滚动训练二(§3.1～§3.2)
一、选择题
1．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.2，是不可能事件的概率为0.3，则这10个事件中随机事件的个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 C
解析 这10个事件中，必然事件的个数为10×0.2＝2，不可能事件的个数为10×0.3＝3.
而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为10.
故随机事件的个数为10－2－3＝5.故选C.
2．某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6环，7环，8环，9环，10环的概率依次为0.10,0.20,0.30,0.15，0.05，则该人射击命中的概率为( )
A．0.50 B．0.60
C．0.70 D．0.80
答案 D
解析 ∵某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，
∴该人射击命中的概率P＝1－0.20＝0.80.故选D.
3．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4,5的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，球的标号分别记作a，b，每个球被取出的可能性相等，则|a－b|≤1的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 所有的数对(a，b)共有5×5＝25个，而满足|a－b|≤1的数对(a，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共13个，
故|a－b|≤1的概率为.故选B.
4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别记为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别记为b1，b2，b3，
齐王与田忌赛马，其情况有：
(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；
(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜，共6种．
其中田忌获胜的只有一种(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，
则田忌获胜的概率为，故选D.
5．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 基本事件的总数为6，
构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，
所以所求概率P＝＝，故选B.
6．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．其中“摸出2个黑球”的基本事件有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
答案 A
解析 由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．
将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有的基本事件为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)，共6个，其中“摸出2个黑球”的基本事件有3个．
7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设“所取的数中b>a”为事件A，如果把选出的数a，b写成数对(a，b)的形式，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共15个，事件A包含的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝＝.
8．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意设3个兴趣小组分别为A，B，C.试验发生包含的基本事件为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC，共9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P＝＝，故选A.
二、填空题
9．质地均匀的正方体骰子各面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，每次抛掷这样两个相同的骰子，规定向上的两个面的数字的和为这次抛掷的点数，则每次抛掷时点数被4除余2的概率是________．
答案
解析 质地均匀的正方体骰子各面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，每次抛掷这样两个相同的骰子，规定向上的两个面的数字的和为这次抛掷的点数，基本事件总数n＝6×6＝36，每次抛掷时点数被4除余2包含的基本事件有(1,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，共9个，所以抛掷时点数被4除余2的概率是P＝＝.
10．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是________．
答案
解析 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．
其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，
所以P(A)＝＝.
11．已知x，y∈{0,1,2,3,4,5}，P(x，y)是坐标平面内的点，则点P在x轴上方的概率为________．
答案
解析 由于点P与x轴的位置关系只与纵坐标有关，因此，纵坐标的6种可能结果中，有5种在x轴上方，
所以点P在x轴上方的概率为.
三、解答题
12．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X(单位：株)之间的关系如下表所示．
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
解 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下.
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝＝＝46.
(2)由(1)，知P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
13．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a，b)．
(1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数y＝f(x)有零点的概率；
(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解 (1)(a，b)共有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，15种情况．
函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况满足条件．
所以函数y＝f(x)有零点的概率为＝.
(2)因为a>0，函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝，在区间[1，＋∞)上是增函数，所以有≤1，满足条件的(a，b)有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种．所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为.
四、探究与拓展
14．现有甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的．
(1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；
(2)求甲、乙在同一个社团，且丙、丁不在同一个社团的概率．
解 甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社与街舞社的情况如下，
文学社
街舞社
1
甲乙丙丁
2
甲乙丙
丁
3
甲乙丁
丙
4
甲丙丁
乙
5
乙丙丁
甲
6
甲乙
丙丁
7
甲丙
乙丁
8
甲丁
乙丙
9
乙丙
甲丁
10
乙丁
甲丙
11
丙丁
甲乙
12
甲
乙丙丁
13
乙
甲丙丁
14
丙
甲乙丁
15
丁
甲乙丙
16
甲乙丙丁
共有16种情形，即有16个基本事件．
(1)文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个，则都至少有1人参加的基本事件有14个，概率为＝，
即文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为.
(2)甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，概率为＝.
