§3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
学习目标 1.了解数系的扩充过程与引入复数的必要性.2.理解复数的有关概念及其代数形式.3.掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系及复数相等的充要条件.4.利用两个复数相等的充要条件解决实际问题．
知识点一 对虚数单位的理解
在实数集中，有些方程是无解的，例如x2＋1＝0，为此，人们引进一个新数i，并且规定：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1；
(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
知识点二 复数的概念与分类
思考 为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
梳理 (1)复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
(2)复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
知识点三 两个复数相等的充要条件
思考 由4>2能否推出4＋i>2＋i?
答案 不能．当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
梳理 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
知识点四 复数的分类
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( × )
2．复数z＝bi是纯虚数．( × )
3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ )
类型一 数系的扩充与复数的概念
例1 (1)在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)给出下列四个命题：
①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等；④若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 (1)C (2)A
解析 (1)i，(1－)i为纯虚数；2＋，0,0.618是实数；8＋5i是虚数．
(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不一定成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题．对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题．对于③，复数3－4i的实部为3，复数4－3i的虚部为－3，因此③为假命题．对于④，当a＝－1时，(a＋1)i为实数，所以④为假命题，因此四个命题都是假命题．
反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
跟踪训练1 下列命题：
①1＋i2＝0；
②若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
③两个虚数不能比较大小．
是真命题的为________．(填序号)
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 ①③
解析 ②当x＝i，y＝1时，x2＋y2＝0，所以②错．
所以①③正确．
类型二 复数的分类
例2 求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)虚数；(2)纯虚数．
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
解 (1)复数z是虚数的充要条件是
解得m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数．
(2)复数z是纯虚数的充要条件是
解得即m＝3.
∴当m＝3时，复数z是纯虚数．
引申探究
1．若本例条件不变，m为何值时，z为实数．
解 由已知得，复数z的实部为，
虚部为m2＋5m＋6.
复数z是实数的充要条件是
解得即m＝－2.
∴当m＝－2时，复数z是实数．
2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝________时，z为纯虚数．
答案 3或－2
解析 由题意知
解得m＝3或－2.
反思与感悟 根据复数的定义，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数．要充分理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的另一个必要条件是b≠0，计算中分母不为0也不可忽视．
跟踪训练2 已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)纯虚数．
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
解 (1)因为z是零，所以解得m＝1.
故当m＝1时，z是零．
(2)因为z是纯虚数，所以解得m＝0.
故当m＝0时，z是纯虚数．
类型三 复数相等及应用
例3 若关于x的方程(1＋i)x2－2(a＋i)x＋5－3i＝0(a∈R)有实数解，求a的值．
考点 复数相等
题点 利用复数相等解决一元二次方程
解 将原方程整理，得(x2－2ax＋5)＋(x2－2x－3)i＝0.
设方程的实数解为x0，代入上式得
(x－2ax0＋5)＋(x－2x0－3)i＝0.
由复数相等的充要条件，得
得a＝或a＝－3.
反思与感悟 已知两个复数相等求参数值的问题，可根据相等的定义将其转化为方程(组)来求解．当两个复数相等时，应先分清两个复数的实部与虚部，然后让实部与实部相等，虚部与虚部相等．
跟踪训练3 (1)满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为( )
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
答案 A
解析 依题意得解得故选A.
(2)已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
解 由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，
∴解得a＝－1.
1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是( )
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1 B．2
C．3 D．0
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 A
解析 易知①正确，②③错误，故选A.
2．下列各数中，纯虚数的个数是( )
2－，i，i2,5i＋8，i2＋1＋3i,0.618＋ai(a∈R)．
A．0 B．1
C．2 D．3
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 C
解析 由纯虚数的定义知，i，i2＋1＋3i＝3i是纯虚数．
3．复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ ＋isin θ(θ∈R)，若z1＝z2，则θ等于( )
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
答案 D
解析 由复数相等的充要条件可知，
∴cos θ＝，sin θ＝，
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.
4．3i2＋7i的实部为________，虚部为________．
考点 复数的概念
题点 求复数的实部与虚部
答案 －3 7
解析 3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.
5．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 －1
解析 ∵z<0，∴z为实数且小于0，∴
解得m＝－1.
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．
一、选择题
1．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是( )
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－3
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．1的平方等于i
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 C
解析 对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D,1的平方仍为1.故选C.
2．i是虚数单位，i＋i2＋i3等于( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
考点 虚数单位i及其性质
题点 虚数单位i的运算性质
答案 A
解析 i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.
3．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
答案 C
解析 易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，
则a＝－1.
4．复数i的虚部为( )
A．2 B．－
C．2－ D．0
考点 复数的概念
题点 求复数的实部与虚部
答案 C
5．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a≤0
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 D
解析 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.
6．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 B
解析 因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，
所以解得a＝2.
7．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
考点 复数相等
题点 利用复数相等解决一元二次方程
答案 B
解析 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得∴z＝3－i.
8．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A. B．2 C．0 D．1
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
答案 D
解析 由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
二、填空题
9．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
答案 －4
解析 易知解得a＝－4.
10．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹方程是__________．
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析 由复数相等的充要条件知，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
11．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 －2
解析 由解得m＝－2.
三、解答题
12．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 (1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
13．已知复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)若z是纯虚数，求a的值；
(2)若z是虚数，且z的实部比虚部大，求a的取值范围．
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)若z是纯虚数，可得a2－1＝0，a2－3a＋2≠0，
解得a＝－1.
(2)若z是虚数，且z的实部比虚部大，
可得a2－1>－a2＋3a－2≠0，
解得a>1或a<且a≠2.
所以a的取值范围为∪(1,2)∪(2，＋∞)．
四、探究与拓展
14．已知(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，且m∈R，n∈N*，则m＋n＝________.
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 1或2
解析 由题意得
由②，得m＝0或m＝3.
当m＝0时，由(m＋n)≥－1，得0
∴n＝1或n＝2.
当m＝3时，由(m＋n)≥－1，得0∴－3∴m，n的值分别为m＝0，n＝1或m＝0，n＝2.
故m＋n的值为1或2.
15．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．
考点 复数相等
题点 由复数相等解决一元二次方程问题
解 设a为方程的一个实数根，则有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.
由复数相等的充要条件得
解得
故实数m的值为.
3.1.2 复数的几何意义
学习目标 1.了解复数z、复平面内的点Z、向量之间的一一对应关系.2.理解并掌握复数的几何意义.3.通过对复数的几何意义的学习，了解“数与形”之间的联系，提高用数形结合思想解决问题的能力．
知识点一 复平面的定义
思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
答案 任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．
思考2 判断下列命题的真假：
①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；
④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．
答案 ①②③正确，④⑤错误．因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以④错．因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，所以⑤错．
梳理 如图所示，点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
知识点二 复数的几何意义
思考 平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？
答案 向量的起点是原点．
梳理 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量是一一对应的．
知识点三 复数的模
思考 (1)复数的模一定是正数吗？
(2)若复数z满足|z|＝1，则在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？
答案 (1)不一定，复数的模是非负数，即|z|≥0.
