章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列语句中命题的个数为( )
①|x＋2|；②－5∈Z；③π?R；④{0}∈N.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 C
解析 ②③④是命题．
2．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真 B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
解析 ①的逆命题为若<，则a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
3．设命题p：?n0∈N，n>2n0，则綈p为( )
A．?n∈N，n2>2n
B．?n0∈N，n≤2n0
C．?n∈N，n2≤2n
D．?n0∈N，n＝2n0
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
解析 存在量词改为全称量词，即“?n0∈N”改为“?n∈N”；把结论否定，即“n>2n0”改为“n2≤2n”．故选C.
4．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
答案 A
解析 由题意知，p为真命题，q为假命题，则綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题．
5．下列命题错误的是( )
A．命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题
B．命题“?x0∈R，x－x0>0”的否定是“?x∈R，x2－x≤0”
C．?x>0且x≠1，都有x＋>2
D．“若am2
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 D
解析 D选项，“若am26．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，綈p，綈q中，真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
考点 “p∧q”形式的命题
题点 “且(∧)”命题概念的理解
答案 B
解析 命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，綈p，綈q是假命题．
7．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 A
解析 结合函数单调性的定义求解．
由题意知函数f(x)＝ax在R上是减函数等价于08．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 C
解析 方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－，故a<0，故选C.
9．下列命题中为真命题的是( )
A．?x0∈R，使得sin x0cos x0＝
B．?x0∈(－∞，0)，2x0>1
C．?x∈R，x2>x－1
D．?x∈(0，π)，sin x>cos x
考点 存在量词的否定
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 C
解析 A选项中，2sin x0cos x0＝>1，
即sin 2x0＝>1，
则不存在x0使得sin x0cos x0＝；
B选项，2x0>1＝20，
则x0>0，∴不存在x0∈(－∞，0)，2x0>1；
C选项，?x∈R，x2>x－1，
即x2－x＋1＝2＋>0，
故C为真命题．
D选项，当x＝时，sin ∴D为假命题，故选C.
10．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是( )
A．a<1 B．a≤1
C．－1考点 存在量词与特称命题的真假判断
题点 存在性问题求参数的范围
答案 A
解析 当a≤0时，显然存在x0∈R，使得ax＋2x0＋a<0，
当a>0时，Δ＝4－4a2>0，
可得－1∴a的取值范围是(－∞，1)．
11．给定下列命题：
①“x∈N”是“x∈N*”的充分不必要条件；
②若“sin α≠，则α≠”；
③“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题；
④命题“?x0∈R，使x－x0＋1≤0”的否定．
其中是真命题的是( )
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③④
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 “x∈N”是“x∈N*”的必要不充分条件，①错误；②的逆否命题为：若α＝，则sin α＝，正确，故②正确；若xy＝0，则x＝0或y＝0，③错误；④正确．
12．在△ABC中，能使sin A>成立的充分不必要条件是( )
A．A∈ B．A∈
C．A∈ D．A∈
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 C
解析 因为在△ABC中，sin A>时，所以能使sin A>成立的充分不必要条件是选项C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．写出命题：“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是__________．
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
答案 若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不都大于0
14．设p：x>2或x<；q：x>2或x<－1，则綈p是綈q的________条件．
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 充分不必要
解析 ∵綈p：≤x≤2.綈q：－1≤x≤2.綈p?綈q，
但綈q?綈p.
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
15．在下列结论中，
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．
正确的是________．
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
答案 ①③
16．已知命题p：(x－3)(x＋1)>0，命题q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的范围是________．
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
答案 (0,2)
解析 p：(x－3)(x＋1)>0?x<－1或x>3，q：x2－2x＋1－m2>0?x<－m＋1或x>m＋1，它们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意知A?B，
∴其中等号不能同时成立，
∴m<2，又m>0，∴0三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数．
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除．
(3)?x∈{x|x>0}，x＋≥2.
(4)?x0∈Z，log2x0>2.
