第三章空间向量与立体几何学案+疑难规律方法+滚动训练+章末检测+模块检测

模块综合试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　充要条件的概念及判断
题点　充要条件的判断
答案　A
解析　若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，
即a＝－2或a＝1，
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
2．设命题p：?n0∈N，n＞，则綈p为
A．?n∈N，n2＞2n B．?n0∈N，n≤
C．?n∈N，n2≤2n D．?n0∈N，n＝
答案　C
解析　存在量词改为全称量词，即“?n0∈N”改为“?n∈N”；把结论否定，即“n＞”改为“n2≤2n”．故选C.
3．双曲线－＝1的焦距是(　　)
A．4 B．2 C．8 D．4
考点　双曲线的标准方程
题点　由标准方程求a，b，c
答案　C
解析　依题意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝＝＝4.所以焦距2c＝8.
4．已知a，b∈R，则“ln a>ln b”是“a<b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　充分、必要条件的概念及判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　A
解析　∵ln a>ln b?a>b>0，a<b?a>b.
∴a>b>0是a>b的充分不必要条件，
∴“ln a>ln b”是“a<b”的充分不必要条件．
5．以双曲线－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　双曲线的简单几何性质
题点　双曲线的简单几何性质
答案　D
解析　由－＝－1，得－＝1.∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,2)，(0，－2)．
∴椭圆方程为＋＝1.
6．若命题“?x0∈R，使x＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．－3≤a≤3 D．－1≤a≤1
考点　特称命题的真假性判断
题点　存在性问题求参数的范围
答案　B
解析　根据题意可得?x∈R，都有x2＋(a－1)x＋1≥0，
∴Δ＝(a－1)2－4≤0，∴－1≤a≤3.
7．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)
A. B. C. D.
考点　向量法求线面角
题点　向量法求线面角
答案　A
解析　设AB＝1，则AA1＝2，以D1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系D1xyz，
则D(0,0,2)，C1(0,1,0)，
B(1,1,2)，C(0,1,2)，
＝(1,1,0)，＝(0,1，－2)，＝(0,1,0)，
设n＝(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，则即令z＝1，则n＝(－2,2,1)，
设CD与平面BDC1所成角为θ，则sin θ＝＝.
8．以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是(　　)
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．y2＝6x D．y2＝－6x
考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　以离心率或渐近线为条件下的简单问题
答案　A
解析　由－＝1，
得a2＝4，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝9.
∴右焦点的坐标为(3,0)，
故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)，
故＝3，∴抛物线方程为y2＝12x.
9．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝时，△F1PF2的面积最大，则m＋n的值是(　　)
A．41 B．15 C．9 D．1
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　B
解析　由＝|F1F2|·|yP|＝3|yP|，
知当P为短轴端点时，△F1PF2的面积最大．
此时∠F1PF2＝，
得a＝＝2，b＝＝，故m＋n＝15.
10．已知平面α的一个法向量为n＝(0,2,2)，A(1,0,2)，B(0，－1,4)，A?α，B∈α，则点A到平面α的距离为(　　)
A．1 B．2
C. D.
答案　D
11．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A. B．2 C. D.
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　D
解析　如图，设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，
∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，
∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，
x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.
将点M(2a，a)代入－＝1，可得a2＝b2，
∴e＝＝＝，故选D.
12．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
A. B. C. D.
考点　空间向量在求空间角中的应用
题点　空间向量求线面角
答案　B
解析　如图所示，S△ABC＝×××sin 60°＝.
设O点是△ABC的中心，
则OP⊥平面ABC，
∠OAP即为PA与平面ABC所成的角．
∴＝S△ABC·OP
＝·OP＝，
∴OP＝.
又OA＝××＝1，∴tan∠OAP＝＝＝，
又0<∠OAP<，∴∠OAP＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若“m－1＜x＜m＋1”是“x2－2x－3＞0”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是____________．
答案　(－∞，－2]∪[4，＋∞)
解析　由x2－2x－3＞0，得x＞3或x＜－1，
∵“m－1＜x＜m＋1”是“x2－2x－3＞0”的充分不必要条件，
∴m－1≥3或m＋1≤－1，解得m≥4或m≤－2，
故实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[4，＋∞)．
14．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x·＋3y·＋4z·，则2x＋3y＋4z＝________.
考点　空间向量的数乘运算
题点　平面向量基本定理
答案　－1
解析　＝(－2x)·＋(－3y)·＋(－4z)·，由A，B，C，D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.
15．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　求椭圆中的直线方程
答案　120°
解析　在椭圆＋＝1中，a2＝9，a＝3，b2＝2，
又c2＝a2－b2＝7，所以c＝.
因为|PF1|＝4，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
所以|PF2|＝6－4＝2.
所以cos∠F1PF2＝
＝＝－，
因为∠F1PF2∈(0°，180°)，所以∠F1PF2＝120°.
16．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为________．
考点　空间向量在求空间角中的应用
题点　空间向量求线面角
答案　
解析　以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，
则A(1,0,0)，B(1,2,0)，D1(0,0,1)，＝(－1，－2,1)，
因为AB⊥平面BCC1B1，
所以＝(0,2,0)为平面BCC1B1的法向量．
设直线BD1与平面BCC1B1所成角为θ，
则有sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知p：“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交”；q：“mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根”．若p假q真，求m的取值范围．
考点　“或”“且”“非”的综合问题
题点　由复合命题的真假求参数的范围
解　对p：∵直线与圆相交，∴d＝<1.
∴－＋1对q：方程mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根，
∴令f(x)＝mx2－x＋m－4，
∴或解得0又∵p假q真，
∴＋1≤m<4.故m的取值范围是[＋1,4)．
18．(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的其它问题
解　(1)由消去y，得
(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－故a的取值范围是{a|－＜a＜且a≠±}．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，
∴OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，符合题意，且满足Δ＞0，故a＝±1.
19．(12分)已知A，B是抛物线y2＝x上不同于原点O的两点，OA⊥OB.
(1)求证：直线AB恒过定点T，且以OT为直径的圆过点D(2,1)；
(2)若直线AB与⊙O：x2＋y2＝5相切，求切点坐标及直线AB的方程．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线的综合问题
(1)证明　设直线AB的方程为x＝my＋t，t＞0，代入y2＝x，得2y2－5my－5t＝0.Δ＝25m2＋40t＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则y1y2＝－，x1x2＝·＝(y1y2)2＝t2.
又⊥，所以x1x2＋y1y2＝0.
即t2－t＝0，解得t＝或0(舍)．
所以直线AB的方程为x＝my＋，恒过点T.
所以·＝(2,1)·＝2×＋1×1＝0，
所以⊥，即OD⊥TD，
所以点D在以OT为直径的圆上．
(2)解　由(1)知直线AB的方程为2x－2my－5＝0.
由题意得＝.
解得m＝±.
当m＝时，切线AB的方程为2x－y－5＝0，
此时，切点坐标为(2，－1)．
当m＝－时，切线AB的方程为2x＋y－5＝0，
此时，切点坐标为(2,1)．
20．(12分)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE.
考点　空间向量求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面平行
证明　如图，连接OP，
以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，B(8,0,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0)．
因为＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，设平面BOE的法向量为n＝(x，y，z)，
则
解得x＝0,4y＝3z，令z＝4，
则n＝(0,3,4)，
所以平面BOE的一个法向量为n＝(0,3,4)．
由＝(－4,4，－3)，得n·＝0，所以⊥n.
又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.
21．(12分)已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y可得x2－18＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝ ×
＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)方法一　当直线l的斜率不存在时，不合题意．
所以直线l的斜率存在．
设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.
此时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式相减，得＋＝0，
整理得kAB＝＝－.
由于P(4,2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－.
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
22．(12分)如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，点E为AB的中点．
(1)求证：BD1∥平面A1DE；
(2)求证：D1E⊥A1D；
(3)在线段AB上是否存在点M，使二面角D1－MC－D的大小为 ？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面平行
(1)证明　由题意可得D1D⊥平面ABCD，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，C(0,2,0)，
A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，B(1,2,0)，E(1,1，0)．
＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，
设平面A1DE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则得
取x1＝1，则n1＝(1，－1，－1)是平面A1DE的一个法向量，又＝(－1，－2,1)，且·n1＝(－1，－2,1)·(1，－1，－1)＝0，故⊥n1，又BD1不在平面A1DE内，故BD1∥平面A1DE.
(2)证明　由题意得＝(1,1，－1)，
＝(－1,0，－1)，
·＝(1,1，－1)·(－1,0，－1)＝0，
⊥，故D1E⊥A1D.
(3)解　线段AB上存在点M，使二面角D1－MC－D的大小为.
设M(1，y0，0)(0≤y0≤2)，
因为＝(－1,2－y0，0)，＝(0,2，－1)，
设平面D1MC的一个法向量为v1＝(x，y，z)，
则得
取y＝1，则v1＝(2－y0，1,2)是平面D1MC的一个法向量，而平面MCD的一个法向量为v2＝＝(0,0,1)，
要使二面角D1－MC－D的大小为，
则cos?＝|cos〈v1，v2〉|＝
＝＝，
解得y0＝2－(0≤y0≤2)．
所以当AM＝2－时，二面角D1－MC－D的大小为.

1　空间向量加减法运用的三个层次
空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．
第1层　用已知向量表示未知向量
例1　如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.
解　＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋(－)
＝＋×(＋)
＝＋＋；
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋(－)
＝＋×(＋)＝＋＋.点评　用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
第2层　化简向量
例2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．
(1)＋＋；
(2)＋(＋)；(3)－(＋)．
解　(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋(＋)＝＋＋
＝＋＋＝.
(3)－(＋)
＝－＝.
，，如图所示．
点评　要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．
第3层　证明立体几何问题
例3　如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
证明　设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝.
∴∥，即B，G，N三点共线.
2　空间向量易错点扫描
易错点1　对向量夹角与数量积的关系理解不清
例1　“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
错解　a·b<0?cos〈a，b〉＝<0?〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充要条件．
错因分析　错解中忽略了两个向量共线且反向的情况．
剖析　当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件．
正解　必要不充分
总结　a·b<0?a与b夹角为钝角或a与b方向相反，a·b>0?a与b夹角为锐角或a与b方向相同．
易错点2　忽略两向量的夹角的定义
例2　如图所示，在120°的二面角α—AB—β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
错解　∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
∵二面角α—AB—β的平面角为120°，
∴〈，〉＝120°.
∴CD2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 120°＝72，∴CD＝6.
错因分析　错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念．向量，的夹角与二面角α—AB—β的平面角互补，而不是相等．
正解　∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
∵二面角α—AB—β的平面角为120°，
∴〈，〉＝180°－120°＝60°.
∴CD2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD＝12.
易错点3　判断是否共面出错
例3　已知O，A，B，C为空间不共面的四点，a＝＋＋，b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一个基底的是(　　)
A. B. C. D.或
错解　a＝＋＋，b＝＋－，
相加得＋＝(a＋b)，
所以，都与a，b共面，不能构成空间的一个基底，故选D.
剖析　＋＝(a＋b)，说明＋与a，b共面，但不能认为，都与a，b共面．
对A，B：设＝xa＋yb，
因为a＝＋＋，b＝＋－，
代入整理得(x＋y－1)＋(x＋y)＋(x－y)＝0，因为O，A，B，C四点不共面，
所以，，不共面，
所以x＋y－1＝0，x＋y＝0，x－y＝0，
此时，x，y不存在，所以a、b与不共面，
故a，b与可构成空间的一个基底．
同理a，b与也可构成空间的一个基底．
对C：因为a＝＋＋，b＝＋－，相减有＝(a－b)，所以与a，b共面，故不能构成空间的一个基底．
正解　C
易错点4　混淆向量运算和实数运算
例4　下列各式中正确的是(　　)
A．a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
B．a·b＝0?a＝0或b＝0
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D.·＝||||cos(180°－∠AOB)
错解　A(或B或C)
剖析　想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律、结合律 ，故A、C错误；若a·b＝0?a＝0或b＝0或a⊥b，故B错误；·的夹角是180°－∠AOB.
正解　D
易错点5　忽略建系的前提
例5　四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE＝2，F为CE中点，试合理建立坐标系，求与所成角的余弦值．
错解　以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz.
此时＝(1,1,1)，＝(0,2,0)，所以cos〈，〉＝.
