3.2古典概型学案
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§3.2 古典概型
学习目标 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.理解(整数值)随机数(random numbers)的产生.
知识点一 基本事件
思考 掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面向上，结果有哪些？
答案 结果有4个，即正正、正反、反正、反反.
梳理 基本事件
(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件.
(2)特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
知识点二 古典概型
古典概型
(1)定义：古典概型满足的条件：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个基本事件出现的可能性相等.
(2)计算公式：对于古典概型，任何事件的概率为
P(A)＝.
知识点三 随机数的产生
1.随机数的产生
(1)标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n.
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌.
(3)摸取：从中摸出一个.
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.
2.伪随机数的产生
(1)规则：依照确定算法.
(2)特点：具有周期性(周期很长).
(3)性质：它们具有类似随机数的性质.
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数.
3.产生随机数的常用方法
(1)用计算器产生.(2)用计算机产生.(3)抽签法.
4. 随机模拟方法(蒙特卡罗方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.
1.任何一个事件都是一个基本事件.( × )
2.每一个基本事件出现的可能性相等.( √ )
3.古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的.( √ )
类型一 基本事件的计数问题
例1 将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个基本事件？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？
考点 基本事件
题点 求基本事件的个数
解 方法一 (列举法)：
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的所有结果为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件.
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).
方法二 (列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应.
(1)由图知，基本事件总数为36.
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出).
方法三 (树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.如图所示：
(1)由图知，共36个基本事件.
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出).
反思与感悟 基本事件的三个探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.
(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数.列表法适用于较简单的试验问题，基本事件数较多的试验不适合用列表法.
(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题.
跟踪训练1 一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)共有多少个基本事件？
(2)2个都是白球包含几个基本事件？
考点 基本事件
题点 求基本事件的个数
解 方法一 (1)采用列举法.
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号).
(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个基本事件.
方法二 (1)采用列表法.
设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球.
列表如下：
a
b
c
d
e
a
(a，b)
(a，c)
(a，d)
(a，e)
b
(b，a)
(b，c)
(b，d)
(b，e)
c
(c，a)
(c，b)
(c，d)
(c，e)
d
(d，a)
(d，b)
(d，c)
(d，e)
e
(e，a)
(e，b)
(e，c)
(e，d)
由于每次取2个球，因此每次所得的2个球不相同，而事件(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件.
(2)“2个都是白球”包含(a，b)，(b，c)，(a，c)三个基本事件.
类型二 古典概型的概率计算
例2 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况.
(1)一共有多少种不同的结果？
(2)点数之和为5的结果有多少种？
(3)点数之和为5的概率是多少？
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6种结果，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(种)不同的结果.
(2)点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种.
(3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36种结果是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的结果有4种，因此所求概率P(A)＝＝.
反思与感悟 首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断基本事件是否为等可能事件，并用字母A表示所求事件；再次，求出基本事件的总数n及事件A包含的基本事件的个数m；最后，利用公式
P(A)＝＝，求出事件A的概率.
跟踪训练2 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)事件A＝{三个数字中不含1和5}；
(2)事件B＝{三个数字中含1或5}.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
解 这个试验的基本事件为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n＝10.
(1)因为事件A＝{(2,3,4)}，
所以事件A包含的事件数m＝1.
所以P(A)＝＝.
(2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，
所以事件B包含的基本事件数m＝9.
所以P(B)＝＝.
类型三 整数随机模拟与应用
例3 盒中有大小、形状相同的5个白球和2个黑球，用随机模拟方法求下列事件的概率：
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，恰有两个白球；
(3)任取三球(分三次，每次放回再取)，恰有3个白球.
考点 (整数值)随机数的应用
题点 (整数值)随机数的应用
解 用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球.
(1)统计随机数个数N及小于6的个数N1，则即为任取一球，得到白球的概率的近似值.
(2)三个数一组(每组内不重复)，统计总组数M及恰好有两个数小于6的组数M1，则即为任取三个球，恰有两个白球的概率的近似值.
