§1.1 任意角和弧度制
1．1.1 任意角
学习目标 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．
知识点一 角的相关概念
思考1 用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？
答案 角的构成要素有始边、顶点、终边．
思考2 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？
答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向．
梳理 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
知识点二 象限角
思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？
答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内．
梳理 在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
象限角：终边在第几象限就是第几象限角；
轴线角：终边落在坐标轴上的角．
知识点三 终边相同的角
思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
答案 它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角．
思考2 如何表示与60°终边相同的角？
答案 60°＋k·360°(k∈Z)．
梳理 终边相同角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
1．经过1小时，时针转过30°.( × )
提示 因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°.
2．终边与始边重合的角是零角．( × )
提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．
3．小于90°的角是锐角．( × )
提示 锐角是指大于0°且小于90°的角．
4．钝角是第二象限角．( √ )
5．第二象限角是钝角．( × )
提示 第二象限角不一定是钝角．
类型一 任意角概念的理解
例1 (1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角或直角或锐角．
其中正确说法的序号为________．(把正确说法的序号都写上)
(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．
考点 任意角的概念
题点 任意角的概念
答案 (1)① (2)－120°
解析 (1)锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③错误．
(2)分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.
反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小．
跟踪训练1 写出下列说法所表示的角．
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．
考点 任意角的概念
题点 任意角的概念
解 (1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.
类型二 象限角的判定
例2 (1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
考点 象限角、轴线角
题点 象限角
答案 D
解析 －120°为第三象限角，①错；－240°＝－360°＋120°，∵120°为第二象限角，∴－240°也为第二象限角，故②对；180°为轴线角；495°＝360°＋135°，∵135°为第二象限角，∴495°为第二象限角，故④对．故选D.
(2)已知α为第三象限角，则是第几象限角？
考点 象限角、轴线角
题点 象限角
解 因为α为第三象限角，
所以k·360°＋180°<α
所以k·180°＋90°<当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，
n·360°＋90°<所以终边在第二象限，
当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z，
n·360°＋270°<所以终边在第四象限．
综上可知，是第二象限角或第四象限角．
反思与感悟 (1)判断象限角的步骤
①当0°≤α<360°时，直接写出结果；
②当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．
(2)一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，…，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．
跟踪训练2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
考点 象限角、轴线角
题点 象限角
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
类型三 终边相同的角
命题角度1 求与已知角终边相同的角
例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)[360°，720°)的角．
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合
例4 写出终边在直线y＝－x上的角的集合．
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
解 终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．
跟踪训练4 写出终边在直线y＝x上的角的集合．
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
解 终边在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.
1．下列说法正确的是( )
A．终边相同的角一定相等
B．钝角一定是第二象限角
C．第四象限角一定是负角
D．小于90°的角都是锐角
考点 终边相同的角
题点 任意角的综合应用
答案 B
2．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
答案 C
解析 －457°＝－2×360°＋263°，故选C.
3．2 018°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
考点 象限角、轴线角
题点 象限角
答案 C
解析 2 018°＝5×360°＋218°，故2 018°是第三象限角．
4．已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________．
考点 任意角的概念
题点 任意角的概念
答案 1 110°
解析 3×360°＋30°＝1 110°.
5.如图所示．
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角；
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；
(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；
(4)k∈Z这一条件不能少．
一、选择题
1．(2017·甘肃兰州一中期末)下列命题正确的是( )
A．终边在x轴非正半轴上的角是零角
B．第二象限角一定是钝角
C．第四象限角一定是负角
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同
考点 终边相同的角
题点 任意角的综合应用
答案 D
解析 终边在x轴非正半轴上的角为k·360°＋180°，k∈Z，零角为0°，所以A错误；480°角为第二象限角，但不是钝角，所以B错误；285°角为第四象限角，但不是负角，所以C错误，故选D.
2．(2017·济宁高一检测)下列各角中，与60°角终边相同的角是( )
A．－300° B．－60°
C．600° D．1 380°
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
答案 A
解析 与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，
令k＝－1，则α＝－300°.
3．把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．315°－5×360° B．45°－4×360°
C．－315°－4×360° D．－45°－10×180°
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
答案 A
解析 可以估算－1 485°介于－5×360°与－4×360°之间．∵0°≤α＜360°，∴k＝－5，则α＝315°.
4．(2017·河北邯郸一中月考)已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则A，B，C关系正确的是( )
A．B＝A∩C B．B∪C＝C
C．A?C D． A＝B＝C
考点 象限角、轴线角
题点 象限角
答案 B
解析 由题意得B?(A∩C)，故A错误；B?C，所以B∪C＝C，故B正确；A与C互不包含，故C错误；由以上分析可知D错误．
5．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
考点 象限角、轴线角
题点 象限角
答案 C
解析 可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
6．时针走过了2小时40分，则分针转过的角度是( )
A．80° B．－80°
C．960° D．－960°
考点 任意角的概念
题点 任意角的概念
答案 D
解析 分针转过的角是负角，且分针每转一周是－360°，故共转了－360°×＝－960°.
7．(2017·临沂高一检测)角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
答案 B
解析 方法一 (特殊值法)令α＝30°，β＝150°，
则α＋β＝180°.
