第二章圆锥曲线与方程学案（11份）

§2.1　椭　圆
2.1.1　椭圆及其标准方程(一)
学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
知识点一　椭圆的定义
思考　给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？
答案　在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．
梳理　(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点F1，F2.
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
(4)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点二　椭圆的标准方程
思考　在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
答案　不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．
梳理　
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(　×　)
2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　×　)
3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　√　)
类型一　椭圆的标准方程
命题角度1　求椭圆的标准方程
例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B；
(2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　(1)方法一　当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵点A(0,2)，B在椭圆上，
∴解得
这与a>b相矛盾，故应舍去．
当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)，
∵点A(0,2)，B在椭圆上，
∴解得
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，
综上可知，椭圆的标准方程为x2＋＝1.
方法二　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
∵点A(0,2)，B在椭圆上，
∴∴
故椭圆的标准方程为x2＋＝1.
(2)方法一　椭圆＋＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，
可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义可得
2a＝＋，
∴2a＝12，即a＝6.
∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　由题意可设椭圆的标准方程为
＋＝1(λ>－9)，
将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得
＋＝1，
解得λ＝11或λ＝－21(舍去)，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
反思与感悟　求椭圆标准方程的方法
(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．
(2)待定系数法
①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程．
特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．
跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知，
2a＝ ＋ 
＝2，
即a＝.又c＝2，
∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴∴
∴所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，
∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
∴代入得∴
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
命题角度2　由标准方程求参数(或其取值范围)
例2　若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　(0,1)
解析　∵方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
将方程改写为＋＝1，
∴有解得0反思与感悟　(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式；
(2)＋＝1表示椭圆的条件是
表示焦点在x轴上的椭圆的条件是
表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
跟踪训练2　(1)已知方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为________．
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　(7,10)
解析　化成椭圆标准形式得＋＝1，
根据其表示焦点在x轴上的椭圆，
得解得7(2)已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝_______________.
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　4或8
解析　①当焦点在x轴上时，10－m－(m－2)＝4，
解得m＝4.
②当焦点在y轴上时，m－2－(10－m)＝4，
解得m＝8.
∴m＝4或8.
类型二　椭圆定义的应用
例3　已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
解　在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4
所以＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
引申探究　
若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝90°”，求△F1PF2的面积．
解　由椭圆＋＝1，知|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝6，
因为∠F1PF2＝90°，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝36，
所以|PF1|·|PF2|＝6，
所以＝|PF1|·|PF2|＝3.
反思与感悟　(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)；有时把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
(2)焦点三角形的周长等于2a＋2c.设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积为b2tan .
跟踪训练3　已知AB是过椭圆x2＋y2＝1的左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|＝4，其中F2为椭圆的右焦点，则|AB|＝________.
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　2
解析　由椭圆定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝6.
所以|AF1|＋|BF1|＝6－4＝2，即|AB|＝2.
1．“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆定义确定轨迹
答案　A
解析　若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件．
2．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　D
解析　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2.
结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，故|PF2|＝8.
3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋x2＝1
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　A
解析　c＝1，a＝×(＋)＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆的方程为＋＝1.
4．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于________．
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　4
解析　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2是直角三角形，且PF1⊥PF2，
∴△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4.
5．若方程＋＝1表示椭圆，则m满足的条件是________．
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　
解析　由方程＋＝1表示椭圆，
知解得m>且m≠1.
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.
一、选择题
1．设椭圆＋＝1(m>1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m等于(　　)
A．6 B．3
C．2 D．4
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　C
解析　∵m2>m2－1，∴椭圆焦点在x轴上，
∴a＝m，则2m＝3＋1＝4，
∴m＝2.
2．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　B
解析　由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
不妨设|PF1|>|PF2|，
∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，
又∵|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
3．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为(　　)
A．1 B．－1
C. D．－
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　A
解析　原方程可化简为x2＋＝1，
由c2＝－1＝4，得k＝1.
4．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于(　　)
A．2 B．8
C．4 D.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　C
解析　如图，F2为椭圆右焦点，连接MF2，则ON是△F1MF2的中位线，∴|ON|＝|MF2|，又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝8，
∴|ON|＝4.
5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　B
解析　由已知2c＝|F1F2|＝2，所以c＝.
因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
6．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
考点　椭圆的标准方程
题点　由椭圆的标准方程求焦点、焦距
答案　B
解析　曲线＋＝1焦点在x轴上．
对于曲线＋＝1，
∵09－k>0，
∴焦点在y轴上，故两者的焦点不同．
∵25－9＝(25－k)－(9－k)＝16＝c2，
∴2c＝8，故两者焦距相等．
故选B.
7．方程＋＝1表示椭圆的必要不充分条件是(　　)
A．m∈(－1,2)
B．m∈(－4,2)
C．m∈(－4，－1)∪(－1,2)
D．m∈(－1，＋∞)
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　B
解析　方程＋＝1表示椭圆的充要条件是
即m∈(－4，－1)∪(－1,2)．
由题意可得，
所求m的取值范围包含集合(－4，－1)∪(－1,2)．
观察选项，故选B.
8．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为(　　)
A. B.
C. D.
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　C
解析　∵·＝0，∴⊥，
由|MF1|＋|MF2|＝4，①
又|MF1|2＋|MF2|2＝(2)2＝12，②
由①与②可得，|MF1|·|MF2|＝2，
设M到x轴的距离为h，
则|MF1|·|MF2|＝|F1F2|·h，
h＝＝.
9．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，一动直线与椭圆交于M，N两点，则△FMN的周长的最大值为(　　)
A．16 B．20
C．32 D．40
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　D
解析　设右焦点为A，一动直线与椭圆交于M，N两点，则△FMN的周长l＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋2a－|MA|＋2a－|NA|＝4a＋(|MN|－|MA|－|NA|)，由于|MA|＋|NA|≥|MN|，所以当M，A，N三点共线时，△FMN的周长取得最大值4a＝40.
二、填空题
10．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　3或5
解析　当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，
b2＝4，c2＝m－4，
又2c＝2，∴c＝1.
∴m－4＝1，m＝5.
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，∴m＝3，∴m＝3或5.
11．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
答案　＋＝1
解析　方法一　依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
方法二　依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
则
解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
12．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　3
解析　由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2.
又∵⊥，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
即4c2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，
∴|PF1|·|PF2|＝2b2，
∴＝·|PF1|·|PF2|＝×2b2＝b2＝9，
又∵b>0，∴b＝3.
三、解答题
13．求过点(0,4)且与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点的椭圆的方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　由9x2＋4y2＝36，得＋＝1，
则c＝＝，
焦点在y轴上，设所求椭圆方程为＋＝1，
则a＝4，∴b2＝a2－c2＝11，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
四、探究与拓展
14．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　方法一　设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，
由已知条件得
解得所以b2＝a2－c2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
方法二　设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2.
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4.
在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；
在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.
依题意有＝3，得b2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
15．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
解　(1)由题意得椭圆焦点在y轴上，且c＝1.
又∵3a2＝4b2，
∴a2－b2＝a2＝c2＝1，
∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)如图所示，|PF1|－|PF2|＝1.
又由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝.
2.1.1　椭圆及其标准方程(二)
学习目标　加深理解椭圆的定义及其标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．
知识点　椭圆方程的求法
思考1　用待定系数法求椭圆的标准方程＋＝1，需要几个独立条件？
答案　需要两个独立条件，因为方程中有两个独立参数a，b.
思考2　椭圆方程的求法，除待定系数法外，还有哪些方法？
答案　定义法、直接法等．
梳理　
方法名称
适用条件
待定系数法
已知是椭圆，且知椭圆长、短轴、焦点、焦距、或椭圆上的点等条件中的某些条件
直接法
等量关系比较明确(推导椭圆标准方程采用的就是直接法)
定义法
能得出动点到两定点的距离之和为定值
相关点法
所求动点与已知条件的另一动点存在坐标相关关系
1．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　×　)
2．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(　√　)
3．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　×　)
类型一　定义法求轨迹方程
例1　如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆定义确定轨迹
解　∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q，
∴|AQ|＝|PQ|，
∴|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6>|AB|＝4，
∴点Q的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
且2a＝6,2c＝4，
∴a＝3，c＝2，即b2＝a2－c2＝5，
∴点Q的轨迹方程为＋＝1.
反思与感悟　用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义得出椭圆的基本量a，b，c.
跟踪训练1　如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆定义确定轨迹
解　设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为＋＝1.
类型二　相关点法求轨迹方程
例2　已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上的动点，求线段AQ中点M的轨迹方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　相关点法求轨迹方程
解　设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．
利用中点坐标公式，得∴
∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，
得＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是2＋4y2＝1.
反思与感悟　当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)．
(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．
跟踪训练2　如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程，并判断此曲线的类型．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　相关点法求轨迹方程
解　设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，
由已知易得∵P在圆上，∴x2＋2＝25，
即轨迹C的方程为＋＝1.该曲线表示焦点在x轴上的椭圆．
类型三　直接法求轨迹方程
例3　如图，设点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　直接法求椭圆方程
解　设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－2,0)，
所以直线AM的斜率kAM＝(x≠－2)；
同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠2)．
由已知得×＝－(x≠±2)，
化简，得点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．
引申探究
若将本例中的－改为a(a<0)，曲线形状如何？
解　设点M(x，y)，则·＝a(x≠±2)．
化简得＋＝1(x≠±2)．
(1)当a＝－1时，曲线表示圆x2＋y2＝4(x≠±2)，去掉两点(±2,0)．
(2)当a≠－1时，曲线表示椭圆，去掉两点(±2,0)．
当－1当a<－1时，椭圆焦点在y轴上．
反思与感悟　通过本例的学习，体会椭圆的另一种生成方法：一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数(不等于－1)，轨迹即为椭圆，但要注意除去不符合题意的点．
跟踪训练3　已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足·＝6||.求动点P的轨迹C的方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　直接法求椭圆方程
解　设动点P(x，y)，
则＝(x－4，y)，＝(－3,0)，＝(1－x，－y)，
由已知得－3(x－4)＝6，
化简得3x2＋4y2＝12，
即＋＝1.
即点P的轨迹C的方程是＋＝1.
1．方程＋＝10化简结果是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　B
解析　方程＋＝10表示动点M(x，y)到两个定点(±2,0)的距离之和为定值10＝2a，且10>2＋2，由题意可得，动点M的轨迹是椭圆，
且b2＝a2－c2＝52－22＝21，
可得椭圆的方程为＋＝1，故选B.
2．若△ABC的两个顶点坐标为A(－6,0)，B(6,0)，△ABC的周长为32，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　D
解析　由题意知|CA|＋|CB|＋|AB|＝32，又|AB|＝12，
∴|CA|＋|CB|＝20>|AB|，
由椭圆定义知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)，
其方程为＋＝1(y≠0)．
3．已知椭圆的两个焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．射线 D．直线
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　A
解析　由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
又∵|PQ|＝|PF2|，
∴|PQ|＋|PF1|＝2a，即|F1Q|＝2a，
则动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆．
4．已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　相关点法求轨迹方程
答案　x2＋＝1
解析　由题意，设P(x1，y1)，Q(x，y)，
∵Q为线段OP的中点，
∴由中点坐标公式得x＝，y＝，
即x1＝2x，y1＝2y，
∵P是椭圆＋＝1上的点，
∴＋＝1，即＋＝1，
化简得Q点的轨迹方程为x2＋＝1.
5．已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP′，垂足为P′，点M在PP′上，并且＝2，求点M的轨迹．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　相关点法求轨迹方程
解　设点M的坐标为(x，y)，
点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，
∴x＋y＝9.
将x0＝x，y0＝3y代入，得x2＋9y2＝9，即＋y2＝1.
