1.2 解三角形实际应用举例（1）
班级： 姓名： 小组：
学习目标 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题； 分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念； 将实际问题转化为解三角形问题。
学习重点 难点 重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解； 难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。
学法指导 回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，然后将实际问题转化为解三角形问题。
课前预习 （阅读课本，独立完成以下题目） 在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c， 1（正弦定理）.在RtΔABC中，∠C=900, csinA= , csinB= ， 即 = . 2（余弦定理）.c2= ；a2= ；b2= ； cosA= ；cosB= ；cosC=
预习评价 1. 已知ΔABC 中，A=600，B=300，a=3, 求边b=（ ） A.3 B.2 C. D. 2. 在三角形，，则三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
课堂学习研讨、合作交流
情景设置：对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。所以，有些方法会有局限性。于是对于实际问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 新课讲授 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏南60°,东北方向等．解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。 【精典范例】 【例】 【例】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇靠近渔轮所需的时间（时间精确到）.
课后检测 1.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得A,B两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长 2.从200ｍ高的电视塔顶Ａ测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，求这两个点之间的距离． 如图所示为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为 30°、45°，且A、B两点之间的距离为60m , 则树的高度为多少
学后反思
“如果一个人的注意力经常不能集中，那就让他学习数学好了.因为在证明数学定理时，即使是一刹那的思想不集中，就必须重新开始.”
复习. 下列解△ABC问题, 分别属于那种类型？根据哪个定理可以先求什么元素？
余弦定理先求出A,或先求出B
正弦定理先求出b
正弦定理先求出B(60o或120o)
余弦定理先求出a
2.3.1 解三角形的实际应用举例
学习目标：
1、会运用解三角形的理论解决简单的实际应用问题；
2、培养将实际问题化归为纯数学问题的能力。
解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念：
在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：
2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角，如图
解三角形的应用----
实地测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？
A
B
解三角形的应用----
实地测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？
A
B
α
β
C
解三角形的应用----
实地测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？
C
简解：由正弦定理可得
AB/sinα=BC/sinA
=a/sin(α+β)
a
例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是 。
A
C
B
距离问题.
解：应用正弦定理，C=45 °
BC/sin60°=10/sin45°
BC=10sin60 °/sin45°
距离问题.
练习1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东200, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东650方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）
解：AB=16，由正弦定理知：
BS/sin20°=AB/sin45°
可求BS=7.7海里。
练习2.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得A,B两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长
C
距离问题.
由余弦定理可解AB长。进而求DE。
解略。
析：
练习3设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
4、计算要认真，准确计算出答案。
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。
2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。
3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。
例2 一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45o 、距离为10海里的C处，并测得渔船以9海里/时的速度正沿方位角为105o的方向航行，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救。求出舰艇的航向和赶上遇险渔船所需的最短时间，能否营救成功？
航海问题.
