§3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
知识点一 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
答案 自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.
思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？AB与BC哪一段更陡峭？
答案 ①对山路AB来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度．
②BC更陡峭．
梳理 (1)定义式：＝，叫函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率．
(2)实质：函数值的增量与自变量增量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)平均变化率的几何意义：
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示．
特别提醒：Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
知识点二 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
定义式
＝
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢
特别提醒：“Δx无限趋近于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
知识点三 导数的概念
定义式
＝
记法
f′(x0)或y′|x＝x0
实质
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
1．函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关．( √ )
2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( × )
3．在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( × )
类型一 函数的平均变化率
命题角度1 求函数的平均变化率
例1 求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－时该函数的平均变化率．
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
解 当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为
＝
＝
＝＝4x0＋2Δx.
当x0＝2，Δx＝－时，平均变化率的值为4×2＋2×＝7.
反思与感悟 求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 (1)Δx (2)
解析 (1)＝
＝
＝Δx.
(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为
＝＝.
由函数f(x)的图象知，f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为
＝＝.
命题角度2 平均变化率的几何意义
例2 过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
解 割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率.
∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，
∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.
又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.
反思与感悟 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即kP1P2＝＝.
跟踪训练2 (1)甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )
A．v甲>v乙
B．v甲
C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
(2)过曲线y＝f(x)＝图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________．
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 (1)B (2)
解析 (1)设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC(2)当Δx＝0.5时，2＋Δx＝2.5，
故－2＋Δy＝＝－，
故k＝＝.
类型二 求瞬时速度
例3 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，则物体在t＝1 s时的瞬时速度为________ m/s.
考点 导数的概念
题点 瞬时速度
答案 3
解 ∵＝
＝
＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3，
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
引申探究
1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．
解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝
＝1＋Δt，
∴ ＝ (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，
＝
＝(2t0＋1)＋Δt，
＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思与感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′(t0)．
跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.
考点 导数的概念
题点 瞬时速度
答案 2
解析 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
＝＝＝4a＋aΔt，
∴ ＝4a＝8，即a＝2.
类型三 求函数在某一点处的导数
例4 (1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝a，则f′(x0)＝________.
考点 函数在某一点处的导数
题点 根据定义求函数在某点处的导数
答案 －a
解析 ∵
＝[·(－3)]
＝－3f′(x0)＝a，
∴f′(x0)＝－a.
(2)利用导数的定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
考点 函数在某一点处的导数
题点 根据定义求函数在某点处的导数
解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1，
∴＝＝，
∴f′(1)＝ ＝ ＝.
反思与感悟 (1)求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差，二比，三极限．
(2)瞬时变化率的变形形式
＝
＝
＝
＝f′(x0)．
跟踪训练4 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.
考点 函数在某一点处的导数
题点 根据导数值求坐标或参数
解 ∵f′(x0)＝
＝ ＝ (6x0＋3Δx)＝6x0，
又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在时间段[2,2.1]中相应的平均速度是( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．3
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 B
解析 ＝＝4.1.
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．－1
B．1
C．2
D．－2
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 A
解析 ＝＝＝－1.
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
考点 函数在某一点处的导数
题点 根据定义求函数在某点处的导数
答案 C
解析 f′(x0)＝ ＝ (a＋b·Δx)＝a.
4．若一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
考点 导数的概念
题点 瞬时速度
答案
解析 ＝＝7Δt＋14t，
当 (7Δt＋14t)＝14t＝1时，t＝.
5．已知函数f(x)＝在x＝1处的导数为－2，则实数a的值是________．
考点 函数在某一点处的导数
题点 根据导数值求坐标或参数
答案 2
解析 f′(1)＝ ＝ ＝－a.
由题意知－a＝－2，∴a＝2.
理解平均变化率要注意以下几点：
(1)平均变化率表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．
(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的形式．
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
利用导数定义求导数时要特别注意：
(1)取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
一、选择题
1．f(x)＝2x＋1在[1,2]内的平均变化率为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 C
解析 f(x)＝2x＋1在[1,2]内的平均变化率为＝2.
2．已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．3 B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2 D．3－Δx
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 D
解析 ＝
＝
＝3－Δx.
3．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3 C．6 D．－6
考点 导数的概念
题点 瞬时速度
答案 D
解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝ (－3Δt－6)＝－6.
4．若f′(x0)＝2，则 等于( )
A．－1 B．－2
C．－ D.
考点 函数在某一点处的导数
题点 根据定义求函数在某点处的导数
答案 B
解析
＝－ ＝－f′(x0)＝－2.
5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是( )
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 B
解析 在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．
所以乙厂的治污效果较好．
6．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
考点 函数在某一点处的导数
题点 根据导数值求坐标或参数
答案 C
解析 ∵f′(1)＝
＝ ＝a，
∵f′(1)＝3，∴a＝3.
7．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
考点 函数在某一点处的导数
题点 根据定义求函数在某点处的导数
答案 B
解析 ∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝ ＝ ＝－1.
8．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻为( )
A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4
考点 导数的概念
题点 瞬时速度
答案 B
解析 设在t0时刻速度为0，
s′(t0)＝
＝
＝ (－8t0＋16－4Δt)
＝－8t0＋16＝0，
∴t0＝2.
二、填空题
9.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________________．
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 1<2<3
解析 1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图象知，kOA10．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________.
考点 函数在某一点处的导数
题点 根据导数值求坐标或参数
答案 5
解析 函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是＝＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
所以当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.
11．对于函数y＝，其导数值等于函数值的点是________．
考点 函数在某一点处的导数
题点 根据导数值求坐标或参数
答案
解析 设导数值等于函数值的点是(x0，f(x0))，
则f′(x0)＝
＝ ＝－.
由题意知f′(x0)＝f(x0)，
即－＝，
解得x0＝－2，从而y0＝.
三、解答题
12．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
解 ∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝
＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值．
考点 函数在某一点处的导数
题点 根据导数值求坐标或参数
解 由导数的定义知，
f′(x0)＝ ＝2x0，
g′(x0)＝ ＝3x.
因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，
所以2x0＋2＝3x，即3x－2x0－2＝0.
解得x0＝或x0＝.
四、探究与拓展
14．函数y＝x2在x0到x0＋Δx(Δx>0)之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是( )
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 A
解析 k1＝＝
＝2x0＋Δx，
k2＝＝＝2x0－Δx，
因为Δx>0，所以k1>k2.
15．若一物体的运动方程如下(s单位：m，t单位：s)：s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
考点 导数的概念
题点 瞬时速度
解 (1)当t∈[3,5]时，Δt＝5－3＝2，Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，所以＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均速度为
＝＝
＝＝3Δt－18，
所以当Δt趋于0时，趋于－18，
所以物体在t＝0时的瞬时速度为－18 m/s.
(3)因为物体在t＝1时的平均速度为＝＝＝3Δt－12.
当Δt趋于0时趋于－12，
所以物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
3.1.3 导数的几何意义
学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
知识点一 导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)．
(3)切线方程：
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
知识点二 导函数的概念
(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．
(2)记法：f′(x)或y′，
即f′(x)＝y′＝ .
1．f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( × )
2．求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( × )
3．f′(x0)4．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ )
类型一 求切线方程
例1 已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．
考点 切线方程的求解及应用
题点 求曲线的切线方程
解 将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．
y′|x＝2＝
＝
＝ ＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
考点 切线方程的求解及应用
题点 求曲线的的切线方程
答案 －3
解析 y′|x＝2＝
＝
＝ (4＋Δx)＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4.
曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，
即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
类型二 求切点坐标
例2 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．
(1)切线的倾斜角为45°.
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0.
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
解 设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴＝4x0＋2Δx，
当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
∴切点的坐标为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，
∴切点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
则k·＝－1，即k＝8，
故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，
∴切点坐标为(2,9)．
反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)．
(2)求导函数f′(x)．
(3)求切线的斜率f′(x0)．
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．
跟踪训练2 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．
∵f′(x)＝
＝
＝3x2－4x，
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点的坐标为或(2,3)．
当切点为时，有＝4×＋a，a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.
∴当a＝时，切点为；
当a＝－5时，切点为(2,3)．
类型三 导数几何意义的应用
例3 已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)
考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 k1>k3>k2
解析 由导数的几何意义，可得k1>k2.
