1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.
4.在下列三个结论中,正确的有( )
①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;
②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件;
③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 C
解析 ①中,x2>4?x>2或x<-2,
x3<-8?x<-2,
由x<-2?x>2或x<-2,
x>2或x<-2?x<-2,
∴x2>4是x3<-8的必要不充分条件;
②中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件;③正确.故①③正确.
5.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( )
A.m=-2 B.m=2
C.m=-1 D.m=1
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
答案 A
解析 ∵f(x)=x2+mx+1=2+1-,
∴f(x)的图象的对称轴为x=-,由题意得-=1,
∴m=-2.
6.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 因为甲是乙的必要条件,所以乙?甲.
又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,
所以丙?乙,但乙D?丙,如图.
综上,有丙?甲,但甲D?丙,
既丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
7.使|x|=x成立的一个必要不充分条件是( )
A.x≥0 B.x2≥-x
C.log2(x+1)>0 D.2x<1
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 B
解析 ∵|x|=x?x≥0,
∴选项A是充要条件,选项C,D均不符合题意.
对于选项B,∵由x2≥-x得x(x+1)≥0,
∴x≥0或x≤-1.
故选项B是使|x|=x成立的必要不充分条件.
8.设条件p:|x-2|<3,条件q:0A.(0,5] B.(0,5)
C.[5,+∞) D.(5,+∞)
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
答案 A
解析 由|x-2|<3,得-3即-1 因为q:0 所以要使p是q的必要不充分条件,则0二、填空题
9.设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 充分不必要
解析 a=1?N?M,
N?M?a2=1或2,
∴N?M?a=1,
故“a=1”是“N?M”的充分不必要条件.
10.设计如图所示的三个电路图,条件p:“开关S闭合”;条件q:“灯泡L亮”,则p是q的充分不必要条件的电路图是________.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 (1)
11.给出下列三个命题:
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件;
②“α>β”是“cos α③“a=0”是“函数f(x)=x3+ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.
其中正确命题的序号为________.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 ③
解析 ①∵函数y=3x是R上的增函数,∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件,故①错误;②∵2π>,则cos 2π>cos ,∴α>β?cos αβ,
∴“α>β”是“cos α12.关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要条件是________.
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
答案 m=0
解析 当m=0时,原方程即为x=2,满足条件;
当m≠0时,有=2,解得m=1或m=-,
但Δ=(m+1)2-8m2,
当m=1及m=-时,均使Δ<0,
故充要条件是m=0.
三、解答题
13.已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.
(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5 (3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5 考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 由M∩P={x|5(1)M∩P={x|5 (2)M∩P={x|5 (3)若a=-5,显然M∩P=[-5,-3)∪(5,8]是M∩P={x|5 故a<-3时为必要不充分条件.
四、探究与拓展
14.已知p:≤0,q:4x+2x-m≤0,p是q的充分条件,则实数m的取值范围是( )
A.[6,+∞) B.(-∞,2+]
C.[2,+∞) D.(2+,+∞)
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 A
解析 由≤0,得0由4x+2x-m≤0,得4x+2x≤m.
因为4x+2x=(2x)2+2x=2-,
要使p是q的充分条件,
则当0又当x=1时,4x+2x有最大值6,所以m≥6.故选A.
15.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 充分性:当q=-1时,a1=p-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),
当n=1时也成立.
∵p≠0且p≠1,∴==p,
即数列{an}为等比数列.
必要性:当n=1时,a1=S1=p+q;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),
∵p≠0且p≠1,∴==p.
∵{an}为等比数列,
∴=p,即a2=p2+pq=p2-p,解得q=-1.
故数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
§1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
学习目标 1.理解全称量词、全称命题的定义.2.理解存在量词、特称命题的定义.3.会判断一个命题是全称命题还是特称命题,并会判断它们的真假.
知识点一 全称量词与全称命题
思考 观察下列命题:
(1)所有偶函数的图象都关于y轴对称;
(2)每一个四边形都有外接圆;
(3)任意实数x,x2≥0.
以上三个命题有什么共同特征?
答案 都使用了表示“全部”的量词,如“所有”、“每一个”、“任意”.
梳理
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号
?
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x,有p(x)成立”,可用符号简记为“?x∈M,p(x)”
知识点二 存在量词与特称命题
思考 观察下列命题:
(1)有些矩形是正方形;
(2)存在实数x,使x>5;
(3)至少有一个实数x,使x2-2x+2<0.
以上三个命题有什么共同特征?
答案 都使用了表示“存在”的量词,如“有些”、“存在”、“至少有一个”.
梳理
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
?
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为“?x0∈M,p(x0)”
1.“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( × )
2.全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( √ )
3.全称命题中一定含有全称量词,特称命题中一定含有存在量词.( × )
类型一 全称命题与特称命题的辨析
例1 判断下列语句是全称命题,还是特称命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有的向量方向不定;
(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1;
(4)矩形的对角线不相等;
(5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 识别全称命题
解 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称命题.
(2)含有存在量词“有的”,故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.
(4)可以改为所有矩形的对角线不相等,故为全称命题.
(5)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题.
反思与感悟 判定命题是全称命题还是特称命题,主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意的是有些全称命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.
跟踪训练1 将下列命题用“?”或“?”表示.
(1)实数的平方是非负数;
(2)方程ax2+2x+1=0(a<0)至少存在一个负根;
(3)若直线l垂直于平面α内任一直线,则l⊥α.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题的符号表示
解 (1)?x∈R,x2≥0.
(2)?x0<0,ax+2x0+1=0(a<0).
(3)若?a?α,l⊥a,则l⊥α.
类型二 全称命题与特称命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假.
(1)?α,β,cos(α-β)=cos α-cos β;
(2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数;
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示;
(4)存在一个实数x0,使等式x+x0+8=0成立.
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题真假的判断
解 (1)真命题,例如α=,β=,符合题意.
(2)真命题,函数f(x)=0既是偶函数又是奇函数.
(3)假命题,如:边长为1的正方形的对角线长为,它的长度就不是有理数.
(4)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.
反思与感悟 要判定全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.
要判定特称命题“?x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题就是假命题.
跟踪训练2 判断下列命题的真假:
(1)有一些奇函数的图象过原点;
(2)?x0∈R,2x+x0+1<0;
(3)?x∈R,sin x+cos x≤.
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题真假的判断
解 (1)该命题中含有“有一些”,是特称命题.如y=x是奇函数,其图象过原点,故该命题是真命题.
(2)该命题是特称命题.
∵2x+x0+1=22+≥>0,
∴不存在x0∈R,使2x+x0+1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称命题.
∵sin x+cos x=sin≤恒成立,
∴对任意实数x,sin x+cos x≤都成立,故该命题是真命题.
类型三 由含量词的命题求参数
例3 对于任意实数x,不等式sin x+cos x>m恒成立,求实数m的取值范围.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 恒成立求参数的范围
解 令y=sin x+cos x,x∈R,
则y=sin x+cos x=sin∈[-,],
因为?x∈R,sin x+cos x>m恒成立,
所以只要m<-即可.