∴点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，其方程为＋y2＝1.
1．解答与椭圆有关的轨迹问题的一般思路是：
2．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.
一、选择题
1．平面内，若点M到定点F1(0，－1)，F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹为(　　)
A．椭圆 B．直线F1F2
C．线段F1F2 D．直线F1F2的垂直平分线
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆定义确定轨迹
答案　C
解析　由|MF1|＋|MF2|＝2＝|F1F2|知，点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆定义确定轨迹
答案　B
解析　设右焦点为F2，由题意知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义知P点的轨迹是椭圆．
3．已知点A(－1,0)，B(1,0)，且·＝0，则动点M的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1(x≠±1)
D．x2＋y2＝2(x≠±)
考点　椭圆标准方程的求法
题点　直接法求椭圆方程
答案　A
解析　设动点M(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y). 由·＝0，得(－1－x)(1－x)＋(－y)·(－y)＝0, 即x2＋y2＝1.
4．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
答案　B
解析　∵△PF1F2的最大面积为×2c×b＝12，
即bc＝12，又∵c＝4，∴b＝3，
∴a＝5，∴椭圆方程为＋＝1.
5．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆定义确定轨迹
答案　D
解析　∵a＋≥2 ＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，
点P的轨迹是椭圆．
6．已知椭圆＋＝1(0A．1 B.
C. D.
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　D
解析　当l⊥x轴时，|AF2|＋|BF2|的值最大，
此时，|AF2|＝，
由椭圆定义知|AF1|＋|AF2|＝4，
|AF1|＝，|F1F2|＝2.
则|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2，
即＝＋4(4－b2)，
解得b＝.
7．长度为2的线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，点M分AB的比为，则点M的轨迹方程为(　　)
A.x2＋y2＝1
B.x2＋y2＝1
C.x2＋y2＝1
D.x2＋y2＝1
考点　椭圆标准方程的求法
题点　相关点法求轨迹方程
答案　B
解析　设点M的坐标为(x，y)，
则A的坐标为，B的坐标为.
因为|AB|＝2，所以2＋2＝4，
即x2＋y2＝4，
所以点M的轨迹方程是x2＋y2＝4.
即x2＋y2＝1.
8．过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．圆或椭圆 D．线段
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆定义确定轨迹
答案　C
解析　如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则|AC|＝R－r，由于r＝|BC|，∴|AC|＝R－|BC|?|CA|＋|CB|＝R.∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R.∵B为圆内的定点，
∴|AB|二、填空题
9．设△ABC的三个顶点A，B，C对应三边分别为a，b，c，且a，b，c(a>b>c)成等差数列，A，C两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，则顶点B的轨迹方程为_____________________．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　＋＝1(－2解析　设点B的坐标为(x，y)．
∵a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，
∴|BC|＋|BA|＝4.
根据椭圆的定义易知，点B的轨迹方程为＋＝1.
又∵a>b>c，∴a>c，即|BC|>|AB|，
∴(x－1)2＋y2>(x＋1)2＋y2，∴x<0，
∴点B的轨迹是椭圆的一半，方程为＋＝1(x<0)．
又当x＝－2时，点B，A，C在同一直线上，不能构成△ABC，∴x≠－2.
∴顶点B的轨迹方程为＋＝1(－210．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的___________倍．
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　7
解析　依题意，不妨设椭圆的两个焦点坐标分别为
F1(－3,0)，F2(3,0)，
设P点的坐标为(x1，y1)，
由线段PF1的中点的横坐标为0，
知＝0，∴x1＝3.
把x1＝3代入椭圆方程＋＝1，
得y1＝±，
即P点的坐标为，∴|PF2|＝|y1|＝.
由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1|＝4－|PF2|
＝4－＝.
即|PF1|＝7|PF2|.
11．设x，y∈R，向量a＝(x＋，y)，b＝(x－，y)，且|a|＋|b|＝4，则点M(x，y)的轨迹C的方程是________________．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　直接法求椭圆方程
答案　＋y2＝1
解析　∵a＝(x＋，y)，b＝(x－，y)，
|a|＋|b|＝4，
∴＋＝4，
由椭圆的定义可知，M点的轨迹是椭圆．
则该椭圆的方程为＋y2＝1.
12.如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________.
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
答案　2
解析　由题意知c2＝，则c＝2，
∴P(1，)代入椭圆方程＋＝1，
得＋＝1，得b2＝2.
三、解答题
13．P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，求动点Q的轨迹方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　相关点法求椭圆的方程
解　由＝＋，
又＋＝2＝－2，
设Q(x，y)，
则＝－＝－(x，y)＝，
即P点坐标为，又P点在椭圆上，
∴＋＝1，
即＋＝1，
∴动点Q的轨迹方程为＋＝1(a>b>0)．
四、探究与拓展
14．已知△ABC的顶点A(－2,0)和B(2,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　2
解析　∵A(－2,0)和B(2,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，
∴|CA|＋|CB|＝8，|AB|＝4，
∴由正弦定理得，＝＝＝2.
15．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
解　由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，且a＝2，c＝1的椭圆(左顶点除外)，其方程为 ＋＝1(x≠－2)．
2.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
学习目标　1.掌握椭圆的简单几何性质，并正确地画出它的图形.2.能根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一　椭圆的范围、对称性和顶点
思考　在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？
答案　在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．
梳理　椭圆的简单几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
对称性
关于x轴，y轴轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
长轴、短轴
长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b
知识点二　椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作e＝.因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e趋近于1时，椭圆越扁，当e趋近于0时，椭圆越圆．
1．椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．(　√　)
2．椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.(　√　)
3．椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．(　×　)
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.(　×　)
类型一　椭圆的简单几何性质
例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
解　椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.
(1)当0焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，
顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m>4时，由e＝＝，解得m＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，
焦点坐标为F1，F2，
顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，
B2(2,0)．
反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1　(1)椭圆x2＋＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　　)
A. B.
C．2 D．4
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求参数
答案　A
解析　∵椭圆x2＋＝1的焦点在x轴上，
∴a2＝1，b2＝m，则a＝1，b＝，
又长轴长是短轴长的两倍，∴2＝4，即m＝.
(2)对椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的几何性质的表述正确的是(　　)
A．范围相同 B．顶点坐标相同
C．焦点坐标相同 D．离心率相同
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
答案　D
解析　椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是(－a,0)，(a,0)，(0，－b)，(0，b)，焦点坐标是(－c,0)，(c,0)，离心率e＝；椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤y≤a，－b≤x≤b，顶点坐标是(－b,0)，(b,0)，(0，－a)，(0，a)，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)，离心率e＝，只有离心率相同．
类型二　求椭圆的离心率
命题角度1　利用焦点三角形性质求椭圆的离心率
例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆离心率的值
答案　－1
解析　方法一　如图，
∵△DF1F2为正三角形，
N为DF2的中点，
∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝c，
∴|NF1|＝
＝＝c，
由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1.
方法二　在焦点△NF1F2中 ，∠NF1F2＝30°，
∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，
由离心率公式和正弦定理，得
e＝＝＝
＝
＝
＝－1.
反思与感悟　涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝求解．
跟踪训练2　设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆离心率的值
答案　C
解析　如图，设直线x＝交x轴于D点，
因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
则有|F1F2|＝|F2P|.
因为∠PF1F2＝30°，
所以∠PF2D＝60°，∠DPF2＝30°，
所以|DF2|＝|F2P|＝|F1F2|，
即－c＝×2c，即＝2c，
即＝，
所以椭圆的离心率为e＝.
命题角度2　利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)
例3　(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆离心率的值
答案　
解析　直线AB：x＝c，代入＋＝1，
得y＝±，
∴设A，B.
∴＝＝＝－，
∴直线BF1：y－0＝－(x＋c)，
令x＝0，则y＝－，
∴D，∴kAD＝＝.
由于AD⊥BF1，∴－·＝－1，
∴3b4＝4a2c2，
∴b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac，
∴e2＋2e－＝0，
∴e＝＝，
∵e>0，∴e＝＝＝.
(2)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求离心率的取值范围
答案　
解析　椭圆＋＝1(a>b>0)，－b≤y≤b.
由题意知，以F1F2为直径的圆与椭圆至少有一个公共点，
则c≥b，即c2≥b2，
所以c2≥a2－c2，
所以e2≥1－e2，即e2≥.
又0所以e的取值范围是.
反思与感悟　若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3　设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求离心率的取值范围
答案　
解析　由题意知≤，
∵e＝，
∴≤e<1.
类型三　利用几何性质求椭圆的标准方程
例4　(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
(2)已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
解　(1)∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3.
∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，
∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，
∵e＝＝，∴c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴a2＝3b2＝27，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
(2)假设F为椭圆的右焦点，依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的对称性，知|B1F|＝|B2F|，
又B1F⊥B2F，
∴△B1FB2为等腰直角三角形，
∴|OB2|＝|OF|，即b＝c.
|FA|＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
反思与感悟　此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．
跟踪训练4　如图，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　＋＝1
解析　设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a.
∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.
∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b
＝(2b－b)b＝2－，
解得b2＝2，则a＝2b＝2.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
1．椭圆25x2＋9y2＝1的范围为(　　)
A．|x|≤5，|y|≤3
B．|x|≤，|y|≤
C．|x|≤3，|y|≤5
D．|x|≤，|y|≤
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆范围的简单应用
答案　B
解析　椭圆方程可化为＋＝1，
所以a＝，b＝，
又焦点在y轴上，所以|x|≤，|y|≤.故选B.
2．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则(　　)
A．C1与C2顶点相同
B．C1与C2长轴长相同
C．C1与C2短轴长相同
D．C1与C2焦距相等
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
答案　D
解析　由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.
3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D．以上都不对
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　C
解析　由2a＋2b＝18，a＋b＝9,2c＝6，c＝3，c2＝a2－b2＝9，a－b＝1，得a＝5，b＝4，
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
4. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求参数
答案　(0，±)
解析　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
5．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆离心率的值
答案　
解析　根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)．
又因为a2－b2＝c2，
所以a＝5，c＝4，故e＝＝.
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则(　　)
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求参数
答案　D
解析　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
2．已知焦点在y轴上的椭圆＋y2＝1，其离心率为，则实数m的值是(　　)
A．4 B.
C．4或 D.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求参数
答案　B
解析　∵焦点在y轴上，∴a2＝1，b2＝m，
∴e＝＝＝＝，
∴m＝.
3．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　A
解析　依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
4．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是(　　)
A. B.
C. D．－
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求参数
答案　C
解析　椭圆方程可简化为＋＝1，由题意知m>0，∴<，∴a＝，∴椭圆的长轴长是2a＝.
5．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　B
解析　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，
可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
6．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆离心率的值
答案　B
解析　如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b.
在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·b，代入解得a2＝4c2，故椭圆离心率e＝＝，故选B.
7．设AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是(　　)
A．98a B．99a C．100a D．101a
考点　椭圆几何性质的应用
题点　椭圆对称性的应用
答案　D
解析　由椭圆的定义及其对称性可知，|F1P1|＋|F1P99|＝|F1P2|＋|F1P98|＝…＝|F1P49|＋|F1P51|＝|F1A|＋|F1B|＝2a，|F1P50|＝a,50×2a＋|F1P50|＝101a.
8．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有(　　)
A．3个 B．4个
C．6个 D．8个
考点　椭圆几何性质的应用
题点　椭圆对称性的应用
答案　C
解析　当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当点P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P共有6个．故选C.
