滚动训练(五)
一、选择题
1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B等于( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 D
解析 由4－x2≥0，解得－2≤x≤2，
则函数y＝的定义域为[－2,2]，
由对数函数的定义域可知，1－x>0，
解得x<1，则函数y＝ln(1－x)的定义域为(－∞，1)，
则A∩B＝[－2,1)，故选D.
2．已知3x＝10，则这样的x( )
A．存在且只有一个 B．存在且不只一个
C．存在且x<2 D．根本不存在
考点 指数函数的性质
题点 指数函数的性质
答案 A
解析 y＝3x是R上的增函数，且值域为(0，＋∞)．
∵10∈(0，＋∞)，∴有且只有一个x与之对应．
3．函数y＝的值域为( )
A.∪
B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．R
D.∪
考点 函数的值域
题点 求分式函数的值域
答案 B
解析 y＝＝2＋.
∵≠0，∴y≠2.
4．已知函数f(x)＝logax(0
考点 对数函数的图象
题点 含绝对值的对数函数的图象
答案 A
解析 由题意知，当x＝0时，y＝f(1)＝0，排除C，D；
当x＝1时，y＝f(2)<0，排除B，故选A.
5．函数y＝1＋的零点是( )
A．(－1,0) B．－1
C．1 D．0
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 B
解析 由1＋＝0，得＝－1，∴x＝－1.
6．将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时能全部卖出．已知这种商品每个涨价1元，其销售数就减少20个．为了获得最大利润，售价应定为每个( )
A．5元 B．90元 C．95元 D．96元
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 C
解析 设售价为90＋x元，
所以利润为(10＋x)(400－20x)＝－20(x＋10)(x－20)
＝－20(x－5)2＋4 500.
所以当x＝5时，即售价为95元时，利润最大，故选C.
7．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2的两个零点分别为α，β，则( )
A．a<αC．a<α<β考点 函数的零点与方程根的关系
题点 函数的零点与方程根的关系
答案 B
解析 设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)是由g(x)的图象向下平移2个单位长度得到的，而g(x)的两个零点为a，b，f(x)的两个零点为α，β，结合图象(图略)可得α8．已知f(x)是偶函数，对任意的x1，x2∈(－∞，－1]，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，则下列关系式中成立的是( )
A．fB．f(－1)C．f(2)D．f(2)考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案 B
解析 ∵对任意的x1，x2∈(－∞，－1]，
都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，
∴函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减，
∴f(－2)>f>f(－1)．
又∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)．
∴f(－1)二、填空题
9．y＝ax＋2＋3(a>0且a≠1)恒过定点________．
考点 指数函数的图象与性质
题点 指数函数图象过定点问题
答案 (－2,4)
解析 y＝ax恒过定点(0,1)，该函数图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得y＝ax＋2＋3的图象．故y＝ax＋2＋3恒过定点(－2,4)．
10．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 (2,3)
解析 设f(x)＝x3－2x－5，
则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，
有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．
11．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序为________．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 函数的零点与方程根的关系
答案 a解析 在同一平面直角坐标系中同时画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3和y＝－x的图象，根据交点可知a12．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 16
解析 当t＝0时，y＝a，
当t＝8时，y＝ae－8b＝a，∴e－8b＝，
容器中的沙子只有开始时的八分之一，
即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，
则t＝24,24－8＝16.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝
(1)求f(－3)，f(f(－3))；
(2)画出y＝f(x)的图象；
(3)若f(a)＝，求a的值．
考点 分段函数
题点 分段函数的综合应用
解 (1)∵当x≤－1时，f(x)＝x＋5，
∴f(－3)＝－3＋5＝2，
∴f(f(－3))＝f(2)＝2×2＝4.
(2)函数图象如图所示．
(3)当a≤－1时，f(a)＝a＋5＝，a＝－≤－1；
当－1当a≥1时，f(a)＝2a＝，a＝?[1，＋∞)，舍去．
故a的值为－或±.
四、探究与拓展
14．已知函数y＝ ＋的定义域为M.
(1)求M；
(2)当x∈M时，求函数f(x)＝2(log2x)2＋alog2x的最大值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
解 (1)由题意知解得1≤x≤2，
故M＝{x|1≤x≤2}．
(2)f(x)＝2(log2x)2＋alog2x，
令t＝log2x，t∈[0,1]，
可得g(t)＝2t2＋at，t∈[0,1]，
其对称轴为直线t＝－，
当－≤，即a≥－2时，g(t)max＝g(1)＝2＋a.
