模块综合试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．?x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．?x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
考点 全称命题的否定
题点 全称命题的否定
答案 C
解析 ∵命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”，
∴命题的否定?x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0，故选C.
2．x＝1是x2－3x＋2＝0的( )
A．充分不必要条件
B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件
D．充要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 若x＝1，则x2－3x＋2＝1－3＋2＝0成立，即充分性成立，
若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，此时x＝1不一定成立，即必要性不成立，
故x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件．
3．函数f(x)＝exln x在点(1，f(1))处的切线方程是( )
A．y＝2e(x－1) B．y＝ex－1
C．y＝x－e D．y＝e(x－1)
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 D
解析 因为f′(x)＝ex，所以f′(1)＝e.
又f(1)＝0，
所以所求的切线方程为y＝e(x－1)．
4．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
解析 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.
5．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心离为，则双曲线－＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±4x D．y＝±x
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 A
解析 由椭圆的离心率e＝＝，可知＝＝，所以＝，故双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
6．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x，则f(－1)与f(1)的大小关系是( )
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)>f(1)
C．f(－1)
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 B
解析 因为f(x)＝x2f′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)>f(1)．
7．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 比较函数值的大小
答案 C
解析 由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又af(b)>f(a)，选C.
8．点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为( )
A. B．2
C. D．3
考点 直线与双曲线的位置关系
题点 直线与双曲线的其他问题
答案 C
解析 ∵△ABF2是等边三角形，∴|BF2|＝|AB|，
根据双曲线的定义，可得 |BF1|－|BF2|＝2a，
∴|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，
又∵|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a.
∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，
∠F1AF2＝120°，
∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos 120°，
即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×＝28a2，
解得c＝a，由此可得双曲线C的离心率e＝＝.
9．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝时，△F1PF2的面积最大，则m＋n的值是( )
A．41 B．15 C．9 D．1
考点 椭圆的定义
题点 焦点三角形中的问题
答案 B
解析 由＝|F1F2|·|yP|＝3|yP|，
知当P为短轴端点时，△F1PF2的面积最大．
此时∠F1PF2＝，
得a＝＝2，b＝＝，故m＋n＝15.
10．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
答案 C
解析 由题意得f′(x)＝(x>0)，
令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0令f′(x)＝0，得x＝3，
故函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，
在区间(3，＋∞)上为增函数，
在点x＝3处有极小值1－ln 3<0；
又f＝＋1>0，
f(1)＝>0，
f(e)＝－1<0，
所以ff(1)>0，f(1)f(e)<0，
故函数在(1，e)上有零点，在上无零点．
故选C.
11．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 B
解析 由2xln x≥－x2＋ax－3，得a≤2ln x＋x＋，设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.
故实数a的取值范围是(－∞，4]．
12．设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(O＋)·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为( )
A. B.＋1 C. D.＋1
考点 双曲线的几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 D
解析 设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
由(O＋)·＝0，
得(O＋)·(O－)＝0，
∴2＝2，∴|O|＝||，
故△F1PF2是直角三角形，
又|PF1|＝|PF2|，|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝c，|PF2|＝c，
由双曲线的定义知c－c＝2a，e＝＝＝＋1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若命题“存在实数x0，使x＋ax0＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为________．
考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 由题意知原命题为真，∴Δ＝a2－4>0，
∴a>2或a<－2.
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2＝2py(p>0)上纵坐标为1的点到其焦点的距离为2，则p＝________.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求参数
答案 2
解析 由抛物线上一点到其焦点的距离等于该点到准线的距离，得1＋＝2，即p＝2.
15．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是________．
考点 利用函数的单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案
解析 f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x.
当k<0时，f′(x)<0在区间(0,4)上恒成立，
即f(x)在区间(0,4)上是减函数，故k<0满足题意．
当k≥0时，则由题意，知解得0≤k≤.
综上，k的取值范围是.
