第二章平面向量学案(6份)

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名称 第二章平面向量学案(6份)
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2019-05-21 09:22:48

文档简介

§2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律,并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
分析下列实例:(1)飞机从广州飞往上海,再从上海飞往北京(如图),这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力分别是F1=3 000 N,F2=2 000 N,牵引绳之间的夹角为θ=60°(如图),如果只用一条拖轮来牵引,也能产生跟原来相同的效果.

思考1 从物理学的角度,上面实例中位移、牵引力说明了什么?体现了向量的什么运算?
答案 后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移,四边形OACB的对角线 表示的力是与表示的力的合力.体现了向量的加法运算.
思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则?
答案  三角形法则和平行四边形法则.
梳理 (1)向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
(2)向量求和的法则
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a,b,在平面上任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.
这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作?OACB,则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
知识点二 向量加法的运算律
思考1 实数加法有哪些运算律?
答案 交换律和结合律.
思考2 根据图中的平行四边形ABCD,验证向量加法是否满足交换律.(注:=a,=b)
答案 ∵=+,
∴=a+b.
∵=+,∴=b+a.
∴a+b=b+a.
思考3 根据图中的四边形ABCD,验证向量加法是否满足结合律.(注:=a,=b,=c)
答案 ∵=+
=(+)+,
∴=(a+b)+c,
又∵=+=+(+),
∴=a+(b+c),
∴(a+b)+c=a+(b+c).
梳理 向量加法的运算律
交换律
a+b=b+a
结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
1.0+a=a+0=a.( √ )
2.+=.( √ )
3.+=0.( √ )
4.+>.( × )
5.||+||=||.( × )
类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
例1 如图(1)(2),已知向量a,b,c,求作向量a+b和a+b+c.
 
(1)       (2)
考点 向量加法的定义及几何意义
题点 求作和向量
解 (1)作法:在平面内任意取一点O,作=a,=b,则=a+b.
(2)在平面内任意取一点O,作=a,=b,=c,则=a+b+c.
反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系.
区别:(1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
联系:(1)当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的;(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.
跟踪训练1 如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量.
(1)+=________;(2)+=________;(3)+=________.
考点 向量加法的定义及其几何意义的应用
题点 向量加法在平面几何中的应用
答案 (1) (2) (3)0
类型二 向量加法运算律的应用
例2 化简:
(1)+;(2)++;
(3)++++.
考点 向量的加法运算与运算律
题点 化简向量
解 (1)+=+=.
(2)++=++
=(+)+=+=0.
(3)++++
=++++
=+++
=++
=+=0.
反思与感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接,再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.
(2)向量求和的多边形法则:+++…+=.特别地,当An和A1重合时,+++…+=0.
跟踪训练2 (2017·上饶高一检测)向量(+)+(+)+化简后等于(  )
A. B.
C. D.
考点 向量的加法运算与运算律
题点 化简向量
答案 D
解析 向量(+)+(+)+=++++=.
类型三 向量加法的实际应用
例3 在静水中船的速度为20 m/min,水流的速度为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.
考点 向量加法的定义及其几何意义的应用
题点 向量的加法在运动学中的应用
解 作出图形,如图所示.船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,四边形ABCD为平行四边形,
在Rt△ACD中,
||=||=|v水|=10 m/min,
||=|v船|=20 m/min,
∴cos α===,
∴α=60°,从而船与水流方向成120°的角.
∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进.
引申探究
1.若本例中条件不变,则经过1 h,该船的实际航程是多少?
解 由例3知v船=20 m/min,v实际=20×sin 60°=10(m/min),
故该船1 h行驶的航程为10×60=600(m)=(km).
2.若本例中其他条件不变,改为若船沿垂直水流的方向航行,求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值.
解 如图,作平行四边形ABDC,则=v实际,设船实际航向与岸方向的夹角为α,
则tan α===2.
即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
反思与感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用,准确作出图象是解题关键.
跟踪训练3 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
考点 向量加法的定义及其几何意义的应用
题点 向量的加法在物理学中的应用
解 如图所示,设,分别表示A,B所受的力,10 N的重力用表示,则+=.
由题意可得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°.
∴||=||cos 30°
=10×=5(N),
||=||cos 60°
=10×=5(N).
∴A处所受的力为5 N,B处所受的力为5 N.
1.化简++等于(  )
A. B. C.0 D.
考点 向量的加法运算与运算律
题点 化简向量
答案 D
解析 ++=+=.
2.如图,在正六边形ABCDEF中,++等于(  )
A.0 B.
C. D.
考点 向量的加法运算与运算律
题点 几何图形中的向量加法运算
答案 D
解析 ++=++=+=.
3.正方形ABCD的边长为1,则|+|为(  )
A.1 B.
C.3 D.2
考点 向量加法的平行四边形法则
题点 利用向量的加法求模
答案 B
解析 在正方形ABCD中,AB=1,可知AC=,
所以|+|=||=|AC|=.
4.如图所示,在四边形ABCD中,=+,则四边形为(  )
A.矩形
B.正方形
C.平行四边形
D.菱形
考点 向量加法的平行四边形法则
题点 判定四边形的形状
答案 C
解析 ∵=+,
∴=+=++=++=,
即=,∴AB=DC,AB∥DC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
5.如图,已知?ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点(靠近D点),求作:
(1)+;(2)+.
考点 向量加法的定义及几何意义
题点 求作和向量
解 (1)延长AC,在延长线上截取CF=AO,则向量即为所求.
(2)在AB上取点G,使AG=AB,则向量即为所求.
1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法,两个法则是统一的,当两个向量首尾相连时,常选用三角形法则;当两个向量共起点时,常选用平行四边形法则.
2.向量的加法满足交换律,因此在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
3.使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量,如果结果是零向量,一定要写成0,而不应写成0.
一、选择题
1.化简++等于(  )
A. B. C.0 D.
考点 向量的加法运算与运算律
题点 化简向量
答案 D
2.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则+++等于(  )
A. B. C. D.
考点 向量的加法运算与运算律
题点 几何图形中的向量加法运算
答案 B
解析 +++=+++=++=+=.
3.下列说法正确的个数为(  )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a或b的方向相同;
②在△ABC中,必有++=0;
③若++=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点;
④若a,b均为非零向量,则|a+b|=|a|+|b|.
A.0 B.1 C.2 D.3
考点 向量加法的定义及几何意义
题点 向量加法的三角形不等式
答案 B
解析 ①错,若a+b=0,则a+b的方向是任意的;
②正确;③错,当A,B,C三点共线时,也满足++=0;④错,|a+b|≤|a|+|b|.
4.已知四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是(  )
A.+= B.+=
C.+= D.+=
考点 向量的加法运算与运算律
题点 几何图形中的向量加法运算
答案 C
解析 对于A,+=≠;对于B,+≠;对于C,+=+=,又=,
所以+=;对于D,+≠.
5.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量++的长度为(  )
A.2 B.4 C.12 D.6
考点 向量加法的平行四边形法则
题点 利用向量的加法求模
答案 B
解析 因为+=,
所以++的长度为的模的2倍.
又||==2,
所以向量++的长度为4.
6.若在△ABC中,AB=AC=1,|+|=,则△ABC的形状是(  )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
考点 向量加法的平行四边形法则
题点 判定四边形的形状
答案 D
解析 以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,∵AB=AC=1,AD=,∴∠ABD为直角,该四边形为正方形,∴∠BAC=90°,△ABC为等腰直角三角形,故选D.
二、填空题
7.如图,在平行四边形ABCD中,O是AC和BD的交点.
(1)++=________;
(2)++=________.
考点 向量的加法运算与运算律
题点 几何图形中的向量加法运算
答案 (1) (2)0
8.已知点G是△ABC的重心,则++=______.
考点 向量的加法运算与运算律
题点 化简向量
答案 0
解析 如图所示,连接AG并延长交BC于点E,点E为BC的中点,延长AE到点D,使GE=ED,则+=,+=0,∴++=0.
9.小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为10 km/h,则小船实际航行速度的大小为________km/h.
考点 向量加法的定义及其几何意义的应用
题点 向量的加法在运动学中的应用
答案 20
解析 如图,设船在静水中的速度为|v1|=10 km/h,河水的流速为|v2|=10 km/h,小船实际航行速度为v0,则由|v1|2+|v2|2=|v0|2,得(10)2+102=|v0|2,所以|v0|=20 km/h,即小船航行速度的大小为20 km/h.
10.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=1,则|+|=________.
考点 向量加法的平行四边形法则
题点 利用向量的加法求模
答案 1
解析 在菱形ABCD中,连接BD,
∵∠DAB=60°,∴△BAD为等边三角形,
又∵||=1,∴||=1,
|+|=||=1.
三、解答题
11.如图所示,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力|F1|=24 N,绳BO与墙壁垂直,所受拉力|F2|=12 N.求F1和F2的合力大小.
考点 向量加法的定义及其几何意义的应用
题点 向量的加法在物理学中的应用
解 如图,根据向量加法的平行四边形法则,得到合力F=F1+F2=.在△OCA中,||=24,
||=12,∠OAC=60°,
∴∠OCA=90°,∴||=12.
∴F1与F2的合力大小为12 N,方向为与F2成90°角竖直向上.
12.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:+=+.
考点 向量的加法运算与运算律
题点 证明几何图形中的向量等式
证明 =+,=+,
∴+=+++.
∵与大小相等,方向相反,
∴+=0,
故+=++0=+.
四、探究与拓展
13.设非零向量a,b,c,若p=++,则|p|的取值范围为____________.
考点 向量加法的平行四边形法则
题点 利用向量的加法求模
答案 [0,3]
解析 因为,,是三个单位向量,因此当三个向量同向时,|p|取最大值3.当三个向量两两成120°角时,它们的和为0,故|p|的最小值为0.
14.若a等于“向东走8 km”,b等于“向北走8 km”,则|a+b|=________ km,a+b的方向是________.
考点 向量加法的定义及其几何意义的应用
题点 向量的加法在运动学中的应用
答案 8 北偏东45°
解析 如图所示,设=a,=b,则=a+b,且△ABC为等腰直角三角形,则||=8,∠BAC=45°.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
学习目标 1.理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.
知识点一 相反向量
思考 实数a的相反数为-a,向量a与-a的关系应叫做什么?
答案  相反向量.
梳理 (1)定义:如果两个向量长度相等,而方向相反, 那么称这两个向量是相反向量.
(2)性质:①对于相反向量有:a+(-a)=(-a)+a=0.
②若a,b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0.
③零向量的相反向量仍是零向量.
知识点二 向量的减法
思考 根据向量减法的定义,已知a,b如图,如何作出向量a,b的差向量a-b?
答案 (1)利用平行四边形法则.
如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,=-b,以,为邻边作平行四边形OAEC,
则=a-b.
(2)利用三角形法则.
如图,在平面内任取一点O,作=a,
=b,则=a-b.
知识点三 |a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三者的关系
思考 在三角形中有两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,结合这一性质及向量加、减法的几何意义,|a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三者关系是怎样的?
答案 它们之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
梳理 当向量a,b不共线时,作=a,=b,则a+b=,如图(1),根据三角形的三边关系,则有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.
当a与b共线且同向或a,b中至少有一个为零向量时,作法同上,如图(2),此时|a+b|=|a|+|b|.当a与b共线且反向或a,b中至少有一个为零向量时,不妨设|a|>|b|,作法同上,如图(3),此时|a+b|=||a|-|b||.
故对于任意向量a,b,总有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.①
因为|a-b|=|a+(-b)|,
所以||a|-|-b||≤|a-b|≤|a|+|-b|,
即||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.②
将①②两式结合起来即为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
1.相反向量就是方向相反的向量.( × )
提示 相反向量的方向相反,大小相等;方向相反的向量只是方向相反,大小没有关系.
2.向量与是相反向量.( √ )
提示 与大小相等、方向相反.
3.-=,-(-a)=a.( √ )
提示 根据相反向量的定义可知其正确.
4.两个相等向量之差等于0.( × )
提示 两个相等向量之差等于0.
类型一 向量减法的几何作图
例1 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
考点 向量的减法运算及其应用
题点 求作差向量
解 方法一 如图①,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
方法二 如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c.
引申探究
若本例条件不变,则a-b-c如何作?
解 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b.再作=c,则=a-b-c.
反思与感悟 求作两个向量的差向量时,当两个向量有共同始点,直接连接两个向量的终点,并指向被减向量,就得到两个向量的差向量;若两个向量的始点不重合,先通过平移使它们的始点重合,再作出差向量.
跟踪训练1 如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作:b+c-a.
考点 向量的减法运算及其应用
题点 求作差向量
解 方法一 以,为邻边作?OBDC,连接OD,AD,
则=+=b+c,
=-=b+c-a.
方法二 作==b,
连接AD,则=-=c-a,
=+=c-a+b=b+c-a.
类型二 向量减法法则的应用
例2 化简下列式子:
(1)---;
(2)(-)-(-).
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法化简向量
解 (1)原式=+-=+=-=0.
(2)原式=--+
=(-)+(-)=+=0.
反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点.
跟踪训练2 化简:(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法化简向量
解 (1)(-)-(-)
=-=.
(2)(++)-(--)
=+-+(+)
=+-+
=-+=++
=+=0.
类型三 向量减法几何意义的应用
例3 已知||=6,||=9,求|-|的取值范围.
考点 向量减法的定义及其几何意义的应用
题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系
解 ∵|||-|||≤|-|≤||+||,且||=9,||=6,∴3≤|-|≤15.
当与同向时,|-|=3;
当与反向时,|-|=15.
∴|-|的取值范围为[3,15].
反思与感悟 (1)如图所示,在平行四边形ABCD中,若=a,=b,则=a+b,=a-b.
(2)在公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中,当a与b方向相反且|a|≥|b|时,|a|-|b|=|a+b|;当a与b方向相同时,|a+b|=|a|+|b|.
(3)在公式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|中,当a与b方向相同,且|a|≥|b|时,|a|-|b|=|a-b|;当a与b方向相反时,|a-b|=|a|+|b|.
跟踪训练3 在四边形ABCD中,设=a,=b,且=a+b,|a+b|=|a-b|,则四边形ABCD的形状是(  )
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
考点 向量减法的定义及其几何意义的应用
题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系
答案 B
解析 ∵=a+b,∴四边形ABCD为平行四边形,
又∵=a-b,|a+b|=|a-b|,
∴||=||.∴四边形ABCD为矩形.
1.如图所示,在?ABCD中,=a,=b,则用a,b表示向量和分别是(  )
A.a+b和a-b
B.a+b和b-a
C.a-b和b-a
D.b-a和b+a
考点 向量减法的定义及其几何意义
题点 向量减法的定义及其几何意义
答案 B
解析 由向量的加法、减法法则,得
=+=a+b,
=-=b-a.
故选B.
2.-++等于(  )
A. B. C. D.
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法化简向量
答案 B
3.下列等式成立的个数是(  )
①a+b=b+a;②a-b=b-a;③0-a=-a;④-(-a)=a;⑤a+(-a)=0.
A.5 B.4 C.3 D.2
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法化简向量
答案 B
解析 由向量加、减法的定义可知,①③④⑤正确.
4.如图,在五边形ABCDE中,若四边形ACDE是平行四边形,且=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,,及.
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 用已知向量表示未知向量
解 ∵四边形ACDE是平行四边形,
∴==c,
=-=b-a,
=-=c-a,
=-=c-b,
∴=+=b-a+c.
1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a-b=a+(-b).
2.在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量的终点,箭头指向被减向量”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.
3.以平行四边形ABCD的两邻边AB,AD分别表示向量=a,=b,则两条对角线表示的向量为=a+b,=b-a,=a-b,这一结论在以后应用非常广泛,应该加强理解并掌握.
一、选择题
1.化简-+所得的结果是(  )
A. B. C.0 D.
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法表示向量
答案 C
解析 -+=+=0.
2.在平行四边形ABCD中,+-等于(  )
A. B. C. D.
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 几何图形中的向量加、减法运算
答案 C
解析 在平行四边形ABCD中,=,=,
所以+-=(-)+=.