方法二 (直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
8．设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则( )
A．A∩B＝? B．A?B
C．B?A D．A＝B
考点 终边相同的角
题点 任意角的综合应用
答案 D
解析 对于集合A，
α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°
或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°
＝45°＋(2k＋1)·90°.
∵k∈Z，
∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，
∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，
又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，
∴A＝B.故选D.
二、填空题
9．已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
答案 240°
解析 与α＝－3 000°终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，
令－3 000°＋k·360°>0°，解得k>，
故当k＝9时，θ＝240°满足条件．
10．若α＝k·360°＋45°，k∈Z，则是第________象限角．
考点 象限角、轴线角
题点 象限角
答案 一或三
解析 ∵α＝k·360°＋45°，k∈Z，
∴＝k·180°＋22.5°，k∈Z.
当k为偶数，即k＝2n，n∈Z时，
＝n·360°＋22.5°，n∈Z，∴为第一象限角；
当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，
＝n·360°＋202.5°，n∈Z，∴为第三象限角．
综上，是第一或第三象限角．
11.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是____________________．
考点 终边相同的角
题点 任意角的综合应用
答案 {α|α＝120°＋k·360°，k∈Z} {315°，－45°}
{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
解析 终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}．
终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}，
取k＝0，－1得α＝315°，－45°.
故终边落在OB的位置上，
且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}．
终边落在阴影部分的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．
12．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝________________.
考点 终边相同的角
题点 任意角的综合应用
答案 {－126°，－36°，54°，144°}
解析 当k＝－1时，α＝－126°；
当k＝0时，α＝－36°；
当k＝1时，α＝54°；
当k＝2时，α＝144°.
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
13．已知角β的终边在直线x－y＝0上．则角β的集合S为__________．
考点 终边相同的角
题点 任意角的综合应用
答案 {β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}
解析 如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
14．(2017·山东临沂一中月考)若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________.
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
答案 270°
解析 ∵角5α与α具有相同的始边与终边，
∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，
∴α＝k·90°，k∈Z，
又180°<α<360°，∴当k＝3时，α＝270°.
三、解答题
15．(2017·山西平遥一中月考)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到A点，并且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值．
考点 终边相同的角
题点 任意角的综合应用
解 根据题意，可知14α，14β均为360°的整数倍，
故可设14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z，
则α＝·180°，m∈Z，β＝·180°，n∈Z.
由两只蚂蚁在第2 s时均位于第二象限，知2α，2β均为第二象限角．
团为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，
所以2α，2β均为钝角，即90°<2α<2β<180°，
于是45°<α<90°，45°<β<90°.
所以45°<·180°<90°，45°<·180°<90°，
即又α<β，所以m即α＝，β＝.
1．1.2 弧度制
学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．
知识点一 角度制与弧度制
思考1 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？
答案 周角的等于1度．
思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？
答案 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示．
思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
答案 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
梳理 (1)角度制和弧度制
角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
知识点二 角度制与弧度制的换算
思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
答案 利用1°＝ rad和1 rad＝°进行弧度与角度的换算．
梳理 (1)角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017_45 rad
1 rad＝°≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
知识点三 扇形的弧长及面积公式
思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
答案 设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则：
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αR
扇形的面积
S＝
S＝lR＝αR2
1．1 rad的角和1°的角大小相等．( × )
提示 1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝ rad.
2．用弧度来表示的角都是正角．( × )
提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数．
3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( √ )
提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
类型一 角度与弧度的互化
例1 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
考点 弧度制
题点 角度与弧度的互化
解 (1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可．
跟踪训练1 (1)把下列角度化成弧度：
①－150°＝________；②2 100°＝________；
③11°15′＝________；④112°30′＝________.
(2)把下列弧度化成角度：
①＝________；②－＝________；
③＝________；④－＝________.
考点 弧度制
题点 角度与弧度的互化
答案 (1)①－ ②π ③ ④
(2)①30° ②－300° ③81° ④－75°
类型二 用弧度制表示终边相同的角
例2 把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 500°；(2)；(3)－4.
考点 弧度制的应用
题点 弧度制的应用
解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角．
(2)∵＝2π＋，
∴与终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π.
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
(2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角．
考点 弧度制的应用
题点 弧度制的应用
解 (1)∵－1 480°＝－1 480×＝－，
而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，∴α＝.
∴－1 480°＝＋2×(－5)π.
(2)∵＝×°＝72°，
∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.
∴在[0°，720°]内与角终边相同的角为72°，432°.
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用
例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为( )
A．π B. C. D.
(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A．2 B. C．2sin 1 D.
考点 扇形的弧长与面积公式
题点 扇形的弧长与面积公式的综合应用
答案 (1)A (2)D
解析 (1)扇形的中心角为120°＝，半径为，
所以S扇形＝|α|r2＝××()2＝π.
(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2×＝.
反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算．
跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
考点 扇形的弧长与面积公式
题点 扇形的弧长与面积公式的综合应用
解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
1．下列说法正确的是( )
A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
考点 弧度制
题点 弧度制的定义
答案 D
解析 由弧度的定义可知D正确．
2．把化为角度是( )
A．270° B．280° C．288° D．318°
考点 弧度制
题点 角度与弧度的互化
答案 C
解析 ＝×°＝288°.
