§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.1 两角差的余弦公式
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
知识点一 两角差的余弦公式的探究
思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明．
答案 不正确．
例如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos ＝，
而cos α－cos β＝cos －cos ＝－，
故cos(α－β)≠cos α－cos β；
再如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos ＝，
而cos α－cos β＝cos －cos ＝，
故cos(α－β)≠cos α－cos β.
思考2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．
①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝________；
②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝________；
③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________；
④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________.
猜想：
cos αcos β＋sin αsin β＝________，
即______________________________________________________．
答案 ①1 ② ③0 ④
cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
知识点二 两角差的余弦公式
思考1 单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？
答案 A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)．
与的夹角是α－β.
思考2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式．
答案 ①·＝||||cos(α－β)＝cos(α－β)，
②·＝cos αcos β＋sin αsin β.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
梳理 C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．
(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．
1．存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β.( √ )
提示 如α＝，β＝，cos(α－β)＝cos＝cos＝，cos α－cos β＝cos －cos ＝，满足cos(α－β)＝cos α－cos β.
2．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( × )
提示 由两角差的余弦公式可知不正确．
3．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( √ )
类型一 利用两角差的余弦公式化简求值
例1 计算：
(1)cos(－15°)；
(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝×＋×＝.
方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝.
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.
反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．
跟踪训练1 化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为( )
A. B. C．－ D．－
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 B
解析 cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°
＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°
＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝.
类型二 给值求值
例2 (1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)等于( )
A．－ B．－
C. D.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 D
解析 因为sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，
所以(cos α－cos β)2＝，(sinα－sin β)2＝－.
两式相加，得2－2cos(α－β)＝2－.
所以cos(α－β)＝.
(2)已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α－β)＝，求cos β的值．
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
解 因为α∈，sin α＝<，所以0<α<.
又因为α－β∈，cos(α－β)＝<，
所以－<α－β<－.
所以cos α＝＝ ＝，
sin(α－β)＝－＝－＝－，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
反思与感悟 给值求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
跟踪训练2 已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求cos(α－β)的值．
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
解 ∵(sin α＋sin β)2＝2，
(cos α＋cos β)2＝2，
以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，
∴cos(α－β)＝－.
类型三 给值求角
例3 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求角
解 ∵α，β∈且cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
引申探究
若本例条件中的“cos(α＋β)＝－”改为“sin(α＋β)＝”，则β的值是什么？
解 ∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，
∵cos α＝，sin(α＋β)＝，
∴sin α＝，cos(α＋β)＝±，
当cos(α＋β)＝－时，
cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝，
∵β∈，∴β＝；
当cos(α＋β)＝时，
cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝<
＝cos(α＋β)，
且α＋β∈，β∈，
所以β>α＋β，即α<0，与已知矛盾，舍去，所以β＝.
反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值．
(2)确定角的范围．
(3)根据角的范围写出所求的角．
跟踪训练3 已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小．
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求角
解 因为sin(π－α)＝，所以sin α＝.
因为0<α<，所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，
且0<β<α<，所以0<α－β<，
所以sin(α－β)＝＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
因为0<β<，所以β＝.
1．计算cos cos ＋cos sin 的值是( )
A．0 B. C. D.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 C
解析 cos cos ＋cos sin
＝cos cos ＋sin sin ＝cos
＝cos ＝.
2．cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°的值为( )
A. B．－ C. D．－
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 C
解析 原式＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝.
3．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于( )
A. B.
C.或 D.或
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 A
解析 依题意得sin α＝＝，cos(α＋β)＝±＝±.
又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．
因为>>－，所以cos(α＋β)＝－.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
4．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式化简
答案
解析 原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]
＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
5．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a⊥b，求α－β的值．
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式化简
解 因为a⊥b，所以a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0.
因为－π<α－β<π，所以α－β＝－或.
1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值．
(2)确定角所在的范围(找区间)．
(3)确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
一、选择题
1．cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为( )
A. B．－ C. D．－
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 A
解析 原式＝－cos 115°cos 20°＋sin 115°sin 20°
＝cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)
＝cos 45°＝.
2．已知cos＝，0＜θ＜，则cos θ等于( )
A. B.
C. D.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 A
解析 ∵θ∈，∴θ＋∈，
∴sin＝ ＝.
∴cos θ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
3．(2017·广东肇庆三模)已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 A
解析 ∵α为锐角，且cos α＝，
∴sin α＝＝.
∵β为第三象限角，且sin β＝－，
∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.故选A.
