模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．sin 300°等于 ( )
A．－ B．－ C. D.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
答案 A
解析 sin 300°＝sin(－60°＋360°)＝sin(－60°)
＝－sin 60°＝－，故选A.
2．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则|a－b|的值为( )
A. B．1 C．2 D．3
考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点 利用坐标求向量的模
答案 B
解析 如图，将向量a，b的起点都移到原点，
即a＝，b＝，
则|a－b|＝||且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，
又因为|a|＝|b|＝1，
则△AOB为正三角形，从而||＝|a－b|＝1.
3．函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程可以为( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性
题点 正弦函数、余弦函数的对称性
答案 A
解析 ∵函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程为2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝π＋(k∈Z)．
当k＝0时，x＝，∴函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程可以为x＝.
4．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于( )
A．－＋
B．－－
C．－
D．＋
考点 向量加减法的综合运算及应用
题点 用已知向量表示未知向量
答案 A
解析 由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，
＝，∴＝＋＝－＋.故选A.
5．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A. B. C. D.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
答案 D
解析 f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin.
当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.
6．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||为( )
A. B. C．7 D．18
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的模
答案 A
解析 ∵＝(＋)＝(6p－q)，
∴||＝＝
＝
＝＝.
7.如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值等于( )
A．1 B．－ C. D．－
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 三角恒等变换的实际应用
答案 D
解析 小正方形的边长为cos θ－sin θ，即(cos θ－sin θ)2＝，得cos θ＝，sin θ＝，故sin2θ－cos2θ＝－.
8．若e1，e2是夹角为120°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2和b＝e2－2e1的夹角的余弦值是( )
A．－ B. C. D．－
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
答案 A
解析 设θ为a，b的夹角，cos θ＝
＝
＝＝－.
9．将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是( )
A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x
C．y＝sin D．y＝sin
考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换
题点 三角函数图象的平移变换
答案 D
解析 ∵f(x)＝sin，
∴将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度，
得f＝sin＝sin，
所得的图象对应的函数解析式是y＝sin，
故选D.
10．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在内单调递减
考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点 余弦函数性质的综合应用
答案 D
解析 当x∈时，x＋∈，函数在该区间内不单调．
11．(2017·山西晋城特立中学月考)已知ω＞0，函数f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)在上单调递减，则实数ω的取值范围是( )
A. B.
C. D．(0,2]
考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数的单调性的应用
答案 A
解析 因为f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)，
所以f(x)＝sin.
方法一 观察选项，取ω＝1，则f(x)＝sin在上单调递减，所以ω可以取1，故排除B，C；
再取ω＝2，则f(x)＝sin在上不单调，故ω≠2，故排除D，故选A.
方法二 因为ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，所以T＝≥2，得0＜ω≤2.
又＋＜ωx＋＜ωπ＋，
所以
解得≤ω≤，故选A.
12．(2016·四川)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是( )
A. B.
C. D.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 B
解析 建立平面直角坐标系如图所示，B(－，0)，C(，0)，A(0,3)，则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.
设P(x，y)，M(x0，y0)，
则＝(x0－x，y0－y)，
＝(－x0，－y0)．
因为＝，所以
所以x＝2x0－，y＝2y0，
代入点P的轨迹方程，得2＋2＝，
所以点M的轨迹方程为2＋2＝，
它表示以为圆心，以为半径的圆，
所以||max＝＋＝，
所以||＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 已知向量垂直求参数
答案 ±3
解析 因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)·(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.
14.＝________.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式化简
答案
解析 原式＝
＝＝.
15．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)＝________.
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案 2＋2
解析 由图象可知，f(x)＝2sinx的周期为8，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)＝f(1)＋f(2)＋f(3)
＝2sin＋2sin＋2sin＝2＋2.
16．给出下列四个命题：
①函数y＝tan x的图象关于点，k∈Z对称；
②函数f(x)＝sin|x|是最小正周期为π的周期函数；
③设θ为第二象限的角，则tan>cos，且sin>cos；
④函数y＝cos2x＋sin x的最小值为－1.