剖析　空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与AD不垂直．
正解　设AC，BD交于点O，则AC⊥BD.
因为F为CE中点，所以OF∥AE，
因为AE⊥平面ABCD，
所以OF⊥平面ABCD，OF⊥AC，OF⊥BD，
以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
此时＝(1,0,1)，＝(1，，0)，
所以cos〈，〉＝.
易错点6　求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误
例6　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A－BD1－C的大小．
错解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，
C1(0,1,1)．
由题意知是平面ABD1的一个法向量，＝(1,0,1)，是平面BCD1的一个法向量，＝(0,1,1)，
所以cos〈，〉＝＝.
所以〈，〉＝60°.
所以二面角A－BD1－C的大小为60°.
剖析　利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的确切位置．
正解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．
由题意知＝(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量．
所以cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝60°.
结合图形知二面角A－BD1－C的大小为120°.
3　空间直角坐标系构建三策略
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．
1．利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1　已知直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
解　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，
所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0)．
所以cos〈，〉＝＝.
故异面直线BC1与DC所成角的余弦值为.
点评　本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可．
2．利用线面垂直关系
例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．
解　过点B作BP垂直BB1交C1C于点P，
因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BP，
又BP⊥BB1，BB1∩AB＝B，
且BB1，AB?平面ABB1A1，所以BP⊥平面ABB1A1，
以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz.
因为AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，
所以CP＝，C1P＝，BP＝，则各点坐标分别为B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，
C1，E，A1(0,2，)，p.
点评　空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口．
3．利用面面垂直关系
例3　如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小．
解　取AE中点M，连接BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
所以△ABE与△ADE都是等边三角形，
所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，
则B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，M(0,0,0)，
所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，＝(0，，0)，
设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
由
取y＝1，得m＝(0,1,1)，
又因平面ABE的一个法向量＝(0，，0)，
所以cos〈m，〉＝＝，
所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45°.
点评　本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．
4　用向量法研究“动态”立体几何问题
“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动．
1．求解、证明问题
例1　在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
证明　以O为坐标原点，OA，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)．
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
2．定位问题
例2　如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF的夹角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
解题提示　假设存在点M，设平面BEF的法向量为n，设BM与平面BEF所成的角为θ，利用sin θ＝求出点M的坐标，若满足条件则存在．
解　存在点M，使得直线MB与平面BEF的夹角为45°.
因为四边形CDGF，ADGE均为正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC.
又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD.
又DA⊥DC，所以DA，DG，DC两两垂直，如图，
以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x轴， y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)．
因为点M在DG上，假设存在点
M(0,0，t)(0≤t≤1)使得直线BM与平面BEF的夹角为45°.
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)．
因为＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，
则即
令z＝1，得x＝y＝1，
所以n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量．
又＝(－1，－1，t)，直线BM与平面BEF所成的角为45°，所以sin 45°＝＝＝，
解得t＝－4±3.
又0≤t≤1，所以t＝3－4.
故在DG上存在点M(0,0,3－4)，
且DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°.
点评　由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果.
5　向量与立体几何中的数学思想
1．数形结合思想
向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．
例1　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，且A1A＝AB＝AD＝2BC＝2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F.
(1)证明：A1F∥平面B1CE；
(2)若E是棱AB的中点，求二面角A1－EC－D的余弦值；
(3)求三棱锥B1－A1EF的体积的最大值．
(1)证明　因为ABCD－A1B1C1D1是棱柱，
所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又因为平面ABCD∩平面A1ECF＝EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF＝A1F，
所以A1F∥EC.又因为A1F?平面B1CE，
EC?平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE.
(2)解　因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，
所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.
则A1(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，A(0,0,0)，
所以＝(1,0，－2)，＝(2,1，－2)，＝(0,0,1)．
设平面A1EC的法向量为m＝(x，y，z)，
由·m＝0，·m＝0，得
令z＝1，得m＝(2，－2,1)．
又因为平面DEC的法向量为n＝＝(0,0,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝，
由图可知，二面角A1－EC－D的平面角为锐角，
所以二面角A1－EC－D的余弦值为.
(3)解　过点F作FM⊥A1B1于点M，
因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，
平面A1ABB1∩A1B1C1D1＝A1B1，FM⊥A1B1，
所以FM⊥平面A1ABB1，
所以＝＝××FM
＝××FM＝FM.
因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2(此时点E与点B重合)，
所以当F与点D1重合时，三棱锥B1－A1EF的体积的最大值为.
2．转化与化归思想
空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．
例2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.
(1)证明：平面DFC⊥平面D1EC；
(2)求二面角A－DF－C的平面角的余弦值．
分析　求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
(1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，
则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，D(0,0,0)．
∵E为AB的中点，∴E(1,1,0)，
∵D1F＝2FE，
∴＝＝(1,1，－2)＝，
∴＝＋＝(0,0,2)＋
＝.
设n＝(x1，y1，z1)是平面DFC的法向量，
则∴
取x1＝1得平面DFC的一个法向量n＝(1,0，－1)．
设p＝(x2，y2，z2)是平面D1EC的法向量，
则∴
取y2＝1得平面D1EC的一个法向量p＝(1,1,1)，
∵n·p＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴n⊥p，
∴平面DFC⊥平面D1EC.
(2)解　设q＝(x3，y3，z3)是平面ADF的法向量，
则∴
取y3＝1得平面ADF的一个法向量q＝(0,1，－1)，
设二面角A－DF－C的平面角为θ，由题中条件可知θ∈，则cos θ＝－＝－＝－，
∴二面角A－DF－C的平面角的余弦值为－.
3．函数思想
例3　已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且c＝a＋tb，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)．问|c|能否取得最大值？若能，求出实数t的值及对应的向量b与c夹角的余弦值；若不能，请说明理由．
分析　写出|c|关于t的函数关系式，再利用函数观点求解．
解　由题意知Δ≥0，得－4≤t≤－，
又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，
∴|c|＝＝ .
当t∈时，f(t)＝52＋是单调递减函数，∴f(t)max＝f(－4)，即|c|的最大值存在，
此时c＝(－5,1,11)．b·c＝－27，|c|＝7.而|b|＝，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－.
点评　凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．
4．分类讨论思想
例4　如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方)，问BC边上是否存在点Q，使⊥？
分析　由⊥，得PQ⊥QD，所以平面ABCD内，点Q在以边AD为直径的圆上，若此圆与边BC相切或相交，则BC边上存在点Q，否则不存在．
解　假设存在点Q(Q点在边BC上)，使⊥，
即PQ⊥QD，连接AQ.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.
又＝＋且⊥，∴·＝0，
即·＋·＝0.
又由·＝0，∴·＝0，∴⊥.
即点Q在以边AD为直径的圆上，圆的半径为.
又∵AB＝1，由题图知，
当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；
当>1，即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；
当<1，即0综上所述，当a≥2时，存在点Q，使⊥；
当0
§3.1　空间向量及其运算
3.1.1　空间向量及其加减运算
学习目标　1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.了解向量加法的交换律和结合律．
知识点一　空间向量的概念
(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||.
(2)几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二　空间向量的加减运算及运算律
思考　下面给出了两个空间向量a，b，作出b＋a，b－a.
答案　如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.
梳理　(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．
＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b.
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a，
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(1)零向量没有方向．(×)
(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．(×)
(3)平面内所有的单位向量是相等的．(×)
(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．(×)
(5)任何两个向量均不可以比较大小(√)
类型一　向量概念的应用
例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)
A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||＞||，则＞
D．相等向量其方向必相同
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的定义与模
答案　D
解析　A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
(2)给出下列说法：
①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　①为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而①中向量a与b的方向不一定相同；②为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；③为真命题，向量相等满足传递性；④为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故选B.
反思与感悟　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练1　(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　对于①与，③与，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与，长度相等，方向不相反；对于④与，长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．
(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？
②试写出模为的所有向量．
③试写出与向量相等的所有向量．
④试写出向量的所有相反向量．
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的定义与模
解　①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.
④向量的相反向量有，，，.
类型二　空间向量的加减运算
例2　如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)－；
(2)＋＋.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
解　(1)－＝－＝＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＋＝＋＝.
向量，如图所示．
引申探究
利用本例题图，化简＋＋＋.
解　结合加法运算
＋＝，＋＝，＋＝0.
故＋＋＋＝0.
反思与感悟　(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.
(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，
＋＋＋＋＋＋＋＝0.
跟踪训练2　在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算的应用
证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝2(＋＋)．
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝.
∴＋＋＝2.
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的共有(　　)
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　D
解析　①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝，故选D.
2．下列说法中错误的是(　　)
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．空间向量不满足加法结合律
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的定义与模
答案　D
3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　C
解析　与相等的向量有，，，共3个．
4．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　)
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　D
解析　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D.
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：
①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算的结果为的有________个．
考点　
题点　
答案　4
解析　根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
所以4个式子的运算结果都是.
1．一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
2．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．

一、选择题
1．化简－＋所得的结果是(　　)
A. B.
C.0 D.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　C
解析　－＋＝＋＝－＝0，故选C.
2．下列说法中正确的是(　　)
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　A
解析　对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等，故选A.
3．空间任意四个点A，B，C，D，则＋－等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　D
4．在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a＋b－c B．c－a－b
C．c＋a－b D．c＋a＋b
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算的应用
答案　B
解析　如图，∵＋＋＋＝0，
即a＋b＋－c＝0，
∴＝c－a－b.
5．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算的应用
答案　A
解析　由＋＝＝＋＝，得＝，故四边形ABCD为平行四边形，故选A.
6．如果向量，，满足||＝||＋||，则(　　)
A.＝＋ B.＝－－
C.与同向 D.与同向
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　D
7．下列说法中：
①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中不正确的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
考点　
题点　
答案　B
解析　①假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
二、填空题
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简－＋－的结果是________．
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　2
解析　－＋－＝＋＋－＝＋＝2.
9．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　空间向量的定义与模
答案　2
10．若G为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，则G为△ABC的________．(选填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算的应用
答案　重心
解析　因为＋＝－＝，
所以AG所在直线的延长线为边BC上的中线，同理，得BG所在直线的延长线为AC边上的中线，故G为其重心．
11．给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a＝0，则|a|＝0；③|a|＝|－a|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题的序号为________．
考点　空间向量的相关概念及及其表示方法
题点　空间向量的定义与模
答案　②③④
三、解答题
12．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：＋＋，＋＋，并标出化简结果的向量．
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算的应用
解　＋＋＝＋＝.
因为E，F，G分别为BC，CD，DB的中点，
所以＝，＝.
所以＋＋
＝＋＋＝.
故所求向量为，，如图所示．
13．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，化简下列表达式．
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋；
(4)＋－.
考点　
题点　
解　(1)＋＝.
(2)＋＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝.
(4)＋－＝(＋＋)＋(＋＋)－＝.
四、探究与拓展
14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为点O，则在下列结论中正确的结论共有(　　)
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反向量．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　C
15．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，化简－＋－＋－.
解　如图．
－＋－＋－
＝(－)＋(－)＋(－)
＝＋＋＝＋＝.
3.1.2　空间向量的数乘运算
学习目标　1.了解空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．
知识点一　空间向量的数乘运算
定义
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘
几何定义
λ＞0
λa与向量a的方向相同
λ＜0
λa与向量a的方向相反
λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
分配律
λ(a＋b)＝λa＋λb
结合律
λ(μa)＝(λμ)a
知识点二　共线向量与共面向量
思考1　回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义．
答案　如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．
思考2　空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？
答案　正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．
梳理　平行(共线)向量与共面向量
共线(平行)向量
共面向量
定义
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
推论
如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．
若在l上取＝a，则①式可化为＝＋t
如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，或对空间任意一点O来说，有＝＋x＋y
(1)若p＝xa＋yb，则p与a，b共面．(√)
(2)若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.(×)
(3)若＝x＋y，则P，M，A，B共面．(√)
(4)若P，M，A，B共面，则＝x＋y.(×)
类型一　共线问题
例1　(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
(2)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.
考点　线线、线面平行的判断
题点　线线平行的判断
答案　(1)A　(2)1
解析　(1)因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又与有公共点A，
所以A，B，D三点共线．
(2)∵＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2，
且与共线，故＝x，
即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，
故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，
又∵e1，e2不共线，
∴解得故k的值为1.
反思与感悟　(1)判断向量共线的策略
①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.