当z＝0时，|z|＝0；
反之，当|z|＝0时，必有z＝0.
(2)点Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的一个圆．
梳理 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为，则向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ )
2．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( × )
类型一 复平面的相关概念
例1 (1)对于复平面，下列说法错误的是( )
A．实轴上的点都表示实数，表示实数的点都在实轴上
B．虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上
C．第一象限的点都表示实部为正数的虚数
D．实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
(2)下列命题为假命题的是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
(3)向量＝(0，－3)对应的复数是________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
(4)已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案 (1)B (2)D (3)－3i (4)
解析 (1)原点是虚轴上的点，但它表示实数．
(2)D中两个复数不一定能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错．
(3)易知向量对应的复数为－3i.
(4)|z|＝＝.
反思与感悟 确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．
跟踪训练1 已知复数z＝m－2－(4－m2)i，且复数z在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m的值为( )
A．0 B．2 C．－2 D．±2
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 当点在虚轴上时，实部m－2＝0，∴m＝2.
类型二 复数的几何意义
例2 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
解 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即当－3(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
引申探究
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；(2)第四象限．
解 (1)当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上．
(2)当实数x满足
即当2反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练2 (1)当0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 D
解析 z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点为(m＋1，m－1)，
∵0∴点(m＋1，m－1)位于第四象限．
(2)已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
解 因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，
所以＝(－3,4)，＝(2a,1)．
因为与共线，所以存在实数k，使得＝k，
即(2a,1)＝(－3k,4k)，所以所以
故a的值为－.
类型三 复数的模
命题角度1 复数模的基本运算
例3 (1)如果复数z＝1＋ai满足条件|z|<2，那么实数a的取值范围是( )
A．(－2，2) B．(－2,2)
C．(－1,1) D．(－，)
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用模的定义求复数
(2)若复数z＝sin －icos ，则|z|＝________.
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案 (1)D (2)
解析 (1)因为|z|<2，所以<2，
则1＋a2<4，所以a2<3，
解得－(2)因为z＝－i，
所以|z|＝＝.
反思与感悟 复数的模的几何意义是复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加以理解．
跟踪训练3 设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，且z1＋z2＝＋i，求z1与z2.
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用模的定义求复数
解 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝＋i，
∴a＋c＝，且b＋d＝，
∴a＝－c，b＝－d，
∴z1＝＋i，z2＝c＋di.
∵|z1|＝|z2|＝1，
∴ ＝＝1，
解得或
∴z1＝－＋i，z2＝1或z1＝1，z2＝－＋i.
命题角度2 复数模的几何意义
例4 已知z＝cos ＋isin ，i为虚数单位，那么在平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点的轨迹是( )
A．圆面
B．以点C为圆心，半径等于1的圆
C．满足方程x2＋y2＝1的曲线
D．满足方程(x－1)2＋(y－2)2＝的曲线
考点 复数的几何意义的综合应用
题点 利用几何意义解决轨迹、图形
答案 B
解析 由z＝cos ＋isin ，
得|z|＝1，故到点C(1,2)的距离为1的点的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，
该方程表示以点C为圆心，半径等于1的圆．
反思与感悟 对于复数的模，可以从以下两个方面进行理解：一是任何复数的模都为一个非负的实数；二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离．
跟踪训练4 已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，复数z的虚部为，且|z|＝2，若复数z在复平面内对应的点在第二象限，则复数z＝________.
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用复数的模的定义求复数
答案 －1＋i
解析 由已知得∴
又∵复数z对应的点在第二象限，
∴a＝－1，则z＝－1＋i.
1．复数z与它的模相等的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案 D
解析 由z＝|z|，故z∈R且z≥0.
2．已知与x轴同方向的单位向量为e1，与y轴同方向的单位向量为e2，则它们对应的复数分别是( )
A．e1对应实数1，e2对应虚数i
B．e1对应虚数i，e2对应虚数i
C．e1对应实数1，e2对应虚数－i
D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
答案 A
解析 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 －1或4
解析 由题意知m2－3m－4＝0，解得m＝－1或m＝4.
4．若复数z＝3a－6i的模为，则实数a的值为________．
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用模的定义求复数
答案 ±
解析 由|z|＝＝，解得a＝±.
5．已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用模的定义求复数
解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)，
∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，
∴a2<7，∴a∈(－，)．
方法二 由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
∴线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，
由图可知－1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法(即数形结合法)解决，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．
一、选择题
1．若＝(0，－3)，则对应的复数( )
A．等于0
B．等于－3
C．在虚轴上
D．既不在实轴上，也不在虚轴上
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
答案 C
解析 对应的复数为－3i.
2．复数z＝－1＋2 017i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 复数z＝－1＋2 017i(i是虚数单位)在复平面内对应的点为(－1,2 017)，位于第二象限．
3．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0 D．a＝0
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 C
解析 由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.
4．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用模的定义求复数
答案 A
解析 由题意知|z|＝＝2，
解得m＝1或3.
5．复数z1＝1＋i，z2＝1－i在复平面内对应的点关于( )
A．实轴对称
B．虚轴对称
C．一、三象限的平分线对称
D．二、四象限的平分线对称
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 A
解析 由两复数实部相等，虚部互为相反数，得复数z1＝1＋i，z2＝1－i在复平面内对应的点关于实轴对称．
6．已知0A．(1,5) B．(1,3)
C．(1，) D．(1，)
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案 C
解析 由已知得|z|＝.
由0∴|z|＝∈(1，)．故选C.
7．若A，B是锐角三角形ABC的两内角，则复数z＝(cos B－sin A)＋(sin B－cos A)i在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 ∵A，B是锐角三角形ABC的两内角，
∴A＋B>，
∴A>－B，且A∈，∈，
∴sin A>sin，
即sin A>cos B，∴cos B－sin A<0.
同理可得sin B>cos A，
∴sin B－cos A>0，
∴z在复平面内所对应的点位于第二象限．
二、填空题
8．设z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面内的点Z(a，b)对应，当b＝________时，点Z位于实轴上．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 0
解析 当b＝0时，复数z＝a＋bi＝a为实数，其在复平面内对应的点落在实轴上．
9．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 5
解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
10．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.
考点 复数的模的定义与应用
题点 由复数模的定义求复数
答案 －15－8i或15－8i
解析 设复数z＝a－8i(a∈R)，
∵＝17，∴a2＝225，
∴a＝±15，∴z＝－15－8i或15－8i.
11．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 13
解析 复数z＝－5－12i在复平面内对应的点为(－5，－12)，
所以所求距离d＝13.
三、解答题
12.在复平面内，A，B，C，D，E，F六个点的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)．指出各点表示的复数，并对这些复数进行归类．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
解 由图中所给点的位置可得A点对应的复数为1＋i，B点对应的复数为3i，C点对应的复数为－2＋2i，D点对应的复数为－2－2i，E点对应的复数为－2i，F点对应的复数为2.