其中正确的命题是________．(填序号)
考点 和三角函数有关的几种复合函数
题点 和三角函数有关的几种复合函数
答案 ①④
解析 ①，k∈Z是正切函数的对称中心，∴①对；
②f(x)＝sin|x|不是周期函数，∴②错；
③∈，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，
sin
④∵y＝1－sin2x＋sin x＝－2＋，
∴当sin x＝－1时，ymin＝－1，∴④对．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
解 (1)tan＝＝＝－3.
(2)原式＝＝
＝＝1.
18．(12分)已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)．
(1)求|a－b|；
(2)求向量a＋b与向量a－b的夹角．
考点 平面向量数量积的应用
题点 向量模与夹角的综合应用
解 (1)因为a＋b＝(，1)，所以|a＋b|＝2，
所以a2＋2a·b＋b2＝4，
即1＋2a·b＋3＝4，得a·b＝0.
因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4，所以|a－b|＝2.
(2)设向量a＋b与向量a－b的夹角为θ，则有
cos θ＝＝＝＝－，
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即向量a＋b与向量a－b的夹角为.
19．(12分)已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
考点 两角差的余弦公式
题点 两角差的余弦公式的综合应用
解 (1)因为sin ＋cos ＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又＜α＜π，所以cos α＝－.
(2)因为＜α＜π，＜β＜π，
所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.
又sin＝－，得cos(α－β)＝.
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－.
20．(12分)已知a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f(x)＝2a·b＋2m－1(x，m∈R)．
(1)求f(x)关于x的表达式，并求f(x)的最小正周期；
(2)若当x∈时，f(x)的最小值为5，求m的值．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
解 (1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋2m－1
＝sin 2x＋cos 2x＋2m＝2sin＋2m，
∴f(x)的最小正周期是π.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，
函数f(x)取得最小值2m－1.
∵2m－1＝5，∴m＝3.
21．(12分)已知向量a＝(sin ωx＋cos ωx，sin ωx)，向量b＝(sin ωx－cos ωx,2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋1(x∈R)的图象关于直线x＝对称，其中常数ω∈(0,2)．
(1)若x∈，求f(x)的值域；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，用五点法作出函数g(x)在区间上的图象．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
解 (1)∵向量a＝(sin ωx＋cos ωx，sin ωx)，向量b＝(sin ωx－cos ωx,2cos ωx)，
∴f(x)＝a·b＋1＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1＝sin 2ωx－cos 2ωx＋1＝2sin＋1，
∵图象关于直线x＝对称，其中常数ω∈(0,2)．
∴2ω·－＝kπ＋，k∈Z，得ω＝＋1，k∈Z，
结合ω∈(0,2)，可得ω＝1，
∴f(x)＝2sin＋1，
∵x∈，∴2x－∈，
∴sin∈，
∴f(x)＝2sin＋1∈[0,3]，
即f(x)的值域为[0,3]．
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，
得y＝2sin＋1＝2sin 2x＋1.
再向下平移1个单位长度后得到函数g(x)＝2sin 2x.
列表：
2x
－π
－
0
π
x
－
－
0
y
0
－2
0
2
0
函数g(x)的图象为：
22．(12分)如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 三角恒等变换的实际应用
解 设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，
在Rt△ONC中，CN＝sin α，ON＝cos α，
OM＝＝DM＝CN＝sin α.
所以MN＝ON－OM＝cos α－sin α，
即AB＝cos α－sin α，而BC＝2CN＝2sin α，
故S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos α－sin α)·2sin α
＝2sin αcos α－2sin2α
＝sin 2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝2－
＝2sin－.
因为0＜α＜，所以0＜2α＜，＜2α＋＜，
故当2α＋＝，即α＝时，S矩形ABCD取得最大值，
此时S矩形ABCD＝2－.