16．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为____________．
考点 椭圆几何性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案
解析 如图所示，在△AFB中，
|AB|＝10，|BF|＝8，
cos∠ABF＝，
由余弦定理可得
|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos∠ABF
＝100＋64－2×10×8×＝36.
∴|AF|＝6，∠BFA＝90°.
设F′为椭圆右焦点，连接BF′，AF′.
根据对称性，可得四边形AFBF′是矩形，
∴|BF′|＝6，|FF′|＝10，
∴2a＝8＋6＝14,2c＝10，
则e＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知命题p：方程＋＝1(a>0)表示双曲线，命题q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．
(1)若命题q为真命题，求m的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数的范围
解 (1)∵命题q为真命题，∴2－m>m－1>0，
∴1(2)方程＋＝1(a>0)表示双曲线，
则(m－3a)(m－4a)<0(a>0)，解得3a解得≤a≤.
18．(12分)已知抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积．
考点 抛物线的几何性质
题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题
解 (1)因为a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝4，c＝2.
所以＝2，p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)a＝，b＝1，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
抛物线的准线方程为x＝－2，
令x＝－2，得y＝±，
设抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点为A，B，
则|AB|＝，
所以S＝××2＝.
19．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调性．
考点 根据函数的极值求参数
题点 已知极值求参数
解 (1)因为f(x)＝ax2＋bln x，
所以f′(x)＝2ax＋(x>0)．
又函数f(x)在x＝1处有极值，
故即
可得a＝，b＝－1.
(2)由(1)可知，f(x)＝x2－ln x，
其定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝x－＝(x>0)．
令f′(x)＝0，则x＝－1(舍去)或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，且函数在定义域上只有极小值f(1)＝，而无极大值．
20．(12分)已知函数f(x)＝ax2－ln x，a∈R.
(1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)是否存在a，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 (1)当a＝1时，f(x)＝－ln x(x>0)，
则f′(x)＝x－(x>0)，∴f′(1)＝0，f(1)＝，
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－＝(x>0)．
①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝，
当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.
故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(3)存在a∈(0，e3)，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根．
理由如下：
由(2)可知，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
方程f(x)＝2不可能有两个不等的实数根；
当a>0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根，
等价于函数f(x)的极小值f<2，即f＝＋ln a<2，解得021．(12分)已知函数f(x)＝－x3＋x2＋b，g(x)＝aln x.
(1)若f(x)在上的最大值为，求实数b的值；
(2)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求实数a的取值范围．
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 (1)由f(x)＝－x3＋x2＋b，得f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
－
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
＋b
?
极小值b
极大值＋b
由f＝＋b，f＝＋b，
∴f>f，即函数f(x)在上的最大值为f＝＋b＝，∴b＝0.
(2)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x2－2x.
∵x∈[1，e]，∴ln x≤1≤x，且等号不能同时成立，
∴ln x0，
∴a≤恒成立，即a≤min，令t(x)＝，x∈[1，e]，求导得，t′(x)＝，当x∈[1，e]时，x－1≥0，ln x≤1，x＋2(1－ln x)>0，从而t′(x)≥0，∴t(x)在[1，e]上为增函数，∴t(x)min＝t(1)＝－1，∴a≤－1.
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点．
①若线段AB中点的横坐标为－，求斜率k的值；
②若点M，求证：M·M为定值．
考点 圆锥曲线的综合应用
题点 圆锥曲线的综合应用
(1)解 因为＋＝1(a>b>0)满足a2＝b2＋c2，＝，×b×2c＝，解得a2＝5，b2＝，
则椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①解 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)将y＝k(x＋1)代入＋＝1，
得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，
Δ＝36k4－4(3k2＋1)(3k2－5)＝48k2＋20>0，
x1＋x2＝－.
因为AB中点的横坐标为－，
所以－＝－，
解得k＝±.
②证明 由①知x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以M·M＝·
＝＋y1y2
＝＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋k2
＝(1＋k2)＋＋＋k2
＝＋＋k2
＝＋＋k2＝.