所以所求m的取值范围是(-∞,-).
引申探究
若本例条件变为:“存在实数x0,使不等式sin x0+cos x0>m有解”,求实数m的取值范围.
解 令y=sin x+cos x,x∈R,
因为y=sin x+cos x=sin∈[-,].
又因为?x0∈R,sin x0+cos x0>m有解,
所以只要m<即可,
所以所求m的取值范围是(-∞,).
反思与感悟 求解含有量词的命题中参数的范围的策略
(1)对于全称命题“?x∈M,a>f(x)(或af(x)max(或a (2)对于特称命题“?x0∈M,a>f(x0)(或a f(x)min(或a 跟踪训练3 已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若至少存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
解 方法一 (1)不等式m+f(x)>0可化为
m>-f(x),
即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,
只需m>-4即可.
故存在实数m使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时需m>-4.
(2)不等式m-f(x0)>0,可化为m>f(x0),
若至少存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立,只需m>f(x)min.
又f(x)=(x-1)2+4,所以f(x)min=4,所以m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4,+∞).
方法二 (1)要使不等式m+f(x)>0对?x∈R恒成立,即x2-2x+5+m>0对?x∈R恒成立,
所以Δ=(-2)2-4(5+m)<0,解得m>-4,
所以当m>-4时,m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立.
(2)若至少存在一个实数x0,使m-f(x0)>0成立,
即x-2x0+5-m<0成立.
只需Δ=(-2)2-4(5-m)>0即可,
解得m>4.
所以实数m的取值范围是(4,+∞).
1.下列命题中,是正确的全称命题的是( )
A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0
B.菱形的两条对角线相等
C.?x0,=x0
D.对数函数在定义域上是单调函数
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 识别全称命题
答案 D
2.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )
A.存在一个α,使tan(90°-α)=tan α
B.存在实数x0,使sin x0=
C.对一切α,sin(180°-α)=sin α
D.对任意α,β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题真假的判断
答案 A
3.下列命题正确的是( )
A.?x∈Z,x4≥1
B.?x0∈Q,x=3
C.?x∈R,x2-x-1>0
D.?x0∈N,|x0|≤0
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题真假的判断
答案 D
解析 对于A,如x=0,不合题意;
对于B,x=±,错误;
对于C,如x=0时,-1<0,错误.故选D.
4.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述为_____________.
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题的符号表示
答案 ?x0<0,(1+x0)(1-9x0)>0
5.命题:3mx2+mx+1>0恒成立是真命题,求实数m的取值范围.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 恒成立求参数的范围
解 “3mx2+mx+1>0恒成立”是真命题,需对m进行分类讨论.
当m=0时,1>0恒成立,所以m=0满足题意;
当m>0,且Δ=m2-12m<0,
即00恒成立,
所以0综上所述,实数m的取值范围是0≤m<12.
1.判断命题是全称命题还是特称命题,主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词,有些全称命题虽然不含全称量词,可以根据命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称命题是假命题.
3.要确定一个特称命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该特称命题是假命题.
一、选择题
1.给出下列命题:
①存在实数x0>1,使x>1;②全等的三角形必相似;③有些相似三角形全等;④至少有一个实数a,使ax2-ax+1=0的根为负数.
其中特称命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 识别特称命题
答案 C
解析 由存在量词及特称命题的定义知①③④为特称命题.
2.下列全称命题中真命题的个数为( )
①负数没有对数;
②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;
③二次函数f(x)=x2-ax-1与x轴恒有交点;
④?x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.
A.1 B.2 C.3 D.4
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题真假的判断
答案 C
解析 ①②③为真命题.
3.给出以下命题:
①?x∈R,有x4>x2;
②?α∈R,使得sin 3α=3sin α;
③?a∈R,对?x∈R,使得x2+2x+a<0.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题真假的判断
答案 B
解析 ①中,当x=0时,x4=x2,故为假命题;②中,当α=kπ(k∈Z)时,sin 3α=3sin α成立,故为真命题;③中,由于函数f(x)=x2+2x+a的图象开口向上,一定存在x∈R,使x2+2x+a≥0,故为假命题.故选B.
4.有下列四个命题:①?x∈R,2x2-3x+4>0;②?x∈{1,-1,0},2x+1>0;③?x0∈N,x≤x0;④?x0∈N*,x0为29的约数,其中真命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
考点 全称命题与特称命题的真假判断
题点 全称命题与特称命题的真假判断
答案 C
解析 ①中,2x2-3x+4=22+>0,
故①正确;
②中,当x=-1时,2x+1<0,故②不正确;
③中,当x0=0或1时,x≤x0,故③正确;
④中,?29∈N*,29为29的约数,④正确.
∴真命题的个数为3.
5.已知命题p:?x0∈R,x+1<2x0;命题q:不等式x2-2x-1>0恒成立,那么( )
A.“綈p”是假命题 B.q是真命题
C.“p∨q”是假命题 D.“p∧q”是真命题
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 C
解析 根据基本不等式,x2+1≥2x,所以命题p是假命题.
因为当x=0时,x2-2x-1=-1<0,所以命题q是假命题.
所以綈p是真命题,“p∨q”是假命题,“p∧q”是假命题,所以C正确.
6.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x1满足关于x的方程2ax+b=0,则下列命题中为假命题的是( )
A.?x0∈R,f(x0)≤f(x1)
B.?x0∈R,f(x0)≥f(x1)
C.?x∈R,f(x)≤f(x1)
D.?x∈R,f(x)≥f(x1)
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题真假的判断
答案 C
解析 ∵x1是方程2ax+b=0的解,
∴x1=-,
又∵a>0,
∴f(x1)是y=f(x)的最小值,
∴f(x)≥f(x1)恒成立.
7.命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4 B.a≤4
C.a≤5 D.a≥5
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 恒成立求参数的范围
答案 D
解析 当该命题是真命题时,只需a≥(x2)max,x∈[1,2].
又y=x2在[1,2]上的最大值是4,所以a≥4.
因为a≥4?a≥5,a≥5?a≥4,故选D.
8.在R上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1对任意x成立,则( )
A.-1C.-考点 全称量词及全称命题的应用
题点 求参数的范围
答案 C
解析 应用新定义运算可得(x-a)?(x+a)=(x-a)·[1-(x+a)]
=-x2+x-a+a2<1恒成立,
即x2-x+a-a2+1>0恒成立,
a2-a而x2-x+1=2+≥,
∴a2-a<,即-二、填空题
9.命题“末位是0的整数可以被5整除”________全称命题.(填“是”或“不是”)
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 识别全称命题
答案 是
解析 原命题可写为“所有末位为0的整数都可以被5整除”.
10.下列命题:
①存在x0<0,x-2x0-3=0;
②对于一切实数x<0,都有|x|>x;
③已知an=2n,bm=3m,对于任意n,m∈N*,an≠bm.
