1 怎样解逻辑用语问题
1．利用集合理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：
(1)A是B的充分条件，即A?B.
(2)A是B的必要条件，即B?A.
(3)A是B的充要条件，即A＝B.
(4)A是B的既不充分也不必要条件，
即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非公共元素．
或
例1 设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，则“a＝1”是“S?T”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
解析 T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，a＝1时，S＝{0,1}，所以S?T；反之，若S?T，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S?T”的充分不必要条件．
答案 充分不必要
2．抓住量词，对症下药
全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．
例2 (1)已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．
(2)已知命题p：“?x0∈[1,2]，x－a≥0”与命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________．
解析 (1)将命题p转化为当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)命题p转化为当x0∈[1,2]时，(x－a)max≥0，
即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4]．
答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．
2 判断条件四策略
1．应用定义
如果p?q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断时的关键是分清条件与结论．
例1 设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
解析 条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.
若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，
所以p?q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q?p.
综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件．
答案 必要不充分
2．利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p?q，q?r，则p?r.
例2 如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
解析 依题意，有A?B?C?D且A ?B?C?D，由命题的传递性可知D?A，但A?D.于是A是D的必要不充分条件．
答案 必要不充分
3．利用集合
运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A?B，则p是q的充分不必要条件；④若B?A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件．
例3 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
解析 设p，q分别对应集合P，Q，
则P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由题意知，p?q，但q?p，故P?Q，
所以或解得m≥9.
即m的取值范围是[9，＋∞)．
答案 [9，＋∞)
滚动训练(一)
一、选择题
1．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A.
2．下列命题中为真命题的是( )
A．?x∈R，－x2－1<0
B．?x0∈R，x＋x0＝－1
C．?x∈R，x2－x＋>0
D．?x0∈R，x＋2x0＋2<0
答案 A
3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“ln a＞ln b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由ln a＞ln b?a＞b＞0?＞，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满足＞，但ln b无意义，所以ln a＞ln b不成立，故充分性不成立．
4．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
答案 D
解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．
5．命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
答案 C
解析 命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集．故选C.
6．已知p：|x＋1|＞2，q：5x－6＞x2，则q是p的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
7．已知命题p：?x0∈R，mx＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p，q均为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2,0)
C．(－2,0) D．(0,2)
答案 C
解析 由题意可知，命题p为真命题时，m＜0.命题q为真命题时，m2－4＜0，即－2＜m＜2.所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．故选C.
二、填空题
8．已知p：x>a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，2]
解析 由已知，可得{x|2＜x＜3}?{x|x＞a}，
∴a≤2.
9．命题“?x∈R，lg(x2＋1)－x＞0”的否定为______________________________________．
答案 ?x0∈R，lg(x＋1)－x0≤0
解析 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x∈R，lg(x2＋1)－x＞0”的否定为“?x0∈R，lg(x＋1)－x0≤0”．
10．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
答案 3或4
解析 由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，
又n∈N*，则n＝1,2,3,4.
当n＝1,2时，方程没有整数根；
当n＝3时，方程有整数根1,3，
当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.
11．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“?x0＞0，f(x0)＜0”为真，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)
解析 因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象过点(0,1)，
所以若命题“?x0＞0，f(x0)＜0”为真，
则函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，
所以Δ＝m2－4＞0，且－＞0，
所以m＜－2，即m的取值范围是(－∞，－2)．
12．已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：|x－3|≤m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
答案 [4，＋∞)
解析 由x2－3x－4≤0得－1≤x≤4，
若|x－3|≤m有解，则m＞0(m＝0时不符合已知条件)，
则－m≤x－3≤m，得3－m≤x≤3＋m，
设B＝{x|3－m≤x≤3＋m}．
∵p是q的充分不必要条件，
∴p?q成立，但q?p不成立，即A?B，
则或
即或得m≥4，
故m的取值范围是[4，＋∞)．
三、解答题
13．判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：ax2＋ax＋1＞0的解集为R，q：0＜a＜4；
(2)p：A?B，q：A∪B＝B.
解 (1)∵当0＜a＜4时，Δ＝a2－4a＜0，
∴当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，故q?p.
而当a＝0时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，∴pD?/q，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵A?B?A∪B＝B，∴p?q.
而当A∪B＝B时，A?B，即qD?/p，
∴p是q的充分不必要条件．
四、探究与拓展
14．设集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|n＋1≤x≤2n－3}，若“B是A的子集”是真命题，求实数n的取值范围．
解 ①当B＝?，即n＋1＞2n－3时，B?A.