4．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于( )
A. B.
C．－ D.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 A
解析 由题意可得sin α＝，cos α＝，
cos＝cos cos α＋sin sin α
＝×＋×＝.
5．已知点A(cos 80°，sin 80°)，B(cos 20°，sin 20°)，则||等于( )
A. B. C. D．1
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 D
解析 ||＝
＝
＝＝＝1.
6．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求角
答案 C
解析 ∵α，β∈，∴α－β∈，2α∈(0，π)，sin(α－β)＝－，sin 2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
7．化简sin(x＋y)sin(y－x)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为( )
A．sin 2y B．cos 2y
C．－cos 2y D．－sin 2y
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式化简
答案 C
解析 原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y，故选C.
二、填空题
8．已知cos α＝，cos(α－β)＝－，<α<2π，<α－β<π，则cos β＝________.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
答案 －1
解析 由条件知sin α＝－，sin(α－β)＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－－＝－1.
9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
考点 两角差的余弦公式
题点 两角差的余弦公式的综合应用
答案 －
解析 由
①2＋②2，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，
即cos(α－β)＝－.
10．化简＝________.
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式化简
答案
解析 原式＝
＝＝.
11．(2017·广东深圳中学同步练习)函数f(x)＝sin 2xsin－cos 2xcos 在上的单调递增区间为________．
考点 两角差的余弦公式
题点 两角差的余弦公式的综合应用
答案
解析 f(x)＝sin 2xsin －cos 2xcos ＝sin 2xsin ＋cos 2xcos ＝cos.当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增．取k＝0，得－≤x≤，故函数f(x)在上的单调递增区间为.
三、解答题
12．已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β)．
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值
解 因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π.
因为cos(2α－β)＝－，所以<2α－β<π，
所以sin(2α－β)＝.
因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝，所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝.
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝×＋×＝0.
13．已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0<φ<，求cos φ的值．
考点 两角差的余弦公式
题点 两角差的余弦公式的综合应用
解 (1)因为a⊥b，
所以a·b＝sin θ－2cos θ＝0，
即sin θ＝2cos θ.
又因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以4cos2θ＋cos2θ＝1，
即cos2θ＝，所以sin2θ＝，
又θ∈，所以sin θ＝，cos θ＝.
(2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)
＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，
所以cos φ＝sin φ，
所以cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，
即cos2φ＝.
因为0<φ<，所以cos φ＝.
四、探究与拓展
14．函数y＝cos x＋cos，x∈[0，π]的最小值为( )
A．－ B. C．－ D.
考点 两角差的余弦公式
题点 两角差的余弦公式的综合应用
答案 C
解析 y＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x
＝＝cos，
因为x∈[0，π]，所以x－∈，
故ymin＝×＝－.
15．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β；
(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．
考点 两角差的余弦公式
题点 两角差的余弦公式的综合应用
解 (1)∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，，
∴sin α＝，sin β＝，∴cos α＝.
(2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－，
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α
＝×＋×＝.
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
学习目标 1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.
2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．
知识点一 两角和的余弦公式
思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
答案 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到．
梳理
公式
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
简记符号
C(α＋β)
使用条件
α，β都是任意角
记忆口决：“余余正正，符号相反”．
知识点二 两角和与差的正弦公式
思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
答案 sin(α＋β)＝cos
＝cos
＝coscos β＋sinsin β
＝sin αcos β＋cos αsin β.
思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？
答案 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
梳理
内容
两角和的正弦
两角差的正弦
简记符号
S(α＋β)
S(α－β)
公式形式
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
记忆口诀：“正余余正，符号相同”．
1．不存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( × )
提示 如α＝β＝0，cos(α＋β)＝cos 0＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1.
2．任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.( √ )
提示 由两角和的正弦公式知结论正确．
3．存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )
提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.
4．存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ )
提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0.
类型一 给角求值
例1 (1)(2017·衡水高一检测)已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin的值为( )
A. B．－ C. D．－
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案 C
解析 因为角α的终边经过点(－3,4)，
则sin α＝，cos α＝－，
所以sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×－×＝.
(2)计算：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
解 原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
反思与感悟 解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
跟踪训练1 求值：＝ .
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案 2－
解析 原式＝
＝
＝＝＝＝＝2－.
类型二 给值求值
例2 已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)．
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
解 ∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．
跟踪训练2 已知cos＝，x∈(0，π)，则sin x的值为( )
A. B.
C. D.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案 B
解析 由题意得x＋∈，
所以sin＝，
所以sin x＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.
类型三 辅助角公式
例3 (1)求值：cos ＋sin ＝ .
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用辅助角公式化简求值
答案
解析 原式＝2＝2sin ＝.