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2017·哈尔滨高一检测)角α的终边上有一点P(a，a)(a≠0)，则sin α的值是( )
A. B．－ C．1 D.或－
考点 任意角的三角函数
题点 任意角三角函数的定义
答案 D
解析 r＝＝|a|，
所以sin α＝＝
所以sin α的值是或－.
2．计算cos(－780°)的值是( )
A．－ B．－ C. D.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
答案 C
解析 cos(－780°)＝cos 780°
＝cos(360°×2＋60°)＝cos 60°＝，故选C.
3．若cos θ>0，sin θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 D
解析 由题意且根据三角函数的定义sin θ＝<0，cos θ＝>0，∵r>0，∴y<0，x>0.∴θ在第四象限，故选D.
4．在直径为20 cm的圆中，165°圆心角所对应的弧长为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
考点 扇形的弧长与面积公式
题点 扇形的弧长公式
答案 B
解析 ∵165°＝×165 rad＝ rad，
∴l＝×10＝(cm)．
5．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为( )
A．1 B．－ C．－1 D．－4
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合应用诱导公式求值
答案 A
解析 根据任意角的三角函数定义，可得tan α＝3，
所以＝
＝tan α－＝－＝1.故选A.
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)与直线y＝的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是( )
A. B．π C．2π D．4π
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案 B
解析 ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)或ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
≥，≥，
令＝，得ω＝2，T＝＝π.
7．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
考点 三角函数的平移变换和伸缩变换
题点 三角函数的平移变换
答案 B
解析 函数y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos.故选B.
8．下列函数中，在区间上为减函数的是( )
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝tan x D．y＝sin
考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用
答案 A
解析 对于A，函数y＝cos x在区间上是减函数，满足题意；对于B，函数y＝sin x在区间上是增函数，不满足题意；对于C，函数y＝tan x在区间上是增函数，且在x＝时无意义，不满足题意；对于D，函数y＝sin在区间上是增函数，不满足题意．故选A.
9．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 正弦函数的最大值与最小值
答案 A
解析 因为0≤x≤9，所以0≤x≤，
－≤x－≤－，
即－≤x－≤，
所以当x－＝－时，y＝2sin(0≤x≤9)有最小值2sin＝－，
当x－＝时，
y＝2sin(0≤x≤9)有最大值2sin ＝2，
所以最大值与最小值之和为2－.
10．(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点 余弦函数性质的综合应用
答案 D
解析 A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；
B项，因为f(x)＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确；
C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；
D项，因为f(x)＝cos的单调递减区间为(k∈Z)，单调递增区间为(k∈Z)，所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，D项错误．故选D.
11．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
考点 求三角函数的解析式
题点 根据三角函数的图象求解析式
答案 A
解析 由已知可得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象经过点和点，则A＝2，T＝π，即ω＝2，则函数的解析式可化为y＝2sin(2x＋φ)，将代入得－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝，此时y＝2sin，故选A.
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9 C．7 D．5
考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点 正弦函数性质的综合应用
答案 B
解析 因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT(k∈N)，即＝·T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知0考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的商数关系
答案
解析 ∵0∴sin x＝，∴tan x＝.
14．函数y＝tan(sin x)的定义域为______________，值域为______________．
考点 正切函数的定义域、值域
题点 正切函数的定义域、值域
答案 R [－tan 1，tan 1]
解析 因为－1≤sin x≤1，
所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1，
所以y＝tan(sin x)的定义域为R，
值域为[－tan 1，tan 1]．
15．设ω>0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是________．
考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用
题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用
答案
解析 向右平移个单位长度得
y＝sin＋2
＝sin＋2.
∵与原函数图象相同，
故－ω＝2nπ(n∈Z)，
∴ω＝－n(n∈Z)，∵ω>0，∴ωmin＝.
