第一章常用逻辑用语学案(8份)

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名称 第一章常用逻辑用语学案(8份)
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2019-05-21 09:39:56

文档简介


§1.1 命题及其关系
1.1.1 命 题
学习目标 1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.能把命题改写成“若p,则q”的形式.
知识点一 命题的概念
思考 下列语句有什么共同特征?
①若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点;
②3+6=7;
③偶函数的图象关于y轴对称;
④5能被4整除.
答案 (1)都是陈述句;(2)都能够判断真假.
梳理 (1)定义:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
(2)分类:
特别提醒:(1)判断一个语句是否为命题的两个要素:
①是陈述句,表达形式可以是符号、表达式或语言;
②可以判断真假.
(2)真命题可以给出证明,假命题只需举出一个反例即可.
知识点二 命题的形式
命题的一般形式为“若p,则q”,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
1.并非任何语句都是命题,只有能判断真假的陈述句才是命题.( √ )
2.一个命题不是真命题就是假命题.( √ )
3.有的命题只有结论没有条件.( × )
类型一 命题的概念
例1 下列语句:
(1)是无限循环小数;(2)x2-3x+2=0;(3)当x=4时,2x>0;(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?(5)一个数不是合数就是素数;(6)作△ABC≌△A′B′C′;(7)二次函数的图象太美了!(8)4是集合{1,2,3}中的元素.
其中是命题的是________.(填序号)
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 (1)(3)(5)(8)
解析 本题主要考查命题的判断,判断依据:一是陈述句;二是看能否判断真假.(1)是命题,能判断真假;(2)不是命题,因为语句中含有变量x,在没给变量x赋值前,我们无法判断语句的真假;(3)是命题;(4)不是命题,不是陈述句;(5)是命题;(6)不是命题;(7)不是命题;(8)是命题.故答案为(1)(3)(5)(8).
反思与感悟 判断一个语句是否是命题的三个关键点
(1)一般来说,陈述句才是命题,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)语句表述的结构可以判断真假,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题.
(3)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命题;否则就不是命题.
跟踪训练1 下列语句:
①3>2;②作射线AB;③sin 30°=;④x2-1=0有一个根是-1;⑤x<1.
其中是命题的是(  )
A.①②③ B.①③④
C.③ D.②⑤
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 B
解析 ②是祈使句,故不是命题,⑤无法判断真假,故不是命题.
类型二 命题的真假判断
例2 给定下列命题:
①若a>b,则2a>2b;
②命题“若a,b是无理数,则a+b是无理数”是真命题;
③直线x=是函数y=sin x的一条对称轴;
④在△ABC中,若·>0,则△ABC是钝角三角形.
其中为真命题的是________.
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 ①③④
解析 结合函数f(x)=2x的单调性,知①为真命题;而函数y=sin x的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z,故③为真命题;又因为·=||||cos(π-B)=-||||cos B>0,故得cos B<0,从而得B为钝角,所以④为真命题.
反思与感悟 一个命题要么为真命题,要么为假命题,且必居其一.欲判断一个命题为真命题,需进行论证,而要判断一个命题为假命题,只需举出一个反例即可.
跟踪训练2 下列命题中为真命题的是(  )
A.若ax=b,则x=logab
B.若向量a,b,c满足a∥b,b∥c,则a∥c
C.已知数列{an}满足an+1-2an=0,则该数列为等比数列
D.在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足acos B=bcos A,则该三角形为等腰三角形
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 D
解析 对于A,需a>0,且a≠1;对于B,若b=0,其结论不成立;对于C,若数列an=0,则结论不成立.
类型三 命题的结构形式
例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)6是12和18的公约数;
(2)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不等实根;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
解 (1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.
(2)若a>-1,则方程ax2+2x-1=0有两个不等实根,是假命题.
(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题.
(4)已知x,y是非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.
反思与感悟 把一个命题改写成“若p,则q”的形式,首先要确定命题的条件和结论,若条件和结论比较隐晦,则要补充完整,有时一个条件有多个结论,有时一个结论需多个条件,还要注意有的命题改写形式不唯一.
跟踪训练3 已知命题:弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧,若把上述命题改为“若p,则q”的形式,则p是_____________________________________________________,
q是________________________________________________________________________.
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
答案 一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
解析 已知中的命题改为“若p,则q”的形式为“若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧”,
p:一条直线是弦的垂直平分线;
q:这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.
1.下列语句是命题的为(  )
A.x-1=0
B.他还年轻
C.20-5×3=10
D.在2020年前,将有人登上火星
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 C
解析 对于A,不能判断其真假,不构成命题,故A错误;
对于B,因为不能判断真假,故B不正确;
对于C,能判断其真假,构成命题,故C正确;
对于D,不能判定真假,不构成命题,故D错误.故选C.
2.有下列命题:
①若xy=0,则|x|+|y|=0;②若a>b,则a+c>b+c;③矩形的对角线互相垂直.
其中真命题共有(  )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性判断
答案 B
解析 ①由xy=0得到x=0或y=0,所以|x|+|y|=0不一定成立,是假命题;②当a>b时,有a+c>b+c成立,正确,所以是真命题;③矩形的对角线不一定互相垂直,不正确,是假命题.
3.下列说法正确的是(  )
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性判断
答案 D
解析 对于A,改写成“若p,则q”的形式应为“若两个角都是直角,则这两个角相等”;B所给语句不是命题;C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.
4.把命题“当x=2时,x2-3x+2=0”改写成“若p,则q”的形式:____________________.
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
答案 若x=2,则x2-3x+2=0
5.若“方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根”是真命题,则a的取值范围是_________.
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 a<且a≠0
解析 由题意知
解得a<且a≠0.
1.根据命题的定义,可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系,真命题需要给出证明,假命题只需举出一个反例即可.
2.任何命题都是由条件和结论构成的,可以写成“若p,则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变,且不写在条件p中.

一、选择题
1.下列语句为命题的是(  )
A.2x+5≥0 B.求证对顶角相等
C.0不是偶数 D.今天心情真好啊
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 C
解析 结合命题的定义知C为命题.
2.下列语句中是命题的为(  )
①空集是任何集合的子集;
②若x>1,则x>2;
③3比1大吗?
④若平面上两条直线不相交,则它们平行;
⑤=-2;
⑥x>15.
A.①②⑥ B.①②④
C.①④⑤ D.①②④⑤
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 D
解析 根据命题的定义可知①②④⑤是命题.
3.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是(  )
A.两个平面
B.一条直线
C.垂直
D.两个平面垂直于同一条直线
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
答案 D
解析 所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线,那么它们互相平行”,故选D.
4.给出命题:方程x2+ax+1=0没有实数根,若该命题为真命题,则a的一个值可以是(  )
A.4 B.2
C.0 D.-3
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 方程无实数根时,应满足Δ=a2-4<0,故当a=0时符合条件.
5.下列命题为真命题的是(  )
A.若=,则x=y
B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则=
D.若x考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性判断
答案 A
解析 A正确;B中,由x2=1,得x=±1,所以B是假命题;C中,当x=y<0时,结论不成立,所以C是假命题;D中,当x=-1,y=1时,结论不成立,所以D是假命题.故选A.
6.对于任意实数a,b,c,d,有下列命题:
①若a>b,c≠0,则ac>bc;
②若ac2>bc2,则a>b;
③若a>b,则<;
④若a>b>0,c>d,则ac>bd.
其中真命题的个数是(  )
A.1 B.2
C.3 D.4
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性判断
答案 A
解析 当c<0时,①错误;ac2>bc2,显然c2>0,因此②正确;当a>0>b时,③错误;当a=2,b=1,c=-1,d=-2时,显然④错误,故选A.
7.已知条件“直线l与平面α有公共点”,与下列结论:
①直线l上的点都在平面α内;
②直线l上有些点不在平面α内;
③平面α内任意一条直线都不与直线l平行.
构成的命题中假命题的个数是(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性判断
答案 D
解析 直线l与平面α有公共点,则直线l与平面α相交或直线l在平面α内,因此可判断①②③都是假命题,故选D.
8.已知不等式x+3≥0的解集是A,若a∈A是假命题,则a的取值范围是(  )
A.a≥-3 B.a>-3
C.a≤-3 D.a<-3
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 D
解析 ∵x+3≥0,∴A={x|x≥-3},
又∵a∈A是假命题,即a?A,
∴a<-3.
二、填空题
9.把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p,则q”的形式为________________________.
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
答案 若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除
10.给出下列命题:
①在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B;
②函数y=x3在R上既是奇函数又是增函数;
③函数y=f(x)的图象与直线x=a至多有一个交点;
④若将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,则得到函数y=sin的图象.
其中真命题的序号是________.
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性判断
答案 ①②③
解析 ①∵A>B,∴a>b,∴sin A>sin B.
②③正确.
④将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin的图象.
11.如果命题“若x∈A,则x+≥2”为真命题,则集合A可以是______________.(写出一个即可)
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 {x|x>0}
解析 当x>0时,有x+≥2,故A可以为{x|x>0}.
三、解答题
12.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.且指出p和q分别指什么.
(1)乘积为1的两个实数互为倒数;
(2)奇函数的图象关于原点对称;
(3)与同一条直线平行的两个平面平行.
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
解 (1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.
p:两个实数乘积为1;q:这两个实数互为倒数.
(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”,它是真命题.
p:一个函数为奇函数;q:这个函数的图象关于原点对称.
(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”,它是假命题,这两个平面也可能相交.
p:两个平面与同一条直线平行;q:这两个平面平行.
13.已知A:5x-1>a,B:x>1,请选择适当的实数a,使得利用A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
解 若视A为p,则命题“若p,则q”为“若x>,则x>1”.
由命题为真命题可知≥1,解得a≥4;
若视B为p,则命题“若p,则q”为“若x>1,则x>”.
由命题为真命题可知≤1,解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A,B构造出一个真命题,比如这里取a=1,则有真命题“若x>1,则x>”.
四、探究与拓展
14.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 [-3,0]
解析 ∵ax2-2ax-3>0不成立,
∴ax2-2ax-3≤0恒成立.
当a=0时,-3≤0恒成立;
当a≠0时,则有
解得-3≤a<0.
综上,a的取值范围为[-3,0].
15.给出两个命题:
命题甲:关于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集为?;命题乙:函数y=(2a2-a)x为增函数.
(1)甲、乙至少有一个是真命题;
(2)甲、乙有且只有一个是真命题;
分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围.
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
解 (1)甲为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0,
即A=;
乙为真时,2a2-a>1,即B=.
甲、乙至少有一个真命题时,
a的取值范围是.
(2)甲、乙有且只有一个真命题时,有两种情况:当甲真乙假时,所以甲、乙中有且只有一个真命题时,a的取值范围为.
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
学习目标 1.了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题.2.理解四种命题之间的关系,会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假.
知识点一 四种命题的概念
思考 分析下列四个命题,请指出命题(1)的条件和结论分别与其它三个命题的条件和结论间的关系.
(1)若α=β,则sin α=sin β;
(2)若sin α=sin β,则α=β;
(3)若α≠β,则sin α≠sin β;
(4)若sin α≠sin β,则α≠β.
答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.
梳理 (1)四种命题的概念
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么把这样的两个命题叫做互逆命题,如果恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫做互否命题,如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题,把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.
(2)四种命题结构
知识点二 四种命题之间的相互关系
知识点三 四种命题的真假性之间的关系
思考 如果原命题是真命题,那么它的逆命题、否命题、逆否命题一定是真命题吗?
答案 原命题是真命题,其逆否命题一定是真命题;
而逆命题、否命题不一定是真命题.
梳理 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
1.任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题.( √ )
2.两个互逆命题的真假性相同.( × )
3.四种形式的命题中,真命题的个数为0或2或4.( √ )
类型一 四种命题的概念
命题角度1 四种命题的概念
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.
(1)若x∈A,则x∈(A∪B);
(2)若a,b都是偶数,则a+b是偶数;
(3)在△ABC中,若a>b,则A>B.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
解 (1)逆命题:若x∈(A∪B),则x∈A.
否命题:若x?A,则x?(A∪B).