对复数进行分类可得，虚数有A点对应的复数1＋i，B点对应的复数3i，C点对应的复数－2＋2i，D点对应的复数－2－2i，E点对应的复数－2i.其中，纯虚数有B点对应的复数3i和E点对应的复数－2i.
实数有F点对应的复数2.
13．设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(?UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹．
考点 复数的几何意义的综合应用
题点 利用几何意义解决轨迹、图形问题
解 因为z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R，
由||z|－1|＝1－|z|得1－|z|≥0，
即|z|≤1，所以A＝{z||z|≤1，z∈C}．
又B＝{z||z|<1，z∈C}，
所以?UB＝{z||z|≥1，z∈C}．
因为z∈A∩(?UB)等价于z∈A且z∈?UB，
所以解得|z|＝1.
由模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．
四、探究与拓展
14．已知z1，z2是复数，以下结论正确的是( )
①若z1＋z2＝0，则z1＝0，且z2＝0；
②若|z1|＋|z2|＝0，则z1＝0，且z2＝0；
③若|z1|＝|z2|，则向量和重合．
A．仅②正确 B．仅②③正确
C．仅①②正确 D．仅③正确
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
答案 A
解析 ①z1＋z2＝0只能说明z1＝－z2.②|z1|＋|z2|＝0，说明|z1|＝|z2|＝0，即z1＝z2＝0.③|z1|＝|z2|，说明||＝||，但与方向不一定相同．所以仅②正确．故选A.
15．设z＝a＋bi(a，b∈R)，求在复平面内满足下列条件的点的集合所组成的图形．
(1)|a|<2，且|b|<2；
(2)|z|≤2，且|b|>1；
(3)|z|＝2，且a>b.
考点 复数的几何意义的综合应用
题点 利用几何意义解决轨迹、图形问题
解 (1)在复平面内，满足不等式|a|<2的点组成的图形是位于两条平行直线x＝±2之间的部分(不包括两条直线)，满足不等式|b|<2的点组成的图形是位于两条平行直线y＝±2之间的部分(不包括两条直线)，两者的公共部分即为所求，即以原点为中心，边长等于4，各边分别平行于坐标轴的正方形区域，但不包括边界，如图①所示．(2)不等式|z|≤2的解集对应的点的集合所组成的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆的内部及其边界，满足条件|b|>1的点的集合所组成的图形是直线y＝1以上及直线y＝－1以下的点组成的图形，两者的公共部分即为所求，即以原点为圆心，以2为半径的圆被直线y＝±1所截得的两个弓形区域，但不包括弦上的点，如图②所示．(3)方程|z|＝2的解集对应的点的集合所组成的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆周，满足条件a>b的点组成的图形是位于直线y＝x下方的半平面，其中不包括直线y＝x上的点，两者的公共部分即为所求，如图③所示．
§3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
学习目标 1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质．
知识点一 复数代数形式的加减法
思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
思考2 若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?
答案 不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
梳理 (1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
知识点二 复数加减法的几何意义
思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？
答案 如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，
则＝(a，b)，＝(c，d)，
由平面向量的坐标运算，得＋＝(a＋c，b＋d)，
所以＋与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．
思考2 怎样作出与复数z1－z2对应的向量？
答案 z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.
梳理
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )
2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ )
3．复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( × )
类型一 复数的加、减法运算
例1 计算：(1)＋；
(2)(3＋2i)＋(－2)i；
(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
考点 复数的加减运算法则
题点 复数加减法的综合应用
解 (1)原式＝－i＝－i.
(2)(3＋2i)＋(－2)i＝3＋(2＋－2)i＝3＋i.
(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.
反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．
跟踪训练1 (1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.
考点 复数的加减运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 (1)6－2i (2)－a＋(4b－3)i (3)－4＋3i
解析 (1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i，
∴解得
∴z＝－4＋3i.
类型二 复数加、减法的几何意义
例2 已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
(1)求z1－z2；
(2)在复平面内作出z1－z2的运算结果所对应的向量．
考点 复数的加减运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
解 (1)z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.
(2)在复平面内作z1－z2的运算结果所对应的向量，如图中所示的.
反思与感悟 复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算．
跟踪训练2 已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 C
解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，
故复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－3)，故选C.
类型三 复数加、减法及其几何意义的综合运用
例3 已知复数z的模为2，求复数1＋i＋z的模的最大值、最小值．
考点 复数加减法的几何意义的应用
题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题
解 由已知得，在复平面内复数z对应的点Z在以原点为圆心，半径为2的圆上．
设w＝1＋i＋z，∴z＝w－1－i，
∴|z|＝|w－(1＋i)|＝2，
∴在复平面内复数w对应的点在以(1，)为圆心，半径为2的圆上，且该圆过点(0,0)，
故|1＋i＋z|max＝4，|1＋i＋z|min＝0.
反思与感悟 在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去起点所对应的复数所得的差，即所对应的复数是zB－zA，所对应的复数是zA－zB，不可把被减数与减数弄错．
跟踪训练3 在平行四边形ABCD中，点A，B，C对应的复数分别为4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是( )
A．2－3i B．4＋8i
C．4－8i D．1＋4i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 C
解析 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i.
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.
又＝，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.
1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( )
A．1 B．－i
C．5＋2i D．1－i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 A
解析 (3＋i)－(2＋i)＝1.
2．在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
答案 C
解析 ＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，
故＋对应的复数为0.
3．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于( )
A．1 B. C．2 D．2
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 D
解析 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.
4．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2∈R)，则|z2－z1|＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案
解析 ∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，
∴z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，
∴|z2－z1|＝.
5．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则2z1＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 8＋2i
解析 两式相加得2z1＝8＋2i.
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
一、选择题
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 A
解析 z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，
即 ∴x＝y＝1，则xy＝1.
2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 C
解析 z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，
由题意知解得a＝－2.
3．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 D
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝2＋i，
则 解得
∴z＝＋i.
4．已知z1＝3－4i，z2＝－1＋2i，则复数z＝z1＋z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 D
解析 z＝z1＋z2＝3－4i＋(－1＋2i)＝2－2i，z在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限．
5．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1对应的向量是( )
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
答案 A
解析 由题图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，故选A.
6．已知z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0 B．1 C. D.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 C
解析 由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是直线y＝－x，
∴|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，
故所求最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离.
7．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．4 D．8
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 C
解析 ∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi，
∴|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
∴x＝－2y＋3，∴2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝8×y＋4y≥4，
当且仅当8×y＝4y，
即y＝时，等号成立．
二、填空题
8．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝________.
考点 复数的加减法的运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 16i
解析 原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.
9．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是z＝________.
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
答案 ＋i
解析 设这个复数为z＝x＋yi(x，y∈R)，
∴x＋yi＋＝5＋i，
∴∴
∴z＝x＋yi＝＋i.
