2019高考物理--圆周平抛组合模型
突破策略
方法：应用动力学和能量观点分析直线
平抛和圆周运动组合问题
这类模型一般不难，各阶段的运动过程具有独立性，只要对不同过程分别选用相应规律即可，两个相邻的过程连接点的速度是联系两过程的纽带。
很多情况下平抛运动末速度的方向是解决问题的重要突破口。
典例剖析
【例1】滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点，圆心角为60°，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且长8 m。一运动员从轨道上的A点以3 m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量为60 kg，B、E两点与水平面CD的竖直高度分别为h和H，且h＝2 m，H＝2.8 m，g取10 m/s2。求：
注意分析运动员在各段运动过程中遵从的规律
(1)运动员从A运动到达B点时的速度大小vB；
(2)轨道CD段的动摩擦因数μ；
(3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，请求出回到B点时的速度的大小；如不能，则最后停在何处？
转 解析
转 原题
【备选】 如图甲所示,弯曲部分AB和CD是两个半径相等的四分之一圆弧,中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径),细圆管分别与上、下圆弧轨道相切连接,BC段的长度L可伸缩调节.下圆弧轨道与水平面相切,D、A分别是上、下圆弧轨道的最高点与最低点,整个轨道固定在同一竖直平面内.一小球多次以某一速度从A点水平进入轨道,从D点水平飞出.
在A、D两点各放一个压力传感器,测试小球对轨道A、D两点的压力,计算出压力差ΔF.改变BC间距离L,重复上述实验,最后绘得ΔF ?L的图线如图乙所示.
(不计一切摩擦阻力,g取10 m/s2)
1. 小球做平抛运动,已知竖直高度求时间t及水平方向的初速度v0
2.小球从A点到D点,满足机械能守恒定律.
3.应用向心力公式分别求出FA和FD的表达式,得压力差ΔF随L的函数式.由图象的截距和斜率,求小球的质量m和半径r.
审题
析疑
转 解析
(1)某一次调节后D点离地高度为0.8 m.小球从D点飞出,落地点与D点的水平距离为2.4 m,求小球过D点时速度大小.
(2)求小球的质量和圆弧轨道的半径大小.
要理解图象各部分的意义
转 原题
【例2】同学们参照伽利略时期演示平抛运动的方法制作了如图所示的实验装置，图中水平放置的底板上竖直地固定有M板和N板。M板上部有一半径为R的1/4圆弧形的粗糙轨道，P为最高点，Q为最低点，Q点处的切线水平，距底板高为H。N板上固定有三个圆环。将质量为m的小球从P处静止释放，小球运动至Q飞出后无阻碍地通过各圆环中心，落到底板上距Q水平距离为L处，不考虑空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)距Q水平距离为L/2的圆环中心到底板的高度；
(2)小球运动到Q点时速度的大小以及对轨道压力的大小和方向；
(3)摩擦力对小球做的功。
注意明确小球在这两段运动过程中遵从的规律.
本题详细解析见教辅！
审
题
设
疑
1. 本题有几个运动过程？各过程遵从什么物理规律？
2.各过程之间有哪些物理量存在相互关联？
【例3】如图示,将一质量m＝0.1 kg的小球自水平平台顶端O点水平抛出,小球恰好无碰撞地落到平台右侧一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端A并沿斜面下滑,斜面底端B与光滑水平轨道平滑连接,小球以不变的速率过B点后进入BC部分,再进入竖直圆轨道内侧运动.已知斜面顶端与平台的高度差h＝3.2 m,斜面高H＝15 m,竖直圆轨道半径R＝5 m.取sin 53°＝0.8,cos 53°＝0.6,g＝10 m/s2,求：
(1)小球水平抛出的初速度v0及斜面顶端与平台边缘的水平距离x；
(2)小球从平台顶端O点抛出至落到斜面底端B点所用的时间；
(3)若竖直圆轨道光滑,小球运动到圆轨道最高点D时对轨道的压力.