16．在△ABC中，C>，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是________．(填序号)
①f(cos A)>f(cos B)；
②f(sin A)>f(sin B)；
③f(sin A)>f(cos B)；
④f(sin A)考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用
答案 ③
解析 根据0所以sin A又y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，
所以f(sin A)>f(cos B)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)求值sin2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式化简
解 原式＝2－1＋1－cos230°＋sin 30°＝2－1＋1－2＋＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝asin＋a＋b.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a<0时，函数f(x)在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值．
考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点 正弦函数性质的综合应用
解 (1)当a＝1时，函数f(x)＝sin＋1＋b.
因为函数y＝sin x的单调递减区间为(k∈Z)，
所以当2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数．
所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)f(x)＝asin＋a＋b，
因为x∈[0，π]，所以－≤x－≤，
所以－≤sin≤1.
又因为a<0，所以a≤asin≤－a，
所以a＋a＋b≤f(x)≤b.
因为函数f(x)的值域是[2,3]，
所以a＋a＋b＝2且b＝3，
解得a＝1－，b＝3.
19．(12分)已知f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点 正弦函数性质的综合应用
解 (1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1
＝2－，x∈[－1，]．
∴当x＝－1时，f(x)的最大值为.
(2)函数f(x)＝(x＋tan θ)2－(1＋tan2θ)图象的对称轴为x＝－tan θ，
∵y＝f(x)在[－1，]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－.
因此，θ角的取值范围是∪.
20．(12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
解 (1)由最低点为M，得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，
得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由点M在图象上，得2sin＝－2，
即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，∴φ＝，故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
故当x∈时，f(x)的值域为[－1,2]．
21．(12分)已知函数f(x)＝2sin.
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围．
考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用
解 (1)f(x)min＝－2，此时2x－＝2kπ－，k∈Z，
即x＝kπ－，k∈Z，
即此时自变量x的集合是.
(2)把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y＝sin的图象，最后再把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象．
(3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以m≥.
又函数y＝f(x)在上是减函数，
故m的最大值为内使函数值为－的值，
令2sin＝－，得x＝，
所以m的取值范围是.
22．(12分)函数f(x)＝1－2a－2acos x－2sin2x的最小值为g(a)，a∈R.
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 正弦函数、余弦函数最值的综合问题
解 (1)f(x)＝1－2a－2acos x－2(1－cos2x)
＝2cos2x－2acos x－1－2a
＝22－－2a－1.
若<－1，即a<－2，则当cos x＝－1时，f(x)有最小值g(a)＝22－－2a－1＝1；
若－1≤≤1，即－2≤a≤2，则当cos x＝时，f(x)有最小值g(a)＝－－2a－1；
若>1，即a>2，则当cos x＝1时，f(x)有最小值g(a)＝22－－2a－1＝1－4a.
∴g(a)＝
(2)若g(a)＝，由所求g(a)的解析式知只能是－－2a－1＝或1－4a＝.
由解得a＝－1或a＝－3(舍)．
由解得a＝(舍)．
此时f(x)＝22＋，得f(x)max＝5.
∴若g(a)＝，应有a＝－1，此时f(x)的最大值是5.
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2017·山东济南期末考试)已知α为第二象限角，sin α＝，则sin的值等于( )
A. B.
C. D.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案 A
解析 ∵sin α＝，α是第二象限角，∴cos α＝－，
则sin＝sin αcos －cos αsin
＝×＋×＝.故选A.
2．设sin＝，则sin 2θ等于( )
A．－ B．－ C. D.
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值
答案 B
解析 因为sin＝，
所以(sin θ＋cos θ)＝，
所以两边平方，可得(1＋sin 2θ)＝，
解得sin 2θ＝－.
3．(2017·山东)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A. B. C．π D．2π
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
答案 C
解析 由题意得y＝2sin，其最小正周期T＝＝π.
4.等于( )
A．2cos α B．2cos α
C．2sin α D．sin α
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
答案 A
解析 原式＝＝2cos α.
5．函数f(x)＝3cos x－sin x的图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
答案 A
解析 ∵f(x)＝3cos x－sin x＝2
＝2cos，
∴函数的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，
即x＝kπ－，k∈Z.