(2)当函数y＝sin x－cos x(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝ .
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用辅助角公式化简求值
答案
解析 y＝2sin，
∵0≤x≤2π，∴－≤x－≤，
∴当x－＝，即x＝时，ymax＝2.
反思与感悟 一般地，对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．
跟踪训练3 sin －cos ＝ .
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用辅助角公式化简求值
答案 －
解析 原式＝2
＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝－.
1．sin 7°cos 37°－sin 83°sin 37°的值为( )
A．－ B．－ C. D.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式化简
答案 B
解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－.
2．计算cos ＋sin 的值是( )
A. B．2 C．2 D.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式化简
答案 B
解析 cos ＋sin ＝2
＝2
＝2sin＝2sin ＝2.
3．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求角
答案
解析 ∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
又∵0<α＋β<π，且α>，∴α＋β＝.
4.＝ .
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式化简
答案
解析 原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
5．求函数f(x)＝sin x－cos的值域．
考点 两角和与差的正弦公式
题点 两角和与差的正弦公式的综合应用
解 f(x)＝sin x－
＝sin x－cos x＝sin，
故函数f(x)的值域为[－，]．
1．公式的推导和记忆
(1)理顺公式间的逻辑关系
C(α－β)C(α＋β)S(α＋β)S(α－β)．
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；
对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．
(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．
2．应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.
一、选择题
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A．－ B. C．－ D.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式化简
答案 D
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2．已知α∈，sin＝，则sin α等于( )
A. B.
C．－或 D．－
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案 B
解析 由α∈，得<α＋<，
所以cos＝－
＝－ ＝－.
所以sin α＝sin
＝sincos －cossin
＝×＝，故选B.
3．(2017·江西上饶高一期末考试)已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α等于( )
A. B. C．－ D．－
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案 A
解析 ∵∴0<α－β<π.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝.
∵－<β<0，sin β＝－，
∴cos β＝，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝.
4．在△ABC中，若A＝，cos B＝，则sin C等于( )
A. B．－ C. D．－
考点 两角和与差的正弦公式
题点 两角和与差的正弦公式的综合应用
答案 A
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝(cos B＋)
＝×＝.
5．(2017·杭州高一检测)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则sin的值为( )
A. B.
C. D.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案 A
解析 因为sin α＋cos α＝，α∈(0，π)．
所以1＋2sin αcos α＝，2sin αcos α＝－，
所以sin α>0，cos α<0，
由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.
可得sin α－cos α＝.
解得sin α＝，cos α＝.
因为cos ＝cos＝cos cos ＋sin sin ＝，
sin ＝sin＝sin cos －cossin＝，
则sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝.
6．(2017·安徽马鞍山模考)函数f(x)＝sin－sin是( )
A．周期为π的偶函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为2π的奇函数
考点 两角和与差的正弦公式
题点 两角和与差的正弦公式的综合应用
答案 B
解析 因为f(x)＝sin－sin＝sin xcos ＋cos xsin －sin xcos ＋cos xsin
＝cos x，
所以函数f(x)的最小正周期为＝2π.
又f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．
7．已知cos＋sin α＝，则sin的值为( )
A．－ B. C．－ D.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案 C
解析 ∵cos＋sin α＝，
∴cos αcos ＋sin αsin ＋sin α＝，
∴cos α＋sin α＝，即cos α＋sin α＝，
∴sin＝.
∴sin＝－sin＝－.
二、填空题
8．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为 ．
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用辅助角公式化简求值
答案
解析 f(x)＝2cos x＋sin x
＝，
设sin α＝，cos α＝，
则f(x)＝sin(x＋α)，
∴函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为.
9．sin 15°＋sin 75°的值是 ．
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案
解析 sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)
＝2sin 45°cos 30°＝.
10.＝ .
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式化简
答案 1
解析 原式＝
＝
＝tan 45°＝1.
11．已知sin＝－，则cos x＋cos＝ .
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
答案 －1
解析 因为sin＝－，
所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x
＝cos x＋sin x＝
＝sin＝－1.
三、解答题
12．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
考点 两角和与差的正弦公式
题点 利用两角和与差的正弦公式求值
解 因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<.
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－ ＝－.
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
13．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)sin(2α－β)的值；
(2)β的值．
考点 两角和与差的正弦公式
题点 两角和与差的正弦公式的综合应用
解 (1)因为α，β∈，
所以α－β∈，
又sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.
所以sin α＝＝，
cos(α－β)＝＝，
sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]
＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)
＝×＋×＝.
(2)sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
又因为β∈，所以β＝.