此时解得n＜4.
②当B≠?时，由B?A，得
解得4≤n≤5.
综上所述，实数n的取值范围是(－∞，5]．
15．已知c＞0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋＞恒成立．如果p，q一真一假，求c的取值范围．
解 若命题p为真，则0＜c＜1；
若命题q为真，因为2≤x＋≤，
要使此式恒成立，需＜2，即c＞.
因为p，q一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是；
当p假q真时，c的取值范围是[1，＋∞)．
综上可知，c的取值范围是∪[1，＋∞)．
章末复习
学习目标 1.掌握充分条件、必要条件的判定方法.2.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．
1．充分条件、必要条件和充要条件
(1)定义
一般地，若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)特征
充分条件与必要条件具有以下两个特征：
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；
②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p?q，q?r，则p?r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．
2．量 词
(1)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“?x”表示“对任意x”．
(2)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“?x0”表示“存在x0”．
3．含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做特称命题．
(1)“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．(√)
(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)
类型一 充要条件
例1 (1)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 (1)A (2)A
解析 (1)当b＜0，且x＝－＞0时，f(x)取得最小值－，则f(x)的值域为，则当f(x)＝－时，f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等，故是充分条件；当b＝0时，f(x)＝x2，f(f(x))＝x4的最小值都是0，故不是必要条件．故选A.
(2)当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，
即两个平面相交；但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点．
反思与感悟 分清条件与结论，准确判断p?q，还是q?p.
跟踪训练1 已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，
得1－m≤x≤1＋m.
由≤2，得－2≤x≤10.
由q是p的必要不充分条件知，
p是q的充分不必要条件，∴
且不等式组中的等号不能同时成立，得m≥9.
类型二 含有一个量词的命题
例2 下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x0∈R，lg x0<1 D．?x0∈R，tan x0＝2
答案 B
解析 当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.
反思与感悟 判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
跟踪训练2 下列命题中的真命题是( )
A．?x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝
B．?x∈R，－1≤sin x≤1
C．?x0∈(－∞，0)，2x0<3x0
D．?x∈(0，π)，sin x>cos x
答案 B
解析 因为sin x＋cos x＝sin≤<，故A错误；由正弦函数的值域可知B正确；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为当x∈时，sin x
例3 (1)命题“?x∈R，x＞0”的否定是( )
A．?x0∈R，＜0 B．?x∈R，x≤0
C．?x∈R，x＜0 D．?x0∈R，≤0
答案 D
解析 全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．
(2)命题“?x0∈R,1＜f(x0)≤2”的否定形式是( )
A．?x∈R,1＜f(x)≤2
B．?x0∈R,1＜f(x0)≤2
C．?x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)＞2
D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2
答案 D
解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2”．
反思与感悟 对全(特)称命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
(2)对原命题的结论进行否定．
跟踪训练3 已知命题p：“?x0∈R，－x0－1≤0”，则命题p的否定为( )
A．?x0∈R，－x0－1≥0
B．?x0∈R，－x0－1>0
C．?x∈R，ex－x－1>0
D．?x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得命题p的否定为“?x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
1．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 x＞y?x＞|y|(如x＝1，y＝－2)，
但当x＞|y|时，能有x＞y.
∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件．
2．“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cos x＋m－1有零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 方法一 若0≤m≤1，则0≤1－m≤1，
∴cos x＝1－m有解．
要使函数f(x)＝cos x＋m－1有零点，
只需|m－1|≤1，解得0≤m≤2，故选A.
方法二 函数f(x)＝cos x＋m－1有零点，
则|m－1|≤1，解得0≤m≤2，
∵{m|0≤m≤1}?{m|0≤m≤2}．
∴“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cos x＋m－1”有零点的充分不必要条件．
3．已知命题“?x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,3)
C．(－3，＋∞) D．(－3,1)
答案 B
解析 原命题的否定为?x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，
则－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.
4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，0]
解析 由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤(x2)min，得a≤0.
5．已知命题“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是____________．
答案
解析 由“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方，故Δ＝25－4×a<0，
解得a>，即实数a的取值范围为.
(1)判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
(2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
②对原命题的结论进行否定．
一、选择题
1．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A．有一个α，使tan(90°－α)＝
B．存在实数x0，使sin x0＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D．sin 15°＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°
答案 A
3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A．?x∈R，|x|＞0 B．?x0∈R，|x0|＞0
C．?x∈R，|x|≤0 D．?x0∈R，|x0|≤0
答案 C
4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若x＝4，则a＝(4,3)，
∴|a|＝＝5，
若|a|＝5，则＝5，
∴x＝±4，
故“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要条件．
5．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B.