∵k3＝表示割线AB的斜率，
∴k1>k3>k2.
反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．
跟踪训练3 已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 －7
解析 设点P(x0,2x＋a)．
由导数的几何意义可得
f′(x0)＝ ＝
＝4x0＝8，
∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．
将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8 D．2
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切线的倾斜角或斜率
答案 C
解析 f′(2)＝
＝＝ (8＋2Δx)＝8，即斜率k＝8.
2．已知曲线y＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
答案 D
解析 Δy＝(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－x2－2x＝x·Δx＋(Δx)2＋2Δx，所以＝x＋Δx＋2，所以y′＝ ＝x＋2.设切点坐标为(x0，y0)，则＝x0＋2.由题意，得x0＋2＝4，所以x0＝2，故选D.
3.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 B
解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)4．函数y＝＋1的图象在点(1,2)处的切线方程为________________．
考点 切线方程的求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 x＋y－3＝0
解析 ∵y′＝
＝ ＝－，
∴y′|x＝1＝－＝－1，即y＝＋1的图象在点(1,2)处的切线的斜率为－1，则在点(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
解 ∵抛物线过点P，∴a＋b＋c＝1，①
又y′＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1，②
又抛物线过点Q，∴4a＋2b＋c＝－1，③
由①②③得a＝3，b＝－11，c＝9.
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
一、选择题
1．曲线y＝在点(1,1)处的切线的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切线的倾斜角或斜率
答案 D
解析 y′|x＝1＝ ＝－1，
由tan α＝－1及0≤α<π，得α＝，故选D.
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在
考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 C
解析 由导数的几何意义，可得f′(x0)＝－2<0.
3．曲线y＝x3的斜率为12的切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 B
解析 ∵ ＝3x2＝12，
∴x＝±2，∴斜率为12的切线有2条．
4．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A．(0,0) B．(2,4) C. D.
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
答案 D
解析 ∵ ＝2x，
又切线的倾斜角为，
∴切线的斜率为tan ＝1，即2x＝1，
∴x＝，y＝，则切点为.
5．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B. C．－ D．－1
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 A
解析 ∵y′＝
＝ (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，即a＝1.
6.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4 B．1
C．－2 D．2
考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 B
解析 由题干中的图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选B.
7．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A. B.[－1,0]
C.[0,1] D.
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 A
解析 设P点的横坐标为m，先求出函数y＝x2＋2x＋3上此处的导数
＝
＝＝2m＋2＋Δx，
当Δx→0时，→2m＋2，∴f′(m)＝2m＋2.
由于倾斜角的取值范围为，
∴0≤2m＋2≤1?－1≤m≤－.
二、填空题
8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 2
解析 ∵函数过点(1,3)，∴a＋b＝3，
又y′|x＝1＝ ＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2，故＝2.
9.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________；
＝________.(用数字作答)
考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 2 －2
解析 ∵f(0)＝4，∴f(f(0))＝f(4)＝2，
f′(1)＝ ＝－2.
10．曲线f(x)＝x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________________．
考点 切线方程的求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 2x－2y－1＝0
解析 f′(x)＝ ＝x.
因为直线x－y＋1＝0的斜率为1，所以x＝1，
所以f(1)＝×12＝，切点为.
故切线方程为y－＝1·(x－1)，
即2x－2y－1＝0.
11．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 2
解析 由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4，又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而切点坐标为(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.
12．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 4
解析 设抛物线在P点处切线的斜率为k，
k＝y′|x＝－2
＝ ＝－5，
∴切线方程为y＝－5x，
∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，
将点P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
三、解答题
13．若曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，求a的值．
考点 切线方程的求解及应用
题点 切线方程的应用
解 ∵f′(a)＝ ＝3a2，
∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，
切线与x轴的交点为.
∴三角形的面积为·|a3|＝，得a＝±1.
四、探究与拓展
14．过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程为( )
A．27x－4y－23＝0
B．23x－3y－12＝0和y＝3
C．5x－17y＋9＝0
D．27x－4y－23＝0和y＝1
考点 切线方程的求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 D
解析 ＝
＝
＝3x·Δx＋3x2＋(Δx)2，
所以 ＝3x2，
即y′＝3x2.
设过(1,1)点的切线与y＝x3＋1相切于点P(x0，x＋1)，
根据导数的几何意义，曲线在点P处的切线的斜率为k＝3x，①
过(1,1)点的切线的斜率k＝，②
由①②得3x＝，
解得x0＝0或x0＝，
所以k＝0或k＝，切点坐标为(0,1)或.
因此曲线y＝x3＋1的过点M(1,1)的切线方程有两个，分别为y－＝和y＝1，
即27x－4y－23＝0和y＝1.
15．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
解 ∵f′(x)＝
＝ ＝2ax，
∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g′(x)＝
＝
＝3x2＋b，
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得
§3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
学习目标 1.了解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
知识点一 函数的单调性与其导数正负的关系
思考1 f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，那么f′(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上的函数值的大小如何？
答案 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
思考2 y＝f(x)在区间(a，b)上的单调性与y＝f′(x)在区间(a，b)上的函数值的正、负有何关系？
答案 在区间(a，b)上，f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；
在区间(a，b)上，f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数．
梳理 (1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常函数
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导数
单调递增
f′(x)≥0
单调递减
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
知识点二 函数的变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．
1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( × )
2．函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( × )
3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( √ )
类型一 原函数和导函数图象之间的关系
例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的( )
考点 函数变化的快慢与导数的关系
题点 根据原函数图象确定导函数图象
答案 C
解析 由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：
x
(－1，b)
(b，a)
(a,1)
f(x)
↘
↗
↘
f′(x)
－
＋
－
由表分析函数y＝f′(x)的图象：当x∈(－1，b)时，函数图象在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图象在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图象在x轴下方．故选C.
反思与感悟 对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图象．
跟踪训练1 函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是( )
A.∪[2,3)
B.∪
C.)∪[1,2]
D.∪∪
考点 函数变化的快慢与导数的关系
题点 根据原函数图象确定导函数图象
答案 A
解析 求f′(x)≤0的解集，即求函数f(x)在上的单调减区间．由题干图象可知y＝f(x)的单调减区间为，[2,3)．
类型二 利用导数求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
(2)f(x)＝3x2－2ln x.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
解 (1) f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)＞0，得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)＜0，解得－3故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
单调递减区间是(－3,2)．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，
解得x>.
令f′(x)<0，即2·<0，
解得0∴f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤
(1)优先确定f(x)的定义域．
(2)计算导数f′(x)．
(3)解f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间．
跟踪训练2 求函数f(x)＝的单调区间．
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
解 函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3.
又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
类型三 含参数函数的单调性
例3 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 [1，＋∞)
解析 由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
因为k≥，而0<<1，所以k≥1，
即k的取值范围为[1，＋∞)．
引申探究
1．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
解 f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－，
当k≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k>0时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
2．若f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 由引申探究1知k>0，
且>1，
则0反思与感悟 (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．
(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(3)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2＋2aln x.
(1)试讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
解 (1)f′(x)＝2x＋＝，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
①当a≥0时，f′(x)>0，
f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a<0时，f′(x)＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
递减
递增
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；
单调递增区间是(，＋∞)．
(2)由g(x)＝＋x2＋2aln x，
得g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函数g(x)为[1,2]上的减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即a≤－x2在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，
则h′(x)＝－－2x＝－<0，x∈[1,2]，
所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－，
所以a≤－.
故实数a的取值范围为.
1．函数f(x)＝(x－1)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，0)
B．(0,1)
C．(1,4)
D．(0，＋∞)
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
答案 D
解析 f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝xex，令f′(x)>0，解得x>0，故选D.
2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
考点 函数变化的快慢与导数的关系
题点 根据原函数图象确定导函数图象
答案 D
解析 由f(x)的图象判断出f(x)在区间(－∞，0)上单调递增；在(0，＋∞)上先增再减再增，∴在区间(－∞，0)上f′(x)>0，在(0，＋∞)上先有f′(x)>0，再有f′(x)<0，再有f′(x)>0.只有D符合．
3．y＝xln x在(0,5)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 根据导数判定函数的单调性
答案 C
解析 y′＝ln x＋1，令y′＝0，则x＝，当0时，y′>0，所以函数y＝xln x在上为减函数，在上是增函数．
4．已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最小值是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 A
解析 f′(x)＝3x2＋a，∵函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)＝3x2＋a在[1，＋∞)上是增函数，∴3x2＋a≥3×12＋a＝3＋a，∴3＋a≥0，∴a≥－3.
