模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知a>b，则下列不等式成立的是( )
A.a2－b2>0 B.ac>bc
C.ac2>bc2 D.2a>2b
考点 不等式的性质
题点 不等式的性质
答案 D
解析 A中，当a＝0，b＝－1时，a2－b2＝0－1＝－1<0，所以A错误.B中，当c＝0时，ac＝bc＝0，所以B错.C中，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，C错.D中，因为y＝2x为单调递增函数，所以当a>b时，2a>2b成立.
2.在△ABC中，A
A.tan Atan C
C.sin A考点 正弦定理及其变形应用
题点 正弦定理的变形应用
答案 C
解析 由大边对大角及A3.已知a>b>0，c>d>0，则( )
A.> B.ac>bd
C.a－c>b－d D.>
考点 不等式的性质
题点 不等式的性质
答案 B
4.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为( )
A. B.－ C. D.－
考点 正弦定理及其变形应用
题点 正弦定理的变形应用
答案 D
解析 ∵sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，
∴a∶b∶c＝3∶2∶4，设a＝3k，则b＝2k，c＝4k，k>0，
∴cos C＝＝－.
5.已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是( )
A.P>Q B.PC.P＝Q D.无法确定
考点 基本不等式比较大小
题点 利用基本不等式比较大小
答案 A
解析 由题设知an>0，q>0且q≠1，所以a3≠a9，a3>0，a9>0，P＝>，因为a3·a9＝a5·a7，所以P>Q.
6.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－2y的最小值为( )
A.－5 B.－4 C.－2 D.3
考点 线性目标最优解
题点 求线性目标函数的最值
答案 B
解析 由约束条件可得可行域(如图阴影部分含边界所示)，
对于目标函数z＝3x－2y，可化为y＝x－z，
要使z取最小值，可知过A点时取得.
由得即A(0,2)，
∴zmin＝3×0－2×2＝－4.
7.等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n是( )
A.5 B.6 C.5或6 D.6或7
考点 等差数列前n项和最值
题点 求等差数列前n项和的最值
答案 C
解析 由题设可知a1＝－a11，所以a1＋a11＝0，所以a6＝0.因为d<0，故a5>0，a7<0，所以n＝5或6.
8.如图，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB(含边界)，若C是该目标函数z＝ax－y的最优解，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 线性目标最优解
题点 线性规划的理解
答案 B
解析 利用目标函数的斜率a与最优点为C，依线性规划知识知－9.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为( )
A. B. C.2 D.
考点 面积与周长的最值或取值范围问题
题点 面积的最值或取值范围
答案 B
解析 由a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，故(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，又根据正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，化简得b2＋c2－a2＝bc，故cos A＝＝，所以A＝60°，又b2＋c2－bc＝4≥bc，故S△ABC＝bcsin A≤(当且仅当b＝c时，取等号).
10.已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是( )
A.1C.1考点 判断三角形形状
题点 已知三角形形状求边的取值范围
答案 D
解析 由于△ABC为锐角三角形，故有
解得211.若在等差数列{an}中，d＝－2，a1＋a4＋a7＋…＋a31＝50，那么a2＋a6＋a10＋…＋a42的值为( )
A.60 B.－82 C.182 D.－96
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 B
解析 a2＋a6＋a10＋…＋a42
＝a1＋d＋a4＋2d＋a7＋3d＋…＋a31＋11d
＝(a1＋a4＋…＋a31)＋(d＋2d＋3d＋…＋11d)
＝50＋d＝50＋66d＝－82.
12.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值是( )
A.0 B.1 C. D.3
答案 B
解析 ＝＝≤＝1，
当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，
当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知不等式x2＋bx－b－>0的解集为R，则b的取值范围是________.
考点 一元二次不等式的应用
题点 已知解集求参数的取值范围
答案 (－3，－1)
解析 由题意知b2－4<0，即b2＋4b＋3<0，所以－314.在等差数列{an}中，若a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则S15＝________.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 －30
解析 因为a4＋a12＝a1＋a15＝2a8，所以a8＝－2.所以S15＝×15＝a8×15＝－2×15＝－30.