②判断向量共线的关键：找到实数λ.
(2)证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．
①存在实数λ，使＝λ成立．
②对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．
③对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
跟踪训练1　如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？
考点　线线、线面平行的判断
题点　线线平行的判断
解　设AC的中点为G，连接EG，FG，
∴＝，＝，
又∵，，共面，
∴＝＋＝＋＝(＋)，
∴与＋共线．
类型二　空间向量的数乘运算及应用
例2　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
解　(1)＝＋
＝(＋)＋＝a＋c＋b.
(2)＝＋＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
(3)＋＝(＋＋)＋(＋)
＝＋＋＋＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
引申探究
若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？
解　＝＋＝＋＋＝a＋c＋b.
反思与感悟　利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
跟踪训练2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
证明　设＝a，＝b，＝c.
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)
＝a＋b－c，
所以＝－＝a－b－c
＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，
又因为与有公共点E，所以E，F，B三点共线．
类型三　空间向量共面问题
例3　(1)已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A，B，M一定共面．
①＋＝3－；
②＝4－－.
(2)已知A，B，C三点不共线，点M满足＝＋＋.
①，，三个向量是否共面？
②点M是否在平面ABC内？
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
解　(1)①∵＋＝3－，
∴＝＋(－)＋(－)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋，
∴，，为共面向量，
∴P与A，B，M共面．
②＝2＋(－)＋(－)
＝2＋＋，
根据空间向量共面的推论，点P位于平面ABM内的充要条件是＝＋x＋y，
∴P与A，B，M不共面．
(2)①∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
②由①知向量，，共面，
又它们有共同的起点M，
且A，B，C三点不共线，
∴M，A，B，C四点共面，
即点M在平面ABC内．
反思与感悟　向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．
跟踪训练3　如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
解　连接BG.
因为＝－，＝，
所以＝－，
因为＝＋，
所以＝＋－＝－＋＋.
因为＝，所以＝，
所以＝(－＋＋)
＝－＋＋.
又因为＝－，
所以＝－＋＋，
因为＝m，
所以＝m＝－＋＋，
因为＝－＋＝－＋，
所以＝＋＋.
又因为G，B，P，D四点共面，
所以1－＝0，m＝.
即m的值是.
1．下列说法中正确的是(　　)
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
考点　空间向量的数乘运算
题点　线线平行的判定
答案　C
解析　零向量的方向是任意的．
2．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　)
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　B
解析　＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋，
∴－＝＋，∴＝＋.
由共面的充要条件，知P，A，B，C四点共面．
3．下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　)
A.＋＝ B.－＝
C.＝ D.||＝||
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　C
解析　由＝知与共线，又因有一共同的点B，故A，B，C三点共线．
4．若非零空间向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　－
解析　若2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线，
则2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]，
∴∴k＝－.
5．若非零空间向量e1，e2不共线，则使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k＝________.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　±1
解析　由ke1＋e2与e1＋ke2共线，
得ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即故k＝±1.
1．四点P，A，B，C共面?对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.
2.＝＋x＋y称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3．证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点A，B，C共线．
4．空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．
一、选择题
1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　)
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　C
解析　因为－＝，且＝，
所以－＝，
即＝＋.
又与不共线，
所以，，三向量共面．
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c
B．a＋b＋c
C．a－b＋c
D．－a－b＋c
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　A
解析　＝＋＝＋(＋)
＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
3．如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a－b＋c
D．－a＋b＋c
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　B
解析　连接AE，
∵E是CD的中点，＝b，＝c，
∴＝(＋)＝(b＋c)．
在△ABE中，＝＋＝－＋，
又＝a，∴＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c.
4．设点M是△ABC的重心，记＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，则等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　D
解析　设D是BC边的中点，
∵M是△ABC的重心，
∴＝.而＝(＋)＝(c－b)，
∴＝(c－b)．
5．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．与的方向一定相同
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　A
解析　已知m＋n＝1，则m＝1－n，
＝(1－n)＋n＝－n＋n，
即－＝n(－)，即＝n.
因为≠0，所以和共线，
又AP和AB有公共点A，所以点A，P，B共线，故选A.
6．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为(　　)
A．1 B．0 C．3 D.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　D
解析　∵＝x＋＋，
且M，A，B，C四点共面，
∴x＋＋＝1，
∴x＝，故选D.
7．在下列说法中：
①若a，b共线，则a，b所在的直线平行；
②若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面；
③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；
④已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc.
其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　A
解析　根据空间向量的基本概念知四个命题都不对．
二、填空题
8．以下说法中：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；
②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．
其中正确说法的序号是________．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量共面定理及应用
答案　②④
解析　根据共面与共线向量的定义判定，知②④正确．
9．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量＝＋＋λ确定的点P与A，B，C共面，则λ＝________.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　
解析　∵A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外一点，由向量＝＋＋λ确定的点P与A，B，C共面，∴＋＋λ＝1，解得λ＝.
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用，，表示，则＝__________.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　＋＋
解析　＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋(－＋)
＝＋＋.
11．设棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点所成的集合为S.向量的集合P＝{m|m＝，P1，P2∈S}，则P中长度为a的向量有________个．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　8
解析　每一条体对角线对应两个向量，正方体共有4条体对角线．
三、解答题
12．设e1，e2，e3三向量不共面，而＝e1＋2e2＋3e3，＝2e1＋λe2＋μe3，＝3λe1－e2－2μe3，如果A，B，D三点共线，试求λ，μ的值．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
解　＝＋＝(2e1＋λe2＋μe3)＋(3λe1－e2－2μe3)＝(2＋3λ)e1＋(λ－1)e2－μe3.
∵A，B，D三点共线，
∴与是共线向量．
∴存在实数k，使得＝k，即
e1＋2e2＋3e3＝k[(2＋3λ)e1＋(λ－1)e2－μe3]．
∴(1－2k－3kλ)e1＋(2－kλ＋k)e2＋(3＋kμ)e3＝0.
∵e1，e2，e3三向量不共面，
∴1－2k－3kλ＝0,2－kλ＋k＝0,3＋kμ＝0.
将k＝－代入前两式，
可得
解得λ＝－1，μ＝3.
13.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，AB＝2EF，H为BC的中点．求证：FH∥平面EDB.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量共面定理及应用
证明　因为H为BC的中点，
所以＝(＋)＝(＋＋＋＋)＝(2＋＋＋)．
因为EF∥AB，CD∥AB，且AB＝2EF，
所以2＋＝0，
所以＝(＋)＝＋.
因为与不共线，
所以由共面向量定理知，，共面．
因为FH?平面EDB，
所以FH∥平面EDB.
四、探究与拓展
14.如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为________．
①＋2＋2；
②－3－2；
③＋3－2；
④＋2－3.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　③
解析　因为A，B，C，P四点共面，所以可设＝x＋y，即＝＋x＋y，由题图可知x＝3，y＝－2.
15.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量共面定理及应用
证明　因为M在BD上，
且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，
根据共面向量定理可知，，共面．
因为MN不在平面CDE内，
所以MN∥平面CDE.
3.1.3　空间向量的数量积运算
学习目标　1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.3.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．
知识点一　空间向量的夹角
思考　〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？
答案　〈a，b〉与〈b，a〉分别表示向量a，b与b，a的夹角，根据空间向量夹角的定义知〈a，b〉与〈b，a〉相等．
梳理　(1)如图所示，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是[0，π]，其中当〈a，b〉＝0时，a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，a与b方向相反；当〈a，b〉＝时，a与b互相垂直．反之，若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；若a⊥b，则〈a，b〉＝.
知识点二　数量积的概念及运算律
1．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数
量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
2．空间向量数量积的性质
(1)a⊥b?a·b＝0.
(2)|a|2＝a·a，|a|＝.
(3)cos〈a，b〉＝.
3．空间向量数量积的运算律
(1)(λa)·b＝λ(a·b)．
(2)a·b＝b·a(交换律)．
(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．
(1)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(×)
(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)
(3)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(√)
(4)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(√)
类型一　数量积的计算
例1　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)·.
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　用定义求数量积
解　(1)·＝·
＝||||·cos〈，〉
＝cos 60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·
＝||·||cos〈，〉
＝cos 120°＝－.
(4)·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝cos 60°－cos 60°＝0.
反思与感悟　(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
跟踪训练1　已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
(1)·；(2)·；(3)·.
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　用定义求数量积
解　如图，设＝a，＝b，
＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·
＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2
＝22－22＝0.
(3)·＝·
＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.
类型二　利用数量积证明垂直问题
例2　(1)已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系
为_______．(填“平行”或“垂直”)
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　垂直
解析　∵·＝(＋)·(－)
＝·＋·－2－·
＝·(－－)＝·＝0，
∴AD与BC垂直．
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
证明　设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝＋＝＋(＋)
＝c＋a＋b，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋
＝a＋b－c
∴·＝·(b－a)
＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD.
同理可证⊥，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面CBD，
∴A1O⊥平面GBD.
反思与感悟　(1)证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
跟踪训练2　如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
证明　因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又·＝·(－)＝·－·
＝||·||cos∠AOC－||·||cos∠AOB＝0，
所以⊥，即OA⊥BC.
类型三　利用数量积解决空间角或距离问题
命题角度1　解决角度问题
例3　在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
解　∵＝－，
∴·＝·－·
＝||||·cos〈，〉－||||·cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16，
∴cos〈，〉＝
＝＝.
反思与感悟　求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos〈a，b〉＝，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．
跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求解
解　不妨设正方体的棱长为1，
设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0，
＝a－c，＝a＋b.
∴·＝(a－c)·(a＋b)
＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，
而||＝||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
∵〈，〉∈(0°，180°)，
∴〈，〉＝60°.
因此，异面直线A1B与AC所成的角为60°.
命题角度2　求空间中的两点间的距离
例4　如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　设＝a，＝b，＝c.
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
所以||2＝2
＝a2＋b2＋c2＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以||＝，即EF＝.
反思与感悟　求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
跟踪训练4　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　因为＝＋＋，
所以＝(＋＋)2
＝2＋2＋＋2(·＋·＋·)．
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.
因为＝||2，
所以||2＝23，
则||＝，即AC1＝.
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列说法正确的是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　数量积的性质
答案　B
解析　结合向量的运算，只有B正确．
2．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“c·a＝0且c·b＝0”是“l⊥α”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　B
解析　若a∥b，则不一定得到l⊥α，反之成立．
3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于(　　)
A． B．97
C． D．61
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
答案　C
解析　|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61，
∴|2a－3b|＝.
4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　
解析　cos〈a，b〉＝＝－，∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝.
5．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
答案　
解析　||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
∴||＝，∴EF的长为.
1．空间向量运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
一、选择题
1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是(　　)
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
考点　空间向量数量积的概念与性质
题点　数量积的性质
答案　A
解析　由题意知|a|＝|b|，
∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
2．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　B
解析　根据a·(2b－a)＝0，
即2a·b＝|a|2＝4，解得a·b＝2，
又cos〈a，b〉＝＝＝，
又〈a，b〉∈[0°，180°]，
∴〈a，b〉＝45°，故选B.
3．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(　　)
A．m∥n
B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n
D．以上三种情况都有可能
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　B
4．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　用定义求数量积
答案　B
解析　由(＋－2)·(－)
＝(－＋－)·(－)
＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝0，得||＝||，
故△ABC为等腰三角形．
5．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于(　　)
A．14 B. C．4 D．2
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
答案　B
解析　∵|a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14，
∴|a－2b＋3c|＝.
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是(　　)
A.· B.·
C.· D.·
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　数量积的性质
答案　D
解析　选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，所以AD1⊥B1C，此时有·＝0；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，
又AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，
可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，
此时·＝0；
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，
所以AB⊥AD1，所以·＝0，故选D.
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　数量积的性质
答案　B
解析　①②正确；∵与的夹角为120°，
∴③不正确，故选B.
二、选择题
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　a2
解析　如图，＝－，
＝－＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋||2
＝0－0－0＋a2＝a2.
9．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　－
解析　由题意知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×5×＝－15，
由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
即|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.
解得λ＝－.
10．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　
解析　将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝，
再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝.
11．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
答案　
解析　∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6×cos 60°＋9＝13，
∴|a＋3b|＝.