(3)三个数一组(每组内可重复)，统计总组数K及三个数都小于6的组数K1，则即为任取三球(分三次，每次放回再取)，恰有3个白球的概率的近似值.
反思与感悟 (1)做整数随机模拟试验时应注意的相关事项
做整数随机模拟试验时，首先要确定随机数的范围，明确哪个数字代表哪个试验结果.
①当试验的基本结果的可能性相等时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
②当研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及范围.
(2)抽签法、利用计算器或计算机产生随机数方法的比较：抽签法、利用计算器或计算机均可产生随机数、但抽签法能保证机会均等，而计算器或计算机产生的随机数为伪随机数，不能保证等可能性，当总体容量非常大时，常用这种方式近似代替随机数，但结果有一定误差.
跟踪训练3 袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 (整数值)随机数的应用
题点 (整数值)随机数的应用
答案 B
解析 20组随机数中，第一次不是4且第二次是4的数共有5组，故估计直到第二次就停止的概率为＝.
1.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出的三条线段为边可组成三角形的概率为( )
A.0 B.
C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案 B
解析 从中任取三条线段共有4种取法，能构成三角形的只有长度为2,3,4的线段，所以P＝，故选B.
2.在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )
A. B. C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案 B
解析 用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝＝.
3.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为________.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案
解析 设两个红球分别为A，B，两个白球分别为C，D，从中任取两个球，有如下取法：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种情形，其中颜色相同的有(A，B)，(C，D)，共2种情形，故P＝＝.
4.从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率为________.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案
解析 从2,3,8,9中任取2个分别记为(a，b)，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，其中符合loga b为整数的有log3 9和log2 8两种情况，
∴P＝＝.
5.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.求所取的2道题不是同一类题的概率.
考点 几类常见的古典概型
题点 与顺序无关的古典概型
解 将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
1.古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m，n.
2.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.
3.对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度.
一、选择题
1.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 几类常见的古典概型
题点 与顺序有关的古典概型
答案 A
解析 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1、红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P＝＝.
2.甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( )
A. B. C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案 A
解析 甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则一共有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P＝.
3.先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案 C
解析 抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P＝.
4.袋中有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案 C
解析 设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个.
两球颜色为一白一黑的基本事件有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个.
∴其概率为＝.
5.某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A.一定不会淋雨 B.淋雨机会为
C.淋雨机会为 D.淋雨机会为
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案 D
解析 用A，B分别表示下雨和不下雨，用a，b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝.
6.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆x2＋y2＝9内的概率为( )
A. B. C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 与顺序有关的古典概型
答案 D
解析 掷骰子共有6×6＝36(种)可能情况，而落在x2＋y2＝9内的情况有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种，故所求概率P＝＝.
7.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )
A. B. C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 与顺序有关的古典概型
答案 C
解析 所有基本事件的个数为6×6＝36.
由log2x y＝1得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，
所以或或
满足log2x y＝1，
故事件“log2x y＝1”包含3个基本事件，
所以所求的概率为P＝＝.
8.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
考点 几类常见的古典概型
题点 与顺序有关的古典概型
答案 D
解析 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得，基本事件的总数有36种.因此他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.
9.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人.从该车间6名工人中，任选2人，则至少有1名优秀工人的概率为( )
A. B. C. D.
考点 几类常见的古典概型
题点 与顺序无关的古典概型
答案 C
解析 由茎叶图可知6名工人日加工的零件个数为17,19,20,21,25,30.平均数为×(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，因为日加工零件个数大于22的为25,30，
所以优秀工人有2人.
从该车间6名工人中，任取2人共有15种取法：(17,19)，(17,20)，(17,21)，(17,25)，(17,30)，(19,20)，(19,21)，(19,25)，(19,30)，(20,21)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30).
其中至少有1名优秀工人的共有9种取法：(17,25)，(17,30)，(19,25)，(19,30)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30).
由概率公式可得P＝＝.故选C.
二、填空题
10.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________.
考点 几类常见的古典概型
题点 与顺序无关的古典概型
答案
解析 用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，，共15种，2名都是女同学的选法为ab，ac，bc，共3种，故所求的概率为＝.