∴当k＝1时，x＝是其中的一条对称轴方程，故选A.
6．函数y＝sin 2x＋sin2x(x∈R)的值域是( )
A.
B.
C.
D.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
答案 C
解析 y＝sin 2x＋
＝＋
＝sin＋.
∵x∈R，∴2x－∈R，
∴sin∈[－1,1]，
∴函数的值域是.
7．已知β∈，满足tan(α＋β)＝，sin β＝，则tan α等于( )
A. B. C. D.
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案 B
解析 因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝，所以tan β＝＝.
又因为tan(α＋β)＝，
所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝
＝＝，故选B.
8．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B. C. D．－
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案 A
解析 ∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
∵tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－，故选A.
9．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为( )
A. B. C. D.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 三角恒等变换与三角形的综合应用
答案 C
解析 ∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B
＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin C＋cos C
＝2sin＝1.
∴sin＝，
∴＋C＝或＋C＝(舍去)，
∴C＝.
10．已知不等式3sin cos ＋cos2－－m≤0，对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[，＋∞) B．(－∞，]
C．[－，＋∞) D．(－∞，－]
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
答案 A
解析 令f(x)＝3sin cos ＋cos2 －－m
＝sin ＋cos －m≤0，
∴m≥ sin.
∵－≤x≤，∴－≤＋≤，
∴－≤sin≤，∴m≥.
11．已知α，β∈，＝，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.
考点 和差角公式的综合应用
题点 综合运用和差角公式求角
答案 B
解析 由题意得tan α＝tan＝＝，
∵α∈，∴cos α＝，sin α＝，
由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，
∴＝，tan(α＋β)＝1，
又0＜α＋β＜，∴α＋β＝.
12．函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期是( )
A. B. C．π D．2π
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
答案 B
解析 ∵f(x)＝sin4x＋1－sin2x
＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2x)＋1
＝1－sin2xcos2x＝1－sin22x
＝1－×＝cos 4x＋，
∴T＝＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知tan α＝，tan(α－β)＝，则tan(2α－β)＝________.
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案
解析 ∵tan α＝，tan(α－β)＝，则tan(2α－β)
＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝.
14.＝________.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用余弦的二倍角公式化简求值
答案 `
解析
＝cos2－sin2＝cos ＝.
15．(2017·南宁高一检测)设α为钝角，且3sin 2α＝cos α，则sin α＝________.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用正弦的二倍角公式化简求值
答案
解析 因为α为钝角，所以sin α＞0，cos α＜0，
由3sin 2α＝cos α，可得6sin αcos α＝cos α，
所以sin α＝.
16．若方程sin x＋cos x＝a在[0,2π]上恰有两个不同的实数解，则a的取值范围为________．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
答案 (－2,1)∪(1,2)
解析 a＝2＝2sin，
∵x∈[0,2π]，∴x＋∈，
∴2sin∈[－2,2]，
由于sin x＋cos x＝a有两个不同的实数解，
∴a∈(－2,1)∪(1,2)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)求值：.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
解
＝
＝
＝＝＝.
18．(12分)已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈.求：
(1)cos ；
(2)tan(α＋β)．
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
解 (1)∵＜α＜π，0＜β＜，
∴＜α－＜π，－＜－β＜，
∴sin＝＝，
cos＝＝，
∴cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－.
(2)∵＜＜π，
∴sin ＝ ＝.
∴tan ＝＝－，
∴tan(α＋β)＝＝.
19．(12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
解 (1)f＝2cos ＋sin2－4cos
＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x
＝3cos2x－4cos x－1＝32－，x∈R.
因为cos x∈[－1,1]，
所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝时，f(x)取得最小值－.
20．(12分)已知a＝(sin x,1)，b＝(2cos x,2＋cos 2x)，函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的对称中心．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
解 (1)f(x)＝a·b＝2sin xcos x＋2＋cos 2x
＝2＋sin 2x＋cos 2x＝2＋sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)＝2＋sin，
当2x＋＝kπ，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z时，
函数f(x)的对称中心为，k∈Z.