即M·M为定值．
滚动训练一(§1.1～§1.4)
一、选择题
1．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为( )
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角
D．以上都不对
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．
2．已知命题p：?x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2，下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 D
解析 命题p：?x>0，ln(x＋1)>0，则命题p为真命题，则綈p为假命题；
取a＝－1，b＝－2，a>b，但a2∴p∧q是假命题，p∧(綈q)是真命题，(綈p)∧q是假命题，(綈p)∧(綈q)是假命题．
3．下列命题中为真命题的是( )
A．若x≠0，则x＋≥2
B．命题“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为“若x≠1且x≠－1，则x2≠1”
C．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
D．若命题p：?x0∈R，x－x0＋1<0，则綈p：?x∈R，x2－x＋1>0
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 选项A中，当x为负数时，不等式不成立，错误；选项B中，根据逆否命题的关系知其是正确的；选项C中，由两直线垂直可得1－a2＝0，即a＝±1，则“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件，错误；选项D中，含有一个量词的命题的否定时，特别注意不等号的方向，错误．
4．“p∨q为真”是“綈p为假”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
答案 B
解析 由“p∨q为真”可知p，q至少一个为真，但不一定p为真，而“綈p为假”得出p一定为真，进而可推出“p∨q为真”．
5．给出下列三个命题：
①“若x2＋2x－3≠0，则x≠1”为假命题；
②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
③命题p：?x∈R,2x>0，则綈p：?x0∈R,2x0≤0.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 A
解析 ①命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”，是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①不正确．②不正确．③根据含量词的命题否定方式，可知命题③正确．
6．已知p：函数f(x)＝(a－1)x为增函数，q：?x∈，ax－1≤0，则p是綈q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 p：函数f(x)＝(a－1)x为增函数，
则a－1>1，解得a>2.
q：?x∈，ax－1≤0，a≤min＝1.
綈q：a>1，则p是綈q的充分不必要条件．
7．已知条件p：x<－3或x>1，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥－1 B．a≤1
C．a≥1 D．a≤－3
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 C
解析 ∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，∴a≥1，故选C.
8．已知命题p：?x0∈R，x0－2>lg x0，命题q：?x∈R，sin xA．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧(綈q)是真命题
D．命题p∨(綈q)是假命题
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 C
解析 对于命题p：取x＝10，则有10－2>lg 10，
即8>1，故命题p为真命题；
对于命题q，取x＝－，则sin x＝sin＝－1，
此时sin x>x，故命题q为假命题，
因此命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，
命题p∧(綈q)是真命题，命题p∨(綈q)是真命题，
故选C.
二、填空题
9．命题“至少有一个正实数x0满足方程x＋2(a－1)x0＋2a＋6＝0”的否定是________________．
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 ?x∈(0，＋∞)，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0
10．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
答案 p∨q，綈p
解析 p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．
11．已知命题p：?c>0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：?x∈R，x2＋2c－3>0.若p∧q为真命题，则实数c的取值范围为________．
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围)
答案 (2,3)
解析 由于p∧q为真命题，
所以p，q都是真命题，所以
解得2故实数c的取值范围为(2,3)．
12．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由“p∨q”形式命题的真假，求参数的范围
答案 [1,2)
解析 由x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}，
得x<1或x≥2.
∵此命题是假命题，∴1≤x<2.
三、解答题
13．命题p：已知“a－1a恒成立，如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由命题p∨q，p∧q的真假，求参数范围
解 由不等式x2－6x<0，得0∵命题p为真，
即“a－1∴(等号不同时取得)，即1≤a≤5.