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 识别全称命题
解 (1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(3)命题中含有全称量词“?”，是全称命题，真命题．
(4)命题中含有存在量词“?”，是特称命题，真命题．
18．(12分)已知命题p：x<－6或x>1，命题q：5x－6>ax2(a为常数)．
(1)写出原命题“若p：x<－6或x>1，则q：5x－6>ax2”的逆否命题．
(2)若p?q，则实数a应满足什么条件？
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
解 (1)命题“若p，则q”的逆否命题为“若5x－6≤ax2(a为常数)，则－6≤x≤1”．
(2)∵p?q，∴x<－6或x>1?5x－6>ax2(a为常数)，即不等式ax2－5x＋6<0的解集为{x|x<－6或x>1}，故方程ax2－5x＋6＝0有两根－6,1，即
解得a＝－1，故实数a应满足a＝－1.
19．(12分)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若“命题p：?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)“命题q：?x0∈A，x0∈B”是真命题，求m的取值范围．
考点 全称量词及全称命题的真假判断
题点 恒成立求参数的范围
解 (1)A＝{x|－2≤x≤5}，
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B≠?.
∵“命题p：?x∈B，x∈A”是真命题，
∴B?A，B≠?，
∴解得2≤m≤3.
(2)q为真，则A∩B≠?，∵B≠?，
∴m≥2，∴
∴2≤m≤4.
20．(12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
考点 “p∨q”形式的命题
题点 由命题p∨q，p∧q的真假求参数范围
解 由p∨q为真，p∧q为假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0当x∈时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋在上的最小值为2.
若q真，则<2，即c>.
若p真q假，则
所以0若p假q真，则所以c≥1.
综上可得，c∈∪[1，＋∞)．
21．(12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 充分性：因为∠A＝90°，
所以a2＝b2＋c2.
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.
所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.
所以该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，
即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
所以该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．
可以发现x1＝x3，
所以方程有公共根．
必要性：设x是方程的公共根，
则
由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)．
代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.
所以∠A＝90°.所以结论成立．
22．(12分)已知p：x2－8x－20≤0；q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，求m的取值范围；
(2)若綈p是綈q的必要不充分条件，求m的取值范围．
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
即p：－2≤x≤10，
q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，则
即即m2≤3，
解得－≤m≤，
即m的取值范围是[－，]．
(2)∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
即(两个等号不同时成立)，
即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.
即m的取值范围是{m|m≥3或m≤－3}．
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列导数运算正确的是( )
A.′＝1＋ B．(2x)′＝x2x－1
C．(cos x)′＝sin x D．(xln x)′＝ln x＋1
考点 基本初等函数的导数公式
题点 利用导数公式求函数的导数
答案 D
解析 根据导数的运算公式可得′＝1－，故A错误；(2x)′＝2xln 2，故B错误；(cos x)′＝－sin x，故C错误；(xln x)′＝ln x＋1，故D正确．
2．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝gt2(g为常数)，该小球在t＝1到t＝3的平均速度为，在t＝2的瞬时速度为v2，则和v2关系为( )
A.>v2 B.C.＝v2 D．不能确定
考点 平均变化率的概念
题点 求平均变化率
答案 C
解析 平均速度为＝＝＝2g.
∵s(t)＝gt2，
∴s′(t)＝gt，t＝2的瞬时速度为v2，
∴v2＝s′(2)＝g×2＝2g，∴＝v2，故选C.
3．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为( )
A．10 B．5
C．－1 D．－
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 D
解析 ∵f(x)＝x3＋4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4，
∴f′(1)＝7，即切线的斜率为7，
又f(1)＝10，故切点坐标为(1,10)，
∴切线的方程为y－10＝7(x－1)，
当y＝0时，x＝－，
∴切线在x轴上的截距为－，故选D.
4．如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是( )
A．2 B．1
C．－1 D.