四、探究与拓展
14．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β＝ .
考点 两角和与差的正弦公式
题点 两角和与差的正弦公式的综合应用
答案
解析 由题意，得sin αcos β－cos αsin β＝，
∴sin(α－β)＝.
∵0＜β＜α＜，∴cos(α－β)＝＝.
又由cos α＝，得sin α＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
∴β＝.
15．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
考点 两角和与差的正弦公式
题点 两角和与差的正弦公式的综合应用
解 (1)由f＝Asin
＝Asin ＝A＝，可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin－3sin＝，
即3－3＝，
故sin θ＝.
因为θ∈，所以cos θ＝，
所以f＝3sin
＝3sin＝3cos θ＝.
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．
知识点一 两角和与差的正切公式
思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
答案 tan(α＋β)＝＝，
分子分母同除以cos αcos β，便可得到．
思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？
答案 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．
梳理
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)
知识点二 两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．
tan αtan β＝1－.
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．
tan αtan β＝－1.
1．对于任意角α，β，总有tan(α＋β)＝ .( × )
提示 公式成立需α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
2．使公式tan(α±β)＝有意义，只需α，β≠kπ＋(k∈Z)即可．( × )
提示 还应使α±β≠kπ＋，k∈Z.
3．若α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)恒成立．( √ )
4．α≠kπ－，且α≠kπ＋，k∈Z时，tan＝.( √ )
类型一 正切公式的正用
例1 (1)(2017·江苏)若tan＝，则tan α＝________.
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案
解析 方法一 ∵tan＝
＝＝.
∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，
∴tan α＝.
方法二 tan α＝tan
＝＝＝.
(2)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案 A
解析 由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
反思与感悟 (1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是Tα±β中的符号规律是“分子相同、分母相反”．
(2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧．
跟踪训练1 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案 3
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝3.
类型二 正切公式的逆用与变形使用
例2 (1)＝________.
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式化简
答案
解析 原式＝＝tan(45°＋15°)
＝tan 60°＝.
(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式化简
解 方法一 tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°
＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
方法二 ∵tan(23°＋37°)＝，
∴＝，
∴－tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式
①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)或②1?tan α·tan β＝.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．
跟踪训练2 在△ABC中，A＋B≠，且tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C的值为( )
A. B. C. D.
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求角
答案 A
解析 ∵tan A＋tan B＋＝tan Atan B?tan(A＋B)·(1－tan Atan B)＝(tan Atan B－1)．(*)
若1－tan Atan B＝0，
则cos Acos B－sin Asin B＝0，即cos(A＋B)＝0.
∵0
∴由(*)得tan(A＋B)＝－，即tan C＝.
又∵01．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于( )
A. B．－ C．3 D．－3
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案 A
解析 tan(α－β)＝＝＝.
2．若tan＝2，则tan α的值为( )
A. B．－ C. D．－
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案 A
解析 tan＝＝2，
解得tan α＝.
3．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．不确定
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案 B
解析 (1＋tan A)(1＋tan B)
＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.
4.＝________.
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式化简
答案 －1
解析 原式＝＝
＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.
5．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角．求：
(1)sin(α－β)的值；
(2)tan(α＋β)的值．
考点 和、差角公式的综合应用
题点 综合运用和、差角公式化简求值
解 (1)因为α，β都是锐角，所以sin α＝＝，sin β＝＝，
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝.
(2)tan α＝＝2，tan β＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝－2.
1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．应用公式T(α±β)时要注意的问题
(1)公式的适用范围
由正切函数的定义可知，α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
(2)公式的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．
特别要注意tan＝，tan＝.
(3)公式的变形应用
只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．
特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．
一、选择题
1．(2017·衡水高一检测)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( )
A. B．1＋
C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式化简
答案 C
解析 (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.
2．已知α＋β＝π，则(1＋tan α)·(1＋tan β)等于( )
A．－1 B．－2 C．2 D．3
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式化简
答案 C
解析 (1＋tan α)·(1＋tan β)＝1＋(tan α＋tan β)＋tan α·tan β＝1＋tan(α＋β)·(1－tan α·tan β)＋tan α·tan β＝1＋1－tan α·tan β＋tan α·tan β＝2.
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan的值为( )
A. B. C. D.
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案 A
解析 因为α＋＝(α＋β)－，
所以tan＝
＝＝.
4．(2017·成都高一检测)在△ABC中，若(tan B＋tan C)＝tan Btan C－1，则sin 2A等于( )
A．－ B. C．－ D.