当－>，即a<－2时，g(t)max＝g(0)＝0.
综上可知，f(x)max＝
15．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 一元二次方程根的分布
解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，
令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
∴函数f(x)的零点为3和－1.
(2)依题意知，ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同的实数根，
∴b2－4a(b－1)>0恒成立，
即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，
则(－4a)2－4×4a<0，
即a2－a<0，解得0因此实数a的取值范围是(0,1)．
章末复习
学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用．
1．知识网络
2．要点归纳
(1)函数的零点与方程的根的关系：
①方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
②确定函数零点的个数有两个基本方法：借助函数单调性和零点存在性定理研究图象与x轴的交点个数；通过移项，变形转化成两个函数图象的交点个数进行判断．
(2)二分法
①图象都在x轴同侧的函数零点不能(填“能”或“不能”)用二分法求．
②用二分法求零点近似解时，零点区间(a，b)始终要保持f(a)·f(b)<0；
③若要求精确度为0.01，则当|a－b|<0.01时，便可判断零点近似值为a(或b)．
(3)在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、对数函数、幂函数三者中增长最快的是指数函数，增长最慢的是对数函数．
(4)函数模型
①给定函数模型与拟合函数模型中求函数解析式主要使用待定系数法．
②建立确定性的函数模型的基本步骤是审题，设量，表示条件，整理化简，标明定义域．
③所有的函数模型问题都应注意变量的实际意义对定义域的影响．
1．函数y＝f(x)－g(x)的零点即方程＝1的根．( × )
2．用二分法求函数零点近似解时，始终要保持零点区间(a，b)满足f(a)·f(b)<0.( √ )
3．存在x0，当x>x0时，有2x>x3.( √ )
4．建立的函数模型必须真实地反映原型的特征和关系．( √ )
类型一 函数的零点与方程的根的关系
例1 已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是____________．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 函数的零点与方程根的关系
答案 x1＜x2＜x3
解析 令x＋2x＝0，得2x＝－x；
令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；
在同一平面直角坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图象，由图可知x1＜0＜x2＜1.
令h(x)＝x－－1＝0，则()2－－1＝0，
所以＝，即x3＝2＞1.
所以x1＜x2＜x3.
反思与感悟 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．
跟踪训练1 若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点有关的参数取值范围
答案 C
解析 显然f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由条件可知f(1)·f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，
即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.
类型二 用二分法求函数的零点或方程的近似解
例2 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 C
解析 ∵f(x)是R上的增函数且图象是连续的，且f(0)＝e0＋4×0－3＜0，f(1)＝e＋4－3＞0，∴f(x)在(0,1)内有唯一零点．f?＝＋4×－3＝－2＜0，f?＝＋4×－3＝－1＞0，
∴f(x)在内存在唯一零点．
反思与感悟 (1)根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大．
(3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，|an－bn|<ε，那么区间(an，bn)内任意一个数都是满足精确度ε的近似解．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝__________.
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 2
解析 ∵a＞2，
∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数，
且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b.
∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜loga2＜1，－2＜2－b＜－1.
∴－2＜loga2＋2－b＜0.又1＜loga3＜2，－1＜3－b＜0，
∴0＜loga3＋3－b＜2，即f(2)＜0，f(3)＞0.
又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点．
类型三 函数模型及应用
例3 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示：
第t天
4
10
16
22
Q/万股
36
30
24
18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少．
考点 函数模型的综合应用
题点 函数模型中的最值问题
解 (1)P＝(t∈N*)．
(2)设Q＝at＋b(a，b为常数且a≠0)，把(4,36)，(10,30)代入得
所以a＝－1，b＝40，
所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0(3)由(1)(2)可得y＝
即y＝(t∈N*)．
当0当20ymax<(20－60)2－40＝120(万元)．
所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．
反思与感悟 由于实际问题信息量大，有时还会出现一些陌生词，所以审题时要抓住主被动变量，围绕寻找主被动变量的关系去检索题目信息，搭建模型框架再逐步细化框架．
跟踪训练3 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 24
解析 依题意得两式相除可得e22k＝，故e11k＝，故e33k＋b＝e33k·eb＝24，即该食品在33℃的保鲜时间是24小时.