三、解答题
12．在平行六面体ABCD－EFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝MB，AN＝ND，AR＝2RE，求平面MNR分对角线AG所得线段AP与PG的比．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　如图，设＝m，
因为＝＋＋
＝2＋3＋，
所以＝2m＋3m＋
m，
由于P，M，R，N共面，所以2m＋3m＋m＝1，
得m＝.即＝，＝.
13．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
(1)证明　设＝a，＝b，＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，
＝－c＋b－a，
∴·＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|，
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝，
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
四、探究与拓展
14．等边△ABC中，P在线段AB上，且＝λ，若·＝·，则实数λ的值为________．
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　空间向量数量积定义
答案　1－
解析　如图，＝－＋＝－＋λ，
故·＝(λ－)·
＝λ||2－||||cos A
·＝(－λ)·(1－λ)＝λ(λ－1)||2，
设||＝a(a＞0)，则a2λ－a2＝λ(λ－1)a2，
解得λ＝1－.
15．如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　由AC⊥α，可知AC⊥AB，
过点D作DD1⊥α，D1为垂足，连接BD1，
则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，
所以∠BDD1＝60°，
因为AC⊥α，DD1⊥α，
所以AC∥DD1，
所以〈，〉＝60°，
所以〈，〉＝120°.
又＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·.
因为BD⊥AB，AC⊥AB，
所以·＝0，·＝0.
故||2＝||2＋||2＋||2＋2·
＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625，
所以||＝25.
3.1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示
学习目标　1.了解空间向量基本定理.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．
知识点一　空间向量基本定理
思考1　平面向量基本定理的内容是什么？
答案　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
思考2　平面向量的基底唯一确定吗？
答案　不唯一．
梳理　(1)空间向量基本定理
条件
三个不共面的向量a，b，c和空间任一向量p
结论
存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc
(2)基底
条件：三个向量a，b，c不共面．
结论：{a，b，c}叫做空间的一个基底．
基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量．
知识点二　空间向量的坐标表示
思考　平面向量的坐标是如何表示的？
答案　在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．
梳理　空间向量的正交分解及其坐标表示
单位正交基底
有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3
空间直角坐标系
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz
空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)
(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)
(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(√)
(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(√)
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)
类型一　基底的判断
例1　(1)下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是(　　)
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－MC
(2)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的判断
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于选项B，D，可知，，共面，故选C.
(2)②③均可以作为空间的基底，故选B.
反思与感悟　基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
跟踪训练1　(1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)
A．2a B．2b
C．2a＋3b D．2a＋5c
(2)以下四个说法中正确的是(　　)
A．基底{a，b，c}中可以有零向量
B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．空间向量的基底只能有一组
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　(1)D　(2)B
解析　(2)使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间基底可以有无数多组，故D不正确．
类型二　空间向量基本定理的应用
例2　如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，D为BC的中点．试用向量a，b，c表示向量和.
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
解　因为＝＋，
而＝，＝－，
又D为BC的中点，所以＝(＋)，
所以＝＋＝＋(－)
＝＋×(＋)－
＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
又因为＝－，
＝＝×(＋)
＝(b＋c)，
所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
所以＝(a＋b＋c)，＝－a.
反思与感悟　用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
跟踪训练2　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
解　(1)如图，连接AC，
＝＋
＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋
＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．
(2)＝(＋)
＝(－＋)
＝(－c＋a－b－c)
＝a－b－c，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
类型三　空间向量的坐标表示
例3　(1)设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________________．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　(4，－8,3)，(－2，－3,7)
解析　由于{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．
(2)已知a＝(3,4,5)，e1＝(2，－1,1)，e2＝(1,1，－1)，e3＝(0,3,3)，求a沿e1，e2，e3的正交分解．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
解　因为a＝(3,4,5)，e1＝(2，－1,1)，
e2＝(1,1，－1)，e3＝(0,3,3)，
设a＝αe1＋βe2＋λe3，
即(3,4,5)＝(2α＋β，－α＋β＋3λ，α－β＋3λ)，
所以解此方程组得
所以a沿e1，e2，e3的正交分解为a＝e1＋e2＋e3.
反思与感悟　用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练3　(1)空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，在基底{a，b，c}下的坐标为________．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　
解析　∵OM＝2MA，点M在OA上，
∴OM＝OA，
∴＝＋＝－＋(＋)
＝－a＋b＋c＝.
(2)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
解　因为PA＝AD＝AB＝1，
所以可设＝e1，＝e2，＝e3.
因为＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－＋＋(－＋＋)
＝＋＝e3＋e2，
所以＝.
1．已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　)
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　D
解析　由＝－i＋j－k只能确定向量＝(－1,1，－1)，而向量的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定．
2．在下列两个说法中正确的是(　　)
①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．仅① B．仅② C．①② D．都不是
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　A
解析　①为真命题；②中，由题意得a，b，c共面，故②为假命题，故选A.
3．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　A
解析　设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．
4．已知a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝αa＋βb＋λc，则α，β，λ的值分别为________．
考点　空间向量的正交分解
题点　空间向量在单位正交基底下的坐标
答案　，－1，－
解析　∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋λ(e1－e2＋e3)
＝(α＋β＋λ)e1＋(α＋β－λ)e2＋(α－β＋λ)e3
＝e1＋2e2＋3e3，
∴∴
5．如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底{i，j，k}表示向量，.
考点　空间向量的正交分解
题点　向量在单位正交基底下的坐标
解　延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，
＝＝
＝(＋＋＋－)
＝＋－＝i＋j－k.
＝＋＋＝＋＋
＝－－
＝－－
＝－＋
＝－i＋j＋k.
1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．
2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．
3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
一、选择题
1．下列说法中不正确的是(　　)
A．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底
B．竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面
C．纵坐标为0的向量都共面
D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　A
解析　单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法中正确的是(　　)
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量的坐标与向量的坐标相同
D．向量的坐标与－的坐标相同
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　D
3．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　)
A. B.
C. D.或
考点　空间向量基底的概念
题点　
答案　C
解析　∵＝a－b且a，b不共线，
∴a，b，共面，∴与a，b不能构成一组空间基底．
4．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　A
解析　设点C坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)．
又＝(－3，－2，－4)，＝，
∴x＝－，y＝－，z＝－.
5．{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为(　　)
A．0,0,1 B．0,0,0
C．1,0,1 D．0,1,0
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　B
解析　若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面．这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.
6．设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的是(　　)
A．仅① B．仅②
C．①② D．不确定
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基底的概念
答案　B
解析　对于①∵a－b与a，b共面，
∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底．
对于②∵a＋b－c与a，b不共面，∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底．
7．设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　A
解析　如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，
＝(＋)
＝(－2＋)，
＝＝(－2＋)，
∵＝3＝3(－)，
∴＝＝(＋)
＝
＝＋＋，故选A.
二、填空题
8.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　(0,2,1)　(2,2,1)
解析　根据已建立的空间直角坐标系，知A(0,0,0)，C1(2,2,1)，D1(0,2,1)，则的坐标为(0,2,1)，的坐标为(2,2,1)．
9．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则
＝________.(用a，b，c表示)
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
答案　a＋b＋c
解析　＝＋＝＋×(＋)
＝＋(－＋－)
＝＋＋＝a＋b＋c.
10．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为____________．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
答案　(5,13，－3)
解析　由四边形ABCD是平行四边形知＝，
设D(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1,12，－6)，
所以解得
即D点坐标为(5,13，－3)．
三、解答题
11.如图所示，正方体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量，；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
解　(1)＝＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋＋
＝＋－＝b＋c－a.
(2)＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)．
12.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标．
考点　空间向量的正交分解
题点　空间向量的坐标
解　设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，
其方向与各轴的正方向相同，
则＝＋＋＝2e1＋2e2＋2e3，
∴＝(2,2,2)．
∵＝＋＋＝2e1＋2e2＋e3，
∴＝(2,2,1)．∵＝e2，∴＝(0,1,0)．
13．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量的基本定理
(1)证明　因为＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以A，E，C1，F四点共面．
(2)解　因为＝－＝＋－(＋)
＝＋－－＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.
四、探究与拓展
14．已知四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.
考点　空间向量基底的概念
题点　空间向量基本定理
答案　3a＋3b－5c
解析　如图所示，取BC的中点G，
连接EG，FG，
则＝－＝－＝＋
＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c.
15．已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示出向量，，的坐标．
考点　空间向量的正交分解
题点　向量的坐标
解　过点A作AG垂直平面BCD于点G，所以G为△BCD的中心，
过点G作GF∥CD，
延长BG交CD于点E，
则E为CD的中点．
以G为坐标原点，GF，GE，GA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，
因为△BCD的边长为1，
所以BE＝，GE＝，又＝，
所以GF＝×＝，又BG＝，
所以AG＝ ＝.
设单位正交基底为{e1，e2，e3}，则
＝－＝－e2－e3＝，
＝－＝＋－
＝e2＋e1－e3＝，
＝－＝＋－
＝e2－e1－e3＝.
3.1.5　空间向量运算的坐标表示
学习目标　1.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算.3.会判断两向量平行或垂直.4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式．
知识点一　空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
a·b＝0
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos〈a，b〉＝
cos〈a，b〉＝
(1)空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．(×)
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b?＝＝.(×)
(3)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(√)
(4)设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则＝(0,1，－1)．(√)
类型一　空间向量坐标的计算
例1　(1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a＋3b)·(a－2b)＝________.
(2)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉等于(　　)
A. B. C. D.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　(1)－244　(2)C
解析　(1)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244.
(2)由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
故cos〈a，b〉＝＝＝.
反思与感悟　关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．
跟踪训练1　若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则
x＝________.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　2
解析　据题意，有c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
类型二　空间向量平行、垂直的坐标表示
例2　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　(1)因为＝(－2，－1,2)，且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
引申探究
若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值．
解　由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k,4)，
∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，
即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝，
故所求k的值为－2或.
反思与感悟　(1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练2　正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3＝，
所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，
解得b＝，所以点Q的坐标为.
因为＝λ，所以(－1，－1,0)＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
类型三　空间向量的夹角与长度的计算
例3　棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量在立体几何中的应用
(1)证明　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，
F，G.
所以＝，＝， ＝，＝.
因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF.
(2)解　因为·＝×1＋×0＋×＝，
||＝＝，
||＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
(3)解　|CE|＝||＝＝.
反思与感悟　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
跟踪训练3　如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量在立体几何中的应用
解　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(－1,1，－2)，＝(0，－1，－2)，
∴·＝(－1)×0＋1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又异面直线所成角为锐角或直角，
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为(　　)
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
解析　＝＝－，＝＋＝(9,1,1)．
2．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状
是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　A
解析　＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)．
由·＞0，得A为锐角；由·＞0，得C为锐角；由·＞0，得B为锐角．所以△ABC为锐角三角形．
3．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是(　　)
A．(1,1,1) B．(－4,6，－2)
C．(2，－3,5) D．(－2，－3,5)
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
解析　若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1 B. C. D.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　D
解析　依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　
解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
又∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝.
1．在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
2．两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝＝.
3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
一、选择题
1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　)
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
2．已知直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的
是(　　)
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋λ D．以上均不能
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　D
3．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为(　　)
A．0 B．6 C．－6 D．±6
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　B
解析　∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
A．3 B．2 C. D．5
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　A
解析　a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3 .
5．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　　)
A．(16,0,4) B．(8，－16,4)
C．(8,16,4) D．(8,0,4)
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　D
解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．
6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b为共线向量，则(　　)
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　C
解析　∵a＝(2x,1,3)与b＝(1，－2y,9)共线，
∴＝＝(y≠0)，
∴x＝，y＝－.
7．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n的值为(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．－2
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　A
解析　因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)，由题意得∥，所以＝＝，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
二、填空题
8．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　－
解析　∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，且k＜0，∴cos 120°＝，∴k＝－.
9．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　4
解析　由题意知a∥b，
所以＝＝，
即
把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，
解得x＝－2或x＝1.
当x＝－2时，y＝－6；
当x＝1时，y＝3.
当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，
向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．
当时，b＝(1,2,3)＝a，
a与b同向，所以此时x＋y＝4.
10．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则在上的投影为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　－4
解析　∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)，
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
∴cos〈，〉＝
＝－，
在上的投影为||cos〈，〉
＝×＝－4.
11．已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_____________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　∪
解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，
即3t－<0，所以t<.
若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(5,3,1)＝λ，
所以所以t＝－，
故t的取值范围是∪.