转 解析
转 原题
平移
答案
h=0，物块静止于C点
该转折点b对应轨道上的B点(斜面与圆轨道的切点处)
转 解析
转 原题
审题
设疑
1.小物体经过几个运动过程？各过程遵从哪些物理规律？
2.解答本题的突破口在哪个过程中？
【例5】 如图所示,用内壁光滑的薄壁细管弯成的“S”形轨道固定于竖直平面内,其弯曲部分是由两个半径均为R＝0.2 m的半圆平滑对接而成(圆的半径远大于细管内径)。轨道底端A与水平地面相切,顶端与一个长为l＝0.9 m的水平轨道相切B点。一倾角为θ＝37°的倾斜轨道固定于右侧地面上，其顶点D与水平轨道的高度差为h＝0.45 m,并与其它两个轨道处于同一竖直平面内。一质量为m＝0.1 kg的小物体(可视为质点)在A点被弹射入“S”形轨道内,沿轨道ABC运动,并恰好从D点无碰撞地落到倾斜轨道上。小物体与BC段间的动摩擦因数μ＝0.5。(不计空气阻力。g取10 m/s2。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)小物体从B点运动到D点所用的时间；
(2)小物体运动到B点时对“S”形轨道的
作用力大小和方向；
(3)小物体在A点获得的动能。
转 解析
转 原题
平移
答案
平抛运动与圆周运动的组合模型训练
1、如图所示，有一个可视为质点的质量为m＝1 kg的小物块，从光滑平台上的A点以
v0＝3 m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地
面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M＝3 kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑接触，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R＝0.5 m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝53°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)A、C两点的高度差；
(2)小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
(3)要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度．(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
解析 (1)小物块在C点时的速度大小为
vC＝＝5 m/s，竖直分量为vCy＝4 m/s
下落高度h＝ ＝0.8 m
(2)小物块由C到D的过程中，由动能定理得
mgR(1－cos 53°)＝mv－mv
解得vD＝ m/s
小球在D点时由牛顿第二定律得FN－mg＝m
代入数据解得FN＝68 N
由牛顿第三定律得FN′＝FN＝68 N，方向竖直向下
(3)设小物块刚好滑到木板右端时与木板达到共同速度，大小为v，小物块在木板上滑行
的过程中，小物块与长木板的加速度大小分别为
a1＝μg＝3 m/s2，
a2＝＝1 m/s2
速度分别为v＝vD－a1t，v＝a2t
对物块和木板系统，由能量守恒定律得
μmgL＝mv－(m＋M)v2
解得L＝3.625 m，即木板的长度至少是3.625 m
答案 (1)0.8 m (2)68 N (3)3.625 m
2、在我国南方农村地区有一种简易水轮机，如图所示，从悬崖上流出的水可看做连续做平抛运动的物体，水流轨道与下边放置 的轮子边缘相切，水冲击轮子边缘上安装的挡水板，可使轮子连续转动，输出动力．当该系统工作稳定时，可近似认为水的末速度与轮子边缘的线速度相同．设水的流出点比轮轴高h＝5.6 m，轮子半径R＝1 m．调整轮轴O的位置，使水流与轮边缘切点对应的半径与水平线成θ＝37°角．(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)问：
(1)水流的初速度v0大小为多少？
(2)若不计挡水板的大小，则轮子转动的角速度为多少？
答案 (1)7.5 m/s (2)12.5 rad/s
解析 (1)水流做平抛运动，有
h－Rsin 37°＝gt2
解得t＝ ＝1 s
所以vy＝gt＝10 m/s，由图可知：
v0＝vytan 37°＝7.5 m/s.
(2)由图可知：v＝＝12.5 m/s，
根据ω＝可得ω＝12.5 rad/s.
3、水上滑梯可简化成如图所示的模型，斜槽AB和光滑
圆弧槽BC平滑连接．斜槽AB的竖直高度差H＝6.0 m，倾角
θ＝37°；圆弧槽BC的半径R＝3.0 m，末端C点的切线水平；C
点与水面的距离h＝0.80 m．人与AB间的动摩擦因数μ＝0.2，取
重力加速度g＝10 m/s2，cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6.一个质量m
＝30 kg的小朋友从滑梯顶端A点无初速度地自由滑下，不计空
气阻力．求：
(1)小朋友沿斜槽AB下滑时加速度a的大小；
(2)小朋友滑到C点时速度v的大小及滑到C点时受到槽面的支持力FC的大小；
(3)在从C点滑出至落到水面的过程中，小朋友在水平方向的位移x的大小．
答案 (1)4.4 m/s2 (2)10 m/s 1 300 N (3)4 m
解析 (1)小朋友沿AB下滑时，受力情况如图所示，根据牛
顿第二定律得：
mgsin θ－Ff ＝ma ①
又Ff ＝μFN ②
FN＝mgcos θ ③
联立①②③式解得：a＝4.4 m/s2 ④
(2)小朋友从A滑到C的过程中，根据动能定理得：
mgH－Ff·＋mgR(1－cos θ)＝mv2－0 ⑤
联立②③⑤式解得：v＝10 m/s ⑥
根据牛顿第二定律有：FC－mg＝m ⑦
联立⑥⑦式解得：FC＝1 300 N． ⑧
(3)在从C点滑出至落到水面的过程中，小朋友做平抛运动，设此过程经历的时间为t，
则：h＝gt2 ⑨
x＝vt ⑩
联立⑥⑨⑩式解得：x＝4 m.