考点 两角和与差的正切公式
题点 两角和与差的正切公式的综合应用
答案 B
解析 在△ABC中，
因为(tan B＋tan C)＝tan Btan C－1，
所以tan(B＋C)＝＝－，
所以B＋C＝150°，所以A＝30°，
所以sin 2A＝sin 60°＝.
5．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
考点 两角和与差的正切公式
题点 两角和与差的正切公式的综合应用
答案 A
解析 ∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形．
6．设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan等于( )
A．－ B. C．－3 D．3
考点 两角和与差的正切公式
题点 两角和与差的正切公式的综合应用
答案 B
解析 由a·b＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.
tan＝＝＝.
7．已知tan α＝lg 10a，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为( )
A．1 B.
C．1或 D．1或10
考点 两角和与差的正切公式
题点 两角和与差的正切公式的综合应用
答案 C
解析 ∵α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝＝1，
tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg 10a＋lg ＝1－lg 10a·lg ，
1＝1－lg 10a·lg ，
∴lg 10a·lg ＝0.
∴lg 10a＝0或lg ＝0.
得a＝或a＝1.
二、填空题
8.＝________.
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式化简
答案
解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.
9．已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
答案 －
解析 由题意，得cos＝，∴tan＝.∴tan＝tan＝－
＝－.
10．已知tan＝2，则的值为______．
考点 两角和与差的正切公式
题点 两角和与差的正切公式的综合应用
答案
解析 ∵tan＝2，
∴＝2，解得tan α＝.
∴＝
＝＝＝.
11.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝__________.
考点 两角和与差的正切公式
题点 两角和与差的正切公式的综合应用
答案
解析 ∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，
∴tan∠BAD＝＝，
tan∠CAD＝＝＝，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
＝
＝＝.
三、解答题
12．已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan的值；
(2)tan(α＋β)的值．
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求值
解 (1)tan＝tan
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
13．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，求α＋β的值．
考点 两角和与差的正切公式
题点 利用两角和与差的正切公式求角
解 由根与系数的关系得
tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，
∴tan α<0，tan β<0，
∴tan(α＋β)＝＝＝，
又－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0.
∴－<α<0，－<β<0，
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
四、探究与拓展
14．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________.
考点 两角和与差的正切公式
题点 两角和与差的正切公式的综合应用
答案 －
解析 ＝
＝＝＝－.
15．(2017·江西南昌实验中学月考)在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求的值．
考点 两角和与差的正切公式
题点 两角和与差的正切公式的综合应用
解 (1)由题意得cos α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝，
因此tan α＝2，tan β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－.
(2)＝×＝×tan[(α＋β)－α]＝×tan β＝×＝.
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
知识点一 二倍角公式的推导
思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？
答案 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α
＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α
＝cos2α－sin2α；
tan 2α＝tan(α＋α)＝(α≠＋kπ，2α≠＋kπ，k∈Z)．
思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？
答案 cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；
或cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
知识点二 二倍角公式的变形
1．公式的逆用
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
cos2α－sin2α＝cos_2α，＝tan 2α.
2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，
1＋cos α＝2cos2,1－cos α＝2sin2 .
降幂公式
cos2α＝，sin2α＝.
1．sin α＝2sin cos .( √ )
2．cos 4α＝cos22α－sin22α.( √ )
3．对任意角α，tan 2α＝.( × )
提示 公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝及α＝，上式均无意义.
类型一 给角求值
例1 (1)计算：cos2－sin2；
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用余弦的二倍角公式化简求值
解 原式＝cos ＝.
(2)计算：；
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用正切的二倍角公式化简求值
解 ＝2·＝2·＝－2.
(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用正弦的二倍角公式化简求值
解 原式＝·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
＝·sin 40°·cos 40°cos 80°
＝sin 80°cos 80°
＝·sin 160°
＝＝.
反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
跟踪训练1 (1)cos cos cos 的值为( )
A. B．－ C. D．－
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用正弦的二倍角公式化简求值
答案 D
解析 cos cos cos
＝cos ··
＝
＝＝
＝＝－.
(2)－cos2＝________；
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用余弦的二倍角公式化简求值
答案 －
解析 原式＝＝－cos ＝－.
类型二 给值求值
例2 (1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝________.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
答案
解析 (sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α
＝1－sin 2α＝2，
即sin 2α＝1－2＝.
(2)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于( )
A. B. C．1 D.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
答案 A
解析 cos2α＋2sin 2α＝＝.
把tan α＝代入，得
cos2α＋2sin 2α＝＝＝.故选A.
引申探究
在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝，求sin 2α.