逆否命题:若x?(A∪B),则x?A.
(2)逆命题:若a+b是偶数,则a,b都是偶数.
否命题:a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.
逆否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.
(3)逆命题:在△ABC中,若A>B,则a>b.
否命题:在△ABC中,若a≤b,则A≤B.
逆否命题:在△ABC中,若A≤B,则a≤b.
反思与感悟 (1)写命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和结论,然后写出命题的条件的否定和结论的否定,再根据四种命题的结构写出所求命题.
(2)在写命题时,为了使句子更通顺,可以适当地添加一些词语,但不能改变条件和结论.
跟踪训练1 命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是(  )
A.若loga2<0(a>0,a≠1),则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
B.若loga2≥0(a>0,a≠1),则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
C.若loga2<0(a>0,a≠1),则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数
D.若loga2≥0(a>0,a≠1),则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 直接根据逆否命题的定义,将其条件与结论进行否定,再互换,值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”,而应写成不是减函数.
命题角度2 四种命题的相互关系
例2 若命题p:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题为q,命题q的逆命题为r,则r与p的逆命题的关系是(  )
A.互为逆命题
B.互为否命题
C.互为逆否命题
D.同一命题
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 B
解析 已知命题p:若x+y=0,则x,y互为相反数.
命题p的否命题q为:若x+y≠0,则x,y不互为相反数,
命题q的逆命题r为:若x,y不互为相反数,则x+y≠0,
∴r是p的逆否命题,
∴r是p的逆命题的否命题,故选B.
反思与感悟 判断四种命题之间四种关系的两种方法
(1)利用四种命题的定义判断.
(2)巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.
跟踪训练2 已知命题p的逆命题是“若实数a,b满足a=1且b=2,则a+b<4”,则命题p的否命题是__________________________________.
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 若实数a,b满足a+b≥4,则a≠1或b≠2
解析 由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.
类型二 四种命题的真假判断
例3 下列命题:
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题;
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题;
④“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题.
其中是真命题的是________.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ①②③
解析 ①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题;③“梯形不是平行四边形”本身是真命题,所以其逆否命题也是真命题;④“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题是“若a>b,则ac2>bc2”,是假命题.故填①②③.
反思与感悟 要判断四种命题的真假:首先,要熟练掌握四种命题的相互关系,注意它们之间的相互性;其次,利用其他知识判断真假时,一定要对有关知识熟练掌握.
跟踪训练3 下列命题为真命题的是(  )
①“正三角形都相似”的逆命题;
②“若m>0,则x2+2x-m=0有实根”的逆否命题;
③“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③ B.②③
C.①② D.①③
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 ①原命题的逆命题为“若两个三角形相似,则这两个三角形都是正三角形”,故为假命题.②原命题的逆否命题为“若x2+2x-m=0无实根,则m≤0”.∵方程无实根,∴判别式Δ=4+4m<0,∴m<-1,即m≤0成立,故为真命题.③原命题的逆否命题为“若x不是无理数,则x-不是有理数”.∵x不是无理数,∴x是有理数.又是无理数,∴x-是无理数,不是有理数,故为真命题.正确的命题为②③,故选B.
类型三 等价命题的应用
例4 判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
解 方法一 原命题的逆否命题:已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为?,判断如下:
二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,
令x2+(2a+1)x+a2+2=0,
则Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
因为a<1,所以4a-7<0,
即关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为?.故此命题为真命题.
方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.
因为关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,
所以(2a+1)2-4(a2+2)≥0,
即4a-7≥0,解得a≥>1,
所以原命题为真,故其逆否命题为真.
引申探究 
判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>0的解集为R,则a<”的逆否命题的真假.
解 先判断原命题的真假如下:
因为a,x为实数,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>0的解集为R,且二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,
所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<0,
所以a<.
所以原命题是真命题.
因为互为逆否命题的两个命题同真同假,
所以原命题的逆否命题为真命题.
反思与感悟 (1)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
(2)四种命题中,原命题与其逆否命题是等价的,有相同的真假性,否命题与其逆命题也是互为逆否命题,解题时不要忽视.
跟踪训练4 证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
证明 命题“若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若 a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.
由a=2b+1,得a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2×(2b+1)+1=4b2+4b+1-4b2-4b-2+1=0,
显然原命题的逆否命题为真命题,所以原命题也为真命题.故原命题得证.
1. 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是(  )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 D
解析 原命题为“若p,则q”,则其逆否命题为“若綈q,则綈p”.
∴所求命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
2.下命题中为真命题的是(  )
A.命题“若a,b都大于0,则ab>0”的逆命题
B.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
C.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
D.命题“若tan x=,则x=”的逆否命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析 对于A,命题“若a,b都大于0,则ab>0”的逆命题是“若ab>0,则a,b都大于0”,是假命题,如a,b都为负数时ab>0也成立;对于B,命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题是“若x≠1,则x2+x-2≠0”,是假命题,如x=-2;对于C,命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题是“若x>|y|,则x>y”,是真命题;对于D,命题“若tan x=,则x=”是假命题,故其逆否命题也是假命题.故选C.
3.给出以下四个命题:
①若ab≤0,则a≤0或b≤0;
②若a>b,则am2>bm2;
③在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B;
④在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有实数根.
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是(  )
A.① B.②
C.③ D.④
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析 对于①,原命题:若ab≤0,则a≤0或b≤0,是真命题;逆命题:若a≤0或b≤0,则ab≤0,是假命题;否命题:若ab>0,则a>0且b>0,是假命题;逆否命题:若a>0且b>0,则ab>0,是真命题.对于②,原命题:若a>b,则am2>bm2,是假命题;逆命题:若am2>bm2,则a>b,是真命题;否命题:若a≤b,则am2≤bm2,是真命题;逆否命题:若am2≤bm2,则a≤b,是假命题.对于③,原命题:在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B,是真命题;逆命题:在△ABC中,若A=B,则sin A=sin B,是真命题;否命题:在△ABC中,若sin A≠sin B,则A≠B,是真命题;逆否命题:在△ABC中,若A≠B,则sin A≠sin B,是真命题.对于④,原命题:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有实数根,是假命题;逆命题:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若方程有实数根,则b2-4ac<0,是假命题;否命题:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac≥0,则方程无实数根,是假命题;逆否命题:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若方程无实数根,则b2-4ac≥0,是假命题.综上,以上命题中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是③.故选C.
4.下列命题中:
①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
②若一个四边形对角互补,则它内接于圆;
③正方形的四条边相等;
④圆内接四边形对角互补;
⑤对角不互补的四边形不内接于圆;
⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.
其中互为逆命题的有________;互为否命题的有________;互为逆否命题的有________.
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 ②和④,③和⑥ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和⑤
解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”;命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”,再依据四种命题间的关系便不难判断.
5.已知命题“若m-1考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 [1,2]
解析 命题:“若m-1∴由得1≤m≤2.
1.写四种命题可以按以下步骤进行:
(1)找出命题的条件p和结论q.
(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q.
(3)按照四种命题的结构写出所有命题.
2.判断命题的真假可以根据互为逆否命题的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理论基础.
一、选择题
1.已知a,b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥”的否命题是(  )
A.若a2+b2<,则a+b≠1
B.若a+b=1,则a2+b2<
C.若a+b≠1,则a2+b2<
D.若a2+b2≥,则a+b=1
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 C
解析 “a+b=1”,“a2+b2≥”的否定分别是“a+b≠1”,“a2+b2<”,故否命题为“若a+b≠1,则a2+b2<”.
2.命题“若(綈p),则q”的逆否命题为(  )
A.若p,则(綈q) B.若(綈q),则(綈p)
C.若(綈q),则p D.若q,则p
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 C
3.命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的(  )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.无关命题
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 A
4.若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是(  )
A.互逆命题 B.互否命题
C.互为逆否命题 D.以上都不正确
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 A
解析 设p为“若A,则B”,那么q为“若綈A,则綈B”,r为“若綈B,则綈A”.故q与r为互逆命题.
5.有下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.
其中真命题为(  )
A.①② B.②③
C.①③ D.③④
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析 命题①:“若x,y互为相反数,则x+y=0”是真命题;命题②:可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”,是假命题,因此命题②是假命题;命题③:“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”是真命题,则其逆否命题也为真命题;命题④是假命题.
6.已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”是真命题,故其逆否命题是真命题.
该命题的逆命题为“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”是假命题,故其否命题也是假命题,故选B.
7.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,p的逆命题为t,则s是t的(  )
A.逆否命题 B.逆命题
C.否命题 D.原命题
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 C
解析 特例:p:△ABC中,若∠A=∠B,则a=b;
r:△ABC中,若∠A≠∠B,则a≠b;
s:△ABC中,若a≠b,则∠A≠∠B;
t:△ABC中,若a=b,则∠A=∠B.
8.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是(  )
A.原命题真,逆命题假
B.原命题假,逆命题真
C.原命题与逆命题均为真命题
D.原命题与逆命题均为假命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 因为原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a,b都小于1,则a+b<2”,显然为真,所以原命题为真;原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,是假命题,反例如a=1.2,b=0.3.
二、填空题
9.“若x,y全为零,则xy=0”的否命题为________________________.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 若x,y不全为零,则xy≠0
解析 由于“全为零”的否定为“不全为零”,所以“若x,y全为零,则xy=0”的否命题为“若x,y不全为零,则xy≠0”.
10.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为______________,是________命题(填“真”或“假”).
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
答案 已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0 真
11.给定下列命题:
①“当AB=AC时,△ABC是等腰三角形”的逆否命题;
②“等腰三角形都相似”的逆命题;
③“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题;
④“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题.
其中真命题的序号是________.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ①
解析 显然①为真;②为假;对于③中,原命题“若x-是有理数,则x是无理数”为假命题,所以其逆否命题为假命题;对于④中,“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1,则a+b≤2”为假命题.
12.命题“如果a2+2ab+b2+a+b-2≠0,那么a+b≠1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是________.
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 1
解析 a2+2ab+b2+a+b-2≠0化简得(a+b-1)(a+b+2)≠0,即a+b≠1且a+b≠-2.
命题“如果a2+2ab+b2+a+b-2≠0,那么a+b≠1”的逆命题为“如果a+b≠1,那么a2+2ab+b2+a+b-2≠0”,为假命题,a+b=-2也可以使a2+2ab+b2+a+b-2=0;否命题与逆命题同真同假,故其否命题为假命题;逆否命题为“如果a+b=1,那么a2+2ab+b2+a+b-2=0”,真命题.
三、解答题
13.判断命题:“若b≤-1,则关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题的真假.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题的真假即可.
方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,
因为b≤-1,所以Δ≥4>0,
故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真.
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2-2bx+b2+b=0无实根,则b>-1”.
方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,
因为方程无实根,所以Δ<0,即-4b<0,所以b>0,所以b>-1成立,即原命题的逆否命题为真.
四、探究与拓展
14.原命题为“若A.真,真,真 B.假,假,真
C.真,真,假 D.假,假,假
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 原命题与其逆命题都是真命题,所以其逆否命题和否命题也都是真命题,故选A.
15.设m,n∈R,证明:若m2+n2=2,则m+n≤2.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
证明 将“若m2+n2=2,则m+n≤2”视为原命题,
则它的逆否命题为“若m+n>2,则m2+n2≠2”.
因为m+n>2,所以m2+n2≥(m+n)2>×22=2.
所以m2+n2≠2,所以原命题得证.
§1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用,培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.
知识点一 充分条件与必要条件
命题真假
若“p,则q”为真命题
“若p,则q”为假命题
推出关系
p?q
p?q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
知识点二 充分条件、必要条件与集合的关系
思考 “x<2”是“x<3”的__________条件,“x<3”是“x<2”的__________条件.
答案 充分 必要
梳理 A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}
A?B
p是q的充分条件
q是p的必要条件
A?B
p是q的不充分条件
q是p的不必要条件
B?A
q是p的充分条件
p是q的必要条件
B?A
q是p的不充分条件
p是q的不必要条件
特别提醒:(1)p?q,q?p,p是q的充分不必要条件;
(2)p?q,q?p,p是q的必要不充分条件;
(3)p?q,q?p,p是q的既不充分也不必要条件.