考点 导数的几何意义
题点 导数几何意义的理解
答案 B
解析 由题干中的图象可知曲线的切线经过点(1,2)，
则k＋3＝2，得k＝－1，
即f′(1)＝－1，且f(1)＝2，
∵h(x)＝xf(x)，
∴h′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
则h′(1)＝f(1)＋f′(1)＝2－1＝1，
故选B.
5．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
考点 基本初等函数的导数公式
题点 正弦、余弦函数的导数
答案 A
解析 y′＝cos x，∵cos x∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是∪.
6．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，则不可能的是( )
考点 函数变化的快慢与导数的关系
题点 根据原函数图象确定导函数图象
答案 D
解析 根据原函数单调递增部分对应的导函数图象应在x轴上方，而原函数单调递减部分对应的导函数图象应在x轴下方，可知D不符合．
7．若函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间为( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 A
解析 令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±.
令f′(x)>0，得x>或x<－；
令f′(x)<0，得－即在x＝－处取极大值，在x＝处取极小值．
∵函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，∴f()＝2，f(－)＝6，
即a－3a＋b＝2且－a＋3a＋b＝6，
得a＝1，b＝4，
∴f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
8．已知函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(0,2) B．[2，＋∞)
C. D.
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案 B
解析 函数的导数为f′(x)＝1－.
若函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上单调递减，
则等价为f′(x)≤0在(0,2]上恒成立，
即1－≤0，即≥1，即a≥x，
∵09．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21
考点 函数极值的应用
题点 极值存在性问题
答案 A
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当相应一元二次方程的根的判别式Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，此时函数f(x)不存在极值点．故选A.
10．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( )
A. B.
C. D.
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
答案 C
解析 设圆柱的底面半径为R，高为h，
则2R＋h＝2(R<1)．
∵V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，
∴V′＝2πR·(2－3R)．
令V′＝0，则R＝0(舍)或R＝.
当当00，
∴当R＝时，V取极大值，也是最大值，
即当R＝时，圆柱体积最大，此时h＝，
Vmax＝π××＝，故选C.
11．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)<0，若aA．af(a)C．af(a)>bf(b) D．af(b)>bf(a)
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 比较函数值的大小
答案 C
解析 [x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)<0，∴函数x·f(x)是R上的减函数，∵abf(b)．
12．若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上根的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根
答案 B
解析 设f(x)＝x3－ax2＋1，
则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，
因为a>2，所以2a>4，所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，则f(x)在(0,2)上为减函数，
又f(0)f(2)＝1×＝－4a<0，
所以f(x)＝0在(0,2)上恰好有1个根，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数y＝x－sin x，x∈[0,2π]的单调增区间为________________．
考点 利用导数研究函数的单调性
题点 不含参数求单调区间
答案
解析 ∵y′＝－cos x，令y′>0，
∴cos x<，解得14．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________．
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
答案 4x－y－3＝0
15．已知函数f(x)＝－x3＋ax－4(a∈R)，若函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线垂直于y轴，则f(x)在[－2,2]上的最大值与最小值之和为________．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
答案 －8
解析 ∵f(x)＝－x3＋ax－4，∴f′(x)＝－3x2＋a，
∵函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线垂直于y轴，∴－3＋a＝0，
∴a＝3，∴f′(x)＝－3x2＋3.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，
易知f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1,1]上单调递增，在(1,2]上单凋递减．
∴最大值为f(－2)＝f(1)＝－2，
最小值为f(－1)＝f(2)＝－6.
∴最大值与最小值之和为－8.
16．若函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋5在区间上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a的取值范围是________．
考点 利用函数单调性求变量
题点 已知函数单调性求参数
答案
解析 因为f′(x)＝3x2＋2ax－2，
由题意知f′f′<0，即<0，
解得三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 (1)因为f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
由已知得f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，
所以a＝9.
(2)由于Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，
所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．
18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
考点 切线方程求解及应用
题点 求曲线的切线方程
解 (1)因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为
k＝f′(2)＝13.
所以切线的方程为y＝13(x－2)－6，
即13x－y－32＝0.