3．若θ＝－5，则角θ的终边在( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
考点 弧度制的应用
题点 弧度制的应用
答案 D
解析 2π－5与－5的终边相同，
∵2π－5∈，
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．
4．已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
考点 扇形的弧长与面积公式
题点 扇形的面积公式
答案 C
解析 由S＝|α|r2得＝×α×12，所以α＝.
5．已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：
(1)弧AB的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
考点 扇形的弧长与面积公式
题点 扇形的弧长与面积公式的综合应用
解 (1)l＝α·R＝π×6＝4π，
所以弧AB的长为4π.
(2)S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120°，
所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，
于是有S△OAB＝×AB×OD
＝×2×6cos 30°×3＝9.
所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
所以弓形的面积是12π－9.
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．
一、选择题
1．下列说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
考点 弧度制
题点 弧度制的定义
答案 D
解析 根据1度，1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.
2．－240°化为弧度是( )
A．－π B．－π
C．－π D．－π
考点 弧度制
题点 角度与弧度的互化
答案 A
解析 －240°＝－240×＝－π.
3．(2017·潍坊检测)圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是( )
A. cm2 B. cm2 C．π cm2 D．3π cm2
考点 扇形的弧长与面积公式
题点 扇形的面积公式
答案 B
解析 因为15°＝，所以l＝×6＝(cm)，
所以S＝lr＝××6＝(cm2)．
4．设角α＝－2弧度，则α所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 弧度制的应用
题点 弧度制的应用
答案 C
解析 ∵－π<－2<－，
∴2π－π<2π－2<2π－，
即π<2π－2<π，
∴2π－2为第三象限角，∴α为第三象限角．
5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A．－π B．－2π
C．π D．－π
考点 弧度制的应用
题点 弧度制的应用
答案 A
解析 ∵－π＝－2π＋
＝2×(－1)π＋，
∴θ＝－π.
6．若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )
A．1∶3 B．2∶3
C．4∶3 D．4∶9
考点 扇形的弧长与面积公式
题点 扇形的面积公式
答案 B
解析 设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，
则R＝r＋＝r＋2r＝3r.∴S内切圆＝πr2.
S扇形＝αR2＝××R2＝××9r2＝πr2.
∴S内切圆∶S扇形＝2∶3.
7.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )
A．6 m2 B．9 m2
C．12 m2 D．15 m2
考点 扇形的弧长与面积公式
题点 扇形的弧长与面积公式的综合应用
答案 B
解析 根据题设，弦＝2×4sin＝4(m)，
矢＝4－2＝2(m)，
故弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)
＝4＋2≈9(m2)．
二、填空题
8．(2017·宜春检测)－π是第________象限的角．
考点 弧度制的应用
题点 弧度制的应用
答案 三
解析 因为－π＝－6π－π，而－π是第三象限的角，所以－π是第三象限的角．
9．(2017·陕西榆林一中月考)圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．
考点 扇形的弧长与面积公式
题点 扇形的弧长公式
答案 2
解析 设圆的半径为r，其外切正三角形的边长为a，
则r＝××a＝a，又弧长为a，
所以圆心角为α＝＝＝＝2.
10．时针经过一小时，转过了________．
考点 弧度制的应用
题点 弧度制的应用
答案 － rad
解析 时针经过一小时，转过－30°，
又－30°＝－ rad.
11．如果圆心角为的扇形所对的弦长为2，则扇形的面积为________．
考点 扇形的弧长与面积公式
题点 扇形的弧长与面积公式的综合应用
答案
解析 如图，作BF⊥AC.已知AC＝2，∠ABC＝，
则AF＝，∠ABF＝.
∴AB＝＝2，即R＝2.
∴弧长l＝|α|R＝，∴S＝lR＝.
12.π是第________象限角．
答案 三
解析 ＝20π＋.
∵与终边相同，
又∵是第三象限角，
∴是第三象限角．
三、解答题
13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是a，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
考点 扇形的弧长与面积公式
题点 扇形的弧长与面积公式的综合应用
解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10(cm)，∴l＝αR＝ (cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin ×10×cos ＝50 (cm2)．
(2)∵l＋2R＝a，∴l＝a－2R，
从而S＝·l·R＝(a－2R)·R
＝－R2＋R＝－2＋.
∴当半径R＝时，l＝a－2·＝，
扇形面积的最大值是，这时α＝＝2(rad)．
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为时，扇形面积最大，为.
四、探究与拓展
14．如图，已知一个长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．
考点 扇形的弧长与面积公式
题点 扇形的弧长与面积公式的综合应用
解 AA1所在圆弧的半径是2 dm，圆心角为；A1A2所在圆弧的半径是1 dm，圆心角为；A2A3所在圆弧的半径是 dm，圆心角为，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是×2×π＋×＋××＝(dm2)．
§1.2 任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数(一)
学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．
知识点一 任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
答案 sin α＝，cos α＝，tan α＝.