二、填空题
9．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求参数
答案　(2,4]
解析　∵e＝ ＝ ，
∴0< ≤，
得110．若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
答案　＋＝1或＋＝1
解析　由题意可知a＝2b，c＝1，
所以1＋b2＝4b2，故b2＝，a2＝，
则此椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆离心率的值
答案　
解析　∵∠BAO＋∠BFO＝90°，
∴∠BAO＝∠FBO，
∴tan ∠BAO＝tan ∠FBO，
即＝，得b2＝ac，
∴a2－c2＝ac，即e2＋e－1＝0，
∵012．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆范围的简单应用
答案　6
解析　由题意，得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则有＋＝1，解得y＝3.
因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝＋x0＋3.
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，
因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，
·取得最大值＋2＋3＝6.
三、解答题
13．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
解　椭圆方程可化为＋＝1，
由m－＝>0，
可知m>，
所以a2＝m，b2＝，c＝＝ ，
由e＝，得 ＝，解得m＝1.
于是椭圆的标准方程为x2＋＝1，
则a＝1，b＝，c＝.
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；
两焦点坐标分别为，；
四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，.
四、探究与拓展
14.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求离心率的取值范围
答案　C
解析　∠B1PB2为与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距的长度分别为a，b，c，则＝(－a，b)，＝(－c，－b)，
∵当向量的夹角为钝角时，·<0，
∴ac－b2<0，又b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2>0，
不等式两边同除以a2，得1－e－e2>0，即e2＋e－1<0，解得又∵015.设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B(如图)．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
解　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)．
其中c＝，设B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝，
即b2－c2＝1，
即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
第2课时　椭圆几何性质的应用
学习目标　1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．
知识点一　点与椭圆的位置关系
思考1　判断点P(1,2)与椭圆＋y2＝1的位置关系．
答案　当x＝1时，得y2＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外．
思考2　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？
答案　当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二　直线与椭圆的位置关系
思考　类比直线与圆的位置关系，给出直线与椭圆的位置关系．
答案　有三种位置关系：相离、相切和相交
梳理　判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：
联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点三　弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝，
∴|AB|＝
＝?
＝?，
或|AB|＝
＝
＝?.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得．
1．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(　√　)
2．直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(　√　)
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　×　)
4．直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(　√　)
类型一　直线与椭圆的位置关系
例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.①
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
反思与感悟　判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0?直线与椭圆相交；
Δ＝0?直线与椭圆相切；
Δ<0?直线与椭圆相离．
特别提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．
跟踪训练1　(1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　A
解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交．
(2)若直线y＝x＋与椭圆x2＋＝1(m>0且m≠1)相切，则该椭圆的长轴长为(　　)
A．1 B.
C．2 D．2
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　D
解析　由消去y，
得(1＋m2)x2＋2x＋6－m2＝0，
由Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，
解得m2＝5，所以椭圆的长轴长为2.
类型二　直线与椭圆的相交弦问题
例2　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.所以线段AB的长度为3.
(2)方法一　当直线l的斜率不存在时，不合题意．
所以直线l的斜率存在．
设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立消去y，
得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
Δ＝(32k2－16k)2－4(1＋4k2)·(64k2－64k－20)>0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－，
由于P(4,2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
反思与感悟　处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．
跟踪训练2　已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
解　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，
得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，代入①式可得b＝a.
∵直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.
又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝2－4·.②
将b＝a代入②式，解得a＝，∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋＝1.
方法二　由消去y，
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
且直线AB的斜率k＝－1，
∴|AB|＝
＝
＝·.
∵|AB|＝2，∴＝2，
∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，
∴＝＝，将其代入①式得，a＝，b＝.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
类型三　椭圆中的最值(或范围)问题
例3　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的其他问题
解　(1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝
＝＝
＝＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
引申探究　
本例中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．
解　可求得O到AB的距离d＝，
又|AB|＝，
∴S△AOB＝|AB|·d
＝××
＝≤·＝，
当且仅当－m2＝m2时，上式取“＝”，
此时m＝±∈.
∴所求直线方程为x－y±＝0.
反思与感悟　解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
跟踪训练3　已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求|AB|的最小值．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的其他问题
解　(1)椭圆C：x2＋2y2＝4化为标准方程为＋＝1，
∴a＝2，b＝，c＝，
∴椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设A(t,2)，B(x0，y0)，x0≠0.∵OA⊥OB，
∴·＝0，
∴tx0＋2y0＝0，∴t＝－.
又∵x＋2y＝4，∴0∴|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋＋4≥4＋4＝8，
当且仅当＝，即x＝4时等号成立，
∴|AB|的最小值为2.
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－
C．－2考点　椭圆的几何性质
题点　点与椭圆的位置关系
答案　A
解析　由题意知＋<1，解得－2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m>1且m≠3
C．m>3 D．m>0且m≠3
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　B
解析　由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
∵Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，∴16m2－4m(3＋m)>0，
∴m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
3．过椭圆＋＝1内一点P(1,1)的直线l与椭圆交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线l的方程是(　　)
A．x＋2y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．2x－y－1＝0
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　A
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(1,1)是线段AB的中点，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，将点A，B的坐标代入椭圆方程作差，得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，由题意知，直线l的斜率存在，∴kAB＝＝－，∴直线l的方程为y－1＝－(x－1)，整理得x＋2y－3＝0.
4．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　2
解析　由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a＞2)，
与直线方程x＋y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2.
5．已知椭圆C的两个焦点是F1(－2,0)，F2(2,0)，且椭圆C经过点A(0，)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过左焦点F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求线段PQ的长．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长与三角形面积
解　(1)由已知得，椭圆C的焦点在x轴上，可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，(0，)是椭圆短轴上的一个顶点，可得b＝，由题意可得c＝2，故a＝＝3，则椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由已知得，直线l的斜率k＝tan 45°＝1，而F1(－2,0)，所以直线l的方程为y＝x＋2，代入方程＋＝1，得5x2＋9(x＋2)2＝45，即14x2＋36x－9＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，则|PQ|＝|x1－x2|＝×＝× ＝.
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．
一、选择题
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　C
解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离．
2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)
A．8,2 B．5,4
C．5,1 D．9,1
考点　椭圆的几何性质
题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质
答案　D
解析　因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.
3．已知AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为(　　)
A．b2 B．ab
C．ac D．bc
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长与三角形面积
答案　D
解析　当直线AB为y轴时，面积最大，
此时|AB|＝2b，△AFB的高为c，
∴S△AFB＝·2b·c＝bc.
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为(　　)
A. B．± C. D．±
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　求椭圆中的直线方程
答案　B
解析　根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，∴k＝＝±＝±.
5．若直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．需根据a，b的取值来确定
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　C
解析　∵直线与圆没有交点，∴d＝ >2，
∴a2＋b2<4，即<1，∴＋<1，
∴点(a，b)在椭圆内部，
故直线与椭圆有2个交点．
6．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交椭圆的四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为(　　)
A. B.
C. D.
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆离心率的值
答案　B
解析　将x＝±c代入椭圆方程，得y＝±.
由题意得＝2c，即b2＝ac，
所以a2－c2＝ac，则2＋－1＝0，
解得＝(负值舍去)．
7．经过椭圆x2＋2y2＝2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则·等于(　　)
A．－3 B．±
C．－ D．－
考点　椭圆的几何性质
题点　椭圆范围的简单应用
答案　C
解析　由x2＋2y2＝2，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦点为(±1,0)，直线l不妨过右焦点，则直线l的方程为y＝x－1，代入x2＋2y2＝2，得x2＋2(x－1)2－2＝0，化简得3x2－4x＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝0，x1＋x2＝，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－＝－，所以·＝x1x2＋y1y2＝0－＝－.
8．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
答案　D
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，得＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－·＝，因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，所以＝.因为右焦点为F(3,0)，c＝3，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的方程为＋＝1.
二、填空题
9．直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是__________________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆的公共点个数问题
答案　{m|1≤m<5}
解析　由直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，
由题意知点(0,1)在椭圆上或椭圆内，
则≤1.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
∴0∴1≤m<5.
10．椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长问题
答案　
解析　由得交点为(0,1)，，
则|AB|＝＝.
11．如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率为________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆离心率的值
答案　－1
解析　由直线方程y＝(x＋c)，得直线与x轴的夹角∠MF1F2＝，且过点F1(－c,0)．∵∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴∠MF1F2＝2∠MF2F1＝，即F1M⊥F2M.∴在Rt△F1MF2中，|F1F2|＝2c，|F1M|＝c，|F2M|＝c，∴由椭圆定义可得2a＝c＋c，
∴离心率e＝＝＝－1.
12．若椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，若＝，则原点与线段AB的中点M的连线的斜率为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②，得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即＋·＝0.
∵＝－1，＝，
∴＝，∴kOM＝.
三、解答题
13．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点．
(1)求AB的中点坐标；
(2)求△ABF2的周长与面积．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长与三角形面积
解　(1)由＋＝1，知a＝，b＝，所以c＝1.
所以F1(－1,0)，F2(1,0)，
所以直线l的方程为y＝x＋1，
由消去y，
整理得5x2＋6x－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则
x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，
y0＝＝＝＋1＝，
所以AB的中点坐标为.
(2)由题意，知F2到直线AB的距离d＝＝＝，
|AB|＝·＝，
所以＝|AB|d＝××＝，
所以△ABF2的周长为4a＝4，面积为.
四、探究与拓展
14．椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的其他问题
(1)证明　椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)>0，
得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，
即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即－＋1＝0，
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)解　∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．
15.已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长与三角形面积
解　(1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d<1，得|m|<.(*)
∴|CD|＝2＝2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，
得x2－mx＋m2－3＝0，
Δ＝(－m)2－4(m2－3)>0，得m2<4.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝
＝.
由＝，得 ＝1，
解得m＝±，满足(*)式，也满足Δ>0.
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
§2.2　双曲线
2.2.1　双曲线及其标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点一　双曲线的定义
思考　若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？
答案　如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数(小于|F1F2|)；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数(小于|F1F2|)，可得到另一条曲线．
梳理　(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
知识点二　双曲线的标准方程
思考　双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
答案　双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．
梳理　(1)双曲线两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系式
a2＋b2＝c2
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．
1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　×　)
2．在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b.(　×　)
3．双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b.(　×　)
类型一　双曲线的标准方程
命题角度1　双曲线标准方程的认识
例1　方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
考点　双曲线的标准方程
题点　已知方程判断曲线的类型
答案　A
解析　由题意可知，(2＋m)(m＋1)<0，∴－2反思与感悟　将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
跟踪训练1　若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
考点　双曲线的标准方程
题点　已知方程判断曲线的类型
答案　C
解析　原方程化为－＝1，
∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0.
∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．
命题角度2　求双曲线标准方程
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把A点的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把A点的坐标代入，得b2＝9，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟　求双曲线方程的方法
(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解．
(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论．
(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，把双曲线方程设成mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．
跟踪训练2　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线方程是－y2＝1.
(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(－，4)．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
类型二　双曲线的定义及应用
命题角度1　双曲线中的焦点三角形
例3　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　4a＋2m
解析　由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a.
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.
(2)设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　12
解析　由已知得2a＝2，
又由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2，
因为|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
所以|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2c＝2，
由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝0，
所以△F1PF2为直角三角形．
＝×|PF1|·|PF2|＝×6×4＝12.
引申探究　
本例(2)中，若将“|PF1|∶|PF2|＝3∶2”改为“|PF1|·|PF2|＝24”，求△PF1F2的面积．
解　由双曲线方程为x2－＝1，
可知a＝1，b＝2，c＝＝.
因为|PF1|·|PF2|＝24，
则cos∠F1PF2＝
＝
＝＝0，
所以△PF1F2为直角三角形．
所以＝|PF1|·|PF2|＝12.
反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|之间的关系．
跟踪训练3　已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．1 B．4 C．6 D．8
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　B
解析　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由余弦定理得|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
即m2＋n2－mn＝8，
∴(m－n)2＋mn＝8，∴mn＝4，
即|PF1|·|PF2|＝4.