若命题q为真，∵x>－1，∴x＋1>0，
∴x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝
3，
?x∈(－1，＋∞)，x＋>a恒成立?3>a，
∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q一真一假，
当p真q假时，得3≤a≤5，
当p假q真时得a<1，
∴实数a的取值范围是(－∞，1)∪[3,5]．
四、探究与拓展
14．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p和q有且只有一个正确，求实数a的取值范围．
考点
题点
解 方法一 p真：0＜a＜1.
q真：Δ＝(2a－3)2－4＞0，∴a＞或0＜a＜.
(1)若p正确，且q不正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于两点，因此a∈(0,1)∩，即a∈.
(2)若p不正确，且q正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，因此a∈(1，＋∞)∩，即a∈.
综上，实数a的取值范围为∪.
方法二 ∵A＝{a|p(a)}＝{a|0＜a＜1}，B＝{a|q(a)}＝，
∴p和q有且只有一个正确，即a∈且a?，故实数a的取值范围为∪.
15．对于函数f(x)，若命题“?x0∈R，f(x0)≠x0”的否定为真命题，则称x0为函数f(x)的不动点．
(1)若函数f(x)＝x2－mx＋4有两个相异的不动点，求实数m的取值集合M；
(2)在(1)的条件下，设不等式(x－a)(x＋a－2)>0的解集为N，若“x∈N”是“x∈M”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
解 (1)由题意知方程x2－mx＋4＝x，即x2－(m＋1)x＋4＝0有两个相异的实根，
所以Δ＝[－(m＋1)]2－16>0，
解得m>3或m<－5，即M＝{m|m<－5或m>3}．
(2)解不等式(x－a)(x＋a－2)>0，
当a>1时，N＝{x|x>a或x<2－a}；
当a<1时，N＝{x|x>2－a或x当a＝1时，N＝{x|x≠1}．
因为“x∈N”是“x∈M”的充分不必要条件，所以N?M.
当a>1时，(等号不同时取到)，解得a≥7；
当a<1时，(等号不同时取到)，解得a≤－5；
当a＝1时，不合题意，舍去．
综上可得实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[7，＋∞)．
滚动训练三(§2.2～§2.3)
一、选择题
1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 B
解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以点P的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为，故选B.
2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B.
C．1 D.
考点 抛物线的几何性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0，
所以所求距离为＝，故选B.
3．曲线＋＝1(m<6)与曲线＋＝1(5A．焦距相同 B．离心率相等
C．准线相同 D．焦点相等
考点 双曲线的几何性质
题点 由双曲线的方程研究几何性质
答案 A
解析 由＋＝1(m<6)知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，
由＋＝1(54．一条直线过点，且与抛物线y2＝x交于A，B两点．若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于( )
A. B．2
C. D．4
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 与焦点弦有关的其他问题
答案 C
解析 ∵抛物线方程为y2＝x，
∴其焦点坐标为，准线方程为x＝－，
∴直线AB过抛物线焦点，
∴由抛物线的定义知，弦AB的中点到直线x＝－的距离为2，
∴弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝.
5．已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．x2＝4y D．y2＝8x
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交弦中点问题
答案 A
解析 依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝1，
∵P(2,2)为AB的中点，∴y1＋y2＝4，
由
得(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1)，
∴2p＝(y2＋y1)＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
6．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 D
解析 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.
7．椭圆＋＝1与双曲线－x2＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为( )
A．4 B．5
C．5 D．3
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 D
解析 由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,4)和F2(0，－4)，不妨设|PF1|>|PF2|，
由椭圆与双曲线的定义可得
所以|PF1|＝5＋，|PF2|＝5－.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝，
于是sin∠F1PF2＝.
因此△PF1F2的面积S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×(5＋)×(5－)×＝3.
8．一动圆与直线x＝－1相切且始终过点(1,0)，动圆的圆心的轨迹为曲线C，那么曲线C上的一点到直线x＝－1的距离与到直线x＋y＋4＝0的距离和的最小值为( )
A. B.
C. D.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求最值
答案 B
解析 由题意知动圆的圆心轨迹为以F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x，
设抛物线上的一点P，点P到直线x＝－1的距离为d1，到直线x＋y＋4＝0的距离为d2，
由抛物线的定义知，d1＝|PF|，
所以d1＋d2＝|PF|＋d2，
|PF|＋d2的最小值为点F到直线x＋y＋4＝0的距离＝.故选B.