1.若p是q的充分条件,则p是唯一的.( × )
2.若q是p的必要条件,则p是q的充分条件( √ )
3.“若綈p,则綈q”是真命题,则p是q的必要条件.( √ )
4.若q不是p的必要条件,则“p?q”成立.( √ )
类型一 充分条件与必要条件的概念
例1 (1)判断下列说法中,p是q的充分条件的是____________________________________.
①p:“x=1”,q:“x2-2x+1=0”;
②已知α,β是不同的两个平面,直线a?α,直线b?β,p:a与b无公共点,q:α∥β;
③设a,b是实数,p:“a+b>0”,q:“ab>0”.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 ①
解析 对①,p?q;②p? q;③p? q,故填①.
(2)下列各题中,p是q的必要条件的是________.
①p:x2>2 016,q:x2>2 015;
②p:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R,q:0③已知a,b为正实数,p:a>b>1,q:log2a>log2b>0.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 必要条件的判断
答案 ②③
解析 ①q?p;②p:0≤a<1,故q?p;
③log2a>log2b>0?a>b>1,
∴q?p,故填②③.
引申探究 
例1(1)中p是q的必要条件的是________.
答案 ①②
解析 ①x2-2x+1=0?x=1,即q?p;
②?a与b无公共点,即q?p;
③q?p.故填①②.
反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法
①确定谁是条件,谁是结论;
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为结论的充分条件,否则就不是充分条件;
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为结论的必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法
①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
跟踪训练1  (1)a>b的一个充分不必要条件是(  )
A.a2>b2 B.|a|>|b|
C.< D.a-b>1
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 D
解析 a-b>1?a-b>0而a-b>0?a-b>1,故选D.
(2)如果命题“若p,则q”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则p是q的________条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”)
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 必要不充分
解析 由逆命题与否命题是等价命题知q?p,
由原命题与逆否命题的等价性得p?q,
故p是q的必要不充分条件.
类型二 充分条件与必要条件的应用
例2 已知p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0;q:实数x满足x2-x-6≤0.若綈p是綈q的必要条件,求实数a的取值范围.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 由x2-4ax+3a2<0且a<0,得3a所以p:3a由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,
所以q:-2≤x≤3,即集合B={x|-2≤x≤3}.
因为綈q?綈p,所以p?q,所以A?B,
所以解得-≤a<0,
所以实数a的取值范围是.
引申探究 
本例中条件“a<0”改为“a>0”,若綈p是綈q的充分条件,求实数a的取值范围.
解 由x2-4ax+3a2<0且a>0,得a所以p:a即集合A={x|a由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,
所以q:-2≤x≤3,
即集合B={x|-2≤x≤3}.
因为綈p?綈q,所以q?p,所以B?A,
所以解得a∈?.
反思与感悟 (1)设集合A={x|x满足p},B={x|x满足q},则p?q可得A?B;q?p可得B?A;p?q可得A=B,若p是q的充分不必要条件,则A?B.
(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系,要注意范围的临界值.
跟踪训练2 已知p:x<-2或x>10,q:x2-2x+1-a2>0,若p是q的必要条件,求负实数a的取值范围.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 ∵a<0,解不等式得q:x<1+a或x>1-a,
∵p是q的必要条件,∴q?p,
∴解得a≤-9.
故负实数a的取值范围是(-∞,-9].
1.“x>0”是“x≠0”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分条件 D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 ∵x>0?x≠0,而x≠0?x>0,
∴x>0是x≠0的充分不必要条件.
2.设向量a=(2,x-1),b=(x+1,4),则“x=3”是“a∥b”的(  )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件,又不是必要条件
D.无法判断
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 A
解析 ∵a∥b,∴(x-1)(x+1)-8=0,
解得x=±3,
∴x=3是a∥b的充分条件.
3.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的(  )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.无法判断
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 A
解析 当a=1时,|a|=1成立,
但|a|=1时,a=±1,所以a=1不一定成立.
∴“a=1”是“|a|=1”的充分条件.
4.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:
(1)“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________.
(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 (1)必要条件 (2)充分条件
5.是否存在实数p,使得x2-x-2>0的一个充分条件是4x+p<0,若存在,求出p的取值范围,否则,说明理由.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 由x2-x-2>0,解得x>2或x<-1.
令A={x|x>2或x<-1},
由4x+p<0,得B=.
由题意得B?A,即-≤-1,即p≥4,
此时x<-≤-1?x2-x-2>0,
∴当p≥4时,“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的一个充分条件.
1.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法:直接利用定义进行判断.
(2)等价法:“p?q”表示p等价于q,等价命题可以进行转换,当我们要证明p成立时,就可以去证明q成立.
(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B,那么若A?B,则p是q的充分条件;若B?A,则p是q的必要条件;若A=B,则p既是q的充分条件又是q的必要条件.
2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
一、选择题
1.“x为无理数”是“x2为无理数”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分条件 D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 B
解析 当x2为无理数时,x为无理数;当x为无理数时,x2不一定为无理数.
2.设a,b∈R,则“a+b>2”是“a>1且b>1”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分条件 D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 B
3.“x>0”是“x2+x>0”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.必要条件 D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 由x2+x>0?x<-1或x>0,知A符合要求.
4.“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.必要条件 D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 k=1?圆心到直线x-y+k=0的距离d=<1,即相交,
而直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交D?k=1,故选A.
5.设x∈R,则x>π的一个必要不充分条件是(  )
A.x>4 B.x<4
C.x>3 D.x<3
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 C
6.已知命题“若p,则q”,假设其逆命题为真,则p是q的(  )
A.充分条件
B.必要条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 必要条件的判断
答案 B
解析 原命题的逆命题:“若q,则p”,它是真命题,即q?p,所以p是q的必要条件.
7.在△ABC中,若p:A=60°,q:sin A=,则p是q的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.必要条件 D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 因为sin 60°=,故p?q,但sin A=时,A=60°或120°.
8.给出三个条件:
①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2.
其中能成为x>y的充分条件的是(  )
A.①②③ B.②③
C.③ D.①
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 D
解析 ①由xt2>yt2可知t2>0,所以x>y,故①对;
②当t>0时,则x>y,当t<0时,则x③由x2>y2,得x>y或x9.集合A=,B={x|-aA.[-2,0) B.(0,2]
C.(-2,2) D.[-2,2]
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 C
解析 A={x|(x+1)(x-1)<0}={x|-1B={x|b-a因为a=1,所以B={x|b-1若A∩B=?,则b+1≤-1或b-1≥1,
即b≤-2或b≥2,
所以A∩B≠?时,-2二、填空题
10.设A,B是非空集合,则“A∩B=A”是“A=B”的______条件.(填“充分”“必要”)
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 必要条件的判断
答案 必要
解析 由A=B?A∩B=A,A∩B=A?A=B,
可知“A∩B=A”是“A=B”的必要条件.
11.下列说法正确的是________.(填序号)
①“x>0”是“x>1”的必要条件;
②已知向量m,n,则“m∥n”是“m=n”的充分条件;
③“a3>b3”是“a>b”的必要条件;
④在△ABC中,“a>b”不是“A>B”的充分条件.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 必要条件的判断
答案 ①③
解析 ①中,当x>1时,有x>0,所以①正确;
②中,当m∥n时,m=n不一定成立,所以②不正确;
③a>b能推出a3>b3,即a3>b3是a>b的必要条件,所以③正确;
④中,当a>b时,有A>B,所以“a>b”是“A>B”的充分条件,所以④不正确.
12.命题p:|x|0),命题q:x2-x-6<0,若p是q的充分条件,则a的取值范围是________,若p是q的必要条件,则a的取值范围是________.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 (0,2] [3,+∞)
解析 p:-a若p是q的充分条件,则(-a,a)?(-2,3),
∴∴a≤2,
又a>0,∴a的取值范围是(0,2].
若p是q的必要条件,
则(-2,3)?(-a,a),
∴∴a≥3,
∴a的取值范围是[3,+∞).
三、解答题
13.已知p:x2-2x-3<0,若-ab恒成立的实数b的取值范围.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 由于p:x2-2x-3<0?-1-a0).
依题意,得{x|-10),
所以
解得a≥2,
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2,
即(-∞,2).
四、探究与拓展
14.若“a≥b?c>d”和“a考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 充分
解析 因为“a≥b?c>d”为真,
所以它的逆否命题“c≤d?a又“a所以“c≤d?a故“c≤d”是“e≤f”的充分条件.
15.已知命题p:对数loga(-2t2+7t-5)(a>0,且a≠1)有意义,q:关于实数t的不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0.
(1)若命题p为真,求实数t的取值范围;
(2)若命题p是q的充分条件,求实数a的取值范围.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 (1)因为命题p为真,则-2t2+7t-5>0,
解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为命题p是q的充分条件,
所以是不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0的解集的子集,
因为方程t2-(a+3)t+(a+2)=0的两根为1和a+2,
所以只需a+2≥,解得a≥,
即实数a的取值范围为.
1.2.2 充要条件
学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习,弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断.
知识点一 充要条件的概念
(1)定义:若p?q且q?p,则记作p?q,此时p是q的充分必要条件,简称充要条件.
(2)条件与结论的等价性:如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
知识点二 常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若p,则q”,逆命题为“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形:
原命题
逆命题
p与q的关系


p是q的充要条件
q是p的充要条件


p是q的充分不必要条件
q是p的必要不充分条件


p是q的必要不充分条件
q是p的充分不必要条件


p是q的既不充分也不必要条件
q是p的既不充分也不必要条件
知识点三 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B,则p是q的充分条件,若A?B,则p是q的充分不必要条件
若B?A,则p是q的必要条件,若B?A,则p是q的必要不充分条件
若A=B,则p,q互为充要条件
若A?B且B?A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
1.若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.( √ )
2.若綈q是p的充要条件,则綈p是q的充要条件.( √ )
类型一 充要条件的判断
例1 (1)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的(  )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 C
解析 分别判断x>y?x>|y|与x>|y|?x>y是否成立,从而得到答案.
当x=1,y=-2时,x>y,但x>|y|不成立;
若x>|y|,因为|y|≥y,所以x>y.
所以x>y是x>|y|的必要不充分条件.
(2)下列所给的p,q中,p是q的充要条件的为________.(填序号)
①在△ABC中,p:∠A>∠B,q:sin A>sin B;
②若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;
③p:|x|>3,q:x2>9.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 ①②③
解析 ①在△ABC中,有∠A>∠B?sin A>sin B,
所以p是q的充要条件.
②若a2+b2=0,则a=b=0,即p?q;
若a=b=0,则a2+b2=0,即q?p,故p?q,
所以p是q的充要条件.
③由于p:|x|>3?q:x2>9,所以p是q的充要条件.
反思与感悟 判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度:判断p是q的充分必要条件,主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.若p?q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q?p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.
(2)集合角度:关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p?q及q?p的真假时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合?大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.
跟踪训练1 (1)a,b中至少有一个不为零的充要条件是(  )
A.ab=0 B.ab>0
C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 D
解析 a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.
(2)“x>1”是“(x+2)<0”的(  )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 B
解析 由x>1?x+2>3?(x+2)<0, (x+2)<0?x+2>1?x>-1,故“x>1”是“(x+2)<0”成立的充分不必要条件.故选B.
类型二 由条件关系求参数取值范围
例2 已知集合A是不等式x2-8x-20≤0的解集,集合B是不等式(x-1-a)(x-1+a)>0(a>0)的解集.p:x∈A,q:x∈B,若p是綈q的充分不必要条件,求a的取值范围.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 由x2-8x-20≤0,解得-2≤x≤10,
∴A={x|-2≤x≤10},
由(x-1-a)(x-1+a)>0,得x<1-a或x>a+1,
∴B={x|x<1-a或x>1+a},
则p:-2≤x≤10,綈q:1-a≤x≤1+a,
∵p是綈q的充分不必要条件,
∴或
解得a≥9,
∴a的取值范围是[9,+∞).