15.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，
并说明理由．
解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16，
记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3则事件B包含的基本事件共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以P(C)＝.因为>，
所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率．
章末复习
学习目标 1.会根据不同的特点选择适当的抽样方法获得样本数据.2.能利用图、表对样本数据进行整理分析，用样本和样本的数字特征估计总体.3.能利用散点图对两个变量是否相关进行初步判断，能用线性回归方程进行预测.
1.抽样方法
(1)用随机数法抽样时，对个体所编号码位数要相同，当问题所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数.
(2)两种抽样方法的异同点
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
分层抽样
将总体分成几层，按各层个体数之比抽取
在各层抽样时采用简单随机抽样
总体由差异明显的几部分组成
2.用样本估计总体
(1)用样本估计总体
用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据作频率分布表与频率分布直方图.当样本只有两组数据且样本容量比较小时，用茎叶图刻画数据比较方便.
(2)样本的数字特征
样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差.
3.变量间的相关关系
(1)两个变量之间的相关关系的研究，通常先作变量的散点图，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系).
(2)求回归方程的步骤：
①先把数据制成表，从表中计算出，，x，xiyi；
②计算回归系数，，公式为
③写出回归方程＝x＋.
类型一 用样本的频率分布估计总体
例1 某制造商生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样检查20个，测得每个球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：
40.03 40.00 39.98 40.00 39.99 40.00 39.98
40.01 39.98 39.99 40.00 39.99 39.95 40.01
40.02 39.98 40.00 39.99 40.00 39.96
(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
[39.97,39.99)
[39.99,40.01)
[40.01,40.03]
合计
(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品.若这批乒乓球的总数为10 000，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格个数.
考点 样本估计总体
题点 用样本的频率分布估计总体的频率分布
解 (1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
2
0.10
5
[39.97,39.99)
4
0.20
10
[39.99,40.01)
10
0.50
25
[40.01,40.03]
4
0.20
10
合计
20
1.00
频率分布直方图如图.
(2)∵抽样的20个产品中在[39.98,40.02]范围内的有17个，∴合格品合格率为×100%＝85%.
∴10 000×85%＝8 500.
故根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格个数为8 500.
反思与感悟 总体分布中相应的统计图表主要包括：频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体.
跟踪训练1 某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.
考点 样本估计总体
题点 用样本的频率分布估计总体的频率分布
解 (1)如题图所示，用水量在[0.5,3)的频率的和为
(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.
∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，
∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.
(2)当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为
(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).
即该市居民该月的人均水费估计为10.5元.
类型二 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例2 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图.
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，估计1－2的值.
考点 样本估计总体
题点 用样本的数字特征估计总体的数字特征
解 (1)设甲校高三年级学生总人数为n.
由题意，知＝0.05，解得n＝600.
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格的人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为
1－＝.
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为，.
根据样本茎叶图知，30(－)＝30－30
＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92
＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.
因此－＝0.5，所以1－2的估计值为0.5分.
反思与感悟 样本的数字特征分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的特征数，例如平均数；另一类是反映样本数据波动大小的特征数，例如方差和标准差.通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，从而实现对总体的估计.
跟踪训练2 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？
考点 样本估计总体
题点 用样本的数字特征估计总体的数字特征
解 甲的平均成绩为甲＝74，乙的平均成绩为乙＝73.所以甲的平均成绩好.
甲的方差是s＝[(－14)2＋62＋(－4)2＋162＋(－4)2]＝104，乙的方差是s＝×[72＋(－13)2＋(－3)2＋72＋22]＝56.
因为s>s，所以乙的各门功课发展较平衡.
类型三 变量间的相关关系
例3 理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：
年份202x(年)
0
1
2
3
4
人口数y(十万)
5
7
8
11
19
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)指出x与y是否线性相关；
(3)若x与y线性相关，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程＝x＋；
(4)据此估计2025年该城市人口总数.
(参数数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30)
考点 变量间的相关关系
题点 变量间的相关关系
解 (1)数据的散点图如图：
(2)由散点图可知，样本点基本上分布在一条直线附近，故x与y呈线性相关.