3.在边长为1的正三角形ABC中,|-|的值为(  )
A.1 B.2 C. D.
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法化简向量
答案 D
解析 如图,作菱形ABCD,
则|-|=|-|
=||=.
4.(2017·三门峡灵宝三中质检)下列四个式子中可以化简为的是(  )
①+-;②-;③+;④-.
A.①④ B.①② C.②③ D.③④
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法化简向量
答案 A
解析 因为+-=-=+=,
所以①正确,排除C,D;因为-=,所以④正确,排除B,故选A.
5.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则(  )
A.++=0
B.-+=0
C.+-=0
D.--=0
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 几何图形中的向量加、减法运算
答案 A
解析 ++=++=(++)=0.
6.若||=5,||=8,则||的取值范围是(  )
A.[3,8] B.(3,8)
C.[3,13] D.(3,13)
考点 向量减法的定义及几何意义
题点 向量减法的三角不等式
答案 C
解析 ∵||=|-|且
|||-|||≤|-|≤|A|+||,
∴3≤|-|≤13,∴3≤||≤13.
7.如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则等于(  )
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
考点 向量加减法的综合运算及应用
题点 用已知向量表示未知向量
答案 A
二、填空题
8.化简:(1)+-=________;(2)---=________.
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法化简向量
答案 (1)0 (2)
解析 (1)+-=+=0;
(2)---=(-)-(+)
=-0=.
9.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=________.
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法运算求向量的模
答案 13
解析 ∵||=12,||=5,∠AOB=90°,
∴||2+||2=||2,∴||=13.
∵=a,=b,
∴a-b=-=,
∴|a-b|=||=13.
10.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点O,则--++=________.
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 几何图形中向量的加、减法运算
答案 
11.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且||=4,|+|=|-|,则||=________.
考点 向量减法的定义及其几何意义的应用
题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系
答案 2
解析 以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,由向量加减法几何意义可知,=+,=-,∵|+|=|-|,∴||=||,又||=4,M是线段BC的中点,∴||=||=||=2.
12.如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则(1)|a+b+c|=________;
(2)|a-b+c|=______.
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法运算求向量的模
答案 (1)2 (2)2
解析 (1)由已知得a+b=+=,
∵=c,∴延长AC到E,
使||=||.
则a+b+c=,
且||=2.
∴|a+b+c|=2.
(2)作=,连接CF,
则+=,
而=-=-=a-b,
∴a-b+c=+=且||=2.
∴|a-b+c|=2.
13.如图所示,在正六边形ABCDEF中,与-+相等的向量有________.(填序号)
①;②;③;④;⑤+;⑥-;⑦+.
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 几何图形中向量的加、减法运算
答案 ①
解析 ∵-+=+=,
+=+=≠,
-=≠,+=≠,
∴填①.
三、解答题
14.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,=a,=b.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b垂直;
(2)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|.
考点 向量减法的定义及其几何意义的应用
题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系
解 (1)若a+b与a-b垂直,即平行四边形的两条对角线互相垂直,则四边形ABCD为菱形,所以a,b应该满足|a|=|b|.
(2)|a+b|=|a-b|表示平行四边形的两条对角线长度相等,这样的平行四边形为矩形,故a,b应互相垂直.
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标 1.了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.
知识点一 向量数乘的定义
思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量?
答案 向量.
思考2 向量3a,-3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系?
答案  3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相同.
-3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相反.
思考3 λa的几何意义是什么?
答案 λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当|λ|>1时,表示a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍.
梳理 向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,其长度与方向规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
特别地,当λ=0或a=0时,0a=0或λ0=0.
知识点二 向量数乘的运算律
思考 类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律?
答案  结合律,分配律.
梳理 向量数乘运算律
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
知识点三 向量共线定理
思考1 若b=2a,b与a共线吗?
答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知,b与a共线.
如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使得b=λa.
思考2 若b与非零向量a共线,是否存在λ满足b=λa?若b与向量a共线呢?
答案 若b与非零向量a共线,存在λ满足b=λa;若b与向量a共线,当a=0,b≠0时,不存在λ满足b=λa.
梳理 (1)向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.
(2)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
1.若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ使b=λa.( × )
提示 当b=0,a=0时,实数λ不唯一.
2.若b=λa,则a与b共线.( √ )
提示 由向量共线定理可知其正确.
3.若λa=0,则a=0.( × )
提示 若λa=0,则a=0或λ=0.
类型一 向量的线性运算
例1 (1)3(6a+b)-9=________.
考点 向量的线性运算及应用
题点 向量的线性运算
答案 9a
解析 3(6a+b)-9=18a+3b-9a-3b=9a.
(2)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=______.
考点 向量的线性运算及应用
题点 向量的线性运算
答案 4b-3a
解析 由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,
所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
反思与感悟 向量线性运算的基本方法
(1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当的运用运算律,简化运算.
跟踪训练1 计算:(a+b)-3(a-b)-8a.
考点 向量的线性运算及其应用
题点 向量的线性运算
解 (a+b)-3(a-b)-8a=(a-3a)+(b+3b)-8a
=-2a+4b-8a=-10a+4b.
类型二 向量共线的判定及应用
命题角度1 判定向量共线或三点共线
例2 已知非零向量e1,e2不共线.
(1)若a=e1-e2,b=3e1-2e2,判断向量a,b是否共线.
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理判定向量共线
解 ∵b=6a,∴a与b共线.
(2)若=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线.
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理判定三点共线
证明 ∵=e1+e2,=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5,
∴,共线,且有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,从而判断共线.
(2)利用向量共线定理证明三点共线,一般先任取两点构造向量,从而将问题转化为证明两向量共线,需注意的是,在证明三点共线时,不但要利用b=λa(a≠0),还要说明向量a,b有公共点.
跟踪训练2 已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+2e2,=-5e1+6e2,=7e1-2e2,则共线的三个点是________.
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理判定三点共线
答案 A,B,D
解析 ∵=e1+2e2,=+
=-5e1+6e2+7e1-2e2=2(e1+2e2)=2,
∴,共线,且有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
命题角度2 利用向量共线求参数值
例3 已知非零向量e1,e2不共线,欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定k的值.
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理求参数
解 ∵ke1+e2与e1+ke2共线,
∴存在实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),
则(k-λ)e1=(λk-1)e2,
由于e1与e2不共线,只能有
∴k=±1.
反思与感悟 利用向量共线定理,即b与a(a≠0)共线?b=λa,既可以证明点共线或线共线问题,也可以根据共线求参数的值.
跟踪训练3 设两个不共线的向量e1,e2,若a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,问是否存在实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线?
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理求参数
解 d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)
=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,
要使d与c共线,则存在实数k,使得d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.
因为e1与e2不共线,
所以得λ=-2μ.
故存在实数λ和μ,使得d与c共线,此时λ=-2μ.
类型三 用已知向量表示其他向量
例4 在△ABC中,若点D满足=2,则等于(  )
A.+ B.-
C.- D.+
考点 向量的线性运算及应用
题点 用已知向量表示未知向量
答案 D
解析 示意图如图所示,
由题意可得=+
=+
=+(-)=+.
跟踪训练4 如图所示,四边形OADB是以向量=a,=b为邻边的平行四边形.又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示,,.
考点 向量的线性运算及应用
题点 用已知向量表示未知向量
解 因为===(-)
=(a-b),
所以=+=b+a-b=a+b.
因为==,
所以=+=+
==(+)=(a+b).
=-=(a+b)-a-b=a-b.
1.下列各式计算正确的有(  )
(1)(-7)6a=-42a;
(2)7(a+b)-8b=7a+15b;
(3)a-2b+a+2b=2a;
(4)4(2a+b)=8a+4b.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点 向量的线性运算及应用
题点 向量的线性运算
答案 C
解析 (1)(3)(4)正确,(2)错,7(a+b)-8b=7a+7b-8b=7a-b.
2.在△ABC中,M是BC的中点,则+等于(  )
A. B. C.2 D.
考点 向量的线性运算及应用
题点 用已知向量表示未知向量
答案 C
解析 如图,作出平行四边形ABEC,因为M是BC的中点,所以M也是AE的中点,由题意知,+==2,故选C.
3.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2 (k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则(  )
A.k=0 B.k=1
C.k=2 D.k=
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理求参数
答案 D
解析 当k=时,m=-e1+e2,n=-2e1+e2.
∴n=2m,此时,m,n共线.
4.已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,则下列向量一定共线的是(  )
A.与 B.与
C.与 D.与
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理判定向量共线
答案 B
解析 因为++=,
所以+++=0,
即-2=,所以与共线.
5.如图所示,已知=,用,表示.
考点 向量的线性运算及应用
题点 用已知向量表示未知向量
解 =+=+
=+(-)=-+.
1.实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,例如λ+a,λ-a是没有意义的.
2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量表示与向量a同向的单位向量.
3.向量共线定理是证明三点共线的重要工具,即三点共线问题通常转化为向量共线问题.
4.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R),则A,P,B三点共线?m+n=1.
一、选择题
1.下列说法中正确的是(  )
A.λa与a的方向不是相同就是相反
B.若a,b共线,则b=λa
C.若|b|=2|a|,则b=±2a
D.若b=±2a,则|b|=2|a|
考点 向量数乘的定义及运算
题点 向量数乘的定义及几何意义
答案 D
解析 显然当b=±2a时,必有|b|=2|a|.
2.3(2a-4b)等于(  )
A.5a+7b B.5a-7b
C.6a+12b D.6a-12b
考点 向量的线性运算及应用
题点 向量的线性运算
答案 D
解析 利用向量数乘的运算律,可得3(2a-4b)=6a-12b,故选D.
3.(2017·安徽太和中学高一期中)已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为(  )
A.-1 B.2
C.-2或1 D.-1或2
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理求参数
答案 D
解析 因为A,B,C三点共线,
所以存在实数k使=k.
因为=λa+2b,=a+(λ-1)b,
所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].
因为a与b不共线,所以
解得λ=2或λ=-1.
4.(2017·江西赣州高三二模)如图,△ABC中,=a,=b,=3,=2,则等于(  )
A.-a+b B.a-b
C.a+b D.-a+b
考点 向量的线性运算及应用
题点 用已知向量表示未知向量
答案 D
解析 =+=+
=(-)-=-+
=-a+b,
故选D.
5.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,=a,=b,则等于(  )
A.a-b
B.a-b
C.a+b
D.a+b
考点 向量的线性运算及应用
题点 用已知向量表示未知向量
答案 D
解析 连接CD,OD,如图所示.
∵点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,
∴AC=CD,∠CAD=∠DAB=×60°=30°.
∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO=30°.
由此可得∠CAD=∠ADO=30°,∴AC∥DO.
由AC=CD,得∠CDA=∠CAD=30°,
∴∠CDA=∠DAO,∴CD∥AO,
∴四边形ACDO为平行四边形,
∴=+=+=a+b.
6.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列说法中正确的是(  )
①m(a-b)=ma-mb; ②(m-n)a=ma-na;
③若ma=mb,则a=b; ④若ma=na,则m=n.
A.②④ B.①② C.①③ D.③④
考点 向量数乘的定义及运算
题点 向量的数乘运算及运算律
答案 B
解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律,正确;③中,若m=0,则不能推出a=b,错误;④中,若a=0,则m,n没有关系,错误.
7.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则等于(  )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
考点 向量的线性运算及应用
题点 用已知向量表示未知向量
答案 D
解析 ∵△DEF∽△BEA,
∴==,∴DF=AB,
∴=+=+.
∵=+=a,=-=b,
联立得=(a-b),=(a+b),
∴=(a+b)+(a-b)=a+b.
二、填空题
8.(a+9b-2c)+(b+2c)=________.
考点 向量的线性运算及应用
题点 向量的线性运算
答案 a+10b
9.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=____________.
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理求参数
答案 
解析 ∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,
又∵向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,
使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,
则解得λ=μ=.
10.已知在△ABC中,点M满足++=0,若存在实数m使得+=m成立,则m=________.
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理求参数
答案 3
解析 ∵++=0,
∴点M是△ABC的重心.
∴+=3,
∴m=3.
11.若向量a与b的夹角为45°,则2a与-3b的夹角是________.
考点 向量数乘的定义及运算
题点 向量数乘的定义及几何意义
答案 135°
解析 如图所示,可知2a与-3b的夹角是135°.
三、解答题
12.计算:
(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);
(2)-;
(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).
考点 向量的线性运算及应用
题点 向量的线性运算
解 (1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.
(2)原式=-
=-
=a+b-a-b=0.
(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c
=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)
=6a+2b.
13.在平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示和.
考点 向量共线定理及应用
题点 用已知向量表示未知向量
解 如图,设=a,=b.
∵M,N分别是DC,BC的中点,
∴=b,=a.
∵在△ADM和△ABN中,

即
①×2-②,得b=(2c-d),
②×2-①,得a=(2d-c).
∴=d-c,=c-d.
四、探究与拓展
14.如图,在△ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若=λ+μ,则t=λ-μ的最大值是________.
考点 向量共线定理及其应用
题点 向量共线定理在平面几何中的应用
答案 3
解析 设=k,0≤k≤1,则=k(+2)=k[+2(-)]=2k-k,
∵=λ+μ,且与不共线,
∴∴t=λ-μ=3k.
又0≤k≤1,∴当k=1时,t取最大值3.
故t=λ-μ的最大值为3.
15.已知在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,求证:四边形ABCD为梯形.
考点 向量共线定理及其应用
题点 向量共线定理在平面几何中的应用
证明 如图所示.
∵=++
=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)
=-8a-2b
=2(-4a-b),
∴=2.
∴与共线,且||=2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合,
∴AD∥BC,且AD=2BC.
∴四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形.
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量的一组基底的含义.2.在平面内,当一组基底选定后,会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
知识点一 平面向量基本定理
思考1 如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示?依据是什么?
答案  能.依据是数乘向量和平行四边形法则.
思考2 如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么?
答案  不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.
梳理 (1)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
知识点二 两向量的夹角与垂直
思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至起点,它们存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗?
答案  存在夹角,不一样.
思考2 △ABC为正三角形,设=a,=b,则向量a与b的夹角是多少?
答案 如图,延长AB至点D,使AB=BD,则=a,
∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°,则∠CBD=120°,故向量a与b的夹角为120°.
梳理 (1)夹角:已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.
(2)垂直:如果a与b的夹角是90°,则称a与b垂直,记作a⊥b.
1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底.( × )
提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底.
2.零向量可以作为基向量.( × )
提示 由于0和任意向量共线,故不可作为基向量.
3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.( × )
提示 基底的选取不是唯一的,不共线的两个向量都可作为基底.
类型一 对基底概念的理解
例1 (2017·衡水高一检测)设e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是(  )
A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2
C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2
考点 平面向量基本定理
题点 基底的判定
答案 B
解析 选项B中,6e1-8e2=2(3e1-4e2),
∴6e1-8e2与3e1-4e2共线,∴不能作为基底,选项A,C,D中两向量均不共线,可以作为基底.故选B.
反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否非零且不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
跟踪训练1 若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(  )
A.e1-e2,e2-e1
B.2e1-e2,e1-e2
C.2e2-3e1,6e1-4e2
D.e1+e2,e1+3e2
考点 平面向量基本定理
题点 基底的判定
答案 D
解析 选项A中,两个向量为相反向量,即e1-e2=-(e2-e1),则e1-e2,e2-e1为共线向量;选项B中,2e1-e2=2,也为共线向量;选项C中,6e1-4e2=-2(2e2-3e1),为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底,只有选项D符合.
类型二 用基底表示向量
例2 如图所示,在?ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的中点,若=a,=b,试以a,b为基底表示,.
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
解 ∵四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,DC边上的中点,
∴==2,==2,
∴==b,==-=-a.
∴=++=-++
=-b+a+b=a-b,
=+=+=b-a.
引申探究
若本例中其他条件不变,设=a,=b,试以a,b为基底表示,.
解 取CF的中点G,连接EG.
∵E,G分别为BC,CF的中点,
∴==b,
∴=+=a+b.
又∵==,
∴===a+b.