11.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________.
考点 古典概型计算公式
题点 不放回型古典概型的计算
答案
解析 从5个数字中不放回地任取两数，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个.因为都为奇数的基本事件有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P＝.
三、解答题
12.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下表数据：
单价x(元)
3
4
5
6
7
销量y(件)
78
72
69
68
63
由表中数据，求得线性回归方程为＝－6x＋，若在这些样本点中任取一点，求它在回归直线左下方的概率.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
解答 ＝×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，
＝×(78＋72＋69＋68＋63)＝70.
∵线性回归方程为＝－6x＋，
∴70＝－6×5＋，解得＝100，
∴线性回归方程为＝－6x＋100，
数据(3,78)，(4,72)，(5,69)，(6,68)，(7,63)，5个点中有3个点在直线的左下方，即(3,78)，(4,72)，(5,69).
故在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为P＝.故选C.
13.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1,150×＝3,100×＝2，
所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，C1}，{A1，C2}，
{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，
{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，
共15个.
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件出现的机会是等可能的.记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
四、探究与拓展
14．袋中装有球，从袋中不放回地取球，有三种游戏规则，具体规则如下：
规则编号
游戏①
袋中球数
1个红球和1个白球
规则
取1个球，取出的球是红球，则获胜
规则编号
游戏②
袋中球数
2个红球和2个白球
规则
取2个球，取出的球同色，则获胜
规则编号
游戏③
袋中球数
3个红球和1个白球
规则
取2个球，取出的球不同色，则获胜
若每个同学可选择参加两项游戏，则你选择哪两项游戏？并说出理由．
解 游戏①获胜的概率P1＝；
游戏②获胜的概率P2＝＝；
游戏③获胜的概率P3＝＝，所以选择参加游戏①与③.
15．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有1和2，1和3，共2个．因此所求事件的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
其中满足条件n≥m＋2的事件有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率P1＝.
故满足条件n
学习目标 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.理解(整数值)随机数(random numbers)的产生.
知识点一 基本事件
思考 掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面向上，结果有哪些？
答案 结果有4个，即正正、正反、反正、反反.
梳理 基本事件
(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件.
(2)特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
知识点二 古典概型
古典概型
(1)定义：古典概型满足的条件：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个基本事件出现的可能性相等.
(2)计算公式：对于古典概型，任何事件的概率为
P(A)＝.
知识点三 随机数的产生
1.随机数的产生
(1)标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n.
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌.
(3)摸取：从中摸出一个.
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.
2.伪随机数的产生
(1)规则：依照确定算法.
(2)特点：具有周期性(周期很长).
(3)性质：它们具有类似随机数的性质.
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数.
3.产生随机数的常用方法
(1)用计算器产生.(2)用计算机产生.(3)抽签法.
4. 随机模拟方法(蒙特卡罗方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.
1.任何一个事件都是一个基本事件.( × )
2.每一个基本事件出现的可能性相等.( √ )
3.古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的.( √ )
类型一 基本事件的计数问题
例1 将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个基本事件？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？
考点 基本事件
题点 求基本事件的个数
解 方法一 (列举法)：
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的所有结果为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件.
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).
方法二 (列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应.
(1)由图知，基本事件总数为36.
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出).
方法三 (树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.如图所示：
(1)由图知，共36个基本事件.
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出).
反思与感悟 基本事件的三个探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.
(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数.列表法适用于较简单的试验问题，基本事件数较多的试验不适合用列表法.
(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题.
跟踪训练1 一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)共有多少个基本事件？
(2)2个都是白球包含几个基本事件？
考点 基本事件
题点 求基本事件的个数
解 方法一 (1)采用列举法.
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号).
(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个基本事件.
方法二 (1)采用列表法.
设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球.
