－18．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：
f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，
则是“同形”函数的是( )
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
考点 对数函数的图象
题点 对数函数的图象
答案 A
解析 因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)，沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数．f3(x)＝log2x2＝2log2|x|与f1(x)＝2log2(x＋1)不“同形”，故选A.
二、填空题
9．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
考点 对数函数的图象
题点 指数、对数函数图象的应用
答案
解析 由题意可知求b－a的最小值即求区间[a，b]的长度的最小值，当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或，所以区间[a，b]的最短长度为1－＝，
所以b－a的最小值为.
10．已知实数a，b满足loga＝logb，下列五个关系式：
①a>b>1；②0a>1；④0其中可能成立的关系式序号为________．
考点 对数函数的图象
题点 指数、对数函数图象的应用
答案 ②③⑤
解析 由图易知，loga＝logb有且仅有3种情形：
011．已知0考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 (3,4)
解析 ∵0∴a<1＝a0等价于logb(x－3)>0＝logb1.
∵0三、解答题
12．已知函数f(x)＝2＋log2x，x∈[1,4]．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)设g(x)＝[f(x)]2－f(x2)，求g(x)的最值及相应的x的值．
考点 对数函数的综合问题
题点 与定义域、值域有关的对数函数综合问题
解 (1)∵f(x)＝2＋log2x在[1,4]上是增函数，
又f(1)＝2＋log21＝2，f(4)＝2＋log24＝2＋2＝4，
∴函数f(x)的值域是[2,4]．
(2)g(x)＝[f(x)]2－f(x2)
＝4＋4log2x＋(log2x)2－(2＋log2x2)
＝(log2x)2＋2log2x＋2
＝(log2x＋1)2＋1.
由得1≤x≤2，
∴g(x)的定义域是[1,2]．
∴0≤log2x≤1.
∴当log2x＝0，即x＝1时，g(x)有最小值g(1)＝2；
当log2x＝1，即x＝2时，g(x)有最大值g(2)＝5.
13．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
考点 对数函数的综合问题
题点 与单调性有关的对数函数综合问题
解 (1)由ax－bx＞0，得x＞1，且a＞1＞b＞0，
得＞1，所以x＞0，
即f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)任取x1＞x2＞0，a＞1＞b＞0，
则a＞a＞1,0所以a－b＞a－b＞0，
即lg(a－b)＞lg(a－b)．
故f(x1)＞f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．
故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．
(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)，这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
四、探究与拓展
14．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f(1)>f?，求x的取值范围．
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
解 因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是单调减函数，
所以f(x)在区间(－∞，0)上是单调增函数，
所以不等式f(1)>f?可化为
lg >1或lg <－1，
所以lg >lg 10或lg 所以>10或0<<，
所以010.
所以x的取值范围为∪(10，＋∞)．
15．已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；
(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．
考点 对数函数的综合问题
题点 与单调性有关的对数函数综合问题
(1)证明 因为函数f(x)＝log2(2x＋1)，
任取x1则f(x1)－f(x2)＝log2(2＋1)－log2(2＋1)
＝log2，
因为x1所以log2<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增．
(2)解 g(x)＝m＋f(x)，即g(x)－f(x)＝m.
设h(x)＝g(x)－f(x)
＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2
＝log2.
设1≤x1则3≤2＋1<2＋1≤5，
≥>≥，
－≤<≤－，
所以≤1－<1－≤，
所以log2≤h(x1)即h(x)在[1,2]上为增函数且值域为.
要使g(x)－f(x)＝m有解，需m∈.
章末复习
学习目标 1.构建知识网络.2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆.3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．
1．知识网络
2．要点归纳
(1)分数指数幂
①＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)根式的性质
①()n＝a.