又∵==+=+=+,
∴==b+
=a+b.
反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种:一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化,直至能用基底表示为止;另一种是列向量方程组,利用基底表示向量的唯一性求解.
跟踪训练2 如图,在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.
考点 平面向量基本定理的应用
题点 利用平面向量基本定理求参数
答案 
解析 设=a,=b,
则=a+b,=a+b,
又∵=a+b,
∴=(+),即λ=μ=,∴λ+μ=.
类型三 向量的夹角
例3 已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,设a+b与a的夹角为α,a-b与a的夹角是β,求α+β.
考点 平面向量的夹角求向量的夹角
题点 求向量的夹角
解 如图,作=a,=b,且∠AOB=60°,以OA,OB为邻边作?OACB,
则=a+b,=-=a-b,
==a.
因为|a|=|b|=2,所以△OAB为正三角形,
所以∠OAB=60°=∠ABC,
即a-b与a的夹角β=60°.
因为|a|=|b|,所以平行四边形OACB为菱形,
所以OC⊥AB,所以∠COA=90°-60°=30°,
即a+b与a的夹角α=30°,
所以α+β=90°.
反思与感悟 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出.
(2)特别地,a与b的夹角为θ,λ1a与λ2b(λ1,λ2是非零常数)的夹角为θ0,当λ1λ2<0时,θ0=180°-θ;当λ1λ2>0时,θ0=θ.
跟踪训练3 在△ABC中,∠C=90°,BC=AB,则与的夹角是(  )
A.30° B.60° C.120° D.150°
考点 平面向量的夹角求向量的夹角
题点 求向量的夹角
答案 C
解析 如图,作向量=,则∠BAD是与的夹角,在△ABC中,因为∠C=90°,BC=AB,所以∠ABC=60°,所以∠BAD=120°.
1.给出下列三种说法:
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底;②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量.
其中,说法正确的为(  )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
考点 平面向量基本定理
题点 基底的判定
答案 B
2.如图所示,设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,给出下列向量组:
①与;②与;③与;④与.
其中可作为该平面内所有向量的基底的是(  )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
考点 平面向量基本定理
题点 基底的判定
答案 B
解析 ②中与共线,④中与共线,①③中两向量不共线,故选B.
3.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x-3y)e1+(3x-4y)e2=6e1+3e2,则x=________,y=________.
考点 平面向量基本定理的应用
题点 利用平面向量基本定理求参数
答案 -15 -12
解析 ∵向量e1,e2不共线,
∴解得
4.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
考点 平面向量基本定理的应用
题点 利用平面向量基本定理求参数
答案 
解析 =+
=+
=+(-)
=-+,
又∵与不共线,
∴λ1=-,λ2=,λ1+λ2=-+=.
5.在△ABC中,点D,E,F依次是边AB的四等分点,试以=e1,=e2为基底表示.
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
解 =-=e1-e2,
因为D,E,F依次是边AB的四等分点,
所以==(e1-e2),
所以=+=e2+(e1-e2)=e1+e2.
1.对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征:①基底是两个不共线向量;②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底.
2.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的.
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.
一、选择题
1.如图所示,矩形ABCD中,=5e1,=3e2,则等于(  )
A.(5e1+3e2)
B.(5e1-3e2)
C.(3e2-5e1)
D.(5e2-3e1)
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
答案 A
解析 ==(-)=(+)
=(5e1+3e2).
2.如图所示,用向量e1,e2表示向量a-b为(  )
A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2
C.e1-3e2 D.3e1-e2
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
答案 C
3.已知A,B,D三点共线,且对任一点C,有=+λ,则λ等于(  )
A. B. C.- D.-
考点 平面向量基本定理的应用
题点 利用平面向量基本定理求参数
答案 C
解析 因为A,B,D三点共线,
所以存在实数t,使=t,则-=t(-).
所以=+t(-)=(1-t)+t.
所以解得λ=-.
4.(2017·石嘴山第三中学四模)设点D为△ABC中BC边上的中点,O为AD边上靠近点A的三等分点,则(  )
A.=-+
B.=-
C.=-
D.=-+
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
答案 D
解析 依题意,得=-=-
=×(+)-=-+,故选D.
5.若1=a,2=b,=λ2(λ≠-1),则等于(  )
A.a+λb B.λa+(1-λ)b
C.λa+b D.a+b
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
答案 D
解析 ∵=λ,
∴-1=λ(2-),∴(1+λ)=1+λ2,
∴=1+2=a+b.
6.已知点O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(λ∈(0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的(  )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
答案 B
解析 为方向上的单位向量,
为方向上的单位向量,
则+的方向为∠BAC的角平分线的方向.
又λ∈(0,+∞),
所以λ的方向与+的方向相同.
而=+λ,
所以点P在上移动,
所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
7.若|a|=|b|=|a-b|=r(r>0),则a与b的夹角为(  )
A.30° B.45° C.60° D.90°
考点 平面向量的夹角求向量的夹角
题点 求向量的夹角
答案 C
二、填空题
8.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c=________.(用a,b表示)
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
答案 2a-2b
解析 设c=λa+μb,
则-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)
=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,
因为e1,e2不共线,
所以解得
故c=2a-2b.
9.已知λ1>0,λ2>0,e1,e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1________,a与e2________.(填“共线”或“不共线”)
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
答案 不共线 不共线
解析 ∵e1,e2不共线,λ1>0,λ2>0,
∴a与e1,e2都不共线.
10.如图,在△MAB中,C是边AB上的一点,且AC=5CB,设=a,=b,则=________.(用a,b表示)
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
答案 a+b
解析 =+=+=+(-)=+=a+b.
11.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为______________.
考点 平面向量基本定理的应用
题点 利用平面向量基本定理求参数
答案 (-∞,4)∪(4,+∞)
解析 若能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由a≠kb,即得λ≠4.
三、解答题
12.在梯形ABCD中,∥,M,N分别是DA,BC的中点,且=k.设=e1,=e2,以e1,e2为基底表示向量,,.
考点 平面向量基本定理
题点 用基底表示向量
解 方法一 
如图所示,
∵=e2,且=k,
∴=k=ke2.
又∵+++=0,
∴=---=-++
=e1+(k-1)e2.
又∵+++=0,
且=-,=,
∴=---=-++
=e2.
方法二 如图所示,过C作CE∥DA,交AB于点E,交MN于点F.
同方法一可得=ke2.
则=+=-(-)+=e1+(k-1)e2,
=+=+=+(-)
=e2.
方法三 如图所示,连接MB,MC.
同方法一可得=ke2,
=e1+(k-1)e2.
由=(+),
得=(+++)
=(+)=e2.
13.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:a,b可以作为一组基底;
(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;
(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
考点 平面向量基本定理的应用
题点 利用平面向量基本定理求参数
(1)证明 若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,
则e1-2e2=λ(e1+3e2).
由e1,e2不共线,得?
∴λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.
(2)解 设c=ma+nb(m,n∈R),则
3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)
=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
∵e1与e2不共线,
∴∴
∴c=2a+b.
(3)解 由4e1-3e2=λa+μb,得
4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)
=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.
∴∴
故所求λ,μ的值分别为3和1.
四、探究与拓展
14.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为________.
考点 平面向量的夹角求向量的夹角
题点 求向量的夹角
答案 90°
解析 由题意可画出图形,在△OAB中,
因为∠OAB=60°,|b|=2|a|,
所以∠ABO=30°,OA⊥OB,
即向量a与c的夹角为90°.
15.如图,平面内有三个向量,,.其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.
考点 平面向量基本定理的应用
题点 利用平面向量基本定理求参数
解 如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,
则=+.
在Rt△OCD中,∵||=2,
∠COD=30°,∠OCD=90°,
∴||=4,||=2,
故=4,=2,
即λ=4,μ=2,∴λ+μ=6.
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
学习目标 1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
知识点一 平面向量的正交分解
思考 如果向量a与b的夹角是90°,则称向量a与b垂直,记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底?
答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.
梳理 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
知识点二 平面向量的坐标表示
思考1 如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i,j为基底,如何表示向量a?
答案 a=2i+2j.
思考2 在平面直角坐标系内,给定点A的坐标为A(1,1),则A点位置确定了吗?给定向量a的坐标为a=(1,1),则向量a的位置确定了吗?
答案 对于A点,若给定坐标为A(1,1),则A点位置确定.对于向量a,给定a的坐标为a=(1,1),此时给出了a的方向和大小,但因向量的位置由起点和终点确定,且向量可以任意平移,因此a的位置不确定.
思考3 设向量=(1,1),O为坐标原点,若将向量平移到,则的坐标是多少?A点坐标是多少?
答案 向量的坐标为=(1,1),A点坐标为A(1,1).
梳理 (1)平面向量的坐标
①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).
②在直角坐标平面中,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系
区别
表示形式不同
向量a=(x,y)中间用等号连接,而点A(x,y)中间没有等号
意义
不同
点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y)
联系
当平面向量的始点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点三 平面向量的坐标运算
思考 设i,j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量a+b,a-b,λa(λ∈R)如何分别用基底i,j表示?
答案 a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,
a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j,λa=λx1i+λy1j.
梳理 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
数学公式
文字语言表述
向量加法
a+b=(x1+x2,y1+y2)
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a-b=(x1-x2,y1-y2)
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
向量数乘
λa=(λx1,λy1)
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
已知点A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量=(x2-x1,y2-y1),即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
1.相等向量的坐标相等.( √ )
2.在平面直角坐标系内,若A(x1,y1),B(x2,y2),则向量=(x1-x2,y1-y2).( × )
提示 =(x2-x1,y2-y1).
3.与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为:i=(1,0),j=(0,1).( √ )
类型一 平面向量的坐标表示
例1 如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.
四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标;
(2)求向量的坐标;
(3)求点B的坐标.
考点 平向向量的正交分解及坐标表示
题点 利用平面向量的正交分解求向量的坐标
解 (1)作AM⊥x轴于点M,
则OM=OA·cos 45°
=4×=2,
AM=OA·sin 45°
=4×=2.
∴A(2,2),故a=(2,2).
∵∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,
∴∠COy=30°.
又∵OC=AB=3,
∴C,∴==,
即b=.
(2)=-=.
(3)=+=(2,2)+
=.
反思与感悟 在表示点、向量的坐标时,可利用向量的相等、加减法运算等求坐标,也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.
跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.
考点 平向向量的正交分解及坐标表示
题点 利用平面向量的正交分解求向量的坐标
解 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),
则a1=|a|cos 45°=2×=.
a2=|a|sin 45°=2×=,
b1=|b|cos 120°=3×=-,
b2=|b|sin 120°=3×=,
c1=|c|cos(-30°)=4×=2,
c2=|c|sin(-30°)=4×=-2.
因此a=(,),b=,c=(2,-2).
类型二 平面向量的坐标运算
例2 已知a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
考点 平面向量的坐标运算
题点 平面向量的坐标运算
解 (1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)
=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)
=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(3)a-b=(-1,2)-(2,1)
=-=.
反思与感悟 向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练2 已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量等于(  )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
考点 平面向量的坐标运算
题点 平面向量的坐标运算
答案 A
解析 设C(x,y),则=(x,y-1)=(-4,-3),
即x=-4,y=-2,
故C(-4,-2),则=(-7,-4),
故选A.
类型三 平面向量坐标运算的应用
例3 已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若=+λ(λ∈R),试求λ为何值时:
(1)点P在第一、三象限的角平分线上;
(2)点P在第三象限内.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求参数
解 设点P的坐标为(x,y),
则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+λ=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵=+λ,且与不共线,
∴则
(1)若点P在第一、三象限角平分线上,则5+5λ=4+7λ,
∴λ=.
(2)若点P在第三象限内,则∴λ<-1.
反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一,实质是先将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值,是待定系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用.
(2)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.
跟踪训练3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标,使这四点构成平行四边形的四个顶点.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标
解 当平行四边形为ABCD时,设D(x,y),
由=(1,2),=(3-x,4-y),
且=,得D(2,2).
当平行四边形为ACDB时,设D(x,y),
由=(1,2),=(x-3,y-4),且=,
得D(4,6).
当平行四边形为ACBD时,设D(x,y),
由=(5,3),=(-1-x,3-y),且=,
得D(-6,0),
故D点坐标为(2,2)或(4,6)或(-6,0).
1.已知a=(1,1),b=(1,-1),则a-b等于(  )
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.(-1,-2) D.(1,2)
考点 平面向量的坐标运算
题点 平面向量的坐标运算
答案 A
解析 a-b=(1,1)-(1,-1)
==(-1,2).
2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量的坐标是(  )
A. B.
C.(-8,1) D.(8,1)
考点 平面向量的坐标运算
题点 平面向量的坐标运算
答案 A
解析 ∵=-=(-8,1),∴=.
3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为(  )
A. B.
C.(3,2) D.(1,3)
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标
答案 A
解析 设D点坐标为(x,y),则=(4,3),
=(x,y-2),
由=2,得
∴,∴D.
4.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,则m+n=________.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求参数
答案 7
解析 由于p=ma+nb,
即(9,4)=(2m,-3m)+(n,2n)=(2m+n,-3m+2n),
所以2m+n=9且-3m+2n=4,
解得m=2,n=5,所以m+n=7.
5.已知点A(2,1),B(-2,3),且=,则点C的坐标为________.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标
答案 (0,2)
解析 设C(x,y),则(x-2,y-1)=(-4,2)=(-2,1),
∴x=0,y=2.
1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量,是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示,沟通了向量“数”与“形”的特征,使向量运算完全代数化.
2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取,如果一个向量的起点是坐标原点,这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标;若向量的起点不是原点,则向量的终点坐标不是向量的坐标,若A(xA,yA),B(xB,yB),则=(xB-xA,yB-yA).
3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差,数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.
一、选择题
1.已知M(2,3),N(3,1),则的坐标是(  )
A.(2,-1) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(1,-2)
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答案 B
解析 =(2,3)-(3,1)=(-1,2).
2.已知a-b=(1,2),a+b=(4,-10),则a等于(  )
A.(-2,-2) B.(2,2)
C.(-2,2) D.(2,-2)
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答案 D
3.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c等于(  )
A.3a-b B.3a+b
C.-a+3b D.a+3b
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 用坐标形式下的基底表示向量
答案 A
解析 设c=xa+yb,
则解得
∴c=3a-b.
4.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量同向的单位向量是(  )
A. B.
C. D.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答案 A
解析 因为与同向的单位向量为,
=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),
||==5,
所以=.
5.如果将=绕原点O逆时针方向旋转120°得到,则的坐标是(  )
A. B.
C.(-1,) D.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答案 D
解析 因为=所在直线的倾斜角为30°,绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°,所以A,B两点关于y轴对称,由此可知B点坐标为,故的坐标是,故选D.
6.已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则P点的坐标为(  )
A.(-14,16) B.(22,-11)
C.(6,1) D.(2,4)
考点 平面向量坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标
答案 D
7.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(  )
A.(2,0) B.(0,-2)
C.(-2,0) D.(0,2)
考点 平面向量坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答案 D
解析 ∵a在基底p,q下的坐标为(-2,2),
∴a=-2p+2q=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4).
令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),
∴解得
∴a在基底m,n下的坐标为(0,2).
二、填空题
8.已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则-的坐标是________.
考点 平面向量的坐标运算
题点 平面向量的坐标运算
答案 (-3,6)
9.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),=3,=2,则的坐标为________.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答案 (9,-18)
解析 =3(1,8)=(3,24),
=2(6,3)=(12,6),
=-=(12,6)-(3,24)=(9,-18).
10.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则的值为________.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求参数
答案 4
解析 以向量a和b的交点为原点建立平面直角坐标系,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),根据c=λa+μb得(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),有-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,解得λ=-2且μ=-,故=4.
11.已知A(2,3),B(1,4),且=(sin α,cos β),α,β∈,则α+β=________.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求参数
答案 或-
解析 因为=(-1,1)==(sin α,cos β),
所以sin α=-且cos β=,
∵α,β∈,所以α=-,β=或-,
所以α+β=或-.