15.在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.则sin 2C＝________.
考点 用余弦定理解三角形
题点 已知两边及其夹角解三角形
答案
解析 由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.
由正弦定理知，＝，所以sin C＝·sin A＝＝.
因为AB因此sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝.
16.若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.
考点 基本不等式求最值
题点 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 ≥＝4ab＋≥2＝4，前一个等号成立的条件是a2＝2b2，后一个等号成立的条件是ab＝，两个等号可以同时成立，当且仅当a2＝，b2＝时取等号.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若sin＝2cos A，求A的值；
(2)若cos A＝，b＝3c，求sin C的值.
考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合
题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合
解 (1)由题意知sin Acos ＋cos Asin ＝2cos A，从而sin A＝cos A，且cos A≠0，所以tan A＝，
因为0(2)由cos A＝，b＝3c，及a2＝b2＋c2－2bccos A，
得b2＝a2＋c2，所以△ABC是直角三角形，且B＝，
所以sin C＝cos A＝.
18.(12分)某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的车费均为40元.若使每个同学游8次，则购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？
考点 基本不等式的实际应用
题点 基本不等式的实际应用
解 设购买x张游泳卡，则游泳活动总支出为y＝×40＋240x，即y＝240(x∈N*).
所以y＝240≥240×2＝3 840，
当且仅当＝x，即x＝8时，最合算，每人最少交钱＝80(元).
即购买8张游泳卡最合算，每人最少交80元.
19.(12分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn(n∈N*)，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比基本量问题综合
解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得
d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*).
(2)由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－20＝0，
解得q＝－5，q＝4，
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21，
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
20.(12分) 已知△ABC的外接圆半径为1，且角A，B，C成等差数列，若角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，求a2＋c2的取值范围.
考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合
题点 正弦、余弦定理与三角函数的综合
解 由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，所以B＝60°，A＋C＝120°.设A＝60°＋α，得C＝60°－α.由0°由正弦定理，得a＝2Rsin A＝2sin A，c＝2Rsin C＝2sin C.
所以a2＋c2＝4(sin2A＋sin2C)＝4
＝4－2(cos 2A＋cos 2C)
＝4－2[cos(120°＋2α)＋cos(120°－2α)]＝4＋2cos 2α.
因为－60°<α<60°，所以－120°<2α<120°.
所以－21.(12分) 若关于x的不等式(2x－1)2考点 “三个二次”间对应关系的应用
题点 由“三个二次”的对应关系求参数值
解 原不等式可化为(4－a)x2－4x＋1<0(a>0)，
由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a>0，即a<4，故0解不等式有亦即<<<且要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么3<<4，解得22.(12分) 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放
时长(分钟)
广告播放时
长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播放甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
考点 生活实际中的线性规划问题
题点 线性规划在实际问题中的应用
解 (1)由已知x，y满足的数学关系式为即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分内的整点(包括边界)：
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.
为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大.
又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.
解方程组得点M的坐标为(6,3)，
所以，电视台每周播放甲连续剧6次，乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
滚动训练(一)
一、选择题
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B等于( )
A.－ B.
C.－ D.
考点 正弦定理及其变形应用
题点 正弦定理的变形应用
答案 B
解析 由正弦定理＝，可得＝，
∴tan B＝，B∈(0，π)，∴B＝，cos B＝.
2.在△ABC中，c＝，b＝1，B＝，则△ABC的形状为( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形
考点 用正弦定理解三角形
题点 已知两边及其中一边对角解三角形
答案 D
解析 由正弦定理可知，sin C＝·c＝·＝，
∴C＝或C＝，
当C＝时，A＝π－B－C＝，△ABC为直角三角形，
当C＝时，A＝π－B－C＝，△ABC为等腰三角形.
3.若钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC等于( )
A.5 B.