1．已知函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．至少1个
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 D
解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图(1)，当0＜a＜1时，如图(2)，故选D.
2．如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
考点 函数拟合问题
题点 据实际问题选择函数模型
答案 D
解析 由晨练的图象可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据四个选项可知只有选项D符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越来越小，选项D也符合．故选D.
3．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 函数的零点与方程根的关系
答案 A
解析 由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)·(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.
4．设函数f(x)＝log3 －a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点有关的参数取值范围
答案 (log32,1)
5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2015年5月1日
12
35 000
2015年5月15日
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 8
解析 由表知：汽车行驶路程为35 600－35 000＝600(千米)，耗油量为48升，
∴每100千米耗油量为8升．
1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．
2．函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
3．函数建模的基本过程如图
一、选择题
1．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是( )
A．a＞ B．a＞或a＜－1
C．－1＜a＜ D．a＜－1
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点有关的参数取值范围
答案 B
解析 当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0，函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，f(－1)f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞.
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2,0 C. D．0
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 D
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.
3．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( )
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点有关的参数取值范围
答案 D
解析 观察下列各种图象：
上面各种函数y＝f(x)在(0,4)内仅有一个零点，但是图(1)中，f(0)·f(4)＞0；图(2)中，f(0)·f(4)＜0；图(3)中，f(0)·f(4)＝0.
4．若函数f(x)＝x－没有零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点有关的参数取值范围
答案 B
解析 f(x)＝x－＝，其定义域为{x|x∈R且x≠0}，故a≤0.
5．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 函数的零点与方程根的关系
答案 C
解析 因为f(x)在定义域内为单调递增函数，
而在4个选项中，只有f?f?＜0，
所以零点所在区间为.
6．下列说法中正确的个数是( )
①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 B
解析 根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.
7．已知当x≥0时，函数y＝x2与函数y＝2x的图象如图所示，则当x≤0时，不等式2x·x2≥1的解集是( )
A．[－4，－2] B．[2,4]
C．[－2,2] D．[－4,2]
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 函数的零点与方程根的关系
答案 A
解析 在2x·x2≥1中，令x＝－t，由x≤0得t≥0，
∴2－t·(－t)2≥1，即t2≥2t.由所给图象得2≤t≤4，
即2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2.
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，且其图象连续不断．若f>0>f()，则方程f(x)＝0的根的个数是( )
A．2 B．2或1
C．3 D．2或3
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 D
解析 因为f?>0>f()，
所以f?·f?()<0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减且图象连续不断，故f(x)＝0在内必有一个根．
又f(x)是R上的偶函数，则在内也必有一根．若f(x)的图象在R上连续，则f(x)＝0有两个根；若f(x)的图象在R上不连续，因为f(x)为偶函数，所以不连续点有可能在原点，则f(x)＝0可能有3个根，综上，方程f(x)＝0的根的个数是2或3.
二、填空题
9．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 由函数零点个数求参数的取值范围
答案 (0,2)
解析 将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解．
由f(x)＝|2x－2|－b＝0，
得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
则当010．若关于x的方程x2－x－(m＋1)＝0在[－1,1]上有解，则m的取值范围是________．
考点 函数的零点与方程的根
题点 函数的零点与方程的根
答案
解析 设f(x)＝x2－x－(m＋1)，∵f(x)＝x2－x－(m＋1)的对称轴为x＝，
∴或
∴或
∴－≤m≤1.
11．如图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中水量就是y2＝a－ae－nt升，桶1与桶2相同，假设过5分钟时桶1和桶2的水量相等，则桶1中的水量只有时，需再经过________分钟．
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 10
解析 由题意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝
设再经过t分钟，桶1中的水量只有，则ae－n(t＋5)＝，即＝3，解得t＝10.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋b.
(1)若b＝－1，函数y＝f(x)在x∈[2,3]上有一个零点，求a的取值范围；
(2)若a＝b，且对于任意a∈[2,3]都有f(x)＜0，求x的取值范围．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 一元二次方程根的分布
解 (1)当b＝－1时，f(x)＝x2－(a＋1)x－1.
因为f(0)＝－1，若函数f(x)在[2,3]上有一个零点，
则即解得≤a≤.
即实数a的取值范围是.
(2)将b＝a代入函数f(x)的解析式，得
f(x)＝x2－(a＋1)x＋a.
令g(a)＝(1－x)a＋x2－x，a∈[2,3]．
由题意，得g(a)＜0在a∈[2,3]上恒成立，
所以即解得1＜x＜2.