三、解答题
12.已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-,求点C,D和的坐标.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
解 设点C(x1,y1),D(x2,y2),
由题意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6),
=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).
∵=,=-,
∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),
(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2),
则有和
解得和
∴C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0),
∴=(-2,-4).
13.已知a=(2,1),b=(-1,3),c=(1,2),求p=2a+3b+c,并用基底a,b表示p.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 用坐标形式下的基底表示向量
解 p=2a+3b+c
=2(2,1)+3(-1,3)+(1,2)
=(4,2)+(-3,9)+(1,2)=(2,13).
设p=xa+yb=x(2,1)+y(-1,3)=(2x-y,x+3y),
a与b不共线,
则有解得
∴p=a+b.
四、探究与拓展
14.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,求点P的坐标.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标
解 设P点坐标为(x,y),||=2||.
当P在线段AB上时,=2.
∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
∴解得
∴P点坐标为.
当P在线段AB延长线时,=-2.
∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),
∴解得
综上所述,点P的坐标为或(-5,8).
15.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及=+t.
(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第二象限?
(2)四边形OABP能为平行四边形吗?若能,求t值;若不能,说明理由.
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求参数
解 (1)=+t=(1,2)+t(3,3)
=(1+3t,2+3t),
若点P在x轴上,则2+3t=0,
∴t=-.
若点P在y轴上,则1+3t=0,
∴t=-,
若点P在第二象限,则
∴-(2)=(1,2),=-=(3-3t,3-3t).
若四边形OABP为平行四边形,
则=,
∴该方程组无解.
故四边形OABP不能成为平行四边形.
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.
知识点 平面向量共线的坐标表示
已知下列几组向量:
(1)a=(0,3),b=(0,6);
(2)a=(2,3),b=(4,6);
(3)a=(-1,4),b=(3,-12);
(4)a=,b=.
思考1 上面几组向量中,a,b有什么关系?
答案 (1)(2)中b=2a,(3)中b=-3a,(4)中b=-a.
思考2 以上几组向量中,a,b共线吗?
答案 共线.
思考3 当a∥b时,a,b的坐标成比例吗?
答案 坐标不为0时成比例.
思考4 如果两个非零向量共线,你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗?
答案 能.将b写成λa形式,λ>0时,b与a同向,λ<0时,b与a反向.
梳理 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb.
(2)如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线.
注意:对于(2)的形式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因此要理解并熟记这一公式,可简记为:纵横交错积相减.
1.若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则=.( × )
提示 当y1y2=0时不成立.
2.若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y1-x2y2=0,则a∥b.( × )
3.若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y2-x2y1=0,则a∥b.( √ )
类型一 向量共线的判定与证明
例1 (1)下列各组向量中,共线的是(  )
A.a=(-2,3),b=(4,6)
B.a=(2,3),b=(3,2)
C.a=(1,-2),b=(7,14)
D.a=(-3,2),b=(6,-4)
考点 向量共线的坐标表示
题点 向量共线的判定与证明
答案 D
解析 A选项,(-2)×6-3×4=-24≠0,
∴a与b不平行;
B选项,2×2-3×3=4-9=-5≠0,∴a与b不平行;
C选项,1×14-(-2)×7=28≠0,∴a与b不平行;
D选项,(-3)×(-4)-2×6=12-12=0,
∴a∥b,故选D.
(2)在下列向量组中,可以把向量a=(-3,7)表示出来的是(  )
A.e1=(0,1),e2=(0,-2)
B.e1=(1,5),e2=(-2,-10)
C.e1=(-5,3),e2=(-2,1)
D.e1=(7,8),e2=(-7,-8)
考点 向量共线的坐标表示
题点 向量共线的判定与证明
答案 C
解析 平面内不共线的两个向量可以作基底,用它能表示此平面内的任何向量,因为A,B,D都是两个共线向量,而C不共线,故C可以把向量a=(-3,7)表示出来.
反思与感悟 向量共线的判定与证明题目应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标条件进行判断,特别是利用向量共线的坐标条件进行判断时,要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练1 下列各组向量中,能作为平面内所有向量基底的是(  )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=
考点 向量共线的坐标表示
题点 向量共线的判定与证明
答案 B
解析 A选项,∵e1=0,e1∥e2,∴不可以作为基底;
B选项,∵-1×7-2×5=-17≠0,∴e1与e2不共线,故可以作为基底;
C选项,3×10-5×6=0,e1∥e2,故不可以作为基底;
D选项,2×-(-3)×=0,
∴e1∥e2,不可以作为基底.
故选B.
类型二 利用向量共线求参数
例2 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用向量共线求参数
解 方法一 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
∵ka+b与a-3b平行,
∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.
方法二 由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).
得解得k=λ=-.
引申探究
1.若例2条件不变,判断当ka+b与a-3b平行时,它们是同向还是反向?
解 由本例知当k=-时,ka+b与a-3b平行,
这时ka+b=-a+b=-(a-3b),
∵λ=-<0,
∴ka+b与a-3b反向.
2.在本例中已知条件不变,若问题改为“当k为何值时,a+kb与3a-b平行?”,又如何求k的值?
解 a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k),
3a-b=3(1,2)-(-3,2)=(6,4),
∵a+kb与3a-b平行,
∴(1-3k)×4-(2+2k)×6=0,
解得k=-.
反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题,一般有两种思路,一是利用向量共线定理a=λb(b≠0),列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解.
跟踪训练2 已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于(  )
A.- B.
C.-或 D.0
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用向量共线求参数
答案 C
解析 由a∥b知1×2=m2,即m=或m=-.
类型三 三点共线问题
例3 已知A(1,-3),B,C(9,1),求证:A,B,C三点共线.
考点 平面向量共线的坐标表示
题点 三点共线的判定与证明
证明 ==,
=(9-1,1+3)=(8,4),
∵7×4-×8=0,
∴∥,且AB,有公共点A,
∴A,B,C三点共线.
反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题,两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的,利用向量平行证明三点共线需分两步完成:①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.
(2)若A,B,C三点共线,即由这三个点组成的任意两个向量共线.
跟踪训练3 已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线,则实数k=________.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用三点共线求参数
答案 -
解析 =-=(1-k,2k-2),
=-=(1-2k,-3),
由题意可知∥,
所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0,
解得k=-(k=1不合题意舍去).
1.已知向量a=(2,-1),b=(x-1,2),若a∥b,则实数x的值为(  )
A.2 B.-2
C.3 D.-3
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用向量共线求参数
答案 D
解析 因为a∥b,所以2×2-(-1)×(x-1)=0,得x=-3.
2.与a=(12,5)平行的单位向量为(  )
A.
B.
C.或
D.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知向量共线求向量的坐标
答案 C
解析 设与a平行的单位向量为e=(x,y),
则∴或
3.若a=(,cos α),b=(3,sin α),且a∥b,则锐角α=______.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知向量共线求参数
答案 
解析 ∵a=(,cos α),b=(3,sin α),a∥b,
∴sin α-3cos α=0,即tan α=,
又α为锐角,故α=.
4.已知三点A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,则m的值为________.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用三点共线求参数
答案 6
解析 =(2,4)-(1,2)=(1,2).
=(3,m)-(1,2)=(2,m-2).
∵A,B,C三点共线,即向量,共线,
∴1×(m-2)-2×2=0,∴m=6.
5.已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知三点共线求点的坐标
答案 (2,4)
解析 ∵在梯形ABCD中,AB∥CD,DC=2AB,
∴=2.
设点D的坐标为(x,y),
则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),
=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),
∴解得
故点D的坐标为(2,4).
1.两个向量共线条件的表示方法
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)当b≠0,a=λb.
(2)x1y2-x2y1=0.
(3)当x2y2≠0时,=,即两向量的相应坐标成比例.
2.向量共线的坐标表示的应用
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
(2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹方程.要注意方程思想的应用,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
一、选择题
1.(2017·青岛高一检测)下列向量中,与向量c=(2,3)不共线的一个向量p等于(  )
A.(5,4) B.
C. D.
考点 向量共线的坐标表示
题点 向量共线的判定与证明
答案 A
解析 因为向量c=(2,3),对于A,2×4-3×5=-7≠0,所以A中向量与c不共线.
2.下列各组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(  )
A.e1=(2,2),e2=(1,1)
B.e1=(1,-2),e2=(4,-8)
C.e1=(1,0),e2=(0,-1)
D.e1=(1,-2),e2=
考点 向量共线的坐标表示
题点 向量共线的判定与证明
答案 C
解析 选项C中,e1,e2不共线,可作为一组基底.
3.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(  )
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知向量共线求参数
答案 D
4.已知三点A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若和是相反向量,则D点坐标是(  )
A.(1,0) B.(-1,0)
C.(1,-1) D.(-1,1)
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知向量共线求向量的坐标
答案 C
5.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a-2b),则等于(  )
A.-2 B.2 C.- D.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知向量共线求参数
答案 C
解析 由题意得ma+nb=(2m-n,3m+2n),
a-2b=(4,-1),∵(ma+nb)∥(a-2b),
∴-(2m-n)-4(3m+2n)=0,∴=-,故选C.
6.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中,正确个数是(  )
①存在实数x,使a∥b;
②存在实数x,使(a+b)∥a;
③存在实数x,m,使(ma+b)∥a;
④存在实数x,m,使(ma+b)∥b.
A.0 B.1
C.2 D.3
考点 向量共线的坐标表示
题点 向量共线的判定与证明
答案 B
解析 只有④正确,可令m=0,则ma+b=b,无论x为何值,都有b∥b.
7.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是(  )
A.k=-2 B.k=
C.k=1 D.k=-1
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用三点共线求参数
答案 C
解析 因为A,B,C三点不能构成三角形,则A,B,C三点共线,则∥,又=-=(1,2),=-=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,即k=1.
二、填空题
8.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=______.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知向量共线求参数
答案 -6
解析 因为a∥b,
所以由(-2)×m-4×3=0,解得m=-6.
9.(2017·广东阳江高一期末)已知=(6,1),=(4,k),=(2,1).若A,C,D三点共线,则k=________.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用三点共线求参数
答案 4
解析 因为=(6,1),=(4,k),=(2,1),所以=+=(10,k+1).又A,C,D三点共线,所以∥,所以10×1-2(k+1)=0,解得k=4.
10.已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),则AC与OB的交点P的坐标为________.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知三点共线求点的坐标
答案 (3,3)
解析 由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),
则=-=(4λ-4,4λ).
又=-=(-2,6),
由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得λ=,
所以==(3,3),所以点P的坐标为(3,3).
11.设=(2,-1),=(3,0),=(m,3),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围是________.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用三点共线求参数
答案 {m|m∈R且m≠6}
解析 ∵A,B,C三点能构成三角形.
∴,不共线.
又∵=(1,1),=(m-2,4),
∴1×4-1×(m-2)≠0.
解得m≠6.
∴m的取值范围是{m|m∈R且m≠6}.
三、解答题
12.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,求m的值.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知向量共线求参数
解 ma+4b=(2m,3m)+(-4,8)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),因为ma+4b与a-2b共线,所以4(3m+8)-(-1)×(2m-4)=0,得m=-2.
13.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且=,连接DC延长至E,使||=||,求点E的坐标.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知向量共线求点的坐标
解 ∵=,
∴A为BC的中点,=,
设C(xC,yC),则(xC-2,yC+1)=(1,-5),
∴xC=3,yC=-6,∴C点的坐标为(3,-6),
又||=||,且E在DC的延长线上,
∴=-,
设E(x,y),
则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y),
得
解得
故点E的坐标是.
四、探究与拓展
14.已知两点A(3,-4),B(-9,2)在直线AB上,求一点P使||=||.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知向量共线求点的坐标
解 设点P的坐标为(x,y),
①若点P在线段AB上,则=,
∴(x-3,y+4)=(-9-x,2-y).
解得x=-1,y=-2,
∴P(-1,-2).
②若点P在线段BA的延长线上,则=-,
∴(x-3,y+4)=-(-9-x,2-y).
解得x=7,y=-6,
∴P(7,-6).
综上可得点P的坐标为(-1,-2)或(7,-6).
15.如图所示,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 已知向量共线求点的坐标
解 ∵==(0,5)=,
∴C.
∵==(4,3)=,∴D.
设M(x,y),则=(x,y-5),
==.
∵∥,
∴-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①
又∵=,=,∥,
∴x-4=0,
即7x-16y=-20.②
联立①②,解得x=,y=2,
故点M的坐标为.
§2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)
学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律,理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义
一个物体在力F的作用下产生位移s,如图.
思考1 如何计算这个力所做的功?
答案  W=|F||s|cos θ.
思考2 力做功的大小与哪些量有关?
答案  与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.
梳理 
条件
非零向量a与b,a与b的夹角为θ
结论
数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法
向量a与b的数量积记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
知识点二 平面向量数量积的几何意义
思考1 什么叫做向量b在向量a方向上的投影?什么叫做向量a在向量b方向上的投影?
答案 如图所示,=a,=b,过B作BB1垂直于直线OA,垂足为B1,则OB1=|b|cos θ.
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影,|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影.
思考2 向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗?
答案 由投影的定义知,二者不一定相同.
梳理 (1)条件:向量a与b的夹角为θ.
(2)投影
向量b在a方向上的投影
|b|cos θ
向量a在b方向上的投影
|a|cos θ
(3)a·b的几何意义:
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
知识点三 平面向量数量积的性质
思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别?
答案 向量的线性运算结果是向量,而向量的数量积是数量.
思考2 非零向量的数量积是否可为正数,负数和零,其数量积的符号由什么来决定?
答案 由两个非零向量的夹角决定.
当0°≤θ<90°时,非零向量的数量积为正数.
当θ=90°时,非零向量的数量积为零.
当90°<θ≤180°时,非零向量的数量积为负数.
梳理 设向量a与b都是非零向量,它们的夹角为θ,
(1)a⊥b?a·b=0.
(2)当a∥b时,a·b=
(3)a·a=|a|2或|a|=.
(4)cos θ=.
(5)|a·b|≤|a||b|.
1.向量数量积的运算结果是向量.( × )
2.向量a在向量b上的投影一定是正数.( × )
3.在等边△ABC中,向量与向量夹角为60°.( × )
提示 向量与向量夹角为120°.
类型一 求两向量的数量积
例1 已知正三角形ABC的边长为1,求:
(1)·;(2)·;(3)·.
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
解 (1)∵与的夹角为60°.
∴·=||||cos 60°=1×1×=.
(2)∵与的夹角为120°,
∴·=||||cos 120°
=1×1×=-.
(3)∵与的夹角为60°,
∴·=||||cos 60°=1×1×=.
反思与感悟 求平面向量数量积的两个方法
(1)定义法:若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a·b=|a||b|cos θ.
运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角,条件是两向量的始点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件.
(2)几何意义法:若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影,可利用数量积的几何意义求a·b.
跟踪训练1 已知|a|=4,|b|=7,且向量a与b的夹角为120°,求(2a+3b)·(3a-2b).
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
解 (2a+3b)·(3a-2b)
=6a2-4a·b+9b·a-6b2
=6|a|2+5a·b-6|b|2
=6×42+5×4×7·cos 120°-6×72
=-268.
类型二 求向量的模
例2 已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为,求|a+b|,|a-b|.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的模
解 a·b=|a||b|cos θ=5×5×=.
|a+b|==
= =5.
|a-b|==
==5.
引申探究
若本例中条件不变,求|2a+b|,|a-2b|.
解 a·b=|a||b|cos θ=5×5×=,
|2a+b|==
= =5.
|a-2b|==
==5.
反思与感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2,即|a|=,勿忘记开方.
跟踪训练2 已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求|a+b|.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的模
解 方法一 ∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2
=1+9-2a·b=4,∴a·b=3.
∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2
=1+9+2×3=16,∴|a+b|=4.
方法二 ∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2,
|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2,
∴|a-b|2+|a+b|2=2a2+2b2=2×1+2×9=20.
又|a-b|=2,∴|a+b|2=16,∴|a+b|=4.