21．(12分)已知函数f(x)＝sin＋cos＋2cos2x－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，且f(α)＝，求cos 2α.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
解 (1)∵f(x)＝sin 2x－cos 2x＋cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)∵f(α)＝，∴sin＝，
∴sin＝.
∵α∈，∴≤2α＋≤，
∴cos＝－.
∴cos 2α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝－×＋×＝－.
22．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x(x∈R)．
(1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－t＝1在内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
解 (1)f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2＋1
＝2sin＋1.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因为x∈[0，π]，
所以f(x)的单调递增区间为，.
(2)依题意，得2sin＋1－t＝1，
所以t＝2sin，即函数y＝t与y＝2sin的图象在内有两个交点．
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈时，sin∈，
y＝2sin∈[1,2]；当2x＋∈时，
sin∈，y＝2sin∈[－1,2]．由函数y＝t与y＝2sin的图象(图略)，
得1≤t＜2，所以实数t的取值范围是[1,2)．
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则等于( )
A．(－2,3) B．(0,1)
C．(－1,2) D．(2，－3)
考点 平面向量的坐标运算
题点 平面向量的坐标运算
答案 D
解析 ＝(－1,2)，＝(1，－1)，
所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．
2．设e1，e2为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2 B．－3 C．－2 D．3
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理求参数
答案 A
解析 易知＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)，
又A，B，D三点共线，则∥，
则k＝2，故选A.
3．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为( )
A．B(5，－5)，M(0,0)
B．B(5，－5)，M
C．B(1,1)，M(0,0)
D．B(1,1)，M
考点 平面向量的坐标运算
题点 平面向量的坐标运算
答案 B
解析 ＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)
＝(5，－5)，AB中点M.
4．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 A
解析 方法一 ∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
故选A.
方法二 利用向量加法的平行四边形法则．
在?ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
故选A.
5．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
考点 平面向量数量积的坐标表示与应用
题点 坐标形式下的数量积的运算
答案 C
解析 ∵2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，
故选C.
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋(λ∈R)，则λ的值为( )
A．1 B. C. D.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求参数
答案 D
解析 过C作CE⊥x轴于点E.
由∠AOC＝，得|OE|＝|CE|＝2，
所以＝＋＝λ＋，
即＝λ，
所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
7．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．60° C．45° D．75°
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知向量共线求参数
答案 A
解析 ∵a∥b，∴sin2α＝×＝，
∴sin α＝±.
又∵α为锐角，∴α＝30°.
8．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )
A．20 B．15 C．9 D．6
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 C
解析 ?ABCD的图象如图所示，由题设知，
＝＋＝＋，＝－，
∴·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
9．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是( )
A．[0，] B．(1，]
C．[1,2] D．[，2]
考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点 利用坐标求向量的模
答案 D
解析 |a＋b|＝
＝.
因为θ∈，
所以cos θ∈[0,1]．
所以|a＋b|∈[，2]．
10．在△ABC中，点M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足AP＝2PM，则·(＋)等于( )
A．－ B．－
C. D.
考点 平面向量数量积的应用
题点 数量积在三角形中的应用
答案 A
解析 由题意可知点P是△ABC的重心，
∴＋＋＝0，
∴·(＋)＝－2＝－2＝－.
11．在△ABC中，P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M.若＝t，则t的值为( )
A. B. C. D.
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理求参数
答案 D
解析 因为A，M，Q三点共线，所以可设＝λ.
又因为＝t＝t＝t＋t，
所以＝－＝＋t，
＝－＝－.
将它们代入＝λ，
得＋t＝λ－λ.
由于，不共线，从而
解得故选D.
12．(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
考点 平面向量数量积的应用
题点 数量积在三角形中的应用
答案 B
解析 方法一 (解析法)
以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．
图①
设P点的坐标为(x，y)，
则＝(－x，－y)，
＝(－1－x，－y)，
＝(1－x，－y)，
∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2
≥2×＝－.