C.2 D.1
考点 用正弦定理解三角形
题点 已知面积求边或角
答案 B
解析 (利用钝角三角形验解)由题意知
S△ABC＝AB·BC·sin B，
即＝×1×sin B，解得sin B＝，
∴B＝45°或B＝135°.
当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋()2－2×1××＝1.
此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；
当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋()2－2×1××＝5，解得AC＝，符合题意.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为( )
A. B.
C.或 D.或
考点 正弦、余弦定理解三角形综合
题点 正弦、余弦定理解三角形综合
答案 D
解析 ∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac，
∴·tan B＝，
即cos B·tan B＝sin B＝.
∵05.在△ABC中，sin A＝，则△ABC为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰或直角三角形
考点 判断三角形形状
题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状
答案 C
解析 由已知得cos B＋cos C＝，
由正弦、余弦定理得＋＝，
即a2(b＋c)－(b＋c)(b2－bc＋c2)＝bc(b＋c)，
即a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
6.在△ABC中，asin Bcos C＋csin Bcos A＝b且a>b，则B等于( )
A. B. C. D.
考点 用正弦定理解三角形
题点 利用正弦定理、三角变换解三角形
答案 A
解析 由正弦定理，得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B.
∵0∴sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝，
即sin B＝.∵a>b，∴B＝.
7.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A. B.1＋
C. D.2
考点 余弦定理及其变形应用
题点 用余弦定理求边或角的取值范围
答案 B
解析 ∵S△ABC＝ac·sin 30°＝，
∴ac＝6.
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cos B
＝(a＋c)2－2ac－2ac·＝4b2－12－6，
∴b2＝4＋2＝(＋1)2，
∴b＝＋1
8.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D.3
考点 解三角形求面积
题点 综合利用正弦、余弦定理求面积
答案 C
解析 ∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.
又a＝，cos A＝＝，解得c＝2，b＝4.
∴S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝.故选C.
二、填空题
9.在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
考点 正弦定理及其变形应用
题点 正弦定理的变形应用
答案 2
解析 由正弦定理，得AB＝BC＝2BC＝2.
10.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
考点 用正弦定理解三角形
题点 已知两角及一边解三角形
答案 1
解析 由sin B＝，解得B＝或B＝.
根据三角形内角和定理，舍去B＝，
所以B＝，A＝.
根据正弦定理＝，得＝，
解得b＝1.
11.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin C＝________.
考点 用正弦定理解三角形
题点 已知两边及其中一边对角解三角形
答案 1
解析 ∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝.
由正弦定理＝，得＝.
∴sin A＝.
又a∴C＝，∴sin C＝1.
三、解答题
12.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的长.
考点 正弦、余弦定理解三角形综合
题点 正弦、余弦定理解三角形综合
解 (1)∵bsin A＝acos B，
∴由正弦定理可得sin Bsin A＝sin Acos B.
∵sin A≠0，∴tan B＝，又∵0(2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，
∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得9＝a2＋4a2－2a·2acos ，
解得a＝(负值舍去)，∴c＝2a＝2.
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2－c2＋bc＝0,2bsin A＝a，BC边上中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积.
考点 解三角形求面积
题点 综合利用正弦、余弦定理求面积
解 (1)由a2－b2－c2＋bc＝0，得a2－b2－c2＝－bc，
所以cos A＝＝，A∈(0，π)，A＝.
由2bsin A＝a，得sin B＝，B∈(0，π)，故B＝.
(2)设AC＝BC＝x，
得AM2＝x2＋－2x··＝()2，
解得x＝2(负值舍去)，
故S△ABC＝×2×2×＝2.
四、探究与拓展
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，E在AC上，若BE⊥AC，则ED＝________.
考点 几何图形中的计算问题
题点 四边形有关的几何图形计算问题
答案
解析 在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，
所以∠BAC＝60°.
因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝.
在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，
由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，
故ED＝.
15.如图经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米).问如何设计，可使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂对村庄的距离最远)?
考点 解三角形的实际综合应用
题点 解三角形的实际综合应用
解 设∠AMN＝θ，则在△AMN中，由正弦定理得＝，
因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ).