解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝，
∴1＋2sin αcos α＝，即1＋sin 2α＝，
∴sin 2α＝－.
反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：
①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
跟踪训练2 (1)(2017·石家庄高一检测)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 利有二倍角公式求二倍角的正弦值
答案 A
解析 因为sin(π－α)＝，所以sin α＝，
又因为≤α≤π，
所以cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
(2)已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
答案
解析 因为α为锐角，cos＝>0，
所以α＋为锐角，sin＝，
则sin＝2sincos
＝2××＝.
又cos＝sin，所以cos＝.
类型三 利用二倍角公式化简证明
例3 (1)化简：.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用二倍角公式化简三角函数式
解 方法一 原式＝
＝＝
＝tan θ.
方法二 原式＝
＝
＝＝tan θ.
(2)求证：·＝tan 2α.
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
证明 左边＝·＝tan 2α＝右边．
反思与感悟 三角函数式化简、证明的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．
(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分．
(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．
(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．
(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．
跟踪训练3 α为第三象限角，则－＝________.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用二倍角公式化简三角函数式
答案 0
解析 ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，
∴－
＝－
＝－＝0.
1．(2017·山东)已知cos x＝，则cos 2x等于( )
A．－ B. C．－ D.
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 利用二倍角公式求二倍角的余弦值
答案 D
解析 cos 2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.
故选D.
2．sin 15°sin 75°的值是( )
A. B. C. D.
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值
答案 C
解析 sin 15°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
3．sin4－cos4等于( )
A．－ B．－ C. D.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用余弦的二倍角公式化简求值
答案 B
解析 原式＝·
＝－＝－cos ＝－.
4.＝________.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用正切的二倍角公式化简求值
答案
解析 原式＝×＝tan
＝tan ＝.
5．证明：＝tan ＋.
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
证明 ∵左边＝
＝
＝＝
＝tan ＋＝右边，
∴原等式成立．
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝；
③1－cos 2α＝2sin2α；④sin2α＝.
一、选择题
1．已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于( )
A．－ B. C．－ D.
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值
答案 D
解析 由α是第三象限角，且cos α＝－，
得sin α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D.
2．(2017·全国Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用正弦的二倍角公式化简求值
答案 A
解析 ∵sin α－cos α＝，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，
∴sin 2α＝－.故选A.
3．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( )
A．30°或60° B．45°
C．60° D．30°
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用余弦的二倍角公式化简求值
答案 D
解析 因为cos 2α＝1－2sin2α，
故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，
即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.
因为α为锐角，所以sin α＝，
所以α＝30°.故选D.
4．已知x∈，cos x＝，则tan 2x等于( )
A. B．－ C. D．－
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值
答案 D
解析 由cos x＝，x∈，得sin x＝－，
所以tan x＝－，
所以tan 2x＝＝＝－，故选D.
5.的值是( )
A．sin 2 B．－cos 2
C.cos 2 D．－cos 2
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用余弦的二倍角公式化简求值
答案 D
解析 原式＝＝＝－cos 2.
6．函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
答案 B
解析 f(x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，所以当sin x＝1时，f(x)的最大值为5.
7．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
答案 A
解析 由题意得(sin α＋cos α)2＝，
∴1＋sin 2α＝，sin 2α＝－.
∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0.
又∵sin α＋cos α>0，
∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α<0，
∴cos 2α＝－
＝－ ＝－ ＝－，故选A.
二、填空题
8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用正弦的二倍角公式化简求值
答案
解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝＝＝.
9．已知θ∈(0，π)，且sin＝，则tan 2θ＝________.
考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值
答案 －
解析 由sin＝，
得(sin θ－cos θ)＝，
即sin θ－cos θ＝.
解方程组
得或
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以不合题意，舍去，所以tan θ＝，
所以tan 2θ＝＝＝－.
10．若＝2 018，则＋tan 2α＝________.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
答案 2 018
解析 ＋tan 2α＝＋
＝＝
＝＝＝2 018.
11．已知tan ＝3，则＝________.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
答案 3
解析 ＝
＝＝tan ＝3.
三、解答题
12．(2017·山东青岛城阳一中期中考试)已知3sin β＝sin(2α＋β)，且α≠，α＋β≠＋kπ(k∈Z)，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
证明 因为sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α；
sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α，
所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
又α≠，α＋β≠＋kπ(k∈Z)，
所以cos α≠0，cos(α＋β)≠0.
于是等式两边同除以cos(α＋β)·cos α，
得tan(α＋β)＝2tan α.
13．化简：(180°<α<360°)．
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
解 原式＝
＝
＝＝.