引申探究 
本例中若p,q不变,是否存在实数a,使p是綈q的充要条件,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
解 ∵p:-2≤x≤10,綈q:1-a≤x≤1+a,
若p是綈q的充要条件,则无解.
故不存在实数a使得p是q的充要条件.
反思与感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤
(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系.
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.
跟踪训练2 若“x2>1”是“x考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
答案 -1
解析 因为x2>1,
所以x<-1或x>1.
又因为“x2>1”是“x所以x1但x2>1?x如图所示:
所以a≤-1,所以a的最大值为-1.
类型三 充要条件的探求与证明
例3 (1)“函数y=x2-2x-a没有零点”的充要条件是________.
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
答案 a<-1
解析 函数没有零点,即方程x2-2x-a=0无实根,所以有Δ=4+4a<0,解得a<-1.反之,若a<-1,则Δ<0,方程x2-2x-a=0无实根,即函数没有零点.
故“函数y=x2-2x-a没有零点”的充要条件是a<-1.
(2)求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 充分性:∵ac<0,∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,
∴方程一定有两个不等实根,
设两实根为x1,x2,则x1x2=<0,
∴方程的两根异号,
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,
设两实根为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2=<0,且Δ=b2-4ac>0,
即ac<0.
综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
反思与感悟 (1)一般地,证明“p成立的充要条件为q”,在证充分性时,应以q为“已知条件”,p是要证明的“结论”,即q?p;证明必要性时,则是以p为“已知条件”,q是要证明的“结论”,即p?q.
(2)求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们转化的时候思维要缜密.
跟踪训练3 (1)已知直线l1:x+ay+6=0和直线l2:(a-2)x+3y+2a=0,则l1∥l2的充要条件是a=________.
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
答案 -1
解析 由1×3-a×(a-2)=0,得a=3或-1,
而当a=3时,两条直线重合,所以a=-1.
(2)已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:<的充要条件是xy>0.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 (1)必要性:由<,
得-<0,即<0,
又由x>y,得y-x<0,所以xy>0.
(2)充分性:由xy>0及x>y,
得>,即<.
综上所述,<的充要条件是xy>0.
1.“x2>2 017”是“x2>2 016”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
2.a<0,b<0的一个必要条件为(  )
A.a+b<0 B.a+b>0
C.>1 D.<-1
考点 充要条件的判断
题点 识别四种条件
答案 A
解析 a+b<0?a<0,b<0,而a<0,b<0?a+b<0.
3.下列命题为假命题的是(  )
A.在△ABC中,B=60°是△ABC的三内角A,B,C成等差数列的充要条件
B.已知向量a=(x,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是x=-1
C.在△ABC中,A=B是sin A=sin B的充要条件
D.lg x>lg y是>的充要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 D
解析 选项A中,由B=60°?A+C=120°?A+C=2B?角A,B,C成等差数列;
而角A,B,C成等差数列?A+C=2B,
又A+B+C=180°,所以3B=180°,
所以B=60°,故命题为真.
选项B中,a⊥b?a·b=0,
即2x+2=0,得x=-1,故B正确.
选项C中,在△ABC中,A=B?sin A=sin B,
反之,若sin A=sin B,
因为A与B不可能互补(因为三角形的三个内角和为180°),所以只有A=B.
故A=B是sin A=sin B的充要条件.
选项D中,取x=2,y=0,
有>,但lg y却无意义,所以是假命题.
4.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是________________.
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
答案 m=-4或m=0
解析 圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离为,
即=,即|2+m|=2,解得m=-4或m=0.
5.已知p:3x+m<0,q:x2-2x-3>0,若p是q的一个充分不必要条件,求m的取值范围.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 由3x+m<0,得x<-,∴p:A=.
由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,
∴q:B={x|x<-1或x>3}.
∵p?q而q?p,∴A?B,∴-≤-1,
∴m≥3,即m的取值范围是[3,+∞).

1.充要条件的判断有三种方法:定义法、命题等价法、集合法.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的,在证明时要注意两种叙述方式的区别:
①p是q的充要条件,则由p?q证的是充分性,由q?p证的是必要性;
②p的充要条件是q,则由p?q证的是必要性,由q?p证的是充分性.
(2)探求充要条件,可先求出必要条件,再证充分性;如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件.
一、选择题
1.“x,y均为奇数”是“x+y为偶数”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 当x,y均为奇数时,一定可以得到x+y为偶数;但当x+y为偶数时,不一定必有x,y均为奇数,也可能x,y均为偶数.
2.设p:x<3,q:-1A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 C
解析 ∵x<3?-1∴p是q的必要不充分条件,故选C.
3.设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 D
解析 当数列{an}的首项a1<0时,若q>1,则数列{an}是递减数列;当数列{an}的首项a1<0时,要使数列{an}为递增数列,则01”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.
4.在下列三个结论中,正确的有(  )
①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;
②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件;
③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 C
解析 ①中,x2>4?x>2或x<-2,
x3<-8?x<-2,
由x<-2?x>2或x<-2,
x>2或x<-2?x<-2,
∴x2>4是x3<-8的必要不充分条件;
②中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件;③正确.故①③正确.
5.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是(  )
A.m=-2 B.m=2
C.m=-1 D.m=1
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
答案 A
解析 ∵f(x)=x2+mx+1=2+1-,
∴f(x)的图象的对称轴为x=-,由题意得-=1,
∴m=-2.
6.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么(  )
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 因为甲是乙的必要条件,所以乙?甲.
又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,
所以丙?乙,但乙D?丙,如图.
综上,有丙?甲,但甲D?丙,
既丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
7.使|x|=x成立的一个必要不充分条件是(  )
A.x≥0 B.x2≥-x
C.log2(x+1)>0 D.2x<1
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 B
解析 ∵|x|=x?x≥0,
∴选项A是充要条件,选项C,D均不符合题意.
对于选项B,∵由x2≥-x得x(x+1)≥0,
∴x≥0或x≤-1.
故选项B是使|x|=x成立的必要不充分条件.
8.设条件p:|x-2|<3,条件q:0A.(0,5] B.(0,5)
C.[5,+∞) D.(5,+∞)
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
答案 A
解析 由|x-2|<3,得-3即-1因为q:0所以要使p是q的必要不充分条件,则0二、填空题
9.设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).
考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 充分不必要
解析 a=1?N?M,
N?M?a2=1或2,
∴N?M?a=1,
故“a=1”是“N?M”的充分不必要条件.
10.设计如图所示的三个电路图,条件p:“开关S闭合”;条件q:“灯泡L亮”,则p是q的充分不必要条件的电路图是________.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 (1)
11.给出下列三个命题:
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件;
②“α>β”是“cos α③“a=0”是“函数f(x)=x3+ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.
其中正确命题的序号为________.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 ③
解析 ①∵函数y=3x是R上的增函数,∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件,故①错误;②∵2π>,则cos 2π>cos ,∴α>β?cos αβ,
∴“α>β”是“cos α12.关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要条件是________.
考点 充要条件的概念及判断
题点 探求充要条件
答案 m=0
解析 当m=0时,原方程即为x=2,满足条件;
当m≠0时,有=2,解得m=1或m=-,
但Δ=(m+1)2-8m2,
当m=1及m=-时,均使Δ<0,
故充要条件是m=0.
三、解答题
13.已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.
(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5(3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 由M∩P={x|5(1)M∩P={x|5(2)M∩P={x|5(3)若a=-5,显然M∩P=[-5,-3)∪(5,8]是M∩P={x|5故a<-3时为必要不充分条件.
四、探究与拓展
14.已知p:≤0,q:4x+2x-m≤0,p是q的充分条件,则实数m的取值范围是(  )
A.[6,+∞) B.(-∞,2+]
C.[2,+∞) D.(2+,+∞)
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 A
解析 由≤0,得0由4x+2x-m≤0,得4x+2x≤m.
因为4x+2x=(2x)2+2x=2-,
要使p是q的充分条件,
则当0又当x=1时,4x+2x有最大值6,所以m≥6.故选A.
15.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 充分性:当q=-1时,a1=p-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),
当n=1时也成立.
∵p≠0且p≠1,∴==p,
即数列{an}为等比数列.
必要性:当n=1时,a1=S1=p+q;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),
∵p≠0且p≠1,∴==p.
∵{an}为等比数列,
∴=p,即a2=p2+pq=p2-p,解得q=-1.
故数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
§1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
学习目标 1.理解全称量词、全称命题的定义.2.理解存在量词、特称命题的定义.3.会判断一个命题是全称命题还是特称命题,并会判断它们的真假.
知识点一 全称量词与全称命题
思考 观察下列命题:
(1)所有偶函数的图象都关于y轴对称;
(2)每一个四边形都有外接圆;
(3)任意实数x,x2≥0.
以上三个命题有什么共同特征?
答案 都使用了表示“全部”的量词,如“所有”、“每一个”、“任意”.
梳理 
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号
?
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x,有p(x)成立”,可用符号简记为“?x∈M,p(x)”
知识点二 存在量词与特称命题
思考 观察下列命题:
(1)有些矩形是正方形;
(2)存在实数x,使x>5;
(3)至少有一个实数x,使x2-2x+2<0.
以上三个命题有什么共同特征?
答案 都使用了表示“存在”的量词,如“有些”、“存在”、“至少有一个”.
梳理 
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
?
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为“?x0∈M,p(x0)”
1.“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( × )
2.全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( √ )
3.全称命题中一定含有全称量词,特称命题中一定含有存在量词.( × )
类型一 全称命题与特称命题的辨析
例1 判断下列语句是全称命题,还是特称命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有的向量方向不定;
(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1;
(4)矩形的对角线不相等;
(5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 识别全称命题
解 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称命题.
(2)含有存在量词“有的”,故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.
(4)可以改为所有矩形的对角线不相等,故为全称命题.
(5)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题.
反思与感悟 判定命题是全称命题还是特称命题,主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意的是有些全称命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.
跟踪训练1 将下列命题用“?”或“?”表示.
(1)实数的平方是非负数;
(2)方程ax2+2x+1=0(a<0)至少存在一个负根;
(3)若直线l垂直于平面α内任一直线,则l⊥α.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题的符号表示
解 (1)?x∈R,x2≥0.
(2)?x0<0,ax+2x0+1=0(a<0).
(3)若?a?α,l⊥a,则l⊥α.
类型二 全称命题与特称命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假.
(1)?α,β,cos(α-β)=cos α-cos β;
(2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数;
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示;
(4)存在一个实数x0,使等式x+x0+8=0成立.
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题真假的判断
解 (1)真命题,例如α=,β=,符合题意.
(2)真命题,函数f(x)=0既是偶函数又是奇函数.
(3)假命题,如:边长为1的正方形的对角线长为,它的长度就不是有理数.
(4)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.
反思与感悟 要判定全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.
要判定特称命题“?x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题就是假命题.
跟踪训练2 判断下列命题的真假:
(1)有一些奇函数的图象过原点;
(2)?x0∈R,2x+x0+1<0;
(3)?x∈R,sin x+cos x≤.
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题真假的判断
解 (1)该命题中含有“有一些”,是特称命题.如y=x是奇函数,其图象过原点,故该命题是真命题.
(2)该命题是特称命题.
∵2x+x0+1=22+≥>0,
∴不存在x0∈R,使2x+x0+1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称命题.
∵sin x+cos x=sin≤恒成立,
∴对任意实数x,sin x+cos x≤都成立,故该命题是真命题.
类型三 由含量词的命题求参数
例3 对于任意实数x,不等式sin x+cos x>m恒成立,求实数m的取值范围.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 恒成立求参数的范围
解 令y=sin x+cos x,x∈R,
则y=sin x+cos x=sin∈[-,],
因为?x∈R,sin x+cos x>m恒成立,
所以只要m<-即可.
所以所求m的取值范围是(-∞,-).
引申探究 
若本例条件变为:“存在实数x0,使不等式sin x0+cos x0>m有解”,求实数m的取值范围.
解 令y=sin x+cos x,x∈R,
因为y=sin x+cos x=sin∈[-,].
又因为?x0∈R,sin x0+cos x0>m有解,
所以只要m<即可,
所以所求m的取值范围是(-∞,).