在△APM中，∠AMP＝60°＋θ，
则AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)·cos(60°＋θ)
＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)，
当且仅当2θ＋150°＝270°，
即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.
滚动训练(三)
一、选择题
1.在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC等于( )
A.3－ B. C.2 D.3＋
考点 正弦定理的应用
题点 正弦定理的应用
答案 A
解析 设角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵AB＝，A＝45°，C＝75°，由正弦定理，得＝
?＝＝，解得BC＝3－.
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案 C
解析 设公差为d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1＋7d＝24，S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝48，联立解得d＝4，故选C.
3.在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8，则△ABC的面积等于( )
A.2 B.4 C.4 D.8
考点 用余弦定理解三角形
题点 逆用面积公式、余弦定理解三角形
答案 A
解析 因为b2＋c2＝a2＋bc，所以cos A＝＝，A＝，三角形面积S＝bcsin A＝2，故选A.
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
考点 等比数列前n项和应用题
题点 等比数列前n项和的应用题
答案 B
解析 由题意可知，塔每一层的灯数由上至下构成等比数列.设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝＝381，
解得a1＝3.故选B.
5.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，AC＝2，BD＝2，∠ACD＝60°，则AD等于( )
A. B.
C. D.13－6
考点 几何图形中的计算问题
题点 四边形有关的几何图形计算问题
答案 B
解析 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°，解得BC＝，所以AC2＝AB2＋BC2，故BC⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝＝＝3，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos 60°＝7，所以AD＝.
6.已知△ABC的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是( )
A. B. C. D.
考点 用正弦、余弦定理解三角形
题点 用正弦、余弦定理解三角形
答案 B
解析 设三边长分别为x－1，x，x＋1，
所以＝＝，
所以cos A＝＝，
解得x＝5，则三边为4,5,6，所以cos A＝.
二、填空题
7.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案 32
解析 设{an}的首项为a1，公比为q，则
解得所以a8＝×27＝25＝32.
8.已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且＝，则数列{|log2an|}的前10项和为________.
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比基本量问题综合
答案 58
解析 根据题意＝＝q3，所以q＝，从而有an＝32·n－1＝27－2n，所以log2an＝7－2n，所以有|log2an|＝|2n－7|，所以数列的前10项和为5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝＋＝58.
9.等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________.
考点 数列前n项和的求法
题点 裂项相消法求和
答案
解析 设等差数列{an}的公差为d，则
由得
∴Sn＝n×1＋×1＝，
＝＝2.
∴＝＋＋＋…＋
＝2
＝2＝.
10.某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80 n mile，BC＝40＋30 n mile，CD＝250 n mile.现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，则收到指令时该轮船到城市C的距离是________ n mile.
考点 解三角形求距离
题点 测量方向角求距离
答案 100
解析 在△ABC 中，AC2＝802＋(40＋30)2－2×80×(40＋30)×cos 60°＝7 500，则AC＝50，
所以sin∠ACB＝＝，
所以cos∠ACB＝，
sin∠ACD＝sin＝＝，
则cos∠ACD＝，
AD2＝(50)2＋(250)2－2×50×250×，
可得AD＝50＝350，
设收到指令时该轮船到城市C的距离是x，
则＝，
求得x＝100.
三、解答题
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.
考点 几何图形中的计算问题
题点 三角形有关的几何图形计算问题
解 (1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos ，
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为
＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
12.如图，已知平面上直线l1∥l2，A，B分别是l1，l2上的动点，C是l1，l2之间的一定点，C到l1的距离CM＝1，C到l2的距离CN＝，△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，a>b，且bcos B＝acos A.
(1)判断△ABC的形状；
(2)记∠ACM＝θ，f(θ)＝＋，求f(θ)的最大值.
考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合
题点 正弦、余弦定理与三角函数的综合
解 (1)由正弦定理得＝，且bcos B＝acos A，得sin 2B＝sin 2A，
又a>b，所以A>B，且A，B∈(0，π)，所以2A＋2B＝π，所以C＝，所以△ABC是直角三角形.