②当n为奇数时， ＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
(3)指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
(4)指数式与对数式的互化式
logaN＝b?ab＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(5)对数的换底公式
logaN＝(a>0，且a≠1，m>0，且m≠1，N>0)．
推论：＝logab(a>0，且a≠1，m，n>0，且m≠1，n≠1，b>0)．
(6)对数的四则运算法则
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(7)指数函数
①理解指数函数概念及单调性．
②会画具体指数函数图象并掌握图象通过的特殊点．
(8)对数函数
①理解对数函数概念及单调性．
②会画具体对数函数图象并掌握图象通过的特殊点．
③了解y＝ax，y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
(9)幂函数
①了解幂函数的概念．
②结合y＝xα，α＝－1，，1,2,3的图象，了解它们的性质．
1.＝a.( × )
2．y＝log2(2x)的图象可由y＝log2x的图象向上平移一个单位得到．( √ )
3．y＝ax－1(a>0且a≠1)恒过定点(1,1)．( √ )
4．y＝的增区间为(－∞，0]．( × )
类型一 指数、对数的运算
例1 化简：(1)
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的乘除运算
解 原式＝
(2)2log32－log3＋log38－.
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
解 原式＝log34－log3＋log38－
＝log3－
＝log39－9＝2－9＝－7.
反思与感悟 指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
跟踪训练1 计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
答案 111
解析 ∵log32×log2(log327)＝log32×log23
＝×＝1，
∴原式＝＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.
类型二 函数图象及其应用
命题角度1 由解析式判断函数图象
例2 定义运算a?b＝则函数f(x)＝1?2x的图象是( )
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数的图象与性质
答案 A
解析 ∵当x≥0时，2x≥1，当x<0时，2x<1，
∴f(x)＝1?2x＝故选A.
反思与感悟 指数函数，对数函数，幂函数合称基本初等函数(Ⅰ)．其基本性体现之一就是可以作为构成新函数的“原料”．
跟踪训练2 函数y＝2x－x2的图象大致是( )
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的应用
答案 A
解析 在同一坐标系内分别画出y＝2x，y＝x2的图象．由图可知，当x2x，∴2x－x2<0，排除C，D.又当x＝2,4时，x2＝2x，排除B.
命题角度2 应用函数图象特点研究性质
例3 如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
考点 对数函数的图象
题点 同一坐标系下的对数函数与其他函数图象
答案 C
解析 借助函数的图象求解该不等式．
令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图.
由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．
跟踪训练3 设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点坐标为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的应用
答案 B
解析 在同一坐标系中画y＝x3与y＝x－2的图象，如图，由图知当xx3，当x>x0时，x－2代入x＝2，2－2＝1<23，∴2>x0.再代入1，1－2＝2>13，∴x0>1.
类型三 指数函数、对数函数、幂函数的性质及应用
命题角度1 比较大小
例4 (1)比较下列各组数的大小：
①27,82；
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
解 ∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27.
②log20.4，log30.4，log40.4；
考点 对数值大小比较
题点 对数值大小比较
解 ∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.44又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
∴<<，
即log20.4③log2，
考点 对数值大小比较
题点 指数、对数值大小比较
解 ∵0<<20＝1，
log2(2)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
考点 对数值大小比较
题点 指数、对数值大小比较
答案 D
解析 设2x＝3y＝5z＝t>1，则ln 2x＝ln 3y＝ln 5z＝ln t>0，
即x＝，2x＝ln t，y＝，3y＝ln t，z＝，5z＝ln t.
2x－3y＝ln t
＝ln t>0.
∴2x>3y.类似地有2x<5z.故选D.
反思与感悟 数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．
跟踪训练4 比较下列各组数的大小：
(1)log0.22，log0.049；
考点 对数值大小比较
题点 对数值大小比较
解 ∵log0.049＝＝
＝＝＝log0.23，
又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，
∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.
(2)a1.2，a1.3；
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
解 ∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数，当底数0而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2当0a1.3.
(3)30.4,0.43，log0.43.
考点 对数值大小比较
题点 指数、对数值大小比较
解 ∵30.4>30＝1，
0<0.43<0.40＝1，
log0.43∴log0.43<0.43<30.4.
命题角度2 函数性质综合应用
例5 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
考点 指数函数与对数函数的关系
题点 指数函数与对数函数的关系
解 (1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；
当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，
所以函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.
①当a<0，b>0时，x>－，
解得
②当a>0，b<0时，x<－，
解得
反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．
跟踪训练5 设函数f(x)＝则满足f(x)＋f?>1的x的取值范围是________．
考点 指数不等式的解法
题点 指数不等式的解法
答案
解析 当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－>0，即x>时，f?＝>1，当x－≤0，即0，则不等式f(x)＋f?>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋f?＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－综上所述，x的取值范围是.