(2)因为切线与直线y＝－＋3垂直，
所以切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，
所以x0＝±1，
所以或
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，
所以切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
19．(12分)现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
解 (1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，
即y＝＋300x(0(2)由(1)知，y′＝－＋300，
令y′＝0，
解得x＝40或x＝－40(舍去)．
因为函数的定义域为(0,35]，
所以函数在定义域内没有极值点．
又当0所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
答 为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．
20．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)．
因为f(x)＝ax2＋2x－ln x，
当a＝0时，f(x)＝2x－ln x，
则f′(x)＝2－，令f′(x)＝0，得x＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以当x＝时，f(x)的极小值为1＋ln 2，无极大值．
(2)由已知，得f(x)＝ax2＋2x－ln x，x>0，
则f′(x)＝ax＋2－＝.
若a＝0，由(1)中f′(x)≥0，得x≥，显然不符合题意；
若a≠0，因为函数f(x)在区间上是增函数，
所以f′(x)≥0对x∈恒成立，
即不等式ax2＋2x－1≥0对x∈恒成立，
即a≥＝－＝2－1对x∈恒成立，故a≥max.
而当x＝时，函数2－1取得最大值为3，
所以实数a的取值范围为[3，＋∞)．
21．(12分)已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.
(1)设a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若a>，且当x∈[1,4a]时，f(x)≥a3－12a恒成立，试确定a的取值范围．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x3－3x2－9x＋1，
则f′(x)＝3x2－6x－9，
由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
当x<－1时，f′(x)>0；当－1当x>3时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)，
单调递减区间为(－1,3)．
(2)因为f′(x)＝3x2－6ax－9a2
＝3(x＋a)(x－3a)，a>，
所以当1≤x<3a时，f′(x)<0；
当3a0.
所以当x∈[1,4a]时，f(x)的最小值为f(3a)＝－26a3.
由f(x)≥a3－12a在[1,4a]上恒成立得
－26a3≥a3－12a，
解得a≤－或0≤a≤.
又a>，所以即a的取值范围为.
22．(12分)已知函数f(x)＝x2－mln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
考点 导数的综合应用
题点 导数的综合应用
解 (1)由f(x)≥h(x)，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝，则g′(x)＝，
当x∈(1，e)时，g′(x)<0；
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e，所以m≤e.
即实数m的取值范围是(－∞，e]．
(2)由已知可得k(x)＝x－2ln x－a.
函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，
相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点．
φ′(x)＝1－＝，
当x∈(1,2)时，φ′(x)<0，φ(x)递减；
当x∈(2,3)时，φ′(x)>0，φ(x)递增，
又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，
要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2ln x有两个交点，
则2－2ln 2即实数a的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是( )
A．k>3 B．2C．k＝2 D．0考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 C
解析 由9－k2＝k＋3，即k2＋k－6＝0，
解得k＝2或－3.
又由题意知k2<9且k>0，
所以0所以k＝2.
2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点 双曲线性质的应用
题点 求双曲线的标准方程
答案 A
解析 依题意得c＝4，e＝＝＝2，a＝2，b2＝c2－a2＝12，
因此所求的双曲线的标准方程为－＝1，故选A.
3．若双曲线的顶点为椭圆x2＋＝1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝1 B．y2－x2＝1
C．x2－y2＝2 D．y2－x2＝2
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 D
解析 椭圆x2＋＝1的离心率为，则双曲线的离心率为，且双曲线的顶点为(0，±)，故选D.
4．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
考点 圆锥曲线的综合问题
题点 圆锥曲线的综合问题
答案 A
解析 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.
若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，
∴e＝＝＝；
若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，
∴e＝＝＝.