命题角度2　由双曲线定义求轨迹方程
例4　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　x2－＝1(x≤－1)
解析　如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件 |MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|, 因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且2<6＝|C1C2|.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－＝1 (x≤－1)．
反思与感悟　定义法求双曲线方程的注意点
(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．
(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．
(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．
跟踪训练4　已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x≥) B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　A
解析　设动圆M的半径为r，则由已知得
|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
所以|MC1|－|MC2|＝2.
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
所以|C1C2|＝8，所以2<|C1C2|，
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支，
因为a＝，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝14，
所以点M的轨迹方程是－＝1(x≥).
1．已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．不存在 D．一条射线
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　B
解析　因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，
由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支．
2．若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(　　)
A．－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2
考点　双曲线的标准方程
题点　已知方程判断曲线的类型
答案　A
解析　由题意知，k＋3>0且k＋2<0，
∴－33．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8 C．24 D．48
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　C
解析　由题意得解得
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，且PF1⊥PF2，
则＝|PF1|·|PF2|＝24.
4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(　　)
A. B．1或－2
C．1或 D．1
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
答案　D
解析　由a>0,05．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)；
(3)以椭圆＋＝1长轴的顶点为焦点，且过(3，)．
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)由题设知，a＝3，c＝4，
由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上，
因为点A(－5,6)在双曲线上，
所以2a＝|－|
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8.因为过(3，)点，
所以－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．
如果焦点不确定要分类讨论采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解.
一、选择题
1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A. B.
C. D．(，0)
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　C
解析　将双曲线方程化成标准方程为－＝1，
所以a2＝1，b2＝，所以c＝＝，
故右焦点坐标为.
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
考点　双曲线的标准方程
题点　已知方程判断曲线的类型
答案　D
解析　将方程化为－＝1，
由mn<0，知－>0，
所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
3．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，若双曲线上一点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为(　　)
A．17 B．22
C．2或22 D．7或17
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　C
解析　由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝10，
又|PF1|＝12，则P到F2的距离为2或22，经检验，均符合题意．故选C.
4．过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－x2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1或－x2＝1
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　D
解析　∵＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入(1,1)点，得a2＝.此时双曲线标准方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线标准方程为－x2＝1.
5．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k的值是(　　)
A．1 B．－1
C. D．－
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　B
解析　原方程可化为－＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c＝3，且焦点在y轴上，∴k<0.c2＝－－＝－＝9，∴k＝－1，故选B.
6．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　　)
A. B. C. D.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　B
解析　设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，则d1＋d2＝2，①
|d1－d2|＝2，②
①2＋②2，得d＋d＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.
而c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.
7．已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为(　　)
A．9 B．10 C．16 D．20
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　A
解析　△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，
∵|AB|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝16.
根据双曲线定义知，
2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，
∴4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)
＝16－4＝12，
∴a＝3，∴m＝a2＝9.
8．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　B
解析　据已知条件得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点坐标为(0,2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
二、填空题
9．若点P到点(0，－3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为________________．
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　定义法求双曲线的标准方程
答案　y2－＝1(y≥1)
解析　由题意结合双曲线的定义，可知点P的轨迹为双曲线上支，且c＝3,2a＝2，a＝1，b2＝9－1＝8，
故点P的轨迹方程为y2－＝1(y≥1)．
10．双曲线－＝1(0考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　16
解析　在双曲线－＝1(0a2＝64－m2，b2＝m2.
∴a2＋b2＝64，可得c＝8,2c＝16.
11．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程是________．
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　－＝1
解析　设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
12．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　2
解析　设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.
三、解答题
13.如图，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的曲线方程．
考点　双曲线的定义
题点　由双曲线的定义确定轨迹方程
解　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，
且a＝，c＝5.∴b2＝.
∴双曲线方程为－＝1.
四、探究与拓展
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　
解析　设A，B，C的对边分别为a，b，c.
由双曲线定义，得a－c＝10，
由正弦定理，得＝＝＝.
15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1，
则解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
而cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角．
故△MF1F2为钝角三角形．
2.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
学习目标　1.了解双曲线的简单性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．
知识点一　双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
实轴和虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
知识点二　等轴双曲线
思考　在双曲线标准方程中，若a＝b，其渐近线方程是什么？
答案　y＝±x.
梳理　实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.
1．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　×　)
2．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　√　)
3．方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　×　)
4．等轴双曲线的离心率为.(　√　)
类型一　双曲线的几何性质
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程－＝1，
即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
反思与感悟　讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．
跟踪训练1　求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
解　将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程－＝1，
∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，
∴c＝＝＝4.
∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4.
焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝2.
类型二　由双曲线的几何性质求标准方程
例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；
(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；
(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
解　(1)方法一　由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0)．
由题意，得解得
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(4)方法一　由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为e＝1＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．
因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟　(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧．
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)焦点在x轴上，离心率为，且过点(5,4)．
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
解　(1)由题意知，2b＝8，＝，
又c2＝a2＋b2，∴a＝3，b＝4，
故双曲线方程为－＝1.
(2)由题意知，2a＝6,2c＝4a＝12，
又b2＝c2－a2，
∴a2＝9，b2＝27，
∴双曲线方程为－＝1或－＝1.
(3)∵＝，
∴双曲线为等轴双曲线，
则可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ>0)，
将点(5,4)代入双曲线方程，得λ＝9，
∴双曲线方程为－＝1.
类型三　与双曲线有关的离心率问题
命题角度1　求双曲线离心率的值
例3　双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为(　　)
A．2或 B．2
C. D.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　A
解析　因为双曲线的两条渐近线的夹角为60°，所以有以下两种情况(以焦点在x轴上为例)：(1)如图①所示，其中一条渐近线的倾斜角为60°；(2)如图②所示，其中一条渐近线的倾斜角为30°.所以该渐近线的斜率为k＝或k＝.
当双曲线焦点在x轴上时，
有＝或＝.
因为b2＝c2－a2，
所以＝3或＝，
所以e2＝4或e2＝，
得e＝2或e＝；
同理，当双曲线焦点在y轴上时，
则＝或＝，
所以＝或＝.
同理可得e＝或e＝2.
故选A.
反思与感悟　求双曲线离心率的常见方法
(1)依据条件求出a，c，再计算e＝.
(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e＝求解．
跟踪训练3　双曲线－＝1(0考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　2
解析　如图所示，在△OAB中，
|OA|＝a，|OB|＝b，|OE|＝c，
|AB|＝＝c.
因为|AB|·|OE|＝|OA|·|OB|，
所以c·c＝ab，
即(a2＋b2)＝ab，
两边同除以a2，得2－＋＝0，
解得＝或＝(舍去)．
所以e＝＝＝＝2.
命题角度2　求离心率的取值范围
例4　已知F1，F2是双曲线－＝1(a，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(＋1，＋∞)
C．(1，＋1) D．(1，)
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线离心率的取值范围
答案　B
解析　由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，且AF2＝BF2，
只要∠AF2B为钝角即可．
由题设可得AF1＝，
所以有>2c，即2ac解得e∈(1＋，＋∞)．
故选B.
反思与感悟　求离心率的取值范围技巧
(1)根据条件建立a，b，c的不等式；
(2)通过解不等式得或的取值范围，求得离心率的取值范围．
跟踪训练4　若在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围为________．
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线离心率的取值范围
答案　(2，＋∞)
解析　由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x＝.依题意，在双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x＝与右支有两个交点，故应满足>a，即>2，得e>2.
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
答案　C
解析　双曲线的标准方程为－＝1，故实轴长为4.
2．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
答案　B
解析　由题意知，a＝5，b＝3，
∴双曲线标准方程为－＝1或－＝1.
3．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　)
A. B. C. D.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　C
解析　由题意知a2＋5＝9, 解得a＝2，则e＝＝.
4．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A. B.
C．1 D.
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
答案　A
解析　双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线y＝±x，所以x±y＝0，所以顶点到渐近线的距离为d＝＝.
5．已知双曲线－＝1的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
考点　双曲线性质的应用
题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题
答案　B
解析　根据题意，双曲线的方程为－＝1，则其焦点在x轴上，直线x＋y＝5与x轴交点的坐标为(5,0)，则双曲线的焦点坐标为(5,0)，则有9＋m＝25，解得m＝16，则双曲线的方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±x，故选B.
1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．
一、选择题
1．双曲线25x2－9y2＝225的实轴长、虚轴长、离心率分别是(　　)
A．10,6， B．6,10，
C．10,6， D．6,10，
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
答案　B
解析　双曲线25x2－9y2＝225即为－＝1，可得a＝3，b＝5，c＝＝，则实轴长为2a＝6，虚轴长为2b＝10，离心率e＝＝.
2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)
A．1 B.
C．2 D．2
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
答案　C
解析　∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F(4,0)到x－y＝0的距离为＝2.
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
答案　A
解析　由焦距为2，得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.
又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，
所以双曲线的方程为－y2＝1.
4．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线离心率的取值范围
答案　C
解析　若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率为＝∈(1，)．故选C.
5．若实数k满足0A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
答案　D
解析　因为0所以两曲线都表示双曲线．
在－＝1中，a2＝16，b2＝5－k.
在－＝1中，a2＝16－k，b2＝5.
由c2＝a2＋b2知，两双曲线的焦距相等，
故选D.
6．已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与椭圆＋x2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±3x
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
答案　A
解析　椭圆＋x2＝1的焦点坐标为(0，±2)．
双曲线my2－x2＝1(m∈R)的焦点坐标为，
∴＝2，∴m＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选A.
7．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于(　　)
A．－12 B．－2 C．0 D．4
考点　双曲线性质的应用
题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题
答案　C
解析　∵y＝x为渐近线方程，则b＝2，
即双曲线方程为x2－y2＝2.
当x＝时，y＝1.
又双曲线的半焦距为2，
∴F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)
＝－1＋y＝－1＋1＝0.故选C.
8．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A. B．2
C. D.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　D
解析　如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝ ＝，故选D.
二、填空题
9．已知双曲线－＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为________．
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
答案　±
解析　由题意m2＋16＝25,4m－3>0，
∴m＝3，＝3，
∴该双曲线的渐近线的斜率为±.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________________．
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
答案　－＝1
解析　∵顶点(±a,0)到渐近线的距离为1，
∴＝1，
解得a＝2.∵＝，∴b＝.
∴双曲线方程为－＝1.
11．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为________．
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　
解析　设F1(－c,0)，将x＝－c代入双曲线方程，
得－＝1，所以＝－1＝，
所以y＝±.
因为sin∠MF2F1＝，所以tan∠MF2F1＝＝＝＝＝－＝－＝，所以e2－e－1＝0，所以e＝(负值舍去)．
12．若双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为________________．
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
答案　－＝1
解析　椭圆4x2＋y2＝64，即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，所以a＝6，b＝＝2，所以双曲线方程为－＝1.
三、解答题
13．已知双曲线E：－＝1.
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围．
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
解　(1)当m＝4时，
双曲线方程化为－＝1，
所以a＝2，b＝，c＝3，
所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，
渐近线方程为y＝±x.
(2)因为e2＝＝＝1＋，e∈，
所以<1＋<2，
解得5所以实数m的取值范围是(5,10)．
四、探究与拓展
14.过双曲线－＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于(　　)
A. B.
C.－ D.＋
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　C
解析　由双曲线－＝1，知a＝，b＝，
设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，
可以得到|MO|＝|PF1|，
又∵|PF1|＝|FP|－2a，∴|MO|＝.
连接OT，∵|FT|2＝|OF|2－|OT|2＝c2－a2＝b2，
∴|FT|＝b，∴|MT|＝|MF|－|FT|＝－b，
∴|MO|－|MT|＝b－a＝－.