思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
答案 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
梳理 (1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
(2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的正弦，记作sin_α，
即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝ (x≠0)．
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．当α为第一象限角时，y>0, x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．
梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三 诱导公式一
思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．
梳理 诱导公式一
sin?α＋k·2π?＝sin α，
cos?α＋k·2π?＝cos α，
tan?α＋k·2π?＝tan α，
其中k∈Z.
1．sin α，cos α，tan α的大小与点P(x，y)在角α的终边上的位置有关．( × )
提示 三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的位置无关．
2．终边相同的角的同名三角函数值相等．( √ )
提示 由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等.
类型一 三角函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值
例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝ .
又∵cos θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 r＝＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
∴2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
综上所述，2sin α＋cos α＝±1.
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，＝＝＝，
∴10sin α＋＝10×＋3
＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
∴10sin α＋＝10×＋3×(－)
＝3－3＝0.
综上所述，10sin α＋＝0.
反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.
跟踪训练2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝，
tan α＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－－－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×－＝＋－＝.
综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－或.
类型二 三角函数值符号的判断
例3 判断下列各式的符号：
(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5.
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
(2)∵＜3＜π＜4＜＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
跟踪训练3 已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 二
解析 由题意知tan α<0，cos α<0，
∴α是第二象限角．
类型三 诱导公式一的应用
例4 求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋cos·tan 4π.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin ＋cos ×0＝.
反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．
跟踪训练4 求下列各式的值：
(1)cos ＋tan；
(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
解 (1)原式＝cos＋tan
＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.
1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( )
A． B．
C．－ D．－
考点 任意角的三角函数
题点 任意角三角函数的定义
答案 D
解析 由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，
所以cos α＝＝－.故选D.
2．sin 的值是( )
A．－ B． C．－ D．
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
答案 B
解析 sin＝sin＝sin＝.
3．已知角α的终边与单位圆交于点，则tan α等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
考点 任意角的三角函数
题点 任意角三角函数的定义
答案 D
解析 根据三角函数的定义，知tan α＝＝－.
4．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 D
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D.
5．已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 ①当k>0时，令x＝24k，y＝7k，
则有r＝＝25k，
∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
②当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝.
1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．
2．角α的三角函数值的符号只与角α的终边所在象限有关，由角α的终边所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.
一、选择题
1．(2017·长沙检测)sin(－315°)的值是( )
A．－ B．－ C. D.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
答案 C
解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.
2．(2017·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于( )
A. B．－ C．－ D．－
考点 任意角的三角函数
题点 任意角三角函数的定义
答案 C
解析 由题意得P(1，－)，它与原点的距离r＝＝2，∴sin α＝－.
3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 D
4．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
考点 任意角的三角函数
题点 任意角三角函数的定义
答案 D
解析 ∵cos α＝＝＝x，
∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3，
∴x＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x＝(舍去)或x＝－.故选D.
5．(2017·黄山检测)θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( )
A．sin B．cos C．tan D．cos 2θ
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 C
解析 因为θ是第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以tan >0.
6．某点从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A. B.
C. D.
考点 任意角的三角函数
题点 任意角三角函数的定义
答案 A
解析 由三角函数定义可得Q，
cos ＝－，sin＝.
7．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 C
解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
∴∴θ为第三象限角．
二、填空题
8．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
答案
解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
9．(2017·广州检测)设角θ的终边经过点P(－3,4)，那么sin θ＋2cos θ＝________.
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
答案 －
解析 根据三角函数的定义，sin θ＝，cos θ＝(其中r＝)，由角θ的终边经过点P(－3,4)，可得r＝＝5，sin θ＝，cos θ＝－，
所以sin θ＋2cos θ＝－2×＝－.
10．(2017·山东烟台一中期末)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围是________．
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 (－2,3]
解析 ∵点(3a－9，a＋2)在角α的终边上，
sin α>0，cos α≤0，
∴解得－211．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，则sin θ＋cos θ＝________.
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
答案 0或－
解析 ∵θ的终边过点P(x，－1)(x≠0)，
∴tan θ＝－.
又tan θ＝－x，
∴x2＝1，即x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝，
因此sin θ＋cos θ＝0；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，
因此sin θ＋cos θ＝－.
故sin θ＋cos θ的值为0或－.
12．已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
答案 ，，或－，－，
解析 因为角α的终边在直线y＝x上，
所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，
则r＝＝2|a|(a≠0)．
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝＝，cos α＝＝，
tan α＝＝.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，cos α＝－＝－，
tan α＝＝.
13．sin π＋cos π＋cos(－5π)＋tan ＝________.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
答案 －1
解析 原式＝sin π＋cos ＋cos π＋1
＝－1＋0－1＋1＝－1.
14．函数y＝＋－的值域是________________．
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 {－4,0,2}
解析 由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，
当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，
sin xcos x>0，y＝0；
当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，
sin xcos x<0，y＝2；
当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，
sin xcos x>0，y＝－4；
当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，
sin xcos x<0，y＝2.
故函数y＝＋－的值域为{－4,0,2}．
三、解答题
15．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 (1)∵＝－，
∴sin α＜0.①
∵lg(cos α)有意义，
∴cos α＞0.②
由①②得角α的终边在第四象限．
(2)∵点M在单位圆上，
∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，∴m＜0，∴m＝－.
由三角函数定义知，sin α＝－.