类型三 求向量的夹角
例3 (1)设n和m是两个单位向量,其夹角是60°,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
解 ∵|n|=|m|=1且m与n夹角是60°,
∴m·n=|m||n|cos 60°=1×1×=.
|a|=|2m+n|==
==,
|b|=|2n-3m|=
=
==,
a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2
=-6×1+2×1=-.
设a与b的夹角为θ,
则cos θ===-.
又∵θ∈[0,π],∴θ=,故a与b的夹角为.
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
解 如图所示,在平面内取一点O,作=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
使||=||,
∴四边形OACB为菱形,OC平分∠AOB,
这时=a+b,=a-b.
由于|a|=|b|=|a+b|,即||=||=||,
∴∠AOC=60°,即a与a+b的夹角为60°.
∵∠AOC=60°,∴∠AOB=120°,
又||=||,∴∠OAB=30°,
即a与a-b的夹角为30°.
反思与感悟 (1)求向量的夹角,主要是利用公式cos θ=求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.
(3)求向量的夹角时,注意向量夹角的范围是[0,π].
跟踪训练3 已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,求a与b的夹角.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
解 ∵(a+2b)·(a-b)=|a|2-2|b|2+a·b=-2.
|a|=|b|=2,∴a·b=2,
设a与b的夹角为θ,∴cos θ==,
又∵θ∈[0,π],∴θ=.
1.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,则a·b等于(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 A
解析 a·b=1×2×cos=1,故选A.
2.在等腰直角三角形ABC中,若∠C=90°,AC=,则·的值等于(  )
A.-2 B.2 C.-2 D.2
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 B
解析 ·=||||cos∠ABC=2××cos 45°=2.
3.已知|a|=8,|b|=4,〈a,b〉=120°,则向量b在a方向上的投影为(  )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
考点 平面向量的投影
题点 求向量的投影
答案 D
解析 向量b在a方向上的投影为
|b|cos〈a,b〉=4×cos 120°=-2.
4.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60° ,则·等于(  )
A.-a2 B.-a2
C.a2 D.a2
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 D
解析 如图所示,由题意,得BC=a,CD=a,∠BCD=120°.
∴·=(+)·
=·+2
=a·a·cos 60°+a2=a2.
5.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,若c=2a-b,d=a+2b,求:(1)c·d;(2)|c+2d|.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的模
解 (1)c·d=(2a-b)·(a+2b)=2a2-2b2+3a·b
=2×4-2×1+3×2×1×=9.
(2)|c+2d|2=(4a+3b)2=16a2+9b2+24a·b
=16×4+9×1+24×2×1×=97,
∴|c+2d|=.
1.两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时).
2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,绝不可混淆.
3.求投影有两种方法
(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a,b的夹角),a在b方向上的投影为|a|cos θ.
(2)b在a方向上的投影为,a在b方向上的投影为.
4.两非零向量a,b,a⊥b?a·b=0,求向量模时要灵活运用公式|a|=.
一、选择题
1.(2017·辽宁大连二十中高一月考)设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a与b的夹角θ为(  )
A.150° B.120° C.60° D.30°
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
答案 B
解析 由|a|=|b|=|c|且a+b=c,得|a+b|=|b|,平方得|a|2+|b|2+2a·b=|b|2?2a·b=-|a|2?2|a|·|b|·cos θ=-|a|2?cos θ=-?θ=120°.
2.已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°,则a·b等于(  )
A.-6 B.6 C.-6 D.6
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 C
3.已知a,b方向相同,且|a|=2,|b|=4,则|2a+3b|等于(  )
A.16 B.256 C.8 D.64
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的模
答案 A
解析 ∵|2a+3b|2=4a2+9b2+12a·b=16+144+96=256,∴|2a+3b|=16.
4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是(  )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
考点 平面向量的投影
题点 求向量的投影
答案 A
解析 根据投影的定义,设a,b的夹角为θ,可得向量a在b方向上的投影是|a|cos θ==-4,故选A.
5.已知平面上三点A,B,C,满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·的值等于(  )
A.-7 B.7 C.25 D.-25
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 D
解析 由条件知∠ABC=90°,
所以原式=0+4×5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)
=-20cos C-15cos A
=-20×-15×=-16-9=-25.
6.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b等于(  )
A.1 B.2 C.3 D.5
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 A
解析 ∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,①
|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,②
由①-②得4a·b=4,∴a·b=1.
7.在△ABC中,AB=6,O为△ABC的外心,则·等于(  )
A. B.6 C.12 D.18
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 D
解析 如图,过点O作OD⊥AB于D,
可知AD=AB=3,
则·=(+)·=·+·=3×6+0=18,故选D.
二、填空题
8.(2017·全国Ⅰ)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的模
答案 2
解析 方法一
|a+2b|=
=
=
==2.
方法二(数形结合法)
由|a|=|2b|=2知,以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a+2b|=||.
又∠AOB=60°,所以|a+2b|=2.
9.设e1,e2是两个单位向量,它们的夹角为60°,则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=________.
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 -
10.(2017·四川绵阳南山中学高一月考)已知在△ABC中,AB=AC=4,·=8,则△ABC的形状是________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 数量积在三角形中的应用
答案 等边三角形
解析 ·=||||cos∠BAC,
即8=4×4cos∠BAC,于是cos∠BAC=,
因为0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.
又AB=AC,故△ABC是等边三角形.
11.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,若·=1,则AB的长为________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的模
答案 
解析 如图,由题意可知,=+,=-+.
因为·=1,
所以(+)·=1,
即2+·-2=1.①
因为||=1,∠BAD=60°,
所以①式可化为1+||-||2=1.
解得||=0(舍去)或||=,
所以AB的长为.
12.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.则向量a在向量a+b方向上的投影为________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的模
答案 
解析 (2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4×16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6,∴|a+b|2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13,∴|a+b|=,设a与a+b的夹角为θ,a·(a+b)=a2+a·b=10,
∴cos θ==,则a在a+b方向上的投影为|a|cos θ=4×=.
三、解答题
13.如图,在?ABCD中,=a,=b,=,=.
(1)用a,b表示;
(2)若|a|=1,|b|=4,∠DAB=60°,分别求||和·的值.
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
解 (1)=-=-
=-+=-a+b.
(2)因为|a|=1,|b|=4,∠DAB=60°,
所以||2=2
=|b|2-a·b+|a|2
=-×1×4×cos 60°+=.
所以||=.
·=(a+b)·
=|a|2+a·b-|b|2
=+×1×4×cos 60°-=-4.
四、探究与拓展
14.已知向量a,b满足|a|=1,a与b的夹角为,若对一切实数x,|xa+2b|≥|a+b|恒成立,则|b|的取值范围为(  )
A.[2,+∞) B.[-1,1]
C.[1,+∞) D.(-∞,1)
考点 平面向量数量积的运算性质和法则
题点 求向量的数量积的最值
答案 C
解析 对不等式|xa+2b|≥|a+b|两边平方得,(xa+2b)2≥(a+b)2,所以x2·|a|2+4a·bx+4|b|2≥|a|2+2a·b+|b|2,又a与b的夹角为,且|a|=1,则有a·b=|a|·|b|·cos=|b|,所以有x2+4x·|b|+4|b|2≥1+|b|+|b|2,即x2+2|b|x+3|b|2-1-|b|≥0,此式对一切实数x恒成立,所以有Δ=4|b|2-4(3|b|2-1-|b|)≤0,即有2|b|2-|b|-1≥0,所以(2|b|+1)(|b|-1)≥0,所以或所以|b|≥1或|b|≤-(舍去),故选C.
15.已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-b-a|=1,则|c|的取值范围为(  )
A.[-1,+1] B.[-1,+2]
C.[1,+1] D.[1,+2]
考点 平面向量数量积的运算性质和最值
题点 求向量的数量积的最值
答案 A
解析 如图所示,
令=a,=b,=a+b,=c,则||=.
又|c-b-a|=1,所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上,易知当点C与O,D共线时,||取到最值,最大值为+1,最小值为-1,所以|c|的取值范围为[-1,+1].故选A.
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)
学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
知识点一 平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律,判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律
实数乘法
向量数量积
判断正误
交换律
ab=ba
a·b=b·a
正确
结合律
(ab)c=a(bc)
(a·b)c=a(b·c)
错误
分配律
(a+b)c=ac+bc
(a+b)·c=a·c+b·c
正确
消去律
ab=bc(b≠0)?a=c
a·b=b·c(b≠0)?a=c
错误
知识点二 平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式,写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法
向量数量积
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)2=a2+2a·b+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a-b)2=a2-2a·b+b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)·(a-b)=a2-b2
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a
1.向量的数量积运算满足(a·b)·c=a·(b·c).( × )
2.已知a≠0,且a·c=a·b,则b=c.( × )
3.λ(a·b)=λa·b.( √ )
类型一 向量数量积的运算性质
例1 设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列结论:
①a·c-b·c=(a-b)·c;
②(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直;
③|a|-|b|<|a-b|;
④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正确结论的序号是________.
考点 平面向量数量积的运算性质和法则
题点 向量的运算性质与法则
答案 ①③④
解析 根据向量积的分配律知①正确;
因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c
=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,
∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,②错误;
因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,
∴|a|-|b|<|a-b|成立,③正确;
④正确.故正确结论的序号是①③④.
反思与感悟 向量的数量积a·b与实数a,b的乘积a·b有联系,同时有许多不同之处.例如,由a·b=0并不能得出a=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律.
跟踪训练1 对于任意向量a,b,c,下列说法中正确的是(  )
A.|a·b|=|a||b| B.|a+b|=|a|+|b|
C.(a·b)c=a(b·c) D.|a|=
考点 平面向量数量积的运算性质和法则
题点 向量的运算性质与法则
答案 D
解析 因为a·b=|a||b|cos〈a,b〉,
所以|a·b|≤|a||b|,所以A错误;
根据向量加法的平行四边形法则,
|a+b|≤|a|+|b|,只有当a,b同向时取“=”,
所以B错误;因为(a·b)c是向量,其方向与向量c相同,a(b·c)是向量,其方向与向量a的方向相同,所以C错误;
因为a·a=|a||a|cos 0=|a|2,
所以|a|=,所以D正确.
类型二 平面向量数量积有关的参数问题
命题角度1 利用向量数量积处理垂直问题
例2 已知|a|=3,|b|=2,向量a,b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b,求当m为何值时,c与d垂直.
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
解 由已知得a·b=3×2×cos 60°=3.
若c⊥d,则c·d=0,
∴c·d=(3a+5b)·(ma-3b)=3ma2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,
∴m=,即当m=时,c与d垂直.
反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质:a⊥b?a·b=0.
跟踪训练2 已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)·b,且b⊥c,则t=________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
答案 2
解析 由题意,将b·c=[ta+(1-t)b]·b=0整理,得ta·b+(1-t)=0,又a·b=,所以t=2.
命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角, 则k的取值范围为________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
答案 (0,1)∪(1,+∞)
解析 ∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,
∴(e1+ke2)·(ke1+e2)
=ke+ke+(k2+1)e1·e2
=2k>0,∴k>0.
但当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去.
综上,k的取值范围为k>0且k≠1.
反思与感悟 向量a,b的夹角为锐角,得到a·b>0;反之,a·b>0不能说明a,b的夹角为锐角,因为a,b夹角为0°时也有a·b>0.同理,向量a,b的夹角为钝角,得到a·b<0;反之,a·b<0不能说明a,b的夹角为钝角,因为a,b夹角为180°时也有a·b<0.
跟踪训练3 若向量e1,e2满足|e1|=|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,向量2te1+e2与向量e1-e2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
解 设向量2te1+e2与向量e1-e2的夹角为θ,由θ为钝角,知cos θ<0,故(2te1+e2)·(e1-e2)=2te+(-2t+1)e1·e2-e=t-<0,解得t<.
又当θ=π时,也有(2te1+e2)·(e1-e2)<0,
但此时夹角不是钝角,设向量2te1+e2与向量e1-e2反向,则2te1+e2=k(e1-e2)(k<0),
又e1与e2不共线,从而解得t=-,即当t=-时,向量2te1+e2与向量e1-e2的夹角为180°,
故t的取值范围是.
1.下面给出的关系式中正确的个数是(  )
①0·a=0;②a·b=b·a;③a2=|a|2;④|a·b|≤a·b;⑤(a·b)2=a2·b2.
A.1 B.2 C.3 D.4
考点 平面向量数量积的运算性质与法则
题点 向量的运算性质与法则
答案 C
解析 ①②③正确,④错误,⑤错误,(a·b)2=(|a||b|·cos θ)2=a2·b2cos2θ,故选C.
2.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°,那么向量a-4b的模为(  )
A.2 B.2 C.6 D.12
考点 平面向量数量积的运算性质和法则
题点 向量的运算性质与法则
答案 B
解析 ∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2
=22-8×2×1×cos 60°+16×12=12,
∴|a-4b|=2.
3.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(  )
A.4 B.-4 C. D.-
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
答案 B
解析 ∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0,即tm·n+n2=0,∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n|2=0,由已知得t×|n|2×+|n|2=0,解得t=-4,故选B.
4.在△ABC中,=a,=b,且a·b>0,则△ABC是(  )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
考点 平面向量数量积的应用
题点 数量积在三角形中的应用
答案 D
解析 由·>0知,·<0,即角B为钝角.
5.已知|a|=1,|b|=,且(a+b)与a垂直,则a与b的夹角是________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
答案 
解析 ∵(a+b)·a=a2+a·b=0,
∴a·b=-a2=-1,
设a与b的夹角为θ,
∴cos θ===-,
又θ∈[0,π],∴θ=.
1.数量积对结合律不一定成立,因为(a·b)·c=|a||b|·cos〈a,b〉·c是一个与c共线的向量,而(a·c)·b=|a||c|cos〈a,c〉·b是一个与b共线的向量,若b与c不共线,则两者不相等.
2.在实数中,若ab=0,则a=0或b=0,但是在数量积中,即使a·b=0,也不能推出a=0或b=0,因为其中cos θ有可能为0.
3.在实数中,若ab=bc,b≠0,则a=c,在向量中a·b=b·c,b≠0?a=c.
一、选择题
1.已知|a|=1,|b|=1,|c|=,a与b的夹角为90°,b与c的夹角为45°,则a·(b·c)的化简结果是(  )
A.0 B.a C.b D.c
考点 平面向量数量积的运算性质和法则
题点 向量的运算性质和法则
答案 B
解析 b·c=|b||c|cos 45°=1.
∴a·(b·c)=a.
2.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于(  )
A. B.- C.± D.1
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
答案 A
解析 ∵(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2
=3λa2-2b2=12λ-18=0,∴λ=.
3.(2017·嘉峪关高一检测)已知向量a,b为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b的夹角为(  )
A. B. C. D.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
答案 B
解析 设a与b的夹角为θ.
因为(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,
所以(a-2b)·a=a2-2a·b=0,
(b-2a)·b=b2-2a·b=0.
所以a2=2a·b,b2=2a·b,所以a2=b2,
所以|a|=|b|,
所以cos θ=====.
因为θ∈[0,π],所以θ=.
所以a,b夹角为.
4.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD是(  )
A.矩形 B.菱形
C.直角梯形 D.等腰梯形
考点 平面向量数量积的应用
题点 向量模与夹角的综合应用
答案 B
解析 由=知四边形ABCD是平行四边形,由·=0知AC⊥BD,即对角线垂直,所以四边形ABCD是菱形.
5.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为(  )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
答案 C
解析 由题知,(2a+b)·b=2a·b+b2
=2|a|2cos〈a,b〉+a2=0,
∴cos〈a,b〉=-,
又∵〈a,b〉∈[0°,180°],
∴a,b的夹角为120°.
6.已知向量与的夹角为120°,且||=2,||=3.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为(  )
A. B.13 C.6 D.
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
答案 D
解析 ∵与的夹角为120°,且||=2,||=3,
∴·=||·||cos 120°
=2×3×=-3.
∵·=(+λ)·(-)
=2-λ2+(λ-1)·=0,
∴32-λ×22+(λ-1)×(-3)=0,
解得λ=,故选D.