15．已知等轴双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F.
(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；
(2)椭圆E的中心在原点O，右顶点与F点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A，B两点(A在第一象限)，若AB⊥AF，试求椭圆E的离心率．
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
解　(1)设双曲线的方程为－＝1(a>0)，
则2a＝4，解得a＝2，
∴双曲线的方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由(1)知F(2，0)，于是a＝2.
设A(x0，y0)，则x0＝y0.①
∵AB⊥AF，且AB的斜率为1，
∴AF的斜率为－1，故＝－1，②
由①②解得x0＝，∴A(，)，
代入椭圆方程为＋＝1，
解得b2＝，∴c2＝a2－b2＝8－＝，
得c＝，∴椭圆E的离心率e＝＝＝.
第2课时　双曲线几何性质的应用
学习目标　1.了解直线与双曲线的位置关系.2.了解与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．
知识点一　直线与双曲线的位置关系
思考　直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？
答案　不能．
梳理　设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ＞0?直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；
Δ＜0?直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．
知识点二　弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝＝.
1．若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(　×　)
2．直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(　√　)
类型一　直线与双曲线的位置关系
例1　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点(，1)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
解　(1)由e＝，可得＝，
所以a2＝3b2，
故双曲线方程可化为－＝1.
将点P(，1)代入双曲线C的方程，
解得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立直线与双曲线方程，
消去y，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意得，

解得－1所以k的取值范围为∪∪.
反思与感悟　(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论．
跟踪训练1　已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
解　当直线l的斜率不存在时，
直线l：x＝1与双曲线相切，符合题意．
当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0时，k＝±2，
直线l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.
综上，k＝或k＝±2或k不存在．
类型二　弦长公式及中点弦问题
例2　双曲线的方程是－y2＝1.
(1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；
(2)过点P(3,1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　弦长及弦中点问题
解　(1)设直线l的方程为y＝x＋m，代入双曲线方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，
Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，
∴m2>3.
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－m，x1x2＝.
由弦长公式|AB|＝|x1－x2|，得
×＝，
∴＝，即m＝±5，满足m2>3，
∴直线l的方程为y＝x±5.
(2)设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)，B′(x4，y4)两点，
点P(3,1)为A′B′的中点，则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.
由x－4y＝4，x－4y＝4，
两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0，
∴＝，
∴l′的方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋＝0，
满足Δ>0，
∴所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0.
反思与感悟　(1)使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k要保证满足相交，即验证Δ>0.(2)与弦中点有关的问题主要用点差法．
跟踪训练2　设双曲线的顶点是椭圆＋＝1的焦点，该双曲线又与直线x－3y＋6＝0交于 A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)求|AB|.
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　弦长及弦中点问题
解　(1)已知椭圆的焦点为(0，±1)，
即是双曲线的顶点，
因此设双曲线方程为y2－mx2＝1(m>0)，①
又直线x－3y＝－6，②
A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程①②组成的方程组的两个解．
由
得x2＋x＋3＝0，
当m＝时，显然不满足题意．
当m≠时，则
又OA⊥OB，∴·＝0，
∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋4＝0，
∴×＋×＋4＝0，
∴m＝，经验证，此时Δ>0.
∴双曲线的方程为y2－＝1.
(2)∵
∴|AB|＝×
＝×＝4.
类型三　由直线与双曲线相交求参数的取值范围(值)
例3　已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
解　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由已知得a＝，c＝2，
所以b＝1.故所求双曲线方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
可得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线交于不同的两点，得

故k2≠且k2<1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
由·>2，得x1x2＋y1y2>2.
又因为y1y2＝(kx1＋)(kx2＋)
＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝＋＋2
＝＋2.
所以＋＋2>2，
所以>0.
又因为k2≠且k2<1，
所以所以k的取值范围是.
反思与感悟　当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系式求解．
跟踪训练3　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线相交弦长与三角形面积
解　(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
∴
解得－∴当双曲线C与直线l有两个不同的交点时，
k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l与y轴交于点D(0，－1)．
由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
∴
当A，B在双曲线上的一支上且|x1|>|x2|时，
S△OAB＝S△OAD－S△OBD
＝(|x1|－|x2|)
＝|x1－x2|；
当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，
S△OAB＝S△ODA＋S△OBD
＝(|x1|＋|x2|)
＝|x1－x2|.
∴S△OAB＝|x1－x2|＝，
∴(x1－x2)2＝(2)2，
即2＋＝8，
解得k＝0或k＝±.
又∵－∴当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为.
1．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围是(　　)
A．－2＜k＜2 B．－1＜k＜1
C．0＜k＜2 D．－2＜k＜0
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
答案　A
解析　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2.
2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
答案　B
3．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)
A．(1,2) B．(－2，－1)
C．(－1，－2) D．(2,1)
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
答案　C
解析　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，将x＝－1代入直线方程y＝x－1得y＝－2，故选C.
4．过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的其他问题
答案　3x＋4y－5＝0
解析　易知所求直线的斜率存在，设为k，设该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0，
∴－＝6，∴k＝－，此时Δ>0，符合题意，
∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.
5．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则满足条件的直线l有________条．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线相交弦长与三角形面积
答案　3
解析　当直线l交双曲线于左右两支时，因为2a＝2，而|AB|＝4，故可有两条．若直线l交双曲线于同支，当直线l垂直于x轴时，|AB|＝4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条．
双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.
一、选择题
1．双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－y2＝1
B.－y2＝1或y2－＝1
C．x2－＝1或y2－＝1
D．y2－＝1
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
答案　B
2．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)
A. B. C．2 D．3
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　B
解析　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，
∴直线l的方程为x＝c或x＝－c，
代入－＝1，得y2＝b2＝，
∴y＝±，故|AB|＝.依题意＝4a，
∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝.
3．双曲线－＝1(a>b>0)的一条渐近线与椭圆＋＝1交于点M，N，则|MN|等于(　　)
A．a＋b B.a
C. D.
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
答案　C
解析　双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，
由得x＝±a.
所以|MN|＝ |x2－x1|＝·a
＝
4．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于(　　)
A. B. C. D.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　C
解析　由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2，|PF1|＝4.|F1F2|＝2c＝2 ＝4.
∴cos∠F1PF2＝
＝＝＝.
5．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
答案　B
解析　由双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，点P(1,0)是双曲线的右顶点，则直线x＝1与双曲线只有一个公共点，过点P(1,0)且平行于渐近线y＝±2x时，直线l与双曲线只有一个公共点，有2条，故满足题意的直线共3条．
6．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交双曲线于A，B两点，若AB的中点坐标为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　弦长及弦中点问题
答案　C
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则－＝1，－＝1，
两式相减可得＝.
∵线段AB的中点坐标为N(－12，－15)，
∴＝.
∴＝.
∵直线的斜率为＝1，
∴＝1.
∵右焦点为F(3,0)，∴a2＋b2＝9，
解得a2＝4，b2＝5，
∴E的方程为－＝1.
7．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　双曲线的几何性质
题点　双曲线范围的应用
答案　A
解析　由题意知a2＝2，b2＝1，
所以c2＝3，不妨设F1(－，0)，F2(，0)，
所以＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，
所以·＝x－3＋y＝3y－1<0，
所以－8.如图，已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．4
C. D.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　A
解析　因为△ABF2为等边三角形，不妨设|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，A为双曲线上一点，|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，B为双曲线上一点，则|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，|F1F2|＝2c，由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中，由用余弦定理，得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos 120°，得c2＝7a2，则e2＝7，即e＝.
二、填空题
9．双曲线－＝1的离心率e＝，则其两条渐近线方程为________．
考点　双曲线性质的应用
题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题
答案　y＝±x
解析　双曲线－＝1，∴b＝3，
又双曲线的离心率e＝＝＝＝，
解得a＝4，
∴双曲线的两条渐近线方程为y＝±x＝±x.
10．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　
解析　双曲线右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，双曲线一条渐近线的斜率是，则直线FB的方程是y＝(x－5)，与双曲线方程联立解得点B的纵坐标为－，故△AFB的面积为×|AF||yB|＝×2×＝.
11．若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是________．
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线离心率的取值范围
答案　(1，]
解析　由题意可得，双曲线的渐近线的斜率≤2，
所以e＝≤.
又e>1，则离心率e的取值范围是(1，]．
12．过P(8,3)作双曲线9x2－16y2＝144的弦AB，且P为弦AB的中点，那么直线AB的方程为________．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　弦长及弦中点问题
答案　3x－2y－18＝0
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由P(8,3)为弦AB的中点，可得x1＋x2＝16，y1＋y2＝6，
又9x－16y＝144,9x－16y＝144，
两式相减，
可得9(x1＋x2)(x1－x2)－16(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即为9(x1－x2)－6(y1－y2)＝0，
可得kAB＝＝，
则直线AB的方程为y－3＝(x－8)，
即3x－2y－18＝0.
三、解答题
13．已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且双曲线过点(－3,4)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线4x－y－6＝0与双曲线相交于A，B两点，求|AB|的值．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
解　(1)双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
则设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，
把(－3,4)代入方程，得9－＝λ，解得λ＝1，
∴双曲线的方程为x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
整理得3x2－12x＋10＝0，由根与系数的关系，
得x1＋x2＝4，x1x2＝，
由弦长公式可知
|AB|＝
＝＝，
∴|AB|的值为.
四、探究与拓展
14．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作一条与其渐近线平行的直线l，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
解　如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，
又直线l过右焦点F(c,0)，
则直线l的方程为y＝(x－c)．
因为点P的横坐标为2a，
代入双曲线方程得－＝1，
化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，
故点P的坐标为(2a，－b)，
代入直线方程得－b＝(2a－c)，
化简可得离心率e＝＝2＋.
15．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　弦长及弦中点问题
解　由消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
由题意可得3－a2≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
(1)|AB|＝
＝
＝
＝.
(2)由题意知，OA⊥OB，则·＝0.
即x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，
解得a＝±1.
经检验当a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．
§2.3　抛物线
2.3.1　抛物线及其标准方程
学习目标　1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一　抛物线的定义
思考1　平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？
答案　连接两定点所得线段的垂直平分线．
思考2　平面内，到一定点和一条定直线(点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢？
答案　曲线
梳理　(1)定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫抛物线．
(2)焦点：定点F叫抛物线的焦点．
(3)准线：定直线l叫抛物线的准线．
知识点二　抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)

x＝－
y2＝－2px(p>0)

x＝
x2＝2py(p>0)

y＝－
x2＝－2py(p>0)

y＝
特别提醒：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．
(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：
焦点轴一次项，符号确定开口向；
若y是一次项，负时向下正向上；
若x是一次项，负时向左正向右．
1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)
2．抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(　×　)
3．方程x2＝2ay(a≠0)是表示开口向上的抛物线．(　×　)
类型一　求抛物线的标准方程
例1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1) 过点(3，－4)；
(2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　(1)方法一　∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0)．
把点(3，－4)分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
方法二　∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0)．
把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
反思与感悟　求抛物线的标准方程的关键与方法
(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．
(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．
②直接根据定义求p，最后写标准方程．
③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数．
跟踪训练1　已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－6x；
(2)3x2＋5y＝0；
(3)y＝4x2；
(4)y2＝a2x(a≠0)．
考点　抛物线的几何性质
题点　与准线、焦点有关的简单几何性质
解　(1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，
2p＝6，p＝3，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为x＝.
(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－y，
知抛物线开口向下，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为y＝.
(3)将y＝4x2化为x2＝y，
知抛物线开口向上，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为y＝－.
(4)由方程y2＝a2x(a≠0)知抛物线开口向右，
2p＝a2，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为x＝－.