5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
考点 双曲线性质的应用
题点 由双曲线的几何性质求方程
答案 A
解析 ∵2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝，
则a＝＝，∴＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
6．M是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角为α，且α＝60°，若|FM|＝4，则p等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 与焦点弦有关的其他问题
答案 B
解析 不妨设M在第一象限，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，计算可得|MN|＝2，|FN|＝2，所以M的坐标为，代入y2＝2px(p>0)，得p＝2或p＝－6(舍)．
7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )
A. B．2 C．4 D．8
考点 抛物线的几何性质
题点 抛物线与其他曲线结合有关问题
答案 C
解析 设双曲线的方程为－＝1(a>0)，
抛物线的准线为x＝－4，且|AB|＝4，
故可得A(－4,2)，B(－4，－2)，
将点A坐标代入双曲线方程，得a2＝4，
故a＝2，故实轴长为4.
8．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在抛物线x2＝y的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 判断交点个数问题
答案 A
解析 由已知可得|AB|＝2，要使S△ABC＝2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：x＋y－2＝0，
所以有＝，
所以x2＋x－2＝±2，
当x2＋x－2＝2时，有两个不同的C点；
当x2＋x－2＝－2时，亦有两个不同的C点．
因此满足条件的C点有4个，故选A.
9．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，则满足△PF1F2的周长为6＋2的动点P的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1(x≠0)
C.＋＝1 D.＋＝1(x≠0)
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 B
解析 ∵双曲线的方程为－＝1，
∴a2＝2，b2＝3，可得c2＝a2＋b2＝5，
因此双曲线－＝1的两个焦点分别为F1(0，－)，F2(0，)．
∵△PF1F2的周长为6＋2，|F1F2|＝2，
∴|PF1|＋|PF2|＝6>2，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆(上、下顶点除外)．
由椭圆的定义，得椭圆长轴长为6，长半轴长为3，
∴该椭圆的短半轴长为2，
∴点P的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．
10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )
A．2 B.
C. D.
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 D
解析 设|F1P|＝m，|F2P|＝n，|F1F2|＝2c，
由余弦定理，得(2c)2＝m2＋n2－2mncos 60°，
即4c2＝m2＋n2－mn，
设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴，
由椭圆、双曲线定义，得
m＋n＝2a1，m－n＝2a2，
∴m＝a1＋a2，n＝a1－a2，
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得
3a－4c2＋a＝0，
a1＝3a2，e1e2＝·＝＝1，
解得，e2＝，故选D.
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 C
解析 如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，
所以所求抛物线方程为y2＝x.
虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
12．已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO的面积之和的最小值是( )
A．2 B．3 C. D.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
答案 B
解析 如图，可设A(m2，m)，
B(n2，n)，其中m>0，n<0，
则＝(m2，m)，＝(n2，n)，
·＝m2n2＋mn＝2，
解得mn＝1(舍)或mn＝－2.
∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)·(x－n2)，
即(m＋n)(y－n)＝x－n2，
令y＝0，
解得x＝－mn＝2，
∴C(2,0)，点C为直线AB与x轴的交点．
S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥2＝3，当且仅当m＝，即m＝时等号成立．故△ABO与△AFO的面积之和的最小值为3.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________________．
考点 双曲线的标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
答案 －＝1
解析 由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，
又c2＝a2＋b2，所以c＝5，b＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
14．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为________________．
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 ＋＝1
解析 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，
双曲线x2－y2＝1的焦点坐标为(±，0)
由题意得
∴a2＝4，b2＝2，
∴椭圆的方程为＋＝1.
15．直线x－2y＋3＝0与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且P(－1,1)恰好为AB中点，则椭圆的离心率为________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时弦中点问题
答案
解析 由消去x，
得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，
Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，
∵线段AB的中点为(－1,1)，
∴＝2，得a2＝2b2.
又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2，∴e＝＝.
16．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于点A，B，若|AF|＝3|BF|，则l的斜率是________．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
答案 ±
解析 ∵抛物线C的方程为y2＝4x，
∴它的焦点为F(1,0)，
由题意知，直线l的斜率存在，
∴设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由消去x得y2－y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得y1＋y2＝，①
y1y2＝－4，②
∵|AF|＝3|BF|，
∴y1＋3y2＝0，可得y1＝－3y2，
代入①，②得－2y2＝，且－3y＝－4，
消去y2，得k2＝3，解得k＝±.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知一个椭圆中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为2.一双曲线和这个椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的标准方程．
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
解 ①若焦点在x轴上，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，c＝.
