§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标 1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．
知识点一 函数的零点的概念
思考 函数的“零点”是一个点吗？
答案 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
梳理 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
知识点二 零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
1．f(x)＝x2的零点是0.( √ )
2．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．( × )
3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．( √ )
4．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.( × )
类型一 求函数的零点
例1 函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 x＝1或x＝10
解析 由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.
反思与感悟 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 4
解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)
＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．
可知零点为±1，－2,3，共4个．
类型二 判断函数的零点所在的区间
例2 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数零点所在的区间
答案 C
解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．
反思与感悟 在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．
跟踪训练2 若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数零点所在区间
答案 2
解析 ∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点．
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，
∴n＝2.
类型三 函数零点个数问题
命题角度1 判断函数零点个数
例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．
故函数f(x)有且只有一个零点．
方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
反思与感悟 判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．
跟踪训练3 求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
解 方法一 由于f(2)＝ln 2＋4－6<0，f(3)＝ln 3＋6－6>0，即f(2)·f(3)<0，说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点．又因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
方法二 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数．
由图象可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点．
命题角度2 根据零点情况求参数范围
例4 f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点有关的参数取值范围
答案 D
解析 由题意可得a＝x－x(x＞0)．
令g(x)＝x－x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．
反思与感悟 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．
跟踪训练4 若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)
B．(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)
C.
D.
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 两根分别属于两区间
答案 D
解析 函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，
即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，
根据图象列出不等式组
解得
∴－＜m＜－，
∴实数m的取值范围是.
1．函数y＝ln x的零点是( )
A．(0,0) B．x＝0 C．x＝1 D．不存在
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 C
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
考点 函数零点的概念
题点 判断函数有无零点
答案 D
3．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数在区间上是否有零点
答案 C
4．函数f(x)＝x3－x的零点有______个．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 1
5．若函数y＝2－|x|－k有零点，则实数k的取值范围是________．
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点有关的参数取值范围
答案 (0,1]
解析 y＝2－|x|－k有零点，即k∈y＝2－|x|的值域．
而－|x|≤0,0<2－|x|≤20＝1，∴y＝2－|x|的值域为(0,1]．
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象．
4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
一、选择题
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
考点 函数零点的概念
题点 判断函数有无零点
答案 A
解析 B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．
2．函数f(x)＝ln x＋的零点为( )
A．1 B. C．e D.
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 A
解析 依次检验，使f(x)＝0的即为零点．
3．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．必有唯一的实数根
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数在区间上是否有零点
答案 D
解析 由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.
4．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 函数的零点与方程根的关系
答案 C
解析 由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－＜0.由零点存在性定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．
5．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至少有一个零点
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数在区间上是否有零点
答案 C
解析 若函数f(x)的图象及给定的区间(a，b)，如图(1)或图(2)所示，可知A，D错，若如图(3)所示，可知B错．
6．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点与方程根的关系
答案 B
解析 方法一 由f(x)＝0，得2x＋＝0，
∴2x＝.
在同一直角坐标系中，作出函数y1＝2x，y2＝的图象(图略)，观察图象可知，当x1∈(1，x0)时，y1
当x2∈(x0，＋∞)时，y1>y2，
∴f(x1)<0，f(x2)>0.
方法二 ∵函数y＝2x，y＝在(1，＋∞)上均为增函数，∴函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，
∴由x1∈(1，x0)，f(x0)＝0，得f(x1)由x2∈(x0，＋∞)，f(x0)＝0，得f(x2)>f(x0)＝0.
7．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 B
解析 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.
又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.
因此函数f(x)有两个零点－2与2.
8．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 B
解析 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数?方程|log0.5x|＝＝x的根的个数?函数y1＝|log0.5x|与y2＝x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.
二、填空题
9．若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点有关的参数取值范围
答案 m>1
解析 f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.
10．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 －3
解析 设函数f(x)的两个零点为x1，x2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－＝－2.又因为x1＝1，所以x2＝－3.