类型二　抛物线定义的应用
例2　若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程
答案　y2＝8x
解析　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，
由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
反思与感悟　(1)确定定点与定直线(定点在定直线外)．
(2)满足动点到定点与定直线的距离相等，便可确定动点轨迹为抛物线．
跟踪训练2　若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程．
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程
解　由位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点 M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，
其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，
而＝，所以p＝1,2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
类型三　抛物线的实际应用
例3　如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反光镜顶点(即截得抛物线的顶点)的距离为(　　)
A．10 cm B．7.2 cm
C．3.6 cm D．2.4 cm
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　C
解析　以截得抛物线的顶点为原点，以反光镜的轴为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，点(10,12)在抛物线y2＝2px上，∴144＝2p·10，∴＝3.6，∴灯泡与反光镜顶点的距离为3.6 cm.
反思与感悟　求抛物线实际应用的五个步骤
(1)建系：建立适当的坐标系．
(2)设方程：设出合适的抛物线标准方程．
(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求解：求出需要求出的量．
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
跟踪训练3　如图是抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　2
解析　以抛物线顶点为原点，以过原点平行于水面的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．
1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
考点　抛物线的几何性质
题点　与准线、焦点有关的简单几何性质
答案　A
解析　由y＝x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－＝－1.
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．4 B．6 C．8 D．12
考点　抛物线的几何性质
题点　与准线、焦点有关的简单几何性质
答案　B
解析　由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
3．已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是(　　)
A．0 B. C．1 D．2
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　C
解析　根据抛物线方程可求得焦点坐标为F(0,1)，准线方程为y＝－1，设M(xM，yM)，根据抛物线定义，得yM＋1＝2，解得yM＝1.
4．若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离少1，则动点P的轨迹方程是________．
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程
答案　y2＝16x
解析　∵点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离少1，
∴点P到直线x＝－4的距离和它到点(4,0)的距离相等．
根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
∴＝4，∴动点P的轨迹方程为y2＝16x.
5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为(0，－2)；
(2)准线方程为y＝－1；
(3)过点(－2，－1)；
(4)焦点到准线的距离为8.
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　(1)因为焦点在y轴的负半轴上，＝2，即p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.
(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，
∴p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3)点(－2，－1)在第三象限，分两种情况：
当焦点在x轴上时，设其方程为y2＝－2px，
则1＝4p，即p＝，
∴抛物线方程为y2＝－x；
当焦点在y轴上时，设其方程为x2＝－2py，
则4＝2p，即p＝2，∴抛物线方程为x2＝－4y.
(4)∵焦点到准线的距离为8，∴p＝8，
所以抛物线方程有四种形式y2＝16x，y2＝－16x，x2＝16y，x2＝－16y.
1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上．
2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型．因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx (m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my (m≠0)．
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离.
一、选择题
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)
A．开口向上，焦点为(0,1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，焦点为
考点　抛物线的几何性质
题点　与准线、焦点有关的简单几何性质
答案　B
解析　由y＝4x2得x2＝y，∴开口向上，焦点坐标为.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
考点　抛物线的标准方程
题点　与准线、焦点有关的问题
答案　B
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为，故选B.
3．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．直线 D．抛物线
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程
答案　D
解析　设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D.
4．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝x或x2＝－8y
B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝－8x
D．x2＝－8y
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
答案　A
解析　因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．
当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，
则(－2)2＝8p1，所以p1＝，
所以抛物线方程为y2＝x.
当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，
则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.
5．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　)
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　C
解析　由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
6．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线的标准方程
答案　D
解析　双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝ ＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.
7．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
A．2 B．2 C．2 D．4
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求点坐标
答案　C
解析　抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而纵坐标yP＝±2.
∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.
二、填空题
8．若抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程是y＝2，则a＝________.
考点　抛物线的标准方程
题点　与准线、焦点有关的问题
答案　－
解析　y＝ax2可化为x2＝y.
∵准线方程为y＝2，∴a<0且－＝2，
∴a＝－.
9．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__________．
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求点坐标
答案　
解析　抛物线方程化为x2＝y，准线为y＝－.由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1－＝.
10．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求距离
答案　8
解析　如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)．
与准线方程x＝－2联立，得
A(－2,4)．
设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，
得8x0＝48，∴x0＝6.
∴|PF|＝x0＋2＝8.
11．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________．
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求距离
答案　
解析　如图所示，由已知，得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B.将其代入y2＝2px，得1＝2p×，解得p＝，故点B到准线的距离为＋＝＝.
三、解答题
12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过－＝1的一个焦点，且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合的有关问题
解　因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．将点代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点到两焦点距离之差2a＝1，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
13.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，
于是4＋＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝，
则FA的方程为y＝(x－1)．
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
则MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组得
所以N.
四、探究与拓展
14．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于(　　)
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　A
解析　由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10，故选A.
15．已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|＝2，|FB|＝5，求原点O到直线AB的距离．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　(1)因为曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，
所以曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线，
且＝1，所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义结合|FA|＝2可得，A到准线
x＝－1的距离为2，
即A的横坐标为1，代入抛物线方程可得y＝2，
即A(1,2)，
同理可得B(4，－4)，故直线AB的斜率k＝＝－2，
故AB的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0，
由点到直线的距离公式，得原点O到直线AB的距离为＝.
2.3.2　抛物线的简单几何性质
第1课时　抛物线的简单几何性质
学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点一　抛物线的几何性质
思考　观察下列图形，思考以下问题：
观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？
答案　抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．
梳理　
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
焦点




准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
离心率
e＝1
知识点二　焦点弦的性质
如图，AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.
(1)以AB为直径的圆必与准线l相切．
(2)|AB|＝2(焦点弦长与中点关系)．
(3)|AB|＝x1＋x2＋p.
(4)若直线AB的倾斜角为α，则|AB|＝.
如当α＝90°时，AB叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的．
(5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2.
1．抛物线关于顶点对称．(　×　)
2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　√　)
3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　√　)
类型一　抛物线几何性质的应用
例1　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F，直线l：x＝，
所以A，B两点坐标为，，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以·||·2|m|＝4，所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
引申探究　
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
答案　B
解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
反思与感悟　把握三个要点确定抛物线简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0)．
因为点P到对称轴距离为6，
所以y0＝±6.
因为点P到准线距离为10，
所以＝10.①
因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0，②
由①②，得或或或
所以所求抛物线的方程为y2＝±4x或y2＝±36x.
类型二　抛物线的焦点弦问题
例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值．
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　求抛物线的焦点弦长
解　因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，
所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y，得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
引申探究　
1．若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“直线l垂直于x轴”，求|AB|的值．
解　直线l的方程为x＝，
联立解得或
所以|AB|＝3－(－3)＝6.
2．若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“|AB|＝9”，求线段AB的中点M到准线的距离．
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，
所以点M到准线的距离为3＋＝.
反思与感悟　(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
跟踪训练2　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　知抛物线焦点弦长求方程
解　由题意可知，焦点F.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不合题意，
故直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k.
联立消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
则y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
∴|AB|＝
＝·
＝2p＝p，
解得k＝±2，
∴AB所在直线方程为y＝2或y＝－2.
类型三　与抛物线有关的最值问题
例3　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
解　(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为.
(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2.因为2>2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线定义知，|P1Q|＝|P1F|.所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
反思与感悟　解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等．
跟踪训练3　已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A．2 B．3 C. D.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
答案　A
解析　由题意知，直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离．故所求最值可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即d＝＝2.
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
答案　C
解析　设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
依题意得x＝或x＝－，分别代入y2＝2px和y2＝－2px，得|y|＝p，
∴2|y|＝2p＝8，p＝4.
即抛物线方程为y2＝±8x.
2．抛物线y＝ax2(a<0)的焦点坐标和准线方程分别为(　　)
A.，x＝－
B.，x＝
C.，y＝－
D.，y＝
考点　抛物线的几何性质
题点　与准线、焦点有关的简单几何性质
答案　C
解析　y＝ax2可化为x2＝y，
∴其焦点坐标为，准线方程为y＝－.
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于(　　)
A．4p B．5p
C．6p D．8p
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　求抛物线的焦点弦长
答案　A
解析　由焦点弦公式|PQ|＝x1＋x2＋p，
又x1＋x2＝3p，∴|PQ|＝4p.
4．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　知抛物线焦点弦长求方程
答案　2
解析　直线AB的方程为y＝x－，
由消去y，得x2－3px＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝3p，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.
5.如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴．
(1)求以O为顶点且过AB的抛物线方程；
(2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率e.
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　(1)由题意知A(，1)，
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
将x＝，y＝1，代入得p＝，
∴所求抛物线方程为y2＝x.
(2)抛物线的准线方程为x＝－，焦点坐标为，离心率e＝1.
1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用．
一、选择题
1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝22x D．y2＝－22x
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
答案　D
解析　在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，即＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x.
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　)
A．2 B．1
C. D.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合有关问题
答案　A
解析　曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.
3．抛物线C1：y2＝2x的焦点为F1，抛物线C2：x2＝y的焦点为F2，则过F1且与直线F1F2垂直的直线l的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．4x－y－2＝0
D．4x－3y－2＝0
考点　抛物线的几何性质
题点　与准线、焦点有关的简单几何性质
答案　C
解析　由题意知，F1，F2.
所以直线F1F2的斜率为－，
则直线l的斜率为4.
故直线l的方程为y＝4，
即4x－y－2＝0.
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是(　　)
A．y2＝8x B．y2＝2x
C．y2＝6x D．y2＝4x
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　知抛物线焦点弦长求方程
答案　A
解析　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝3，即x1＋x2＝6.
又|PQ|＝x1＋x2＋p＝10，
即p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.
5．在同一直角坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是(　　)
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合有关问题
答案　D
解析　a2x2＋b2y2＝1其标准方程为＋＝1，
因为a>b>0，所以<，
表示焦点在y轴上的椭圆，排除A，B；
ax＋by2＝0其标准方程为y2＝－x，表示焦点在x轴的负半轴的抛物线，排除C.
6．经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的值是(　　)
A．4 B．－4 C．p2 D．－p2
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　与焦点弦有关的其他问题
答案　B
解析　采用特例法．当直线与x轴垂直时，
易得A，B，
∴＝－4.
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝2 D．x＝－2
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　与焦点弦有关的其他问题
答案　A
解析　抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋.代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系，得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
8．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的其他应用
答案　B
解析　易知F(2,0)，K(－2,0)，过点A作AM垂直准线于点M，
则|AM|＝|AF|.
∴|AK|＝|AM|，
∴△AMK为等腰直角三角形．
设A(m2,2m)(m>0)，
则△AFK的面积S＝×2m×4＝4m.
又由|AK|＝|AM|，得(m2＋2)2＋8m2＝2(m2＋2)2，
解得m＝.
∴△AFK的面积S＝4m＝8.
二、填空题
9．设抛物线y2＝16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝________.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求距离
答案　13
解析　设P(x,12)，代入y2＝16x，得x＝9，
∴|PF|＝x＋＝9＋4＝13.
10．抛物线y＝x2的焦点与双曲线－＝1的上焦点重合，则m＝________.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合有关问题
答案　13
解析　抛物线y＝x2可化为x2＝16y，
则其焦点为(0,4)，
∴3＋m＝16，则m＝13.
11．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则这条抛物线的方程为________．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
答案　y2＝±3x
解析　由题意设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，
当a>0时，弦的端点坐标为(1，±)代入抛物线方程得y2＝3x，
同理当a<0时，弦的端点坐标为(－1，±)代入抛物线方程为y2＝－3x.
12．抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝3，则|BF|＝________.
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　求抛物线的焦点弦长
答案　
解析　由题意知F(1,0)，且AB与x轴不垂直，
则由|AF|＝3，知xA＝2.