5．判断函数y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 求含参数函数的单调区间
解 ∵y′＝(ax3－1)′＝3ax2.
①当a>0时，y′≥0，函数在R上单调递增；
②当a<0时，y′≤0，函数在R上单调递减；
③当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导函数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 根据导数判定函数的单调性
答案 B
解析 B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A，C，D都存在x>0，使y′<0的情况．
2．函数y＝xcos x－sin x在下列哪个区间内是增函数( )
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 根据导数判定函数的单调性
答案 B
解析 y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，
若y＝f(x)在某区间内是增函数，
只需在此区间内y′>0恒成立即可，
∴只有选项B符合题意，
当x∈(π，2π)时，y′>0恒成立．
3．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(0,1] D．(0，＋∞)
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
答案 C
解析 ∵f′(x)＝1－＝(x>0)，令f′(x)≤0，解得04．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在(1,3)上f(x)是减函数
C．在(4,5)上f(x)是增函数
D．在(－3，－2)上f(x)是增函数
考点 函数变化的快慢与导数的关系
题点 根据导函数图象研究原函数图象
答案 C
解析 由题图知当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上f(x)是增函数．
5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
考点 函数变化的快慢与导数的关系
题点 根据原函数图象确定导函数图象
答案 D
解析 ∵函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数，∴当x>0时，f′(x)<0；当x<0时，f′(x)<0.故选D.
6．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 A
解析 f′(x)＝3ax2－1，由题意知，对?x∈R，
3ax2－1≤0，当a>0时，显然不合题意，
当a≤0时，成立．故a≤0.
7．若f(x)＝，eA．f(a)>f(b)
B．f(a)＝f(b)
C．f(a)D．f(a)f(b)>1
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 比较函数值的大小
答案 A
解析 因为f′(x)＝＝，
当x∈(e，＋∞)时，1－ln x<0，
所以f′(x)<0，
所以f(x)在(e，＋∞)内为单调递减函数．
故f(a)>f(b)，故选A.
二、填空题
8．已知函数f(x)＝kex－1－x＋x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递减区间为____________．
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 求含参数函数的单调区间
答案 (－∞，0)
解析 f′(x)＝kex－1－1＋x，
∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，
∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，
故f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)．
9．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为________．
考点 函数变化的快慢与导数的关系
题点 根据原函数图象确定导函数图象
答案 (－3，－1)∪(0,1)
解析 由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，
f′(x)<0，
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
10．已知f(x)＝在区间[m，m＋1]上是增函数，则实数m的取值范围是________．
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 [－1,0]
解析 f′(x)＝＝，∴当－1≤x≤1时，f′(x)≥0，即f(x)的单调递增区间是[－1,1]，又f(x)在[m，m＋1]上是增函数，∴∴－1≤m≤0，即实数m的取值范围是[－1,0]．
11．已知函数f(x)＝x2＋ax－ln x，a∈R，若函数f(x)在[1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案
解析 f′(x)＝2x＋a－，
因为函数f(x)在[1,2]上是减函数，
所以f′(x)≤0在[1,2]上恒成立(“＝”不恒成立)，
即2x＋a－≤0在[1,2]上恒成立，
所以a≤－2x在[1,2]上恒成立，
令g(x)＝－2x，则g′(x)＝－－2<0，
故g(x)＝－2x在[1,2]上是减函数，
所以g(x)min＝g(2)＝－2×2＝－，
所以a≤－.
三、解答题
12．已知x>0，求证：x>sin x.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 利用导数证明不等式
证明 设f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是单调增函数，又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴x>sin x(x>0)．
13．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 求含参数函数的单调区间
解 (1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.
∴即解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)f′(x)＝3x2－6x－3.
令f′(x)>0，得x<1－或x>1＋；
令f′(x)<0，得1－故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，单调递减区间为(1－，1＋)．
四、探究与拓展
14．函数f(x)的定义域为R，f(1)＝1，对任意x∈R，f′(x)<2，则f(x)>2x－1的解集为( )
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 利用导数求解不等式
答案 C
解析 令g(x)＝f(x)－2x＋1，
则g′(x)＝f′(x)－2<0，
∴g(x)是减函数．
又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，
当g(x)>g(1)＝0时，x<1，
∴f(x)－2x＋1>0，即f(x)>2x－1的解集为(－∞，1)．
15．已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，求实数a的取值范围．
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
解 (1)f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a－1，
当a＝2时，f′(x)≥0，则f(x)在R上单调递增，
当a<2时，当x∈(a－1,1)时，f′(x)<0，则f(x)为减函数，
当x∈(－∞，a－1)和x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
则f(x)的单调增区间为(－∞，a－1)，(1，＋∞)．
当a>2时，当x∈(1，a－1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
当x∈(－∞，1)和x∈(a－1，＋∞)时，f′(x)>0，
则f(x)的单调增区间为(－∞，1)，(a－1，＋∞)．
(2)因为f(x)在(1,4)内为减函数，所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0；
因为f(x)在(6，＋∞)内为增函数，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0.
所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.
所以实数a的取值范围为[5,7]．
3.3.2 函数的极值与导数
学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一 极值点与极值的概念
思考 观察函数f(x)＝x3－2x的图象．
f′(－)的值是多少？在x＝－左、右两侧的f′(x)有什么变化？
f′()的值是多少，在x＝左、右两侧的f′(x)又有什么变化？
答案 f′(－)＝0，在x＝－的左侧f′(x)>0，在x＝－的右侧f′(x)<0；
f′()＝0，在x＝的左侧f′(x)<0，在x＝的右侧f′(x)>0.
梳理 (1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a
叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
1．导数值为0的点一定是函数的极值点．( × )
2．极大值一定比极小值大．( × )
3．函数f(x)＝有极值．( × )
4．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．( √ )
类型一 极值与极值点的判断与求解
例1 已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 C
解析 由导函数的图象可知：当x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选C.
反思与感悟 通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．
跟踪训练1 如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是( )
①f(x)在(－3，－1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．
A．①②③ B．②③
C．③④ D．①③④
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 B
解析 当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，∴f(x)在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，∴①不对；x＝－1是f(x)的极小值点；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；x＝2是f(x)的极大值点，故②③正确，④错误．
命题角度2 求函数的极值或极值点
例2 求下列函数的极值．
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝x2－2ln x.
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
解 (1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值21
↘
极小值－6
↗
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.
(2)函数f(x)＝x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
解方程＝0，
得x1＝1，x2＝－1(舍去)．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值1
↗
因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．
反思与感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．
(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根．
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
解 (1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4
＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
f′(0)＝a＋b－4＝4，①
又f(0)＝b＝4，②
由①②可得a＝b＝4.
(2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，
则f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4
＝4ex(x＋2)－2(x＋2)
＝(x＋2)(4ex－2)．
解f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln 2，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－ln 2)
－ln 2
(－ln 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，
在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
类型二 已知函数极值求参数
例3 (1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 (1)2 9 (2)(－∞，1)
解析 (1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9.
(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.
反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练3 已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 D
解析 若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，故选D.
类型三 函数极值的综合应用
例4 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
解 因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1，
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象如图所示．
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．
引申探究
若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？
解 由本例解析可知当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．
反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x
4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
－m
↘
－16－m
↗
则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得解得－16即m的取值范围为.
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 C
解析 f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．
2．已知函数f(x)＝x＋，则f(x)( )
A．有极大值2，极小值－2
B．有极大值－2，极小值2
C．无极大值，但有极小值－2
D．有极大值2，无极小值
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
答案 B
解析 函数的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)＝x＋，所以f′(x)＝1－，令f′(x)＝1－＝0，得x＝±1.当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－13．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，且f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．5 B．3 C．4 D．2
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 A
解析 因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
则f′(－3)＝3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，所以a＝5.
4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．－1C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 D
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
则Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
5．求函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)的极值．
考点 函数的极值与导数的关系
题点 含参数的函数求极值问题
解 f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上是单调递减的，在(ln a，＋∞)上是单调递增的，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 函数极值的应用
题点 极值存在性问题
答案 B
解析 根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.