1．2.1 任意角的三角函数(二)
学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一 三角函数的定义域
思考 正切函数y＝tan x为什么规定x∈R且x≠kπ＋，k∈Z?
答案 当x＝kπ＋，k∈Z时，角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P(0，yP)，因为无意义，因而x的正切值不存在．所以对正切函数y＝tan x，必须要求x∈R且x≠kπ＋，k∈Z.
梳理 正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是.
知识点二 三角函数线
思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？
答案 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.
思考2 三角函数线的方向是如何规定的？
答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值．
思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？
答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．
梳理
图示
正弦线
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线
余弦线
有向线段OM即为余弦线
正切线
过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线
1．正弦线MP也可写成PM.( × )
提示 三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒．
2．三角函数线都只能取非负值．( × )
提示 三角函数线表示的值也可取负值．
3．当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．( √ )
4．当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．( √ )
类型一 三角函数线
例1 作出－的正弦线、余弦线和正切线．
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
解 如图所示，
sin＝MP，
cos＝OM，
tan＝AT.
反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合．
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
解 已知角α的正弦值，可知P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为.
类型二 利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
解 如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
显然|MP|>|M′P′|，符号皆正，
∴sin>sin；
|OM|<|OM′|，符号皆负，
∴cos>cos；
|AT|>|AT′|，符号皆负，
∴tan反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．
跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.
如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M1P1，M2P2.
∵|M1P1|>|M2P2|，且符号皆正，
∴sin 1 155°>sin(－1 654°)．
类型三 利用三角函数线解不等式(组)
命题角度1 利用三角函数线解不等式?组?
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足要求的角α的集合为.
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为.
反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：
(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；
(2)注意区间是开区间还是闭区间．
跟踪训练3 已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
即.
命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域
例4 求函数y＝lg＋的定义域．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 由题意知，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
跟踪训练4 求函数f(x)＝的定义域．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 要使函数f(x)有意义，必须使2sin x－1≥0，
则sin x≥.
如图，画出单位圆，作x轴的平行直线y＝，
交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2，
分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，
易知这两条正弦线的长度都等于.
在[0,2π)内，sin＝sin＝.
因为sin x≥，所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，
所以函数f(x)的定义域为.
1.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线为PM，正切线为A′T′
B．正弦线为MP，正切线为A′T′
C．正弦线为MP，正切线为AT
D．正弦线为PM，正切线为AT
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
答案 C
2．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos αB．tan αC．sin αD．cos α考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
答案 A
解析 方法一 (特值法)令α＝，
则cos α＝，tan α＝，sin α＝，
故cos α方法二 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，则OM3．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在直线y＝x上
D．在直线y＝x或y＝－x上
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
答案 B
解析 由题意|sin α|＝1，∴sin α＝±1，则角α的终边在y轴上，故选B.
4．已知角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则角α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、四象限的角平分线上
D．第一、三象限的角平分线上
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
答案 C
解析 由角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则α的终边在第二、四象限的角平分线上．
5．(2017·九江检测)解不等式3tan α>－.
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 要使3tan α>－，即tan α>－.
由正切线知－＋kπ<α<＋kπ，k∈Z.
所以不等式的解集为，k∈Z.
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
2．三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了．
一、选择题
1．函数y＝tan的定义域为( )
A. B.
C. D.
考点 正切函数的定义域、值域
题点 正切函数的定义域
答案 C
解析 ∵x－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z.
2．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则( )
A．aC．b考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
答案 D
解析 ∵<<，作的三角函数线，
则sin＝MP，cos＝OM，
tan＝AT，
∴OM∴b3．如果MP，OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MPC．MP>OM>0 D．OM>MP>0
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
答案 D
解析 0<<，作三角函数线可知OM>MP>0.
4．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
答案 D
解析 角α的取值范围为图中阴影部分，
即∪.
5．有三个命题：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
答案 C
解析 和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.
6．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
答案 D
解析 因为＜3＜π，作出单位圆如图所示．
设MP，OM分别为a，b.
sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0，
所以sin 3－cos 3＞0.
因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|，
所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0.
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．
7．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限角，则cos α>cos β
B．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β
C．若α，β是第三象限角，则cos α>cos β
D．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
答案 D
解析 如图(1)，α，β的终边分别为OP，OQ，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时OMNQ，即sin α>sin β，所以ACNQ，即sin α>sin β，所以OMtan β，故选D.
(1)
二、填空题
8．函数y＝的定义域为________．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
答案 (k∈Z)
9．sin 1，cos 1，tan 1的大小关系是________．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
答案 cos 1解析 由题意<1<，在单位圆中作出锐角α＝1的正切线、正弦线、余弦线，可知正切线最长，余弦线最短，所以有cos 110．若cos θ>sin ，利用三角函数线得角θ的取值范围是________________．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
答案 (k∈Z)
解析 因为cos θ>sin ，
所以cos θ>sin＝sin ＝，
易知角θ的取值范围是(k∈Z)．
11．函数f(x)＝的定义域为________．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
答案 (k∈Z)
解析 如图所示．
三、解答题
12．已知－≤sin θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 由三角函数线可知
sin ＝sin ＝，
sin ＝sin＝－，
且－≤sin θ<，
如图，画出单位圆，阴影部分即为所求．
故θ的取值集合是∪(k∈Z)．
四、探究与拓展
13．函数y＝logsin x(2cos x＋1)的定义域为________．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
答案
解析 由题意可知，要使函数有意义，则需
如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求．
所以所求函数的定义域为.