设lAB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x，
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以xA·xB＝1，故xB＝，
故|BF|＝xB＋1＝.
三、解答题
13．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，由题知M.
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3.
∵|AM|＝，
∴x＋2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
四、探究与拓展
14.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)
A．y2＝3x
B．y2＝9x
C．y2＝x
D．y2＝x
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
答案　A
解析　作AM，BN分别垂直准线于点M，N，
则|BN|＝|BF|，|AM|＝|AF|.
又|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BN|，
∴∠NCB＝30°，∴|AC|＝2|AM|＝2|AF|＝6.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|＝x，
则2x＋x＋3＝6，得x＝1，而x1＋＝3，x2＋＝1，
且x1x2＝，
∴＝，∴p＝，
得抛物线方程为y2＝3x.
15．已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
考点　抛物线的几何性质
题点　转化为函数关系的最值问题
解　(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)(x≥0)，
则|PA|2＝2＋y2＝2＋2x
＝2＋.
设f(x)＝2＋，
因为x≥0，所以在此区间上函数f(x)单调递增，
故当x＝0时，|PA|min＝，
故距离点A最近的点的坐标为(0,0)，
此时，|PA|＝.
(2)设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则P到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝
＝，
当y0＝1时，dmin＝＝，
所以点P的坐标为.
第2课时　抛物线几何性质的应用
学习目标　1.进一步加深对抛物线几何特性的认识.2.掌握解决直线与抛物线相关综合问题的基本方法．
知识点　直线与抛物线的位置关系
思考　直线与抛物线有且只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
答案　不一定，当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线相交．
梳理　(1)直线与抛物线的位置关系有相交、相切、相离，直线与抛物线的公共点个数与由它们的方程组成的方程组的解的个数一致．
(2)由方程y＝kx＋b与y2＝2px联立，消去y得k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，则直线与抛物线无公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或与对称轴重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
1．若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切．(　×　)
2．直线与抛物线相交弦的弦长公式是|AB|＝·|x1－x2|＝x1＋x2＋p.(　×　)
3．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　√　)
类型一　直线与抛物线的位置关系
例1　已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
解　由方程组
消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．
①若直线与抛物线有两个交点，
则k2≠0且Δ>0，
即k2≠0且16(1－k2)>0，
解得k∈(－1,0)∪(0,1)，
所以当k∈(－1,0)∪(0,1)时，
直线l和抛物线C有两个交点．
②若直线与抛物线有一个交点，
则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，
解得k＝0或k＝±1，
所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．
③若直线与抛物线无交点，
则k2≠0且Δ<0.
解得k>1或k<－1，
所以当k>1或k<－1时，
直线l和抛物线C无交点．
反思与感悟　直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得，k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
跟踪训练1　设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
答案　C
解析　准线方程为x＝－2，Q(－2,0)．
由题意知，直线的斜率存在，
设l：y＝k(x＋2)，
由消去y，
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)；
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k<0或0综上，k的取值范围是[－1,1]．
类型二　直线与抛物线的相交弦问题
例2　已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交弦中点问题
解　方法一　由题意可知直线方程的斜率存在，
设所求方程为y－1＝k(x－4)．由
消去x，得ky2－6y－24k＋6＝0.
当k＝0时，y＝1显然不成立．
当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①
设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
∵P1P2的中点为(4,1)，
∴＝2，∴k＝3，满足①式．
∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝×＝.
方法二　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
则y＝6x1，y＝6x2，
∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2，
∴＝＝3，
∴所求直线的斜率k＝3，
所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝×＝.
反思与感悟　中点弦问题解题策略两方法
跟踪训练2　已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线的方程．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　由抛物线弦长求解相关问题
解　设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝4，
∴|AB|＝＝3，
即5＝45，
∴a＝4或a＝－36，满足Δ>0.
∴所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.
类型三　抛物线中的定点(定值)问题
例3　已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
(1)解　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，
所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，
所以y1y2＝－4p2，
所以x1x2＝4p2.
(2)证明　因为y＝2px1，y＝2px2，
所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，
所以kAB＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，
所以y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0)．
反思与感悟　在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．
跟踪训练3　如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
证明　设kAB＝k(k≠0)．
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
即直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
∴4xB＝，
即xB＝.
以－k代换xB中的k，得xC＝.
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
∴直线BC的斜率为定值．
1．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
答案　B
解析　当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2＝x只有一个公共点．
当斜率存在时，设直线为y＝kx＋1.
由消去y，
得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，
当k＝0时，符合题意；
当k≠0时，令Δ＝(2k－1)2－4k2＝0，
得k＝.
所以与抛物线只有一个交点的直线共有3条．
2．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　)
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
答案　C
解析　∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1,0)．
又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部，
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，设C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)
A. B. C. D.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
答案　D
解析　∵点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线x＝－上，∴－＝－2，p＝4，∴抛物线C：y2＝8x.
设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2(k≠0)，①
将①与y2＝8x联立，得y2－8ky＋24k＋16＝0，②
令Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，
解得k＝2或k＝－.
当k＝－时，切点在第四象限，与题意不符，舍去．
将k＝2代入①②，得即B(8,8)．
又F(2,0)，∴kBF＝.故选D.
4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交弦中点问题
答案　(4,2)
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－4y－8＝0，
y1＋y2＝4，x1＋x2＝y1＋y2＋4＝8，
∴中点坐标为(4,2)．
5．过点P(2,1)作抛物线y2＝4x的弦AB，若弦恰被P点平分．
(1)求弦AB所在的直线方程(用一般式表示)；
(2)求弦长|AB|.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交弦中点问题
解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则作差得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
由于直线的斜率存在，
故斜率k＝＝＝＝2，
从而直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
(2)由
消去y得，4x2－16x＋9＝0，
因为Δ>0，所以
于是|AB|＝
＝＝.
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．
一、选择题
1．过抛物线y＝2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为(　　)
A．2 B.
C. D．1
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　求抛物线的焦点弦长
答案　B
解析　抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，焦点坐标为，当y＝时，x＝±，
∴过抛物线y＝2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为.
2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　)
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
答案　D
解析　设直线方程为2x－y＋m＝0，
由消去y，
得x2－2x－m＝0，
Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1，
∴直线方程为2x－y－1＝0.
3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB的中点的横坐标为2，则k等于(　　)
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　求抛物线中的直线方程
答案　C
解析　由题意知消去y，
得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
Δ＝(4k＋8)2－16k2>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝2，
即x1＋x2＝4，∴x1＋x2＝＝4，
∴k＝2或－1，
经判别式检验知k＝2符合题意．
4．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝20x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积是(　　)
A．5π B．9π C．16π D．25π
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交弦中点问题
答案　D
解析　抛物线D：y2＝20x的准线方程为x＝－5.
圆C的圆心(－2,0)到准线的距离d＝3.
又由|AB|＝8，
∴r2＝d2＋2＝25，
故圆C的面积S＝πr2＝25π，
故选D.
5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
答案　B
解析　若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和为2，不符合题意，
故设AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，消去y，
得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
由题意得＝5，
则k2＝，所以这样的直线有且仅有2条．
6．已知点A(1,2)是抛物线C：y2＝2px与直线l：y＝k(x＋1)的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l的距离是(　　)
A. B.
C. D．23
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
答案　B
解析　将点(1,2)代入y2＝2px中，可得p＝2，即得抛物线y2＝4x，其焦点坐标为(1,0)．
将点(1,2)代入y＝k(x＋1)中，可得k＝1，
即得直线x－y＋1＝0，
∴抛物线C的焦点到直线l的距离d＝＝.
7．已知点A(0，－3)，B(2,3)，点P在x2＝y上，当△PAB的面积最小时，点P的坐标是(　　)
A．(1,1) B.
C. D．(2,4)
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
答案　B
解析　∵A(0，－3)，B(2,3)，kAB＝3，
∴直线AB的方程y＝3x－3.
设直线y＝3x＋t是抛物线的切线，
∴△PAB高的最小值是两直线之间的距离．
把直线y＝3x＋t代入x2＝y，
化简得x2－3x－t＝0，
由Δ＝0，得t＝－，此时x＝，y＝，
∴P点坐标为.
8．已知直线l：y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是(　　)
A. B. C．2 D.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
答案　D
解析　设抛物线C：y2＝8x的准线为m：x＝－2.
直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，
如图，过A，B分别作AM⊥m于点M，BN⊥m于点N.
由|AM|＝2|BN|，
得点B为AP的中点，连接OB，
则|OB|＝|AF|，
∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，
∴点B的坐标为(1,2)．
把B(1,2)代入直线l：y＝k(x＋2)(k>0)，
解得k＝，故选D.
二、填空题
9．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线公共点个数问题
答案　0或1
解析　由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
当k＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；
当k≠0时，由Δ＝(4k－8)2－16k2＝0，得k＝1，
∴k＝0或1.
10．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为的直线l，直线l与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|的长是________．
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　求抛物线的焦点弦长
答案　16
解析　由y2＝8x，得其焦点F(2,0)，则过抛物线y2＝8x的焦点F且倾斜角为的直线l的方程为y＝1×(x－2)，即x－y－2＝0.
由得x2－12x＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝16.
11.如图，直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于 A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为______．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
答案　48
解析　由消去y，得x2－10x＋9＝0，
设B，A两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
解得或
∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，
∴梯形APQB的面积为48.
三、解答题
12．设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，·＝0.
(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上除去原点外的不同三点，且||，||，||成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求点B的坐标．
考点　抛物线的简单几何性质的综合运用
题点　抛物线的简单几何性质的综合运用
解　(1)设N(x，y)，由＝2 ，得点P为线段MN的中点，∴P，M(－x,0)，
∴＝，＝.
由·＝－x＋＝0，得y2＝4x.
即点N的轨迹方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1，
∵||，||，||成等差数列，
∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝.
∵线段AD的中点为，且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)，
∴线段AD的垂直平分线的斜率为k＝.
又kAD＝，∴·＝－1，
即＝－1.
∵x1≠x3，∴x1＋x3＝2，又x2＝，∴x2＝1.
∵点B在抛物线上，∴B(1,2)或B(1，－2)．
13．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点M(2，y0)到焦点F的距离等于3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点D(3,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求△ABF面积的最小值．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
解　(1)抛物线的准线方程为x＝－，
∴M(2，y0)到焦点的距离为2＋＝3，
∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设AB的方程为x＝my＋3，由
得y2－4my－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－12，
∴|y1－y2|＝＝，
∴S△ABF＝|FD||y1|＋|FD||y2|＝|y1|＋|y2|
＝|y1－y2|＝≥4，
∴当m＝0时，S△ABF取得最小值4.
四、探究与拓展
14.如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1于点A，B，C，D，则|AB|·|CD|的值是(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求距离
答案　D
解析　方法一　特殊化(只要考查直线y＝1时的情形)．
方法二　抛物线焦点为F(0,1)，
由题意知，直线的斜率存在，
设直线为y＝kx＋1，
与x2＝4y联立得y2－(4k2＋2)y＋1＝0，
由于|AB|＝|AF|－1＝yA，|CD|＝|DF|－1＝yD，
所以|AB|·|CD|＝yAyD＝1.
15．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
解　(1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
所以·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4b＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
因为·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
又·＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线过定点(2,0)．
章末复习
学习目标　1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过点F)距离相等的点的轨迹
标准方程
＋＝1或＋＝1(a>b>0)
－＝1或－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x
无限延展，没有渐近线
变量范围
|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e＝，且0e＝，且e>1
e＝1
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
2.椭圆的焦点三角形
设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．
(1)焦点三角形的面积S＝b2tan ；
(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
3．双曲线及渐近线的设法技巧
(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x；双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x.
(2)如果双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
4．抛物线的焦点弦问题
抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论．
(1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p；
(2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p；
(3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p；
(4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.