因为180°<α<360°，所以90°<<180°，
所以cos <0，所以原式＝cos α.
四、探究与拓展
14．等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 利用正弦的二倍角公式化简求值
答案
解析 设A是等腰△ABC的顶角，
则cos B＝，
sin B＝＝ ＝.
所以sin A＝sin(180°－2B)＝sin 2B
＝2sin Bcos B＝2××＝.
15．已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos2x＋2sin xcos x.
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin 2α.
考点 应用二倍角公式化简求值
题点 综合应用二倍角公式化简求值
解 (1)f(x)＝cos 2x－sin 2x－cos 2x＋sin 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
(2)f(α)＝sin＝，2α是第一象限角，
即2kπ<2α<＋2kπ(k∈Z)，
∴2kπ－<2α－<＋2kπ(k∈Z)，
∴cos＝，
∴sin 2α＝sin
＝sin·cos ＋cos·sin
＝×＋×＝.
§3.2 简单的三角恒等变换
学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
知识点一 半角公式
思考1 我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？
答案 结果是cos α＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2.
思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin ，cos ，tan .
答案 ∵cos2＝，∴cos ＝± ，
同理sin ＝± ，∴tan ＝
＝± .
思考3 利用tan α＝和二倍角公式又能得到tan 与sin α，cos α怎样的关系？
答案 tan＝＝＝，
tan ＝＝＝.
梳理
sin ＝± ，
cos＝± ，
tan ＝± ＝＝ .
知识点二 辅助角公式
思考1 asin x＋bcos x化简的步骤有哪些？
答案 (1)提常数，提出得到
.
(2)定角度，确定一个角θ满足：
cos θ＝，sin θ＝
.
一般θ为特殊角，则得到(cos θsin x＋sin θcos x)(或(sin θsin x＋cos θcos x))．
(3)化简、逆用公式得asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(或asin x＋bcos x＝cos(x－θ))．
思考2 在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？
答案 θ所在的象限由a和b的符号确定．
梳理 辅助角公式：
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
1．若α≠kπ，k∈Z，则tan ＝＝恒成立．( √ )
2．若函数f(x)＝A1sin(ωx＋φ1)，g(x)＝A2sin(ωx＋φ2)(其中A1>0，A2>0，ω>0)，则h(x)＝f(x)＋g(x)的周期与f(x)和g(x)的一致．( √ )
3．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ所在的象限由a，b的符号决定，φ与点(a，b)同象限．( √ )
4．sin x＋cos x＝2sin.( × )
提示 sin x＋cos x＝2
＝2sin.
类型一 应用半角公式求值
例1 已知sin θ＝，＜θ＜3π，求cos和tan .
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
解 ∵sin θ＝，且＜θ＜3π，∴cos θ＝－
＝－.
由cos θ＝2cos2－1，得cos2＝＝.
∵＜＜，∴cos ＝－ ＝－.
tan ＝＝2.
反思与感悟 利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
跟踪训练1 已知sin θ＝－，3π<θ<π，则tan 的值为( )
A．3 B．－3 C. D．－
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 B
解析 ∵3π<θ<，sin θ＝－，
∴cos θ＝－，tan ＝＝－3.
类型二 三角函数式的化简
例2 化简.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
解
＝
＝＝＝1.
反思与感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法
(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．
跟踪训练2 设α∈，化简：.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
解 ∵α∈，∴cos α>0，cos <0，
故原式＝＝
＝＝＝－cos .
类型三 三角函数式的证明
例3 求证：＝.
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
证明 要证原式，可以证明＝.
∵左边＝
＝
＝＝tan 2θ，
右边＝＝tan 2θ，
∴左边＝右边，
∴原式得证．
反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
跟踪训练3 求证：－tan θ·tan 2θ＝1.
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
证明 －tan θ·tan 2θ＝－
＝＝＝
＝＝1.
类型四 利用辅助角公式研究函数性质
例4 已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
解 (1)∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin[2]＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为.
反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
解 (1)f(x)＝·
＝cos2x－sin2x
＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，h(x)有最大值.
此时x的集合为.
1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为( )
A. B．－ C．± D．±
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 A
解析 由题意知∈，∴cos >0，cos ＝＝.
2．已知2π<θ<4π，且sin θ＝－，cos θ<0，则tan 的值等于( )
A．－3 B．3 C．－ D.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 A
解析 由题意知θ为第三象限角，
cos θ＝－＝－，
所以tan ＝＝＝－3.故选A.
3．化简·的结果为( )
A．tan α B．tan 2α C．1 D．2
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 B
解析 原式＝·＝tan 2α.