7.(2017·惠州高一检测)若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为(  )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
考点 平面向量数量积的应用
题点 数量积在三角形中的应用
答案 A
解析 因为(-)·(+-2)=0,
即·(+)=0,
又因为-=,
所以(-)·(+)=0,
即||=||,
所以△ABC是等腰三角形.
二、填空题
8.已知向量a,b满足(a+2b)·(5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则a与b的夹角θ为 ________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
答案 
解析 因为(a+2b)·(5a-4b)=0,|a|=|b|=1,
所以6a·b-8+5=0,即a·b=.
又a·b=|a||b|cos θ=cos θ,
所以cos θ=,
因为θ∈[0,π],所以θ=.
9.已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角为120°,则=________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 向量模与夹角的综合应用
答案 
解析 ∵a⊥b,∴a·b=0,
(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,
|a+2b|= = ,
|a-2b|= = ,
∴a2-4b2=··cos 120°,
化简得a2-2b2=0,
∴=.
10.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 向量模与夹角的综合应用
答案 4
解析 方法一 由a+b+c=0,得c=-a-b.
又(a-b)·c=0,
∴(a-b)·(-a-b)=0,
即a2=b2.
则c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2,
∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
方法二 如图,作==a.
=b,则=c,
∵a⊥b,∴AB⊥BC,
又∵a-b=-=,
(a-b)⊥c,∴CD⊥CA,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∵|a|=1,∴|b|=1,|c|=,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
11.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,则a,b的夹角的大小为________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 向量模与夹角的综合应用
答案 
解析 由题意可知,|a+xb|2≥|a+b|2,
即a2+2a·b·x+b2·x2≥a2+2a·b+b2,
设a与b的夹角为θ,
则4+4cos θ·x+x2≥4+4cos θ+1,
即x2+4cos θ·x-1-4cos θ≥0,
因为对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,
所以Δ=16cos2θ+4(1+4cos θ)≤0,
即(2cos θ+1)2≤0,
所以2cos θ+1=0,cos θ=-.
又因为θ∈[0,π],所以θ=.
12.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°.若|ka+b+c|>1(k∈R),则k的取值范围为________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 向量模与夹角的综合应用
答案 {k|k<0或k>2}
解析 因为|ka+b+c|>1,
所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,
即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1.
因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-,
所以k2-2k>0,所以或
解得k<0或k>2,
即k的取值范围是{k|k<0或k>2}.
三、解答题
13.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
解 设向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为θ.
根据题意,得cos θ=<0,
∴(2te1+7e2)·(e1+te2)<0.
化简,得2t2+15t+7<0,
∴或解得-7当θ=π时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此时夹角不是钝角.
设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,
由e1与e2不共线,得∴
∴实数t的取值范围是∪.
四、探究与拓展
14.若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为(  )
A.-1 B.1
C. D.2
考点 平面向量数量积的运算性质和法则
题点 求向量的数量积的最值
答案 B
解析 由题意,知a2=1,b2=1,c2=1,
由a·b=0及(a-c)·(b-c)≤0,
知(a+b)·c≥c2=1.
因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c
=3-2(a·c+b·c)≤1,
故|a+b-c|的最大值为1.
15.已知a,b均是非零向量,设a与b的夹角为θ,是否存在这样的θ,使|a+b|=|a-b|成立?若存在,求出θ.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
解 假设存在满足条件的θ,
∵|a+b|=|a-b|,∴(a+b)2=3(a-b)2,
∴|a|2+2a·b+|b|2=3(|a|2-2a·b+|b|2),
∴|a|2-4a·b+|b|2=0,
∴|a|2-4|a||b|cos θ+|b|2=0,
∴
解得cos θ∈.
又∵θ∈[0,π],∴θ∈.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
知识点一 平面向量数量积的坐标表示
设i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.
思考1 i·i,j·j,i·j分别是多少?
答案 i·i=1×1×cos 0=1,j·j=1×1×cos 0=1,i·j=0.
思考2 取i,j为坐标平面内的一组基底,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),试将a,b用i,j表示,并计算a·b.
答案 ∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,
∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2.
思考3 若a⊥b,则a,b坐标间有何关系?
答案 a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
梳理 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
数量积
a·b=x1x2+y1y2
向量垂直
a⊥b?x1x2+y1y2=0
知识点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式
思考1 若a=(x,y),试将向量的模|a|用坐标表示.
答案 ∵a=xi+yj,x,y∈R,
∴a2=(xi+yj)2=(xi)2+2xy i·j+(yj)2
=x2i2+2xy i·j+y2j2.
又∵i2=1,j2=1,i·j=0,
∴a2=x2+y2,∴|a|2=x2+y2,
∴|a|=.
思考2 若A(x1,y1),B(x2,y2),如何计算向量的模?
答案 ∵=-
=(x2,y2)-(x1,y1)
=(x2-x1,y2-y1),
∴||=.
梳理 
向量
模长
a=(x,y)
|a|=
以A(x1,y1),B(x2,y2)为端点的向量
||=
知识点三 平面向量夹角的坐标表示
思考 设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,那么cos θ如何用坐标表示?
答案 cos θ==.
1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.( × )
2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1y2-x2y1=0.( × )
3.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0,则两向量的夹角θ一定是锐角.( × )
提示 当两向量同向共线时,cos θ=1>0,但夹角θ=0,不是锐角.
类型一 数量积的坐标运算
例1 (1)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)等于(  )
A.10 B.-10
C.3 D.-3
考点 平面向量数量积的坐标表示与应用
题点 坐标形式下的数量积运算
答案 B
解析 a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.
(2)如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,且=2,则·的值是________.
考点 平面向量数量积的坐标表示与应用
题点 坐标形式下的数量积运算
答案 
解析 以A为原点,AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
∵AB=,BC=2,
∴A(0,0),B(,0),C(,2),D(0,2),
∵点E为BC的中点,∴E(,1),
∵点F在边CD上,且=2,
∴F.∴=(,1),=,
∴·=-+2=.
反思与感悟 数量积坐标运算的技巧
(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系:
①|a|2=a·a;
②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;
③(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.
(2)在平面几何图形中求数量积,若几何图形规则易建系,一般先建立坐标系,写出相关向量的坐标,再求数量积.
跟踪训练1 向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于(  )
A.-1 B.0 C.1 D.2
考点 平面向量数量积的坐标表示与应用
题点 坐标形式下的数量积运算
答案 C
解析 因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),则(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,故选C.
类型二 平面向量的模
例2 已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1).
(1)求a-2b及其模的大小;
(2)若c=a-(a·b)b,求|c|.
考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点 利用坐标求向量的模
解 (1)∵a=(3,5),b=(-2,1),
∴a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),
∴|a-2b|==.
(2)∵a·b=-6+5=-1,
∴c=a+b=(1,6),
∴|c|==.
反思与感悟 求向量a=(x,y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系要灵活应用公式a2=|a|2=x2+y2,求模时,勿忘记开方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|==,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
跟踪训练2 已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于(  )
A. B. C.5 D.25
考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点 利用坐标求向量的模
答案 C
解析 ∵a=(2,1),∴a2=5,
又|a+b|=5,∴(a+b)2=50,
即a2+2a·b+b2=50,
∴5+2×10+b2=50,∴b2=25,∴|b|=5.
类型三 平面向量的夹角问题
例3 (2017·山东枣庄八中月考)已知点A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),O(0,0),若|+|=,α∈(0,π),则,的夹角为(  )
A. B. C. D.
考点 平面向量夹角的坐标表示与应用
题点 求坐标形式下的向量的夹角
答案 D
解析 因为|+|2=(+)2=2+2·+2=9+6cos α+1=13,
所以cos α=,
因为α∈(0,π),所以α=,所以C,
所以cos〈,〉===,
因为0≤〈,〉≤π,所以〈,〉=,
所以,的夹角为,故选D.
反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.
(2)利用|a|=求两向量的模.
(3)代入夹角公式求cos θ,并根据θ的范围确定θ的值.
跟踪训练3 已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求λ的取值范围.
考点 平面向量夹角的坐标表示与应用
题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数
解 ∵a=(1,-1),b=(λ,1),
∴|a|=,|b|=,a·b=λ-1.
又∵a,b的夹角α为钝角,
∴即
∴λ<1且λ≠-1.
∴λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).
类型四 平面向量的垂直问题
例4 在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,求k的值.
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 已知向量垂直求参数
解 ∵=(2,3),=(1,k),
∴=-=(-1,k-3).
若∠A=90°,则·=2×1+3×k=0,∴k=-;
若∠B=90°,则·=2×(-1)+3(k-3)=0,
∴k=;
若∠C=90°,则·=1×(-1)+k(k-3)=0,
∴k=.
故所求k的值为-或或.
反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化,若在关于三角形的问题中,未明确哪个角是直角时,要分类讨论.
跟踪训练4 已知a=(-3,2),b=(-1,0),若向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为(  )
A. B.- C. D.-
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 已知向量垂直求参数
答案 B
解析 由向量λa+b与a-2b垂直,得
(λa+b)·(a-2b)=0.
因为a=(-3,2),b=(-1,0),
所以(-3λ-1,2λ)·(-1,2)=0,
即3λ+1+4λ=0,解得λ=-.
1.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为(  )
A. B. C. D.
考点 平面向量夹角的坐标表示与应用
题点 求坐标形式下的向量的夹角
答案 A
解析 |a|==5,|b|==13.
a·b=3×5+4×12=63.
设a,b夹角为θ,所以cos θ==.
2.若向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则x等于(  )
A.3 B.-3 C. D.-
考点 平面向量数量积的坐标表示与应用
题点 已知数量积求参数
答案 A
解析 a·b=-x+6=3,故x=3.
3.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ等于(  )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 已知向量垂直求参数
答案 B
解析 因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),
由(m+n)⊥(m-n),可得(m+n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3.
4.若平面向量a=(1,-2)与b的夹角是180°,且|b|=3,则b等于(  )
A.(-3,6) B.(3,-6)
C.(6,-3) D.(-6,3)
考点 平面向量数量积的坐标表示与应用
题点 已知数量积求向量的坐标
答案 A
解析 由题意设b=λa=(λ,-2λ)(λ<0),
则|b|==|λ|=3,
又λ<0,∴λ=-3,故b=(-3,6).
5.已知a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a与b的夹角的余弦值;
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 已知向量垂直求参数
解 (1)∵a·b=4×(-1)+3×2=2,
|a|==5,|b|==,
∴cos〈a,b〉===.
(2)∵a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),
(a-λb)⊥(2a+b),
∴(a-λb)·(2a+b)=7(4+λ)+8(3-2λ)=0,
∴λ=.
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示,提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径,根据不同的条件选择不同的途径,可以优化解题过程.同时,平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不能混淆,可以对比学习、记忆.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0.
4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时,向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区,常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围,稍不注意就会带来失误与错误.
一、选择题
1.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为(  )
A. B. C. D.
考点 平面向量夹角的坐标表示与应用
题点 求坐标形式下的向量的夹角
答案 B
解析 ∵|a|=,|b|=,a·b=5.
∴cos〈a,b〉===.
又∵a,b的夹角范围为[0,π].
∴a与b的夹角为.
2.设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是(  )
A.|a|=|b| B.a·b=0
C.a∥b D.(a-b)⊥b
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 向量垂直的坐标表示的综合应用
答案 D
解析 a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=1-1=0,
所以(a-b)⊥b.
3.已知向量a=(0,-2),b=(1,),则向量a在b方向上的投影为(  )
A. B.3 C.- D.-3
考点 平面向量投影的坐标表示与应用
题点 利用坐标求向量的投影
答案 D
解析 向量a在b方向上的投影为==-3.故选D.
4.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则|a|等于(  )
A.1 B. C.2 D.4
考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点 利用坐标求向量的模
答案 C
解析 ∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2
=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,
∴n2=3,∴|a|==2.
5.若a=(2,-3),则与向量a垂直的单位向量的坐标为(  )
A.(3,2)
B.
C.或
D.以上都不对
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 向量垂直的坐标表示的综合应用
答案 C
解析 设与a垂直单位向量的坐标为(x,y),
∵(x,y)是单位向量的坐标形式,
∴=1,即x2+y2=1,①
又∵(x,y)表示的向量垂直于a,
∴2x-3y=0,②
由①②得或
6.已知a=(1,1),b=(0,-2),且ka-b与a+b的夹角为120°,则k等于(  )
A.-1+ B.-2
C.-1± D.1
考点 平面向量夹角的坐标表示与应用
题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数
答案 C
解析 ∵|ka-b|=,
|a+b|==,
∴(ka-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,
又ka-b与a+b的夹角为120°,
∴cos 120°=,
即-=,
化简并整理,得k2+2k-2=0,解得k=-1±.
7.已知=(-2,1),=(0,2)且∥,⊥,则点C的坐标是(  )
A.(2,6) B.(-2,-6)
C.(2,-6) D.(-2,6)
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
答案 D
解析 设C(x,y),则=(x+2,y-1),
=(x,y-2),=(2,1),
∵∥,∴2(x+2)=0,①
∵⊥,∴2x+y-2=0,②
由①②可得∴C(-2,6).
二、填空题
8.已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2),若c=a-(a·b)b,则|c|=________.
考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点 利用坐标求向量的模
答案 8
解析 由题意可得a·b=2×1+4×(-2)=-6,
∴c=a-(a·b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),
∴|c|==8.
9.已知a=(3,),b=(1,0),则(a-2b)·b=________.
考点 平面向量数量积的坐标表示与应用
题点 坐标形式下的数量积运算
答案 1
解析 a-2b=(1,),
(a-2b)·b=1×1+×0=1.
10.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“?”为m?n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p?q=(-4,-3),则q的坐标为________.
考点 平面向量数量积的坐标表示与应用
题点 已知数量积求向量的坐标
答案 (-2,1)
解析 设q=(x,y),则p?q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).
∴∴∴q=(-2,1).
11.(2017·广东揭阳惠来一中、揭东一中联考)已知向量=(1,7),=(5,1)(O为坐标原点),设M为直线y=x上的一点,那么·的最小值是________.
考点 平面向量数量积的坐标表示与应用
题点 坐标形式下的数量积运算
答案 -8
解析 设M,
则=,=,
·=(1-x)(5-x)+
=(x-4)2-8.
所以当x=4时,·取得最小值-8.
三、解答题
12.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c与a方向相反,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
解 (1)设c=(x,y),由c∥a及|c|=2,
可得所以或
因为c与a方向相反,所以c=(-2,-4).
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),
所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,
所以2|a|2+3a·b-2|b|2=0,
所以2×5+3a·b-2×=0,
所以a·b=-.所以cos θ==-1.
又因为θ∈[0,π],所以θ=π.
13.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点Q为直线OP上的一个动点.
(1)当·取最小值时,求的坐标;
(2)当点Q满足(1)的条件和结论时,求cos∠AQB的值.
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
解 (1)设=(x,y),
∵Q在直线OP上,∴向量与共线.
又=(2,1),∴x-2y=0,∴x=2y,
∴=(2y,y).
又=-=(1-2y,7-y),
=-=(5-2y,1-y),
∴·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)
=5y2-20y+12=5(y-2)2-8.
故当y=2时,·有最小值-8,此时=(4,2).
(2)由(1)知=(-3,5),=(1,-1),
·=-8,||=,||=,
∴cos∠AQB===-.
四、探究与拓展
14.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,则当a与b的夹角在内变动时,实数m的取值范围是(  )
A.(0,1) B.
C.∪(1,) D.(1,)
考点 平面向量夹角的坐标表示与应用
题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数
答案 C
解析 如图,作=a,则A(1,1).
作,,
使∠AOB1=∠AOB2=,
则∠B1Ox=-=,
∠B2Ox=+=,
故B1,B2(1,).
又a与b的夹角不为0,故m≠1.
由图可知实数m的取值范围是∪(1,).
15.已知=(4,0),=(2,2),=(1-λ)+λ(λ2≠λ).
(1)求·及在上的投影;
(2)证明A,B,C三点共线,且当=时,求λ的值;
(3)求||的最小值.