其中,所有真命题的序号为________.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题真假的判断
答案 ①②
解析 因为x2-2x-3=0的根为x=-1或3,
所以存在x0=-1<0,使x-2x0-3=0,故①为真命题;
②显然为真命题;
③当n=3,m=2时,a3=b2,故③为假命题.
11.若“?∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 恒成立求参数的范围
答案 1
解析 ∵?x∈,∴tan x≤1,∴m≥1,故实数m的最小值为1.
三、解答题
12.判断下列命题是否为全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.
(1)存在一条直线,其斜率不存在;
(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解;
(3)存在实数x0,使得=2.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题真假的判断
解 (1)是特称命题,用符号表示为“?直线l0,l0的斜率不存在”,是真命题.
(2)是全称命题,用符号表示为“?a,b∈R,方程ax+b=0都有唯一解”,是假命题.
(3)是特称命题,用符号表示为“?x0∈R,=2”,是假命题.
13.已知命题p:“?x0∈R,sin x00恒成立”,若p∧q是真命题,求实数m的取值范围.
考点 全称量词及全称命题的应用
题点 求参数的范围
解 由于p∧q是真命题,则p,q都是真命题.
因为“?x0∈R,sin x0所以m>-1.
又因为“?x∈R,x2+mx+1>0恒成立”是真命题,
所以Δ=m2-4<0,解得-2综上所述,实数m的取值范围是(-1,2).
四、探究与拓展
14.不等式组的解集记为D.有下面四个命题:
p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2;
p2:?(x0,y0)∈D,x0+2y0≥2;
p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3;
p4:?(x0,y0)∈D,x0+2y0≤-1.
其中真命题是( )
A.p2,p3 B.p1,p4
C.p1,p2 D.p1,p3
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题真假的判断
答案 C
解析 画出可行域如图中阴影部分所示,
由图可知,当目标函数z=x+2y经过可行域内的点A(2,-1)时取得最小值0,故x+2y≥0,因此p1,p2是真命题,选C.
15.若命题“?a∈[1,3],使ax2+(a-2)x-2>0”是真命题,则实数x的取值范围是________.
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
答案 (-∞,-1)∪
解析 令f(a)=ax2+(a-2)x-2=(x2+x)a-2x-2,是关于a的一次函数,
由题意,得(x2+x)-2x-2>0或(x2+x)·3-2x-2>0,
即x2-x-2>0或3x2+x-2>0,
解得x<-1或x>.
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
学习目标 1.了解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
知识点一 全称命题的否定
思考 对下列全称命题如何否定?
(1)所有奇函数的图象都过原点;
(2)对任意实数x,都有x2-2x+1>0.
答案 (1)有的奇函数的图象不过原点;
(2)存在实数x0,使x-2x0+1≤0.
梳理
全称命题p
綈p
结论
?x∈M,p(x)
?x0∈M,綈p(x0)
全称命题的否定是特称命题
知识点二 特称命题的否定
思考 对下列特称命题如何否定?
(1)有些四棱柱是长方体;
(2)存在一些周期函数是奇函数.
答案 (1)所有的四棱柱都不是长方体;
(2)所有的周期函数都不是奇函数.
梳理
特称命题p
綈p
结论
?x0∈M,p(x0)
?x∈M,綈p(x)
特称命题的否定是全称命题
对全称命题与特称命题否定时,首先找出命题中的量词,是全称量词的改为存在量词,是存在量词的改为全称量词,然后再对结论否定.
1.命题綈p的否定是p.( √ )
2.?x0∈M,p(x0)与?x∈M,綈p(x)的真假性相反.( √ )
3.从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.( × )
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列全称命题的否定:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)数列:1,2,3,4,5中的每一项都是偶数;
(3)?a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
(4)可以被5整除的整数末位是0.
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
解 (1)其否定:存在一个平行四边形,它的对边不都平行.
(2)其否定:数列:1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.
(3)其否定:?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.
(4)其否定:存在被5整除的整数,末位不是0.
反思与感悟 全称命题的否定是特称命题,对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定:
(1)p:每一个四边形的四个顶点共圆;
(2)p:所有自然数的平方都是正数;
(3)p:任何实数x都是方程5x-12=0的根;
(4)p:对任意实数x,x2+1≥0.
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
解 (1)綈p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
(2)綈p:有些自然数的平方不是正数.
(3)綈p:存在实数x0不是方程5x0-12=0的根.
(4)綈p:存在实数x0,使得x+1<0.
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)p:?x0>1,使x-2x0-3=0;
(2)p:有些素数是奇数;
(3)p:有些平行四边形不是矩形.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1) 綈p:?x>1,x2-2x-3≠0.(假)
(2) 綈p:所有的素数都不是奇数.(假)
(3) 綈p:所有的平行四边形都是矩形.(假)
反思与感悟 特称命题的否定是全称命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p:?x0∈M,p(x0)成立?綈p:?x∈M,綈p(x)成立.
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)某些平行四边形是菱形;
(3)?x0,y0∈Z,使得x0+y0=3.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“?x,y∈Z,x+y≠3”.当x=0,y=3时,x+y=3,因此命题的否定是假命题.
类型三 含量词命题的综合应用
例3 已知命题p:“至少存在一个实数x0∈[1,2],使不等式x+2ax0+2-a>0成立”为真,试求参数a的取值范围.
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
解 由已知得綈p:?x∈[1,2],x2+2ax+2-a≤0成立,
所以设f(x)=x2+2ax+2-a,
则所以解得a≤-3,
因为綈p为假,所以a>-3,
即a的取值范围是(-3,+∞).
反思与感悟 通常对于“至多”“至少”的命题,应采用逆向思维的方法处理,先考虑命题的否定,求出相应的集合,再求集合的补集,可避免繁杂的运算.
跟踪训练3 已知p:?x∈R,2x>m(x2+1),q:?x0∈R,x+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
解 2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.
若p:?x∈R,2x>m(x2+1)为真,
则mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.
当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;
当m≠0时,由m<0且Δ=4-4m2<0,
所以m<-1.
若q:?x0∈R,x+2x0-m-1=0为真,
则方程x2+2x-m-1=0有实根,
所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.
又p∧q为真,故p,q均为真命题.
所以m<-1且m≥-2,
所以m的取值范围为-2≤m<-1.
1.有以下四个命题:
(1)没有男生爱踢足球;(2)所有男生都不爱踢足球;(3)至少有一个男生不爱踢足球;(4)所有女生都爱踢足球.其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是( )
A.(1) B.(2)
C.(3) D.(4)
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 C
2.命题“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )
A.?x∈R,|x|+x2<0
B.?x∈R,|x|+x2≤0
C.?x0∈R,|x0|+x<0
D.?x0∈R,|x0|+x≥0
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 C
3.?m0,n0∈Z,使得m=n+2 017的否定是( )
A.?m,n∈Z,使得m2=n2+2 017
B.?m0,n0∈Z,使得m≠n+2 017
C.?m,n∈Z,有m2≠n2+2 017
D.以上都不对
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
4.命题“?x∈R,x>sin x”的否定是________________.