反思与感悟 求解含有量词的命题中参数的范围的策略
(1)对于全称命题“?x∈M,a>f(x)(或af(x)max(或a(2)对于特称命题“?x0∈M,a>f(x0)(或af(x)min(或a跟踪训练3 已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若至少存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
解 方法一 (1)不等式m+f(x)>0可化为
m>-f(x),
即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,
只需m>-4即可.
故存在实数m使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时需m>-4.
(2)不等式m-f(x0)>0,可化为m>f(x0),
若至少存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立,只需m>f(x)min.
又f(x)=(x-1)2+4,所以f(x)min=4,所以m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4,+∞).
方法二 (1)要使不等式m+f(x)>0对?x∈R恒成立,即x2-2x+5+m>0对?x∈R恒成立,
所以Δ=(-2)2-4(5+m)<0,解得m>-4,
所以当m>-4时,m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立.
(2)若至少存在一个实数x0,使m-f(x0)>0成立,
即x-2x0+5-m<0成立.
只需Δ=(-2)2-4(5-m)>0即可,
解得m>4.
所以实数m的取值范围是(4,+∞).
1.下列命题中,是正确的全称命题的是(  )
A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0
B.菱形的两条对角线相等
C.?x0,=x0
D.对数函数在定义域上是单调函数
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 识别全称命题
答案 D
2.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是(  )
A.存在一个α,使tan(90°-α)=tan α
B.存在实数x0,使sin x0=
C.对一切α,sin(180°-α)=sin α
D.对任意α,β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题真假的判断
答案 A
3.下列命题正确的是(  )
A.?x∈Z,x4≥1
B.?x0∈Q,x=3
C.?x∈R,x2-x-1>0
D.?x0∈N,|x0|≤0
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题真假的判断
答案 D
解析 对于A,如x=0,不合题意;
对于B,x=±,错误;
对于C,如x=0时,-1<0,错误.故选D.
4.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述为_____________.
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题的符号表示
答案 ?x0<0,(1+x0)(1-9x0)>0
5.命题:3mx2+mx+1>0恒成立是真命题,求实数m的取值范围.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 恒成立求参数的范围
解 “3mx2+mx+1>0恒成立”是真命题,需对m进行分类讨论.
当m=0时,1>0恒成立,所以m=0满足题意;
当m>0,且Δ=m2-12m<0,
即00恒成立,
所以0综上所述,实数m的取值范围是0≤m<12.
1.判断命题是全称命题还是特称命题,主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词,有些全称命题虽然不含全称量词,可以根据命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称命题是假命题.
3.要确定一个特称命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该特称命题是假命题.
一、选择题
1.给出下列命题:
①存在实数x0>1,使x>1;②全等的三角形必相似;③有些相似三角形全等;④至少有一个实数a,使ax2-ax+1=0的根为负数.
其中特称命题的个数为(  )
A.1 B.2
C.3 D.4
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 识别特称命题
答案 C
解析 由存在量词及特称命题的定义知①③④为特称命题.
2.下列全称命题中真命题的个数为(  )
①负数没有对数;
②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;
③二次函数f(x)=x2-ax-1与x轴恒有交点;
④?x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.
A.1 B.2 C.3 D.4
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题真假的判断
答案 C
解析 ①②③为真命题.
3.给出以下命题:
①?x∈R,有x4>x2;
②?α∈R,使得sin 3α=3sin α;
③?a∈R,对?x∈R,使得x2+2x+a<0.
其中真命题的个数为(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 特称命题真假的判断
答案 B
解析 ①中,当x=0时,x4=x2,故为假命题;②中,当α=kπ(k∈Z)时,sin 3α=3sin α成立,故为真命题;③中,由于函数f(x)=x2+2x+a的图象开口向上,一定存在x∈R,使x2+2x+a≥0,故为假命题.故选B.
4.有下列四个命题:①?x∈R,2x2-3x+4>0;②?x∈{1,-1,0},2x+1>0;③?x0∈N,x≤x0;④?x0∈N*,x0为29的约数,其中真命题的个数为(  )
A.1 B.2
C.3 D.4
考点 全称命题与特称命题的真假判断
题点 全称命题与特称命题的真假判断
答案 C
解析 ①中,2x2-3x+4=22+>0,
故①正确;
②中,当x=-1时,2x+1<0,故②不正确;
③中,当x0=0或1时,x≤x0,故③正确;
④中,?29∈N*,29为29的约数,④正确.
∴真命题的个数为3.
5.已知命题p:?x0∈R,x+1<2x0;命题q:不等式x2-2x-1>0恒成立,那么(  )
A.“綈p”是假命题 B.q是真命题
C.“p∨q”是假命题 D.“p∧q”是真命题
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 C
解析 根据基本不等式,x2+1≥2x,所以命题p是假命题.
因为当x=0时,x2-2x-1=-1<0,所以命题q是假命题.
所以綈p是真命题,“p∨q”是假命题,“p∧q”是假命题,所以C正确.
6.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x1满足关于x的方程2ax+b=0,则下列命题中为假命题的是(  )
A.?x0∈R,f(x0)≤f(x1)
B.?x0∈R,f(x0)≥f(x1)
C.?x∈R,f(x)≤f(x1)
D.?x∈R,f(x)≥f(x1)
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题真假的判断
答案 C
解析 ∵x1是方程2ax+b=0的解,
∴x1=-,
又∵a>0,
∴f(x1)是y=f(x)的最小值,
∴f(x)≥f(x1)恒成立.
7.命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(  )
A.a≥4 B.a≤4
C.a≤5 D.a≥5
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 恒成立求参数的范围
答案 D
解析 当该命题是真命题时,只需a≥(x2)max,x∈[1,2].
又y=x2在[1,2]上的最大值是4,所以a≥4.
因为a≥4?a≥5,a≥5?a≥4,故选D.
8.在R上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1对任意x成立,则(  )
A.-1C.-考点 全称量词及全称命题的应用
题点 求参数的范围
答案 C
解析 应用新定义运算可得(x-a)?(x+a)=(x-a)·[1-(x+a)]
=-x2+x-a+a2<1恒成立,
即x2-x+a-a2+1>0恒成立,
a2-a而x2-x+1=2+≥,
∴a2-a<,即-二、填空题
9.命题“末位是0的整数可以被5整除”________全称命题.(填“是”或“不是”)
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 识别全称命题
答案 是
解析 原命题可写为“所有末位为0的整数都可以被5整除”.
10.下列命题:
①存在x0<0,x-2x0-3=0;
②对于一切实数x<0,都有|x|>x;
③已知an=2n,bm=3m,对于任意n,m∈N*,an≠bm.
其中,所有真命题的序号为________.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题真假的判断
答案 ①②
解析 因为x2-2x-3=0的根为x=-1或3,
所以存在x0=-1<0,使x-2x0-3=0,故①为真命题;
②显然为真命题;
③当n=3,m=2时,a3=b2,故③为假命题.
11.若“?∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 恒成立求参数的范围
答案 1
解析 ∵?x∈,∴tan x≤1,∴m≥1,故实数m的最小值为1.
三、解答题
12.判断下列命题是否为全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.
(1)存在一条直线,其斜率不存在;
(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解;
(3)存在实数x0,使得=2.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题真假的判断
解 (1)是特称命题,用符号表示为“?直线l0,l0的斜率不存在”,是真命题.
(2)是全称命题,用符号表示为“?a,b∈R,方程ax+b=0都有唯一解”,是假命题.
(3)是特称命题,用符号表示为“?x0∈R,=2”,是假命题.
13.已知命题p:“?x0∈R,sin x00恒成立”,若p∧q是真命题,求实数m的取值范围.
考点 全称量词及全称命题的应用
题点 求参数的范围
解 由于p∧q是真命题,则p,q都是真命题.
因为“?x0∈R,sin x0所以m>-1.
又因为“?x∈R,x2+mx+1>0恒成立”是真命题,
所以Δ=m2-4<0,解得-2综上所述,实数m的取值范围是(-1,2).
四、探究与拓展
14.不等式组的解集记为D.有下面四个命题:
p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2;
p2:?(x0,y0)∈D,x0+2y0≥2;
p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3;
p4:?(x0,y0)∈D,x0+2y0≤-1.
其中真命题是(  )
A.p2,p3 B.p1,p4
C.p1,p2 D.p1,p3
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题真假的判断
答案 C
解析 画出可行域如图中阴影部分所示,
由图可知,当目标函数z=x+2y经过可行域内的点A(2,-1)时取得最小值0,故x+2y≥0,因此p1,p2是真命题,选C.
15.若命题“?a∈[1,3],使ax2+(a-2)x-2>0”是真命题,则实数x的取值范围是________.
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
答案 (-∞,-1)∪
解析 令f(a)=ax2+(a-2)x-2=(x2+x)a-2x-2,是关于a的一次函数,
由题意,得(x2+x)-2x-2>0或(x2+x)·3-2x-2>0,
即x2-x-2>0或3x2+x-2>0,
解得x<-1或x>.
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
学习目标 1.了解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
知识点一 全称命题的否定
思考 对下列全称命题如何否定?
(1)所有奇函数的图象都过原点;
(2)对任意实数x,都有x2-2x+1>0.
答案 (1)有的奇函数的图象不过原点;
(2)存在实数x0,使x-2x0+1≤0.
梳理 
全称命题p
綈p
结论
?x∈M,p(x)
?x0∈M,綈p(x0)
全称命题的否定是特称命题
知识点二 特称命题的否定
思考 对下列特称命题如何否定?
(1)有些四棱柱是长方体;
(2)存在一些周期函数是奇函数.
答案 (1)所有的四棱柱都不是长方体;
(2)所有的周期函数都不是奇函数.
梳理 
特称命题p
綈p
结论
?x0∈M,p(x0)
?x∈M,綈p(x)
特称命题的否定是全称命题
对全称命题与特称命题否定时,首先找出命题中的量词,是全称量词的改为存在量词,是存在量词的改为全称量词,然后再对结论否定.
1.命题綈p的否定是p.( √ )
2.?x0∈M,p(x0)与?x∈M,綈p(x)的真假性相反.( √ )
3.从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.( × )
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列全称命题的否定:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)数列:1,2,3,4,5中的每一项都是偶数;
(3)?a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
(4)可以被5整除的整数末位是0.
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
解 (1)其否定:存在一个平行四边形,它的对边不都平行.
(2)其否定:数列:1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.
(3)其否定:?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.
(4)其否定:存在被5整除的整数,末位不是0.
反思与感悟 全称命题的否定是特称命题,对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定:
(1)p:每一个四边形的四个顶点共圆;
(2)p:所有自然数的平方都是正数;
(3)p:任何实数x都是方程5x-12=0的根;
(4)p:对任意实数x,x2+1≥0.
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
解 (1)綈p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
(2)綈p:有些自然数的平方不是正数.
(3)綈p:存在实数x0不是方程5x0-12=0的根.
(4)綈p:存在实数x0,使得x+1<0.
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)p:?x0>1,使x-2x0-3=0;
(2)p:有些素数是奇数;
(3)p:有些平行四边形不是矩形.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1) 綈p:?x>1,x2-2x-3≠0.(假)
(2) 綈p:所有的素数都不是奇数.(假)
(3) 綈p:所有的平行四边形都是矩形.(假)
反思与感悟 特称命题的否定是全称命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p:?x0∈M,p(x0)成立?綈p:?x∈M,綈p(x)成立.
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)某些平行四边形是菱形;
(3)?x0,y0∈Z,使得x0+y0=3.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“?x,y∈Z,x+y≠3”.当x=0,y=3时,x+y=3,因此命题的否定是假命题.
类型三 含量词命题的综合应用
例3 已知命题p:“至少存在一个实数x0∈[1,2],使不等式x+2ax0+2-a>0成立”为真,试求参数a的取值范围.
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
解 由已知得綈p:?x∈[1,2],x2+2ax+2-a≤0成立,
所以设f(x)=x2+2ax+2-a,
则所以解得a≤-3,
因为綈p为假,所以a>-3,
即a的取值范围是(-3,+∞).