10．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
考点 复数的加减法的运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 5－9i －8－7i
解析 z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又z＝13－2i，
所以解得
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.
11．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 －4
解析 因为＋＝，
所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以解得故a－b＝－4.
三、解答题
12．(1)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求x＋yi；
(2)已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，求实数a的值．
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
解 (1)∵z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i，
又z1＋z2＝5－6i，
∴∴∴x＋yi＝2＋8i.
(2)∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴解得a＝－1.
13．复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，m∈R.若z1＋z2>0，求实数m的值．
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
解 z1＋z2＝(－2mi)＋(－m＋m2i)＝(－m)＋(m2－2m)i.
∵z1＋z2>0，∴z1＋z2为实数且大于0，
∴解得m＝2.
四、探究与拓展
14．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________.
考点 复数的加减法的运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 3
解析 z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]
＝＋[(a＋1)－(b＋2)]i＝＋(a－b－1)i＝4，
∴解得∴a＋b＝3.
15．设z为复数，D为满足条件||z|－1|＋|z|－1＝0的点Z所构成图形的边界．
(1)若复数ω＝z＋1－2i(其中z∈D)，试证明表示复数ω的点在某一个圆上运动，并写出此圆的复数方程；
(2)若满足条件＝的点所构成的图形D′与D有两个公共点A，B，OA，OB的倾斜角分别为α，β(O为原点)，求cos(α＋β)的值．
考点 复数加减法几何意义的应用
题点 与加减法几何意义有关的综合应用
解 (1)由已知得||z|－1|＝－(|z|－1)，
∴|z|－1≤0，即|z|≤1，∴|z|＝1.
又∵ω＝z＋1－2i，
∴ω－1＋2i＝z，
∴|ω－(1－2i)|＝|z|＝，
∴ω所对应的点在以(1，－2)为圆心，为半径的圆上运动．
圆的复数方程为|ω－(1－2i)|＝.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
∵|z|＝1，∴x2＋y2＝1.①
由＝，得x＝－3y＋2.②
把②代入①整理得10y2－12y＋3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1·y2＝.
又x2＋y2＝1，
设x1＝cos α，x2＝cos β，y1＝sin α，y2＝sin β，
∴sin α·sin β＝y1·y2＝，
cos α·cos β＝x1·x2＝(－3y1＋2)(－3y2＋2)＝9y1y2－6(y1＋y2)＋4＝－.
∴cos(α＋β)＝－.
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
学习目标 1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则.2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律.3.理解并掌握共轭复数的性质及应用．
知识点一 复数的乘法及运算律
思考 请你探究in(n∈N*)的取值情况及其规律．
答案 in(n∈N*)的取值只有i，－1，－i,1，且具有周期性，具体取值规律为：i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1，k∈N.
梳理 (1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
知识点二 共轭复数
思考 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？
答案 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数，且有z·＝|z|2＝||2.事实上，若z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z·＝(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2.
梳理 (1)共轭复数的概念
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．z的共轭复数用表示．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
(2)共轭复数的性质
①在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．
②实数的共轭复数是它本身，即z＝?z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．
③若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．
④a.z·＝|z|2＝||2；b.|z|＝||；c.z＋＝2a，z－＝2bi(z＝a＋bi，a，b∈R)．
知识点三 复数的除法法则
1．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则＝＝＋i.
复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.
2．实数的平方根
设a∈R，当a＝0时，a的平方根为0；当a>0时，a的平方根是两个实数±；当a<0时，a的平方根是两个共轭纯虚数±i.
3．虚数的平方根
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，x＋yi(x，y∈R)是z＝a＋bi的平方根，则有(x＋yi)2＝a＋bi，即x2－y2＋2xyi＝a＋bi，所以有解方程组求出x，y的值即可．
1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减．( √ )
2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )
3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( × )
类型一 复数的乘、除法运算
命题角度1 复数乘、除法基本运算
例1 (1)i(1－i)2的值等于( )
A．－4 B．2 C．－2i D．4i
(2)若复数z满足(1－z)(1＋2i)＝i，则在复平面内表示复数z的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)若复数z满足(1＋i)·z＝2i(i为虚数单位)，则复数z＝________.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 (1)B (2)D (3)1＋i
解析 (1)i(1－i)2＝i(－2i)＝2.
(2)由(1－z)(1＋2i)＝i，得z＝1－＝＝＝－i，在复平面内表示复数z的点的坐标为，位于第四象限．
(3)z＝＝＝＝1＋i.
反思与感悟 (1)两个复数代数形式乘法的一般运算方法：首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
③(1±i)2＝±2i.
跟踪训练1 (1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 2
解析 因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，
得a＝2，b＝1，所以＝2.
(2)已知复数z满足(z＋2)＝4＋3i，求z.
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i.
得
解得或
所以z＝－i或z＝－i.
命题角度2 复数乘除法的灵活运算
例2 计算下列各式：
(1)i2 016＋(＋i)8－50；
(2)6.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
解 (1)原式＝i4×504＋[2(1＋i)2]4－25
＝1＋(4i)4－i25＝257－i.
(2)原式＝2＝2＝(－1)2＝1.
反思与感悟 复数四则运算的解答策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算法则可以类比多项式的运算法则，除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．
(2)记住一些结论，如(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i等．
跟踪训练2 (1)2 005等于( )
A．i B．－i
C．22 005 D．－22 005
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 A
解析 原式＝2 004＝i.
(2)计算：
①＋2 000＋；
②1＋in＋i2n＋…＋i2 000n(n∈N*)．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
解 ①原式＝＋(－i)1 000＋
＝i＋1＋＋i＝＋i.
②当n＝4k(k∈N*)时，原式＝＝2 001.
当n≠4k(k∈N*)时，
原式＝＝＝＝1.
类型二 复数运算的综合应用
例3 试判断方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0是否有实根，并解该方程．
考点 复数乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
解 设x0是方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0的实根，
则x－(4－2i)x0＋3－2i＝0，
整理得(x－4x0＋3)＋(2x0－2)i＝0，
则
解得x0＝1，故该方程有实根．
根据根与系数的关系，得方程的两个根分别为1,3－2i.
反思与感悟 根据复数相等的充要条件解决复系数方程是否有实根问题时，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，化复数问题为实数问题来解决．
跟踪训练3 (1)复数2＋2i的平方根是( )
A.＋i B.±i
C．±＋i D．±(＋i)
(2)已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＋q的值为( )
A．22 B．36 C．38 D．42
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 (1)D (2)C
解析 (1)设复数2＋2i的平方根为x＋yi(x，y∈R)，
则x2－y2＋2xyi＝2＋2i，
∴解得或
∴所求平方根为＋i或－－i.
(2)∵z＝－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
∴2×(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，
即2×(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0，
得10＋q－3p＋(2p－24)i＝0.
由复数相等得解得
∴p＋q＝38.