14．若α，β是关于x的一元二次方程x2＋2(cos θ＋1)x＋cos2θ＝0的两实根，且|α－β|≤2，求θ的范围．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 ∵方程有两实根，
∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos2θ≥0，
∴cos θ≥－.①
∵|α－β|≤2，∴(α＋β)2－4αβ≤8.
由根与系数的关系，得
α＋β＝－2(cos θ＋1)，αβ＝cos2θ，
∴4(cos θ＋1)2－4cos2θ≤8，即cos θ≤.②
由①②得－≤cos θ≤，
利用单位圆中的三角函数线可知＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z或＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z.
∴＋kπ≤θ≤＋kπ，k∈Z.
即θ的范围是(k∈Z)．
1．2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．
知识点 同角三角函数的基本关系式
思考1 计算下列式子的值：
(1)sin230°＋cos230°；
(2)sin245°＋cos245°；
(3)sin290°＋cos290°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它．
答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝x.
∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1.
思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
答案 ∵tan α＝(x≠0)，∴tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z)．
梳理 (1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
②商数关系：tan α＝ .
(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
②tan α＝的变形公式
sin α＝cos αtan α；cos α＝.
1．sin2α＋cos2β＝1.( × )
提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
2．sin2＋cos2＝1.( √ )
提示 在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1.
3．对任意的角α，都有tan α＝成立．( × )
提示 当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立.
类型一 利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
例1 (1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为( )
A. B．－ C. D．－
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的商数关系
答案 D
解析 ∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，
∴tan α＝＝－，故选D.
(2)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝ .
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的商数关系
答案 －
解析 ∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝，
即2sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，
∴α∈，
故sin α－cos α＝＝，
可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
反思与感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．
(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口．
跟踪训练1 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
解 由tan α＝＝，得sin α＝cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
例2 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
解 ∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．
跟踪训练2 已知cos α＝，求sin α，tan α的值．
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
解 ∵cos α＝>0且cos α≠1，
∴α是第一或第四象限角．
(1)当α是第一象限角时，则
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝.
(2)当α是第四象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝－.
类型二 齐次式求值问题
例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
解 (1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝.
反思与感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值．
(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式．
跟踪训练3 已知＝2，计算下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α－2sin αcos α＋1.
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
解 由＝2，化简，得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
类型三 三角函数式的化简与证明
例4 (1)化简：sin2αtan α＋＋2sin αcos α.
考点 运用基本关系式化简和证明
题点 运用基本关系式化简
解 原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝＝.
(2)求证：＝.
考点 运用基本关系式化简和证明
题点 运用基本关系式证明
证明 ∵右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
反思与感悟 (1)三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练4 化简tan α ，其中α是第二象限角．
考点 运用基本关系式化简和证明
题点 运用基本关系式化简
解 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故tan α ＝tan α ＝tan α
＝＝·＝－1.
1．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值为( )
A．－ B. C．± D．±
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的商数关系
答案 A
解析 ∵α为第二象限角，sin α＝，
∴cos α＝－，tan α＝－.
2．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于( )
A. B．－ C．－ D.
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的平方关系
答案 C
解析 由题意得(sin α－cos α)2＝，
即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－.故选C.
3．化简 的结果是( )
A．cos B．sin
C．－cos D．－sin
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的平方关系
答案 C
解析 ＝ ＝，
∵<<π，∴cos<0，
∴＝－cos，
即 ＝－cos，故选C.
4．若tan α＝2，则的值为( )
A．0 B. C．1 D.
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 B
解析 ＝＝＝.
5．求证：＝.
考点 运用基本关系式化简和证明
题点 运用基本关系式证明
证明 方法一 (比较法——作差)
∵－＝
＝＝0，
∴＝.
方法二 (比较法——作商)
∵＝＝
＝＝＝1.
∴＝.
1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．
2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．
3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．
4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．
5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.
一、选择题
1．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 C
解析 ∵α是第二象限角，∴cos α<0.
又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－，
∴cos α＝－.
2．(2017·阜阳检测)等于( )
A．sin B．cos C．－sin D．－cos
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的平方关系
答案 A
解析 ∵0<<，∴sin >0，
∴＝＝sin .
3．已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A. B．± C. D．－
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 C
解析 由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，
解得sin θcos θ＝.
4．函数y＝＋的值域是( )
A．{0,2} B．{－2,0}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 C
解析 y＝＋.
当x为第一象限角时，y＝2；
当x为第三象限角时，y＝－2；
当x为第二、四象限角时，y＝0.
5．(2017·四川成都树德中学期中)已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为( )
A. B．－ C. D．－
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的平方关系
答案 A
解析 由sin4θ＋cos4θ＝，得
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，
∴sin2θcos2θ＝，
∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，
∴sin θcos θ＝.