(2)∠ACM＝θ，由(1)得∠BCN＝－θ，
则AC＝，BC＝，
f(θ)＝＋＝cos θ＋sin θ＝cos，
所以当θ＝时，f(θ)的最大值为.
13.已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
考点 数列前n项和的求法
题点 错位相减法求和
解 (1)设数列{xn}的公比为q.
由题意得
所以3q2－5q－2＝0，
由已知得q＞0，
所以q＝2，x1＝1.
因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.
(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.
由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，
记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，
由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.①
又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1，②
①－②得
－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1
＝＋－(2n＋1)×2n－1.
所以Tn＝.
四、探究与拓展
14.在△ABC中，若＝，则△ABC的形状一定是__________.
考点 判断三角形形状
题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状
答案 等腰或直角三角形
解析 原式可化为＝?sin2A·[sin(A－B)－sin(A＋B)]＋sin2B[sin(A－B)＋sin(A＋B)]＝0?－sin2Acos Asin B＋sin2Bsin Acos B＝0?－sin 2A＋sin 2B＝0?sin 2A＝sin 2B?A＝B或A＋B＝，故该三角形是等腰或直角三角形.
15.已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项.
(1)设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)设a1＝d，Tn＝ (－1)kb，n∈N*，求证： <.
考点 数列综合问题
题点 数列与不等式的综合
证明 (1)由题意得b＝anan＋1，
cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1.
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，
所以{cn}是等差数列.
(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)
＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)
＝2d·＝2d2n(n＋1).
所以 ＝
＝
＝·<.
滚动训练(二)
一、选择题
1.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b＝，A＝45°，则B等于( )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
考点 用正弦定理解三角形
题点 已知两边及其中一边对角解三角形
答案 A
解析 由正弦定理可得＝，sin B＝＝＝.又因为a＝2，b＝，a>b，所以A>B，所以B＝30°，故选A.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )
A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A
考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合
题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合
答案 A
解析 ∵等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Acos C＋sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin B，
等式左边＝sin B＋2sin Bcos C，
∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B.
由cos C＞0，得sin A＝2sin B.
根据正弦定理，得a＝2b.故选A.
3.数列{an}中，an＝n＋(－1)n，则a4＋a5等于( )
A.7 B.8 C.9 D.10
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 C
解析 因为an＝n＋(－1)n，所以a4＝4＋(－1)4＝5，a5＝5＋(－1)5＝4，所以a4＋a5＝9.故选C.
4.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的( )
A.第20项 B.第24项
C.第25项 D.第30项
考点 数列的通项公式
题点 判断某数是否为数列的项
答案 B
解析 由数列1×2,2×3,3×4,4×5，…可得通项公式为an＝n(n＋1)，令n(n＋1)＝600，求得n＝24，故选B.
5.已知{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9的值是
A.24 B.27 C.30 D.33
考点 等差数列的性质
题点 两个等差数列的性质问题
答案 D
解析 根据等差数列的性质可知a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，
故a3＋a6＋a9＝2×39－45＝33.故选D.
6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
考点 等差数列的前n项和性质运用
题点 通项公式的综合应用
答案 D
解析 ∵＝＝＝＝7＋为正整数，∴n＝1,2,3,5,11.
7.等差数列{an}中，已知a1＝－6，an＝0，公差d∈N*，则n(n≥3)的最大值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
答案 C
解析 由an＝a1＋(n－1)d，得－6＋(n－1)d＝0，n＝＋1，因为d∈N*，所以当d＝1时，n取最大值7.故选C.
二、填空题
8.已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径为________.
考点 用余弦定理解三角形
题点 已知三边解三角形
答案
解析 由已知a＝3，b＝5，c＝7，
∴cos C＝＝－，
∴sin C＝，∴R＝＝.
9.数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案
解析 由an＋1＝，可得an＝1－，
又a8＝2，故a7＝，…依次下去得a1＝.