列表如下：
a
b
c
d
e
a
(a，b)
(a，c)
(a，d)
(a，e)
b
(b，a)
(b，c)
(b，d)
(b，e)
c
(c，a)
(c，b)
(c，d)
(c，e)
d
(d，a)
(d，b)
(d，c)
(d，e)
e
(e，a)
(e，b)
(e，c)
(e，d)
由于每次取2个球，因此每次所得的2个球不相同，而事件(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件.
(2)“2个都是白球”包含(a，b)，(b，c)，(a，c)三个基本事件.
类型二 古典概型的概率计算
例2 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况.
(1)一共有多少种不同的结果？
(2)点数之和为5的结果有多少种？
(3)点数之和为5的概率是多少？
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6种结果，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(种)不同的结果.
(2)点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种.
(3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36种结果是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的结果有4种，因此所求概率P(A)＝＝.
反思与感悟 首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断基本事件是否为等可能事件，并用字母A表示所求事件；再次，求出基本事件的总数n及事件A包含的基本事件的个数m；最后，利用公式
P(A)＝＝，求出事件A的概率.
跟踪训练2 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)事件A＝{三个数字中不含1和5}；
(2)事件B＝{三个数字中含1或5}.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
解 这个试验的基本事件为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n＝10.
(1)因为事件A＝{(2,3,4)}，
所以事件A包含的事件数m＝1.
所以P(A)＝＝.
(2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，
所以事件B包含的基本事件数m＝9.
所以P(B)＝＝.
类型三 整数随机模拟与应用
例3 盒中有大小、形状相同的5个白球和2个黑球，用随机模拟方法求下列事件的概率：
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，恰有两个白球；
(3)任取三球(分三次，每次放回再取)，恰有3个白球.
考点 (整数值)随机数的应用
题点 (整数值)随机数的应用
解 用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球.
(1)统计随机数个数N及小于6的个数N1，则即为任取一球，得到白球的概率的近似值.
(2)三个数一组(每组内不重复)，统计总组数M及恰好有两个数小于6的组数M1，则即为任取三个球，恰有两个白球的概率的近似值.
(3)三个数一组(每组内可重复)，统计总组数K及三个数都小于6的组数K1，则即为任取三球(分三次，每次放回再取)，恰有3个白球的概率的近似值.
反思与感悟 (1)做整数随机模拟试验时应注意的相关事项
做整数随机模拟试验时，首先要确定随机数的范围，明确哪个数字代表哪个试验结果.
①当试验的基本结果的可能性相等时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
②当研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及范围.
(2)抽签法、利用计算器或计算机产生随机数方法的比较：抽签法、利用计算器或计算机均可产生随机数、但抽签法能保证机会均等，而计算器或计算机产生的随机数为伪随机数，不能保证等可能性，当总体容量非常大时，常用这种方式近似代替随机数，但结果有一定误差.
跟踪训练3 袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 (整数值)随机数的应用
题点 (整数值)随机数的应用
答案 B
解析 20组随机数中，第一次不是4且第二次是4的数共有5组，故估计直到第二次就停止的概率为＝.
1.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出的三条线段为边可组成三角形的概率为( )
A.0 B.
C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案 B
解析 从中任取三条线段共有4种取法，能构成三角形的只有长度为2,3,4的线段，所以P＝，故选B.
2.在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )
A. B. C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案 B
解析 用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝＝.
3.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为________.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案
解析 设两个红球分别为A，B，两个白球分别为C，D，从中任取两个球，有如下取法：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种情形，其中颜色相同的有(A，B)，(C，D)，共2种情形，故P＝＝.
4.从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率为________.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案
解析 从2,3,8,9中任取2个分别记为(a，b)，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，其中符合loga b为整数的有log3 9和log2 8两种情况，
∴P＝＝.
5.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.求所取的2道题不是同一类题的概率.
考点 几类常见的古典概型
题点 与顺序无关的古典概型
解 将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
1.古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m，n.
2.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.
3.对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度.
一、选择题
1.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 几类常见的古典概型
题点 与顺序有关的古典概型
答案 A
解析 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1、红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P＝＝.
2.甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( )
A. B. C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案 A
解析 甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则一共有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P＝.
3.先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案 C
解析 抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P＝.