4、如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
答案 (1)1 m/s (2)0.2
解析 (1)物块做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2 ①
在水平方向上有s＝v0t ②
由①②式解得v0＝s
代入数据得v0＝1 m/s
(2)物块离开转台时，由最大静摩擦力提供向心力，有
fm＝m ③
fm＝μN＝μmg ④
由③④式得μ＝
代入数据得μ＝0.2
5、小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一
端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面
内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水
平距离d后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与
球之间的绳长为d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力．
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.
(2)问绳能承受的最大拉力多大？
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
答案 (1) (2)mg
(3) d
解析 (1)设绳断后球飞行的时间为t，由平抛运动规律有
竖直方向：d＝gt2
水平方向：d＝v1t
解得v1＝
由机械能守恒定律有mv＝mv＋mg(d－d)
解得v2＝
(2)设绳能承受的最大拉力大小为Fmax，这也是球受到绳的最大拉力的大小．
球做圆周运动的半径为R＝d
由圆周运动向心力公式，有Fmax－mg＝
得Fmax＝mg
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3.绳承受的最大拉力不变，有Fmax－mg＝m，
解得v3＝
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t1.由平抛运动规律有
d－l＝gt，x＝v3t1
得x＝4 ，当l＝时，x有最大值xmax＝d.
6、如图所示，一质量为2m的小球套在一“”滑杆上，小球与滑杆的动摩擦因数为μ＝0.5，BC段为半径为R的半圆，静止于A处的小球在大小为F＝2mg，方向与水平面成37°角的拉力F作用下沿杆运动，到达B点时立刻撤去F，小球沿圆弧向上冲并越过C点后落在D点(图中未画出)，已知D点到B点的距离为R，且AB的距离为s＝10R.试求：
(1)小球在C点对滑杆的压力；
(2)小球在B点的速度大小；
(3)BC过程小球克服摩擦力所做的功．
答案 (1)mg，方向竖直向下 (2)2 (3)
解析 (1)小球越过C点后做平抛运动，
有竖直方向：2R＝gt2 ①
水平方向：R＝vC t ②
解①②得
vC＝
在C点对小球由牛顿第二定律有：
2mg－FNC＝2m
解得FNC＝
由牛顿第三定律有，小球在C点对滑杆的压力FNC′＝FNC＝，方向竖直向下
(2)在A点对小球受力分析有：FN＋Fsin 37°＝2mg ③
小球从A到B由动能定理有：
Fcos 37°·s－μFN·s＝·2mv ④
解③④得vB＝2
(3)BC过程对小球由动能定理有：
－2mg·2R－Wf＝×2mv－×2mv
解得Wf＝
7、如图所示，质量为m＝1 kg的小物块由静止轻轻放在水平匀速运动的传送带上，从A点随传送带运动到水平部分的最右端B点，经半圆轨道C点沿圆弧切线进入竖直光滑的半圆轨道，恰能做圆周运动．C点在B点的正上方，D点为轨道的最低点．小物块离开D点后，做平抛运动，恰好垂直于倾斜挡板打在挡板跟水平面相交的E点．已知半圆轨道的半径R＝0.9 m，D点距水平面的高度h＝0.75 m，取g＝10 m/s2，试求：
(1)摩擦力对小物块做的功；
(2)小物块经过D点时对轨道压力的大小；
(3)倾斜挡板与水平面间的夹角θ.
答案 (1)4.5 J (2)60 N，方向竖直向下 (3)60°
解析 (1)设小物块经过C点时的速度大小为v1，因为经过C点恰能做圆周运动，所以，
由牛顿第二定律得：
mg＝m
解得：v1＝3 m/s
小物块由A到B的过程中，设摩擦力对小物块做的功为W，由动能定理得：
W＝mv
解得：W＝4.5 J
(2)设小物块经过D点时的速度大小为v2，对从C点运动到D点的过程，由机械能守恒
定律得：
mv＋mg·2R＝mv
小物块经过D点时，设轨道对它的支持力大小为FN，由牛顿第二定律得：FN－mg＝m
联立解得：FN＝60 N
由牛顿第三定律可知，小物块经过D点时对轨道的压力大小为：
FN′＝FN＝60 N，方向竖直向下
(3)小物块离开D点后做平抛运动，设经时间t打在E点，由h＝gt2得：
t＝ s
设小物块打在E点时速度的水平、竖直分量分别为vx、vy，速度跟竖直方向的夹角为α，
则：
vx＝v2
vy＝gt
tan α＝
解得：tan α＝
所以：α＝60°
由几何关系得：θ＝α＝60°.