2．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为( )
A．0,1，－1 B．－
C. D.，－
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
答案 C
解析 由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当0所以当x＝时，f(x)取得极小值，从而f(x)的极小值点为x＝，无极大值点．
3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 B
解析 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)>0，解得x>3或x<2，所以函数的一个单调递增区间是(3，＋∞)．
4．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则( )
A．f(x)极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 D
解析 当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－33时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．
5．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则点(a，b)为( )
A．(3，－3) B．(－4,11)
C．(3，－3)或(－4,11) D．不存在
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 B
解析 f′(x)＝3x2－2ax－b，
∵当x＝1时，f(x)有极值10，
∴
解得或
验证知当a＝3，b＝－3时，在x＝1处无极值，
∴a＝－4，b＝11.
6．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D.
考点 函数极值的应用
题点 极值存在性问题
答案 D
解析 令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±.
由题意知，∈(0,1)，
即0<<1，
解得07．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A.，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
答案 A
解析 f′(x)＝3x2－2px－q.由f′(1)＝0，f(1)＝0，
得解得
所以f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝或x＝1，
易得当x＝时f(x)取极大值.
当x＝1时f(x)取极小值0.
8．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为( )
A．a<－1 B．a>－1
C．a<－ D．a>－
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 A
解析 因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，
又因为x＞0，所以－a＞1，即a＜－1.
二、填空题
9．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 y＝－
解析 令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，
得x＝－1，∴y＝－，
∴函数y＝xex在极值点处的切线方程为y＝－.
10.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 2
解析 由图象可知，当x<0时，f′(x)<0，
当00，
故当x＝0时，函数f(x)取极小值f(0)＝2.
11．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是________．
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
答案 (－2,2)
解析 令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，所以当－2三、解答题
12．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
解 (1)因为f(x)＝aln x＋bx2＋x，
所以f′(x)＝＋2bx＋1.
依题意得f′(1)＝f′(2)＝0，即
解方程组得a＝－，b＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝－ln x－x2＋x(x>0)，
故f′(x)＝－－x＋1＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值－ln 2.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．
13．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
解 (1)∵f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)的极大值是f＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即＋a<0或a－1>0，
∴a<－或a>1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B.
C．(0,1) D．(0，＋∞)
考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数
答案 B
解析 由题意知，x>0，f′(x)＝ln x＋1－2ax，
由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点，则a>0.
设函数y＝ln x＋1的图象上任一点(x0,1＋ln x0)处的切线为l，则k1＝，
当l过坐标原点时，＝，解得x0＝1，
令2a＝1?a＝，结合图象知，015．已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
解 (1)f(x)的定义域是(0，＋∞)．
令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，又f(1)＝1，
所以f(x)的极小值为1，无极大值．
(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x>0)，
所以k′(x)＝1－，令k′(x)>0，得x>2，
令k′(x)<0，得0所以k(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
要使函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，
则需
所以2－2ln 23.3.3 函数的最大(小)值与导数
学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点一 函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
答案 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
答案 不一定，也可能是区间端点的函数值．
梳理 函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．
知识点二 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
知识点三 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．
如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．
1．函数的最大值一定是函数的极大值．( × )
2．开区间上的单调连续函数无最值．( √ )
3．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( × )
类型一 求函数的最值
例1 求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]．
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
解 (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
57
?
－
?
由于当x>时，f′(x)>0，
所以f(x)在上为增函数．
因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值．
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，
解得x＝或x＝.
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，
f＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．
跟踪训练1 求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]的最值．
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
解 ∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)．
∵在区间[2，5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
∴函数f(x)在区间[2，5]上单调递减，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
例2 已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
考点 含参数的函数最值问题
题点 含参数的函数求最值
解 (1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
－ek－1
?
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，
当0由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝－x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值．
考点 含参数的函数最值问题
题点 含参数的函数求最值
解 (1)f′(x)＝－1，
令f′(x)＝0，得x2＝1－ln x.
显然x＝1是上面方程的解．
令g(x)＝x2＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝2x＋>0，
∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴x＝1是方程f′(x)＝0的唯一解．
∵当00；当x>1时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
①当0<2m≤1，即0∴f(x)max＝f(2m)＝－2m.
②当m≥1时，f(x)在[m,2m]上单调递减，
∴f(x)max＝f(m)＝－m.
③当m<1<2m，即类型二 由函数的最值求参数
例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
?
b
?
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3 设考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
解 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
b?
－＋b?
1－a＋b
由表可知，f(x)的极大值为f(0)＝b，极小值为f(a)＝b－，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)及f(－1)与f(a)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b＝1.
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，a＝.
所以a＝，b＝1.
类型三 与最值有关的恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．
(2)若对任意x∈[－1,2]，不等式f(x)考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′＝－a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2，
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)；单调递减区间为.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
当x＝－时，f＝＋c为极大值，
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
反思与感悟 不等式恒成立问题常用的解题方法
跟踪训练4 已知函数f(x)＝xln x．若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．
题点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)>0，解得x>；
令f′(x)<0，解得0所以当x＝时f(x)取得最小值－.
(2)由题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式a≤ln x＋在x∈[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝ln x＋，则g′(x)＝－＝，
当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)的最小值是g(1)＝1.
因此a≤g(x)min＝g(1)＝1，
故a的取值范围为(－∞，1].
1．函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．1＋ B．1
C．e－1 D．e＋1
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 C
解析 由题意得f′(x)＝ex－1.
令f′(x)＝0，得x＝0.
当x∈[－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0,1]时，f′(x)>0.
所以f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增．
又因为f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，
所以f(－1)－f(1)＝2＋－e<0，
所以f(－1)所以f(x)max＝f(1)＝e－1.
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
考点 函数最值的应用
题点 最值存在性问题
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
3．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m等于( )
A．0 B．2 C. D．1
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
答案 B
解析 y′＝′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，
由y′＝0，得x＝0或x＝－1.
f(0)＝m，f(－1)＝m＋.
又因为f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，
所以f(1)＝m＋最大，所以m＋＝，
所以m＝2.
4．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为________________．
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 ∪
解析 f′(x)＝3x2－4cx＋1，
由f′(x)＝0有两个不同的根，可得Δ＝(－4c)2－12>0，
∴c>或c<－.
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，当x＝－2时，f(x)有极值13.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在[－3,0]上的最值．
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
解 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵y＝f(x)在x＝－2处取得极值13，
∴解得a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－2.∴f(x)在[－3，－2)上单调递增，在(－2,0]上单调递减，∴f(x)的最大值是f(－2)，最小值是f(－3)或f(0)，而f(－2)＝－8＋8＋8＋5＝13，f(0)＝5，f(－3)＝－27＋18＋12＋5＝8，∴f(x)在[－3,0]上的最大值为13，最小值为5.
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
一、选择题
1．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 C
解析 y′＝1－cos x≥0，故y＝x－sin x在上单调递增，所以当x＝π时，ymax＝π.
2．函数y＝的最大值为( )
A．10 B．e－1 C．e2 D．e
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 B
解析 令y′＝＝＝0?x＝e.当x>e时，y′<0；当00，所以y极大值＝y|x＝e＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.
3．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
考点 利用导数求函数的最值
题点 抽象函数的最值
答案 A
解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．
4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是( )
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 A
解析 ∵f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，
验证可知x＝3是函数的最小值点，
故f(x)min＝f(3)＝3m－，
由f(x)＋9≥0恒成立，得f(x)≥－9恒成立，
即3m－≥－9，∴m≥.
5．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于( )
A．－ B.
C．－ D.或－
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
答案 C
解析 当a≤－1时，最大值为4，不符合题意．
当－1所以f(x)max＝f(a)，
即－a2－2a＋3＝，
解得a＝－或a＝－(舍去)．
6．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围为( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D.
考点 函数最值的应用
题点 最值存在性问题
答案 D
解析 由题意得函数f(x)＝x3－6bx＋3b的导函数f′(x)＝3x2－6b在(0,1)内有零点，且f′(0)<0，f′(1)>0，即－6b<0，且3－6b>0，∴07．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )
A．20 B．18 C．3 D．0
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 A
解析 由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
则f(x)min＝f(－3)＝－19，
f(x)max＝f(－1)＝f(2)＝1，
由题意知|f(x1)－f(x2)|max＝|－19－1|＝20，
∴t≥20，故tmin＝20.