反思与感悟 通常对于“至多”“至少”的命题,应采用逆向思维的方法处理,先考虑命题的否定,求出相应的集合,再求集合的补集,可避免繁杂的运算.
跟踪训练3 已知p:?x∈R,2x>m(x2+1),q:?x0∈R,x+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
解 2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.
若p:?x∈R,2x>m(x2+1)为真,
则mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.
当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;
当m≠0时,由m<0且Δ=4-4m2<0,
所以m<-1.
若q:?x0∈R,x+2x0-m-1=0为真,
则方程x2+2x-m-1=0有实根,
所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.
又p∧q为真,故p,q均为真命题.
所以m<-1且m≥-2,
所以m的取值范围为-2≤m<-1.
1.有以下四个命题:
(1)没有男生爱踢足球;(2)所有男生都不爱踢足球;(3)至少有一个男生不爱踢足球;(4)所有女生都爱踢足球.其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是(  )
A.(1) B.(2)
C.(3) D.(4)
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 C
2.命题“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(  )
A.?x∈R,|x|+x2<0
B.?x∈R,|x|+x2≤0
C.?x0∈R,|x0|+x<0
D.?x0∈R,|x0|+x≥0
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 C
3.?m0,n0∈Z,使得m=n+2 017的否定是(  )
A.?m,n∈Z,使得m2=n2+2 017
B.?m0,n0∈Z,使得m≠n+2 017
C.?m,n∈Z,有m2≠n2+2 017
D.以上都不对
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
4.命题“?x∈R,x>sin x”的否定是________________.
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 ?x0∈R,x0≤sin x0
5.已知命题p:?x∈[1,2],都有ex-a≥0.若綈p是假命题,则实数a的取值范围为________.
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 (-∞,e]
解析 命题p:?x∈[1,2],都有ex-a≥0.
若綈p是假命题,则p是真命题,∴a≤(ex)min=e,
∴实数a的取值范围为(-∞,e].
1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作:第一步,将全称量词改写成存在量词,即将“任意”改为“存在”;第二步,将结论加以否定,如:将“≥”否定为“<”.
2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作:第一步,将存在量词改写成全称量词;第二步,将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词,要注意判断.
一、选择题
1.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是(  )
A.存在x0∈R,x-x+1≤0
B.存在x0∈R,x-x+1≥0
C.存在x0∈R,x-x+1>0
D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 C
解析 由题意知,原命题为全称命题,故其否定为特称命题,所以否定为“存在x0∈R,x-x+1>0”.故选C.
2.已知命题p:存在a0∈(-∞,0),a-2a0-3>0,那么命题p的否定是(  )
A.存在a0∈(0,+∞),a-2a0-3≤0
B.存在a0∈(-∞,0),a-2a0-3≤0
C.对任意a∈(0,+∞),a2-2a-3≤0
D.对任意a∈(-∞,0),a2-2a-3≤0
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 D
解析 依题意得綈p:对任意a∈(-∞,0),a2-2a-3≤0,故选D.
3.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则(  )
A.綈p:?x∈A,2x∈B
B.綈p:?x?A,2x?B
C.綈p:?x0?A,2x0∈B
D.綈p:?x0∈A,2x0?B
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 D
解析 命题p:?x∈A,2x∈B是一个全称命题,其命题的否定綈p应为?x0∈A,2x0?B,选D.
4.对下列命题的否定说法错误的是(  )
A.p:能被2整除的数是偶数;綈p:存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p:有些矩形是正方形;綈p:所有的矩形都不是正方形
C.p:有的三角形为正三角形;綈p:所有的三角形不都是正三角形
D.p:?n0∈N,2n0≤100;綈p:?n∈N,2n>100.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
解析 “有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题:“所有的三角形都不是正三角形”,故选项C错误.
5.已知命题p:?x0∈R,使tan x0=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1A.①②③④ B.①②④
C.①③④ D.②③
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 A
解析 当x=时,tan x=1,
∴命题p为真命题.
由x2-3x+2<0得1∴命题q为真命题,∴p∧q为真,p∧(綈q)为假,
(綈p)∨q为真,(綈p)∨(綈q)为假.
6.已知p:?x∈R,ax2+2x+3>0,如果綈p是真命题,那么a的取值范围是(  )
A.a< B.0C.a≤ D.a≥
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 綈p:?x0∈R,ax+2x0+3≤0,
显然当a=0时,满足题意;
当a>0时,由Δ≥0,得0当a<0时,满足题意.
所以a的取值范围是.
7.已知命题p:?x0∈R,cos x0≥a,下列a的取值能使“綈p”是真命题的是(  )
A.-1 B.0
C.1 D.2
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 D
解析 綈p:?x∈R,cos x1.
8.已知命题p:?x0∈R,x+1<2x0,命题q:若mx2-mx-1<0恒成立,则-4A.“綈p”是假命题
B.“綈q”是真命题
C.“p∧q”为真命题
D.“p∨q”为真命题
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 D
解析 对于命题p:x+1-2x0=(x0-1)2≥0,
即对任意的x∈R,都有x2+1≥2x,
因此命题p是假命题.
对于命题q,若mx2-mx-1<0恒成立,
则当m=0时,-1<0恒成立;
当m≠0时,由mx2-mx-1<0恒成立,
得
即-4故命题q是真命题.
因此,“綈p”是真命题,“綈q”是假命题,
“p∧q”是假命题,“p∨q”是真命题,故选D.
二、填空题
9.命题“某些平行四边形是矩形”的否定是________.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 每一个平行四边形都不是矩形
10.命题“?x0∈(0,+∞),x0+<4”的否定是________命题.(填“真”或“假”)
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 真
解析 命题“?x0∈(0,+∞),x0+<4”的否定是“?x∈(0,+∞),x+≥4”,根据基本不等式得此命题正确.
11.由命题“存在x0∈R,使e|x0-1|-m≤0”是假命题,得m的取值范围是(-∞,a),则实数a的值是________.
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案 1
解析 其否定为:?x∈R,使e|x-1|-m>0,
且为真命题,即m只需m<(e|x-1|)min=1.故a=1.
三、解答题
12.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并写出它们的否定.
(1)p:对任意的x∈R,cos x≤1都成立;
(2)q:?x0∈R,x+1>3x0;
(3)s:有些三角形是锐角三角形.
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
解 (1)由于命题中含全称量词“任意”,所以是全称命题,因此其否定为特称命题,所以綈p:?x0∈R,使cos x0>1成立.
(2)由于“?x0∈R”表示至少存在实数中的一个x0,即命题中含有存在量词“至少存在一个”,为特称命题,因此其否定为:綈q:对任意一个x,都有x2+1≤3x,即?x∈R,x2+1≤3x.
(3)为特称命题,把存在量词改为全称量词,并把结论否定,故綈s:所有的三角形都不是锐角三角形.
13.已知p:?a∈(0,b](b∈R且b>0),函数f(x)=sin的周期不大于4π.
(1)写出綈p;
(2)当綈p是假命题时,求实数b的最大值.
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 (1) 綈p:?a0∈(0,b](b∈R且b>0),
函数f(x)=sin的周期大于4π.
(2)由于綈p是假命题,所以p是真命题,
所以?a∈(0,b],≤4π恒成立,
解得a≤2,所以0所以实数b的最大值是2.
四、探究与拓展
14.若命题“?x0∈R,使得sin x0cos x0>m”是真命题,则m的值可以是(  )
A.- B.1
C. D.
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案 A
解析 sin xcos x=sin 2x∈,
∵命题“?x0∈R,使得sin x0cos x0>m”是真命题,
∴m<,故当m=-时,满足条件,故选A.
15.已知命题p:?x∈R,ax2+2x+1≠0,q:?x0∈R,ax+ax0+1≤0.若(綈p)∧(綈q)为真命题,求实数a的取值范围.
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
解 因为(綈p)∧(綈q)为真命题,
所以綈p与綈q都是真命题,从而p与q都是假命题.
所以“关于x的方程ax2+2x+1=0有解”与“ax2+ax+1>0对一切x∈R恒成立”都是真命题.
由关于x的方程ax2+2x+1=0有解,
得a=0或即a=0或a≤1且a≠0,
所以a≤1.
由ax2+ax+1>0对一切x∈R恒成立,
得a=0或即a=0或0所以0≤a<4.
由得0≤a≤1,故实数a的取值范围是[0,1].
§1.3 简单的逻辑联结词
学习目标 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义,会判断含有这类逻辑联结词的命题的真假.2.结合具体实例,在了解“且”“或”“非”含义的基础上掌握这类联结词的用法.
知识点一 用逻辑联结词构成新命题
思考 观察下面四个命题:①12能被3整除;②12能被4整除;③12能被3整除且能被4整除;④12能被3整除或12能被4整除.请分析命题①②与命题③④分别有什么关系?
答案 ③是由①、②用“且”联结而成的;④是由①、②用“或”联结而成的.
梳理 
构成新命题
记作
读作
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题
p∧q
p且q
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题
p∨q
p或q
对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题
綈p
非p或p的否定
知识点二 含逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
?綈p




















特别提醒:(1)对逻辑联结词的理解
①“且”表示同时的意思,可联系集合中“交集”的概念.
②“或”表示至少一个,可联系集合中“并集”的概念.
③“非”表示对原命题否定,可联系集合中“补集”的概念.
(2)命题“p∧q”“p∨q”“ 綈p”真假的记忆
①对于“p∧q”,简称为“一假即假”,即p,q中只要有一个为假,则“p∧q”为假;
②对于“p∨q”,简称为“一真即真”,即p,q中只要有一个为真,则“p∨q”为真.
1.当p是真命题时,“p∧q”为真命题.( × )
2.“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件.( × )
3.命题“p∨(綈p)”是真命题.( √ )
4.命题的否定与否命题是相同的概念.( × )
类型一 含有逻辑联结词的命题的构成与真假判断
命题角度1 p∧q命题及p∨q命题
例1 分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式,并判断它们的真假.
(1)p:函数y=3x2是偶函数,q:函数y=3x2是增函数;
(2)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;
(3)p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 “且(∧)”命题概念的理解
解 (1)p∧q:函数y=3x2是偶函数且函数y=3x2是增函数.
∵p真,q假,∴p∧q为假.
p∨q:函数y=3x2是偶函数或函数y=3x2是增函数.
∵p真,q假,∴p∨q为真.
(2)p∧q:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
∵p真,q真,∴p∧q为真.
p∨q:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
∵p真,q真,∴p∨q为真.
(3)p∧q:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.
∵p真,q真,∴p∧q为真.
p∨q:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.
∵p真,q真,∴p∨q为真.
反思与感悟 (1)判断p∧q形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,然后根据真值表“一假则假,全真则真”进行判断.
(2)判断p∨q形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,只要有一个为真,即可判定p∨q形式命题为真,而p与q均为假命题时,命题p∨q为假命题,可简记为:有真则真,全假为假.
跟踪训练1 分别用“p∨q”“p∧q”填空.
(1)“菱形的对角线互相垂直平分”是________形式.
(2)“3≥3”是________形式.
(3)“△ABC是等腰直角三角形”是________形式.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 “且(∧)”命题概念的理解
答案 (1)p∧q (2)p∨q (3)p∧q
命题角度2 命题的否定与否命题
例2 写出下列命题的否定形式和否命题.
(1)若abc=0,则a,b,c中至少有一个为零;
(2)等腰三角形有两个内角相等;
(3)自然数的平方是正数.
考点 “非”命题的概念
题点 辨析命题的否定与否命题
解 (1)否定形式:若abc=0,则a,b,c全不为零.
否命题:若abc≠0,则a,b,c全不为零.
(2)否定形式:等腰三角形的任意两个内角都不相等.
否命题:若某三角形不是等腰三角形,则它的任意两个内角都不相等.
(3)否定形式:自然数的平方不是正数.
否命题:不是自然数的数的平方不是正数.
反思与感悟 (1)原命题是“若A,则B”,其否定是“若A,则綈B”,条件不变,否定结论;其否命题是“若綈A,则綈B”,既要否定条件,又要否定结论.