(3)由表知＝×(0＋1＋2＋3＋4)＝2，
＝×(5＋7＋8＋11＋19)＝10.
∴＝＝3.2，
＝－＝3.6，
∴回归方程为＝3.2x＋3.6.
(4)当x＝5时，＝19.6(十万)＝196万.
故2025年该城市人口总数约为196万.
反思与感悟 对两个变量进行研究，通常是先作出两个变量之间的散点图，根据散点图直观判断两个变量是否具有线性相关关系，如果具有，就可以应用最小二乘法求线性回归方程.由于样本可以反映总体，所以可以利用所求的线性回归方程，对这两个变量所确定的总体进行估计，即根据一个变量的取值，预测另一个变量的取值.
跟踪训练3 某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少小时？
考点 变量间的相关关系
题点 变量间的相关关系
解 (1)散点图如图.
(2)由表中数据得：iyi＝52.5，
＝3.5，＝3.5，＝54，
∴ ＝0.7，∴＝1.05，
∴＝0.7x＋1.05，回归直线如图所示.
(3)将x＝10代入线性回归方程，
得＝0.7×10＋1.05＝8.05，
故预测加工10个零件约需要8.05小时.
1.一个容量为80的样本中，数据的最大值是140，最小值是50，组距是10，这里将样本数据分为( )
A.10组 B.9组
C.8组 D.7组
考点 抽样方法
题点 抽样方法中的计算
答案 B
解析 组数＝＝＝9.
2.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
考点 方差与标准差
题点 求标准差
答案 B
解析 设这10个数为a1，a2，…，a10，则有a＋a＋…＋a＝200，且a1＋a2＋…＋a10＝40，
所以
＝
＝＝4，∴标准差为＝2.
3.某农田施肥量x(单位：kg)与小麦产量y(单位：kg)之间的回归方程是＝4x＋250，则当施肥量为50 kg时，可以预测小麦的产量为________kg.
考点 变量间的相关关系
题点 变量间的相关关系
答案 450
解析 直接将x＝50代入回归方程中，可得＝4×50＋250＝450.
4.如图所示是一次考试结果的频率分布直方图，则据此估计这次考试的平均分为________.
考点 平均数
题点 由表或图估计平均数
答案 75
解析 利用组中值估算平均分，则有＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.1＝75，故估计这次考试的平均分为75.
5.从某学校的男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组的人数相同，第六组的人数为4.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上(含180 cm)的人数.
考点 样本估计总体
题点 用样本的频率分布估计总体的频率分布
解 (1)第六组的频率为＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.
(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5＝0.04，
身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5＝0.08，
身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5＝0.2，
身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5＝0.2，
由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32＜0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52＞0.5，
估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170＜m＜175，
由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5，得m＝174.5，所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5，
由直方图得后三组频率为0.06＋0.08＋0.008×5＝0.18，
所以身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为0.18×800＝144.
1.用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图有以下几个特点：
?1?纵轴表示；?2?频率分布直方图中各小长方形高的比就是相应各组的频率之比；?3?直方图中各小长方形的面积是相应各组的频率，所有的小长方形的面积之和等于1，即频率之和为1.
2.平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征，利用它们可对总体进行一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数可描述总体的集中趋势，方差和标准差可描述波动大小.
一、选择题
1．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于( )
A．80 B．160
C．200 D．280
答案 C
解析 由题意可知，＝0.2，解得n＝200.
2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于( )
A.54 B.90
C.45 D.126
考点 分层抽样的应用
题点 由抽样情况求样本或总体容量
答案 B
解析 分层抽样的核心是等比例抽取.所以＝，解得n＝90.
3．下列抽样实验中，适合用抽签法的有( )
A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
答案 B
解析 个体数和样本容量较小时适合用抽签法，排除A，D；C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，也不适用，故选B.