11．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是__________．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 由函数零点个数求参数的取值范围
答案 (1，＋∞)
解析 函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a>1时，两函数图象有两个交点；当01.
三、解答题
12．求函数f(x)＝的零点．
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
解 当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lg x＝0，得x＝1，满足要求．所以函数f(x)的零点是－2,1.
13．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 由函数零点个数求参数的取值范围
解 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
则a的取值范围是(－1,1)．
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 两根分别属于两区间
答案 (－12,0)
解析 根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．
由图可知
即 解得－12＜a＜0.
15．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 由函数零点个数求参数的取值范围
答案
解析 画出函数f(x)的图象，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图象有两个交点，由图可知k＞，且k＜1.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
知识点一 二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．( √ )
2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．( √ )
3．用二分法最后一定能求出函数零点．( × )
4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．( √ )
类型一 二分法的适用条件
例1 以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 C
解析 使用二分法必先找到零点所在区间[a，b]，且f(a)·f(b)<0，但C中找不到这样的区间．
反思与感悟 运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
跟踪训练1 观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 A
类型二 二分法的操作
例2 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点(精确度0.02)．
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法求方程的近似解
解 由于f(0)＝－3＜0，
f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，
故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值(或近似值)
(1,2)
1.5
0.375
(1,1.5)
1.25
－1.047
(1.25,1.5)
1.375
－0.400
(1.375,1.5)
1.437 5
－0.030
(1.437 5,1.5)
1.468 75
0.168
(1.437 5,1.468 75)
1.453 125
0.068
(1.437 5,1.453 125)
因为|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625＜0.02，
所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.437 5.
反思与感悟 用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．
跟踪训练2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1)．
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法求方程的近似解
解 原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
f(x)＝2x＋3x－7
－6
－2
3
10
21
40
75
142
273
…
观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，
所以x0∈(1,1.5)．
再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5)．
由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，
所以原方程的近似解可取为1.437 5.
类型三 二分法思想的考查
例3 函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点x0与的大小关系为________．
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 解析 在同一坐标系内画出y＝ln x，y＝3－x2的图象如图．
由图可知，y＝ln x与y＝3－x2有唯一的交点x0∈(1，)．
即f(x)＝ln x＋x2－3有唯一的零点x0∈(1，)．
代入区间中点x＝，
则ln 1.
∴ln <3－2.
∴反思与感悟 在实际考查中，不一定要求把二分法进行多少次，但可以要求利用二分法缩小零点所在区间．
跟踪训练3 函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)内有无零点？若有，该零点是在内还是在内？
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
解 ∵f(x)为R上的增函数且f(0)＝20＋03－2<0，f(1)＝21＋13－2>0，
∴f(x)在(0,1)内有且仅有1个零点x0.
又f＝＋3－2＝＝<0，
∴x0∈.
1．下列函数中，只能用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝x－x
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 D
2．下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 C
3．方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 C
4．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f?＝0时，则函数f(x)的零点是________．
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法求方程的近似解
答案
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________．
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 (2,3)
1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．
一、选择题
1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 C
解析 只有选项C中零点左右的函数值符号相反且函数图象连续，可以利用二分法求解．
2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
考点 二分法的概念
题点 二分法的概念
答案 B
解析 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 A
解析 易知f(x)在R上是增函数．由题意可知f(1.25)·f(1.5)＜0，故函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25,1.5)内．故选A.
4．用二分法求函数f(x)＝ln x－的零点时，初始区间大致可选在( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞)
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 B
解析 由于f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，
f(2)·f(3)＜0，故初始区间可选(2,3)．
5．已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断，并且在区间(a，b)内有唯一零点，当a＝1.2，b＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间(a，b)等分的次数至少为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 二分法的概念
题点 分析二分法计算的次数
答案 B
6．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.05)为( )
A．1.5 B．1.375 C．1.438 D．1.25
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法求方程的近似解
答案 C
解析 ∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0，
∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，
∴该方程的根在区间(1.406 5,1.438)内，
又∵|1.406 5－1.438|＝0.031 5＜0.05，
∴方程的近似根为1.406 5或1.438.故选C.