10.在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，m，n∈N*，且m>n，则am＝________.
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
答案
解析 因为am＋n与am－n的等差中项是am，
所以am＝.
11.已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________.
考点 数列前n项和的求法
题点 并项求和法
答案 10
解析 观察可知a1＋a2＝2，a3＋a4＝2，…，a9＋a10＝2，故a1＋a2＋a3＋…＋a10＝10.
三、解答题
12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b.
考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合
题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合
解 (1)由题设及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin2，
故sin B＝4(1－cos B).
上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝1(舍去)或cos B＝.
故cos B＝.
(2)由cos B＝，得sin B＝，
故S△ABC＝acsin B＝ac.
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
＝36－2××＝4.
所以b＝2.
13.设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，求{an}的通项公式.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
解 因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1 ＝2(n－1).
两式相减得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2) .
又由题设可得a1＝2，符合an＝，
从而{an}的通项公式为an＝，n∈N*.
四、探究与拓展
14.设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A.d>0 B.d<0
C.a1d>0 D.a1d<0
考点 等差数列综合
题点 数列与不等式综合
答案 D
解析 由数列{2a1an}为递减数列，得2a1an<2a1an－1，
再由指数函数性质得a1an－1>a1an，
由等差数列的公差为d知，an－an－1＝d，
所以a1an－1>a1an?a1an－a1an－1<0?a1(an－an－1)<0?a1d<0.
15.已知等差数列{an}的公差d>0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解 (1)由题意知，(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
解得d＝2或d＝－5(舍去).
所以Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2.
(2)由(1)知，am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k
＝(2m＋k－1)(k＋1)，
所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65，
由m，k∈N*知，2m＋k－1≥k＋1>1，
故
所以
滚动训练(五)
一、选择题
1.下列命题中，正确的是( )
A.若a>b，c>d，则ac>bd
B.若ac>bc，则a>b
C.若<，则aD.若a>b，c>d，则a－c>b－d
考点 不等式的性质
题点 不等式的性质
答案 C
解析 取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc，则a0，∴a2.下列不等式中正确的是( )
A.若a∈R，则a2＋9>6a
B.若a，b∈R，则≥2
C.若a>0，b>0，则2lg≥lg a＋lg b
D.若x∈R，则x2＋>1
考点 基本不等式的理解
题点 基本不等式的理解
答案 C
解析 ∵a>0，b>0，∴≥.
∴2lg≥2lg＝lg(ab)＝lg a＋lg b.
3.在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，则cos B的值为( )
A. B. C. D.
考点 用正弦、余弦定理解三角形
题点 用正弦、余弦定理解三角形
答案 D
解析 由题意及正弦定理知，c＝3a，b2－a2＝ac＝c2－2accos B，所以cos B＝＝＝.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于( )
A.18 B.12
C.9 D.6
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案 D
解析 设等差数列{an}的公差为d，由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.
5.若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于( )
A. B.
C. D.
考点 “三个二次”间对应关系的应用
题点 由“三个二次”的对应关系求参数值
答案 A
解析 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0(a>0)的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.
6.已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
考点 基本不等式求最值
题点 利用基本不等式求最值
答案 D
解析 ＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号.
∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.
∴＋≥＝1.
7.已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A.8 B.7
C.6 D.5
考点 基本不等式求最值
题点 利用基本不等式求最值
答案 C
解析 ∵2a＋b＝6·(2a＋b)
＝6≥6×(5＋4)＝54(当且仅当a＝b时，取等号).
∴9m≤54，即m≤6.
二、填空题
8.若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值为________.
考点 基本不等式求最值
题点 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”.
9.已知数列{an}的通项公式an＝则a3a4＝________.
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 54
解析 由题意知，a3＝2×3－5＝1，a4＝2×34－1＝54，
∴a3a4＝54.
10.已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋(n∈N*)，则{an}的通项公式an＝________.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn与an递推式求通项
答案 n－1
解析 当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
∴＝－.
∴数列{an}是首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，
故an＝n－1(n∈N*).