4.某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，已知3个区人口数之比为2∶3∶5，如果人口最多的一个区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为( )
A.96 B.120 C.180 D.240
考点 分层抽样的应用
题点 由抽样情况求样本或总体容量
答案 B
解析 由题意知，3个区人口数之比为2∶3∶5，第三个区所抽取的人口数最多，所占比例为50%.又因为第三个区抽取的人数为60，所以三个区所抽取的总人数为60÷50%＝120，即这个样本的容量为120.
5.总体已经分成A，B，C三层，且A，B，C三层个体数之比为2∶3∶5，现要从总体中抽取一个容量为20的样本，已知A层中用简单随机抽样抽取样本时，甲被抽到的可能性为，则总体的个体数为( )
A.60 B.80
C.100 D.120
考点 分层抽样的方法
题点 分层抽样的应用
答案 B
解析 由已知条件知，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为，
∴总体的个体数为20÷＝80.
6.某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于60分的人数是18，则该班的学生人数是( )
A.50 B.54
C.60 D.64
考点 频率分布直方图
题点 求频数及容量
答案 C
解析 由频率分布直方图知，得分低于60分的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3.
∵低于60分的人数是18，
∴该班的学生人数是＝60.
故选C.
7.一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为，则第三组的频数为( )
A.24 B.48
C.16 D.32
答案 A
解析 因为频率＝，所以第二、四组的频数都为72×＝16.所以第三组的频数为72－2×8－2×16＝24.
8.在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数 B.平均数
C.中位数 D.标准差
考点 样本估计总体
题点 用样本的数字特征估计总体的数字特征
答案 D
解析 由众数、平均数、中位数、标准差的定义知：A样本中各数据都加2后，只有标准差不改变，故选D.
二、填空题
9.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________.
考点 样本估计总体
题点 用样本的数字特征估计总体的数字特征
答案 甲
解析 甲＝9，乙＝9，
s＝×2＝，s＝×6＝，甲的方差较小.
10.某校高中年级开设了丰富多彩的课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如图).s1，s2分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则s1________s2.(填“＞”、“＜”或“＝”)
考点 样本估计总体
题点 用样本的数字特征估计总体的数字特征
答案 ＜
解析 标准差反映了数据的离散程度.显然甲的学分更集中.也可用公式计算得出.
11.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.
考点 样本估计总体
题点 用样本的数字特征估计总体的数字特征
答案 24 23
解析 甲＝(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24，
乙＝(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23.
12.某电子商务公司对10 000名网络购物者在2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.
考点 样本估计总体
题点 用样本的频率分布估计总体的频率分布
答案 (1)3 (2)6 000
解析 由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
三、解答题
13.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).
(1)由图中数据求a的值；
(2)若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为多少？
(3)估计这所小学的小学生身高的众数、中位数(保留两位小数)及平均数.
考点 样本估计总体
题点 用样本的频率分布估计总体的频率分布
解 (1)因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，
所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，
解得a＝0.030.
(2)由直方图知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为10，
所以从身高在[140,150]内选取的学生人数为×10＝3.
(3)根据频率分布直方图知，身高在[110,120)的小矩形最高，
所以这所小学的小学生身高的众数为＝115(cm).
又0.005×10＋0.035×10＝0.4＜0.5，
0.4＋0.030×10＝0.7＞0.5，
所以中位数在[120,130)内，可设为x，
则(x－120)×0.030＋0.4＝0.5，
解得x≈123.33，
所以中位数为123.33 cm.
根据频率分布直方图，计算平均数为
105×0.05＋115×0.35＋125×0.3＋135×0.2＋145×0.1＝124.5(cm).
四、探究与拓展
14.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均数为，则( )
A.me＝mo＝ B.mo＜＜me
C.me＜mo＜ D.mo＜me＜
考点 样本估计总体
题点 用样本的频率分布估计总体的频率分布
答案 D
解析 30个数中第15个数是5，第16个数是6，所以中位数me＝＝5.5，众数mo＝5，
平均值＝
＝，∴mo15.以下四个命题：
①在回归方程＝－0.5x＋5中，y与x呈正相关；
②对于两个相关随机变量x，y而言，点P(，)在其回归直线上；
③在回归方程＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；
④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1.
