2.1随机抽样学案

§2.1　随机抽样
学习目标　1.了解随机抽样的必要性和重要性.2.理解随机抽样的目的和基本要求.3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法的一般步骤.4.理解并掌握分层抽样，会用分层抽样从总体中抽取样本.5.理解两种抽样的区别与联系．
知识点一　统计的基本概念
思考　样本与样本容量有什么区别？
答案　样本与样本容量是两个不同的概念．样本是从总体中抽取的个体组成的集合，是对象；样本容量是样本中个体的数目，是一个数．
梳理　(1)总体：一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体．
(2)个体：构成总体的每一个元素作为个体．
(3)样本：从总体中抽出若干个个体所组成的集合叫样本．
(4)样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．
知识点二　简单随机抽样
思考　从含有甲、乙的9件产品中随机抽取一件，总体内的各个个体被抽到的机会相同吗？为什么？甲被抽到的机会是多少？
答案　总体内的各个个体被抽到的机会是相同的．因为是从9件产品中随机抽取一件，这9件产品每件产品被抽到的机会都是1/9，甲也是1/9.
梳理　(1)设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)简单随机抽样的四个特点
①它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析．
②它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作．
③它是一种不放回抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算．
④它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
知识点三　抽签法和随机数法
思考　采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在形状、大小相同的号签上，并且将号签放在同一个箱子里搅拌均匀？
答案　为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性．
梳理　(1)抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
(2)随机数法：随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．
(3)利用随机数法抽取个体时的注意事项
①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点．
②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．
③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数．
知识点四　分层抽样
1．分层抽样的定义
当总体是由差异明显的几个部分组成时，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
分层抽样尽量利用了调查者对调查对象(总体)事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的．
2．分层抽样的实施步骤
第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)．
第二步，计算抽样比．抽样比＝.
第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比．
第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本．
第五步，综合每层抽样，组成样本．
知识点五　两种抽样方法的比较
简单随机抽样、分层抽样的比较如下表所示：
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；
(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
分层抽样
将总体分成几层，在各层中按同一抽样比抽取
在各层抽样时，采用简单随机抽样
总体由差异明显的几部分组成
1．简单随机抽样也可以是有放回的抽样．(　×　)
2．简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等．(　√　)
3．采用随机数表法抽取样本时，个体编号的位数必须相同．(　√　)
4．分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样．(　√　)
类型一　简单随机抽样的判断
例1　下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是(　　)
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出6个号签．
④箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里．
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　B
解析　根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．④不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样．综上，只有③是简单随机抽样．
反思与感悟　简单随机抽样必须具备下列特点
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；
(3)简单随机抽样是一种不放回抽样；
(4)简单随机抽样是一种等可能的抽样．
如果四个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．
跟踪训练1　在简单随机抽样中，某一个体被抽到的可能性(　　)
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些
B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一定
答案　B
解析　在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A，C，D不正确，B正确．
类型二　简单随机抽样等可能性应用
例2　一个布袋中有10个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________，第三次抽取时，剩余每个小球被抽到的可能性是________．
答案　　
解析　因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为，所以第一个空填.因为本题中的抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽到的可能性为，第二次抽取时，剩余9个小球，每个小球被抽到的可能性为，第三次抽取时，剩余8个小球，每个小球被抽到的可能性为.
反思与感悟　简单随机抽样，每次抽取时，总体中各个个体被抽到的可能性相同，在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等．
跟踪训练2　从总体容量为N的一批零件中，抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为(　　)
A．120 B．200
C．150 D．100
答案　A
解析　因为从含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，在每次抽取一个个体的过程中任意一个个体被抽到的可能性为，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为，所以＝0.25，从而有N＝120.故选A.
类型三　抽签法与随机数法及应用
命题角度1　抽签法
例3　某卫生单位为了支援抗震救灾，要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作，请用抽签法设计抽样方案．
解　方案如下：
第一步，将18名志愿者编号，号码为01,02,03，…，18.
第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．
第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀．
第四步，从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号．
第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员．
反思与感悟　一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．
跟踪训练3　某市环保局有各县报送的空气质量材料15份，为了了解全市的空气质量，要从中抽取一个容量为5的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
解　总体容量小，样本容量也小，可用抽签法．
步骤如下：
(1)将15份材料用随机方式编号，号码是1,2,3，…，15.
(2)将以上15个号码分别写在15张相同的小纸条上，揉成小球，制成号签．
(3)把号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀．
(4)从容器中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码．
(5)找出和所抽号码对应的5份材料，组成样本．
命题角度2　随机数法
例4　假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，应如何操作？
解　第一步，将800袋牛奶编号为000,001，…，799.
第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数(例如选出第8行第7列的数7)．
第三步，从选定的数7开始依次向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等)，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60的样本．
反思与感悟　抽签法和随机数法对个体的编号是不同的，抽签法可以利用个体已有的编号，如学生的学籍号、产品的记数编号等，也可以重新编号，例如总体个数为100，编号可以为1,2,3，…，100.随机数法对个体的编号要看总体的个数，总体数为100，通常为00,01，…，99.总体数大于100小于1 000，从000开始编起，然后是001,002，….
跟踪训练4　总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B．07
C．02 D．01
答案　D
解析　从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件的数字依次为02,14,07,01，故第5个数为01.故选D.