三、解答题
11.已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a恒成立，试求a的取值范围.
考点 一元二次不等式恒成立问题
题点 一元二次不等式在区间上恒成立
解 (1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a恒成立”，只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”.
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.
所以
即
解得a≥.
故a的取值范围为.
12.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4(其中n∈N*).
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).
考点 数列前n项和的求法
题点 错位相减法求和
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2＋b3＝12，
得b1(q＋q2)＝12.
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，
解得q＝－3或q＝2.
又因为q＞0，所以q＝2.所以bn＝2n(n∈N*).
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②
联立①②，解得a1＝1，d＝3，
由此可得an＝3n－2(n∈N*).
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2(n∈N*)，数列{bn}的通项公式为bn＝2n(n∈N*).
(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn.
由a2n＝6n－2，得
Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，
2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1.
上述两式相减，得
－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1
＝－4－(6n－2)×2n＋1
＝－(3n－4)2n＋2－16，
所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.
所以数列{a2nbn}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16.
13.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
产品消耗量资源
甲产品(每吨)
乙产品(每吨)
资源限额(每天)
煤(t)
9
4
360
电力(kw· h)
4
5
200
劳动力(个)
3
10
300
利润(万元)
6
12
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？
考点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用
题点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用
解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元.
依题意可得约束条件
作出可行域如图(阴影部分，含边界).
利润目标函数z＝6x＋12y，
由几何意义知，当直线l：z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值.解方程组
得x＝20，y＝24，即M(20,24).
所以生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润.
四、探究与拓展
14.若正实数x，y，z满足x2＋4y2＝z＋3xy，则当取最大值时，＋－的最大值为( )
A.2 B.
C.1 D.
考点 基本不等式求最值
题点 利用基本不等式求最值
答案 D
解析 ∵z＝x2＋4y2－3xy，x，y，z∈(0，＋∞)，
∴＝＝≤1(当且仅当x＝2y时等号成立)，
此时＋－＝－，
令＝t>0，则＋－＝t－t2＝－(t－1)2＋≤(当且仅当t＝1，即y＝1时等号成立).故选D.
15.若不等式组表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是________.
考点 线性规划中的参数问题
题点 线性规划中的参数问题
答案 (0,1)
解析 直线y＝kx＋3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域(阴影部分所示)，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y＝kx＋3的斜率在0与1之间，即k∈(0,1).
滚动训练(四)
一、选择题
1.在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC等于( )
A.3 B.5
C.7 D.15
考点 用正弦、余弦定理解三角形
题点 用正弦、余弦定理解三角形
答案 C
解析 由S△ABC＝，得×3×ACsin 120°＝，所以AC＝5，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.
2.已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A.－165 B.－33 C.－30 D.－21
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案 C
解析 由已知a4＝a2＋a2＝－12，a8＝a4＋a4＝－24，a10＝a8＋a2＝－30.
3.设平面点集A＝，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为( )
A. B.
C. D.
考点 不等式(组)表示平面区域的应用
题点 平面区域的面积
答案 D
解析 平面点集A表示的平面区域就是不等式组与表示的两块平面区域，
而平面点集B表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，
以1为半径的圆及圆的内部，
作出它们表示的平面区域如图所示，
图中的阴影部分就是A∩B所表示的平面图形.
由于圆和曲线y＝关于直线y＝x对称，
因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的，
即为，故选D.
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋bsin BA.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
考点 判断三角形形状
题点 利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状
答案 C
解析 根据正弦定理可得a2＋b25.已知实数x，y满足约束条件则ω＝的最小值是( )
A.－2 B.2
C.－1 D.1
考点 非线性目标函数的最值问题
题点 求非线性目标函数最值问题综合
答案 D
解析 作出不等式组对应的平面区域如图，
ω＝的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，－1)所在直线的斜率，
由图象可知当点P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时ω＝的最小值为＝1.
故选D.