8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )
A．1 B. C. D.
考点 函数最值的应用
题点 距离的最值问题
答案 D
解析 由题意画出函数图象如图所示，
由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)，则
y′＝2t－＝＝.
当0当t>时，y′>0，可知y在内单调递增．
故当t＝时，|MN|有最小值．
二、填空题
9．函数f(x)＝(x∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________．
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 2 －2
解析 f′(x)＝
＝＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
由f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝，
得f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
10．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
答案 －1
解析 f′(x)＝＝
＝，
当x∈(－，)时，f′(x)>0，f(x)为单调递增函数，
当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为单调递减函数．
若≤1，即0由f(x)max＝f(1)＝＝，得a＝－1；
若>1，即a>1时，f(x)在[1，)上单调递增，在(，＋∞)上递减，
所以f(x)max＝f()＝＝，a＝(舍去)．
故a＝－1.
11．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
答案 (－∞，2ln 2－2]
解析 f′(x)＝ex－2.
令f′(x)＝0，解得x＝ln 2.
当x∈(－∞，ln 2)时，f′(x)<0，
x∈(ln 2，＋∞)时，f′(x)>0.
∴f(x)min＝f(ln 2)＝2－2ln 2＋a.
由题意知，2－2ln 2＋a≤0，
可得a≤2ln 2－2.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值和最小值．
考点 含参数的函数最值问题
题点 含参数的函数求最值
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋3，
∵当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
∴a≤min＝3(当且仅当x＝1时取等号)，
∴a≤3，
即实数a的取值范围为(－∞，3]．
(2)由题意知f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5，∴f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．
当10，
即当x＝3时，f(x)取得极小值f(3)＝－9.
又f(1)＝－1，f(5)＝15，
∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.
13．设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值．
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 (1)由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，所以g(x)＝ln x＋，
所以g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的单调递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．
因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，也是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)因为g(a)－g(x)<对任意x>0成立，
即ln a0成立．
由(1)知，g(x)的最小值为1，
所以ln a<1，解得0四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝x3－x2－4x＋1，直线l：x＋y＋2k－1＝0，当x∈[－3,3]时，直线l恒在函数f(x)图象的下方，则实数k的取值范围是( )
A．k>－ B．k<－
C．k< D．k>
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 D
解析 命题等价于当x∈[－3,3]时，
－(－x－2k＋1)>0恒成立，
即k>－x3＋x2＋x.
设g(x)＝－x3＋x2＋x，则
g′(x)＝－x2＋x＋＝(3－x)(1＋x)．
由g′(x)>0，得－1由g′(x)<0，得－3∴g(x)在[－3，－1)上单调递减，在(－1,3]上单调递增，
∴当x＝－1时，g(x)取得最小值，
又g(－3)＝，g(3)＝，∴ymax＝，∴k>.
15．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
解 函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当10，f(x)单调递增，
所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，
由ln a＋1＝，得a＝.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)≤0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾．
综上所述，a的值为.
§3.2 导数的计算
第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
知识点一 几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝
1．若y＝，则y′＝×3＝.( × )
2．若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．( × )
3．因为(ln x)′＝，则′＝ln x．( × )
类型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数．
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝2sin cos ；(5)y＝；(6)y＝3x.
考点 基本初等函数的导数公式
题点 利用导数公式求函数的导数
解 (1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝＝＝＝ .
(4)∵y＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y′＝＝＝－.
(6)y′＝(3x)′＝3xln 3.
反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)＋；
(2)y＝2cos2－1.
考点 基本初等函数的导数公式
题点 利用导数公式求函数的导数
解 (1)∵y＝(1－)＋
＝＋＝＝，
∴y′＝.
(2)∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
类型二 导数公式的应用
命题角度1 求切线方程
例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由．
考点 导数的应用
题意 导数的应用
解 因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．
设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝＝1，
而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－.
所以切点为.
所以所求切线方程为y－＝(－1)，
即4x＋4y＋1＝0.
引申探究
若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解 因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则＝2x0，
又因为PQ的斜率为k＝＝1，
而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝.
所以切点为M.
所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用
(1)切点处的导数是切线的斜率．
(2)切点在切线上．
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．
跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝＝cos x0，k2＝＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，
即sin 2x0＝2，这是不可能的．
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
命题角度2 求切点坐标
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 依题意知抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为，
∴所求的最短距离d＝＝.
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率k＝y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得M(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，
故点M(1,1)即为所求弧上的点P，使△ABP的面积最大．
1．下列结论：
①(sin x)′＝cos x；②＝；
③(log3x)′＝；④(ln x)′＝.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
考点 基本初等函数的导数公式
题点 利用导数公式求函数的导数
答案 C
解析 ∵②′＝；③(log3x)′＝，
∴②③错误，故选C.
2．质点的运动方程是s＝(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3 s时的速度为( )
A．－4×3－4 m/s B．－3×3－4 m/s
C．－5×3－5 m/s D．－4×3－5 m/s
考点 几个常用函数的导数
题点 几个常用函数导数的应用
答案 D
解析 ∵s′＝′＝－4t－5，
∴s′|t＝3＝－4×3－5.
则质点在t＝3 s时的速度为－4×3－5 m/s.
3．曲线y＝ln x在x＝1处切线的倾斜角为( )
A．1 B．－
C. D.
考点 基本初等函数的导数公式
题点 指数函数、对数函数的导数
答案 C
解析 y′|x＝1＝1，则切线的倾斜角为.
4．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为________．
考点 基本初等函数的导数公式
题点 常数、幂函数的导数
答案 x－y＋1＝0
解析 y′|x＝0＝1，
∴切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.
5．当常数k为何值时，直线y＝kx与曲线y＝x2相切？请求出切点．
考点 几个常用函数的导数
题点 几个常用函数导数的应用
解 设切点为A(x0，x)，因为y′＝2x，
所以
所以k＝0，故当k＝0时，直线y＝kx与曲线y＝x2相切，且切点坐标为(0,0)．
1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.
一、选择题
1．下列结论中正确的个数为( )
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝f(x)＝，则f′(3)＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 基本初等函数的导数公式
题点 基本初等函数的导数公式的应用
答案 D
解析 ①中y＝ln 2为常数，
所以y′＝0.①错．
2．已知f(x)＝，则f等于( )
A．－25 B．－
C. D．25
考点 几个常用函数的导数
题点 几个常用函数导数的应用
答案 B
解析 因为f(x)＝，所以f′(x)＝－.故f′＝－25，f＝f(－25)＝－.
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a等于( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
考点 基本初等函数的导数公式
题点 常数、幂函数的导数
答案 A
解析 ∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，
∴a＝4.
4．正弦曲线y＝sin x上切线的斜率等于的点为( )
A.
B.或
C. (k∈Z)
D.或 (k∈Z)
考点 基本初等函数的导数公式
题点 正弦、余弦函数的导数
答案 D
解析 设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cos x0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，k∈Z，∴y0＝或－.
5．函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( )
A.e2 B．2e2
C．e2 D.
考点 基本初等函数的导数公式
题点 指数函数、对数函数的导数
答案 D
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S＝×1×|－e2|＝e2.
6．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b等于( )
A．4 B．－4 C．28 D．－28
考点 基本初等函数的导数公式
题点 常数、幂函数的导数
答案 C
解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k＋b＝8，①
又y′|x＝2＝3×22＝12＝k，②
由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.
7．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A．e B．－e C. D．－
考点 基本初等函数的导数公式
题点 指数函数、对数函数的导数
答案 C
解析 设切点坐标为(x0，ln x0)，
则切线的斜率为＝，
又切线斜率可表示为，
∴＝，则x0＝e，
∴切线的斜率为.
8．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 016(x)等于( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
考点 基本初等函数的导数公式
题点 正弦余弦函数的导数
答案 A
解析 f1(x)＝f′0(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝f′1(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f3(x)＝f′2(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，
f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，
可知周期为4，
∴f2 016(x)＝f504×4(x)＝sin x.
二、填空题
9．已知f(x)＝，g(x)＝mx且g′(2)＝，则m＝________.