故所求x的取值范围是(1,2)．
13．某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格x(单位：万元/吨)的关系可用如图所示的一条折线表示．
(1)写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系式；
(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？求月利润的最大值．
考点 函数模型的应用
题点 分段函数模型的应用
解 (1)由函数图象可知
当5≤x≤8时，Q＝－x＋25；
当8＜x≤12时，Q＝－x＋13.
所以Q＝
(2)设月利润与商品每吨定价x的函数为f(x)，
则根据题意得f(x)＝Q·(x－5)－10，
即f(x)＝
＝
所以当5≤x≤8时，
在x＝处，f(x)取得最大值；
当8＜x≤12时，在x＝9处，f(x)取得最大值6.
综上可知，该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．
四、探究与拓展
14．我们把形如y＝(a＞0，b＞0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 4
解析 由题意知，当a＝1，b＝1时，
y＝＝
在同一平面直角坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．
15．已知函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)与0的关系为________．
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点有关的参数取值范围
答案 f(m－1)>0
解析 设f(x)的零点为x1，x2，则x1x2＝a，x1＋x2＝1，所以|x1－x2|＝＝＝.又a>0，所以0≤|x1－x2|<1.
由f(m)<0，知f(m－1)>0.
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2017·保定检测)下列函数不存在零点的是( )
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝ D．y＝
考点 函数零点的概念
题点 判断函数有无零点
答案 D
解析 分别令y＝0，A，B，C均有解；
对于D或无解．
2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为( )
A．1,2,3 B．1，－1,3
C．1，－1，－3 D．无零点
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 B
解析 令y＝0，即(x－1)(x2－2x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，x3＝3.故选B.
3．设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 A
解析 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．
可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．
4．已知函数f(x)＝2x＋x－5，则f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数零点所在的区间
答案 C
解析 f(0)＝20－5＜0，f(1)＝21＋－5＜0，f(2)＝22＋－5＜0，f(3)＝23＋－5＞0，f(4)＝24＋1－5＞0，则有f(2)·f(3)＜0.故选C.
5．若函数f(x)＝alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a＜－3
B．－＜a＜－
C．－3＜a＜－
D．－＜a＜－
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点有关的参数取值范围
答案 C
解析 ∵函数y＝log2x，y＝4x在其定义域上单调递增，∴函数f(x)＝alog2x＋a·4x＋3在区间上单调且连续，∴由零点存在性定理可得f?·f(1)＜0，
即(－a＋2a＋3)(4a＋3)＜0，
解得－3＜a＜－.
6．某企业2017年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2017年度产值的月平均增长率为( )
A. B.－1
C. D.
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 对数函数模型的应用
答案 B
解析 设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)11，∴x＝－1.
7．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%(a≠b)的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
答案 B
解析 根据配制前后溶质不变，有等式a%x＋b%y＝c%(x＋y)，即ax＋by＝cx＋cy，故y＝x.
8．已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0A．恒为正 B．等于0
C．恒为负 D．不大于0
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 函数的零点与方程根的关系
答案 A
解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴当0f(x0)＝0.
9．今有一组数据，如下表所示：
x
1
2
3
4
5
y
3
5
6.99
9.01
11
下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的是( )
A．指数函数 B．反比例函数
C．一次函数 D．二次函数
考点 函数拟合问题
题点 函数拟合问题
答案 C
解析 由表中数据知，随着自变量x每增加1，函数值y约增加2，所以一次函数最接近地表示这组数据满足的规律．
10．有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A．19 B．20 C．21 D．22
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 C
解析 操作次数为n时的浓度为n＋1，
由n＋1<10%，得n＋1>＝≈21.8，
∴n≥21.
11．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 A
解析 由于函数g(x)＝4x＋2x－2在R上连续，且g＝＋－2＝－<0，g＝2＋1－2＝1>0，所以g(x)的零点x0∈.而f(x)＝4x－1的零点为x＝，f(x)＝(x－1)2的零点为x＝1，f(x)＝ex－1的零点为x＝0，f(x)＝ln的零点为x＝，故选A.