类型三 共轭复数的概念及其应用
例4 (1)若z＝，则复数等于( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
(2)若复数z满足(2－i)z＝5i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数的模是________．
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 (1)D (2)
解析 (1)∵z＝＝＝＝2－i，
∴＝2＋i.
(2)由已知z＝＝＝i(2＋i)＝－1＋2i，故||＝|z|＝.
反思与感悟 (1)已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
(2)共轭复数的常用性质：①z·＝|z|2＝||2；
②＝＋，＝－，＝·，＝(z2≠0)；
③若z∈R，则z＝，反之亦成立；若z为纯虚数，则z＋＝0，反之亦成立．
跟踪训练4 (1)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，则的共轭复数为________．
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 i
解析 m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，
可得m＝2，n＝－2，
＝＝＝＝－i.
所以它的共轭复数为i.
(2)已知复数z满足：z·＋2zi＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴解得
∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.
1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于( )
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 A
解析 z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i.
2．若i是虚数单位，则等于( )
A.－i B.＋i
C.＋i D.－i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 B
解析 ＝＝＝＋i.
3．计算：10＝________.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 －1
解析 10＝10＝(－i)10＝－1.
4．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案
解析 ＝＝
＝，
根据已知条件，得a＝.
5．计算：
(1)＋－；
(2)(＋i)5＋4＋7.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
解 (1)原式＝[(1＋i)2]3＋[(1－i)2]3·－
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－
＝8＋8－16－16i
＝－16i.
(2)(＋i)5＋4＋7
＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋2＋i7
＝16(－1＋i)－－i
＝－＋(16－1)i.
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
一、选择题
1．已知i为虚数单位，复数z＝在复平面内对应的点为( )
A. B.
C. D.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 运算结果与点的对应
答案 B
解析 z＝＝＝－i，
故复数z在复平面内对应的点为.
2．已知i为虚数单位，则等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 C
解析 ＝＝＝2－3i.
3．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于( )
A．20＋15i B．20－15i
C．－20－15i D．－20＋15i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 D
解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i－6i＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i＋4i＋2＝－20＋15i.
4．已知i为虚数单位，则2 015等于( )
A．－i B．－1 C．i D．1
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 A
解析 2 015＝i2 015＝i503×4＋3＝i3＝－i.
5．已知i为虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于( )
A．－ B. C．－2 D．2
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案 D
解析 (1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(2a＋1)i，
因为它为纯虚数，所以即a＝2.
6．若复数z满足(＋3i)z＝3i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A.－i B.＋i
C.－i D.＋i
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 C
解析 z＝＝＝，
则＝－i.
7．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}满足“对任意的x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b＋c＋d等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．i
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的未知数求解
答案 B
解析 由已知条件得b＝－1，c＝±i，d＝－c，
∴b＋c＋d＝－1.
二、填空题
8．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则＝________.
考点 共轭复数的定义与应用
题点 与共轭复数有关的综合问题
答案 －1＋2i
解析 ∵z＝－1－i，∴＝－1＋i，
＝＝＝－1＋2i.
9．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 1
解析 根据已知可得2－ai＝b＋i，
∴即∴a＋b＝1.
10．若关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 运算结果与点的对应
答案 二
解析 ∵mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，
∴∴m<0，p>0.
故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
三、解答题
11．计算：(1)(4i－6)；
(2).
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
解 (1)(4i－6)
＝·4i＋·(－6)＋i·4i＋i·(－6)
＝2i－3－6－9i＝－9－7i.
(2)
＝
＝
＝－i(1＋2i)＝2－i.
12．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c∈R)．
(1)求b，c的值；
(2)试证明1－i也是方程的根．
考点 复数四则运算的综合运用
题点 与混合运算有关的方程问题
(1)解 ∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(2＋b)i＝0，
∴解得
(2)证明 由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
∴(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，
∴1－i也是方程的根．
13．已知复数z1，z2满足条件|z1|＝2，|z2|＝3,3z1＋2z2＝6，求z1和z2.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
解 方法一 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
∵|z1|＝2，|z2|＝3，
∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝9.
由3z1＋2z2＝6得(3a＋2c)＋(3b＋2d)i＝6，
∴
由①得a＝，由②得b＝－d，
将其代入a2＋b2＝4，得c2＋d2＝6c.③
将③与c2＋d2＝9联立，解得c＝，d＝±，
再将c，d的值代入①②，得a＝1，b＝?.
∴或
方法二 由3z1＋2z2＝6得2z2＝6－3z1.
∵|z2|＝3，∴|2z2|＝6，
∴|6－3z1|＝6，即|2－z1|＝2.
设z1＝x＋yi(x，y∈R)，将其代入|2－z1|＝2得|2－x－yi|＝2，
即(2－x)2＋y2＝4.①
又∵|z1|＝2，∴x2＋y2＝4.②
由①②得x＝1，y＝±.
∴或
四、探究与拓展
14．下面关于复数z＝的结论正确的是( )
①|z|＝2；
②z2＝2i；
③z的共轭复数为1＋i；
④z的虚部为－1.
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案 C
解析 因为z＝＝＝－1－i，
所以|z|＝＝，z2＝(－1－i)2＝2i，
z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，所以②④正确．
15．设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
考点
题点
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋＝(x＋yi)＋
＝＋i.
∵z＋∈R，∴y－＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1.
又∵z－＝＋yi是纯虚数，
∴x－＝0且y≠0.
∴x＝，y＝±，因此复数z＝±i.
滚动训练(三)
一、选择题
1．下列说法错误的是( )
A．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
B．在线性回归方程＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
C．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
D．回归直线过样本点的中心(，)
考点 残差分析与相关指数
题点 残差及相关指数的概念
答案 A
解析 对于选项A，对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的可信程度越大，因此不正确；
对于选项B，在线性回归方程＝0.2x＋0.8中，当x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，正确；
对于选项C，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，正确；
对于选项D，回归直线过样本点的中心(，)，正确．
综上可知：只有A不正确．故选A.
2．已知复数z＝(a2－4)＋(a＋2)i(a∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 D
解析 复数z＝(a2－4)＋(a＋2)i(a∈R)为纯虚数等价于解得a＝2，故“a＝2”是“z为纯虚数”的充要条件，故选D.
3．已知复数f(n)＝in(n∈N*)，则集合{z|z＝f(n)}中元素的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．无数
考点 虚数单位i及其性质
题点 虚数单位i的运算性质
答案 A
解析 结合虚数单位i的性质，得i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，则集合{z|z＝f(n)}中含有4个元素，故选A.
4．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋y的值为( )
A．1 B. C. D．2
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
答案 D
解析 依据复数相等的条件，得x＝y＝1，故x＋y＝2，故选D.
5．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A．2－2i B．－＋i
C．2＋i D.＋i
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
答案 A
解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知，复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
6．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( )
A．复数z对应的点在第一象限
B．复数z一定不是纯虚数
C．复数z对应的点在实轴上方
D．复数z一定是实数
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 C
解析 ∵2t2＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t2＋5t－3的值可正可负可为零，∴A，B不正确．又∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴D不正确，∴C正确．
7．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 A
解析 由复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数得解得x＝－1.