考点 几个常用函数的导数
题点 几个常用函数导数的应用
答案 －4
解析 ∵f′(x)＝－，g′(x)＝m，∴f′(2)＝－，
又g′(2)＝，∴m＝－4.
10．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
考点 基本初等函数的导数公式
题点 指数函数、对数函数的导数
答案 (1,1)
解析 因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.
设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，
曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)．
因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，
所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为___________．
考点 基本初等函数的导数公式
题点 正弦、余弦函数的导数
答案
解析 ∵f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，则sin x＝1，
解得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴其解集为.
12．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
考点 几个常用函数的导数
题点 几个常用函数导数的应用
答案 64
解析 ∵y＝x－，∴y′＝－x－，
∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．
令x＝0，得y＝a－；令y＝0，得x＝3a，
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·a－＝a＝18，
∴a＝64.
三、解答题
13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
考点 基本初等函数的导数公式
题点 指数函数、对数函数的导数
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，
又y′＝(ex)′＝ex，
所以ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
四、探究与拓展
14．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
考点 基本初等函数的导数公式
题点 指数函数、对数函数的导数
答案 B
解析 设ex＝t，则x＝ln t(t>0)，
∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.
15．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 D
解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.
因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln x)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
第2课时 导数的运算法则
学习目标 1.了解求导法则的证明过程.2.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.3.能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
知识点一 函数和、差的导数
已知f(x)＝x，g(x)＝.
思考1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？
答案 f′(x)＝1，g′(x)＝－.
思考2 若h(x)＝f(x)＋g(x)，I(x)＝f(x)－g(x)，那么h′(x)，I′(x)分别与f′(x)，g′(x)有什么关系？
答案 ∵Δy＝(x＋Δx)＋－
＝Δx＋，
∴＝1－.
∴h′(x)＝ ＝ ＝1－.
同理，I′(x)＝1＋.
梳理 和、差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．
(2)[c(x)]′＝cf′(x)．
(3)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．
知识点二 函数积、商的导数
1．函数积的导数
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
2．函数商的导数
′＝(g(x)≠0)．
1．f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( × )
2．f(x)＝，则f′(x)＝.( × )
3．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( × )
类型一 利用导数四则运算法则求导
例1 求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；(4)y＝xsin x－.
考点 导数的运算法则
题点 导数乘除法则的混合运用
解 (1)∵y＝－＋x－1＋，
∴y′＝＋－x－2－.
(2)方法一 y′＝
＝＝.
方法二 y＝＝＝1－，
y′＝′＝′
＝
＝.
(3)方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
(4)y′＝(xsin x)′－′
＝x′sin x＋x(sin x)′－
＝sin x＋xcos x－.
反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数．
(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝cos xln x；(3)y＝.
考点 导数的运算法则
题点 导数乘除法则的混合运用
解 (1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′
＝2x＋.
(2)y′＝(cos xln x)′＝(cos x)′ln x＋cos x(ln x)′
＝－sin xln x＋.
(3)y′＝
＝
＝＝.
类型二 导数运算法则的综合应用
例2 (1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 (1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.
所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，
f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)(2)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思与感悟 解决此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则．
跟踪训练2 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)等于( )
A．－3 B．2e C. D.
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 D
解析 ∵f′(x)＝2exf′(1)＋，
令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，
∴f′(1)＝.
例3 (1)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
考点 导数的应用
题点 导数的应用
(2)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 (1)1 (2)(e，e)
解析 (1)y′＝＝，
当x＝时，y′＝＝1，
直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，
由题意－＝－1，所以a＝1.
(2)设P(x0，y0)，
则＝ln x0＋1＝2，
∴x0＝e，则y0＝e
则P点坐标为(e，e)．
反思与感悟 (1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练3 设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 4
解析 因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知g′(1)＝2，又因为f(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x?f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.
1．下列运算中正确的是( )
A．(ln x－3sin x)′＝(ln x)′－3′·(sin x)′
B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′
C.′＝
D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 B
2．对于函数f(x)＝＋ln x－，若f′(1)＝1，则k等于( )
A. B. C．－ D．－
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 A
解析 ∵f′(x)＝＋＋，
∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝，
故选A.
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B. C．－ D．－2
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 D
解析 y′＝＝，
∴y′|x＝3＝＝－，
∴曲线y＝在点(3,2)处的切线斜率为－，
由题意得×(－a)＝－1，∴a＝－2.
4．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 3
解析 由题意得f′(x)＝(2x＋3)ex，则得f′(0)＝3.
5．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 －3
解析 y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得
则a＋b＝－3.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
一、选择题
1．下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(x2cos x)′＝－2xsin x
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 B
解析 选项A，′＝1－，故错误；
选项B，(log2x)′＝，故正确；
选项C，(3x)′＝3xln 3，故错误；
选项D，(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故错误．
故选B.
2．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0等于( )
A．a B．±a C．－a D．a2
考点 导数的运算法则
题点 导数除法法则及运算
答案 B
解析 ∵y′＝1－，＝1－＝0，∴x0＝±a.
3．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B.
C. D.
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 D
解析 ∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.
4．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 D
解析 ∵f′(x)＝sin x＋xcos x，
由题意知f′·＝－1，
∴a＝2.
5．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于( )
A．0 B．1
C. D．不存在
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 C
解析 ∵f′(x)＝，
由题意知f′(x0)＋f(x0)＝0，
即＋＝0，解得x0＝.
6．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，则( )
A．f(0)C．f(0)>f(5) D．f(0)≥f(5)
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 C
解析 ∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，
∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，
∴f′(2)＝2×2＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4.
∴f(x)＝x2－8x＋m，
∴f(0)＝m，f(5)＝25－40＋m＝－15＋m.
∴f(0)>f(5)．
7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )
A. B．－ C. D．－或
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 B
解析 ∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，
∴导函数f′(x)的图象开口向上．
又∵a≠0，∴f′(x)不是偶函数，
其图象不关于y轴对称，
故其图象必为③.
由图象特征知f′(0)＝0，且对称轴－a>0，
∴a＝－1，则f(－1)＝－－1＋1＝－，故选B.
二、填空题
8．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________.
考点 导数的运算法则
题点 导数除法法则及运算
答案
解析 ∵f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
又h′(x)＝，
∴h′(5)＝
＝＝.
9．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 1
解析 ∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，
∴f＝1.
10．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 3x－y＋1＝0
解析 y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，所以切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.
11．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________.
考点 导数的运算法则
题点 导数乘法法则及运算
答案 120
解析 因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，
所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x[(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)]′，
所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.
三、解答题
12．若曲线y＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 ∵y＝x2－ax＋ln x，∴y′＝2x－a＋，
由题意可知存在实数x>0使得2x－a＋＝0，
即a＝2x＋成立，
∴a＝2x＋≥2(当且仅当2x＝，即x＝时等号成立)．
∴a的取值范围是[2，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
四、探究与拓展
14．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案
解析 y′＝－＝－，
设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，
∵t＋≥2(当且仅当t＝1时，等号成立)，
∴y′∈[－1,0)，α∈.
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 (1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①②得解得
故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
§3.4 生活中的优化问题举例
学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
知识点 生活中的优化问题
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
1．生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．( √ )
2．解决应用问题的关键是建立数学模型．( √ )
类型一 几何中的最值问题
例1 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
解 (1)由题意知包装盒的底面边长为x cm，
高为(30－x)cm,0所以包装盒侧面积为S＝4x×(30－x)
＝8x(30－x)≤8×2＝8×225，
当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.
(2)包装盒容积V＝2x2·(30－x)
＝－2x3＋60x2(0所以V′＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．
令V′>0，得0令V′<0，得20所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.
反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
跟踪训练1 已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最小时，圆柱的高h的值为________．
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
答案
解析 设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr2，
S圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh，
∴h＝.
又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，
V′(r)＝，
令V′(r)＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，
∵V′(r)只有一个极值点，
∴当h＝2r时圆柱的容积最小．
又r＝，∴h＝2＝.
即当圆柱的容积V最小时，
圆柱的高h为.