当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.故选B.
方法二 (几何法)
如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.
图②
要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，
问题转化为求||||的最大值．
又||＋||＝||＝2×＝，
∴||||≤2＝2＝，
∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知|a|＝2，|b|＝10，〈a，b〉＝120°，则向量b在向量a方向上的投影是________，向量a在向量b方向上的投影是________．
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 －5 －1
解析 向量b在向量a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝10×cos 120°＝－5，向量a在向量b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝2×cos 120°＝－1.
14．如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为______．
考点 平面向量基本定理的应用
题点 利用平面向量基本定理求参数
答案
解析 ∵＝，＝，
∴＝，＝2.
由向量加法的平行四边形法则可知，＝＋，
∴＝λ＝λ(＋)
＝λ
＝λ＋2λ，
∵E，F，K三点共线，∴λ＋2λ＝1，∴λ＝.
15．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________．
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
答案
解析 由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，
即3a2－a·b－2b2＝0.∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，
即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，
∴|b|2－|b|2cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
16．已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，a和c的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________．
考点 平面向量夹角的坐标表示与应用
题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数
答案
解析 c＝(1＋λ，3＋λ)，
∵a，c夹角为锐角，
∴0∵cos〈a，c〉＝
＝
＝，
∴0<<1，
∴0<10＋4λ<，
∴λ>－，且λ≠0，
∴实数λ的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥.
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
解 因为＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，
所以＝＋＋＝(3,3＋m＋n)，
(1)因为∥，所以＝λ，
即
解得n＝－3.
(2)因为＝＋＝(2,3＋m)，
＝＋＝(4，m－3)，
又⊥，
所以·＝0，
即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1.
18．(12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值．
考点 平面向量夹角的坐标表示与应用
题点 平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用
解 (1)因为e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)，
b＝4e1＋e2＝(4,1)，
所以a·b＝(3，－2)·(4,1)＝12－2＝10，
a＋b＝(7，－1)，
所以|a＋b|＝＝5.
(2)设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
19．(12分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置．
考点 平面向量基本定理的应用
题点 利用平面向量基本定理求参数
解 (1)由＝，
可得＝＋＝－＋.
∵＝，
∴＝＋＝－＋.
(2)将＝－＋，＝－＋
代入＝＋λ＝＋μ，
则有＋λ＝＋μ，
即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)，
∴解得
(3)设＝m，＝n.
由(2)知＝＋，
∴＝－＝n－＝n－＝·＋＝m＝m－m，
∵与不共线，
∴解得
∴＝，即＝2，
∴点P在BC的三等分点且靠近点C处．
20．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
(1)证明 由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，
故a⊥b.
(2)解 因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以
由此得cos α＝cos(π－β)，
由0<β<π，得0<π－β<π，
又0<α<π，故α＝π－β，
代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝，
又α>β，所以α＝，β＝.
21．(12分)(2017·江西南昌三中高一期末)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图所示．
(1)求∠OCM的余弦值；
(2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 向量垂直的坐标表示的综合应用
解 (1)由题意，可得＝(6,0)，＝(1，)，
＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)．
∴cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝.
(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，
则λ＝(λt，λ)，
－λ＝(6－λt，－λ)．
若(－λ)⊥，
则(－λ)·＝0，
即12－2λt＋3λ＝0，
∴(2t－3)λ＝12，
若t＝，则λ不存在；
若t≠，则λ＝.
∵t∈∪.
∴λ∈(－∞，－12]∪.
即满足条件的实数λ存在，实数λ的取值范围为(－∞，－12]∪.
22．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t).
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取得最大值4时，求·.
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
解 (1)由题设知＝(n－8，t)，
∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝||，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，
得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，
∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．
(2)由题设知＝(ksin θ－8，t)，
∵与a共线，
∴t＝－2ksin θ＋16，
tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k2＋.
∵k>4，∴0<<1，
∴当sin θ＝时，tsin θ取得最大值.
由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4,8)．
∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.