三、解答题
12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　(1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，
∴OA＝OC＝，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×2＝2.
在Rt△POB中，∠PBO＝60°，
∴PO＝OB·tan 60°＝.
∴VP－ABCD＝S菱形ABCD·PO＝×2×＝2.
(2)如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，
A(0，－，0)，P(0,0，)．
∴E，
∴＝，＝.
∴·＝0＋0＋×(－)＝－，
||＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∵异面直线所成的角为锐角或直角，
∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
13．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，
∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．
(1)∵(λa＋b)∥(a－3b)，
∴＝＝，解得λ＝－.
(2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)，
∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，
即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝.
四、探究与拓展
14．已知三角形的顶点是A(1，－1,1)，B(2,1，－1)，C(－1，－1，－2)．则这个三角形的面积为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　
解析　由题意得＝(1,2，－2)，＝(－2,0，－3)，
∴||＝＝3，
∴||＝＝，
∴·＝(1,2，－2)·(－2,0，－3)＝－2＋6＝4，
∴cos A＝cos〈，〉＝＝＝，
∴sin A＝＝，
S△ABC＝||||·sin A＝.
15．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证＋＋≤4.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
证明　设m＝(，，)，
n＝(1,1,1)，则|m|＝4，|n|＝，
由题意知m·n≤|m||n|，
即＋＋≤4.
当且仅当＝＝，
即a＝b＝c＝时，取“＝”号．
§3.2　立体几何中的向量方法
第1课时　用空间向量解决立体几何中的平行问题
学习目标　1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．
知识点一　直线的方向向量与平面的法向量
(1)用向量表示直线的位置
条件
直线l上一点A
表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量)
形式
在直线l上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝t
作用
定位置
点A和向量a可以确定直线的位置
定点
可以具体表示出l上的任意一点
(2)用向量表示平面的位置
①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：
条件
平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O
形式
对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得＝xa＋yb
②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：
平面的法向量
直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量
确定平面位置
过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
(3)直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量
能平移到直线上的非零向量a，叫做直线l的一个方向向量
平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α的法向量
知识点二　平面的法向量及其求法
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：
(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；
(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量．
知识点三　用空间向量处理平行关系
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?a∥b?a＝kb(k∈R)
线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0
面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝kv(k∈R)
.
(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)
(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×)
(3)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×)
(4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√)
(5)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1⊥l2.(√)
类型一　求平面的法向量
例1　已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，
∴＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0)．
则有即
解得令z＝1，则x＝y＝3.
故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1)．
反思与感悟　利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的．
跟踪训练1　如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，
则＝，＝.
向量＝是平面SAB的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，
则
即
取x＝2，得y＝－1，z＝1，
故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．
类型二　利用空间向量证明平行问题
例2　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
证明　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，
所以⊥n1.
又因为FC1?平面ADE，
所以FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥，n2⊥，
得得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟　利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．
跟踪训练2　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　存在点E使CE∥平面PAB.
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，
设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，
＝(0,2，－1)，
∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0，①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，
∴⊥，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0.
∴y＝1，代入①得z＝，
∴E是PD的中点，
∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
1．已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　B
解析　由l1∥l2，得v1∥v2，得＝＝，故λ＝2.
2．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是(　　)
A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　A
解析　由题意知解得或
3．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　A
解析　因为＝(2,4,6)，所以与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．
4．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m为(　　)
A．－4 B．－6 C．－8 D．8
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　C
解析　∵l∥α，平面α的法向量为，
∴(2，m,1)·＝0，
∴2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　(1,1,1)(答案不唯一)
解析　不妨设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，
设平面ACD1的一个法向量a＝(x，y，z)，
则a·＝0, a·＝0.
因为＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，
所以 
所以所以不妨取x＝1，
则a＝(1,1,1)．
(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)
1．应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则能使l∥α的是(　　)
A．a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1)
D．a＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　D
解析　由l∥α，故a⊥μ，即a·μ＝0，故选D.
2．已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若两直线l1∥l2，则x，y的值分别是(　　)
A．6和－10 B．－6和10
C．－6和－10 D．6和10
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　A
解析　由两直线l1∥l2，得两向量a，b平行，即＝＝，所以x，y的值分别是6和－10.
3．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥α，则x的值为(　　)
A．－2 B．－ C. D．±
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　依题意得，－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，
解得x＝±.
4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)
A. B.
C. D.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∵　∴
令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)，
单位法向量为或.
5．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)
A．l∥α B．l?α
C．l⊥α D．l?α或l∥α
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　D
解析　当a·b＝0时，l?α或l∥α.
6．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　)
A．－ B．6 C．－6 D.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　B
解析　∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．
∴＝＝，∴λ＝6.
7．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　)
A．－1,2 B．1，－2
C．1,2 D．－1，－2
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　A
解析　c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，
由c为平面α的法向量，得即
解得
二、填空题
8．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　2∶3∶(－4)
解析　由已知得，＝，
＝，
∵a是平面α的一个法向量，∴a·＝0，a·＝0，
即解得
∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
9．已知l∥α，且l的方向向量为m＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n＝(1，y,2)，则y＝________.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　
解析　∵l∥α，∴l的方向向量m＝(2，－8,1)与平面α的法向量n＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y＋2＝0，∴y＝.
10．设平面α的法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　4
解析　由α∥β得＝＝，解得k＝4.
三、解答题
11．已知平面α经过点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．
设平面α的法向量是n＝(x，y，z)，
依题意有即
解得令y＝1，则x＝2，
∴平面α的一个法向量是n＝(2,1,0)．
12.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，，0)，
E，B(1,0,0)，
C(1，，0)，
于是＝，＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
13．已知空间四边形ABCD，P，Q分别是△ABC和△BCD的重心，求证：PQ∥平面ACD.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
证明　如图，连接AP并延长交BC于点E，连接ED，易知Q在线段ED上，
∵P，Q分别是△ABC和△BCD的重心，
∴＝－
＝－＝(－)＝，
∴∥，即PQ∥AD，
又AD?平面ACD，PQ?平面ACD，
∴PQ∥平面ACD.
四、探究与拓展
14．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　)
A．(1，－4,2) B.
C. D．(0，－1,1)
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
15.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，AD＝5.求证：平面A1BD∥平面B1D1C.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
证明　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，
z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，A1(5,0,4)，
B(5,3,0)，D1(0,0,4)，
B1(5,3,4)，C(0,3,0)，
∴＝(－5,0，－4)，
＝(0,3，－4)，
＝(0,3，－4)，＝(－5,0，－4)．
设平面A1BD的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则即
取z＝1，得x＝－，y＝，则m＝.
设平面B1D1C的一个法向量为n＝(a，b，c)，
则得n＝.
∵m＝n，即m∥n，∴平面A1BD∥平面B1D1C.
第2课时　用空间向量解决立体几何中的垂直问题
学习目标　1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．
知识点一　向量法判断线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
知识点二　向量法判断线面垂直
设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R)．
知识点三　向量法判断面面垂直
思考　平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？
答案　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
梳理　若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?μ⊥v ?μ·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(1)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)
(2)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直．(√)
(3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)
(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(√)
类型一　线线垂直问题
例1　已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
证明　设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由已知得A，
B，C，
N，B1，
∵M为BC中点，
∴M.
∴＝，＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0.
∴⊥，∴AB1⊥MN.
反思与感悟　证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
跟踪训练1　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
证明　∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C两两垂直．
如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
∵＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)，
∴·＝0.∴AC⊥BC1.
类型二　证明线面垂直
例2　如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
证明　如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，
B1(1,2,0)．
所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，
＝(－2,1,0)．
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.
所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.
反思与感悟　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一：(1)建立空间直角坐标系．
(2)将直线的方向向量用坐标表示．
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系．
(2)将直线的方向向量用坐标表示．
(3)求出平面的法向量．
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
跟踪训练2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：直线PB1⊥平面PAC.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
证明　如图，以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，
＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，
＝(1,1,1)，＝(0，－1，－2)，
＝(－1,0，－2)．
·＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PC.
又·＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PA.
又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.
类型三　证明面面垂直问题
例3　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
证明　方法一 　如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)．
∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，
∴＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－2,2,0)，
∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，
·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0，
∴⊥，⊥，
∴BC⊥AD，BC⊥AA1.
又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.
又BC?平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
方法二　同方法一建系后，得＝(0,0，)，
＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．
设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1,0)．
由得
令y2＝1，则x2＝1，z2＝，
∴n2＝.
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
反思与感悟　证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
跟踪训练3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；
(2)在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED.
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
(1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，
∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)．
设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
由
得
令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．
同理，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1)．
∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，
∴平面AED⊥平面A1FD1.
(2)解　由于点M在直线AE上，
因此可设＝λ＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，
则M(2,2λ，λ)，∴＝(0,2λ，λ－2)．
要使A1M⊥平面AED，只需∥n1，
即＝，解得λ＝.
故当AM＝AE时，A1M⊥平面AED.
1．下列说法中正确的个数为(　　)
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ? n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
答案　C
解析　①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确．
2．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为(　　)
A．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)
B．a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)
C．a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)
D．a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　向量法解决线线垂直
答案　B
解析　因为a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.
3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
答案　B
解析　∵a∥μ，∴l⊥α.
4．平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
答案　C
解析　∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直．
5．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则异面直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”)
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　向量法解决线线垂直
答案　是
解析　如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则由AC＝2，BC＝，
SB＝，
得B(0，，0)，S(0,0，2)，C，
＝，
＝.
因为·＝0，所以SC⊥BC.
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
线线垂直
(1)证明两直线所成的角为90°.
(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直
两直线的方向向量互相垂直
线面垂直
对于直线l，m，n和平面α
(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m与n相交，则l⊥α.
(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α
(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面垂直
对于直线l，m和平面α，β
(1)若l⊥α，l?β，则α⊥β.
(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.
(3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
一、选择题
1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)
A．－2 B．2 C．6 D．10
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
答案　D
解析　因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为(　　)
A．10 B．－10 C. D．－
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
答案　B
解析　因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10.
3．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)
A．(1,0，－2) B．(1,0,2)
C．(－1,0,2) D．(2,0，－1)
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
答案　C
解析　由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0. ①
·＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②
联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2)．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．AC B．BD C．A1D D．A1A
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
答案　B
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.则C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,1，1)，A1(1,0,1)，
E，
∴＝，＝(－1,1,0)，
＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)，
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.
5．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A. (1，－1,1) B.
C. D.
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　法向量求解线面垂直
答案　B
解析　要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，
则(　　)
A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求直线的方向向量
答案　B
解析　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，
F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
∴＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，
＝，＝(－1，－1,1)，
∴＝－，·＝0，·＝0，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.
7．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是(　　)
A．－3 B．6
C．－6 D．－12
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法求解面面垂直
答案　B
解析　∵α⊥β，∴μ·v＝0，即－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.
二、填空题
8.如图所示，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则·＝_______.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
答案　0
解析　因为BE＝EC，故＝－＝(＋)－，在三棱锥A－BCD中，
DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，
故·＝·(－)＝(2－2)＝0.
9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量．
其中正确的是________．(填序号)
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　向量法解决线线垂直
答案　①②③
解析　·＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)
＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，
∴AP⊥AB，即①正确．
·＝(－1,2，－1)·(4,2,0)
＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.
∴AP⊥AD，即②正确．
又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，
即是平面ABCD的一个法向量，③正确．
10．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________．
考点　向量法求解线面垂直问题
题点　向量法求解线面垂直
答案　(－2,4,1)或(2，－4，－1)
解析　据题意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)．
设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，
∴即可得
∵|n|＝，∴＝，
解得y＝4或y＝－4.
当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.
三、解答题
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．证明：CD⊥平面PAE.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
证明　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝h，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0，0，h)．
所以＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)．
因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，
所以CD⊥AE，CD⊥AP，
而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE.
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
证明　以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，
则P(0,0,1)，B(0,1,0)，F，D，
设BE＝x(0≤x≤)，
则E(x,1,0)，
·＝(x,1，－1)·＝0，
所以x∈[0， ]时都有PE⊥AF，即无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.
13.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．
求证：(1)AC⊥PB；
(2)PB∥平面AEC.
考点　向量法求解直线与直线的位置关系
题点　方向向量与线线垂直
证明　(1)如图，以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设AC＝a，PA＝b.