类型四　分层抽样及应用
命题角度1　分层抽样适用情形判定
例5　某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________.
答案　13
解析　∵＝，∴n＝13.
反思与感悟　分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用．
跟踪训练5　某单位有员工500人，其中35岁以下的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了调查员工的身体状况，要从中抽取一个容量为100的样本，如何进行抽取？
解　因为员工按年龄分为三个层，各层的身体状况有明显的差异，所以为了使样本具有代表性，需要采用分层抽样．抽样比为1∶5，即每5人中抽取一人．
35岁以下：125×＝25(人)，35岁～49岁：280×＝56(人)，50岁以上：95×＝19(人)．
命题角度2　分层抽样具体实施步骤
例6　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程．
解　抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝.
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；
从教师中抽取112×＝14(人)；
从后勤人员中抽取32×＝4(人)．
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人．
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
反思与感悟　在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．
跟踪训练6　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
解　用分层抽样来抽取样本，步骤如下：
(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽取125×＝25(人)；
在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56(人)；
在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19(人)．
(3)在各层分别按随机数法抽取样本．
(4)汇总每层抽样，组成样本．
1．下面抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)
答案　D
解析　A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误．
2．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　)
A．30人，30人，30人
B．30人，45人，15人
C．20人，30人，10人
D．30人，50人，10人
答案　B
解析　先求抽样比＝＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30(人)，乙校抽取5 400×＝45(人)，丙校抽取1 800×＝15(人)，故选B.
3．使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是(　　)
A．抽签法 B．随机数法
C．随机抽样法 D．以上都不对
答案　B
解析　由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数法较为合适．
4．一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为________．
答案　
解析　因为是简单随机抽样，故每个个体被抽到的机会相等，所以指定的某个个体被抽到的可能性为.
5．某地有2 000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是________．
答案　80
解析　设样本容量为n，根据简单随机抽样，得＝0.04，解得n＝80.
1．简单随机抽样是一种简单、基本、不放回的抽样方法，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．
2．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量大时，费时、费力，并且标号的签不易搅拌均匀，这样会导致抽样不公平；随机数法的优点也是简单易行，缺点是当总体容量大时，编号不方便．两种方法只适合总体容量较少的抽样类型．
3．简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为，但要将每个个体入样的可能性与第n次抽取时每个个体入样的可能性区分开，避免在解题中出现错误．
4．总体容量小，用简单随机抽样；总体差异明显，用分层抽样．在实际抽样中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法．
一、选择题
1．从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是(　　)
A．500名学生是总体
B．每个学生是个体
C．抽取的60名学生的体重是一个样本
D．抽取的60名学生的体重是样本容量
答案　C
解析　由题意可知在此简单随机抽样中，总体是500名学生的体重，A错；个体是每个学生的体重，B错；样本容量为60，D错．
2．为抽查汽车排放尾气的合格率，某环保局在一路口随机抽查，这种抽查是(　　)
A．简单随机抽样
B．抽签法
C．随机数法
D．以上都不对
答案　D
解析　由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．
3．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取(　　)
A．12,6,3 B．12,3,6
C．3,6,12 D．3,12,6
答案　C
解析　由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21×＝3,21×＝6,21×＝12.
4．某学校为了解高一800名新入学同学的数学学习水平，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是(　　)
A．800名同学是总体
B．100名同学是样本
C．每名同学是个体
D．样本容量是100
答案　D
解析　据题意，总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本容量是100，故只有D正确．
5．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)
A.， B.，
C.， D.，
答案　A
解析　简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等，都为.
6．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为(　　)
A．8 B．11
C．16 D．10
答案　A
解析　若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.
7．从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为(　　)
A．36% B．72%
C．90% D．25%
答案　C
解析　×100%＝90%.
8．已知总体容量为108，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下列对总体的编号正确的是(　　)
A．1,2，…，108 B．01,02，…，108
C．00,01，…，107 D．001,002，…，108
答案　D
解析　用随机数法选取样本时，样本的编号位数要一致．故选D.
9．关于简单随机抽样，下列说法正确的是(　　)
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能性抽样．
A．①②③④ B．③④
C．①②③ D．①③④
答案　A
解析　由简单随机抽样的特征可知．
二、填空题
10．用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是________．
答案　0.2
解析　因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每个个体被抽到的可能性都为＝0.2.
11．一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________；第三次抽取时，剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是________．
答案　　
解析　因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性为＝，所以某一特定小球被抽到的可能性是.因为此抽样是不放回抽样，所以第一次抽样时，每个小球被抽到的可能性均为；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为.
12．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．
答案　6,30,10
解析　设三种型号的轿车依次抽取x辆，y辆，z辆，
则有解得
三、解答题
13．为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0＜m≤72≤n)．
(1)若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n；
(2)若高校B中抽取的教授总数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数．
解　(1)∵0＜m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，∴B高校中抽取2人，
∴A高校中抽取1人，C高校中抽取3人，
∴＝＝，解得m＝36，n＝108.
(2)∵高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授数的，
∴(m＋n)＝72，解得m＋n＝108，
∴三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.
四、探究与拓展
14．从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏．过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为(　　)
A. B．k＋m－n
C. D．不能估计
答案　C
解析　设参加游戏的小孩有x人，则＝，x＝.
15．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．
解　第一步：先确定艺人：(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人．
第二步：确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可．