第三章不等式学案（10份）

C.q＝r>p D.p＝r>q
考点　基本不等式比较大小
题点　利用基本不等式比较大小
答案　B
解析　因为0.
又因为f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f?>f()，即p而r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)
＝ln(ab)＝ln，
所以r＝p，故p＝r6.已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是(　　)
A.a＋b＋≥2 B.(a＋b)≥4
C.≥2 D.>
考点　基本不等式的理解
题点　基本不等式的理解
答案　D
解析　a＋b＋≥2＋≥ 2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；
(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
∵a2＋b2≥2ab>0，
∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
∵a＋b≥2，且a，b∈(0，＋∞)，
∴≤1，≤.
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立.
二、填空题
7.设正数a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，则logat________loga .(填“＞”“≥”“≤”或“＜”)
考点　基本不等式比较大小
题点　利用基本不等式比较大小
答案　≤
解析　∵a2＋a－2＞0，∴a＞1或a＜－2(舍)，
∴y＝logax是增函数，
又≥ ，∴loga≥loga＝logat.
8.设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.其中恒成立的不等式是________.
考点　基本不等式的理解
题点　基本不等式的理解
答案　①②
解析　由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；＝＝≥＝＝2，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确.
9.已知a＞b＞c，则与的大小关系是______________________________.
考点　基本不等式比较大小
题点　利用基本不等式比较大小
答案　≤
解析　因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，
所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立.
10.设a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________.(用“＞”连接)
考点　基本不等式比较大小
题点　利用基本不等式比较大小
答案　m＞p＞n
解析　∵a＞1，∴a2＋1＞2a＞a＋1，
∴loga(a2＋1)＞loga(2a)＞loga(a＋1)，故m＞p＞n.
三、解答题
11.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
考点　基本不等式证明不等式
题点　运用基本不等式证明不等式
证明　∵a，b，c都是正数，
∴，，也都是正数，
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
12.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；(2)≥9.
考点　基本不等式证明不等式
题点　运用基本不等式证明不等式
证明　(1)＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时，等号成立).
(2)方法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9，
∴≥9(当且仅当a＝b＝时，等号成立).
方法二　＝1＋＋＋.
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立.
四、探究与拓展
13.设0A.logab＋logba≥2
B.logab＋logba≥－2
C.logab＋logba≤－2
D.logab＋logba>2
考点　基本不等式的理解
题点　基本不等式的理解
答案　C
解析　∵0∴logab<0，logba<0，－logab>0，－logba＞0，
∴(－logab)＋(－logba)＝(－logab)＋≥2，
当且仅当ab＝1时，等号成立，
∴logab＋logba≤－2.
14.设x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)
A.x＋y≥2(＋1) B.xy≤＋1
C.x＋y≤(＋1)2 D.xy≥2(＋1)
考点　基本不等式的理解
题点　基本不等式的理解
答案　A
解析　∵x，y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，xy≤2，∴2－(x＋y)－1≥0，解得x＋y≥2(＋1)，当且仅当x＝y＝1＋时取等号.
第2课时　基本不等式的应用
学习目标　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
知识点　用基本不等式求最值
思考　因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2.
以上说法对吗？为什么？
答案　错.显然(x2＋1)min＝1.
x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.仅说明曲线y＝x2＋1恒在直线y＝2x上方，仅在x＝1时有公共点.
使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值，可能出错.
梳理　基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值；
(3)等号成立的条件是否满足.
1.当a>0，b>0时，有≤.(√)
2.由于sin2x＋≥2＝4，所以sin2x＋的最小值为4.(×)
类型一　基本不等式与最值
例1　(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)设0(3)已知x>2，求x＋的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且 ＋＝1，求x＋y的最小值.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
解　(1)当x>0时，x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时，取等号.
∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2处取得最小值4.
(2)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.
∵∈，
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝6，
当且仅当x－2＝，
即x＝4时，等号成立.∴x＋的最小值为6.
(4)方法一　∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10
≥2＋10＝6＋10＝16，
当且仅当＝，＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号.
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
方法二　由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值).
