【鲁教版七下精美学案】 10.5 角平分线（知识构建+考点归纳+真题训练）

第十章 三角形的有关证明
10.5 角平分线
知 识 梳 理
知识点1 角平分线的性质建理
角平分线上的点到_______________________________。
符号语言：如图所示，
∵点P在∠AOB的平分线OC上，_____________________。
∴PD = PE。
知识点2 角平分线性质定理的逆定理
逆定理：在一个角的内部，并目_____________________，在这个角的平分线上。
符号语言，如上图所示，
∵PD＝PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
注意 （1）角平分线性质定理中的距离是指点到角的两边垂线段的长（2）定理中的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过南的顶点和该点的射线必平分这个角。
知识点3 三角形三内角平分线的性质
定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到_____________________________。
注意 三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心，无论是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形，其内心一定在其内部。
考 点 突 破
考点1: 角平分线的性质
典例1 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DF⊥AB于点E，点F在AC
上，BE＝CF。求证:BD＝DF。
思路导析: 要证BD＝DF，可考虑证明△BDE≌△FDC。由已知BE＝CF，∠BED＝∠C＝90o，若能证明DE＝CD或证明另一锐角对应相等即可。由AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，易证得DE＝CD，故可从证DE＝CD入手。
证明:∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD。
在△BDE和△FDC中，∵DE＝CD，∠BED＝∠C＝90°，BE＝FC，
∴△BDE≌△FDC。∴BD＝DF。
友情提示 角平分线的性质定理和其他知识联系比较紧密，如果图中不满足角平分线的基本图形，应考虑添加辅助线。
变式1 如图所示，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D。若PD＝2，则点P到边OA的距离是（ ）
A.1 B.2 C. D.4

变式2 如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝36 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE＝_________ cm。
考点2: 角平分线的性质定理的逆定理
典例2 如图所示，BM，CN是△ABC的两条角平分线，相交于点P。
求证:点P在∠BAC的平分线上。
思路导析: 要证点P在∠BAC的平分线上，即证点P到AB，AC的距离相等，从已知可知点P在BM上，所以点P到AB，BC两边的距离相等，点P又在CN上，所以点P到AC，BC两边的距离相等，从而由等量代换可得证。
证明:过点P分别作PD，PE，PF垂直于AB，BC，CA，垂足分别为点D，E，F。
∵点P在∠ABC的平分线BM上，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD＝PE。
同理可证PE＝PF∴PD＝PF。又∵PD⊥AB，PF⊥AC，
∴点P在∠BAC的平分线上。
友情提示 证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等常用的方法有:利用全等三角形、角平分线的性质和利用l面吹相等，但要特别注意的是点到角两边的距离。
变式3 如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
求证:DE＝DF。
考点3:尺规作图
典例3 如图所示，求作点P，使PA＝PB，并使点P到∠MON的两边距离相等。
思路导析: 由于PA＝PB，故点P必在AB的垂直平分线上；又点P到∠MON的两边距离相等，故点P应在∠MON的平分线上，所以点P应是线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线的交点。
解:如图所示:
变式4 如图所示是一块三角形草坪，现在要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
巩 固 提 高
1.如图所示，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误
的是（ ）
A.PC＝PD B.∠CPO＝∠DOP C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝OD
2.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F。下列给出四个结论:①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B，C两点距离相等；④到AE，AF距离相等的点，到DE，DF的距离也相等。其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，D点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠BDC的度数是（ ）
A.80° B.140° C.110° D.120°
4.如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
5.如图所示，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB的度数是（ ）
A.30° B.35° C.45° D.60°
6.如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上。若AB＝3，BC＝4，则BD＝__________。
7.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，垂足是点E，若AB＝7，则△DEB的周长是___________。
8.如图所示，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝________度。
9.如图所示，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分别为AC，CD的中点，∠D＝a，则∠BEF的度数为_________________。（用含a的式子表示）
10.有公路l2同侧2异侧的两个城镇A，B，如图所示电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置（保留作图痕迹，不要求写出画法）。
11.如图所示，点P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF。
求证:（1）PE＝PF；
（2）点P在∠BAC的平分线上。
真 题 训 练
1（2018·宜昌）尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
2、（2018·州）如图所示，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP中截取OM＝6，则M点到OB的距离为（ ）
A.6 B.2 C.3 D.3
3.（2018·常德）如图所示，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
4.（2018·东营）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D。若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是________________。

参考答案及解析
知识梳理
知识点1: 这个角的两边的距离相等 PD⊥OA，PE⊥OB
知识点2: 到角的两边距离相等的点 PD⊥OA，PE⊥OB
知识点3: 三条边的距离相等
考点突破
1.B 2.
3.提示:连接AD，证明△AED≌△AFD
4.C
巩固提高
1.B 2.D 3.C 4.D 5.B 6. 7. 7 8. 130
9.270°－3a
10.解:根据题意知，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点。
（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；
（2）作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置。
11.证明:（1）如图所示，连接AP。
∵∠AEP＝∠AFP＝90°，AE＝AF， AP＝AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP.
∴PE＝PF。
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP＝∠FAP。
∴AP是∠BAC的平分线。故点P在∠BAC的平分线上。
真题训练
1.B 2.C 3.D 4. 15