其中真命题为( )
A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
考点 变量间的相关关系
题点 变量间的相关关系
答案 D
解析 ①由回归方程知，<0，所以y与x呈负相关，故不正确；②对于两个相关随机变量x，y而言，点P(，)在其回归直线上，正确；③在回归方程＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，正确；④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越近于1，两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0，故不正确.
故选D.
章末检测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2∶3∶2∶4，则该样本中D类产品的数量为( )
A．22 B．33
C．40 D．55
答案 C
解析 根据分层抽样，总体中产品数量比与抽取的样本中产品数量比相等，∴样本中D类产品的数量为110×＝40.
2．已知总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号最方便的是( )
A．1,2，…，106 B．0,1,2，…，105
C．00,01，…，105 D．000,001，…，105
答案 D
解析 由随机数抽取原则可知选D.
3．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的线性回归方程为y＝7.19x＋73.93，用这个方程预测这个孩子10岁时的身高，正确的叙述是( )
A．身高一定是145.83 cm
B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm以下
D．身高在145.83 cm左右
答案 D
解析 回归直线是用来估计总体的，所以我们求的值都是估计值，所以我们得到的结果也是近似的，只要把自变量的值代入线性回归方程即可求得结果为145.83 cm.
4.一个容量为200的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：
组别
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
频数
15
15
20
30
35
组别
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
25
20
15
15
10
则样本数据落在[20,60)上的频率为( )
A.0.11 B.0.5
C.0.45 D.0.55
考点 频率分布表
题点 求指定组的频率
答案 D
解析 由题中表格可知样本数据落在[20,60)上的频数为20＋30＋35＋25＝110，故其频率为＝0.55.
5.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A.91.5和91.5 B.91.5和92
C.91和91.5 D.92和92
考点 众数、中位数、平均数的综合
题点 茎叶图中的中位数和平均数
答案 A
解析 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故中位数为＝91.5.平均数为＝91＋＝91.5.
6.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，则在区间[98,100)上的频数为( )
A.10 B.30
C.20 D.40
考点 频率分布直方图
题点 求指定组的频率
答案 C
解析 区间[98,100)上小矩形的面积为0.100×2＝0.200，所以区间[98,100)上的频数为100×0.200＝20，故选C.
7.若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5的平均数和标准差分别为( )
A.，s B.3＋5，s
C.3＋5,3s D.3＋5，
考点 方差与标准差
题点 求平均数与标准差
答案 C
解析 ∵x1，x2，…，xn的平均数为，
∴3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5的平均数为3＋5，
s′2＝[(3x1＋5－3－5)2＋…＋(3xn＋5－3－5)2]
＝×32[(x1－)2＋…＋(xn－)2]＝9s2.
∴s′＝3s.
8.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是( )
①平均数≤3；②标准差s≤2；③平均数≤3且标准差s≤2；④平均数≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4.
A.①② B.③④
C.③④⑤ D.④⑤
考点 方差与标准差
题点 方差与其它数字特征的综合运算
答案 D
解析 ①②③不符合，④符合，若极差等于0或1，在≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标.⑤符合，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，故选D.
9.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为( )
A.64 B.54 C.48 D.27
考点 频率分布直方图
题点 求频数
答案 B
解析 前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.
因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38.
所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32，
所以a＝22＋32＝54.故选B.
10.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示 ，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60)内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为( )
A.4∶3∶1 B.5∶3∶1
C.5∶3∶2 D.3∶2∶1
考点 频率分布直方图
题点 求频数
答案 B
解析 体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.30，体重在[55,60)内的频率为0.02×5＝0.1，
∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，
∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1，故选B.
11.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为105.4，则x，y的值分别为( )
A.5,7 B.6,8 C.6,9 D.8,8
考点 茎叶图
题点 茎叶图的应用
答案 B
解析 ∵甲组数据的中位数为106，
∴x＝6.