由＋＝1可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
反思与感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.
跟踪训练1　(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
解　(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，
当且仅当3x＝，即x＝2时，取等号，
∴f(x)的最小值为12.
(2)∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3
＝－＋3≤－2＋3
＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时，取等号.
∴f(x)的最大值为－1.
类型二　基本不等式在实际问题中的应用

例2　(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
解　(1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m.
由≥，可得x＋y≥2，2(x＋y)≥40.
当且仅当x＝y＝10时等号成立.
所以这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.
(2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.
由≤＝＝9，可得xy≤81，
当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.
反思与感悟　利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
跟踪训练2　以斜边为2的直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周得一几何体，求该几何体体积的最大值，并求此时几何体的表面积.
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
解　如图，设Rt△ABC的斜边AB＝2，AC＝b，BC＝a，CD为斜边上的高，则CD＝＝，且a2＋b2＝4.
则以AB所在的直线为轴旋转一周所得的几何体的体积为V＝π·CD2·AD＋π·CD2·DB
＝π·CD2·AB＝π·2·2＝(ab)2.
由a2＋b2＝4与a2＋b2≥2ab得
ab≤2，当且仅当a＝b＝时，取“＝”.
所以V＝(ab)2≤×22＝.
即当a＝b＝时，Vmax＝.此时该几何体的表面积为
S＝π·CD·AC＋π·CD·BC＝π·CD·(AC＋BC)＝
π·(＋)＝2π.
即几何体的表面积为2π.

例3　某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
解　设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.
由题意可知，面粉的保管及其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y元，
则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800
＝9x＋＋10 809≥2 ＋10 809＝10 989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立.
所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少.
引申探究
若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？
解　设x1，x2∈[15，＋∞)，且x1则－
＝9(x1－x2)＋900
＝(x1－x2)
＝(x1－x2).
∵15≤x1∴(x1－x2)<0，
即y＝9x＋＋10 809在[15，＋∞)上为增函数.
∴当x＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天支付的费用最少.
反思与感悟　应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解.
跟踪训练3　一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时.
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
答案　8
解析　设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t＝＝＋≥2＝8(小时)，
当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，
所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时.
1.已知x≥，则f(x)＝有(　　)
A.最大值 B.最小值
C.最大值1 D.最小值1
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　D
解析　由x≥>2得，f(x)＝＝
＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立.
2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
答案　C
解析　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)(当且仅当a＝b时，取等号).
因为要求够用且浪费最少，故选C.
3.设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A.8 B.4 C.1 D.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　B
解析　由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.
因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
当且仅当a＝b＝时，等号成立.
4.已知0考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　2－2
解析　当0所以f(x)＝2＋log2x＋
＝2－≤2－2.
当且仅当－log2x＝，
即(log2x)2＝5，即x＝时，等号成立.
1.用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值.
2.求解应用题的方法与步骤
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
一、选择题
1.已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，则lg xlg y的最大值是(　　)
A.4 B.2 C.1 D.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　A
解析　∵x>1，y>1，
∴lg x>0，lg y>0，lg xlg y≤2＝4，
当且仅当lg x＝lg y＝2，即x＝y＝100时取等号.
2.已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为(　　)
A.2 B.4
C.16 D.不存在
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　B
解析　∵点P(x，y)在直线AB上，
∴x＋2y＝3，
∴2x＋4y≥2＝2＝4.
当且仅当2x＝4y，即x＝，y＝时，等号成立.
3.函数y＝log2(x>1)的最小值为(　　)
A.－3 B.3 C.4 D.－4
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　B
解析　∵x>1，∴x－1>0，
∴x＋＋5＝x－1＋＋6≥2 ＋6＝8，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.
∴log2≥3，∴ymin＝3.
4.已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A. B.4 C. D.5
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　C
解析　∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝
＝＋＋≥＋2 ＝
，
故y＝＋的最小值为.
5.若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)
A.3 B. C.4 D.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　C
解析　2＋2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4，
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号.