类型二 实际生活中的最值问题
命题角度1 利润最大问题
例2 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
解 (1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又当00；当2反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
解 (1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值42
?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
命题角度2 用料?费用?最省问题
例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
解 设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为＝(元)，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来表示，
所以每平方米的综合费用为g(x)＝f(x)＋＝800＋160ln x＋(x>0)，
所以g′(x)＝(x>0)，
令g′(x)＝0，则x＝8，当0g′(x)<0，当x>8时，g′(x)>0，
所以当x＝8时，函数取得极小值，且为最小值．
故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．
反思与感悟 费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
跟踪训练3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
解 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1，
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得＝512，
所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小.
1．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，且f′(100)＝－1，这个数据说明在第100天时( )
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加
C．公司的盈利在逐渐减少
D．公司有时盈利有时亏损
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 C
解析 因为f′(100)＝－1，所以函数图象在x＝100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．
2．已知某厂家生产某种产品的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋36x＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．11万件 B．9万件
C．7万件 D．6万件
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 D
解析 由y′＝－x2＋36＝0，
解得x＝6或x＝－6(舍去)．
当00；
当x>6时，y′<0，
∴在x＝6时y取最大值．
3．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )
A．2 m3 B．3 m3
C．4 m3 D．5 m3
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
答案 B
解析 设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h＝＝－3x(m)，
故长方体的体积为V(x)＝2x2
＝9x2－6x3，
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．
当00；当1故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．
4．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
答案 4
解析 设水箱高为h，底面边长为a，则a2h＝256，
其表面积为S＝a2＋4ah＝a2＋4a·＝a2＋.
令S′＝2a－＝0，得a＝8.
当08时，S′>0，
故当a＝8时，S最小，此时h＝＝4.
5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
解 (1)设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2.
若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,21]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
故当x＝12时，f(x)取得极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．
(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.
一、选择题
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
答案 C
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，那么这两个数为( )
A．2,6 B．4,4
C．3,5 D．以上都不对
考点 函数类型的优化问题
题点 函数类型的其他问题
答案 B
解析 设一个数为x，则另一个数为8－x，
其立方和为y＝x3＋(8－x)3
＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，
则y′＝48x－192.
令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0；
当40，
所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值．
所以这两个数为4,4.
3．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 D
解析 由题意得，总利润
P(x)＝
∴P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，
当00，
当300又P(300)＝40 000>P(390)＝31 090.故选D.
4．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为( )
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
答案 D
解析 设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，
根据题意得箱底面积为＝16(m2)，
则箱底另一边的长度为 m，
所以l＝16×15＋×12
＝240＋72，
l′＝72.
令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．
当04时，l′>0.
故当x＝4时，l取得极小值，也就是最小值为816.
因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．
5．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时底面边长为( )
A. B.
C. D．2
考点 几何类型的优化问题
题点 面积的最值问题
答案 C
解析 设底面边长为x，
则表面积S＝x2＋V(x>0)，
∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
可判断得当x＝时，直棱柱的表面积最小．
6．在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为( )
A．4 B．8 C. D.
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
答案 C
解析 V＝×·y＝＝
＝(0V′＝＝2x－x2＝x(2－x)．
令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．
所以当x＝2时，V取极大值且为最大值，最大值为.
7．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为( )
A．2∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．4∶1
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
答案 A
解析 设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，
则V＝πr2h，即h＝.
由题意知，表面积S最小时所用材料最少．
S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr＝2πr2＋，
令S′＝4πr－＝0，得r＝，
当r＝时，h＝＝.
则h∶r＝2∶1时，表面积S最小．
8．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．60元 B．30元
C．28 000元 D．23 000元
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 D
解析 由题意知，毛利润等于销售额减去成本，
即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．
二、填空题
9．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________cm.
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
答案 8
解析 设截去的正方形的边长为x cm，
铁盒的体积为V cm3，则铁盒的底面边长为(48－2x) cm，
由题意，得V＝x(48－2x)2(0V′＝12x2－384x＋2 304＝12(x2－32x＋192)，
令V′＝0，得x＝8或x＝24(舍去)，
∴当x＝8时，V取极大值，这个极大值就是最大值．故当截去的正方形的边长为8 cm时，所做的铁盒容积最大．
10．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，当总利润最大时，则产量应定为________件．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 25
解析 设产品单价为a元，产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题意知k＝250 000，
则a2x＝250 000，
所以a＝.
总利润y＝500－x3－1 200(x>0)，
y′＝－x2.
由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0；
当x∈(25，＋∞)时，y′<0，
所以当x＝25时，y取最大值．
11．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
答案 80
解析 当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，由题意，得
y＝
＝＋－(0则y′＝－＝(0令y′＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，y′<0，该函数递减；当x∈(80,120)时，y′>0，该函数递增，故当x＝80时，y取得最小值．
三、解答题
12．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
解 (1)设隔热层厚度为x cm，
由题设知，每年能源消耗费用为C(x)＝，
又C(0)＝8，所以k＝40，
因此C(x)＝(0≤x≤10)．
而隔热层建造费用为C1(x)＝6x.
所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，
故x＝5为f(x)的极小值点也为最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
解 (1)当0W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10，
当x>10时，
W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，
所以W＝
(2)①当0由W′＝8.1－＝0，得x＝9.
当x∈(0,9)时，W′>0；当x∈(9,10]时，W′<0.
所以当x＝9时，W取得最大值，即Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.
②当x>10时，W＝98－
≤98－2＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝时，W取得最大值38.
综合①②知，当x＝9(千件)时，W取得最大值38.6万元．
答 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．
四、探究与拓展
14．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 B
解析 由题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．
所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当00；
当0.032 4所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
15.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最少，并求出最少建造费用．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
解 (1)因为容器的体积为立方米，
所以＋πr2l＝，解得l＝－.
所以圆柱的侧面积为
2πrl＝2πr＝－，
两端两个半球的表面积之和为4πr2，
所以y＝×3＋4πr2×4
＝＋8πr2.
又l＝－>0?r<2，
所以定义域为(0,2)．
(2)因为y′＝－＋16πr＝，
所以令y′>0，得2令y′<0，得0所以当r＝2时，该容器的建造费用最少，为96π千元，此时l＝.
章末复习
学习目标 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．
1．在x＝x0处的导数
(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．
(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率．
2．导函数
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，f′(x)＝y′＝li .
3．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝c(c为常数)
y′＝0
y＝xα(α∈Q*)
y′＝αxα－1
y＝sin x
y′＝cos_x
y＝cos x
y′＝－sin_x
y＝ax
y′＝axln_a(a>0)
y＝ex
y′＝ex
y＝logax
y′＝(a>0且a≠1)
y＝ln x
y′＝
4.导数的运算法则
和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
积的导数
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
商的导数
′＝(g(x)≠0)
5.函数的单调性、极值与导数
(1)函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
(2)函数的极值与导数
①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x0，当x>a时，f′(x)<0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；
②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
6．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
类型一 导数几何意义的应用
例1 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．
(1)求a的值；
(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
解 (1)∵f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，
∴f′(x)min＝－a2－9，
由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去)．
故a＝1.
(2)由(1)得a＝1.
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.
反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
跟踪训练1 已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A. B．－
C．－e D．e
考点 切线方程求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 D
解析 ∵y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴＝·x0，∴x0＝1，∴k＝e.
类型二 函数的单调性与导数
例2 已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)试求f(x)的单调区间．
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 求含参数函数的单调区间
解 (1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.
即曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e，
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
①当－2a＝a－2，即a＝时，
f′(x)≥0，∴f(x)在R上单调递增．
②当－2a时，
则当x∈(－∞，－2a)或x∈(a－2，＋∞)时，
f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上为增函数，
当x∈(－2a，a－2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2a，a－2)上为减函数．
②当－2a>a－2，即a<时，
则当x∈(－∞，a－2)或x∈(－2a，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上为增函数．
当x∈(a－2，－2a)时，f′(x)<0，f(x)在(a－2，－2a)上为减函数．
综上所述，
当a<时，f(x)的增区间为(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)，减区间为(a－2，－2a)；
当a＝时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；
当a>时，f(x)的增区间为(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)，
减区间为(－2a，a－2)．
反思与感悟 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间．
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价．
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集．
(4)求参数的范围时常用到分离参数法．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
解 (1)求导得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0在R上恒成立．
即3x2－a≥0在R上恒成立．
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．
所以a的取值范围是(－∞，0]．
(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，
则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，
又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意．
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞)．
类型三 函数的极值、最值与导数
例3 已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
(1)解 由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f′(x)＝x－＝，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为.