又∵乙组数据的平均数为105.4，
∴＝105.4，
解得y＝8.
综上，x，y的值分别为6,8.故选B.
12.下列关于线性回归的判断，正确的个数为( )
①若散点图中所有的点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的点A，B，C；
③已知线性回归方程＝0.50x－0.81，则当x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D
解析 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义，知只有按最小二乘法求得回归系数，，得到的直线＝x＋才是回归直线，所以①不对；②正确；将x＝25代入＝0.50x－0.81，解得＝11.69，所以③正确；④正确，所以选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：
甲：3,4,5,6,8,8,8,10；
乙：4,6,6,6,8,9,12,13；
丙：3,3,4,7,9,10,11,12.
三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲________，乙________，丙________.
答案 众数 平均数 中位数
解析 甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征.甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数＝＝8；丙：该组数据的中位数是＝8.
14.甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.5
8.8
8.8
8
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.5
则参加运动会的最佳人选应为________.
考点 方差与标准差
题点 平均数与方差的计算
答案 丙
解析 从表格中可以看出乙和丙的平均成绩最好，但丙发挥得比乙稳定，故最佳人选应为丙.
15.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________.
考点 分层抽样的方法
题点 由比例关系求抽取个数
答案 30
解析 由题意知，＝，解得a＝30.
16.从一堆苹果中任取20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布如下：
分组
[90，100)
[100，110)
[110，120)
[120，130)
[130，140)
[140，150]
频数
1
2
3
10
3
1
则这堆苹果中，质量不少于120克的苹果数约占苹果总数的________%.
考点 频率分布表
题点 求累计频率
答案 70
解析 ∵质量不少于120克的频数为14，
∴频率为×100%＝70%.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间
第二车间
第三车间
女工
173
100
y
男工
177
x
z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？
考点 分层抽样的方法
题点 由各层比例关系求每层抽取个数.
解 (1)依题意有＝0.15，解得x＝150.
(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250，
∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400.
设应从第三车间抽取m名工人，则有＝，
解得m＝20，
∴应在第三车间抽取20名工人.
18.(12分)有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学A，B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查.A班5名学生得分为：5,8,9,9,9；
B班5名学生得分为：6,7,8,9,10(单位：分).
请你估计A，B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些.
考点 方差与标准差
题点 求方差与标准差
解 A班的5名学生的平均得分为(5＋8＋9＋9＋9)÷5＝8，
方差s＝×[(5－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2]＝2.4；
B班的5名学生的平均得分为(6＋7＋8＋9＋10)÷5＝8，
方差s＝×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝2.
∴s＞s，∴B班的预防知识的问卷得分要稳定一些.
19.(12分)某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则[30,35)(百元)月工资段应抽出多少人？
考点 频率分布直方图
题点 求指定组的频数
解 月工资落在[30,35)(百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，而0.15÷5＝0.03，所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝2∶4∶5∶5∶3∶1，所以[30,35)(百元)月工资段应抽出×100＝15(人).
20.(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面的茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解 (1)由观测结果可绘制茎叶图如图.
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好.
(2)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得，
＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得，＞，因此可以看出A药的疗效更好.
21.(12分)某市2017年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染.
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
考点 频率分布直方图
题点 画频率分布直方图
解 (1)频率分布表：
分组
频数
频率
[41,51)
2
[51,61)
1
[61,71)
4
[71,81)
6
[81,91)
10
[91,101)
5
[101,111]
2
(2)频率分布直方图如图所示.
(3)答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月的天数的，说明该市空气质量基本良好.
②轻微污染有2天，占当月天数的；染污指数在80以上的接近轻微染污的天数为15，加上处于轻微污染的天数，共17天，占当月天数的，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善.
22.(12分)某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)已知两变量线性相关，求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的线性回归方程，分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－.
考点 回归直线
题点 求回归直线
解 (1)由所给数据计算得
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
故所求线性回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5＞0，故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.
将2019年的年份代号t＝9代入(1)中的线性回归方程，
得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