12．我国股市中对股票的股价实行涨停、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票在连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是( )
A．跌1.99% B．涨1.99%
C．跌0.99% D．涨0.99%
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 A
解析 设四天前股价为a，则现在的股价为a×1.12×0.92＝0.980 1a，跌1.99%.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
考点 三种函数模型增长的差异
题点 三种函数模型增长速度的差异
答案 y＝x2
解析 y＝x2＝x·x，y＝x·ln x，其中y＝x比y＝ln x在(1，＋∞)上增长较快，也可取特殊值验证．
14．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为________．
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 (1.5,2)
解析 设f(x)＝x3－2x－1，
则f(1)＝13－2－1＝－2<0，
f(2)＝23－2×2－1＝3>0，
f(1.5)＝－0.625<0.
∴该根在区间(1.5,2)内
15．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 (－2,2)
解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，则f(x)<0的x的取值范围是(－2,2)．
16．已知函数f(x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列四种说法：
①F(x)＝|f(x)|；②函数F(x)是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F(m)－F(n)＜0成立；④当a＞0时，函数y＝F(x)－2有4个零点．其中正确说法的序号是________．
考点 函数零点的综合应用
题点 函数零点的综合应用
答案 ②③④
解析 ①易知F(x)＝f(|x|)，故F(x)＝|f(x)|不正确；②∵F(x)＝f(|x|)，∴F(－x)＝F(x)，∴函数F(x)是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则F(m)－F(n)＝－alog2m＋1－(－alog2n＋1)＝a(log2n－log2m)＜0；④当a＞0时，F(x)＝2可化为f(|x|)＝2，即a|log2|x||＋1＝2，即|log2|x||＝，故|x|＝或|x|＝，故函数y＝F(x)－2有4个零点，故②③④正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数在区间上是否有零点
证明 令g(x)＝f(x)－x＝x3－x2－x＋.
∵g(0)＝，g＝－，∴g(0)·g<0.
又函数g(x)在上连续，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
18．(12分)已知若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．
考点 函数的零点与方程的根
题点 函数的零点与方程的根
解 (1)当a＝0时，y＝－x－1只有一个零点－1；
(2)当a≠0时，y＝ax2－x－1为二次函数，
∵y＝ax2－x－1只有一个零点，∴ax2－x－1＝0只有一个实根，
∴Δ＝1＋4a＝0，
∴a＝－.
综上所述，a＝0或－.
19．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
考点 函数模型的应用
题点 分段函数模型的应用
解 (1)由题意，得y＝
(2)∵当x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
答 老张的销售利润是39万元．
20．(12分)已知函数f(x)＝mx2－3x＋1的零点至少有一个大于0，求实数m的取值范围．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 一元二次方程根的分布综合问题
解 (1)当m＝0时，由f(x)＝0，得x＝，符合题意，
(2)当m≠0时，
①由Δ＝9－4m＝0，得m＝，
令f(x)＝0，解得x＝，符合题意；
②Δ＞0，即9－4m＞0时，m＜.
设f(x)＝0的两根为x1，x2且x1＜x2，
若0＜m＜，则x1＋x2＝＞0，
x1·x2＝＞0，
即x1＞0，x2＞0，符合题意，
若m＜0，则x1＋x2＝＜0，
x1·x2＝＜0，
即x1＜0，x2＞0，符合题意，
综上可知m≤，即m的取值范围为.
21．(12分)用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)亿元和生产成本投入x亿元的关系．统计表明，当每季度投入1亿元时，利润y1＝1亿元，当每季度投入2亿元时，利润y2＝2亿元，当每季度投入3亿元时，利润y3＝2亿元．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．
(1)当b＝时，求相应的a，使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4亿元时利润y4亿元的值．
考点 函数模型的综合应用
题点 函数模型的综合应用
解 (1)当b＝时，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2＝142＋，
所以当a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型．
(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝.
22．(12分)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程为f(x)＝m(m∈R)，恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，求x1x2x3的取值范围．
考点 函数零点的综合应用
题点 函数零点的个数问题
解 当x≤0，即2x－1≤x－1时，则f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝(2x－1)2－(2x－1)(x－1)＝2x2－x，当x＞0，即2x－1＞x－1时，则f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝(x－1)2－(2x－1)(x－1)＝－x2＋x，画出大致图象如图，可知当m∈时，f(x)＝m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，其中x2，x3是方程－x2＋x－m＝0的根，x1是方程2x2－x－m＝0的一个根，则x2x3＝m，x1＝，所以x1x2x3＝，显然，该式随m的增大而减小，
所以由以上可知x1x2x3的取值范围为.