则有A(0,0,0)，B(0，b,0)，C(a,0,0)，P(0,0，b)，
∴＝(a,0,0)，＝(0，b，－b)．
从而·＝0，∴AC⊥PB.
(2)由已知得D(a，－b,0)，
E，∴＝.
设平面AEC的一个法向量为n，
则n⊥且n⊥，可得n＝(0,1,1)．
∵n·＝0，∴n⊥PB.
又PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC.
四、探究与拓展
14.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比值为(　　)
A．1∶2 B．1∶1
C．3∶1 D．2∶1
答案　B
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
设正方形边长为1，PA＝a，
则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)．
设点F的坐标为(0，y,0)，
则＝(－1，y,0)，＝.
因为BF⊥PE，所以·＝0，
解得y＝，即点F的坐标为，
所以F为AD的中点，
所以AF∶FD＝1∶1.
15.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：ME⊥平面BCC1B1.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
证明　(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)，
∴＝＋，故，，共面．
又它们有公共点B，∴E，B，F，D1四点共面．
(2)设M(0,0，z)，则＝，而＝(0,3,2)，
由题设得·＝－·3＋z·2＝0，得z＝1.
∵M(0,0,1)，E(3,0,1)，∴＝(3,0,0)，
又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)
∴·＝0，·＝0，
从而ME⊥BB1，ME⊥BC.
又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.
第3课时　用空间向量解决空间角与距离问题
学习目标　1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角和距离问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．
知识点一　空间三种角的向量求法
空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝

直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝

二面角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝
[0，π]
知识点二　利用空间向量求距离(※)
点到平面的距离：
用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下：
先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长．如图，设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离
d＝＝.
线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离，因此，只要掌握点到平面距离的求法，就可解决其他的距离问题．
(1)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．(×)
(2)二面角的大小范围是.(×)
(3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．(×)
(4)直线与平面所成角的范围是.(√)
类型一　求线线角、线面角
例1　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为________．
考点　向量法求直线与直线所成的角
题点　向量法求线线角
答案　
解析　如图所示，以C为坐标原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0,1,0)，
M，A(1,0,0)，
N，故＝，＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
①求证：PB⊥DM；
②求BD与平面ADMN所成的角．
考点　向量法求直线与直线所成的角
题点　向量法求线线角
①证明　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M.
∵·＝(2,0，－2)·＝0，
∴PB⊥DM.
②解　∵·＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，
∴PB⊥AD.
又∵PB⊥DM，AD∩DM＝D，
∴PB⊥平面ADMN.
即为平面ADMN的一个法向量．
因此〈，〉的余角即是BD与平面ADMN所成的角．
∵cos〈，〉＝＝＝，
且〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝，
∴BD与平面ADMN所成的角为.
反思与感悟　用向量法解决线线角、线面角问题时，首先需建立适当的坐标系，然后求解相应的向量表达式，再借助于空间向量的运算进行求解．
跟踪训练1　(1)已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C．－
D．－
考点　向量法求线线角
题点　向量法求线线角
答案　A
解析　∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，
∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，
∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，
∴cos〈，〉＝＝＝，
又异面直线所成角的范围是，
∴AB1与ED1所成角的余弦值为.
(2)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
①证明：AB⊥A1C；
②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
考点　向量法求线面角
题点　向量法求线面角
①证明　取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
∵CA＝CB，∴OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，
∴OA1⊥AB.
∵OC∩OA1＝O，
∴AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.
②解　由①知OC⊥AB，OA1⊥AB.
又平面ABC⊥平面AA1B1B，
交线为AB，OC?平面ABC，
所以OC⊥平面AA1B1B，
故OA，OA1，OC两两垂直．
以O为坐标原点，OA，OA1，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设AB＝2，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，
C(0,0，)，B(－1,0,0)，
则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，
＝(0，－，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
则即
可取n＝(，1，－1)．
故cos〈n，〉＝＝－，
∴A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
类型二　求二面角问题
例2　如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A－A1D－B的余弦值．
考点　向量法求二面角
题点　向量法求二面角
解　取BC的中点O，连接AO，因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．
设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(－1,1，－)，＝(0,2,0)．
因为n⊥，n⊥，
所以得
所以
令z＝1，得n＝(－，0,1)为平面A1AD的一个法向量．
又因为＝(1,2，－)，＝(－2,1,0)，
＝(－1,2，)，
所以·＝－2＋2＋0＝0，
·＝－1＋4－3＝0，
所以⊥，⊥，
即AB1⊥BD，AB1⊥BA1，
且BD∩BA1＝B，
所以AB1⊥平面A1BD，
所以是平面A1BD的一个法向量，
所以cos〈n，〉＝＝＝－，
又二面角A－A1D－B为锐二面角，
所以二面角A－A1D－B的余弦值为.
反思与感悟　求角二面角时，可以用方向向量法，也可以采用法向量法求解．
跟踪训练2　如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝，PA＝AC＝1，求二面角A－PB－C的余弦值．
考点　向量法求二面角
题点　向量法求二面角
解　以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连接DC，可知DC⊥PB，作AE⊥PB于点E，则向量与的夹角的大小为二面角A－PB－C的大小．
∵A(1,0,0)，B(0，，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，
D为PB的中点，
∴D.
在Rt△PAB中，由△PAB∽△AEB∽△PEA，
得＝＝，
∴E.
∴＝，＝，
∴·＝.
又||＝，||＝1，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴二面角A－PB－C的余弦值为.
类型三　解决距离问题(※)
例3　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点与平面间的距离
解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)．
所以＝(0,1,0)，＝(－2,1,1)，＝(－1，－1,2)．
设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
点A到平面EFG的距离为d，
则所以所以
令z＝1，此时n＝(1,1,1)，
所以d＝＝＝，
即点A到平面EFG的距离为.
反思与感悟　用向量法计算距离问题时，借助于空间向量的运算，并结合化归思想进行求解．
跟踪训练3　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．
考点　向量法求空间距离
题点　向量法求点与平面间的距离
解　因为点E，F分别为BB1，CC1的中点，
所以EF∥B1C1∥A1D1.
又因为A1D1?平面EFGH，EF?平面EFGH，
所以A1D1∥平面EFGH，
所以D1A1到平面EFGH的距离即为点D1到平面EFGH的距离．
以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则E，F，
G，D1(0,0,1)，
所以＝(－1,0,0)，＝.
设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝6，可得n＝(0，－1,6)．
设D1A1到平面EFGH的距离为d，连接D1F，
又＝，
所以d＝＝，
即D1A1到平面EFGH的距离为.
1．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
考点　向量法求线面角
题点　向量法求线面角
答案　A
解析　设l与α所成的角为θ，则
sin θ＝|cos〈m，n〉|＝.∴θ＝30°.
2．已知二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角α－l－β的大小为(　　)
A. B.
C.或 D.或
考点　向量法求二面角
题点　向量法求二面角
答案　C
解析　由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α－l－β的大小为或，故选C.
3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　向量法求解直线与平面所成的角
题点　向量法解决直线与平面所成的角
答案　A
解析　取AC的中点E，连接BE，
则BE⊥AC，以B为坐标原点，BE，BB1所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则A，D(0,0,1)，B(0,0,0)，E，
则＝，＝.
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，
平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，BE?平面ABC，
∴BE⊥平面AA1C1C，
∴＝为平面AA1C1C的一个法向量．
设AD与平面AA1C1C所成角为α，
∵cos〈，〉＝－，
∴sin α＝|cos〈，〉|＝.
4．设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a在a上，向量b在b上，a＝(1,1,1)，b＝(－3,4,0)，则α，β所成二面角中较小的一个角的余弦值为________．
考点　向量法求二面角
题点　向量法求二面角
答案　
解析　设α，β所成二面角中较小的一个角为θ，
由题意得，cos θ＝|cos〈a，b〉|＝＝＝.
5．已知等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为________．
考点　向量法求线线角
题点　向量法求线线角
答案　
解析　过C点作CO⊥平面ABDE，垂足为点O，取AB的中点F，连接CF，OF，则∠CFO为二面角C－AB－D的平面角．
设AB＝1，则CF＝，
∴OF＝CF·cos∠CFO＝×＝，
∴OC＝，且O为正方形ABDE的中心．
以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则E，M，A，N，
∴＝，＝，
∴cos〈，〉＝＝，
又异面直线所成角的范围是，
∴EM，AN所成角的余弦值为.
1．向量法求角
(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|.
(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.
(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．
2．向量法求距离(※)
(1)求P，Q两点间的距离，可转化为求的模．
(2)点到平面距离的求法：设n是平面α的法向量，B是平面α外一点，A是平面α内一点，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的距离为d＝.
(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离，利用(2)中的方法求解．
一、选择题
1．在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为(　　)
A. B.－
C. D.或－
考点　向量法求二面角
题点　向量法求二面角
答案　D
解析　由＝＝，
知这个二面角的余弦值为或－，
故选D.
2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
考点　向量法求面面角
题点　向量法求面面角
答案　C
解析　cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.
3．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)
A. B. C. D.
考点　向量法求线面角
题点　向量法求线面角
答案　C
解析　线面角的范围是.
∵〈a，n〉＝，∴l与法向量所在直线所成角为，
∴l与α所成的角为.
4．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的余弦值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
考点　向量法求线面角
题点　向量法求线面角
答案　D
解析　设α与l所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝＝＝，故直线l与α所成角的余弦值为 ＝.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
考点　向量法求线面角
题点　向量法求线面角
答案　C
解析　以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，
∴＝(－1,0,1)，＝(－1,1,1)，＝(0,1，－1)，
＝(－1,0，－1)．
∴·＝1－1＝0，·＝1－1＝0.
∴AC1⊥A1B，AC1⊥A1D.又A1B∩A1D＝A1，
且A1B，A1D?平面A1BD，∴AC1⊥平面A1BD.
∴是平面A1BD的一个法向量．
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为.
6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小(　　)
A．等于90°
B．小于90°
C．大于90°
D．不确定
考点　向量法求线线角
题点　向量法求线线角
答案　A
解析　A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，
·＝(＋)·
＝·＋·＝0，
∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.
7.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
考点　向量法求线线角
题点　向量法求线线角
答案　B
解析　不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，
S(0,0,0)，
M，N.
因为＝，＝，
所以||＝，||＝，·＝－，
cos〈，〉＝＝－，
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.
二、填空题
8．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)，则这两个平面所成的锐二面角为________．
考点　向量法求面面角
题点　向量法求面面角
答案　60°
解析　cos〈n，v〉＝＝－，且〈n，v〉∈[0°，180°]，
∴〈n，ν〉＝120°.故两平面所成的锐二面角为60°.
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．
考点　向量法求二面角
题点　向量法求二面角
答案　
解析　如图所示，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设正方体的棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，
所以＝(0,1，－1)，＝.
设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，
则即所以
所以n1＝(1,2,2)．
平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，
即所求的锐二面角的余弦值为.
10.如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为________．
考点　向量法求线线角
题点　向量法求线线角
答案　
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，
F(1,2,0)，B(2,0,0)，
D(0,2,0)．
＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，
故cos〈，〉＝＝.
11.如图，已知矩形ABCD与ABEF全等，D-AB-E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝.则AB与BC的边长之比为________．
答案　∶2
解析　设AB＝a，BC＝b，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则相关各点坐标为F(b,0,0)，M，
B(0，a,0)，D(0,0，b)．
＝，＝(0，－a，b)，
所以||＝，||＝，
·＝－，
|cos〈，〉|＝＝，
整理得，4＋5－26＝0，
解得＝2或＝－(舍)．所以＝＝.
三、解答题
12.如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；
(3)求二面角A－CD－E的余弦值．
考点　向量法解决二面角问题
题点　求二面角
(1)解　如图所示，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.
设AB＝1，依题意得
B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)，M，A(0,0,0)．
则＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，
于是cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
(2)证明　由＝，＝(－1,0,1)，
＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
又AM∩AD＝A，AM?平面AMD，AD?平面AMD，
故CE⊥平面AMD.
又CE?平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)解　设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，可得u＝(1,1,1)．
又由题设知，平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)．
所以，cos〈u，v〉＝＝＝.
因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为.
13.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．
(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；
(3)求平面B1EDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．
考点　向量法求面面角
题点　向量法求面面角
解　以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.
(1)则A1(0,0，a)，C(a，a,0)，
D(0，a,0)，E，
∴＝(a，a，－a)，＝，
∴cos〈，〉＝＝，
故A1C与DE所成角的余弦值为.