5．三法求解离心率
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法；
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法；
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
6．直线与圆锥曲线位置关系
(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行；
(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
1．设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|－|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线．(　×　)
2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．(　×　)
3．方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x1＜x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．(　√　)
4．已知方程mx2＋ny2＝1，则当m＞n时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆．(　×　)
5．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是.(　√　)
类型一　圆锥曲线定义的应用
例1　(1)设F1，F2为曲线C1：＋＝1的左、右两个焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为(　　)
A．2 B. C．1 D.
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
答案　B
解析　由椭圆C1与双曲线C2的标准方程可知，
两曲线的焦点相同．
不妨设P点在双曲线C2的右支上．
由椭圆和双曲线的定义，可得

解得
又|F1F2|＝2＝4，
由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝，
∴sin∠F1PF2＝＝，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝.
(2)抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则(　　)
A．x1，x2，x3成等差数列
B．y1，y2，y3成等差数列
C．x1，x3，x2成等差数列
D．y1，y3，y2成等差数列
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的其他应用
答案　A
解析　如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，
由抛物线定义知，
|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，
∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，
∴2＝x1＋＋x3＋，即2x2＝x1＋x3，
故选A.
反思与感悟　涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
跟踪训练1　(1)已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随m，n变化而变化
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
答案　B
解析　设P为双曲线右支上的一点．
对椭圆＋y2＝1(m>1)，c2＝m－1，
|PF1|＋|PF2|＝2，
对双曲线－y2＝1，c2＝n＋1，
|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
|F1F2|2＝(2c)2＝2(m＋n)，
而|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝(2c)2＝|F1F2|2，
∴△F1PF2是直角三角形，故选B.
(2)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程
答案　C
解析　把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
所以动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．
所以动点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
类型二　圆锥曲线的性质及其应用
例2　(1)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
考点　圆锥曲线的综合问题
题点　圆锥曲线的综合问题
答案　A
解析　a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，
C1的离心率为，
双曲线C2的方程为－＝1，C2的离心率为.
∵C1与C2的离心率之积为，
∴·＝，
∴2＝，＝，
∴C2的渐近线方程为y＝±x，
即x±y＝0.
(2)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．
考点　圆锥曲线的综合问题
题点　圆锥曲线的综合问题
答案　
解析　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，又△FAB为直角三角形，则只有∠AFB＝90°，如图，则A(－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2＝，
于是c＝＝.
故e＝＝.
反思与感悟　求解离心率的方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法；
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
跟踪训练2　(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆离心率的值
答案　
解析　由可得B，C.
又由F(c,0)，得＝，
＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
化简可得2a2＝3c2，即e2＝＝，
故e＝.
(2)已知抛物线x2＝8y的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离为，点P是抛物线x2＝8y上的一动点，P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为________．
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合的有关问题
答案　－y2＝1
解析　抛物线焦点为F(0,2)，准线为y＝－2，
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，
依题意可得＝，
即＝，
又P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，
所以|PF|＋|PF2|≥|FF2|＝3，
在Rt△FOF2中，|OF2|＝＝，
所以c＝，所以a＝2，b＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
类型三　直线与圆锥曲线的位置关系
例3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
考点　“设而不求”思想的应用
题点　“设而不求”思想的应用
解　(1)由题意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，
所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F2(1,0)，且直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程得
消去y，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＝16k4－4(1＋2k2)(2k2－2)>0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为.
①当k≠0时，AB的中垂线方程为
y－＝－，
因为|MA|＝|MB|，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得，
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，或.
反思与感悟　解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
跟踪训练3　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；
(3)在(2)的条件下，求△OAB面积的最大值．
考点　转化与化归思想的应用
题点　转化与化归思想的应用
(1)解　因为椭圆的右焦点为(，0)，离心率为，
所以所以a＝，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程，
消元可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以·＝0.
所以x1x2＋y1y2＝0，
即(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
所以(1＋k2)－km×＋m2＝0，
所以4m2＝3(k2＋1)，
所以原点O到直线的距离为d＝＝.
当直线AB斜率不存在时，
由椭圆的对称性可知x1＝x2，y1＝－y2，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
所以x－y＝0，
因为x＋3y＝3，所以|x1|＝|y1|＝，
所以原点O到直线的距离为d＝|x1|＝，
综上，点O到直线AB的距离为定值．
(3)解　当直线AB的斜率存在时，由弦长公式可得
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝≤＝2，
当且仅当k＝±时，等号成立，
所以|AB|≤2.
当直线AB斜率不存在时，|AB|＝|y1－y2|＝<2，
所以△OAB的面积＝|AB|d≤×2×＝，
所以△OAB面积的最大值为.
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　椭圆的标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　A
解析　根据题意，因为△AF1B的周长为4，
所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，
所以a＝.
又因为椭圆的离心率e＝＝，
所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
2．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(　　)
A．2 B.
C. D.
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　C
解析　双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x.
依题意·＝－1，故＝1.
所以＝1，即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝.
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合的有关问题
答案　D
解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
又渐近线过点(2，)，所以＝，即2b＝a，①
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，
由已知，得＝，即a2＋b2＝7，②
联立①②解得a2＝4，b2＝3，
所求双曲线的方程为－＝1，故选D.
4．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合有关问题
答案　6
解析　如图，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，
所以B点坐标为.
又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求弦长|CD|.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长与三角形面积
解　(1)由题意，b＝1，＝，a2＝b2＋c2，
联立解得a＝，c＝1，
可得椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|CD|＝|x1－x2|
＝·
＝×＝.
在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题．
一、选择题
1．到定点(3,5)与直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是(　　)
A．圆 B．抛物线
C．线段 D．直线
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程
答案　D
解析　因为定点(3,5)在直线上，
所以点的轨迹是直线．
2．方程＋＝1所表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
考点　双曲线的标准方程
题点　已知方程判断曲线的类型
答案　D
解析　∵sin θ－1<0,2sin θ＋3>0，
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
3．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
答案　A
解析　∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，
∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　C
解析　由已知条件，得2r＝|F1F2|＝2c，
即r＝c，而r＝|OP|＝5.
渐近线方程为y＝±x，
点P(3,4)在直线y＝x上，
所以解得
所以双曲线方程为－＝1.
5．设a，b是关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
答案　A
解析　关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根为0，－tan θ(tan θ≠0)，则过A，B两点的直线方程为y＝－xtan θ，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±xtan θ，所以直线y＝－xtan θ与双曲线没有公共点．故选A.
6．已知曲线＋＝1和直线ax＋by＋1＝0(a，b为非零实数)在同一坐标系中，它们的图象可能为(　　)
考点　双曲线的标准方程
题点　已知方程判断曲线的类型
答案　C
解析　直线ax＋by＋1＝0中，与x轴的交点为P，与y轴的交点为，在图A，B中，曲线表示椭圆，则a>b>0，直线与坐标轴负半轴相交，图形不符合．在图C，D中，a>0，b<0，曲线为双曲线，直线与x轴负半轴相交，与y轴正半轴相交，D中图形不符合，而C中图形正确，故选C.
7．已知点A(4,0)，抛物线C：x2＝12y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|∶|MN|等于(　　)
A．3∶5 B．3∶4
C．2∶3 D．4∶5
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
答案　A
解析　抛物线焦点F(0,3)，
又A(4,0)，所以FA的方程为3x＋4y－12＝0，
设M(xM，yM)．
由可得xM＝3(负值舍去)，
所以yM＝，所以＝＝.
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a等于(　　)
A．2 B．1
C. D.
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合有关问题
答案　D
解析　根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.
不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，
由已知得－×2＝－1，故a＝.
二、填空题
9．设中心在原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________________．
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
答案　2x2－2y2＝1
解析　椭圆的焦点为(±1,0)，
∴双曲线的焦点为(±1,0)，∴设双曲线的方程为－＝1，
椭圆的离心率e＝，∴双曲线的离心率e′＝，
∴c2＝1＝2a2.又c2－a2＝b2，∴a2＝b2＝，
故所求双曲线方程为2x2－2y2＝1.
10.如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为________．
考点　抛物线的几何性质
题点　抛物线与其他曲线结合有关问题
答案　－1
解析　设椭圆的左焦点为F′，
抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF′，
∴F，F′，
可得焦距|FF′|＝p＝2c(c＝，为椭圆的半焦距)．
对抛物线方程y2＝2px，令x＝，
得y2＝p2，所以|AF|＝|yA|＝p.
∴在Rt△AFF′中，|AF|＝|FF′|＝p，可得AF′＝p，
再根据椭圆的定义，可得|AF|＋|AF′|＝2a＝(1＋)p，
∴该椭圆的离心率为e＝＝＝＝－1.
11．点P在椭圆x2＋＝1上，点Q在直线y＝x＋4上，若|PQ|的最小值为，则m＝________.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的其他问题
答案　3
解析　根据题意，与直线y＝x＋4平行且距离为的直线方程为y＝x＋2或y＝x＋6(舍去)，
联立消去y，
得(m＋1)x2＋4x＋4－m＝0，
令Δ＝16－4(m＋1)(4－m)＝0，
解得m＝0或m＝3，∵m>0，∴m＝3.
12．以下三个关于圆锥曲线的命题中：
①设A，B为两个定点，m为非零常数，若|PA|－|PB|＝m，则动点P的轨迹是双曲线；
②双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点；
③已知抛物线y2＝2px(p>0)，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切．
其中真命题为________．(写出所有真命题的序号)
考点　圆锥曲线的综合问题
题点　圆锥曲线的综合问题
答案　②③
解析　①不正确，若动点P的轨迹是双曲线，则|m|要小于A，B两个定点间的距离，当|m|大于A，B两个定点间的距离时，动点P的轨迹不是双曲线，②③均正确．
三、解答题
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且|AB|＝8，|BC|＝6，其中A(－4，0)，B(4,0)．
(1)若A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，求该椭圆的方程；
(2)若A，B为双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，求双曲线的方程．
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
解　(1)由题可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∵A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，
根据椭圆的定义，|CA|＋|CB|＝16＝2a，
∴a＝8.
在椭圆中，b2＝a2－c2＝64－16＝48，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)由题可设双曲线方程为－＝1(a1>0，b1>0)．
∵A，B是双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，
根据双曲线的定义，|CA|－|CB|＝4＝2a1，
∴a1＝2.
在双曲线中，b＝c－a＝16－4＝12，
∴双曲线方程为－＝1.
四、探究与拓展
14.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求|AB|＋|CD|的值．
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　与焦点弦有关的其他问题
解　(1)由圆的方程x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4可知，
圆心为(2,0)，半径为2，
又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，抛物线的方程为y2＝8x.
(2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，
∵|BC|为已知圆的直径，
∴|BC|＝4，则|AB|＋|CD|＝|AD|－4.
设A(x1，y1)，D(x2，y2)，
∴|AD|＝|AF|＋|FD|＝x1＋x2＋4，
由已知可知，直线l的方程为y＝2(x－2)，
由消去y，得x2－6x＋4＝0，
∴x1＋x2＝6，∴|AD|＝6＋4＝10，
因此|AB|＋|CD|＝10－4＝6.
15.如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝(，－1)共线．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
考点　转化与化归思想的应用
题点　转化与化归思想的应用
解　(1)因为2c＝2，所以c＝1.
又＝(－a，b)，且∥n，
所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，
所以b2＝1，a2＝2.
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直线方程y＝kx＋m代入椭圆方程＋y2＝1，
消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
Δ＝16k2－8m2＋8>0，
即m2<2k2＋1.(*)
因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，
所以·<0，
即x1x2＋y1y2<0.
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
由＋<0，
得m2<k2＋，
依题意且满足(*)得，m2<，
故实数m的取值范围是.