二、填空题
9．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．
考点 抛物线的几何性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案
解析 抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，
则双曲线的焦距为2，则有
解得∴mn＝.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________.
考点 抛物线的几何性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案 2
解析 双曲线的离心率e＝＝＝2，
解得＝，联立得y＝，
所以S△OAB＝×＝，
将＝代入解得p＝2.
11．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
答案 (－2，－1]
解析 将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，
得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，
则Δ＝4(a＋4)2－4a2＞0，∴a＞－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，
∴|AB|＝＝≤8，
即≤1.
又a＞－2，∴－2＜a≤－1.
三、解答题
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且经过点(－3,2)．
(1)求双曲线C的方程和其渐近线方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的k的取值．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线公共点个数问题
解 (1)由题意可知双曲线的焦点为(－2,0)和(2,0)，
根据定义有2a＝|－
|＝2，
所以a＝1，由以上可知a2＝1，c2＝4，b2＝3.
所以所求双曲线C的方程为x2－＝1.
渐近线方程为y＝±x.
(2)由消去y，得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
①当3－k2＝0即k＝±时，此时直线l与双曲线相交于一个公共点，符合题意；
②当3－k2≠0即k≠±时，由Δ＝0，得k＝±，
此时直线l与双曲线相切于一个公共点，符合题意，
综上所述，符合题意的k的所有取值为，－，，－.
13．斜率为k的直线l经过抛物线y＝x2的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，若线段|AB|的长为8.
(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线方程；
(2)求直线的斜率k.
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 与焦点弦有关的其他问题
解 (1)化y＝x2为标准方程x2＝4y，
由此，可知抛物线的焦点F的坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
于是|AB|＝y1＋y2＋2，
又|AB|＝8，所以y1＋y2＝6，
由(1)得，抛物线的焦点为(0,1)，
所以直线l的方程为y＝kx＋1，
所以kx1＋1＋kx2＋1＝6，k(x1＋x2)＝4，
由直线l的方程与抛物线方程得kx＋1＝，
即x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝4k，
代入k(x1＋x2)＝4，得k2＝1，k＝±1.
四、探究与拓展
14．若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为( )
A．－3 B．3
C．2 D．－2
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
答案 D
解析 由题意知，＝－1，
∴＝－1，则y1＋y2＝－1，
∵y1y2＝－1，
∴x1＋x2＝y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，
∴两点A(x1，y1)，B(x2，y2)中点坐标为，代入y＝x＋b，可得b＝－2.
15.如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°，
(1)证明：直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
(1)证明 设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x，
由解得或
即A点的坐标为.
同样由解得B点的坐标为(2k2，－2k)．
所以AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，
化简并整理，得y＝x－2.
不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.
故直线过定点P(2,0)．
(2)解 由于AB所在直线过定点P(2,0)，
所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去x并整理，
得y2－2my－4＝0，Δ＝4m2＋16>0.
所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
于是|y1－y2|＝
＝＝
＝2.
S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|)
＝|OP|·|y1－y2|
＝×2×2＝2.
所以当m＝0时，△AOB的面积取得最小值为4.
滚动训练二(2.1.1～2.1.2)
一、选择题
1．平面内一动点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a，则点M的轨迹为( )
A．椭圆 B．圆
C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹
考点 椭圆的定义
题点 由椭圆定义确定轨迹
答案 D
解析 当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆，
当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段，
当2a<|F1F2|时，无轨迹．
2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于( )
A. B. C. D．4
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 C
解析 由题意可求得|PF1|＝，
由定义得|PF2|＝2a－＝4－＝.
3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 椭圆几何性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 A
解析 因为2a＝18，所以a＝9.