(2)连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，
∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上．
又B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.
由A(0,0,0)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，
得＝(0，－a,0)，＝(a，－a，a)，
∴cos〈，〉＝＝，
又直线与平面所成角的范围是，
故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为.
(3)由已知得A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，E，则＝，
＝，
平面ABCD的一个法向量为m＝＝(0,0，a)．
设平面B1EDF的一个法向量为n＝(1，y，z)，
由得
∴n＝(1,2,1)，∴cos〈n，m〉＝＝，
∴平面B1EDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为.
四、探究与拓展
14．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
考点　向量法求线线角
题点　向量法求线线角
答案　D
解析　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，M，
C(0,1,0)，N，
∴＝，＝，
∴·＝，||＝||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
又异面直线所成角的范围是，
∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
15.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；
(2)求二面角E－BC－A的余弦值．
考点　向量法求二面角
题点　向量法求二面角
(1)证明　由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩FE＝F，DF?平面EFDC，FE?平面EFDC，所以AF⊥平面EFDC.
又AF?平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.
(2)解　过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.
以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.
由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，
故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝，
可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)．
由已知得，AB∥EF，EF?平面EFDC，
AB?平面EFDC，所以AB∥平面EFDC.
又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，
故AB∥CD，CD∥EF.
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，
所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，
即∠CEF＝60°，从而可得C(－2,0，)．
连接AC，则＝(1,0，)，＝(0,4,0)，
＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)．
设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则
即所以可取n＝(3,0，－)．
设m是平面ABCD的法向量，则
同理可取m＝(0，，4)．
则cos〈n，m〉＝＝－.
故二面角E－BC－A的余弦值为－.
滚动训练(四)
一、选择题
1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　充要条件的概念及判断
题点　充要条件的判断
答案　B
解析　由(2x－1)x＝0，可得x＝或x＝0.因为“x＝或x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
2．给出下列说法：
①将空间中所有单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
3．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为(　　)
A．2 B．4 C．8 D．2
答案　B
解析　椭圆方程变形为＋＝1，
∴椭圆长轴长2a＝2，∴△ABF2的周长为4a＝4.
4．已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A.a＋b－c B．－a＋b＋c
C.a－b＋c D.a＋b－c
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　B
解析　＝－＝(＋)－
＝b＋c－a.
5．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±4x D．y＝±x
考点　双曲线的性质
题点　由双曲线的标准方程求双曲线的渐近线
答案　A
解析　由椭圆的离心率e＝＝，可知＝＝，所以＝，故双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
6.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为(　　)
A. B．3 C. D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段的长度
答案　D
解析　由题可知||＝1，||＝1，||＝.
〈，〉＝45°，
〈，〉＝45°，〈，〉＝60°.
所以||2＝2
＝2＋2＋2－·＋·－·
＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝.
7.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C-BF-D的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　如图所示，连接BD，AC∩BD＝O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝.
所以B，F，C，D.
结合图形可知，＝，且为平面BOF的一个法向量，
由＝，＝，
可求得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，
所以tan〈n，〉＝.
8．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，则点P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是(　　)
A．m>－1，n<5 B．m<－1，n<5
C．m>－1，n>5 D．m<－1，n>5
考点　充要条件的概念及判断
题点　寻求充要条件
答案　A
解析　A∩(?UB)满足
∵P(2,3)∈A∩(?UB)，则∴
二、填空题
9．已知向量p关于基底{a，b，c}的坐标为(3,2，－1)，则p关于基底的坐标是________________．
考点　空间向量基底的概念
题点　向量的坐标
答案　
解析　由已知得p＝3a＋2b－c，
则p＝(2a)＋(－2)(－b)＋(－2).
故p关于基底的坐标为.
10．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则
p＝________.
考点　
题点　
答案　2
解析　由题意得3x0＝x0＋，即x0＝，
即A，代入抛物线方程，得＝2，
∵p>0，∴p＝2.
11．在底面为直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为________．
考点　向量法求二面角
题点　向量法求二面角
答案　
解析　以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，D，
C(1,1,0)，S(0,0,1)，
平面SAB的一个法向量
＝，
并求得平面SCD的一个法向量n＝，
则cos〈，n〉＝＝.
三、解答题
12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
考点　
题点　
解　(1)由题意，得
解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y，得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，∴－2∵x0＝＝－，∴y0＝x0＋m＝，
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴2＋2＝1，∴m＝±.满足Δ＞0.
∴m＝±.
13.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求与夹角的余弦值；
(3)求证：是平面C1MN的一个法向量．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　向量法求夹角问题
(1)解　如图所示，以C为坐标原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，
依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||
＝
＝，
∴线段BN的长为.
(2)解　依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
(3)证明　依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B1(0,1,2)，N(1,0,1)．
∴M，＝，＝(1,0，－1)，＝(1，－1,1)，
∴·＝×1＋×(－1)＋1×0＝0，
·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0，
∴⊥，⊥，又C1M∩C1N＝C1，
C1M，C1N?平面C1MN，
∴⊥平面C1MN，
∴是平面C1MN的一个法向量．
四、探究与拓展
14．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
答案　60°
解析　由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，
即2a·c＋b·c＝－10.
又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－，
∴〈b，c〉＝120°，
∴两直线的夹角为60°.
15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，
AB＝4，CD＝1，点M在PB上，
PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.
考点　向量法解决平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
证明　以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，
∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，
∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，
＝.
(1)方法一　令n＝(x，y，z)为平面PAD的法向量，则即∴
令y＝2，得n＝(－，2,1)．
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥.
又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.
方法二　∵＝(0,1，－2)，＝(2，4，－2)．
令＝x＋y，
则解方程组得
∴＝－＋.
由共面向量定理知与，共面，
又∵CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E，连接BE，
则E(，2,1)，＝(－，2,1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵·＝(－，2,1)·(2,3,0)＝0，
∴⊥，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A，
PA，DA?平面PAD，
∴BE⊥平面PAD，又∵BE?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
章末复习
学习目标　1.梳理本章知识，构建知识网络.2.巩固空间向量的有关知识.3.会用向量法解决立体几何问题．
1．空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R
线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0
面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝kv，k∈R
线线垂直
l⊥m?a⊥b?a·b＝0
线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ，k∈R
面面垂直
α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0
线线夹角
l，m的夹角为θ，cos θ＝
线面夹角
l，α的夹角为θ，sin θ＝
面面夹角
α，β的夹角为θ，cos θ＝
2.用向量法解决立体几何问题
步骤如下：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论．
关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系．坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程．
(2)点的坐标，向量的坐标的确定．将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标，直线的方向向量，平面的法向量，这是最核心的问题．
(3)几何问题与向量问题的转化．平行，垂直，夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键．
(1)向量a，b的夹角〈a，b〉与它们所在直线所成的角相等．(×)
(2)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(√)
(3)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(×)
类型一　空间向量的概念及运算
例1　(1)给出下列说法：
①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中不正确的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．1
考点　空间向量的相关概念及其表示方法
题点　相等、相反向量
答案　B
解析　①为假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②为真命题；③为假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④为假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
(2)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.
给出以下结论：
①＋＋＋＝0；
②＋－－＝0；
③－＋－＝0；
④·＝·；
⑤·＝0，
其中正确结论的序号是________．
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　③④
解析　可以推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos∠ASB，·＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
反思与感悟　向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．
跟踪训练1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
(1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.
(1)||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos〈，〉＝＝.
类型二　空间向量法证明平行与垂直
例2　已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在DB，D1C上，且DE＝D1F＝a，其中a为正方体棱长．求证：EF∥平面BB1C1C.
考点　向量法求解线面位置关系
题点　向量法求解线面平行
证明　如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则E，
F，
故＝.
又＝(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量，
而·＝(0，a,0)·＝0，
∴⊥，即AB⊥EF.又EF?平面BB1C1C，
因此EF∥平面BB1C1C.
反思与感悟　利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要转化为其坐标运算，再借助于坐标的有关性质求解(证)．
跟踪训练2　如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
证明：平面PQC⊥平面DCQ.
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面垂直
证明　如图所示，以点D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
设DA＝1，依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，D(0,0,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)，
∴·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
又DQ∩DC＝D，
故PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，
∴平面PQC⊥平面DCQ.
类型三　空间向量法求空间角
例3　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，P是AA1的中点．
(1)求平面PBC1将三棱柱分成的两部分的体积之比；
(2)求平面PBC1与平面ABC所成二面角的正切值．
考点　向量法求二面角
题点　向量法的综合应用
解　(1)以AB的中点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设三棱柱的底面边长为a，高为b，
则A，B，
B1，C1，
所以＝(a,0，b)，＝.
因为AB1⊥BC1，
所以·＝0.
即－＋b2＝0，所以a＝b.
又B到平面ACC1P的距离d＝a，P是AA1的中点，
所以＝·d
＝××a·a＝a2b，
则平面PBC1分三棱柱另一部分几何体的体积为
V′＝－
＝a2b－a2b＝a2b.
所以平面PBC1将三棱柱分成两部分的体积之比为1∶1.
(2)由(1)知a＝b，令b＝2，则a＝2.
所以B(，0,0)，C1(0，，2)，P(－，0,1)．
所以＝(－2，0,1)，＝(－，，2)．
设平面PBC1的法向量为n1＝(x，y，z)．
则
即
令x＝1，得z＝2，y＝－.
所以n1＝(1，－，2)．
取平面ABC的法向量为n2＝(0,0,1)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，
所以sin〈n1，n2〉＝.
所以tan〈n1，n2〉＝＝＝.
即平面PBC1与平面ABC所成角的正切值为.
反思与感悟　利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.
(3)计算：设n1与n2所在直线所成的角为θ，则cos θ＝.
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
跟踪训练3　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，E，F分别在AC和AB上，且EF∥CB.将它沿EF折起，且平面AEF⊥平面EFBC，且四棱锥A－EFBC的体积为2.
(1)求EF的长；
(2)当EF的长度为1时，求AC与平面ABF所成角的正弦值．
考点　向量法求二面角
题点　向量法求二面角
解　(1)因为EF∥CB，∠ACB＝90°，
所以CE⊥EF，AE⊥EF.
又平面AEF⊥平面EFBC，
平面AEF∩平面EFBC＝EF，AE⊥EF，
AE?平面AEF，
所以AE⊥平面EFBC.
设EF＝x，由于EF∥BC，AC＝4，BC＝2，在图1中，
所以＝，
即AE＝＝＝2x.
VA－EFBC＝S梯形EFBC·AE
＝×(x＋2)(4－2x)×2x
＝，x∈(0,2)．
由题意得＝2，即x3－4x＋3＝0，
即(x－1)(x2＋x－3)＝0，
所以x＝1或x＝，即EF＝1或EF＝.
(2)以E为坐标原点，EF，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，
因为EF＝1，则A(0,0,2)，
B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(1,0,0)．
＝(0,2，－2)，＝(2,2，－2)，＝(1,0，－2)．
设平面ABF的法向量n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，则x＝2，y＝－1，
所以n＝(2，－1,1)，设AC与平面ABF所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈·n〉|＝
＝＝.
所以AC与平面ABF所成角的正弦值为.
1．已知空间向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于(　　)
A. B．5 C．6 D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　A
解析　∵|a－b＋2c|2
＝|a|2＋|b|2＋4|c|2－2a·b＋4a·c－4b·c
＝12＋12＋4×12－2·1·1·cos 60°＋4·1·1·cos 60°－4·1·1·cos 60°＝5，
∴|a－b＋2c|＝.
2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　A
解析　不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，
则A(2,0,0)，B(0,0,1)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，
所以＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，
从而 cos〈，〉＝
＝＝，
所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
3．已知在三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
考点　向量法求线面角
题点　向量法求线面角
答案　D
解析　如图，以A为坐标原点，分别以AB，AS所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，易知S(0,0,3)，
B(2,0,0)，C(1，，0)．
则＝(－1，，0)，＝(－2,0,3)．
设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
得n＝(3，，2)，又＝(2,0,0)，
所以当θ为直线AB与平面SBC所成的角时，
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
4．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，其中t∈R，则|b－a|的最小值为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　
解析　b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2
＝5＋，
∴当t＝时，|b－a|＝，
∴|b－a|min＝.