6.已知直线ax＋by＋c－1＝0(b>0，c>0)经过圆C：x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)
A.9 B.8 C.4 D.2
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　A
解析　将圆C：x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，
得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1).
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.
因为b>0，c>0，所以＋≥2 ＝4，
当且仅当＝时等号成立.
由此可得b＝2c且b＋c＝1，
即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
二、填空题
7.周长为＋1的直角三角形面积的最大值为______.
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
答案　
解析　设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，
则＋1＝a＋b＋≥2＋，
解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，
所以直角三角形的面积S＝ab≤，
即S的最大值为.
8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
答案　20
解析　总运费与总存储费用之和
f(x)＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，
当且仅当4x＝，即x＝20时取等号.
9.设0考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　4
解析　∵02>0，
∴y＝≤＝＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号.
∴当x＝时，y＝有最大值4.
10.设x>－1，则函数y＝的最小值是________.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　9
解析　∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9.
三、解答题
11.已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}.
(1)求实数a，b的值；
(2)若0考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
解　(1)依题意可得方程x2－5ax＋b＝0的根为4和1，
∴即
(2)由(1)知f(x)＝＋，∵00，>0，∴＋＝[x＋(1－x)]＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，
∴f(x)的最小值为9.
12.某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
依题意得f(x)＝Q(x)＋
＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N*)，
f(x)＝50x＋＋3 000
≥2＋3 000＝5 000(元).
当且仅当50x＝，即x＝20时，上式取等号，
所以当x＝20时，f(x)取得最小值5 000 元.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元.
13.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知{an}为等差数列，相关信息如图所示.
(1)设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；(总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用)
(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值.
考点　基本不等式的实际应用
题点　基本不等式的实际应用
解　(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则an＝6＋2(n－1)＝2n＋4(n∈N*)，
所以y＝25n－－36＝－n2＋20n－36
＝－(n－10)2＋64，
当n＝10时，y的最大值为64万元.
(2)年平均盈利为＝＝－n－＋20＝－＋20≤－2×＋20＝8(当且仅当n＝，即n＝6时取“＝”).
故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元.
四、探究与拓展
14.已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)
A.2 B.2 C.4 D.5
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　C
解析　∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号同时成立.
15.若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　)
A.2∈M,0∈M B.2?M,0?M
C.2∈M,0?M D.2?M,0∈M
考点　基本不等式中的参数问题
题点　基本不等式中的参数问题
答案　A
解析　M＝.
当k∈R时，＝
＝＝(k2＋1)＋－2
≥2－2＝2－2>2(当且仅当k2＝－1时，取等号).∴2∈M,0∈M.
章末复习
学习目标　1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式证明不等式，求解最值问题.
1.“三个二次”之间的关系
所谓三个二次，指的是①二次函数图象与x轴的交点；②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点.
解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化.
2.规划问题
(1)规划问题的求解步骤
①把问题要求转化为约束条件；
②根据约束条件作出可行域；
③对目标函数变形并解释其几何意义；
④移动目标函数寻找最优解；
⑤解相关方程组求出最优解.
(2)关注非线性
①确定非线性约束条件表示的平面区域.可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域；
②常见的非线性目标函数有(ⅰ)，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；(ⅱ)，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)的距离.
3.基本不等式
利用基本不等式证明不等式和求最值的区别
①利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件.
②利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.
1.当a≠0时，(ax－1)(x－1)>0?(x－1)>0.(×)
2.目标函数z＝x＋ay，当a<0时，当纵截距取最小值时，z才取最大值.(√)
3.用a2＋b2≥2ab求最值时，不用满足条件“a>0，b>0”.(√)
类型一　“三个二次”之间的关系
例1　设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M?[1,4]，求实数a的取值范围.
考点　“三个二次”间对应关系的应用
题点　由“三个二次”间对应关系求参数值
解　M?[1,4]有两种情况：
其一是M＝?，此时Δ<0；其二是M≠?，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围.
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
对方程x2－2ax＋a＋2＝0，
有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，
①当Δ<0时，－1②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，M＝{－1}?[1,4]，不满足题意；
当a＝2时，M＝{2}?[1,4]，满足题意.