4．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为________．
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用辅助角公式化简求值
答案 －1
解析 f(x)＝sin，x∈.
∵－≤x－≤，
∴f(x)min＝sin＝－1.
5．已知在△ABC中，sin A·cos2＋sin C·cos2＝sin B，求证：sin A＋sin C＝2sin B.
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
证明 由sin A·cos2＋sin C·cos2＝sin B，
得sin A·＋sin C·＝sin B，
即sin A＋sin C＋sin A·cos C＋sin C·cos A＝3sin B，
∴sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B，
∴sin A＋sin C＋sin(π－B)＝3sin B，
即sin A＋sin C＋sin B＝3sin B，
∴sin A＋sin C＝2sin B.
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝.
3．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，
例如sin x±cos x＝sin；
sin x±cos x＝2sin等.
一、选择题
1．已知cos α＝，α∈，则sin 等于( )
A. B．－ C. D.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 A
解析 ∵α∈，∴∈，
sin ＝ ＝.
2．已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 C
3．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A．cC．a考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
答案 C
解析 a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)
＝sin 24°，b＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c＝sin 25°，
∵y＝sin x在上是单调递增的，
∴a4．(2017·安徽芜湖高一期末考试)已知等腰三角形的顶角的余弦值为，则它的底角的余弦值为( )
A. B. C. D.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 三角恒等变换与三角形的综合应用
答案 B
解析 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝.
又β＝－，所以cos β＝cos＝sin ＝＝，故选B.
5．在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 三角恒等变换与三角形的综合应用
答案 B
解析 sin Asin B＝(1＋cos C)，
即2sin Asin B＝1＋cos C，
∴2sin Asin B＝1－cos Acos B＋sin Asin B，
故得cos(A－B)＝1，
又∵A－B∈(－π，π)，
∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形．
6．已知sin θ＝，cos θ＝，则tan 等于( )
A．－ B．5
C．－5或 D．－或5
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 B
解析 由sin2θ＋cos2θ＝1，得2＋2＝1，
解得m＝0或8，当m＝0时，sin θ<0，不符合<θ<π.
∴m＝0舍去，故m＝8，
sin θ＝，cos θ＝－，
tan ＝＝＝5.
7．如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )
A．－ B. C．－ D.
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
答案 C
解析 ∵<θ<3π，|cos θ|＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－.
∵<<π，∴sin <0.
∵sin2＝＝，
∴sin ＝－.
二、填空题
8．已知α∈，sin 2α＝，则sin＝________.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
答案
解析 因为1－2sin2＝cos＝－sin 2α，
所以sin2＝，
因为α∈，
所以α＋∈，
所以sin＝.
9．已知sin＝，则cos2＝________.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用降幂公式化简求值
答案
解析 因为cos＝sin
＝sin＝.
所以cos2＝＝＝.
10．已知sin＋sin α＝－，－<α<0，则cos α＝________.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
答案
解析 由已知得sin αcos ＋cos αsin ＋sin α
＝sin α＋cos α＝sin＝－，
∴sin＝－.
又－<α＋<，∴cos＝，
∴cos α＝cos＝×＋×＝.
11．sin220°＋sin 80°·sin 40°的值为________．
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
答案
解析 原式＝sin220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)
＝sin220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°cos 20°－cos 60°sin 20°)
＝sin220°＋sin260°cos220°－cos260°sin220°
＝sin220°＋cos220°－sin220°
＝sin220°＋cos220°＝.
三、解答题
12．求证：tan －tan ＝.
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
证明 ∵左边＝tan －tan ＝－
＝＝
＝＝
＝＝右边．
∴原等式得证．
13．已知cos 2θ＝，<θ<π，
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值
解 (1)因为cos 2θ＝，所以＝，
所以＝，解得tan θ＝±，
因为<θ<π，所以tan θ＝－.
(2)因为<θ<π，tan θ＝－，
所以sin θ＝，cos θ＝－，
所以＝＝＝－4.
四、探究与拓展
14．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：
①f(x)＝2sin xcos x＋1；
②f(x)＝2sin；
③f(x)＝sin x＋cos x；
④f(x)＝sin 2x＋1.
其中是“同簇函数”的有( )
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用
答案 C
解析 ①式化简后为f(x)＝sin 2x＋1，③式化简后为f(x)＝2sin，①④中振幅不同，平移后不能重合．②③振幅、周期相同，平移后可以重合．
15．证明：sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝.
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
证明 原式＝sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°
＝cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝
＝＝
＝·＝＝右边，
所以原等式得证．