由题意得2a＝3×2c，所以c＝3.
所以b2＝a2－c2＝72.
所以椭圆方程为＋＝1.
4．已知△ABC的三边AB，BC，AC的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1(x>0)
C.＋＝1(x<0，y≠0) D.＋＝1(x>0，y≠0)
考点 椭圆标准方程的求法
题点 定义法求椭圆的标准方程
答案 D
解析 由题意，得|BC|＝2，|AB|＋|AC|＝2|BC|＝4>|BC|，
所以顶点A的轨迹为椭圆，且a＝2，c＝1.
又|AB|>|AC|，所以轨迹只取右半部分，
即轨迹方程为＋＝1(x>0，y≠0)．
5．当α∈时，方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆的标准方程
题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案 B
解析 因为焦点在x轴上，所以sin α>cos α，
又因为α∈，所以<α<.
6．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆几何性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案 A
解析 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
∴＝a，即2b＝，
∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴＝，∴e＝＝.
7．若椭圆的中心为原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 中点弦问题
答案 D
解析 ∵椭圆的中心为原点，一个焦点为(0,2)，
则a2－b2＝4，
∴可设椭圆的方程为＋＝1，
联立消去x，
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8，
∴a2＝12，则椭圆的方程为＋＝1.
8．已知椭圆C：＋y2＝1的焦点F(1,0)，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||等于( )
A. B．2
C. D．3
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时的其他问题
答案 C
解析 如图所示，设l与x轴交于点A1，过B点作x轴的垂线BB1，交x轴于点B1，设||＝t，
则||＝，
得||＝，||＝，
||＝，故B，
代入椭圆方程得＋＝1，
得t＝，即||＝.
二、填空题
9．若直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
答案 (－2,2)
解析 由＋＝1，得－2≤y≤2，∴－210．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
考点 椭圆几何性质的应用
题点 求离心率的取值范围
答案
解析 因为·＝0，所以点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，其方程为x2＋y2＝c2.
由题意知，椭圆上的点在该圆的外部，设椭圆上任意一点P(x，y)，则|OP|min＝b，
所以c因为011．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 弦长问题
答案 ＋y2＝1
解析 由题意知＝，
可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±，
因此×＝，可得a＝2.
因此b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
三、解答题
12．已知点A，B是椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)与直线x－3y＋2＝0的交点，点M是AB的中点，且点M的横坐标为－.若椭圆C的焦距为8，求椭圆C的方程．
考点 椭圆几何性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
解 由已知得M，
由题意得点A，B的坐标满足
∴＋·kAB＝0，
∴－＋×＝0，∴a2＝3b2，
又∵c＝4，∴a2＝24，b2＝8，
经检验，a2＝24，b2＝8符合题意，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
13．已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m，
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时的其他问题
解 (1)由
消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①
Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，解得－3≤m≤3.
故所求实数m的取值范围是[－3，3]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①得x1＋x2＝－，x1x2＝，
故|AB|＝·
＝·
＝·，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.
四、探究与拓展
14．已知椭圆＋＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝4x＋m对称，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时的其他问题
答案 B
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)，kAB＝＝－，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
3x＋4y＝12，①
3x＋4y＝12，②
②－①，得3(x－x)＋4(y－y)＝0，
即y1＋y2＝3(x1＋x2)，
即y＝3x，与y＝4x＋m联立得x＝－m，y＝－3m，
而M(x，y)在椭圆的内部，则＋<1，
即－15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，椭圆上两点坐标分别为A(a,0)，B(0，b)，若△ABF2的面积为，∠BF2A＝120°.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点O(O为坐标原点)作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 求椭圆中的直线方程
(1)解 由题意，知a＝2c，b＝c，
＝×(2c－c)×c＝c2＝，
∴c＝1，a＝2，b＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，
此时△MNO为等腰直角三角形，∴|y1|＝|x1|，
又＋＝1，
解得|x1|＝＝，
即点O到直线MN的距离d＝.