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 ?x0∈R,x0≤sin x0
5.已知命题p:?x∈[1,2],都有ex-a≥0.若綈p是假命题,则实数a的取值范围为________.
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 (-∞,e]
解析 命题p:?x∈[1,2],都有ex-a≥0.
若綈p是假命题,则p是真命题,∴a≤(ex)min=e,
∴实数a的取值范围为(-∞,e].
1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作:第一步,将全称量词改写成存在量词,即将“任意”改为“存在”;第二步,将结论加以否定,如:将“≥”否定为“<”.
2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作:第一步,将存在量词改写成全称量词;第二步,将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词,要注意判断.
一、选择题
1.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )
A.存在x0∈R,x-x+1≤0
B.存在x0∈R,x-x+1≥0
C.存在x0∈R,x-x+1>0
D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 C
解析 由题意知,原命题为全称命题,故其否定为特称命题,所以否定为“存在x0∈R,x-x+1>0”.故选C.
2.已知命题p:存在a0∈(-∞,0),a-2a0-3>0,那么命题p的否定是( )
A.存在a0∈(0,+∞),a-2a0-3≤0
B.存在a0∈(-∞,0),a-2a0-3≤0
C.对任意a∈(0,+∞),a2-2a-3≤0
D.对任意a∈(-∞,0),a2-2a-3≤0
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 D
解析 依题意得綈p:对任意a∈(-∞,0),a2-2a-3≤0,故选D.
3.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则( )
A.綈p:?x∈A,2x∈B
B.綈p:?x?A,2x?B
C.綈p:?x0?A,2x0∈B
D.綈p:?x0∈A,2x0?B
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 D
解析 命题p:?x∈A,2x∈B是一个全称命题,其命题的否定綈p应为?x0∈A,2x0?B,选D.
4.对下列命题的否定说法错误的是( )
A.p:能被2整除的数是偶数;綈p:存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p:有些矩形是正方形;綈p:所有的矩形都不是正方形
C.p:有的三角形为正三角形;綈p:所有的三角形不都是正三角形
D.p:?n0∈N,2n0≤100;綈p:?n∈N,2n>100.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
解析 “有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题:“所有的三角形都不是正三角形”,故选项C错误.
5.已知命题p:?x0∈R,使tan x0=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1A.①②③④ B.①②④
C.①③④ D.②③
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 A
解析 当x=时,tan x=1,
∴命题p为真命题.
由x2-3x+2<0得1∴命题q为真命题,∴p∧q为真,p∧(綈q)为假,
(綈p)∨q为真,(綈p)∨(綈q)为假.
6.已知p:?x∈R,ax2+2x+3>0,如果綈p是真命题,那么a的取值范围是( )
A.a< B.0C.a≤ D.a≥
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 綈p:?x0∈R,ax+2x0+3≤0,
显然当a=0时,满足题意;
当a>0时,由Δ≥0,得0当a<0时,满足题意.
所以a的取值范围是.
7.已知命题p:?x0∈R,cos x0≥a,下列a的取值能使“綈p”是真命题的是( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 D
解析 綈p:?x∈R,cos x1.
8.已知命题p:?x0∈R,x+1<2x0,命题q:若mx2-mx-1<0恒成立,则-4A.“綈p”是假命题
B.“綈q”是真命题
C.“p∧q”为真命题
D.“p∨q”为真命题
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 D
解析 对于命题p:x+1-2x0=(x0-1)2≥0,
即对任意的x∈R,都有x2+1≥2x,
因此命题p是假命题.
对于命题q,若mx2-mx-1<0恒成立,
则当m=0时,-1<0恒成立;
当m≠0时,由mx2-mx-1<0恒成立,
得
即-4故命题q是真命题.
因此,“綈p”是真命题,“綈q”是假命题,
“p∧q”是假命题,“p∨q”是真命题,故选D.
二、填空题
9.命题“某些平行四边形是矩形”的否定是________.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 每一个平行四边形都不是矩形
10.命题“?x0∈(0,+∞),x0+<4”的否定是________命题.(填“真”或“假”)
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 真
解析 命题“?x0∈(0,+∞),x0+<4”的否定是“?x∈(0,+∞),x+≥4”,根据基本不等式得此命题正确.
11.由命题“存在x0∈R,使e|x0-1|-m≤0”是假命题,得m的取值范围是(-∞,a),则实数a的值是________.
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案 1
解析 其否定为:?x∈R,使e|x-1|-m>0,
且为真命题,即m只需m<(e|x-1|)min=1.故a=1.
三、解答题
12.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并写出它们的否定.
(1)p:对任意的x∈R,cos x≤1都成立;
(2)q:?x0∈R,x+1>3x0;
(3)s:有些三角形是锐角三角形.
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
解 (1)由于命题中含全称量词“任意”,所以是全称命题,因此其否定为特称命题,所以綈p:?x0∈R,使cos x0>1成立.
(2)由于“?x0∈R”表示至少存在实数中的一个x0,即命题中含有存在量词“至少存在一个”,为特称命题,因此其否定为:綈q:对任意一个x,都有x2+1≤3x,即?x∈R,x2+1≤3x.
(3)为特称命题,把存在量词改为全称量词,并把结论否定,故綈s:所有的三角形都不是锐角三角形.
13.已知p:?a∈(0,b](b∈R且b>0),函数f(x)=sin的周期不大于4π.
(1)写出綈p;
(2)当綈p是假命题时,求实数b的最大值.
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 (1) 綈p:?a0∈(0,b](b∈R且b>0),
函数f(x)=sin的周期大于4π.
(2)由于綈p是假命题,所以p是真命题,
所以?a∈(0,b],≤4π恒成立,
解得a≤2,所以0所以实数b的最大值是2.
四、探究与拓展
14.若命题“?x0∈R,使得sin x0cos x0>m”是真命题,则m的值可以是( )
A.- B.1
C. D.
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案 A
解析 sin xcos x=sin 2x∈,
∵命题“?x0∈R,使得sin x0cos x0>m”是真命题,
∴m<,故当m=-时,满足条件,故选A.
15.已知命题p:?x∈R,ax2+2x+1≠0,q:?x0∈R,ax+ax0+1≤0.若(綈p)∧(綈q)为真命题,求实数a的取值范围.
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
解 因为(綈p)∧(綈q)为真命题,
所以綈p与綈q都是真命题,从而p与q都是假命题.
所以“关于x的方程ax2+2x+1=0有解”与“ax2+ax+1>0对一切x∈R恒成立”都是真命题.
由关于x的方程ax2+2x+1=0有解,
得a=0或即a=0或a≤1且a≠0,
所以a≤1.
由ax2+ax+1>0对一切x∈R恒成立,
得a=0或即a=0或0所以0≤a<4.
由得0≤a≤1,故实数a的取值范围是[0,1].