(2)命题p与綈p的真假性相反,命题p与其否命题的真假性无关.
跟踪训练2 写出下列命题的否定与否命题,并判断其真假.
(1)p:若x>y,则5x>5y;
(2)p:若x2+x<2,则x2-x<2;
(3)p:正方形的四条边相等;
(4)p:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0的解是非空实数集,则a2-4b≥0.
考点 “非”命题的概念
题点 辨析命题的否定与否命题
解 (1) 綈p:若x>y,则5x≤5y;假命题.
否命题:若x≤y,则5x≤5y;真命题.
(2) 綈 p:若x2+x<2,则x2-x≥2;假命题.
否命题:若x2+x≥2,则x2-x≥2;假命题.
(3) 綈 p:存在一个正方形,它的四条边不全相等;假命题.
否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等;假命题.
(4) 綈p:存在两个实数a,b,虽然满足x2+ax+b≤0的解是非空实数集,但使a2-4b<0;假命题.
否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0的解是空集,则a2-4b<0;真命题.
类型二 逻辑联结词的应用
例3 已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根;q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若“p∨q”为真命题,且“p∧q”是假命题,求实数m的取值范围.
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由命题p∨q,p∧q的真假求参数范围
解 p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根?解得m>2.
q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根?Δ=16(m-2)2-16<0,得1所以綈p:m≤2,綈 q:m≤1或m≥3.
因为“p∨q”为真命题,且“p∧q”是假命题,
所以p,q一真一假.
①当p为真且q为假时,即p为真且綈q为真,
所以解得m≥3;
②当p为假且q为真时,即綈p为真且q为真,
所以解得1综上所述,实数m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).
引申探究 
若本例条件变为(綈p)∨(綈q)为假命题,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解 由例题解可知p:m>2,q:1若“(綈p)∨(綈q)”为假命题,即p∧q为真命题,
所以解得2所以实数m的取值范围是(2,3).
反思与感悟 解决逻辑联结词的应用问题,一般是先假设p,q分别为真,化简其中的参数的取值范围,然后当它们为假时取其补集,最后确定参数的取值范围.当p,q中参数的范围不易求出时,也可以利用綈p与p,綈q与q不能同真同假的特点,先求綈p, 綈q中参数的范围.
跟踪训练3 已知命题p:|m+1|≤2成立,命题q:方程x2-2mx+1=0有实数根.若綈p为假命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由命题p∨q,p∧q的真假求参数范围
解 |m+1|≤2?-2≤m+1≤2?-3≤m≤1,
即命题p:-3≤m≤1.
方程x2-2mx+1=0有实数根?Δ=(-2m)2-4≥0
?m≥1或m≤-1,
即q:m≥1或m≤-1.
因为綈p为假命题,p∧q为假命题,
所以p为真命题,q为假命题.
綈q为真命题,綈q:-1由?-1即m的取值范围是(-1,1).
1.命题“梯形的两对角线互相不平分”的命题形式为(  )
A.p或q B.p且q
C.非p D.简单命题
考点 “非”命题的概念
题点 “非”命题概念的理解
答案 C
解析 记命题p:梯形的两对角线互相平分,而原命题是“梯形的两对角线互相不平分”,是命题p的否定形式,故选C.
2.若命题p∧q为假,且綈p为假,则(  )
A.p或q为假 B.q为假
C.p为假 D.不能判断q的真假
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 B
解析 ∵綈p为假,∴p为真,
又p∧q为假,∴q为假.
3.在一次跳高比赛前,甲、乙两名运动员各试跳了一次.设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,则命题p∨q表示(  )
A.甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B.甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
C.甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米
D.甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
考点 “p∨q”形式的命题
题点 “或(∨)”命题概念的理解
答案 D
解析 ∵命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,
∴命题p∨q表示“甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米”,故选D.
4.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若xA.①③ B.①④
C.②③ D.②④
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 C
解析 根据不等式的性质可知,若x>y,则-x<-y成立,即p为真命题;
当x=-1,y=1时,满足x则①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(綈q)为真命题;④(綈p)∨q为假命题.故选C.
5.已知命题p:函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数;命题q:函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数,若p∧q为真,则实数a的取值范围是________.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
答案 
解析 命题p:由函数f(x)在R上为减函数得2a-1<0,解得a<,
命题q:由函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数,
得-≤1,解得a≥-2.
由p∧q为真得p,q都为真,故a的取值范围为∩[-2,+∞),即为.
1.正确理解逻辑联结词是解题的关键,日常用语中的“或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.
2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤
(1)逐一判断命题p,q的真假;
(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”,“p∨q”的真假.
p∧q为真?p和q同时为真,
p∨q为真?p和q中至少一个为真.
3.若命题p为真,则“綈p”为假;若p为假,则“綈p”为真,类比集合知识,“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集?UP.因此(綈p)∧p为假,(綈p)∨p为真.
4.注意区别命题的否定与否命题,命题的否定只否定结论,否命题既否定结论又否定条件.
一、选择题
1.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,那么(  )
A.命题p不一定是假命题
B.命题q一定是真命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题p与命题q的真值相同
考点 “非”命题的概念
题点 “非”命题的真假
答案 B
解析 “非p”为真命题,则命题p为假,又p或q为真,则q为真,故选B.
2.下列命题中既是p∧q形式的命题,又是真命题的是(  )
A.10或15是5的倍数
B.方程x2-3x-4=0的两根是-4和1
C.方程x2+1=0没有实数根
D.有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 D
解析 D选项中,命题可改写为有两个角为45°的三角形是等腰三角形而且是直角三角形,为真命题.
3.设p,q是简单命题,则“‘p且q’为假”是“‘p或q’为假”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 B
解析 p∨q是假命题?p是假命题且q是假命题?p∧q是假命题;p∧q是假命题?p∨q是假命题.
4.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(  )
A.(綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q
考点 “p∨q”形式的命题
题点 “或(∨)”命题概念的理解
答案 A
解析 至少有一位学员没有降落在指定范围意味着甲或乙没有降落在指定范围.
5.命题p:若a>0,b>0,则ab=1是a+b≥2的必要不充分条件,命题q:函数y=log2的定义域是(-∞,-2)∪(3,+∞),则(  )
A.“p∨q”为假 B.“p∧q”为真
C.p真q假 D.p假q真
考点 “p∧q”形式的命题
题点 “且(∧)”命题概念的理解
答案 D
解析 由命题p:a>0,b>0,ab=1得a+b≥2=2,所以p为假命题;
命题q:由>0得x<-2或x>3,所以q为真命题.
6.命题p:点P在直线y=2x-3上;q:点P在曲线y=-x2上,则使“p且q”为真命题的一个点P(x,y)是(  )
A.(0,-3) B.(1,2)
C.(1,-1) D.(-1,1)
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
答案 C
解析 点(x,y)满足
解得P(1,-1)或P(-3,-9),故选C.
7.已知p,q是两个命题,若“綈(p∨q)”是真命题,则(  )
A.p,q都是假命题
B.p,q都是真命题
C.p是假命题且q是真命题
D.p是真命题且q是假命题
考点 “綈p”形式的命题的真假判断
题点 判断“綈p”命题的真假
答案 A
解析 由复合命题真值表得:若“綈(p∨q)”是真命题,则p∨q为假命题,则命题p,q都是假命题.
8.命题p:若不等式x2+x+m>0恒成立,则m>,命题q:在△ABC中,∠A>∠B是sin A>sin B的充要条件,则(  )
A.p真q假 B.“p∧q”为真
C.“p∨q”为假 D.“(綈p)∨(綈q)”为真
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 B
解析 p:由题意知,Δ=1-4m<0得m>,
故p为真命题,q为真命题,∴p∧q为真.
9.已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且綈q为真命题,则实数a的取值范围是(  )
A.(1,+∞) B.(1,2]
C.(-∞,2] D.(-∞,1]∪(2,+∞)
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
答案 B
解析 对p:f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)上只有一个零点,
则f(0)f(1)<0,解得a>1,
对q:2-a<0,即a>2.
∴p:a>1,q:a>2,
则綈q:a≤2,
又p且綈q为真命题,
∴则1二、填空题
10.命题“若a命题的否定为______________.
考点 “非”命题的概念
题点 辨析命题的否定与否命题
答案 若a≥b,则2a≥2b 若a解析 命题“若a11.若命题p:不等式ax+b>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a考点 “綈p”形式的命题的真假判断
题点 判断“綈p”命题的真假
答案 非p
解析 因为命题p,q均为假命题,
所以“p或q”“p且q”均为假命题,而“非p”为真命题.
12.已知p:x2-x≥6,q:x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题,则x的值组成的集合为________________.
考点 “綈p”形式的命题的真假判断
题点 与“綈p”有关的求参数问题
答案 {-1,0,1,2}
解析 因为“p∧q”为假,“綈q”为假,所以q为真,p为假.
故即
因此,x的值可以是-1,0,1,2.
三、解答题
13.已知c>0,设p:函数y=cx在R上单调递减,q:曲线y=4x2-4c+c2+1与x轴交于不同的两点,若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求c的取值范围.
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由命题p∨q,p∧q的真假,求参数的范围
解 ∵函数y=cx在R上单调递减,
∴0由y=4x2-4c+c2+1与x轴交于不同的两点,可得方程4x2-4cx+c2-2c+1=0所对应的判别式
Δ=16c2-16(c2-2c+1)>0,
解得c>,令B=.
根据题意,如果p真,q假,则0如果p假,q真,则c≥1,
∴c的取值范围为∪[1,+∞).
四、探究与拓展
14.已知命题p:不等式(x-1)2>m的解集是R,命题q:f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数.若命题“p且q”是真命题,则实数m的取值范围是________.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
答案 (-∞,0)
解析 由不等式(x-1)2>m的解集是R为真命题得m<0;
由f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数为真命题得2-m>0,即m<2.
∵命题“p且q”是真命题,∴即m<0.
15.设命题p:实数x满足(x-a)(x-3a)<0,其中a>0,命题q:实数x满足≤0.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
解 (1)∵a=1,∴不等式化为(x-1)(x-3)<0,
∴1由≤0得2∵p∧q为真,∴2(2)∵綈p是綈q的充分不必要条件,
∴q是p的充分不必要条件,
又q:2∴∴1章末复习
学习目标 1.理解命题及四种命题的概念,掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念,掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、特称命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定.
1.四种命题及其关系
(1)四种命题:
命题
表述形式
原命题
若p,则q
逆命题
若q,则p
否命题
若綈p,则綈q
逆否命题
若綈q,则綈p
(2)四种命题间的逆否关系:
(3)四种命题的真假关系:
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
2.充分条件与必要条件
(1)如果p?q,那么称p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)分类:
①充要条件:p?q且q?p,记作p?q;
②充分不必要条件:p?q且q?p.
③必要不充分条件:p?q且q?p.
④既不充分也不必要条件:p?q且q?p.
3.简单的逻辑联结词
(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q,可得p∧q,p∨q,綈p.
(2)命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断:
p∧q中p,q有一假即为假,p∨q有一真即为真,p与綈p必定是一真一假.
4.全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称命题:
全称量词用符号“?”表示.
全称命题用符号简记为?x∈M,p(x).
(2)存在量词与特称命题:
存在量词用符号“?”表示.
特称命题用符号简记为?x0∈M,p(x0).
5.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
?x∈M,p(x)
?x0∈M,綈p(x0)
?x0∈M,p(x0)
?x∈M,綈p(x)
1.命题“若x>0且y>0,则x+y>0”的否命题是假命题.( √ )
2.“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题.( √ )
3.命题“若p,则q”与命题“若綈p,则綈q”的真假性一致.( × )
4.已知命题p:?x0∈R,x0-2>0,命题q:?x∈R,x2>x,则命题p∨(綈q)是假命题.( × )
类型一 命题及其关系
例1 (1)有下列命题:
①“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题;
②“矩形的对角线相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”.
其中是真命题的是(  )
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①③
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
(2)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是(  )
A.p∨q B.p∧q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q)
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 A
解析 由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题.故p∨q为真命题.
反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同.
(2)“p与綈p”一真一假,“p∨q”一真即真,“p∧q”一假就假.
