§3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
3.1.2 概率的意义
学习目标 1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的含义.2.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.3.了解概率的意义以及频率与概率的区别.
知识点一 事件的有关概念
1.事件的分类及三种事件
2.对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.
知识点二 概率与频率
思考 小明说：“做10次抛硬币试验，正面向上的次数一定是5次”对吗？
答案 不一定正确.因为每次试验结果都是随机的，在试验前不能确定正面向上的次数.
梳理 (1)频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率.
(2)概率
①含义：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量.
②与频率联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
知识点三 概率的意义
1.概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性.
2.实际问题中的几个实例
(1)游戏的公平性
①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为，所以这个规则是公平的.
②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则.
(2)决策中的概率思想
如果面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则.这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.
(3)天气预报的概率解释
天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小.
(4)试验与发现
概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔用豌豆作试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律.
(5)遗传机理中的统计规律
孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律.利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系.
1.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.( √ )
2.小概率事件就是不可能发生的事件.( × )
3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.( × )
类型一 必然事件、不可能事件与随机事件的判断
例1 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件.
(1)从分别标有1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；
(2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；
(3)函数y＝logax(a＞0且a≠1)在其定义域内是增函数；
(4)平行于同一直线的两条直线平行；
(5)某同学竞选学生会主席成功.
考点 事件的综合应用
题点 事件的判断
解 (2)为不可能事件，(4)为必然事件，(1)(3)(5)为随机事件.
反思与感悟 事件的分类
事件类型
定义
举例
必然事件
在一定条件下，必然会发生的事件
在山顶上，抛一块石头，石头下落
不可能事件
在一定条件下，肯定不会发生的事件
在常温常压下，铁熔化
随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件
掷一枚硬币，出现正面向上
跟踪训练1 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件.
(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书.
考点 事件的综合应用
题点 事件的判断
解 (1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件.
(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件.
(4)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件.
类型二 试验与重复试验的结果分析
例2 下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果.
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集.
考点 随机事件
题点 随机事件的判断
解 (1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正).
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}.
反思与感悟 (1)准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础.
(2)在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果不重不漏.
跟踪训练2 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球；(2)从中任取2球.
考点 随机事件
题点 随机事件的判断
解 (1)条件为：从袋中任取1球.结果为：红、白、黄、黑4种.
(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种.
类型三 利用频率估计概率
例3 下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果.n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.
试验序号
抛掷的次数n
正面朝上的次数m
“正面朝上”出现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
245
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
考点 概率与频率
题点 利用频率估计概率
解 由fn(A)＝可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.
反思与感悟 (1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.
(2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率.
跟踪训练3 一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数m
2 883
4 970
6 994
8 892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
考点 概率与频率
题点 利用频率估计概率
解 (1)计算即得男婴出生的频率依次约是0.520 0，0.517 3, 0.517 3,0.517 3.
(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.
1.在10个学生中，男生有x人.现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生.若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为( )
A.5 B.6
C.3或4 D.5或6
考点 事件的综合应用
题点 事件的应用
答案 C
解析 由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，∴x＝3或x＝4.故选C.
2.在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是( )
A.3件都是正品 B.至少有一件是次品
C.3件都是次品 D.至少有一件是正品
考点 必然事件
题点 必然事件的判断
答案 D
解析 12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件，故选D.
3.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的( )
A.概率为 B.频率为
C.频率为8 D.概率接近于8
考点 概率与频率
题点 概率与频率的计算
答案 B
解析 做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率.故＝为事件A的频率.
4.某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是( )
A.明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水
B.明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水
C.明天本地降水的可能性是80%
D.以上说法均不正确
考点 天气预报的概率解释
题点 天气预报的概率解释
答案 C
解析 选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C.
5.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表.
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1 500
2 000
3 000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1 370
1 786
2 709
发芽的频率
(1)请完成上述表格(保留3位小数)；
(2)该油菜籽发芽的概率约为多少？
考点 概率与频率
题点 利用频率估计概率
解 (1)填入题表中的数据依次为1.000,0.800，0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.
填表如下：
每批
粒数
2
5
10
70
130
700
1 500
2 000
3 000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1 370
1 786
2 709
发芽的频率
1.000
0.800
0.900
0.857
0.892
0.910
0.913
0.893
0.903
(2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
1.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率.
2.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大.
3.利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
一、选择题
1.从1,2,3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和大于6”这一事件是( )
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上选项均不正确
考点 随机事件
题点 随机事件的判断
答案 C
解析 从所给的10个数中，任取3个数，其和最小为6.故事件“这3个数的和大于6”为随机事件，故选C.
2.下列现象：
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码.
其中是随机现象的是( )
A.①②③ B.①③④
C.②③④ D.①②④
考点 随机事件
题点 随机事件的判断
答案 C
解析 由随机事件的定义知②③④正确.
3.每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都随机地选择其中一个选项，则一定有3道选择题结果正确.”这句话( )
A.正确 B.错误
C.不一定正确 D.以上都不对
考点 概率的正确解释
题点 概率的意义
答案 B
解析 虽然答对一道题的概率为，但实际问题中，并不意味着一定答对3道，可能全对，可能对3道，也可能全不对等.