§1.3 简单的逻辑联结词
学习目标 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义,会判断含有这类逻辑联结词的命题的真假.2.结合具体实例,在了解“且”“或”“非”含义的基础上掌握这类联结词的用法.
知识点一 用逻辑联结词构成新命题
思考 观察下面四个命题:①12能被3整除;②12能被4整除;③12能被3整除且能被4整除;④12能被3整除或12能被4整除.请分析命题①②与命题③④分别有什么关系?
答案 ③是由①、②用“且”联结而成的;④是由①、②用“或”联结而成的.
梳理
构成新命题
记作
读作
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题
p∧q
p且q
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题
p∨q
p或q
对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题
綈p
非p或p的否定
知识点二 含逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
?綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
特别提醒:(1)对逻辑联结词的理解
①“且”表示同时的意思,可联系集合中“交集”的概念.
②“或”表示至少一个,可联系集合中“并集”的概念.
③“非”表示对原命题否定,可联系集合中“补集”的概念.
(2)命题“p∧q”“p∨q”“ 綈p”真假的记忆
①对于“p∧q”,简称为“一假即假”,即p,q中只要有一个为假,则“p∧q”为假;
②对于“p∨q”,简称为“一真即真”,即p,q中只要有一个为真,则“p∨q”为真.
1.当p是真命题时,“p∧q”为真命题.( × )
2.“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件.( × )
3.命题“p∨(綈p)”是真命题.( √ )
4.命题的否定与否命题是相同的概念.( × )
类型一 含有逻辑联结词的命题的构成与真假判断
命题角度1 p∧q命题及p∨q命题
例1 分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式,并判断它们的真假.
(1)p:函数y=3x2是偶函数,q:函数y=3x2是增函数;
(2)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;
(3)p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 “且(∧)”命题概念的理解
解 (1)p∧q:函数y=3x2是偶函数且函数y=3x2是增函数.
∵p真,q假,∴p∧q为假.
p∨q:函数y=3x2是偶函数或函数y=3x2是增函数.
∵p真,q假,∴p∨q为真.
(2)p∧q:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
∵p真,q真,∴p∧q为真.
p∨q:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
∵p真,q真,∴p∨q为真.
(3)p∧q:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.
∵p真,q真,∴p∧q为真.
p∨q:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.
∵p真,q真,∴p∨q为真.
反思与感悟 (1)判断p∧q形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,然后根据真值表“一假则假,全真则真”进行判断.
(2)判断p∨q形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,只要有一个为真,即可判定p∨q形式命题为真,而p与q均为假命题时,命题p∨q为假命题,可简记为:有真则真,全假为假.
跟踪训练1 分别用“p∨q”“p∧q”填空.
(1)“菱形的对角线互相垂直平分”是________形式.
(2)“3≥3”是________形式.
(3)“△ABC是等腰直角三角形”是________形式.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 “且(∧)”命题概念的理解
答案 (1)p∧q (2)p∨q (3)p∧q
命题角度2 命题的否定与否命题
例2 写出下列命题的否定形式和否命题.
(1)若abc=0,则a,b,c中至少有一个为零;
(2)等腰三角形有两个内角相等;
(3)自然数的平方是正数.
考点 “非”命题的概念
题点 辨析命题的否定与否命题
解 (1)否定形式:若abc=0,则a,b,c全不为零.
否命题:若abc≠0,则a,b,c全不为零.
(2)否定形式:等腰三角形的任意两个内角都不相等.
否命题:若某三角形不是等腰三角形,则它的任意两个内角都不相等.
(3)否定形式:自然数的平方不是正数.
否命题:不是自然数的数的平方不是正数.
反思与感悟 (1)原命题是“若A,则B”,其否定是“若A,则綈B”,条件不变,否定结论;其否命题是“若綈A,则綈B”,既要否定条件,又要否定结论.
(2)命题p与綈p的真假性相反,命题p与其否命题的真假性无关.
跟踪训练2 写出下列命题的否定与否命题,并判断其真假.
(1)p:若x>y,则5x>5y;
(2)p:若x2+x<2,则x2-x<2;
(3)p:正方形的四条边相等;
(4)p:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0的解是非空实数集,则a2-4b≥0.
考点 “非”命题的概念
题点 辨析命题的否定与否命题
解 (1) 綈p:若x>y,则5x≤5y;假命题.
否命题:若x≤y,则5x≤5y;真命题.
(2) 綈 p:若x2+x<2,则x2-x≥2;假命题.
否命题:若x2+x≥2,则x2-x≥2;假命题.
(3) 綈 p:存在一个正方形,它的四条边不全相等;假命题.
否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等;假命题.
(4) 綈p:存在两个实数a,b,虽然满足x2+ax+b≤0的解是非空实数集,但使a2-4b<0;假命题.
否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0的解是空集,则a2-4b<0;真命题.
类型二 逻辑联结词的应用
例3 已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根;q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若“p∨q”为真命题,且“p∧q”是假命题,求实数m的取值范围.
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由命题p∨q,p∧q的真假求参数范围
解 p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根?解得m>2.
q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根?Δ=16(m-2)2-16<0,得1所以綈p:m≤2,綈 q:m≤1或m≥3.
因为“p∨q”为真命题,且“p∧q”是假命题,
所以p,q一真一假.
①当p为真且q为假时,即p为真且綈q为真,
所以解得m≥3;
②当p为假且q为真时,即綈p为真且q为真,
所以解得1综上所述,实数m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).
引申探究
若本例条件变为(綈p)∨(綈q)为假命题,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解 由例题解可知p:m>2,q:1若“(綈p)∨(綈q)”为假命题,即p∧q为真命题,
所以解得2所以实数m的取值范围是(2,3).
反思与感悟 解决逻辑联结词的应用问题,一般是先假设p,q分别为真,化简其中的参数的取值范围,然后当它们为假时取其补集,最后确定参数的取值范围.当p,q中参数的范围不易求出时,也可以利用綈p与p,綈q与q不能同真同假的特点,先求綈p, 綈q中参数的范围.
跟踪训练3 已知命题p:|m+1|≤2成立,命题q:方程x2-2mx+1=0有实数根.若綈p为假命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由命题p∨q,p∧q的真假求参数范围
解 |m+1|≤2?-2≤m+1≤2?-3≤m≤1,
即命题p:-3≤m≤1.
方程x2-2mx+1=0有实数根?Δ=(-2m)2-4≥0
?m≥1或m≤-1,
即q:m≥1或m≤-1.
因为綈p为假命题,p∧q为假命题,
所以p为真命题,q为假命题.
綈q为真命题,綈q:-1由?-1 即m的取值范围是(-1,1).
1.命题“梯形的两对角线互相不平分”的命题形式为( )
A.p或q B.p且q
C.非p D.简单命题
考点 “非”命题的概念
题点 “非”命题概念的理解
答案 C
解析 记命题p:梯形的两对角线互相平分,而原命题是“梯形的两对角线互相不平分”,是命题p的否定形式,故选C.