跟踪训练1 (1)命题“若x2>1,则x<-1或x>1”的逆否命题是(  )
A.若x2>1,则-1≤x≤1
B.若-1≤x≤1,则x2≤1
C.若-11
D.若x<-1或x>1,则x2>1
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
(2)设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为;命题q:函数y=cos x的图象关于直线x=对称.则下列判断正确的是(  )
A.p为真 B.q为真
C.p∧q为假 D.p∨q为真
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 C
解析 由题意知p是假命题,q是假命题,因此只有C正确.
类型二 充分条件与必要条件
命题角度1 充分条件与必要条件的判断
例2 (1)设x∈R,则“x2-3x>0”是“x>4”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 B
解析 ∵x2-3x>0?x>4,
x>4?x2-3x>0,
故“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件.
(2)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 C
解析 ∵a>0且b>0?a+b>0且ab>0,
∴“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.
反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法:直接判断若p则q,若q则p的真假.
(2)等价法:利用A?B与綈B?綈A,B?A与綈A?綈B,A?B与綈B?綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
跟踪训练2 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是(  )
A.a2>b2>0 B.
C.ln a>ln b>0 D.xa>xb且x>0.5
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 C
解析 设条件p符合条件,则p是a>b>0的充分条件,但不是a>b>0的必要条件,即有“p?a>b>0,a>b>0?p”.
A选项中,a2>b2>0?a>b>0,有可能是aB选项中,?0b>0,故B不符合条件;
C选项中,ln a>ln b>0?a>b>1?a>b>0,而a>b>0?a>b>1,符合条件;
D选项中,xa>xb且01时a>b,无法得到a,b与0的大小关系,故D不符合条件.
命题角度2 充分条件与必要条件的应用
例3 设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,a<0.q:实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 设A={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3aB={x|x2-x-6≤0或x2+2x-8>0}
={x|x<-4或x≥-2}.
因为綈p是綈q的必要不充分条件,
所以q是p的必要不充分条件.
所以A?B,所以或
解得a≤-4或-≤a<0.
故实数a的取值范围为(-∞,-4]∪.
反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件:若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.
跟踪训练3 已知p:2x2-9x+a<0,q:2考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
答案 (-∞,9]
解析 ∵綈q是綈p的必要条件,
∴q是p的充分条件,
令f(x)=2x2-9x+a,
则解得a≤9,
∴实数a的取值范围是(-∞,9].
类型三 逻辑联结词与量词的综合应用
例4 已知p:?x0∈R,mx+2≤0.q:?x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是(  )
A.[1,+∞) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2] D.[-1,1]
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由“p∨q”形式命题的真假求参数的范围
答案 A
解析 因为p∨q为假命题,所以p和q都是假命题.
由p:?x0∈R,mx+2≤0为假,得?x∈R,mx2+2>0,所以m≥0.①
由q:?x∈R,x2-2mx+1>0为假,得?x0∈R,x-2mx0+1≤0,
所以Δ=(-2m)2-4≥0?m2≥1?m≤-1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系.其次要善于利用等价关系,如:p真与綈p假等价,p假与綈p真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径.
跟踪训练4 已知命题p:?x0∈R,mx+1≤0,命题q:?x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是(  )
A.(-∞,-2) B.[-2,0)
C.(-2,0) D.(0,2)
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
答案 C
解析 因为p∧q为真命题,
所以命题p和命题q均为真命题,
若p真,则m<0,①
若q真,则Δ=m2-4<0,
所以-2所以p∧q为真,由①②知-21.下列说法正确的是(  )
A.命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2>1,则x≤1”
B.命题“?x0∈R,x>1”的否定是“?x∈R,x2>1”
C.命题“若x=y,则cos x=cos y”的逆否命题为假命题
D.命题“若x=y,则cos x=cos y”的逆命题为假命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
解析 A中,命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2≤1,则x≤1”,∴A错误.
B中,命题“?x0∈R,x>1”的否定是“?x∈R,x2≤1”,∴B错误.
C中,“若x=y,则cos x=cos y”为真命题,则其逆否命题也为真命题,∴C错误.
D中,命题“若x=y,则cos x=cos y”的逆命题“若cos x=cos y,则x=y”为假命题,∴D正确.
2.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 当两个平面内的直线相交时,这两个平面有公共点,
即两个平面相交;但当两个平面相交时,两个平面内的直线不一定有交点.
3.命题“?x0∈R,f(x0)<0”的否定是(  )
A.?x0?R,f(x0)≥0 B.?x?R,f(x)≥0
C.?x∈R,f(x)≥0 D.?x∈R,f(x)<0
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
4.已知p:x2+2x-3>0;q:>1.若“(綈q)∧p”为真命题,求x的取值范围.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
解 因为“(綈q)∧p”为真,所以q假p真.
而当q为真命题时,有<0,即2所以当q为假命题时有x≥3或x≤2;
当p为真命题时,由x2+2x-3>0,
解得x>1或x<-3,
由
解得x<-3或15.已知条件p:x2-3x-4≤0,条件q:|x-3|≤m,若綈q是綈p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 ∵由x2-3x-4≤0,得-1≤x≤4,
若|x-3|≤m有解,
则m>0(m=0时不符合已知条件),
则-m≤x-3≤m,
得3-m≤x≤3+m,
设A={x|-1≤x≤4},B={x|3-m≤x≤3+m}.
∵綈q是綈p的充分不必要条件,
∴p是q的充分不必要条件,
∴p?q成立,但q?p不成立,即A?B,
则(等号不同时取到),
即得m≥4,
故m的取值范围是[4,+∞).
1.互为逆否命题的两命题是等价命题.
2.充分条件与必要条件的判定应先找准条件p与结论q,可根据定义及集合法进行判别.
3.含有联结词“且”“或”“非”的复合命题的真假判断.
p∧q中p,q有一假为假,p∨q有一真为真,p与綈p是一真一假.
4.全称命题与特称命题的否定
先改量词(全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词)再对结论否定.
一、选择题
1.下列命题中为假命题的是(  )
A.?x∈R,2x-1>0 B.?x∈N*,(x-1)2>0
C.?x0∈R,lg x0<1 D.?x0∈R,tan x0=2
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 全称命题真假的判断
答案 B
解析 对于?x∈R,y=2x>0恒成立,而y=2x-1的图象是将y=2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度,函数的值域不变,故2x-1>0恒成立,A为真命题;当x=1时,(x-1)2=0,故B为假命题;当02.命题“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是(  )
A.若a≠b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0
B.若a=b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0
C.若a≠0且b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0
D.若a≠0或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 D
解析 “且”的否定词为“或”,所以“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”.
3.已知直线l1:ax+y=1和直线l2:9x+ay=1,则“a+3=0”是“l1∥l2”的(  )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 C
解析 因为两直线平行,所以有a2-9=0,解得a=±3,当a=±3时,显然两条直线平行,故“a+3=0”是“l1∥l2”的充分不必要条件,故选C.
4.给出命题p:3≥3;q:函数f(x)=在R上的值域为[-1,1].在下列三个命题:“p∧q”“p∨q”“ 綈p”中,真命题的个数为(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 B
解析 ∵p为真命题,q为假命题,
∴p∧q,綈p为假命题,只有p∨q为真命题.
5.下列有关命题的说法正确的是(  )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.若p∨q为假命题,则p,q均不为假命题
C.命题“存在x0∈R,使得x+x0+1<0”的否定是“对任意x∈R,均有x2+x+1<0”
D.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
解析 选项A中否命题为“若x2≠1,则x≠1”;
选项B中,若p∨q为假命题,则p,q均为假命题;
选项C中命题的否定为“对任意x∈R,均有x2+x+1≥0”.
故A,B,C三项说法均不正确.
选项D中,“若x=y,则sin x=sin y”是真命题,故其逆否命题也为真命题.
6.命题“?n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(  )
A.?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>n
B.?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>n
C.?n0∈N*,f(n0)?N*且f(n0)>n0
D.?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 D
解析 “f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)?N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.
7.若命题“?x0∈R,ax+x0-1>0(a≠0)”是假命题,则实数a的取值范围是(  )
A.a<- B.a>-且a≠0
C.a≥-且a≠0 D.a≤-
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案 D
解析 由题意知“?x∈R,ax2+x-1≤0”为真命题,
则得a≤-.
8.已知实数a>1,命题p:函数y=(x2+2x+a)的定义域为R,命题q:|x|<1是xA.p或q为真命题 B.p且q为假命题
C.綈p且q为真命题 D.綈p或綈q为真命题
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 A
解析 命题p:当a>1时,Δ=4-4a<0,
即x2+2x+a>0恒成立,
故函数y=(x2+2x+a)的定义域为R,
即命题p是真命题;
命题q:当a>1时,由|x|<1?-1即|x|<1是x故命题q也是真命题,
故得命题p或q是真命题,故选A.
二、填空题
9.命题“?x0∈{x|x>0},使考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 假
解析 “?x0∈{x|x>0},使10.已知命题p:m∈R,且m+1≤0,命题q;?x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若p∧q为假命题且p∨q为真命题,则m的取值范围是__________________.
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由命题p∨q,p∧q的真假求参数范围
答案 (-∞,-2]∪(-1,2)
解析 p:m≤-1,q:-2∵p∧q为假命题,p∨q为真命题,
∴p,q一真一假,
当p为真,q为假时,由
得m≤-2.
当p为假,q为真时,
由得-1综上所述,m的取值范围是(-∞,-2]∪(-1,2).
11.若不等式(x-m+1)(x-m-1)<0成立的充分不必要条件是考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 
解析 (x-m+1)(x-m-1)<0,
即m-1(等号不能同时取得),
即-≤m≤,
故实数m的取值范围是.
12.下列结论:
①若命题p:?x0∈R,tan x0=2;命题q:?x∈R,x2-x+>0,则命题“p∧(綈q)”是假命题;
②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;
③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.
其中正确结论的序号为________.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 ①③
解析 ②l1⊥l2?a+3b=0.
三、解答题
13.设p:关于x的不等式ax>1 (a>0且a≠1)的解集为{x|x<0},q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个为真命题,求a的取值范围.
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
解 当p真时,0当q真时, 即a>,
∴p假时,a>1,q假时,a≤.
又p和q有且仅有一个为真命题.
∴当p真q假时,01.
综上得,a∈∪(1,+∞).
四、探究与拓展
14.已知函数f(x)=-(x+2)(x-m)(其中m>-2),g(x)=2x-2.
(1)若命题“log2g(x)≤1”是真命题,求x的取值范围;
(2)设命题p:?x∈(1,+∞),f(x)<0或g(x)<0,若綈p是假命题,求m的取值范围.
考点 “綈p”形式的命题的真假判断
题点 与綈p有关的参数问题
解 (1)若命题“log2g(x)≤1”是真命题,即log2g(x)≤1恒成立;
即log2g(x)≤log22等价于
解得1故所求x的取值范围是{x|1(2)因为綈p是假命题,所以p为真命题,
而当x>1时,g(x)=2x-2>0,
又p是真命题,则x>1时,f(x)<0,
所以f(1)=-(1+2)(1-m)≤0,
即m≤1(或根据-(x+2)(x-m)<0的解集得出),
故所求m的取值范围为{m|-215.已知命题p:函数y=x2+2(a2-a)x+a4-2a3在[-2,+∞)上单调递增,q:关于x的不等式ax2-ax+1>0解集为R.若p∧q假,p∨q真,求实数a的取值范围.
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由命题p∨q,p∧q的真假求参数范围
解 ∵函数y=x2+2(a2-a)x+a4-2a3=[x+(a2-a)]2-a2在[-2,+∞)上单调递增,
∴-(a2-a)≤-2,即a2-a-2≥0,
解得a≤-1或a≥2.
即p:a≤-1或a≥2.
由不等式ax2-ax+1>0的解集为R得a=0或
解得0≤a<4,
∴q:0≤a<4.
∵p∧q假,p∨q真,∴p与q一真一假,
∴p真q假或p假q真,
即或
∴a≤-1或a≥4或0≤a<2.
∴实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[0,2)∪[4,+∞).