8．已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 008和a1 009是方程x2－2 017x－2 018＝0的两根，则使Sn>0成立的正整数n的最大值是( )
A．1 008 B．1 009
C．2 016 D．2 017
考点 合情推理与演绎推理
题点 合情推理与演绎推理
答案 C
解析 依题意知a1 008＋a1 009＝2 017>0，
a1 008a1 009＝－2 018<0，
∵数列的首项为正数，∴a1 008>0，a1 009<0，
∴S2 016＝
＝>0，
S2 017＝＝a1 009×2 017<0，
∴使Sn>0成立的正整数n的最大值是2 016，故选C.
二、填空题
9．复数z＝3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第________象限．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 三
解析 ∵3<0，log3<0，
∴z＝3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限．
10．设 z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝_____，n＝______.
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
答案 2 ±2
解析 由z1＝z2得
解得
11．给出下列命题：
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根．
则其中正确命题的个数为________．
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 1
解析 因为实数是复数，故①错；②正确；
因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；
因为－1的平方根为±i，故④错．故答案为1.
三、解答题
12．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i
(1)当m为何值时，z是实数；
(2)当m为何值时，z是纯虚数．
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
解 (1)要使复数z为实数，需满足
解得m＝－2或－1.
即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
13．已知数列{an}，其前n项和Sn＝－3n2，{bn}为单调递增的等比数列，b1b2b3＝512，a1＋b1＝a3＋b3.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1.
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决数列问题
(1)解 当n＝1时，a1＝S1＝－3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n2－[－3(n－1)2]
＝－6n＋3，
当n＝1时，也满足an＝－6n＋3，∴an＝－6n＋3，
∵数列{bn}为等比数列，
∴b1b3＝b，
设{bn}的公比为q，
∴b1b2b3＝b＝512，∴b2＝8，
又∵a1＋b1＝a3＋b3 ，
∴－3＋＝－15＋8q，∴q＝2或q＝－(舍去)，
∴bn＝b2qn－2＝2n＋1.
(2)证明 由(1)可得，cn＝
＝＝－，
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝＋＋…＋＝1－<1，
显然数列{Tn}是递增数列，
∴Tn≥T1＝，即≤Tn<1.
四、探究与拓展
14．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 B
解析 由题意，得
解得(k∈Z)，
∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
15．设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形．
(1)|z|＝2；
(2)1≤|z|≤2.
考点 复数的几何意义的综合应用
题点 利用几何意义解决轨迹图形问题
解 (1)方法一 |z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．
方法二 设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．
(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组
不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合．
不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合．
这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．
滚动训练(四)
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 ∵z＝i＋2i2＝－2＋i，
∴实部小于0，虚部大于0，
故复数z对应的点位于第二象限．
2．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 D
解析 复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1)，由0，m－1<0.
所以点Z位于第四象限．故选D.
3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m∥α.“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点 合情推理与演绎推理
题点 合情推理与演绎推理
答案 D
解析 若m∥α，β的交线时，m∥β，但α，β相交，
故不能推出α∥β；当m∥α，α∥β时，m?β或m∥β，故不能推出m∥β.
4．在复平面内，复数z1，z2的对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2等于( )
A．4＋5i B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或＋i
考点 复数模的定义与应用
题点 利用模的定义求复数
答案 D
解析 设z2＝x＋yi(x，y∈R)，
由条件得，
∴或
5．若(m2－1)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．0
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 C
解析 因为虚数不能比较大小，
所以(m2－1)＋(m2－2m)i是实数，
即解得m＝2.故选C.
6．某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛．该校高一年级有1,2,3,4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖．比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是( )
A．乙，丁 B．甲，丙
C．甲，丁 D．乙，丙
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在其他方面中的应用
答案 B
解析 根据题意，由于甲乙丙丁四人中有且只有两人的说法是正确的，假设乙的说法是正确的，则丁也是正确的，那么甲丙的说法都是错误的，如果丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”是错误的，那么1班、4班都获奖或1班、4班都没有获奖，与乙的说法矛盾，故乙的说法错误，则丁同学说：“乙说得对”也是错误的；故说法正确的是甲、丙，故选B.
7．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 C
解析 A(6,5)，B(－2,3)，
∵C为AB的中点，∴C(2,4)，
∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
8．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复平面内的点Z的轨迹是( )
A．实轴 B．虚轴
C．原点 D．实轴和虚轴
考点 复数的几何意义的综合应用
题点 利用几何意义解决轨迹、图形问题
答案 B
解析 a＝0时，z＝bi，复平面内的点Z的轨迹是虚轴．
二、填空题
9．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生了________天．
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在其他方面中的应用
答案 510
解析 由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×71＋6×70＝510.
10．统计某产品的广告费用x与销售额y的一组数据如表：
广告费用x
2
3
5
6
销售额y
7
m
9
12
若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的线性回归方程是＝1.1x＋4.6，则数据中的m的值应该是________．
考点 线性回归分析
题点 回归直线的应用
答案 8
解析 由题意知，＝4，＝7＋，
∵y对x的线性回归方程是＝1.1x＋4.6，
∴7＋＝4.4＋4.6，
∴m＝8.
11．点P是双曲线x2－＝1(b>0)上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|＋|PF2|＝6，PF1⊥PF2，则双曲线的离心率为________．
考点 合情推理与演绎推理
题点 合情推理与演绎推理
答案
解析 根据题意，点P是双曲线x2－＝1(b>0)上一点，
则有||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
设|PF1|>|PF2|，则有|PF1|－|PF2|＝2，
又由|PF1|＋|PF2|＝6，
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，
又由PF1⊥PF2，
则有|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝20，
则c＝，
又由a＝1，则双曲线的离心率e＝＝.
三、解答题
12．某公司即将推出一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．
(1)根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？
购买意愿强
购买意愿弱
总计
20－40岁
大于40岁
总计
(2)从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率．
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
考点 独立性检验思想的应用
题点 分类变量与统计、概率的综合性问题
解 (1)由茎叶图可得：
购买意愿强
购买意愿弱
总计
20～40岁
20
8
28
大于40岁
10
12
22
总计
30
20
50
由列联表可得：K2＝
≈3.46<3.841.
所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．
(2)购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为＝，
所以年龄在20～40岁的抽取了2人，记为a，b，
年龄大于40岁的抽取了3人，记为A，B，C，
从这5人中随机抽取2人，所有可能的情况为(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，
其中2人都是年龄大于40岁的有3种情况，
所以概率为.
13．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i.
(1)求；
(2)若复数z＝1＋bi(b∈R)，满足z＋z1为实数，求|z|.
考点 复数四则运算的综合运用
题点 复数的混合运算
解 (1)＝＝＝
＝－1＋5i.
(2)∵z＝1＋bi(b∈R)，
∴z＋z1＝2＋(b－1)i
∵z＋z1为实数，
∴b－1＝0，b＝1，
故z＝1＋i，|z|＝＝.