2.若命题p∧q为假,且綈p为假,则( )
A.p或q为假 B.q为假
C.p为假 D.不能判断q的真假
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 B
解析 ∵綈p为假,∴p为真,
又p∧q为假,∴q为假.
3.在一次跳高比赛前,甲、乙两名运动员各试跳了一次.设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,则命题p∨q表示( )
A.甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B.甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
C.甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米
D.甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
考点 “p∨q”形式的命题
题点 “或(∨)”命题概念的理解
答案 D
解析 ∵命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,
∴命题p∨q表示“甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米”,故选D.
4.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若xA.①③ B.①④
C.②③ D.②④
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 C
解析 根据不等式的性质可知,若x>y,则-x<-y成立,即p为真命题;
当x=-1,y=1时,满足x则①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(綈q)为真命题;④(綈p)∨q为假命题.故选C.
5.已知命题p:函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数;命题q:函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数,若p∧q为真,则实数a的取值范围是________.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
答案
解析 命题p:由函数f(x)在R上为减函数得2a-1<0,解得a<,
命题q:由函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数,
得-≤1,解得a≥-2.
由p∧q为真得p,q都为真,故a的取值范围为∩[-2,+∞),即为.
1.正确理解逻辑联结词是解题的关键,日常用语中的“或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.
2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤
(1)逐一判断命题p,q的真假;
(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”,“p∨q”的真假.
p∧q为真?p和q同时为真,
p∨q为真?p和q中至少一个为真.
3.若命题p为真,则“綈p”为假;若p为假,则“綈p”为真,类比集合知识,“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集?UP.因此(綈p)∧p为假,(綈p)∨p为真.
4.注意区别命题的否定与否命题,命题的否定只否定结论,否命题既否定结论又否定条件.
一、选择题
1.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,那么( )
A.命题p不一定是假命题
B.命题q一定是真命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题p与命题q的真值相同
考点 “非”命题的概念
题点 “非”命题的真假
答案 B
解析 “非p”为真命题,则命题p为假,又p或q为真,则q为真,故选B.
2.下列命题中既是p∧q形式的命题,又是真命题的是( )
A.10或15是5的倍数
B.方程x2-3x-4=0的两根是-4和1
C.方程x2+1=0没有实数根
D.有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 D
解析 D选项中,命题可改写为有两个角为45°的三角形是等腰三角形而且是直角三角形,为真命题.
3.设p,q是简单命题,则“‘p且q’为假”是“‘p或q’为假”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 B
解析 p∨q是假命题?p是假命题且q是假命题?p∧q是假命题;p∧q是假命题?p∨q是假命题.
4.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A.(綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q
考点 “p∨q”形式的命题
题点 “或(∨)”命题概念的理解
答案 A
解析 至少有一位学员没有降落在指定范围意味着甲或乙没有降落在指定范围.
5.命题p:若a>0,b>0,则ab=1是a+b≥2的必要不充分条件,命题q:函数y=log2的定义域是(-∞,-2)∪(3,+∞),则( )
A.“p∨q”为假 B.“p∧q”为真
C.p真q假 D.p假q真
考点 “p∧q”形式的命题
题点 “且(∧)”命题概念的理解
答案 D
解析 由命题p:a>0,b>0,ab=1得a+b≥2=2,所以p为假命题;
命题q:由>0得x<-2或x>3,所以q为真命题.
6.命题p:点P在直线y=2x-3上;q:点P在曲线y=-x2上,则使“p且q”为真命题的一个点P(x,y)是( )
A.(0,-3) B.(1,2)
C.(1,-1) D.(-1,1)
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
答案 C
解析 点(x,y)满足
解得P(1,-1)或P(-3,-9),故选C.
7.已知p,q是两个命题,若“綈(p∨q)”是真命题,则( )
A.p,q都是假命题
B.p,q都是真命题
C.p是假命题且q是真命题
D.p是真命题且q是假命题
考点 “綈p”形式的命题的真假判断
题点 判断“綈p”命题的真假
答案 A
解析 由复合命题真值表得:若“綈(p∨q)”是真命题,则p∨q为假命题,则命题p,q都是假命题.
8.命题p:若不等式x2+x+m>0恒成立,则m>,命题q:在△ABC中,∠A>∠B是sin A>sin B的充要条件,则( )
A.p真q假 B.“p∧q”为真
C.“p∨q”为假 D.“(綈p)∨(綈q)”为真
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 B
解析 p:由题意知,Δ=1-4m<0得m>,
故p为真命题,q为真命题,∴p∧q为真.
9.已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且綈q为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(1,2]
C.(-∞,2] D.(-∞,1]∪(2,+∞)
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
答案 B
解析 对p:f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)上只有一个零点,
则f(0)f(1)<0,解得a>1,
对q:2-a<0,即a>2.
∴p:a>1,q:a>2,
则綈q:a≤2,
又p且綈q为真命题,
∴则1二、填空题
10.命题“若a命题的否定为______________.
考点 “非”命题的概念
题点 辨析命题的否定与否命题
答案 若a≥b,则2a≥2b 若a解析 命题“若a11.若命题p:不等式ax+b>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a考点 “綈p”形式的命题的真假判断
题点 判断“綈p”命题的真假
答案 非p
解析 因为命题p,q均为假命题,
所以“p或q”“p且q”均为假命题,而“非p”为真命题.
12.已知p:x2-x≥6,q:x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题,则x的值组成的集合为________________.
考点 “綈p”形式的命题的真假判断
题点 与“綈p”有关的求参数问题
答案 {-1,0,1,2}
解析 因为“p∧q”为假,“綈q”为假,所以q为真,p为假.
故即
因此,x的值可以是-1,0,1,2.
三、解答题
13.已知c>0,设p:函数y=cx在R上单调递减,q:曲线y=4x2-4c+c2+1与x轴交于不同的两点,若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求c的取值范围.
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由命题p∨q,p∧q的真假,求参数的范围
解 ∵函数y=cx在R上单调递减,
∴0由y=4x2-4c+c2+1与x轴交于不同的两点,可得方程4x2-4cx+c2-2c+1=0所对应的判别式
Δ=16c2-16(c2-2c+1)>0,
解得c>,令B=.
根据题意,如果p真,q假,则0如果p假,q真,则c≥1,
∴c的取值范围为∪[1,+∞).
四、探究与拓展
14.已知命题p:不等式(x-1)2>m的解集是R,命题q:f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数.若命题“p且q”是真命题,则实数m的取值范围是________.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
答案 (-∞,0)
解析 由不等式(x-1)2>m的解集是R为真命题得m<0;
由f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数为真命题得2-m>0,即m<2.
∵命题“p且q”是真命题,∴即m<0.
15.设命题p:实数x满足(x-a)(x-3a)<0,其中a>0,命题q:实数x满足≤0.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
解 (1)∵a=1,∴不等式化为(x-1)(x-3)<0,
∴1由≤0得2 ∵p∧q为真,∴2 (2)∵綈p是綈q的充分不必要条件,
∴q是p的充分不必要条件,
又q:2∴∴1章末复习
学习目标 1.理解命题及四种命题的概念,掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念,掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、特称命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定.