5．已知点B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，若点E的坐标为(－2,1，m)，且点B，C′，D′，E四点共面，实数m的值为________．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　1
解析　∵B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，E(－2,1，m)，
∴＝(0,1,1)，＝(－1,1,1)，＝(－3,1，m)，
根据平面向量的基本定理，存在实数x，y，
使得＝x＋y，
则有解得m＝1.
解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法．几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．坐标方法经常与向量运算结合起来使用．
一、选择题
1．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B.∪
C．(－∞，－2) D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　B
解析　若两向量的夹角为钝角，则a·b＜0，且a与b不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1＜0，且x≠，解得x＞－2，且x≠，故选B.
2．下列说法中正确的是(　　)
A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||>||，且与同向，则>
D．若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　D
解析　A错．因为空间任意两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．
B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．
C错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>这种写法．
D对．∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，
故∥正确．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则等于(　　)
A．－a－b B．a＋b C.a－b D．2(a－b)
考点　空间向量的加减运算
题点　空间向量的加减运算
答案　A
解析　＝＋＝－＝－－＝－a－b.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AB的中点，则sin〈，〉等于(　　)
A. B. C. D.
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　B
解析　如图所示，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为1，则D(0,0,0)，
B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
M，
∴＝(1,1,1)，
＝.
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴sin〈，〉＝.
5．已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，i，j，k是两两互相垂直的单位向量，则5a与3b的数量积等于(　　)
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的线性运算
答案　A
解析　a＝(3,2，－1)，b＝(1，－1,2)，
故5a＝(15,10，－5)，3b＝(3，－3,6)，
∴5a·3b＝15×3＋10×(－3)＋(－5)×6＝45－30－30＝－15.
6．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是(　　)
A.
B.
C.
D.或
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的线性运算
答案　D
解析　设所求向量为c＝(x，y，z)，
由c·a＝0及c·b＝0及|c|＝1，
得检验知选D.
7．已知a＝(－2,1,3)，b＝(3，－4,2)，c＝(7，λ，5)，若a，b，c共面，则实数λ等于(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量在立体几何中的应用
答案　D
解析　依题意得c＝ta＋μb＝(－2t＋3μ，t－4μ，3t＋2μ)，
所以解得故选D.
二、填空题
8．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，v＝(t,5,1)，则t的值为________．
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　5
解析　∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v垂直，
∴μ·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.
9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若＝a＋2b＋3c，则abc＝________.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量的线性运算
答案　－
解析　由平行六面体ABCD－A1B1C1D1，得＝＋＋，又已知＝a＋2b＋3c，可得a＝1,2b＝1,3c＝－1，解得a＝1，b＝，c＝－，所以abc＝－.
10．已知空间四点A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)共面，则x＝________.
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　－6
解析　∵A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)，
∴＝(2,0，－4)，＝(4，－2,0)，＝(x,2,4)．
∵四点A，B，C，D共面，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
∴(x,2,4)＝λ(2,0，－4)＋μ(4，－2,0)，
∴解得x＝－6.
11．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为________．
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　
解析　如图，过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.
可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.
∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋
||2＋2(·＋·＋·)＝2＋12＋2＋0＝，∴||＝.
三、解答题
12.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的一个四等分点(靠近点C1)，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间向量共线定理及应用
解　∵＝＋＝＋
＝(－)＋(－)
＝(－)＋(＋)
＝－＋＋
＝＋＋，
∴α＝，β＝，γ＝.
13.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
考点　向量法求解直线与平面的位置关系
题点　向量法解决线面垂直
解　以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，设M(1,1，m)．
连接AC，则＝(－1,1,0)．
而E，F分别为AB，BC的中点，
所以＝＝(－，，0)．又因为＝，
＝(1,1，m－1)，
而D1M⊥平面EFB1，
所以D1M⊥EF，
且D1M⊥B1E，
即·＝0，且·＝0.
所以 
解得m＝，满足0≤m≤1，即M为B1B的中点．
四、探究与拓展
14．正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．
考点　向量法求解直线与平面所成的角
题点　向量法解决直线与平面所成的角
答案　
解析　取BC的中点O，连接AO，DO，
以点O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设BC＝1，则A，
B，C，
D，
所以＝，＝，
＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝＝，
又直线与平面所成角的范围是，
因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.
15．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．
(1)证明：DF⊥AE；
(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
考点　向量法求平面与平面所成的角
题点　向量法求平面与平面所成的角
(1)证明　∵AE⊥A1B1，
A1B1∥AB，∴AB⊥AE，
又∵AB⊥AA1，AE∩AA1＝A，
AE，AA1?平面A1ACC1，
∴AB⊥平面A1ACC1，
又∵AC?平面A1ACC1，
∴AB⊥AC.
以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，E，F，
A1(0,0,1)，B1(1,0,1)．
设D(x1,0,1)，则＝λ，且λ∈[0,1]，
即(x1,0,0)＝λ(1,0,0)，
∴D(λ，0,1)，
∴＝，
又＝，
∴·＝－＝0，∴DF⊥AE.
(2)解　存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.理由如下：
设平面DEF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则
∵＝，＝，
∴
即
令z2＝2(1－λ)，
∴n＝(3,1＋2λ，2(1－λ))．
由题意可知平面ABC的法向量m＝(0,0,1)．
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，
∴|cos〈m，n〉|＝＝，
即＝，
∴λ＝或λ＝.
∵λ∈[0,1]，∴λ＝舍去．
∴点D为A1B1的中点．
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x，y的值为(　　)
A．x＝－13，y＝8 B．x＝－13，y＝5
C．x＝7，y＝5 D．x＝7，y＝8
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　A
解析　∵a∥b且a≠0，
∴b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp.
又∵m，n，p不共面，∴＝＝，
∴x＝－13，y＝8.
2．已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　)
A．(4,2，－2) B．(2,0,4)
C．(2，－1，－5) D．(4，－2,2)
考点　直线的方向向量与平面的法向量
题点　求平面的法向量
答案　D
解析　∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，
又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.
3．下列各组向量中不平行的是(　　)
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　D
解析　对于A，b＝－2a，即a∥b；对于B，d＝－3c，即d∥c；对于C，零向量与任何向量都平行．
4．在以下说法中，不正确的个数为(　　)
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②对a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；
④|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2 B．3 C．4 D．1
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共面向量定理及应用
答案　C
解析　①|a|－|b|＝|a＋b|?a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由向量的数量积的性质知，不正确．
5．已知空间四边形ABCD，点E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为(　　)
A．＝ B．∥
C．||＝|| D．||≠||
考点　空间向量的数乘运算
题点　空间共线向量定理及应用
答案　B
解析　－＝λ－λ＝λ，即＝λ.同理＝μ.因为μ∥λ，所以∥，即∥.又λ与μ不一定相等，故不一定等于且||不一定等于||.
6．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A．0° B．45° C．90° D．180°
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　C
解析　∵cos〈a，b〉＝＝＝0，
又〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝90°.
7．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
考点　空间向量数量积的概念及性质
题点　数量积的性质
答案　C
解析　∵M为BC中点，∴＝(＋)．
∴·＝(＋)·
＝·＋·＝0.
∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
8.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．120°
考点　空间向量的数量积的应用
题点　利用数量积求角
答案　B
解析　不妨设AB＝BC＝AA1＝1，
则＝－＝(－)，＝＋，
∴||＝|－|＝，||＝，
·＝(－)·(＋)＝，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.
9．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
答案　C
解析　设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，
设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，
则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，
故当λ＝时，·取最小值，此时Q.
10．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
考点　向量法求线面角
题点　向量法求线面角
答案　A
解析　以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，
平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，所以cos〈，n〉＝＝－，
又因为〈，n〉∈[0°，180°]，
所以〈，n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.
11.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是(　　)
A．120° B．45°
C．150° D．60°
考点　向量法求二面角
题点　向量法求二面角
答案　B
解析　以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，
＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
可取n＝(1,0,1)．
又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，
所以cos〈n，〉＝＝，
故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.
12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°.
其中错误的结论是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
考点　空间向量数量积的应用
题点　数量积的综合应用
答案　C
解析　如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，
B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，
故AC⊥BD.①正确．
又||＝，||＝，||＝，
所以△ACD为等边三角形．②正确．
对于③，为面BCD的一个法向量，
cos〈，〉＝＝
＝＝－.
所以AB与OA所在直线所成的角为45°，
所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．
又cos〈，〉＝
＝＝－.
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以AB与CD所成角为60°.故④正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系
为________．
考点　向量法求解平面与平面的位置关系
题点　向量法解决面面平行
答案　平行或重合
解析　∵平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，满足v＝－3u，∴α∥β或重合．
14．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
考点　向量法求平面与平面所成的角
题点　向量法求平面与平面所成的角
答案　60°或120°
解析　∵cos〈m，n〉＝＝＝－，
∴〈m，n〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.
15.如图所示，已知正四面体A-BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
所以cos〈，〉＝
＝＝＝.
16．已知向量＝(1,0,0)，＝(0,2,0)，＝(0,0,3)，则直线AB与平面BCD所成角的正弦值为________．
考点　向量法求直线与平面所成的角
题点　向量法求直线与平面所成的角
答案　
解析　∵向量＝(1,0,0)，＝(0,2,0)，＝(0,0,3)，
∴＝－＝(－1,2,0)，＝－＝(－1,0,3)，
设平面BCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝6，得n＝(6,3,2)，
设直线AB与平面BCD所成角为θ，
则sin θ＝＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa＋μb与z轴垂直．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8)
＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．
3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)
＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．
a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.
∵|a|＝＝5，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵λa＋μb与z轴垂直．
∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，∴当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa＋μb与z轴垂直．
18．(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
考点　空间向量运算的坐标表示
题点　空间向量的坐标运算
解　(1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos∠BAC＝＝＝，
又∵∠BAC∈[0°，180°]，
∴∠BAC＝60°，∴S＝||||sin 60°＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，由a⊥，得－2x－y＋3z＝0，
由a⊥，得x－3y＋2z＝0，
由|a|＝，得x2＋y2＋z2＝3，
∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
19．(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．
考点　空间向量数量积的应用
题点　利用数量积求线段长
解　∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°，
又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，
∴||＝＝
＝
＝
∴||＝2或.
∴BD的长为2或.
20．(12分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
考点　空间向量在求空间角中的应用
题点　空间向量求二面角
解　(1)以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，
A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，
∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)，
∴cos〈，〉＝＝，
又异面直线所成角的范围是，
∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)＝(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量．
设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，
∵＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，
∴即
取n＝(2，－2,1)．
设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ，
则|cos θ|＝|cos〈，n〉|＝＝，
∴sin θ＝，
∴平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
21．(12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点．
(1)求证：D1F⊥平面ADE；
(2)求平面A1C1D与平面ADE所成的锐二面角的余弦值．
考点　空间向量在求空间角中的应用
题点　空间向量求二面角
(1)证明　以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，＝(0,1，－2)，＝(2,0,0)，＝(2,2,1)．
∵·＝0，·＝0，
∴D1F⊥DA，D1F⊥DE，
又∵DA∩DE＝D，DA，DE?平面ADE，
∴D1F⊥平面ADE.
(2)解　由(1)可知平面ADE的法向量n＝＝(0,1，－2)．
设平面A1C1D的法向量为m＝(x，y，z)，＝(2,0,2)，＝(0,2,2)，
则令x＝1，则y＝1，z＝－1，
可得m＝(1,1，－1)，∴cos〈m，n〉＝，
∴平面A1C1D与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为.
22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，
(1)求证：D1E⊥A1D；
(2)求当AE为何值时，二面角D1－EC－D的大小为.
考点　空间向量在求空间角中的应用
题点　空间向量求二面角
(1)证明　如图，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设AE＝x(0≤x≤2)，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，
D1(0,0,1)，E(1，x,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(1，x，－1)．
∵·＝(－1,0，－1)·(1，x，－1)＝0，
∴⊥，∴D1E⊥A1D.
(2)解　＝(1，x－2,0)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，
设平面D1EC的法向量m＝(a′，b′，c′)，
由得
令b′＝1，∴c′＝2，a′＝2－x，
∴m＝(2－x,1,2)，
又平面ECD的一个法向量p＝＝(0,0,1)，
依题意，cos ＝＝，
∴＝，
整理得x2－4x＋1＝0，解得x＝2±，又0≤x≤2，
∴x＝2－，
∴当AE＝2－时，二面角D1－EC－D的大小为.