(2)解 当a＝1时，f(x)＝x2＋ln x，f′(x)＝x＋>0，
则函数f(x)在[1，e]上为增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1.
(3)证明 设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln x－x3，则F′(x)＝x＋－2x2＝，
当x>1时，F′(x)<0，
故F(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，又F(1)＝－<0，
所以在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．
即f(x)因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方．
反思与感悟 (1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．
(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．
(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；
(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．
考点 导数的综合应用
题点 导数的结合应用
解 (1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex＋a，f′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1.
∴f′(x)＝ex－1，
∵在(－∞，0)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴当x＝0时，f(x)取极小值，∴a＝－1.
∴f(x)在[－2,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，
且f(－2)＝＋3，f(1)＝e，f(－2)>f(1)，
∴f(x)在[－2,1]的最大值为＋3.
(2)f′(x)＝ex＋a，由于ex>0.
①当a>0时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
且当x>1时，f(x)＝ex＋a(x－1)>0.
当x<0时，取x＝－，
则f<1＋a＝－a<0，
∴函数f(x)存在零点，不满足题意．
②当a<0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，则x＝ln(－a)．
在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴当x＝ln(－a)时，f(x)取最小值．
函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，解得－e2综上所述，所求的实数a的取值范围是(－e2，0).
1．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 A
解析 ∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
2．函数y＝ln的大致图象为( )
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 D
解析 y＝ln(x≠－1)的图象关于x＝－1对称，
当x＞－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数．
3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)>2f(1)
C．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 比较函数值的大小
答案 D
解析 ①若f′(x)不恒为0，则当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．
所以f(2)>f(1)，f(1)2f(1)．
②若f′(x)＝0恒成立，则f(2)＝f(0)＝f(1)．
综合①②，知f(0)＋f(2)≥2f(1)．
4．体积为16π的圆柱，它的半径为________时，圆柱的表面积最小．
考点 几何类型的优化问题
题点 面积的最值问题
答案 2
解析 设圆柱底面半径为r，母线长为l.
∴16π＝πr2l，即l＝，
则S表面积＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×＝2πr2＋，
由S′＝4πr－＝0，得r＝2.
当r>2时，S′>0；当r<2时，S′<0，
∴当r＝2时，S取得极小值也是最小值，
即当r＝2时，圆柱的表面积最小．
5．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
考点 函数的极值与导数的关系
题点 不含参数的函数求极值问题
解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知，f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－(x>0)，
则f′(x)＝(x>0)．
令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍)或x＝5.
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
所以函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.
1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．
3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( )
A．(－1,3) B．(－1，－3)
C．(－2，－3) D．(－2,3)
考点 切线方程求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 B
解析 令f′(x)＝2x＋2＝0，解得x＝－1.
又f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3，
∴M(－1，－3)．
2．函数f(x)＝(0A．在(0,10)上是增函数
B．在(0,10)上是减函数
C．在(0，e)上是增函数，在(e,10)上是减函数
D．在(0，e)上是减函数，在(e,10)上是增函数
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 根据导数判定函数的单调性
答案 C
解析 由f′(x)＝，令f′(x)>0，得0则f(x)在(0，e)上为增函数；
令f′(x)<0，得e则f(x)在(e,10)上为减函数，故选C.
3．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)是f(x)的导函数，则函数F(x)＝f(x)·f′(x)＋f2(x)的最大值是( )
A．1＋ B.
C．1－ D．3
考点 基本初等函数的导数公式
题点 正弦、余弦函数的导数
答案 A
解析 由题意，得f′(x)＝cos x－sin x，
所以F(x)＝cos 2x＋1＋sin 2x＝sin＋1.
所以F(x)的最大值是1＋.
4．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,3)，则( )
A．b＝，c＝ B．b＝－，c＝－
C．b＝3，c＝9 D．b＝－3，c＝－9
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 D
解析 f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由条件知即
解得b＝－3，c＝－9.故选D.
5.已知定义在R上的函数f(x)的图象如图，则xf′(x)>0的解集为( )
A．(－∞，0)∪(1,2)
B．(1,2)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 利用导数求解不等式
答案 A
解析 不等式x·f′(x)>0等价于当x>0时，f′(x)>0，即x>0时，函数递增，此时10的解集为(－∞，0)∪(1,2)．
6．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是( )
A．3x－15y＋4＝0 B．15x－3y－2＝0
C．15x－3y＋2＝0 D．3x－y＋1＝0
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 B
解析 ∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
又a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5，
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切线方程为y－＝5(x－1)．
即15x－3y－2＝0.
7.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是( )
A．(－∞，2] B.
C．[－2,3] D.
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 D
解析 不妨取a＝1，
∵f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由题图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，
∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，
∴b＝－，c＝－18.
∴y＝x2－x－6，y′＝2x－，
当x>时，y′>0.
∴y＝ax2＋bx＋的单调递增区间为.
故选D.
8．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝x3－mx2＋2x＋2在(－1,2)上是“凸函数”，则f(x)在(－1,2)上( )
A．既没有最大值，也没有最小值
B．既有最大值，也有最小值
C．有最大值，没有最小值
D．没有最大值，有最小值
考点 函数最值的应用
题点 最值存在性问题
答案 A
解析 ∵f′(x)＝x2－mx＋2，f″(x)＝x－m，由题意知当－1又∵m≤2，∴m＝2，∴f(x)＝x3－x2＋2x＋2，
f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－2)2，
则f′(x)≥0在R上恒成立，
即f(x)在R上单调递增，所以f(x)在(－1,2)上既没有最大值也没有最小值．
二、填空题
9．若1,3为函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(b，c∈R)的两个极值点，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 8
解析 f′(x)＝x2＋2bx＋c，
由题意得1,3是方程x2＋2bx＋c＝0的两根，
所以b＝－2，c＝3，
f′(x)＝x2－4x＋3，f′(－1)＝8.
10．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 (0，＋∞)
解析 由题意知，y′＝－4x2＋a的图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝16a>0，∴a>0.
11．已知f(x)＝(2x－x2)ex，给出以下四个结论：
①f(x)>0的解集是{x|0②f(－)是极小值，f()是极大值；
③f(x)没有最小值，也没有最大值；
④f(x)有最大值，没有最小值．
其中判断正确的是________．(填序号)
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 ①②④
解析 f(x)>0?2x－x2>0?0所以①正确．
由f(x)＝(2x－x2)ex，
得f′(x)＝(2－x2)ex，令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝，
因为在(－∞，－)和(，＋∞)上f′(x)<0，
所以f(x)单调递减；在(－，)上f′(x)>0，
所以f(x)单调递增，
所以f(－)是极小值，f()是极大值，故②正确；
由题意知，f()为最大值，
且无最小值，故③错误，④正确，
故正确的为①②④.
三、解答题
12．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1与直线4x－y－1＝0平行，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
解 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
13．已知函数f(x)＝x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－.
(1)求函数f(x)的增区间；
(2)若f(x)≤m2＋m＋对x∈[－4,3]恒成立，求实数m的取值范围．
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 (1)由已知得f(2)＝－，f′(2)＝0，
又f′(x)＝x2＋a，
所以
解得
则f(x)＝x3－4x＋4.
令f′(x)＝x2－4>0，得x<－2或x>2，
所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)＝x3－4x＋4，
所以f(－4)＝－，f(－2)＝，f(2)＝－，f(3)＝1，则当x∈[－4,3]时，f(x)的最大值为，
故要使f(x)≤m2＋m＋对x∈[－4,3]恒成立，
只要≤m2＋m＋，
解得m≥2或m≤－3.
所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．[－1,1] B.
C. D.
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 C
解析 方法一 对函数f(x)求导得f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋，因为函数f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0，即－cos2x＋acos x＋≥0恒成立．设t＝cos x∈[－1,1]，则g(t)＝4t2－3at－5≤0在[－1,1]上恒成立，所以有
解得－≤a≤.
方法二 取a＝－1，则f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不满足f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，排除A，B，D，故选C.
15．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
解 (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，
所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，
即a＋1＝1＋b且2a＝3＋b，
解得a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，
当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
所以h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h′(x)，h(x)在(－∞，2]上的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
↗
28
↘
－4
↗
3
由表可知当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；
当－3因此，k的取值范围是(－∞，－3]．