1.四种命题及其关系
(1)四种命题:
命题
表述形式
原命题
若p,则q
逆命题
若q,则p
否命题
若綈p,则綈q
逆否命题
若綈q,则綈p
(2)四种命题间的逆否关系:
(3)四种命题的真假关系:
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
2.充分条件与必要条件
(1)如果p?q,那么称p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)分类:
①充要条件:p?q且q?p,记作p?q;
②充分不必要条件:p?q且q?p.
③必要不充分条件:p?q且q?p.
④既不充分也不必要条件:p?q且q?p.
3.简单的逻辑联结词
(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q,可得p∧q,p∨q,綈p.
(2)命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断:
p∧q中p,q有一假即为假,p∨q有一真即为真,p与綈p必定是一真一假.
4.全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称命题:
全称量词用符号“?”表示.
全称命题用符号简记为?x∈M,p(x).
(2)存在量词与特称命题:
存在量词用符号“?”表示.
特称命题用符号简记为?x0∈M,p(x0).
5.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
?x∈M,p(x)
?x0∈M,綈p(x0)
?x0∈M,p(x0)
?x∈M,綈p(x)
1.命题“若x>0且y>0,则x+y>0”的否命题是假命题.( √ )
2.“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题.( √ )
3.命题“若p,则q”与命题“若綈p,则綈q”的真假性一致.( × )
4.已知命题p:?x0∈R,x0-2>0,命题q:?x∈R,x2>x,则命题p∨(綈q)是假命题.( × )
类型一 命题及其关系
例1 (1)有下列命题:
①“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题;
②“矩形的对角线相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”.
其中是真命题的是( )
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①③
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
(2)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨q B.p∧q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q)
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 A
解析 由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题.故p∨q为真命题.
反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同.
(2)“p与綈p”一真一假,“p∨q”一真即真,“p∧q”一假就假.
跟踪训练1 (1)命题“若x2>1,则x<-1或x>1”的逆否命题是( )
A.若x2>1,则-1≤x≤1
B.若-1≤x≤1,则x2≤1
C.若-11
D.若x<-1或x>1,则x2>1
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
(2)设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为;命题q:函数y=cos x的图象关于直线x=对称.则下列判断正确的是( )
A.p为真 B.q为真
C.p∧q为假 D.p∨q为真
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 C
解析 由题意知p是假命题,q是假命题,因此只有C正确.
类型二 充分条件与必要条件
命题角度1 充分条件与必要条件的判断
例2 (1)设x∈R,则“x2-3x>0”是“x>4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 B
解析 ∵x2-3x>0?x>4,
x>4?x2-3x>0,
故“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件.
(2)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 C
解析 ∵a>0且b>0?a+b>0且ab>0,
∴“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.
反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法:直接判断若p则q,若q则p的真假.
(2)等价法:利用A?B与綈B?綈A,B?A与綈A?綈B,A?B与綈B?綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
跟踪训练2 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( )
A.a2>b2>0 B.
C.ln a>ln b>0 D.xa>xb且x>0.5
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 C
解析 设条件p符合条件,则p是a>b>0的充分条件,但不是a>b>0的必要条件,即有“p?a>b>0,a>b>0?p”.
A选项中,a2>b2>0?a>b>0,有可能是aB选项中,?0b>0,故B不符合条件;
C选项中,ln a>ln b>0?a>b>1?a>b>0,而a>b>0?a>b>1,符合条件;
D选项中,xa>xb且01时a>b,无法得到a,b与0的大小关系,故D不符合条件.
命题角度2 充分条件与必要条件的应用
例3 设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,a<0.q:实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 设A={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3aB={x|x2-x-6≤0或x2+2x-8>0}
={x|x<-4或x≥-2}.
因为綈p是綈q的必要不充分条件,
所以q是p的必要不充分条件.
所以A?B,所以或
解得a≤-4或-≤a<0.
故实数a的取值范围为(-∞,-4]∪.
反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件:若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.
跟踪训练3 已知p:2x2-9x+a<0,q:2考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 (-∞,9]
解析 ∵綈q是綈p的必要条件,
∴q是p的充分条件,
令f(x)=2x2-9x+a,
则解得a≤9,
∴实数a的取值范围是(-∞,9].
类型三 逻辑联结词与量词的综合应用
例4 已知p:?x0∈R,mx+2≤0.q:?x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2] D.[-1,1]
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由“p∨q”形式命题的真假求参数的范围
答案 A
解析 因为p∨q为假命题,所以p和q都是假命题.
由p:?x0∈R,mx+2≤0为假,得?x∈R,mx2+2>0,所以m≥0.①
由q:?x∈R,x2-2mx+1>0为假,得?x0∈R,x-2mx0+1≤0,
所以Δ=(-2m)2-4≥0?m2≥1?m≤-1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系.其次要善于利用等价关系,如:p真与綈p假等价,p假与綈p真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径.
跟踪训练4 已知命题p:?x0∈R,mx+1≤0,命题q:?x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.[-2,0)
C.(-2,0) D.(0,2)
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
答案 C
解析 因为p∧q为真命题,
所以命题p和命题q均为真命题,
若p真,则m<0,①
若q真,则Δ=m2-4<0,
所以-2所以p∧q为真,由①②知-2 1.下列说法正确的是( )
A.命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2>1,则x≤1”
B.命题“?x0∈R,x>1”的否定是“?x∈R,x2>1”
C.命题“若x=y,则cos x=cos y”的逆否命题为假命题
D.命题“若x=y,则cos x=cos y”的逆命题为假命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
解析 A中,命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2≤1,则x≤1”,∴A错误.
B中,命题“?x0∈R,x>1”的否定是“?x∈R,x2≤1”,∴B错误.
C中,“若x=y,则cos x=cos y”为真命题,则其逆否命题也为真命题,∴C错误.
D中,命题“若x=y,则cos x=cos y”的逆命题“若cos x=cos y,则x=y”为假命题,∴D正确.
2.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 当两个平面内的直线相交时,这两个平面有公共点,
即两个平面相交;但当两个平面相交时,两个平面内的直线不一定有交点.
3.命题“?x0∈R,f(x0)<0”的否定是( )
A.?x0?R,f(x0)≥0 B.?x?R,f(x)≥0
C.?x∈R,f(x)≥0 D.?x∈R,f(x)<0
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
4.已知p:x2+2x-3>0;q:>1.若“(綈q)∧p”为真命题,求x的取值范围.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
解 因为“(綈q)∧p”为真,所以q假p真.
而当q为真命题时,有<0,即2所以当q为假命题时有x≥3或x≤2;
当p为真命题时,由x2+2x-3>0,
解得x>1或x<-3,
由
解得x<-3或15.已知条件p:x2-3x-4≤0,条件q:|x-3|≤m,若綈q是綈p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 ∵由x2-3x-4≤0,得-1≤x≤4,
若|x-3|≤m有解,
则m>0(m=0时不符合已知条件),
则-m≤x-3≤m,
得3-m≤x≤3+m,
设A={x|-1≤x≤4},B={x|3-m≤x≤3+m}.