③当Δ>0时，a<－1或a>2.
设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1那么M＝[x1，x2]，M?[1,4]等价于1≤x1即即
解得2综上可知，当M?[1,4]时，a的取值范围是.
思维升华　(1)“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化.
(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想.
跟踪训练1　若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
考点　“三个二次”间对应关系的应用
题点　由“三个二次”的对应关系求参数值
答案　2
解析　因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，
所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，
由可得
类型二　规划问题
例2　已知变量x，y满足约束条件求z＝2x＋y的最大值和最小值.
考点　线性目标最优解
题点　求线性目标函数的最值
解　如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域.
设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小.
上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
反思与感悟　(1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确.
(2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵截距越大，z越大还是越小.
跟踪训练2　某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小.
考点　实际生活中的线性规划问题
题点　线性规划在实际问题中的应用
解　设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.
在一组平行直线3x＋2y＝z中，
经过可行域内的点A时，z取得最小值，
直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，
即最优解为(2,1).
所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.
类型三　利用基本不等式求最值

例3　设f(x)＝.
(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
解　(1)当x＝0时，f(0)＝0，当x>0时，有x＋≥2，
∴f(x)＝＝≤25.
当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，
∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.
(2)∵函数y＝x＋在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，
∴f(x)＝在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20.
∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20.
反思与感悟　利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形以构造定值.如“相等”的条件不具备，可以考虑用函数的单调性求解.
跟踪训练3　求函数y＝＋x(x＞3)的最小值.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
解　∵y＝＋x＝＋x－3＋3，x＞3，
∴x－3＞0，＞0，
∴y≥2＋3＝5.
当且仅当＝x－3，
即x＝4时，y有最小值5.

例4　函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为________.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　4
解析　y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，
∴m＋n＝1，
方法一　＋＝＝≥＝4，
当且仅当m＝n＝时，取等号.
方法二　＋＝(m＋n)
＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
当且仅当即m＝n＝时取等号.
∴min＝4.
反思与感悟　当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为命题角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值.
跟踪训练4　设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
解　∵＋＝3，
∴＝1.
∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×
＝≥
＝＋＝.
当且仅当＝，即y＝2x时，取等号.
又∵＋＝3，∴x＝，y＝.
∴2x＋y的最小值为.
1.已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为(　　)
A.1 B. C.－ D.－1
考点　线性规划中的参数问题
题点　无数个最优解问题
答案　A
解析　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
2.若不等式ax2＋bx－2>0的解集为，则a＋b等于(　　)
A.－18 B.8 C.－13 D.1
考点　一元二次不等式的应用
题点　已知解集求参数的取值范围
答案　C
解析　∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的两根.
∴∴∴a＋b＝－13.
3.设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　D
解析　a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋
＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，
当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，
即a＝，b＝时取等号.
4.若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是__________.
答案　(－2,2]
解析　不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需
解得－21.不等式的基本性质
不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质.
2.一元二次不等式的求解方法
对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集.
3.二元一次不等式表示的平面区域的判定
对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点.
4.求目标函数最优解的方法
通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解.
5.运用基本不等式求最值时把握三个条件
①“一正”——各项为正数；
②“二定”——“和”或“积”为定值；
③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
一、选择题
1.若a<0，－1A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a
考点　实数大小的比较
题点　利用不等式的性质比较大小
答案　D
解析　∵a<0，－1∴ab>0，ab2<0，
∴ab>a，ab>ab2.
∵0<1＋b<1,1－b>1>0，
∴a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，
∴a∴a2.原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是(　　)
A.a<0或a>2 B.0C.a＝0或a＝2 D.0≤a≤2
考点　二元一次不等式(组)表示的平面区域
题点　二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定
答案　B
解析　原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，将原点(0,0)和点(1,1)代入x＋y－a中，结果异号，即－a(1＋1－a)<0，故03.不等式≤2的解集是(　　)
A.{x|x<－8或x>－3} B.{x|x≤－8或x>－3}
C.{x|－3≤x≤2} D.{x|－3考点　分式不等式的解法
题点　分式不等式的解法
答案　B
解析　原不等式可化为－2≤0，即≤0，即(x＋3)(x＋8)≥0且x≠－3，解得x≤－8或x>－3.