考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点 平面向量模的坐标表示的应用
解 (1)·=8,设与的夹角为θ,
则cos θ===,
∴在上的投影为||cos θ=4×=2.
(2)=-=(-2,2),=-
=(1-λ)-(1-λ)=(λ-1),
又因为与有公共点B,所以A,B,C三点共线.
当=时,λ-1=1,所以λ=2.
(3)||2=(1-λ)22+2λ(1-λ)·+λ22=16λ2-16λ+16=162+12,
∴当λ=时,||取最小值2.
§2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程.
2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.
知识点一 几何性质及几何与向量的关系
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b的夹角为θ.
思考1 证明线线平行、点共线及相似问题,可用向量的哪些知识?
答案 可用向量共线的相关知识:
a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0(b≠0).
思考2 证明垂直问题,可用向量的哪些知识?
答案 可用向量垂直的相关知识:
a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
梳理 用向量解决常见平面几何问题的技巧
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量
夹角问题
数量积的定义 
cos θ=(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量
长度问题
数量积的定义 
|a|==,其中a=(x,y),a为非零向量
知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤
1.建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
2.通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
3.把运算结果“翻译”成几何关系.
类型一 利用向量证明平面几何问题
例1 如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
证明 方法一 设=a,=b,
则|a|=|b|,a·b=0.
又=+=-a+,
=+=b+,
所以·=·
=--a·b+
=-|a|2+|b|2=0.
故⊥,即AF⊥DE.
方法二 如图所示,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),则=(2,1),=(1,-2).
因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0.
所以⊥,即AF⊥DE.
反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系;④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找出相应关系;④把几何问题向量化.
跟踪训练1 如图,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接DP,EF,求证:DP⊥EF.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
证明 方法一 设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP=a,
∴·=(+)·(+)
=·+·+·+·
=1×a×cos 180°+1×(1-a)×cos 90°+a×a×cos 45°+a×(1-a)×cos 45°
=-a+a2+a(1-a)=0.
∴⊥,即DP⊥EF.
方法二 如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
设正方形ABCD的边长为1,
AP=λ(0<λ<),
则D(0,1),P,
E,F.
∴=,=.
∴·=λ-λ2+λ2-λ=0,
∴⊥,即DP⊥EF.
类型二 利用向量处理平面几何求值问题
例2 在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是(  )
A.2 B. C.3 D.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 B
解析 ∵BC的中点为D,=,
∴||=.
反思与感悟 (1)用向量法求长度的策略
①利用图形特点选择基底,向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解.
②建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若a(x,y),则|a|=.
(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.
②坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
跟踪训练2 如图,已知边长为2的正六边形ABCDEF,连接BE,CE,点G是线段BE上靠近B的四等分点,连接GF,则·等于(  )
A.-6 B.-9
C.6 D.9
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 D
解析 根据题意,=2,=-,
所以=++
=-++=+,
又=+,且∠CDE=120°,
所以·=·(+)
=2+·+2
=2+×2×2×+4=9.
1.在△ABC中,若(+)·(-)=0,则△ABC(  )
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形 D.形状无法确定
考点 平面几何中的向量方法
题点 判定多边形的形状
答案 C
解析 (+)·(-)=2-2=0,即||=||,∴CA=CB,则△ABC是等腰三角形.
2.在直角三角形ABC中,斜边BC长为2,O是平面ABC内一点,点P满足=+(+),则||等于(  )
A.2 B.1 C. D.4
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 B
解析 ∵=+(+),
∴-=(+),
=(+),
∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴||=1.
3.(2017·长春高一检测)在△ABC中,D为三角形所在平面内一点,且=+,则等于(  )
A. B. C. D.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 D
解析 已知在△ABC中,D为三角形所在平面内一点,且=+,点D在AB边的中位线上,且为靠近BC边的三等分点处,从而有S△ABD=S△ABC.
4.如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是________.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 22
解析 由=3,得==,=+=+,=-=+-=-.因为·=2,所以·=2,即2-·-2=2.又因为2=25,2=64,所以·=22.
5.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为________.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 2
解析 连接AO,∵O是BC的中点,
∴=(+).
又∵=m,=n,
∴=+.
又∵M,O,N三点共线,
∴+=1,则m+n=2.
利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量;另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.
一、选择题
1.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为(  )
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
考点 平面几何中的向量方法
题点 判定多边形的形状
答案 A
解析 ∵=(3,3),=(-2,-2),
∴=-,∴与共线.
又||≠||,∴该四边形为梯形.
2.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·的值是(  )
A.- B.-
C.- D.-
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 B
解析 =+,=+,
且=-,
所以·=(+)·(+)
=2-2=-1=-.
3.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为(  )
A. B.2 C.5 D.10
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 C
解析 ∵·=0,∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积
S=||||=××2=5.
4.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,且⊥,则||等于(  )
A. B.2
C.3 D.2
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 B
解析 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系.
设||=a(a>0),则A(0,0),C(4,a),
D(0,a),E(2,0),
所以=(2,-a),=(4,a).
因为⊥,所以·=0,
所以2×4+(-a)·a=0,即a2=8.
所以a=2,所以=(2,-2),
所以||==2.
5.在?ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,若·=1,则AB的长为(  )
A.1 B. C. D.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 B
解析 设AB的长为a(a>0),
因为=+,=+=-,
所以·=(+)·
=·-2+2=-a2+a+1.
由已知,得-a2+a+1=1,
又因为a>0,所以a=,即AB的长为.
6.已知非零向量与满足·=0且·=,则△ABC的形状是(  )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰(非等边)三角形
D.等边三角形
考点 平面几何中的向量方法
题点 判定多边形的形状
答案 D
解析 由·=0,得角A的平分线垂直于BC,
∴AB=AC.而·=cos〈,〉=,
又〈,〉∈[0°,180°],∴∠BAC=60°.
故△ABC为等边三角形,故选D.
7.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的(  )
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 D
解析 ∵·=·,∴(-)·=0,
∴·=0,∴OB⊥AC.
同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O为三条高的交点.
二、填空题
8.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点,则(+)·=________.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 -
解析 如图,以A为坐标原点O,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),D(0,1),
∴C(2,1).
∵E,F分别为BC,CD的中点,
∴E,F(1,1),
∴+=,=(-2,1),
∴(+)·=3×(-2)+×1=-.
9.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A,B两点,若|AB|=,则·=________.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 -
解析 如图,作OD⊥AB于点D,则在Rt△AOD中,OA=1,AD=,所以∠AOD=60°,∠AOB=120°,所以·=||||cos 120°=1×1×=-.
10.在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=________.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 
解析 已知A(0,1),B(-3,4),
设E(0,5),D(-3,9),
∴四边形OBDE为菱形,
∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.
设C(x1,y1),||=3,
∴=.
∴(x1,y1)=×(-3,9)=,
即=.
11.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3--=0,则△ABM与△ABC的面积之比为________.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 1∶3
解析 如图,D为BC边的中点,
则=(+).
因为3--=0,
所以3=2,
所以=,
所以S△ABM=S△ABD=S△ABC.
三、解答题
12.如图所示,在正三角形ABC中,D,E分别是AB,BC上的一个三等分点,且分别靠近点A,点B,且AE,CD交于点P.求证:BP⊥DC.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
证明 设=λ,并设△ABC的边长为a,则有
=+=λ+=λ+
=(2λ+1)-λ,
=-.
∵∥,∴(2λ+1)-λ=k-k.
于是有解得λ=.
∴=,
∴=+C=+, =-,
从而·=·
=a2-a2-a2cos 60°=0,
∴⊥,
∴BP⊥DC.
13.(2017·天津武清高二期中)在平面直角坐标系中,已知三点A(4,0),B(t,2),C(6,t),t∈R,O为坐标原点.
(1)若△ABC是直角三角形,求t的值;
(2)若四边形ABCD是平行四边形,求||的最小值.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
解 (1)由题意得,=(t-4,2),=(2,t),
=(6-t,t-2),
若∠A=90°,则·=0,即2(t-4)+2t=0,∴t=2;
若∠B=90°,则·=0,即(t-4)(6-t)+2(t-2)=0,
∴t=6±2;
若∠C=90°,则·=0,
即2(6-t)+t(t-2)=0,无解,
∴t的值为2或6±2.
(2)若四边形ABCD是平行四边形,则=,
设点D的坐标为(x,y),
即(x-4,y)=(6-t,t-2),
∴即D(10-t,t-2),
∴||==,
∴当t=6时,||取得最小值4.
四、探究与拓展
14.在△ABC中,AB=3,AC边上的中线BD=,·=5,则AC的长为________.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
答案 2
解析 设∠BAC=θ,AD=x(x>0),
则·=2x·3·cos θ=5,
∴x·cos θ=.
作DE⊥AB于点E,由DE2+EB2=BD2,
得(x·sin θ)2+(3-x·cos θ)2=5,
解得x·sin θ=.
∴x2·cos2θ+x2·sin2θ=x2=+=1,
∴x=1,∴AC=2x=2.
15.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,求·的最小值.
考点 平面几何中的向量方法
题点 利用向量解决平面几何问题
解 在等腰梯形ABCD中,由AB=2,BC=1,∠ABC=60°,可得DC=1,=+λ,=+,
∴·=(+λ)·=·+·+λ·+λ·
=2×1×cos 60°+2×+λ×1×1×cos 60°+λ·×cos 120°=++,
由对勾函数的性质知当=,即λ=时,·取得最小值.
2.5.2 向量在物理中的应用举例
学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.
知识点一 向量的线性运算在物理中的应用
思考1 向量与力有什么相同点和不同点?
答案 向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点,但是力却是既有大小,又有方向且作用于同一作用点的.
思考2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系?
答案 速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成.
梳理 (1)用向量解决力的问题,通常把向量的起点平移到同一个作用点上.
(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时,实质就是向量的线性运算.
知识点二 向量的数量积在物理中的应用
思考 向量的数量积与功有什么联系?
答案 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是向量的数量积.
梳理 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,即W=|F||s|cos〈F,s〉,功是一个实数,它可正可负,也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角,它的实质是向量F与s的数量积.
知识点三 向量方法解决物理问题的步骤
用向量理论讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤:
(1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题;
(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;
(3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;
(4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
1.功是力F与位移S的数量积.( √ )
2.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.( √ )
3.某轮船需横渡长江,船速为v1,水速为v2,要使轮船最快到达江的另一岸,则需保持船头方向与江岸垂直.( √ )
类型一 向量的线性运算在物理中的应用
例1 (1)在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.
考点 向量在力学中的应用
题点 求分力
解 如图,两根绳子的拉力之和+=,且||=||=300 N,∠AOC=30°,∠BOC=60°.
在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠AOC=30°,则∠OAC=90°,
从而||=||·cos 30°=150(N),
||=||·sin 30°=150(N),
所以||=||=150(N).
答 与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
(2)一条宽为 km的河,水流速度为2 km/h,在河两岸有两个码头A,B,已知AB= km,船在水中最大航速为4 km/h,问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头?用时多少?
考点 向量在运动学中的应用
题点 求速度
解 如图所示,设为水流速度,为航行速度,以AC和AD为邻边作?ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸,
根据题意AC⊥AE,在Rt△ADE和?ACED中,
||=||=2,||=4,∠AED=90°,
∴||==2.
又AB=,∴用时0.5 h.
∵sin∠EAD=,∠EAD∈(0°,90°),∴∠EAD=30°.
答 船实际航行速度大小为2 km/h,与水流成120°角时能最快到达B码头,用时0.5 h.
反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路,第一种是几何法,选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量运算法则、运算律或性质计算.第二种是坐标法,通过建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,转化为代数运算.
跟踪训练1 河水自西向东流动的速度为10 km/h,小船自南岸沿正北方向航行,小船在静水中的速度为10 km/h,求小船的实际航行速度.
考点 向量在运动学中的应用
题点 求速度
解 设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面内一点O作=a,=b,以,为邻边作矩形OACB,连接,如图,则=a+b,并且即为小船的实际航行速度.
∴||===20(km/h),
tan ∠AOC==,∴∠AOC=60°,
∴小船的实际航行速度为20 km/h,按北偏东30°的方向航行.
类型二 向量的数量积在物理中的应用
例2 质量m=2.0 kg的木块,在平行于斜面向上的拉力F=10 N的作用下,沿倾斜角θ=30°的光滑斜面向上滑行|s|=2.0 m的距离.(g=9.8 N/kg)
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功;
(2)在这个过程中,物体所受各力对物体做功的代数和是多少?
考点 向量在力学中的应用
题点 求做功
解 (1)木块受三个力的作用,重力G,拉力F和支持力FN,如图所示,拉力F与位移s方向相同,所以拉力对木块所做的功为
WF=F·s=|F||s|cos 0°=20(J);
支持力FN与位移方向垂直,不做功,
所以WN=FN·s=0;
重力G对物体所做的功为
WG=G·s=|G||s|cos(90°+θ)=-19.6(J).
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W=WF+WN+WG=0.4(J).
反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.
跟踪训练2 已知力F的大小|F|=10,在F的作用下产生的位移s的大小|s|=14,F与s的夹角为60°,则F做的功为(  )
A.7 B.10 C.14 D.70
考点 向量在力学中的应用
题点 求做功
答案 D
解析 F做的功为F·s=|F||s|cos 60°=10×14×=70.
1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成90°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为(  )
A.6 B.2 C.2 D.2
考点 向量在力学中的应用
题点 求合力
答案 C
解析 由题意知F3=-(F1+F2),
所以|F3|2=(F1+F2)2=F+F+2F1·F2=4+16=20,
∴|F3|=2.
2.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为(  )
A.v1-v2 B.v2-v1
C.v1+v2 D.|v1|-|v2|
考点 向量在运动学中的应用
题点 求速度
答案 C
解析 由题易知,选项C正确.
3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具重10 N,则每根绳子的拉力大小为______ N.
考点 向量在力学中的应用
题点 求分力
答案 10
解析 设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60°角,
且|F1|=|F2|.
∴|F1|=|F2|=|G|=10 N,
∴每根绳子的拉力都为10 N.
4.一条河宽为800 m,一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为________ min.
考点 向量在运动学中的应用
题点 求时间
答案 3
解析 ∵v实际=v船+v水=v1+v2,
|v1|=20 km/h,|v2|=12 km/h,
∴|v实际|=
==16(km/h).
∴所需时间t==0.05(h)
=3(min).
∴该船到达B处所需的时间为3 min.
5.一艘船从南岸出发,向北岸横渡.根据测量,这一天水流速度为3 km/h,方向正东,风的方向为北偏西30°,受风力影响,静水中船的漂行速度为3 km/h,若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡,求船本身的速度大小及方向.
考点 向量在运动学中的应用
题点 求速度
解 如图,设水的速度为v1,风的速度为v2,v1+v2=a.可求得a的方向是北偏东30°,a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v,方向由南向北,大小为2 km/h.船本身的速度为v3,则a+v3=v,即v3=v-a,由数形结合知,v3的方向是北偏西60°,大小是 km/h.
用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步:(1)问题的转化,把物理问题转化成数学问题;(2)模型的建立,建立以向量为主体的数学模型;(3)参数的获取,求出数学模型的相关解;(4)问题的答案,回到物理现象中,用已经获取的数值去解释一些物理现象.
一、选择题
1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们夹角为90°时,合力大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力大小为(  )
A.40 N B.10 N
C.20 N D.10 N
考点 向量在力学中的应用
题点 求合力
答案 B
解析 |F1|=|F2|=|F|cos 45°=10,
当θ=120°,由平行四边形法则知
|F合|=|F1|=|F2|=10 N.
2.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(7,-3)同时作用于某物上一点,为使该物体保持平衡,再加上一个力F4,则F4等于(  )
A.(-2,-2) B.(2,-2)
C.(-1,2) D.(-2,2)
考点 向量在力学中的应用
题点 求合力
答案 D
解析 由物理知识,知物体平衡,则所受合力为0,所以F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=(-2,2),故选D.
3.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1)且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(  )
A.(9,1) B.(1,9)
C.(9,0) D.(0,9)
考点 向量在力学中的应用
题点 求合力
答案 A
解析 F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力F的终点为P(x,y),则=+F=(1,1)+(8,0)=(9,1).