8、 水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切，
一小球以初速度v0沿直轨道向右运动．如图3所示，小球进入圆
形轨道后刚好能通过c点，然后小球做平抛运动落在直轨道上的
d点，则 ( )
A．小球到达c点的速度为
B．小球到达b点时对轨道的压力为5mg
C．小球在直轨道上的落点d与b点距离为2R
D．小球从c点落到d点所需时间为2
答案 ACD
解析 小球在c点时由牛顿第二定律得：
mg＝，vc＝，A项正确；
小球由b到c过程中，由机械能守恒定律得：
mv＝2mgR＋mv
小球在b点，由牛顿第二定律得：
FN－mg＝，联立解得
FN＝6mg，B项错误；
小球由c点平抛，在平抛运动过程中由运动学公式得：
x＝vct,2R＝gt2.解得t＝2 ，x＝2R，C、D项正确．
9、 如图所示，在水平匀速运动的传送带的左端(P点)，轻放一质量为m＝1 kg的物块，物块随传送带运动到A点后水平抛出，物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑．B、D为圆弧的两端点，其连线水平．已知圆弧半径R＝1.0 m，圆弧对应的圆心角θ＝106°，轨道最低点为C，A点距水平面的高度h＝0.8 m(g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)物块离开A点时水平初速度的大小；
(2)物块经过C点时对轨道压力的大小；
(3)设物块与传送带间的动摩擦因数为0.3，传送带的速度为5 m/s，求PA间的距离．
答案 (1)3 m/s (2)43 N (3)1.5 m
解析 (1)物块由A到B在竖直方向有v＝2gh
vy＝4 m/s
在B点：tan ＝，vA＝3 m/s
(2)物块从B到C由功能关系得
mgR(1－cos )＝mv－mv
vB＝＝5 m/s
解得v＝33 m2/s2
在C点：FN－mg＝m
由牛顿第三定律知，物块经过C点时对轨道压力的大小为FN′＝FN＝43 N
(3)因物块到达A点时的速度为3 m/s，小于传送带速度，故物块在传送带上一直做匀加速直线运动
μmg＝ma，
a＝3 m/s2
PA间的距离xPA＝＝1.5 m.
10、如图所示，半径R＝1.0 m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面
内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角
θ＝ 37°，另一端点C为轨道的最低点．C点右侧的水平路面
上紧挨C点放置一木板，木板质量M ＝1 kg，上表面与C点
等高．质量m＝1 kg的物块(可视为质点)从空中A点以
v0＝1.2 m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．
已知物块与木板间的动摩擦因数μ1＝0.2，木板与路面间的动摩擦因数μ2＝0.05，sin 37°
＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2.试求：
(1)物块经过轨道上的C点时对轨道的压力；
(2)设木板受到的最大静摩擦力跟滑动摩擦力相等，则木板至少多长才能使物块不从木板上滑下？
答案 (1)46 N (2)6 m
解析 (1)设物块经过B点时的速度为vB，则
vBsin 37°＝v0
设物块经过C点的速度为vC，由机械能守恒得：
mv＋mg(R＋Rsin 37°)＝mv
物块经过C点时，设轨道对物块的支持力为FC，根据牛顿第二定律得：FC－mg＝m
联立解得：FC＝46 N
由牛顿第三定律可知，物块经过圆轨道上的C点时对轨道的压力为46 N
(2)物块在木板上滑动时，设物块和木板的加速度大小分别为a1、a2，得：μ1mg＝ma1
μ1mg－μ2(M＋m)g＝Ma2
设物块和木板经过时间t达到共同速度v，其位移分别为x1、x2，则：对物块有：
vC－a1t＝v
v2－v＝－2a1x1
对木板有：a2t＝v
v2＝2a2x2
设木板长度至少为L，由题意得：L≥x1－x2
联立解得：L≥6 m
即木板长度至少6 m才能使物块不从木板上滑下．
11、 某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如图7所
示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入
半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直
轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m＝0.1 kg，
通电后以额定功率P＝1.5 W工作，进入竖直轨道前受到的阻力
恒为0.3 N，随后在运动中受到的阻力均可不计．图中L＝10.00 m，
R＝0.32 m，h＝1.25 m，x＝1.50 m．问：要使赛车完成比赛，电动
机至少工作多长时间？(取g＝10 m/s2)
答案 2.53 s
解析 设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律
x＝v1t，h＝gt2
解得v1＝x ＝3 m/s
设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点速度为v3，由牛顿运动
定律及机械能守恒定律得
mg＝mv/R
mv＝mv＋mg(2R)
解得v3＝＝4 m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是vmin＝4 m/s
设电动机工作时间至少为t，根据功能关系，有
Pt－FfL＝mv，由此解得t＝2.53 s