4.若实数x，y满足则的取值范围是(　　)
A.(－1,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.[1，＋∞)
考点　非线性目标函数的最值问题
题点　求斜率型目标函数的最值
答案　B
解析　可行域如图阴影部分，的几何意义是区域内的点与点(1,0)连线的斜率，易求得>1或<－1.
5.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　)
A.a2>a>－a2>－a B.－a>a2>－a2>a
C.－a>a2>a>－a2 D.a2>－a>a>－a2
考点　实数大小的比较
题点　利用不等式的性质比较大小
答案　B
解析　∵a2＋a<0，
∴a(a＋1)<0，∴－1取a＝－，可知－a>a2>－a2>a.
6.设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为4，则ab的取值范围是(　　)
A.(0,4) B.(0,4]
C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)
考点　线性规划中的参数问题
题点　线性规划中的参数问题
答案　B
解析　作出不等式组表示的区域(如图中阴影部分所示)，由图可知，当目标函数的图象z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时，z取最大值，∴a＋b＝4，∴ab≤2＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，又∵a>0，b>0，∴ab∈(0,4]，故选B.
7.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(　　)
A.5 B.29
C.37 D.49
考点　非线性目标函数的最值问题
题点　求非线性目标函数最值问题综合
答案　C
解析　由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，|a|max＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.
二、填空题
8.已知x，y∈(0，＋∞)，且满足＋＝1，则xy的最大值为________.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　3
解析　因为x>0，y>0，＋＝1，
所以＋≥2＝(当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号)，
即≤1，解得xy≤3，
所以xy的最大值为3.
9.若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________.
考点　“三个二次”间对应关系的应用
题点　由“三个二次”的对应关系求参数范围
答案　[25，＋∞)
解析　令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7.
∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，
∴由二次函数图象得
解得
∴m的取值范围是[25，＋∞).
10.函数y＝的最大值是________.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
答案　
解析　设t＝，从而x＝t2－2(t≥0)，
则y＝.
当t＝0时，y＝0；
当t>0时，y＝≤＝，
当且仅当2t＝，即t＝时等号成立，
即当x＝－时，ymax＝.
11.已知a>0，b>0且a≠b，则＋与a＋b的大小关系是________________.
考点　实数大小的比较
题点　作差法比较大小
答案　＋>a＋b
解析　∵－(a＋b)＝－b＋－a
＝＋＝(a2－b2)
＝(a2－b2)＝，
又∵a>0，b>0，a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，
∴－(a＋b)>0，∴＋>a＋b.
三、解答题
12.正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值.
考点　基本不等式求最值
题点　利用基本不等式求最值
解　(1)由1＝＋≥2，得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
(2)由题意，可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，
即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.
13.已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围.
考点　一元二次不等式恒成立问题
题点　一元二次不等式在区间上恒成立
解　(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0恒成立等价于解得－4综上可知，实数m的取值范围是(－4,0].
(2)令f(x)＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，
由解得m<，
所以0③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若当x∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象知只需f(1)<0即可，解得m∈R，所以m<0符合题意.
综上所述，实数m的取值范围是.
四、探究与拓展
14.x，y满足约束条件若z＝y－2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1 B.1或－
C.2或1 D.2或－1
考点　线性规划中的参数问题
题点　无数个最优解问题
答案　B
解析　作出可行域如图中阴影部分(包含边界)所示.
由z＝y－2ax，得y＝2ax＋z.
当2a＝2或2a＝－1，
即a＝1或a＝－时，
z＝y－2ax取得最大值的最优解不唯一，故选B.
15.已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，b≥a＋c，求的最大值.
考点　非线性目标函数的最值问题
题点　求斜率型目标函数的最值
解　题设条件可转化为
记x＝，y＝，则
表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部.
且目标函数为z＝，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率.
由方程组
得交点坐标为C，
此时zmax＝7，即的最大值为7.