4.某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4位病人都未治愈，则第5位病人的治愈率为( )
A.1 B.
C. D.0
考点 概率的正确解释
题点 概率意义的应用
答案 B
解析 治愈率为，表明每位病人被治愈的概率均为，并不是5人中必有1人被治愈.故选B.
5.同时抛掷两枚大小完全相同的骰子，用(x，y)表示出现的结果，其中x，y分别为两枚骰子向上的点数，则该事件的所有结果种数为( )
A.11 B.22 C.36 D.66
考点 随机事件
题点 随机事件的判断
答案 C
解析 在这个试验中，(1,2)和(2,1)应视为2种不同的结果，列表可知共有36种结果.
6.下列结论正确的是( )
A.设事件A的概率为P(A)，则必有0＜P(A)＜1
B.事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效.现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D.某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
考点 概率的正确解释
题点 概率意义的应用
答案 C
解析 A项不正确，因为0≤P(A)≤1；若事件A是必然事件，则P(A)＝1，故B项不正确；对于D项，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D项不正确.故选C.
7.甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
考点 游戏的公平性
题点 游戏公平性的判断
答案 B
解析 A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝；B项，P(恰有一枚正面向上)＝，P(两枚都正面向上)＝；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝.
8.从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是( )
A.次品率小于10% B.次品率大于10%
C.次品率等于10% D.次品率接近10%
考点 概率与频率
题点 利用频率估计概率
答案 D
解析 抽出的样本中次品的频率为，即10%，所以样本中次品率大约为10%，所以总体中次品率大约为10%.
9.同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况( )
A.这100个铜板两面是相同的
B.这100个铜板两面是不相同的
C.这100个铜板中有50个两面是相同的，另外50个两面是不相同的
D.这100个铜板中有20个两面是相同的，另外80个两面是不相同的
考点 决策中的概率思想
题点 极大似然法
答案 A
解析 落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是相同的可能性较大.
二、填空题
10.将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________.
考点 试验与发现
题点 等可能事件的概率
答案 3∶1
解析 将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：
(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).
至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1.
11.一个袋中装有数量差别较大的白球和黑球，从中任取一球，取出的是白球，估计袋中数量少的球是__________.
考点 决策中的概率思想
题点 极大似然法
答案 黑球
解析 根据极大似然法，知袋中数量较多的是白球，因此黑球数量较少.
12.给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是.
其中正确命题有__________.
考点 概率与频率
题点 概率与频率的计算
答案 ④
解析 ①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的.②③混淆了频率与概率的区别.④正确.
三、解答题
13.街头有人摆一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时，白方胜，这种游戏对双方公平吗？若不公平，请说明哪方占便宜？
考点 游戏的公平性
题点 游戏公平性的判断
解 两枚骰子点数之和如下表：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种，概率是＝，
两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共24种，概率是＝.所以这种游戏不公平，白方比较占便宜.
四、探究与拓展
14.随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2 100
1 000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A. B. C. D.
考点 概率与频率
题点 利用频率估计概率
答案 C
解析 由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，
所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为＝.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选C.
15．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
解 列表如下：
A
B
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．
因为P(和为6)＝＝，所以甲、乙获胜的概率不相等．
所以这样的游戏规则不公平．如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的．
3.1.3 概率的基本性质
学习目标 1.了解互斥事件概率的加法公式.2.理解事件的关系与运算.3.会用对立事件的特征求概率.
知识点一 事件的关系与运算
思考 一粒骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则事件B发生时，事件A一定发生吗？
答案 因为5>4，故B发生时A一定发生.
梳理 1.对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作B?A(或A?B).与集合类比，如图所示.
不可能事件记作?，任何事件都包含不可能事件.如果事件A发生，则事件B一定发生，反之也成立，(若B?A，且A?B)，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.
2.关于事件的运算，有下表：
定义
表示法
事件的运算
并事件
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
知识点二 互斥与对立的概念
思考 一粒骰子掷一次，事件E＝{出现的点数为3}，事件F＝{出现的点数大于3}，事件G＝{出现的点数小于4}，则E∩F是什么事件？E∪F呢？G∩F呢？G∪F呢？
答案 E∩F＝不可能事件，E∪F＝{出现的点数大于2}.
G∩F＝不可能事件，G∪F＝必然事件.
梳理 互斥事件和对立事件
互斥事件
定义
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
符号
A∩B＝?
图示
注意事项
例如，在掷骰子试验中，记C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，则C1与C2互斥
对立事件
定义
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
符号
A∩B＝?，A∪B＝Ω
图示
注意事项
A的对立事件一般记作
知识点三 概率的基本性质
思考 概率的取值范围是什么？为什么？
答案 概率的取值范围在0～1之间，即0≤P(A)≤1；由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，因而概率的取值范围也在0～1之间.
梳理 概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为[0,1].