4.袋中有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案 C
解析 设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个.
两球颜色为一白一黑的基本事件有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个.
∴其概率为＝.
5.某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A.一定不会淋雨 B.淋雨机会为
C.淋雨机会为 D.淋雨机会为
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
答案 D
解析 用A，B分别表示下雨和不下雨，用a，b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝.
6.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆x2＋y2＝9内的概率为( )
A. B. C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 与顺序有关的古典概型
答案 D
解析 掷骰子共有6×6＝36(种)可能情况，而落在x2＋y2＝9内的情况有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种，故所求概率P＝＝.
7.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )
A. B. C. D.
考点 古典概型计算公式
题点 与顺序有关的古典概型
答案 C
解析 所有基本事件的个数为6×6＝36.
由log2x y＝1得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，
所以或或
满足log2x y＝1，
故事件“log2x y＝1”包含3个基本事件，
所以所求的概率为P＝＝.
8.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
考点 几类常见的古典概型
题点 与顺序有关的古典概型
答案 D
解析 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得，基本事件的总数有36种.因此他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.
9.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人.从该车间6名工人中，任选2人，则至少有1名优秀工人的概率为( )
A. B. C. D.
考点 几类常见的古典概型
题点 与顺序无关的古典概型
答案 C
解析 由茎叶图可知6名工人日加工的零件个数为17,19,20,21,25,30.平均数为×(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，因为日加工零件个数大于22的为25,30，
所以优秀工人有2人.
从该车间6名工人中，任取2人共有15种取法：(17,19)，(17,20)，(17,21)，(17,25)，(17,30)，(19,20)，(19,21)，(19,25)，(19,30)，(20,21)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30).
其中至少有1名优秀工人的共有9种取法：(17,25)，(17,30)，(19,25)，(19,30)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30).
由概率公式可得P＝＝.故选C.
二、填空题
10.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________.
考点 几类常见的古典概型
题点 与顺序无关的古典概型
答案
解析 用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，，共15种，2名都是女同学的选法为ab，ac，bc，共3种，故所求的概率为＝.
11.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________.
考点 古典概型计算公式
题点 不放回型古典概型的计算
答案
解析 从5个数字中不放回地任取两数，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个.因为都为奇数的基本事件有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P＝.
三、解答题
12.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下表数据：
单价x(元)
3
4
5
6
7
销量y(件)
78
72
69
68
63
由表中数据，求得线性回归方程为＝－6x＋，若在这些样本点中任取一点，求它在回归直线左下方的概率.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
解答 ＝×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，
＝×(78＋72＋69＋68＋63)＝70.
∵线性回归方程为＝－6x＋，
∴70＝－6×5＋，解得＝100，
∴线性回归方程为＝－6x＋100，
数据(3,78)，(4,72)，(5,69)，(6,68)，(7,63)，5个点中有3个点在直线的左下方，即(3,78)，(4,72)，(5,69).
故在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为P＝.故选C.
13.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
考点 古典概型计算公式
题点 古典概型概率公式的直接应用
解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1,150×＝3,100×＝2，
所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，C1}，{A1，C2}，
{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，
{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，
共15个.
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件出现的机会是等可能的.记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
四、探究与拓展
14．袋中装有球，从袋中不放回地取球，有三种游戏规则，具体规则如下：
规则编号
游戏①
袋中球数
1个红球和1个白球
规则
取1个球，取出的球是红球，则获胜
规则编号
游戏②
袋中球数
2个红球和2个白球
规则
取2个球，取出的球同色，则获胜
规则编号
游戏③
袋中球数
3个红球和1个白球
规则
取2个球，取出的球不同色，则获胜
若每个同学可选择参加两项游戏，则你选择哪两项游戏？并说出理由．
解 游戏①获胜的概率P1＝；
游戏②获胜的概率P2＝＝；
游戏③获胜的概率P3＝＝，所以选择参加游戏①与③.
15．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有1和2，1和3，共2个．因此所求事件的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
其中满足条件n≥m＋2的事件有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率P1＝.
故满足条件n