四、探究与拓展
14．如果关于x的方程2x2＋3ax＋a2－a＝0至少有一个根使得|x|＝1成立，那么实数a的值( )
A．不存在 B．有一个 C．有三个 D．有四个
答案 C
解析 (1)当根为实数时，将x＝1代入原方程得a2＋2a＋2＝0，不存在这样的实数a；将x＝－1代入原方程得a2－4a＋2＝0，解得a＝2±，都符合要求．
(2)当根为虚数时，Δ＝a(a＋8)＜0，∴－8＜a＜0.此时有x1·x2＝|x1|2＝|x2|2＝1＝，所以可得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2(舍去)．故共有三个．
15．设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合运用
(1)解 设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则z2＝z1＋＝a＋bi＋
＝＋i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，
即|z1|＝1，还可得z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，
解得－≤a≤，
即z1的实部的取值范围是.
(2)证明 ω＝＝
＝＝－i.
因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数．
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．如果复数是实数，则实数m等于( )
A．－1 B．1 C．－ D.
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 A
解析 由题意，得＝
＝＝＋i∈R，
得到m3＋1＝0，m＝－1，故选A.
2．已知复数z满足iz＝2＋3i，则z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 D
解析 结合复数的运算，
得z＝＝＝3－2i，
结合复数的几何意义，
得该复数在复平面内对应的点为(3，－2)，位于第四象限，故选D.
3．设复数z满足z(1＋i)＝2，i为虚数单位，则复数z的模是( )
A．2 B. C. D.
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案 C
解析 结合复数的运算，
得＝＝＝1－i，故z＝1－i，
|z|＝＝，故选C.
4．已知i为虚数单位，复数z满足iz＝(1－2i)2，则z等于( )
A．－4＋3i B．－2＋3i
C．2＋3i D．－4－3i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 A
解析 结合复数的运算，
得z＝＝＝
＝－4＋3i，故选A.
5．已知复数z满足(3＋i)z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案 A
解析 根据复数的四则运算，得z＝＝＝＝＋i，故该复数在复平面内对应的点为，为第一象限内的点，故选A.
6．设z＝，f(x)＝x2－x＋1，则f(z)等于( )
A．i B．－i
C．－1＋i D．－1－i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案 A
解析 结合复数的运算，
z＝＝＝＝－i，
f(z)＝f(－i)＝i2＋i＋1＝－1＋i＋1＝i.
7．设i是虚数单位，则复数i－在复平面内所对应的点为( )
A．(0,2) B．(2,0)
C．(－2,0) D．(0，－2)
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案 A
解析 结合复数的运算，i－＝i＋i＝2i，
在复平面内对应的点为(0,2)．
8．复数z＝(1＋2i)(2＋i)的共轭复数为( )
A．－5i B．5i
C．1＋5i D．1－5i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 A
解析 结合复数的运算，得z＝(1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i－2＝5i，故它的共轭复数为＝－5i.
9．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
考点 共轭复数的定义及应用
题点 与共轭复数有关的综合问题
答案 D
解析 对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，
所以1＝2为真；
对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，
所以1＝z2为真；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，
则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，
所以z1·1＝z2·2为真；
对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选D.
10．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
答案 B
解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，
∴向量对应的复数为－2＋i.
11．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 结合欧拉公式eix＝cos x＋isin x，得e2i＝cos 2＋isin 2，依据复数的几何意义，得在复平面内对应的点的坐标为(cos 2，sin 2)，因为cos 2<0，sin 2>0，故它位于第二象限．
12．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用模的定义求复数
答案 A
解析 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知，＝2，
解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋i.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 (－，－2)∪(2，)
解析 ∵z位于第三象限，∴
∴214．设i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝________.
考点 复数的概念
题点 求复数的实部和虚部
答案 －
解析 依据复数的运算，z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，
结合实部与虚部互为相反数，得＋＋1＝0，
解得a＝－.
15．若复数z＝，其中i为虚数单位，则z的共轭复数＝________.
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 1－i
解析 依据复数的除法运算法则，
得＝＝1＋i，所以＝1－i.
16．复数的虚部是________．
考点 复数的概念
题点 求复数的实部和虚部
答案 1
解析 ＝＝2＋i，
则复数的虚部是1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
解 ∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，x，y∈R，
∴解得
∴实数x，y的值分别为，2.
18．(12分)计算：(1)＋2 010；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
解 (1)＋2 010＝＋1 005
＝i(1＋i)＋1 005＝－1＋i＋(－i)1 005
＝－1＋i－i＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)
＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
19．(12分)设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
解 由于z1当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1∴z120．(12分)设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 ∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2为虚数，∴m2－2m－15≠0且m≠－2，
解得m≠5，且m≠－3且m≠－2(m∈R)．
21．(12分)已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
解 方法一 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①
(a－c)2＋(b－d)2＝1，②
由①②得2ac＋2bd＝1，
∴|z1＋z2|＝
＝＝.
方法二 设O为坐标原点，
z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，
且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝||＝＝.
22．(12分)已知复数z＝(m∈R，i是虚数单位)．
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)设是z的共轭复数，复数＋2z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围．
考点 复数四则运算的综合运用
题点 与混合运算有关的未知数求解
解 (1)z＝＝
＝1－2m＋(2m＋1)i.
因为z是纯虚数，所以1－2m＝0且2m＋1≠0，
解得m＝.
(2)因为是z的共轭复数，所以＝1－2m－(2m＋1)i.
所以＋2z＝1－2m－(2m＋1)i＋2[1－2m＋(2m＋1)i]＝3－6m＋(2m＋1)i.
因为复数＋2z在复平面上对应的点在第一象限，
所以解得－即实数m的取值范围为.
章末复习
学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
(5)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ (r≥0，r∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．2i＋5的共轭复数为2i－5.( × )
2．若m，n∈R，m＋(n－1)i＝1＋i，则m＝1，n＝2.( √ )
3．若z1，z2为复数，且z1－z2>0，则z1>z2.( × )
4．复数z＝i(2＋i)对应的点在第二象限．( √ )
5．若|z－z1|＝r，则在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以z1的对应点为圆心，半径为r的圆．( √ )
6．设复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝.( √ )
类型一 复数的概念
例1 已知复数z＝a2－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
(1)要使z为实数，需a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
解得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)要使z为虚数，需a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
解得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)要使z为0，需a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，
解得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
引申探究
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由．
解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1 已知关于x的方程10i＋x＋1＝3x2＋ix＋2ix2有实数根，求实数a的值．
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
解 设方程的实数根为m，
则原方程可变为＋(2m2＋m－10)i＝0，
∴由复数相等的充要条件得
解得或
故实数a的值为11或－.
类型二 复数的四则运算
例2 已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)求的模．
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
又∵＝为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
(2)＝＝
＝＝－2＋i，
∴＝|－2＋i|＝＝.