6.设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，则f(n)等于( )
A.(8n－1) B.(8n＋1－1)
C.(8n＋3－1) D.(8n＋4－1)
考点 等比数列前n项和
题点 求等比数列的前n项和
答案 D
解析 依题意，f(n)为首项为2，公比为8的前n＋4项的和，根据等比数列的求和公式可得D正确.
7.已知实数x，y满足z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是( )
A. B.[0,5]
C.[0,5) D.
考点 非线性目标函数的最值问题
题点 求非线性目标函数最值问题综合
答案 C
解析 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示.令u＝2x－2y－1，
当直线2x－2y－1－u＝0经过点A(2，－1)时，u＝5，
经过点B时，
u＝－，则－≤u<5，
所以z＝|u|∈[0,5)，故选C.
二、填空题
8.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.
考点 等差、等比数列综合应用
题点 等差、等比基本量问题综合
答案 1
解析 设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d和q，则－1＋3d＝－q3＝8，求得q＝－2，d＝3，那么＝＝1.
9.若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝________.
考点 线性目标最优解
题点 求线性目标函数的最值
答案 6
解析 画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分且包含边界的区域).
作直线l0：y＝－2x，平移直线l0，由图形可知，当l0经过可行域内的点A(2，－1)时，z取最大值，即m＝2×2＋(－1)＝3；当l0经过可行域内的点B(－1，－1)时，z取最小值，即n＝2×(－1)＋(－1)＝－3，故m－n＝3－(－3)＝6.
10.给出平面区域如图所示，其中A(5,3)，B(1,1)，C(1,5)，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a＝______.
考点 线性规划中的参数问题
题点 无数个最优解问题
答案
解析 直线y＝－ax＋z(a>0)的斜率为－a<0，当直线y＝－ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.∵kAC＝－，∴－a＝－，即a＝.
三、解答题
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.
(1)求角A的值；
(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围.
考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合
题点 正弦、余弦定理与三角函数的综合
解 (1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2，又A∈(0，π)，化简得sin A＝，故A＝或.
(2)由题意知，若b≥a，则A＝，又a＝，
所以由正弦定理可得＝＝＝2，
得b＝2sin B，c＝2sin C，
故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin
＝3sin B－cos B＝2sin.
因为b≥a，所以≤B<，≤B－<，
所以2sin∈[，2).
即2b－c的取值范围为[，2).
12.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1,2,3，…)，且a1，a2，a3是公比不为1的等比数列.
(1)求c的值；
(2)求{an}的通项公式.
考点 递推数列通项公式求法
题点 an＋1＝pan＋f(n)型
解 (1)a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2，当c＝0时，a1＝a2＝a3，不符合题意舍去，故c＝2.
(2)当n≥2时，由于a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…，an－an－1＝(n－1)c，
所以an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c，
又a1＝2，c＝2，
故an＝2＋n(n－1)＝n2－n＋2(n＝2,3，…)，
当n＝1时，上式也成立，所以an＝n2－n＋2(n＝1,2，…).
四、探究与拓展
13.设x，y满足不等式组若M＝3x＋y，N＝x－，则M－N的最小值为________.
考点 非线性目标函数的最值问题
题点 求非线性目标函数最值问题综合
答案
解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，易求得A(－1,2)，B(3，2)，
当直线3x＋y－M＝0经过点A(－1,2)时，目标函数M＝3x＋y取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x≤3，所以函数N＝x－在x＝－1处取得最大值－，由此可得M－N的最小值为－1－＝.
14.已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈[1,2]，且y∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________.
考点 一元二次不等式恒成立问题
题点 一元二次不等式在区间上恒成立
答案 [－1，＋∞)
解析 依题意得，当x∈[1,2]，且y∈[2,3]时，不等式xy≤ax2＋2y2恒成立，即a≥＝－22
＝－22＋恒成立.
在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)所示，注意到可设为该区域内的点(x，y)与原点连线的斜率.
结合图形可知，的取值范围是[1,3]，
此时－2·2＋的最大值是－1，
因此满足题意的实数a的取值范围是[－1，＋∞).