1．化简为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 B
解析 ＝
＝＝2.
2．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
考点 对数函数的图象
题点 同一坐标系下的对数函数与其他函数图象
答案 B
解析 由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称．显然不符．故选B.
3．函数f(x)＝x与函数在区间(－∞,0)上的单调性为( )
A．都是增函数
B．都是减函数
C．f(x)是增函数，g(x)是减函数
D．f(x)是减函数，g(x)是增函数
考点 指数函数与对数函数的关系
题点 指数函数与对数函数的关系
答案 D
解析 f(x)＝x在x∈(－∞，0)上为减函数，为偶函数，x∈(0，＋∞)时为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．
4．已知Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是________．(用“<”连接)
考点 比较幂值的大小
题点 利用中间值比较大小
答案 Q＜R＜P
解析 由函数y＝x3在R上是增函数，知
3＜3，由函数y＝2x在R上是增函数，知
＞2－3＝3，所以P＞R＞Q.
5．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为________．
考点 对数函数图象
题点 指数、对数函数图象的应用
答案 2
解析 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝的图象(图略)，易知有2个交点．
1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．
2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．
一、选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,0]∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
考点 对数函数的定义域
题点 与对数函数复合的二次根式的定义域
答案 B
解析 由得－1＜x≤2，且x≠0.
即x∈(－1,0)∪(0,2]．
2．已知x，y为正实数，则( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y
B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y
D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案 D
解析 2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)．故选D.
3．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)等于( )
A．3 B．6 C．9 D．12
考点 与对数函数有关的分段函数求值
题点 与对数函数有关的分段函数求值
答案 C
解析 因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2＝2×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.
4．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( )
A．(－∞，1] B.
C. D．[1,2)
考点 对数函数的单调性
题点 对数型复合函数的单调区间
答案 D
解析 方法一 当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝
－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D.
方法二 f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图．
由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.
5．函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是( )
答案 B
解析 y＝log2(|x|＋1)是偶函数，当x≥0时，y＝log2(x＋1)是增函数，其图象是由y＝log2x的图象向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B满足．
6．函数f(x)＝的图象( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
考点 与指数函数相关的函数的奇偶性
题点 与指数函数相关的函数的奇偶性
答案 D
点拨 ∵f(x)＝＝3x＋3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
7．已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f?，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．c考点 对数值大小比较
题点 指数、对数值大小比较
答案 C
解析 由题意得，a＝f?＝f(log25)，
且log25>log24.1>2,1<20.8<2，
所以log25>log24.1>20.8，
结合函数的单调性知，
f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，
即a>b>c.
8．函数y＝(x＋2)ln|x|的图象大致为( )
考点 对数函数的图象
题点 含绝对值的对数函数的图象
答案 A
解析 当x＝2时，y＝4ln 2>0，可排除B；当x＝－3时，y＝－ln 3<0，故可排除C，D.故选A.
二、填空题
9．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512＝________.
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
答案
解析 ∵log512＝＝＝.
10．若函数y＝log (3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
考点 对数函数的单调性
题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案 (－8，－6]
解析 令g(x)＝3x2－ax＋5，其对称轴为直线x＝.依题意，有即
11．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值为________．
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数的图象的应用
答案 1
解析 ∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴y＝f(x)关于直线x＝1对称，∴a＝1.
∴f(x)＝2|x－1|在[1，＋∞)上单调递增．
∴[m，＋∞)?[1，＋∞)．∴m≥1，即m的最小值为1.
三、解答题
12．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，求lg(ab)·2的值．
考点 对数的运算
题点 对数的运算性质
解 ∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，
∴lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，
∴(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝4－2＝2，
∴lg(ab)·2＝(lg a＋lg b)·(lg a－lg b)2
＝2×2＝4.
13．已知常数a(a>1)和变量x，y之间的关系式是logax＋3logxa－logxy＝3，若x＝at (t≠0)，且当t≥1时，y的最小值是8，求相应的x的值．
考点 对数函数的值域
题点 由对数函数的值域或最值求参数的值
解 把x＝at代入logax＋3logxa－logxy＝3，
得t＋－logay＝3.
∴logay＝t2－3t＋3，
∴y＝a.