反思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用．
跟踪训练2 已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，z2＝，且|z2|＝5，求z2.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
解 z1＝z2(2＋i)，
(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，
因为|z2|＝5，所以|z2(5＋5i)|＝50，
所以z2(5＋5i)＝±50，
所以z2＝±＝±＝±(5－5i)．
类型三 方程思想
例3 已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|＝2|z|，求z为何值时，|z|有最小值并求出最小值．
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的方程问题
解 (1)将b代入题中方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0，
整理得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0.
则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
复数z在复平面内对应的点为Z，
则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.
所以点Z在以(－1,1)为圆心，2为半径的圆上．
画图可知，z＝1－i时，|z|min＝.
反思与感悟 方程思想主要用来分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．在本章中方程思想主要体现在复数相等的充要条件及点的轨迹和复数方程等问题上．
跟踪训练3 已知复数z满足(z＋)－3z·i＝1－3i，求复数z.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的方程问题
解 方法一 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入已知等式中得2x－(3x2＋3y2)i＝1－3i，
∴解得
∴z＝±i.
方法二 ∵z＋∈R，z·∈R，
∴
∴z，是方程x2－x＋1＝0的两根，
解方程得z＝±i.
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1,3) D．(3，－1)
考点 复数四则运算的综合运用
题点 与混合运算有关的几何意义
答案 A
解析 ＝＝＝＝1＋3i，
所以它的实部为1，虚部为3，所以它在复平面内对应的点的坐标为(1,3)．故选A.
2．复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的几何意义
答案 A
解析 复数i(1－2i)＝2＋i，在复平面内对应的点的坐标是(2,1)，位于第一象限．故选A.
3．设复数z满足＝i，则|z|等于( )
A．1 B. C. D．2
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
答案 A
解析 由＝i得z＝＝＝i，
则|z|＝1.故选A.
4．计算：2－20.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
解 2－20
＝[(1＋2i)＋(－i)5]2－
＝(1＋i)2－(－1)＝1＋2i.
5．已知集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面内所对应的点集表示的图形；
(2)求集合P中复数z的模的最大值和最小值．
考点 复数四则运算的综合运用
题点 与混合运算有关的方程问题
解 (1)由|z－1|≤1可知集合M在复平面内对应的点集所表示的图形是以点E(1,0)为圆心，1为半径的圆的内部和边界，由|z－1－i|＝|z－2|可知集合N在复平面
内对应的点集所表示的图形是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P表示的图形是圆E截直线l所得的一条线段AB，如图所示．
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则圆E的方程为x2＋y2－2x＝0，直线l的方程为y＝x－1，
解方程组
得A，B，
则|OA|＝ ＝，
|OB|＝ ＝，
又点O到直线l的距离为，且<，
则在集合P中复数z的模的最大值为，最小值为.
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．
2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．
3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．
一、选择题
1．已知f(x)＝x3－1，设i是虚数单位，则复数的虚部是( )
A．－1 B．1 C．i D．0
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 B
解析 f(i)＝i3－1＝－i－1，＝＝＝＝－1＋i，虚部是1.
2．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )
A．－2 B．4 C．6 D．－6
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案 D
解析 ＝＝＝＋i.若复数是纯虚数，则＝0，且≠0，所以a＝－6.故选D.
3．已知是复数z的共轭复数，z＋＋z·＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
考点 复数四则运算的综合运用
题点 与混合运算有关的方程问题
答案 A
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋＝2x，z·＝x2＋y2，所以由z＋＋z·＝0，得x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，故选A.
4．在复平面内，一个正方形OACB的三个顶点A，B，O对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的顶点C对应的复数为( )
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 D
解析 ∵＝＋，
∴C点对应的复数为1＋2i－2＋i＝－1＋3i.
5．已知复数z＝x＋yi满足|z－1|＝x，那么z在复平面内对应的点(x，y)的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
考点 复数的几何意义的综合运用
题点 利用几何意义解决轨迹、图形问题
答案 D
解析 ∵z＝x＋yi满足|z－1|＝x，
∴(x－1)2＋y2＝x2，∴y2＝2x－1.故选D.
6．当z＝时，z100＋z50＋1的值等于( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 D
解析 ∵z2＝2＝＝－i，
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i50－i25＋1＝－i.
7．已知复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向左平移一个单位长度，向下平移一个单位长度，得到B点，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为( )
A．－1 B．1 C．i D．－i
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，A点旋转后的点为A′，B点对应的复数为z1，
则由图可知，点A′的坐标为(－b，a)，z1＝(－b－1)＋(a－1)i.
∵点B与点A恰好关于坐标原点对称，
∴∴∴z＝1.
8．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋1＋i|的最小值是( )
A．1 B. C．2 D.
考点 复数加减法的几何意义的应用
题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题
答案 A
解析 设在复平面内，复数z对应的点为Z.
∵|z＋i|＋|z－i|＝2，
∴点Z在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，|z＋1＋i|表示点Z到点(－1，－1)的距离．
易知最小值为1.
二、填空题
9．在复平面内，已知复数z＝x－i所对应的点在单位圆内，则实数x的取值范围是________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案
解析 ∵z对应的点Z在单位圆内，
∴<1，∴x2＋<1，
∴x2<，∴－10．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
考点 复数四则运算的综合运用
题点 复数的混合运算
答案 4
解析 ＋＝
?＋＝
?x(1＋i)＋y(1＋2i)＝(1＋3i)
?解得所以x＋y＝4.
11．已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝________.
考点 复数四则运算的综合运用
题点 复数的混合运算
答案 1－i
解析 z＝＝＝＝1－i.
12．已知复数z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i，则z1·z2的实部的最大值为________，虚部的最大值为________．
考点 复数问题中转化与化归思想
题点 转化与化归思想的应用
答案
解析 z1·z2＝(cos θ－i)·(sin θ＋i)
＝(cos θsin θ＋1)＋i(cos θ－sin θ)，
∴实部为cos θsin θ＋1＝1＋sin 2θ≤，
故实部的最大值为；
虚部为cos θ－sin θ＝cos≤，
故虚部的最大值为.
三、解答题
13．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
考点 复数加减法的几何意义的应用
题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得，a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
四、探究与拓展
14．已知f(x)＝则f＝________.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 3
解析 ∵f(1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴f＝f(2)＝1＋2＝3.
15．设z1是方程x2－6x＋25＝0的一个根．
(1)求z1；
(2)设z2＝a＋i(其中i为虚数单位，a∈R)，若z2的共轭复数2满足|z·2|＝125，求z.
考点 共轭复数的定义与应用
题点 与共轭复数有关的综合问题
解 (1)因为Δ＝62－4×25＝－64，
所以z1＝3－4i或z1＝3＋4i.
(2)由|z·(a－i)|＝125，得125·＝125，
所以a＝±2.
当a＝－2时，z＝(－2＋i)2＝3－4i；
当a＝2时，z＝(2＋i)2＝3＋4i.