6．若π<α<，则 ＋的化简结果为( )
A. B．－ C. D．－
考点 运用基本关系式化简和证明
题点 运用基本关系式化简
答案 D
解析 原式＝ ＋
＝＋＝，
∵π<α<，∴原式＝－.
7．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )
A．－ B. C．－ D.
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 D
解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝.
二、填空题
8．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝ .
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 －
解析 由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，
且sin α＝－，
故原式＝＝
＝sin α(1＋sin α)＝×＝－.
9．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝ .
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 3或－
解析 因为sin α＋2cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，
联立解得或
故tan α＝＝－或3.
10．在△ABC中，sin A＝ ，则角A＝ .
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案
解析 由题意知cos A>0，即A为锐角．
将sin A＝ 两边平方得2sin2A＝3cos A.
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
∴A＝.
11．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝ ，tan2α＋＝ .
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 7
解析 ∵tan α＋＝3，∴＋＝3，
即＝3，
∴sin αcos α＝，
tan2α＋＝2－2tan α·
＝9－2＝7.
12．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋＝ .
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
解 tan α＋＝＋
＝＝.
∵sin α－cos α＝－，∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－，∴＝－8，
∴tan α＋＝－8.
三、解答题
13．已知＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
解 由已知＝，
∴＝，解得tan θ＝2.
(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ
＝
＝＝－.
四、探究与拓展
14．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为 ．
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 1
解析 ∵sin α＋cos α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.
当sin α＝0时，cos α＝1，
此时有sinnα＋cosnα＝1；
当cos α＝0时，sin α＝1，
也有sinnα＋cosnα＝1，
∴sinnα＋cosnα＝1.
15．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值；
(2)＋的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
解 (1)由根与系数的关系可知，
sin θ＋cos θ＝，①
sin θ·cos θ＝m.②
将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝，
所以sin θ·cos θ＝，
代入②得m＝.
(2)＋＝＋
＝＝sin θ＋cos θ＝.
(3)由(1)得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，
解得x1＝，x2＝.
所以或
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或.
§1.4 三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．
知识点一 正弦函数、余弦函数的概念
思考 从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？
答案 实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值．这样，任意给定一个实数x，有唯一确定的值sin x(或cos x)与之对应．由这个对应法则所确定的函数y＝sin x(或y＝cos x)叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R.
知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象
思考1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？
答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：
①作出单位圆：作平面直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；
②等分单位圆，作正弦线：从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份．过⊙O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于0，，，，…，2π等角的正弦线；
③找横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份；
④找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；
⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图．
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，如图．
思考2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？
答案 把y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，即可得到y＝cos x，x∈R的图象．
梳理 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象
思考1 描点法作函数图象有哪几个步骤？
答案 列表、描点、连线．
思考2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在x∈[0,2π]上的图象时是哪五个点？
答案
画正弦函数图象的五点
(0,0)
(π，0)
(2π，0)
画余弦函数图象的五点
(0,1)
(π，－1)
(2π，1)
梳理 “五点法”作正弦函数y＝sin x(x∈[0,2π])、余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的步骤
(1)列表
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
cos x
1
0
－1
0
1
(2)描点
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)；
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数y＝sin x(x∈[0,2π])、余弦函数y＝cos x(x∈[0,2π])的简图．
1．正弦函数y＝sin x的图象向左、右和上、下无限伸展．( × )
提示 正弦函数y＝sin x的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y＝1和y＝－1之间．
2．函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同．( × )
提示 二者图象不同，而是关于x轴对称．
3．余弦函数y＝cos x的图象与x轴有无数个交点．( √ )
4．余弦函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状和位置都不一样．( × )
提示 函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同．
类型一 “五点法”作图的应用
例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
考点 正弦函数的图象
题点 五点法作正弦函数的图象
解 取值列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
描点连线，如图所示．
反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
跟踪训练1 (1)用“五点法”作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
考点 余弦函数的图象
题点 五点法作余弦函数的图象
解 列表如下：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
0
1
2
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
(2)(2017·长沙检测)利用正弦或余弦函数图象作出y＝的图象．
考点 余弦函数的图象
题点 五点法作余弦函数的图象
解 由于y＝＝|cos x|，因此只需作出y＝|cos x|的图象即可，而y＝|cos x|可由y＝cos x将x轴下方的图象折到x轴上方，图象如下：
类型二 利用正、余弦函数图象解不等式
命题角度1 利用正、余弦函数图象解不等式
例2 利用正弦曲线，求满足考点 正弦函数的图象
题点 正弦函数图象的简单应用
解 首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0,2π]上，当所以反思与感悟 用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出不等式的解集．
跟踪训练2 使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
考点 正弦函数的图象
题点 正弦函数图象的简单应用
答案 C
解析 不等式可化为sin x≤.
方法一 作图，正弦曲线及直线y＝如图所示．
由图知，不等式的解集为.
方法二 如图所示，不等式的解集为.
命题角度2 利用正、余弦函数图象求定义域
例3 求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．
考点 正弦函数、余弦函数的定义域、值域
题点 正弦函数、余弦函数的定义域
解 由题意，得x满足不等式组
即
作出y＝sin x的图象，如图所示．
结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π)．
反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．
跟踪训练3 求函数y＝的定义域．
考点 正弦函数、余弦函数的定义域、值域
题点 正弦函数、余弦函数的定义域
解 为使函数有意义，需满足
即0由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，
可得函数的定义域为.