7．设a是函数f(x)＝2x－的零点，若x0>a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．以上都有可能
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 B
解析 画出y＝2x与y＝的图象(图略)，可知当x0>a时，2x0>，故f(x0)>0.
8．函数f(x)＝log3x－在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为( )
A. B. C. D.
考点 用二分法求函数的近似解
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 C
解析 f(1)＝－<0，f(3)＝>0，f(2)＝log32－＝log32－＝log3＝log3<0，f＝log3－＝log3－＝log3>log3＝log3>0，因此，函数f(x)的零点在区间内，故选C.
二、填空题
9．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．(填序号)
①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；
③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
考点 二分法的概念
题点 二分法的概念
答案 ①②
解析 由二分法适用条件直接可得．
10．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．(填序号)
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
考点 二分法的概念
题点 二分法的概念
答案 ④
解析 ∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0，∴函数f(x)在(0,4)内有零点．
11．用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________．
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案
解析 令f(x)＝x3－x2－1，则f(1)＝－1＜0，f(2)＝3＞0，f?＝＞0，所以f?f(1)＜0，
故可断定该实数根所在的区间为.
三、解答题
12．用二分法求方程x2－2＝0的一个正实数解的近似值．(精确到0.1)
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法求方程的近似解
解 令f(x)＝x2－2，由于f(0)＝－2＜0，f(2)＝2＞0，可确定区间[0,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝0，b0＝2
f(0)＝－2，f(2)＝2
[0,2]
x0＝1
f(x0)＝－1＜0
[1,2]
x1＝1.5
f(x1)＝0.25＞0
[1,1.5]
x2＝1.25
f(x2)≈－0.438＜0
[1.25,1.5]
x3＝1.375
f(x3)≈－0.109＜0
[1.375,1.5]
x4＝1.437 5
f(x4)≈0.066＞0
[1.375,1.437 5]
由上表的计算可知，区间[1.375,1.437 5]的长度为1.437 5－1.375＝0.062 5＜0.1.
故1.4可作为所求方程的一个正实数解的近似值．
13．(2017·山东莱芜期中)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法求方程的近似解
解 (1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，∴a≠0.
由题意，得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，
即或
∴1故实数a的取值范围为(1,2)．
(2)若a＝，
则f(x)＝x3－x＋，
∴f(－1)＝>0，f(0)＝>0，f(1)＝－<0，
∴函数f(x)的零点在区间(0,1)上，又f?＝0，
∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为.
四、探究与拓展
14．设方程2x＋2x＝10的根为β，β所在区间为(n，n＋1)，则n＝________.
考点 用二分法求函数零点的近似值
题点 用二分法判断函数零点所在的区间
答案 2
解析 设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为单调增函数，又f(0)＝－9，f(1)＝－6，f(2)＝－2，f(3)＝4，∴f(2)·f(3)＜0，∴β∈(2,3)，n＝2.
15．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻)．现只有一台天平，请问：利用二分法的思想，你至多几次就一定可以找出这枚假币？
考点 二分法的概念
题点 二分法在实际问题中的应用
解 利用二分法，至多四次就一定可以找出这枚假币．第一次把26枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定不平衡，轻的一组(13枚金币)含假币；第二次把含假币的13枚金币分成三组，6,6,1，把6枚金币的两组放在天平上称，如果平衡，说明剩下的一枚是假币(称量结束)，如果不平衡，轻的一组(6枚金币)含假币；第三次把含假币的6枚金币分成两组，放在天平上称，天平不平衡，轻的一组(3枚金币)含假币；第四次把含假币的3枚金币中的两枚放在天平上称，如果平衡，说明剩下的一枚是假币，如果不平衡，轻的一边是假币．