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
(3)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，
则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
特别地，若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
1.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.( × )
2.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.( √ )
3.若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.( √ )
类型一 事件关系的判断
例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
解 (1)是互斥事件，不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件，又是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
反思与感悟 (1)要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件.
(2)考虑事件的结果间是否有交事件.可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析.
跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( )
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球
D.恰有一个红球与恰有两个红球
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 D
解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.
类型二 事件的运算
例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
考点 事件的包含关系
题点 事件的包含关系
解 (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
反思与感悟 事件间运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
跟踪训练2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.则：
(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？
考点 事件的包含关系
题点 事件的包含关系
解 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.
类型三 用互斥、对立事件求概率
例3 甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率.
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
解 (1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－－＝.
(2)方法一 “甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输)＝＋＝.
方法二 “甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)＝1－＝，故甲不输的概率为.
反思与感悟 (1)只有当A，B互斥时，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立.
(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求解.
跟踪训练3 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”.已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A.0.20 B.0.39 C.0.35 D.0.90
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
答案 C
解析 ∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.
1.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 C
解析 A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A.0.42 B.0.28
C.0.3 D.0.7
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
答案 C
解析 ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.
3.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C.A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 D
解析 由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确.
4.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
答案
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
5.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.
求：(1)他乘火车或飞机去的概率；
(2)他不乘轮船去的概率.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
解 设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C，乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥.
(1)P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.
1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.
2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
3.求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.
一、选择题
1.袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个白球与都是白球
B.至少有一个白球与至少有一个红球
C.恰有一个红球与一个白球一个黑球
D.至少有一个红球与红、黑球各一个
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 C
解析 直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可.
2.一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件：
①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；
②“至少有1件次品”和“都是次品”；
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；
④“至少有1件次品”和“都是正品”.
其中互斥事件有( )
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 B
解析 对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；
对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；
对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；
对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件.
3.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于( )
A.0.3 B.0.7
C.0.1 D.1
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
答案 A
解析 ∵A，B是互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，
∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.
故选A.
4.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( )
①恰有一名男生和全是男生；
②至少有一名男生和至少有一名女生；
③至少有一名男生和全是男生；
④至少有一名男生和全是女生.
A.①③④ B.②③④
C.②③ D.①④
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 D
解析 ①是互斥事件.恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；②不是互斥事件；③不是互斥事件；④是互斥事件.至少有一名男生与全是女生不可能同时发生.
5.下列四个命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件.其中错误命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
考点 互斥事件
题点 互斥事件的判断
答案 D
解析 对立事件首先是互斥事件，故①正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率的加法公式，故②不正确；概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故③不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确.比如在掷骰子试验中，设事件A＝{正面为奇数}，B＝{正面为1,2,3}，则P(A)＋P(B)＝1.而A，B不互斥，故④不正确.
6.某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为( )
A.0.09 B.0.97
C.0.99 D.0.96
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
答案 C
解析 因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到正品的概率是1－0.01＝0.99.
7.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
答案 D
解析 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为，4位同学都选周日的概率为，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P＝1－－＝＝，故选D.
8.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
答案 C
解析 由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝＝.
9.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间Y统计结果如下：
办理业务所需的时间Y/分
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时，据上表估计第三个顾客等待不超过4分钟就开始办理业务的概率为( )
A.0.28 B.0.3
C.0.15 D.0.31
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
答案 D
解析 第三个顾客等待不超过4分钟包括：
①第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，
②第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，
③第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时3分钟，
④第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，
⑤第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，
⑥第一个顾客办理业务用时3分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，
且这些事件彼此是互斥的，
故第三个顾客等待不超过4分钟的概率P＝0.1×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.3＋0.4×0.1＋0.4×0.4＋0.3×0.1＝0.31.
二、填空题
10.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
答案
解析 由题意知摸出的2只球的颜色相同的概率为，故所求概率P＝1－＝.
11.某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是________.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
答案
解析 设a，b分别为甲、乙摸出球的编号.由题意，摸球试验共有36种不同的结果，满足a＝b的基本事件共有6种.所以摸出编号不同的概率P＝1－＝.
12.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人.
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
答案 120
解析 可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－＝.再由题意，知n－n＝12，解得n＝120.
三、解答题
13.国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员在一次射击中：
(1)命中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
解 记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak之间彼此互斥.
(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6.
(2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
四、探究与拓展
14.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)内为二等品，在区间[10,15)和[30,35]内为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )
A.0.09 B.0.20
C.0.25 D.0.45
考点 概率的几个基本性质
题点 对立事件的概率
答案 D
解析 由题意可知，除去一等品和三等品就是二等品，故可用对立事件的概率公式求解.由图可知抽得一等品的概率为0.06×5＝0.3，抽得三等品的概率为(0.02＋0.03)×5＝0.25，故抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
15.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
派出人数
≤2
3
4
5
≥6
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率；
(2)求至少有3人外出家访的概率.
考点 概率的几个基本性质
题点 互斥事件的概率
解 (1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C，D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