4.质点P在平面上作匀速直线运动,速度向量ν=(4,-3)(即点P的运动方向与ν相同,且每秒移动的距离为|ν|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(  )
A.(-2,4) B.(-30,25)
C.(10,-5) D.(5,-10)
考点 向量在运动学中的应用
题点 求位移
答案 C
解析 设点(-10,10)为点A,5秒后P点的坐标为A1(x,y),则=(x+10,y-10),
由题意可知,=5ν,
即(x+10,y-10)=(20,-15),
所以解得
5.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为(  )
A.5 N B.5 N
C.10 N D.5 N
考点 向量在力学中的应用
题点 求分力
答案 B
解析 如图,有|F1|=|F|cos 60°=10×=5(N).
6.河水的流速为5 m/s,若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为(  )
A.13 m/s B.12 m/s
C.17 m/s D.15 m/s
考点 向量在运动学中的应用
题点 求速度
答案 A
解析 设小船在静水中的速度为v1,
河水的流速为v2,
v1与v2的合速度为v,
∵为了使航向垂直河岸,船头必须斜向上游方向,
即小船在静水中的速度v1斜向上游方向,河水速度v2平行于河岸,合速度v指向对岸,
∴静水速度|v1|===13(m/s).
7.当两人提起重量为G的旅行包时,夹角为θ,两人用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为(  )
A.30° B.60° C.90° D.120°
考点 向量在力学中的应用
题点 求分力
答案 D
解析 作=F1,=F2,=-G(图略),
则=+,
当|F1|=|F2|=|G|时,△OAC为正三角形,
所以∠AOC=60°,从而∠AOB=120°.
二、填空题
8.飞机以300 km/h的速度斜向上飞行,方向与水平面成30°角,则飞机在水平方向的分速度大小是______ km/h.
考点 向量在运动学中的应用
题点 求速度
答案 150
解析 如图所示,
|v1|=|v|cos 30°=300×=150(km/h).
9.一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________.
考点 向量在运动学中的应用
题点 求做功
答案 -40
解析 ∵F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1),
∴合力F=F1+F2+F3=(8,-8).
又∵=(0-1,5-1)=(-1,4),
∴F·=8×(-1)+(-8)×4=-40,
即三个力的合力做的功等于-40.
10.一个重20 N的物体从倾斜角为θ,斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端,若重力做的功是10 J,则θ=________.
考点 向量在运动学中的应用
题点 求方向
答案 30°
解析 ∵WG=G·s=|G||s|·cos(90°-θ)
=20×1×cos(90°-θ)=10 J,
∴cos(90°-θ)=,∴θ=30°.
11.河水的流速为2 m/s,一艘小船以10 m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶,则小船在静水中的速度大小为________m/s.
考点 向量在运动学中的应用
题点 求速度
答案 2
解析 设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则v=v1+v2,|v1|=2 m/s,|v|=10 m/s.
所以|v2|=|v-v1|=
===2(m/s).
三、解答题
12.在水流速度为4千米/时的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行,求船实际航行的速度的大小.
考点 向量在运动学中的应用
题点 求速度
解 如图,用v0表示水流速度,v1表示与水流垂直的方向的速度.
则v0+v1表示船实际航行的速度,
∵|v0|=4,|v1|=8,
∴|v0+v1|==4.
故船实际航行的速度为4千米/时.
13.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).
(1)求力F1,F2分别对质点所做的功;
(2)求力F1,F2的合力F对质点所做的功.
考点 向量在力学中的应用
题点 求做功
解 (1)=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),
W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)
=3×(-13)+4×(-15)=-99,
W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)
=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3.
∴力F1,F2对质点所做的功分别为-99和-3.
(2)W=F·=(F1+F2)·
=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)
=(9,-1)·(-13,-15)
=9×(-13)+(-1)×(-15)
=-117+15=-102.
∴合力F对质点所做的功为-102.
四、探究与拓展
14.如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是________.(写出所有正确的序号)
①绳子的拉力不断增大;②绳子的拉力不断变小;③船的浮力不断变小;④船的浮力保持不变.
考点 向量在力学中的应用
题点 求分力
答案 ①③
解析 设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与水平方向夹角为θ(0<θ<).则|F|cos θ=|f|,∴|F|=.
∵θ增大,cos θ减小,∴|F|增大.
∵|F|sin θ增大,∴船的浮力减小.

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向线段与向量的联系与区别,会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.
知识点一 向量的概念
思考1 在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别?
答案  面积、质量只有大小,没有方向;而速度和位移既有大小又有方向.
思考2 两个数量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗?
答案 数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小.
梳理 向量与数量
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量.
(2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量.
知识点二 向量的表示方法
思考1 向量既有大小又有方向,那么如何形象、直观地表示出来?
答案 可以用一条有向线段表示.
思考2 0的模是多少?0有方向吗?
答案 0的模为0,方向任意.
思考3 单位向量的模是多少?
答案 单位向量的模为1个单位.
梳理 (1)向量的几何表示:向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素:起点、方向、长度,如图所示.
以A为起点、B为终点的有向线段记作.
(2)向量的字母表示:向量可以用字母a, b, c,…表示(印刷用黑体a,b,c,书写时用 , , ).
(3)向量的大小,也就是向量的长度(或称模),即有向线段的长度,记作||.长度为0的向量叫做零向量,记作0;长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
知识点三 相等向量与共线向量
思考1 已知A,B为平面上不同两点,那么向量和向量相等吗?它们共线吗?
答案 因为向量和向量方向不同,所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上,所以两向量共线.
思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗?
答案 不相同,由相等向量定义可知,向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行,也可以重合.
思考3 若a∥b,b∥c,那么一定有a∥c吗?
答案 不一定.因为当b=0时,a,c可以是任意向量.
梳理 (1)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
(2)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
①记法:向量a平行于b,记作a∥b.
②规定:零向量与任一向量平行.
(3)共线向量:由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量.也就是说,平行向量与共线向量是等价的,因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
1.向量就是有向线段.( × )
提示 向量可以用有向线段来表示,但并不能说向量就是有向线段.
2.如果||>||,那么>.( × )
提示 向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.
3.若a,b都是单位向量,则a=b.( × )
提示 a与b都是单位向量,则|a|=|b|=1,但a与b方向可能不同.
4.若a=b,且a与b的起点相同,则终点也相同.( √ )
提示 若a=b,则a与b的大小和方向都相同,那么起点相同时,终点必相同.
5.零向量的大小为0,没有方向.( × )
提示 任何向量都有方向,零向量的方向是任意的.
类型一 向量的概念
例1 下列说法正确的是(  )
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C.零向量都是相等的
D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
考点 向量的概念
题点 向量的性质
答案 A
解析 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同;零向量的模都是0,但方向不确定;两个单位向量也可能反向,则不相等,故B,C,D都错误,A正确.故选A.
反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义,对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
跟踪训练1 下列说法中正确的是(  )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
考点 向量的概念
题点 向量的性质
答案 D
解析 不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确.
类型二 相等向量与共线向量
例2 (1)下列说法正确的是________.(填序号)
①若a≠b,则a一定不与b共线;
②若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;
③在平行四边形ABCD中,一定有=;
④若向量a与任一向量b平行,则a=0;
⑤若a=b,b=c,则a=c;
⑥若a∥b,b∥c,则a∥c.
考点 相等向量与共线向量
题点 相等向量与共线向量的性质与判定
答案 ③④⑤
解析 ①两个向量不相等,可能是长度不同,方向可以相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;②=,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故②不正确;③在平行四边形ABCD中,||=||,与平行且方向相同,故=,③正确;④零向量的方向是任意的,与任一向量平行,④正确;⑤a=b,则|a|=|b|且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|且b与c方向相同,则a与c方向相同且模相等,故a=c,⑤正确;若b=0,由于a的方向与c的方向都是任意的,a∥c可能不成立,故⑥不正确.
(2)如图所示,△ABC的三边均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点.
①写出与共线的向量;
②写出与的模相等的向量;
③写出与相等的向量.
考点 相等向量与共线向量
题点 几何图形中的相等向量与共线向量
解 ①因为E,F分别是AC,AB的中点,
所以EF∥BC,EF=BC.
又因为D是BC的中点,
所以与共线的向量有,,,,,,.
②与模相等的向量有,,,,.
③与相等的向量有与.
反思与感悟 相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
跟踪训练2 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与的模相等的向量有多少个?
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量?若存在,有几个?
(3)与共线的向量有哪些?
考点 相等向量与共线向量
题点 几何图形中的相等向量与共线向量
解 (1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB),而每一条线段可以有两个向量,所以这样的向量共有23个.
(2)存在.由正六边形的性质可知,BC∥AO∥EF,所以与的长度相等、方向相反的向量有,,,,共4个.
(3)由(2)知,BC∥OA∥EF,线段OD,AD与OA在同一条直线上,所以与共线的向量有,,,,,,,,,共9个.
类型三 向量的表示及应用
例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向,向西偏北50°的方向走了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量,,;
(2)求||.
考点 向量的表示方法
题点 向量的几何表示
解 (1)向量,,如图所示.
(2)由题意,可知与方向相反,故与共线,
∵||=||,
∴在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴=,∴||=||=200 km.
反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练3 在如图的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b,使b=a;
(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=,并说出向量c的终点的轨迹是什么?
考点 向量的表示方法
题点 向量的几何表示
解 (1)根据相等向量的定义,所作向量b与向量a平行,且长度相等(作图略).
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心,半径为的圆(作图略).
                   
1.在同一平面内,把所有长度为1的向量的始点固定在同一点,这些向量的终点形成的轨迹是(  )
A.单位圆 B.一段弧
C.线段 D.直线
考点 向量的表示方法
题点 向量的几何表示
答案 A
2.下列结论正确的个数是(  )
①温度含零上和零下温度,所以温度是向量;
②向量的模是一个正实数;
③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;
④若|a|>|b|,则a>b.
A.0 B.1 C.2 D.3
考点 向量的概念
题点 向量的性质
答案 B
解析 ①温度没有方向,所以不是向量,故①错;②向量的模也可以为0,故②错;④向量不可以比较大小,故④错;③若a,b中有一个为零向量,则a与b必共线,故a与b不共线,则应均为非零向量,故③对.
3.设b是a的相反向量,则下列说法中一定错误的是______(填序号).
①a∥b;②a与b的长度相等;③a是b的相反向量;④a与b一定相等.
考点 相等向量与共线向量
题点 相等向量与共线向量的性质与判定
答案 ④
4.如图所示,设O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的有________.(填序号)
①=;
②∥;
③与共线;
④=.
考点 相等向量与共线向量
题点 几何图形中的相等向量与共线向量
答案 ①②③
解析 与方向相同,长度相等,∴①正确;
∵A,O,C三点在一条直线上,∴∥,②正确;
∵AB∥DC,∴与共线,③正确;
与方向不同,∴二者不相等,④错误.
1.向量是既有大小又有方向的量,从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量,我们可以将某些代数问题转化为几何问题,又将几何问题转化为代数问题,故向量能起到数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然,同一直线上的向量也是平行向量.
3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量,零向量与任何向量都平行,单位向量有无穷多个,起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.
一、选择题
1.(2017·北师大附中一模)给出下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤路程;⑥功;⑦加速度.其中是向量的有(  )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
考点 向量的概念
题点 向量的判定
答案 A
解析 速度、位移、力、加速度,这4个物理量是向量,它们都有大小和方向.
2.下列说法正确的是(  )
A.向量与是相等向量
B.共线的单位向量是相等向量
C.零向量与任一向量共线
D.两平行向量所在直线平行
考点 相等向量与共线向量
题点 相等向量与共线向量的性质与判定
答案 C
解析 向量与是相反向量,不是相等向量,故A错;共线的单位向量可能是相等向量,也可能是相反向量,故B错;零向量与任一向量共线,故C正确;两平行向量所在直线可能平行,也可能重合,故D错.
3.设O是△ABC的外心,则,,是(  )
A.相等向量 B.模相等的向量
C.平行向量 D.起点相同的向量
考点 向量的表示方法
题点 向量的模
答案 B
解析 因为O是△ABC的外心,所以||=||=||,故选B.
4.在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则(  )
A.与共线 B.与共线
C.与相等 D.与相等
考点 相等向量与共线向量
题点 几何图形中的相等向量与共线向量
答案 B
解析 如图所示,因为D,E分别是AB,AC的中点,由三角形的中位线定理可得DE∥BC.所以与共线.
5.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,则以下说法错误的是(  )
A.与相等的向量只有1个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
考点 向量的表示方法
题点 向量的模
答案 D
解析 由于=,因此与相等的向量只有,而与的模相等的向量有,,,,,,,,,因此选项A,B正确.而Rt△AOD中,∵∠ADO=30°,
∴||=||,故||=||,因此选项C正确.由于=,因此与是共线的,故选D.
6.如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中不一定成立的是(  )
A.||=||
B.与共线
C.与共线
D.=
考点 相等向量与共线向量
题点 几何图形中的相等向量与共线向量
答案 C
二、填空题
7.若A地位于B地正西方向5 km处,C地位于A地正北方向5 km处,则C地相对于B地的位移是________.
考点 向量的表示方法
题点 向量的几何意义及其应用
答案 西北方向5 km
8.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||=________.
考点 向量的表示方法
题点 向量的模
答案 2
解析 由题意知AC⊥BD,且∠ABD=30°,
∴在Rt△ABO中,||=||·cos 30°=2×=,
∴||=2||=2.
9.在四边形ABCD中,若=且||=||,则四边形的形状为________.
考点 相等向量与共线向量
题点 相等向量与共线向量的应用
答案 菱形
解析 ∵=,∴AB=DC,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵||=||,∴四边形ABCD是菱形.
10.某人向正东方向行进100 m后,再向正南方向行进100 m,则此人位移的方向是________.
考点 向量的表示方法
题点 向量的几何意义及其应用
答案 南偏东30°
解析 如图所示,此人从点A出发,经点B,到达点C,
则tan∠BAC===,
∵∠BAC是三角形的内角,
∴∠BAC=60°,即位移的方向是南偏东30°.
11.如图,若四边形ABCD为正方形,△BCE为等腰直角三角形,则:
(1)图中与共线的向量有________;
(2)图中与相等的向量有________;
(3)图中与的模相等的向量有________;
(4)图中与相等的向量有________.
考点 相等向量与共线向量
题点 几何图形中的相等向量与共线向量
答案 (1),,,,,,
(2),
(3),,,,,,,,
(4)
三、解答题
12.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)画出,,,;
(2)求B地相对于A地的位置向量.
考点 向量的表示方法
题点 向量的几何意义及其应用
解 (1)向量,,,,如图所示.
(2)由题意知=,
∴AD∥BC,AD=BC,
则四边形ABCD为平行四边形,
∴=,则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°,长度为6千米”.
13.如图所示,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点,且=,求证:=.
考点 相等向量与共线向量
题点 相等向量与共线向量的性质和判定
证明 ∵=,∴AB=DC且AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,∴=,
又=,∴CN=MA,CN∥MA,
∴四边形CNAM是平行四边形,
∴=,∴CM=NA,CM∥NA.
∵CB=DA,CM=NA,∴MB=DN.
又DN∥MB,∴与的模相等且方向相同,
∴=.
四、探究与拓展
14.给出以下5个条件:
①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________.(填序号)
考点 相等向量与共线向量
题点 相等向量与共线向量的性质与判定
答案 ①③④
解析 相等向量一定是共线向量,故①能使a∥b;方向相同或相反的向量一定是共线向量,故③能使a∥b;零向量与任一向量平行,故④成立.
15.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B.点C为小正方形的顶点,且||=.
(1)画出所有的向量;
(2)求||的最大值与最小值.
考点 向量的表示方法
题点 向量的几何表示,向量的模
解 (1)画出所有的向量,如图所示.
(2)由(1)所画的图知,
①当点C位于点C1或C2时,
||取得最小值=;
②当点C位于点C5或C6时,
||取得最大值=.
所以||的最大值为,最小值为.