N
N
45o
105o
10海里
A
C
航海问题
解：设所需时间为t小时，在点B处相遇（如图）在△ABC中， ?ACB = 120?, AC = 10, AB = 21t, BC = 9t
由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2 ? 2×10×9t×cos120? 整理得： 36t2 ?9t ? 10 = 0
解得：
∴航向为北45o+22o=67o 东
时间40分钟能营救成功。
例2 一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45o 、距离为10海里的C处，并测得渔船以9海里/时的速度正沿方位角为105o的方向航行，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救。求出舰艇的航向和赶上遇险渔船所需的最短时间，能否营救成功？
10海里
航海问题
练习1、我舰在敌岛A南50°西相距12海里B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10海里/时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的速度大小为 。
南
B
分析：2小时敌舰航行距离AC=20，由AB=12，∠BAC=120°，
余弦定理可解我舰航行距离 BC。（略）
1、审题（分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图；
2.建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）
3.求模（正确运用正、余弦定理求解）
4，还原。
求解三角形应用题的一般步骤：
《解三角形实际应用》
分享感悟，小结提升
你收获了什么？
海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北75°东，航行20 海里后，见此岛在北30°东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。
B
C
祝大家开心每一天！
谢谢
作业巩固
必做题 ：
教学稿课后检测
P10微专题1，2
选做题：
微专题3
解三角形的应用举例
一、教材分析
《解三角形应用举例》是高中数学必修五第一章《解三角形》第2节的内容，是学完了正弦定理和余弦定理后对定理的应用，共两课时，本节课为第一课时。 本节课重点是创设问题情境，通过对不可到达桥头的桥长、不可到达底部的塔高的测量方法的探究，运用正余弦定理来解决解三角形相关的问题，让学生亲身经历和体验运用三角函数来解决实际问题的过程，培养学生抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，使学生感受到“生活处处有数学”，提高应用数学的意识
二、学情分析
本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的： ⑴学生高一年级学生； ⑵学生已经熟练掌握利用正、余弦定理解三角形的解法； ⑶学生对生活中的数学问题兴趣浓厚，有多次小组合作解决实习作业的体验； ⑷学生数学建模的能力还不强
三、教学目标
1、知识与技能
①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义
②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）
③将实际问题转化为解三角形问题。掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形,能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
2、过程与方法
①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架
②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用
3、情感态度价值观
①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值
②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
四、教学重点
1、分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法；
2结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；
3、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系；
五、教学难点
1、实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图；
2、能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；
3、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题；
六、学法与教学用具?
让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。?
七、教学用具：直角板、投影仪（多媒体教室）
八、教学手段和方法
?⑴自主学习策略：借助预习提纲引导学生自主学习，分析教材中的例题蕴含的解题方略，从而带着问题进入课堂，提升思维的深度和广度； ⑵情景创设策略：设计与生活实际紧密联系的问题情境，让教学活动在不断提出问题、不断解决问题之中展开，最大限度地激发学生的学习欲望和学习热情，提高学习效果； ⑶合作探究学习策略：建立小组讨论、交流、合作机制，创设民主合作、宽松活泼的课堂气氛，使学生人人积极参与，个个体验到成功的喜悦，维持学生主动学习的动机； ⑷探究引导策略：通过教师的适时点拨、启发，突破小组合作探究的难点，使每一个学生都有所得，把课堂变成学生再发现、再创造的阵地?
九、教学过程
1、复习旧知?
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？?
2、设置情境?
设计意图引言“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，上述方法存在特殊性，不能完全实施。今天我们就来学习更一般的在实践中使用正弦定理和余弦定理解决实际问题。通过引言，让学生体会解三角形在生活中的广泛应用，激发学生对于本堂课内容的浓厚兴趣今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
3、授新知
【知识点】实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．
(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏南60°,东北方向等．
【例题分析】
一、测量距离问题
例题讲解
引例：想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？
简解：由正弦定理可得
AB/sinα=BC/sinA
=a/sin(α+β)
例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是 （教师示范）
练习1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东200, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东650方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）
变式训练
1、如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．
A．50 m B．50 m C．25 m D. m
2、测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
（由学生小组合作模式得出结果，并讨论解三角形步骤，以小组模式在黑板展示解答结果，同时经学生作品用投影仪展示并点评）
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。
2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。
3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。
4、计算要认真，准确计算出答案。
二、航海问题
例2 一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45o 、距离为10海里的C处，并测得渔船以9海里/时的速度正沿方位角为105o的方向航行，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救。求出舰艇的航向和赶上遇险渔船所需的最短时间，能否营救成功？ （教师精讲）
练习：我舰在敌岛A南50°西相距12海里B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10海里/时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的速度大小为 。（学生展示并点评）
求解三角形应用题的一般步骤：
1、审题（分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图；
2.建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）
3.求模（正确运用正、余弦定理求解）
4.检验（根据题目的实际情况取舍）
课后思考：
海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北75°东，航行20 海里后，见此岛在北30°东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险
课后作业：
必做题 ：
教学稿课后检测
P10微专题1，2
选做题：
微专题3
课堂小结
你们有什么收获？
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题 (?https:?/??/?www.5ykj.com?/?shti?/?" \t "_blank?)意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想.
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