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，与椭圆＋＝1联立消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
∴(k2＋1)－＋m2＝0，
整理得7m2＝12(k2＋1)，
∴点O到直线MN的距离d＝＝＝.
综上，点O到直线MN的距离为定值.
滚动训练五(3.3.1～3.3.3)
一、选择题
1．函数f(x)＝x＋cos x的一个单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 根据导数判断函数的单调性
答案 B
解析 由f(x)＝x＋cos x，得f′(x)＝－sin x，
当x∈时，f′(x)>0，
故函数f(x)＝x＋cos x的一个单调递增区间为.故选A.
2．函数y＝x3＋1的图象与直线y＝x相切，则a等于( )
A．2 B．4 C．16 D.
考点 切线方程求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 B
解析 由题意可得y′＝x2.可设切点为(x0，x0) ，则解得a＝4，故选B.
3．函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为( )
A. B.
C. D.
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 A
解析 f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，
∵x∈，∴f′(x)>0，
则f(x)在上是增函数，
f(x)min＝f(0)＝0，
f(x)max＝f＝e，
∴函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为.
4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
C．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 D
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2当1当x>2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，故选D.
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋1在x＝1处取得极大值3，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
考点 函数的极值与导数的关系
题点 含参数的函数求极值问题
答案 C
解析 由题意知f(1)＝a＋b＋1＝3，即a＋b＝2.①
因为f′(x)＝3ax2＋2bx，f′(1)＝0，
所以3a＋2b＝0.②
由①②得a＝－4，b＝6.
所以f′(x)＝－12x2＋12x＝0，
解得x＝0或x＝1.
易知在x＝0处f(x)取极小值1.故选C.
6．函数f(x)＝xln x的大致图象为( )
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 A
解析 ∵函数f(x)＝xln x只有x＝1一个零点，
∴可以排除C，D，又∵f′(x)＝ln x＋1，
在上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
在上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴A符合题意．
7．已知函数y＝f(x)对任意x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，则下列不等式成立的是( )
A.f>f
B.fC．f(0)>f
D．f(0)<2f
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 比较函数值的大小
答案 D
解析 设g(x)＝，
则g′(x)＝.
因为y＝f(x)对任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，
所以g′(x)>0在x∈上恒成立，
所以g(x)是上的增函数，
所以g(0)故选D.
二、填空题
8．函数y＝x2－4ln x的单调递减区间是________．
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
答案 (0，]
解析 y′＝2x－＝(x>0)，
令y′≤0，解得09．若函数f(x)＝－x3＋mx2＋1(m≠0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m的取值范围是________．
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
答案 (0,3)
解析 f′(x)＝－3x2＋2mx＝x(－3x＋2m)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
∵x∈(0,2)，∴0<<2，
∴010．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 45.6
解析 设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．
总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2，
∴当x＝10时，L有最大值45.6.
11．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
考点 函数最值的应用
题点 存在性问题
答案 (－1，＋∞)
解析 因为2x(x－a)<1，
所以a>x－.
令f(x)＝x－，
所以f′(x)＝1＋2－xln 2>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)>f(0)＝0－1＝－1，
所以a的取值范围为(－1，＋∞)．
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x(x＋a)－ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)是区间内的单调函数，求实数a的取值范围．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 (1)当a＝－1时，f′(x)＝2x－1－＝＝(x>0)，
所以f(x)在区间(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
于是f(x)有极小值f(1)＝0，无极大值．
(2)易知f′(x)＝2x＋a－在区间上单调递增，
又由题意可得f′(x)＝2x＋a－＝0在上无解．
即f′≥0或f′(1)≤0，
解得a≥1或a≤－1，
即a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，
最大值为f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1.
因此f>2a－2等价于ln a＋a－1<0.
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.
于是，当0当a>1时，g(a)>0.