又t≥1，a>1，故可令u＝t2－3t＋3，
则当t＝时，u＝t2－3t＋3有最小值为，
此时y也有最小值，即ymin＝a＝8，
此时x＝at＝a＝(a)2＝82＝64.
四、探究与拓展
14.如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．
考点 对数函数的图象
题点 同一坐标系下的对数函数与其他函数图象
答案
解析 由图象可知，点A(xA,2)在函数y＝logx的图象上，所以2＝logxA，xA＝2＝.点B(xB,2)在函数y＝x的图象上，所以2＝，xB＝4.点C(4，yC)在函数y＝x的图象上，所以yC＝4＝.
又xD＝xA＝，yD＝yC＝，所以点D的坐标为.
15．已知函数f(x)＝xn－，且f(4)＝3.
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意实数x1，x2∈[1,3]，有|f(x1)－f(x2)|≤t成立，求t的最小值．
考点 幂函数的综合问题
题点 幂函数的综合问题
解 (1)f(4)＝4n－1＝3，即4n＝4，∴n＝1.
∴f(x)＝x－.
其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又∵f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋
＝x1－x2＋＝(x1－x2).
∵x1>x2>0，
∴x1－x2>0,1＋>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)由题意，得t≥|f(x1)－f(x2)|成立，
只要t≥|f(x1)－f(x2)|的最大值即可．
∵f(x)在区间[1,3]上单调递增，
∴|f(x1)－f(x2)|的最大值为
|f(3)－f(1)|＝＝，
∴t≥.
故t的最小值为.
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．化简＋的结果是( )
A．2π－9 B．9－2π C．－1 D．1
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简
答案 C
解析 ＋＝(4－π)＋(π－5)＝－1.
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断函数的单调性、奇偶性
答案 C
解析 A项，y＝是奇函数，故不正确；
B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；
C，D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，
y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
3．已知集合A＝{x|y＝lg(2－x)＋lg x}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，R是实数集，则(?RB)∩A等于( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．(－∞，0] D．以上都不对
考点 对数函数的定义域
题点 与对数函数定义域有关的集合的运算
答案 B
解析 由得0＜x＜2，
故A＝{x|0＜x＜2}，由x＞0，得2x＞1，
故B＝{y|y＞1}，?RB＝{y|y≤1}，
则(?RB)∩A＝{x|0＜x≤1}．
4．已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)A．0<α<1 B．α<1 C．α>0 D．α<0
考点 幂函数的图象
题点 幂指数大小关系问题
答案 B
解析 ∵x>1，∴xα∴α－1<0，得α<1.
5．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝2 B．y＝
C．y＝x2＋x＋1 D．y＝3
考点 指数函数的值域
题点 指数型复合函数的值域
答案 A
解析 A中，y＝2＝x的值域为(0，＋∞)．
B中，因为1－2x≥0，所以2x≤1，x≤0，
y＝的定义域是(－∞，0]，
所以0＜2x≤1，所以0≤1－2x＜1，
所以y＝的值域是[0,1)．
C中，y＝x2＋x＋1＝2＋的值域是.
D中，因为∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以y＝3的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．
6．设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a考点 对数值大小比较
题点 指数、对数值大小比较
答案 B
解析 方法一 c＝log20.3<0，a＝20.3>0.30.3，b＝0.32<0.30.3，
所以c方法二 c＝log20.3<0，
b＝0.32＝0.09<1，
a＝20.3>20＝1，
所以c7．已知f(3x)＝4x·log2x，那么f?的值是( )
A．－2 B．4
C．8(log23－1) D．－
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
答案 A
解析 令3x＝，得x＝.
故f?＝4×log2＝－2.
8．若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D.
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象的应用
答案 D
解析 方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当0∴0<2a<1，即0②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．
综上，09．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)＜f(lg x)的解集是( )
A．(0,10) B.
C. D.∪(10，＋∞)
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 D
解析 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，因为f(x)在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)内单调递增，故|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜－1，解得x＞10或0＜x＜.
10．已知奇函数y＝若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，则g(x)等于( )
A.－x B．－x
C．2－x D．－2x
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数的图象与性质
答案 D
解析 由图象可知，当x>0时，函数f(x)单调递减，
则0∵f(1)＝，∴a＝，即函数f(x)＝x.当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＝－g(x)，即g(x)＝－－x＝－2x，故g(x)＝－2x，x<0，故选D.