∵綈q是綈p的充分不必要条件,
∴p是q的充分不必要条件,
∴p?q成立,但q?p不成立,即A?B,
则(等号不同时取到),
即得m≥4,
故m的取值范围是[4,+∞).
1.互为逆否命题的两命题是等价命题.
2.充分条件与必要条件的判定应先找准条件p与结论q,可根据定义及集合法进行判别.
3.含有联结词“且”“或”“非”的复合命题的真假判断.
p∧q中p,q有一假为假,p∨q有一真为真,p与綈p是一真一假.
4.全称命题与特称命题的否定
先改量词(全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词)再对结论否定.
一、选择题
1.下列命题中为假命题的是( )
A.?x∈R,2x-1>0 B.?x∈N*,(x-1)2>0
C.?x0∈R,lg x0<1 D.?x0∈R,tan x0=2
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题真假的判断
答案 B
解析 对于?x∈R,y=2x>0恒成立,而y=2x-1的图象是将y=2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度,函数的值域不变,故2x-1>0恒成立,A为真命题;当x=1时,(x-1)2=0,故B为假命题;当02.命题“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是( )
A.若a≠b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0
B.若a=b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0
C.若a≠0且b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0
D.若a≠0或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 D
解析 “且”的否定词为“或”,所以“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”.
3.已知直线l1:ax+y=1和直线l2:9x+ay=1,则“a+3=0”是“l1∥l2”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 C
解析 因为两直线平行,所以有a2-9=0,解得a=±3,当a=±3时,显然两条直线平行,故“a+3=0”是“l1∥l2”的充分不必要条件,故选C.
4.给出命题p:3≥3;q:函数f(x)=在R上的值域为[-1,1].在下列三个命题:“p∧q”“p∨q”“ 綈p”中,真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 B
解析 ∵p为真命题,q为假命题,
∴p∧q,綈p为假命题,只有p∨q为真命题.
5.下列有关命题的说法正确的是( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.若p∨q为假命题,则p,q均不为假命题
C.命题“存在x0∈R,使得x+x0+1<0”的否定是“对任意x∈R,均有x2+x+1<0”
D.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
解析 选项A中否命题为“若x2≠1,则x≠1”;
选项B中,若p∨q为假命题,则p,q均为假命题;
选项C中命题的否定为“对任意x∈R,均有x2+x+1≥0”.
故A,B,C三项说法均不正确.
选项D中,“若x=y,则sin x=sin y”是真命题,故其逆否命题也为真命题.
6.命题“?n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>n
B.?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>n
C.?n0∈N*,f(n0)?N*且f(n0)>n0
D.?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 D
解析 “f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)?N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.
7.若命题“?x0∈R,ax+x0-1>0(a≠0)”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.a<- B.a>-且a≠0
C.a≥-且a≠0 D.a≤-
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案 D
解析 由题意知“?x∈R,ax2+x-1≤0”为真命题,
则得a≤-.
8.已知实数a>1,命题p:函数y=(x2+2x+a)的定义域为R,命题q:|x|<1是xA.p或q为真命题 B.p且q为假命题
C.綈p且q为真命题 D.綈p或綈q为真命题
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 A
解析 命题p:当a>1时,Δ=4-4a<0,
即x2+2x+a>0恒成立,
故函数y=(x2+2x+a)的定义域为R,
即命题p是真命题;
命题q:当a>1时,由|x|<1?-1即|x|<1是x故命题q也是真命题,
故得命题p或q是真命题,故选A.
二、填空题
9.命题“?x0∈{x|x>0},使考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 假
解析 “?x0∈{x|x>0},使10.已知命题p:m∈R,且m+1≤0,命题q;?x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若p∧q为假命题且p∨q为真命题,则m的取值范围是__________________.
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由命题p∨q,p∧q的真假求参数范围
答案 (-∞,-2]∪(-1,2)
解析 p:m≤-1,q:-2∵p∧q为假命题,p∨q为真命题,
∴p,q一真一假,
当p为真,q为假时,由
得m≤-2.
当p为假,q为真时,
由得-1综上所述,m的取值范围是(-∞,-2]∪(-1,2).
11.若不等式(x-m+1)(x-m-1)<0成立的充分不必要条件是考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案
解析 (x-m+1)(x-m-1)<0,
即m-1(等号不能同时取得),
即-≤m≤,
故实数m的取值范围是.
12.下列结论:
①若命题p:?x0∈R,tan x0=2;命题q:?x∈R,x2-x+>0,则命题“p∧(綈q)”是假命题;
②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;
③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.
其中正确结论的序号为________.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 ①③
解析 ②l1⊥l2?a+3b=0.
三、解答题
13.设p:关于x的不等式ax>1 (a>0且a≠1)的解集为{x|x<0},q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个为真命题,求a的取值范围.
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
解 当p真时,0当q真时, 即a>,
∴p假时,a>1,q假时,a≤.
又p和q有且仅有一个为真命题.
∴当p真q假时,01.
综上得,a∈∪(1,+∞).
四、探究与拓展
14.已知函数f(x)=-(x+2)(x-m)(其中m>-2),g(x)=2x-2.
(1)若命题“log2g(x)≤1”是真命题,求x的取值范围;
(2)设命题p:?x∈(1,+∞),f(x)<0或g(x)<0,若綈p是假命题,求m的取值范围.
考点 “綈p”形式的命题的真假判断
题点 与綈p有关的参数问题
解 (1)若命题“log2g(x)≤1”是真命题,即log2g(x)≤1恒成立;
即log2g(x)≤log22等价于
解得1故所求x的取值范围是{x|1 (2)因为綈p是假命题,所以p为真命题,
而当x>1时,g(x)=2x-2>0,
又p是真命题,则x>1时,f(x)<0,
所以f(1)=-(1+2)(1-m)≤0,
即m≤1(或根据-(x+2)(x-m)<0的解集得出),
故所求m的取值范围为{m|-215.已知命题p:函数y=x2+2(a2-a)x+a4-2a3在[-2,+∞)上单调递增,q:关于x的不等式ax2-ax+1>0解集为R.若p∧q假,p∨q真,求实数a的取值范围.
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由命题p∨q,p∧q的真假求参数范围
解 ∵函数y=x2+2(a2-a)x+a4-2a3=[x+(a2-a)]2-a2在[-2,+∞)上单调递增,
∴-(a2-a)≤-2,即a2-a-2≥0,
解得a≤-1或a≥2.
即p:a≤-1或a≥2.
由不等式ax2-ax+1>0的解集为R得a=0或
解得0≤a<4,
∴q:0≤a<4.
∵p∧q假,p∨q真,∴p与q一真一假,
∴p真q假或p假q真,
即或
∴a≤-1或a≥4或0≤a<2.
∴实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[0,2)∪[4,+∞).