1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
考点 正弦函数的图象
题点 五点法作正弦函数的图象
答案 B
解析 “五点法”作图是当2x＝0，，π，，2π时的x的值，此时x＝0，，，，π，故选B.
2．下列图象中，y＝－sin x在[0,2π]上的图象是( )
考点 正弦函数的图象
题点 正弦函数图象的简单应用
答案 D
解析 由y＝sin x在[0,2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项．
3．不等式cos x<0，x∈[0,2π]的解集为________．
考点 余弦函数的图象
题点 余弦函数图象的简单应用
答案
解析 由函数y＝cos x的图象可知，不等式cos x<0的解集为.
4．请用“五点法”画出函数y＝sin的图象．
考点 正弦函数的图象
题点 五点法作正弦函数的图象
解 令X＝2x－，则当x变化时，y的值如下表：
X
0
π
2π
x
y
0
0
－
0
描点画图：
将函数在上的图象向左、向右平移即得y＝sin的图象．
5．若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围．
考点 正弦函数的图象
题点 正弦函数图象的简单应用
解 由题意可知，sin x－2m－1＝0在[0,2π]上有2个根，即sin x＝2m＋1有两个根，
可转化为y＝sin x与y＝2m＋1两函数的图象在[0,2π]上有2个交点．
由y＝sin x图象可知，
－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，
解得－1＜m＜0，且m≠－.
∴m∈∪.
1．对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．
2．作函数y＝asin x＋b的图象的步骤
3．用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出．
一、选择题
1．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )
A. B.
C．(π，0) D．(2π，0)
考点 正弦函数的图象
题点 五点法作正弦函数的图象
答案 A
解析 易知不是关键点．
2．用“五点法”作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
考点 正弦函数的图象
题点 五点法作正弦函数的图象
答案 A
解析 由“五点法”可知选A.
3．对于正弦函数y＝sin x的图象，下列说法错误的是( )
A．向左右无限伸展
B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
考点 正弦函数的图象
题点 正弦函数图象的简单应用
答案 D
解析 由正弦曲线知，A，B，C均正确，D不正确．
4．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
考点 余弦函数的图象
题点 余弦函数图象的简单应用
答案 D
解析 由题意得
y＝
显然只有D合适．
5．下列各组函数中图象相同的是( )
①y＝cos x与y＝cos(π＋x)
②y＝sin与y＝sin
③y＝sin x与y＝sin(－x)
④y＝sin(2π＋x)与y＝sin x
A．①③ B．①② C．③④ D．④
考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用
题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用
答案 D
解析 由诱导公式知，只有④中，y＝sin(2π＋x)＝sin x.
6．(2017·山东临沂一中月考)若sin θ＝1－log2x，则实数x的取值范围是( )
A．[1,4] B.
C．[2,4] D.
考点 正弦函数的图象
题点 正弦函数图象的简单应用
答案 A
解析 由正弦函数的图象，可知－1≤sin θ≤1，
所以－1≤1－log2x≤1，整理得0≤log2x≤2，
解得1≤x≤4，故选A.
7．方程sin x＝的根的个数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
考点 正弦函数的图象
题点 正弦函数图象的简单应用
答案 A
解析 在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示．
根据图象可知方程有7个根．
二、填空题
8．函数f(x)＝lg cos x＋的定义域为________．
考点 正弦函数、余弦函数的定义域、值域
题点 正弦函数、余弦函数的定义域
答案 ∪∪
解析 由题意，得x满足不等式组
即作出y＝cos x的图象，如图所示．
结合图象可得x∈∪∪.
9．函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是______________________．
考点 正弦函数的图象
题点 正弦函数图象的简单应用
答案
解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图象(图略)，由图易得－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈N.
10．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为________．
考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用
题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用
答案
解析 在同一坐标系中作出函数f(x)和g(x)的图象，
如图所示，
易知当x＝a＝kπ－(k∈Z)时，|MN|取得最大值＝.
11．(2017·长沙浏阳一中期末)有下列命题：
①y＝sin |x|的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)的图象与y＝cos|x|的图象相同；
③y＝|sin x|的图象与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos x的图象与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确命题的序号是________．
考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用
题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用
答案 ②④
解析 对于②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos|x|＝cos x，故其图象相同；对于④，y＝cos(－x)＝cos x，故这两个函数图象关于y轴对称，作图(图略)可知①③均不正确．
三、解答题
12．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的简图．
考点 正弦函数的图象
题点 五点法作正弦函数的图象
解 (1)取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
＋sin x
－
(2)描点、连线，如图所示．
13．根据y＝cos x的图象解不等式：－≤cos x≤，x∈[0，2π]．
考点 余弦函数的图象
题点 余弦函数图象的综合应用
解 函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为.
四、探究与拓展
14．已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为( )
A．4 B．8 C．4π D．2π
考点 正弦函数的图象
题点 正弦函数图象的简单应用
答案 C
解析 数形结合，如图所示．
y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.
15．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
考点 正弦函数的图象
题点 正弦函数图象的简单应用
解 f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
图象如图所示，
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1,3)．