因此a的取值范围是(0,1)．
四、探究与拓展
14．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 D
解析 f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，
要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，
即<0，解得a<－或a>.
15．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
(1)解 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知，
f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
2(1－ln 2＋a)
?
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
则g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知，当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
则对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
所以当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
滚动训练四(§3.1～§3.2)
一、选择题
1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内质点运动的平均速度为( )
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 D
解析 因为Δs＝5－3(1＋Δt)2－(5－3×12)
＝－3(Δt)2－6Δt，
所以＝＝＝－3Δt－6.
2．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于( )
A．2 B．2＋Δx
C．2＋(Δx)2 D．2x
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 B
解析 ＝＝2＋Δx.
3．已知f(x)＝，则f′(x)等于( )
A. B.－1
C．1－ln x D.
考点 导数的运算法则
题点 导数除法法则及运算
答案 D
解析 f′(x)＝＝＝，故选D.
4．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A．f′(1)B．f′(1)C．f′(2)D．a考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 B
解析 由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大．∵＝a，
∴f′(1)5．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 A
解析 由y′＝2x＋a，得y′|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1，故选A.
6．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn等于( )
A. B.
C. D．1
考点 基本初等函数的导数公式
题点 常数、幂函数的导数
答案 B
解析 由y＝xn＋1得y′＝(n＋1)xn，
∴y′|x＝1＝n＋1.
∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，有x＝，
∴x1·x2·…·xn＝···…·＝.
7．过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为( )
A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y＋2＝0
D．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0
考点 切线方程的求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 A
解析 设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x－2x0，曲线在(x0，y0)处的切线斜率为k＝3x－2.当x0＝1时，斜率为1，切线方程为x－y－2＝0；当x0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为＝x＋x0－1＝3x－2，解得x0＝－，斜率为－，切线方程为5x＋4y－1＝0.故选A.
8．点P0(x0，y0)是曲线y＝3ln x＋x＋k(k∈R)上一个定点，且曲线在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则实数k的值为( )
A．2 B．－2
C．－1 D．－4
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 A
解析 y′＝＋1，令＋1＝4，得x0＝1，代入切线方程得y0＝3，代入y＝3ln x＋x＋k，得k＝2.
二、填空题
9．函数y＝在点x＝2处的导数是________．
考点 导数的运算法则
题点 导数除法法则及运算
答案
解析 y′＝′
＝
＝，
所以y′|x＝2＝.
10．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 3
解析 f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，
故f(1)＋f′(1)＝3.
11．若直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点P(1,3)，则b＝________.
考点 切线方程的求解及应用
题点 根据切点或切线斜率求值
答案 3
解析 因为点P(1,3)既在直线上又在曲线上，
所以3＝k＋1，且3＝1＋a＋b，
即k＝2，a＋b＝2.
根据导数的定义知y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，
所以3×12＋a＝k，所以a＝－1，b＝3.
三、解答题
12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 设切点为(x0，y0)，
则由导数的几何意义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，
又切点(x0，y0)在切线上，∴y0＝3(x－1)x0＋16，
即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，解得x0＝－2，
∴切线方程为9x－y＋16＝0.
13．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
考点 导数的应用
题点 导数的应用
解 (1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数为f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
四、探究与拓展
14．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a的值为( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
考点 导数的应用
题点 导数的应用
答案 A
解析 设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，
则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，直线方程为y＝0.
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－.
当x0＝时，直线方程为y＝x－.
由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.
15．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝g(x)＝x2＋a都相切，求a的值．
考点
题点
解 易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上．
(1)当O(0,0)是切点时，
由f′(x)＝3x2－6x＋2，得f′(0)＝2，
即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.
由得x2－2x＋a＝0，
依题意知，Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则f(x0)＝x－3x＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，①
又k＝＝x－3x0＋2，②
联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，
故直线l的方程为y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0，
依题意知，Δ＝－4a＝0，得a＝.
综上，a＝1或a＝.