11．已知函数f(x)＝是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 指数函数的单调性
题点 根据指数函数的单调性求参数的取值范围
答案 B
解析 由题意得
∴12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，b＝f?，c＝f?，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜c＜b B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
答案 C
解析 a＝f(－)＝f()，
b＝f＝f(log32)，c＝f.
∵0＜log32＜1,1＜＜，
∴＞＞log32.
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴a＞c＞b.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象过定点问题
答案 (1,4)
解析 由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作由y＝ax的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1,4)．
14．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
考点 对数函数的单调性
题点 对数型复合函数的单调区间
答案
解析 函数f(x)的定义域为，
令t＝2x＋1(t>0)．
因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，
t＝2x＋1在上为增函数，
所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为.
15．若f(x)＝则f(x)的值域为__________．
考点 指数函数的值域
题点 与指数函数有关的值域问题
答案 (－2，－1]
解析 当x∈(－∞，1]时，x－1≤0,0<3x－1≤1，－216．若不等式lg ≥(x－1)lg 3对任意的x∈(－∞，1]恒成立，则a的取值范围是________．
考点 指数函数性质的综合应用
题点 与指数函数有关的恒成立问题
答案 (－∞，1]
解析 不等式lg ≥(x－1)lg 3可变为lg≥lg 3x－1，即≥3x－1，整理得a≤x＋x.
因为y＝x＋x，x∈(－∞，1]是减函数，所以y≥1＋1＝1.故若不等式lg≥(x－1)lg 3对任意的x∈(－∞，1]恒成立，则a≤1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)计算下列各式的值．
(1)(ln 5)0＋0.5＋－2；
(2)log21－lg 3·log32－lg 5.
考点 对数的运算
题点 指数对数的混合运算
解 (1)∵(ln 5)0＝1，0.5＝＝.
＝|1－|＝－1.
2 ＝
∴原式＝1＋＋－1－＝.
(2)原式＝0－lg 3·－lg 5
＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg 10＝－1.
18．(12分)已知x＞1且x≠，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2
＝1＋logx＝logx，
当1＜x＜时，＜1，∴logx＜0，
∴f(x)当x＞时，＞1，∴logx＞0，∴f(x)>g(x)．
即当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；当x＞时，f(x)＞g(x)．
19．(12分)若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
考点 对数函数的图象
题点 同一坐标系下的对数函数与其他函数图象
解 由x2－logmx<0，得x2要使x2在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示．
∵当x＝时，y＝x2＝，
∴只要当x＝时，y＝logm≥＝logmm即可．
∴≤m，即≤m.又0∴≤m<1，即实数m的取值范围是.
20．(12分)已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
考点 指数函数性质的综合应用
题点 与指数函数有关的恒成立问题
解 (1)当x<0时，f(x)＝0，不合题意；
当x≥0时，f(x)＝2x－.
由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，
解得2x＝1±.
∵2x>0，∴2x＝1＋，
∴x＝log2(1＋)．
(2)当t∈[1,2]时，
2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)．
∵22t－1>0，
∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈[1,2]，
∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞)．
21．(12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
解 (1)由解得1故函数φ(x)的定义域为{x|1(2)不等式f(x)≤g(x)，
即为loga(x－1)≤loga(6－2x)．(*)
①当a>1时，不等式(*)等价于
解得1②当0解得≤x<3.
综上可知，当a>1时，不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围是；
当022.(12分)如图，A，B，C是函数y＝f(x)＝logx图象上的三点，它们的横坐标分别是t，t＋2，t＋4(t≥1)．
(1)设△ABC的面积为S，求S＝g(t)；
(2)若函数S＝g(t)＜f(m)恒成立，求m的取值范围．
考点 对数函数的综合问题
题点 与最值有关的对数函数综合问题
解 (1)S＝g(t)＝＋－
＝log2＝log2.
(2)∵函数g(t)在区间[1，＋∞)上单调递减，
∴g(t)max＝g(1)＝log2.
∴g(t)max＝log2＜f(m)＝logm＝log2.
∴＞，∴0＜m＜.