设双曲线方程为－＝1，m＝a－4.
∵＝，易得a＝7，m＝3.
∴b2＝36，n2＝4.
∴椭圆的标准方程为＋＝1，
双曲线的标准方程为－＝1.
②若焦点在y轴上，
同理可得椭圆的标准方程为＋＝1，双曲线的标准方程为－＝1.
18．(12分)已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别与双曲线C1的两条渐近线相交于A，B两点．当·＝3时，求实数m的值．
考点 直线与双曲线的位置关系
题点 直线与双曲线的位置关系
解 (1)∵双曲线C1：x2－＝1，
∴焦点坐标为(，0)，(－，0)．
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)，
∴解得
∴双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2)双曲线C1的两条渐近线分别为y＝2x，y＝－2x.
由可得x＝m，y＝2m，∴A(m,2m)．
由可得x＝－m，y＝m，
∴B.
∴·＝－m2＋m2＝m2.
∵·＝3，∴m2＝3，∴m＝±.
19．(12分)已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
(1)椭圆的方程；
(2)△PF1F2的面积．
考点 椭圆的几何性质
题点 求椭圆的标准方程
解 (1)令F1(－c,0)，F2(c,0)，
则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，
所以kPF1·kPF2＝－1，即·＝－1，
解得c＝5，所以设椭圆方程为＋＝1.
因为点P(3,4)在椭圆上，所以＋＝1.
解得a2＝45或a2＝5.
又因为a>c，所以a2＝5舍去．
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②
①2－②，得2|PF1|·|PF2|＝80，
所以＝|PF1|·|PF2|＝20.
20．(12分)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4，0)．
(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
(1)解 由已知，x＝4不合题意．设直线l的方程为
y＝k(x－4)，
由已知，抛物线C的焦点坐标为(1,0)，
因为点F到直线l的距离为，
所以＝，
解得k＝±，所以直线l的斜率为±.
(2)证明 设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为AB不垂直于x轴，
则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，
直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，
联立方程消去x，得
y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝，
因为N为AB的中点，
所以＝y0，即＝y0，
所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.
21．(12分)已知椭圆M：＋＝1(a>0)的一个焦点为F(－1，0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
考点 圆锥曲线的综合问题
题点 圆锥曲线的综合问题
解 (1)因为F(－1,0)为椭圆的焦点，所以c＝1，
又b＝，所以a＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，
此时可令D，C，
所以△ABD，△ABC的面积相等，|S1－S2|＝0.
当直线l的斜率存在时，
设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
和椭圆方程联立，
消去y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
因为焦点在椭圆内部，所以直线l与椭圆恒有两个交点，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
此时|S1－S2|＝2||y1|－|y2||＝2|y1＋y2|
＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)|
＝2|k(x2＋x1)＋2k|＝＝
≤＝，
所以|S1－S2|的最大值为.
22．(12分)如图，抛物线C1：y2＝4x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2.以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记作C2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1，A2两点，与椭圆C2交于B1，B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|的长．
考点 圆锥曲线的综合问题
题点 圆锥曲线的综合问题
解 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依据题意得c＝1，＝，
则a＝2，b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴垂直时，B1，B2，
又F1(－1,0)，
此时·≠0，
所以以B1B2为直径的圆不经过F1，不满足条件．
当直线l不与x轴垂直时，设l：y＝k(x－1)，
由消去y，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
因为焦点在椭圆内部，所以直线l与椭圆恒有两个交点．
设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为以B1B2为直径的圆经过F1，
所以·＝0，
又F1(－1,0)，
所以(－1－x1)(－1－x2)＋y1y2＝0，
即(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2＝0，
解得k2＝.
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A1(x3，y3)，A2(x4，y4)，
则x3＋x4＝＝2＋，
所以|A1A2|＝x3＋x4＋2＝2＋＋2＝.