6．命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x
C．?x0?R，x≠x0 D．?x0∈R，x＝x0
答案 D
解析 全称命题的否定是特称命题，所以“?x∈R，x2≠x”的否定为“?x0∈R，x＝x0”．
二、填空题
7．若命题p：常数列是等差数列，则其否定为：______________________________________.
答案 存在一个常数列，不是等差数列
解析 全称命题的否定是特称命题．
8．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p?q，
当x＋y>2时，可令x＝－1，y＝4，则x＞1且y＞1不成立，即qD?/p，
故p是q的充分不必要条件．
9．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
答案 (0,3)
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，
N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．
∵p是q的充分不必要条件，∴M?N，
∴解得0＜a＜3.
10．定义f(x)＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________．
①f(2x)＝2f(x)；②若f(x)＝f(y)，则x－y<1；
③任意x，y∈R，f(x＋y)≤f(x)＋f(y)；④f(x)＋f＝f(2x)；⑤函数f(x)为奇函数．
答案 ②③
解析 根据新定义“取上整函数”的意义f(2x)＝2f(x)不一定成立，如x取1.5；f(x)＋f＝f(2x)不一定成立，如x取0；函数f(x)不满足奇函数的关系，如f(1.6)＝f(2)，f(－1.6)＝f(－1)．故答案为②③.
三、解答题
11．设p：2x2－3x＋1≤0，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解 由题意得，p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.
∵q是p的必要不充分条件，
∴或
∴0≤a≤.
故实数a的取值范围为.
12．求证：函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数的充要条件是a＝0.
证明 先证充分性，若a＝0，则函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数．
因为a＝0，所以f(x)＝x2＋|x|＋1(x∈R)．
因为f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1，
所以f(x)是偶函数．
再证必要性，若f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数，则a＝0.
因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
即(－x)2＋|－x＋a|＋1＝x2＋|x＋a|＋1，
从而|x－a|＝|x＋a|，即(x－a)2＝(x＋a)2，
展开并整理，得ax＝0.因为x∈R，所以a＝0.
13．已知c>0，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围．
解 函数y＝cx在R上单调递减等价于0不等式x＋|x－2c|>1的解集为R
等价于函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.
∵x＋|x－2c|＝
∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，
∴2c>1，得c>.
如果p真q假，则解得0如果q真p假，则解得c≥1.
∴c的取值范围为∪[1，＋∞)．
四、探究与拓展
14．已知直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，易知k≠0，且圆心O到直线l的距离d＝＜1，
所以|AB|＝2＝2＝2.
若k＝1，则|AB|＝，d＝，
所以△OAB的面积为××＝.
反过来，若△OAB的面积为，
则S＝××2＝＝，
解得k＝±1.
故“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．
15．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对任意x∈R恒成立？说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．
解 (1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对任意x∈R恒成立，
此时，只需m＞－4.
(2)不等式m－f(x0)＞0可化为m＞f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m＞f(x0)成立，则只需m＞f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m＞4，
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
§1.2 充分条件与必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．
知识点一 充分条件与必要条件
(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p?q，但q?p，称p是q的充分不必要条件，若q?p，但p?q，称p是q的必要不充分条件．
知识点二 充要条件
思考 在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？
答案 因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充要条件．
梳理 (1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)
(2)若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．(√)
(3)q不是p的必要条件时，“p?q”成立．(√)
类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判定
例1 下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a＞b，q：ac＞bc.
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
解 (1)∵两个三角形相似?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵矩形的对角线相等，∴p?q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，
∴q?p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p?q，且q?p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．
(4)∵p?q，且q?p，∴p是q的既不充分也不必要条件．
反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0(2)p：|x－2|<3，q：<－1；
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(4)p：q：
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
解 (1)当a＝0时，1>0满足题意；
当a≠0时，由可得0故p是q的必要不充分条件．
(2)易知p：－1所以p是q的充要条件．
(3)因为A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，
有即p?q.但?
比如，当α＝1，β＝5时，而α<2，
所以q?p，所以p是q的充分不必要条件．
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 充要条件的探求
例2 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
解 (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－，符合要求．
(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.
①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是即∴a<0.
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是即∴0综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由．
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
解 是充要条件．
(充分性)当t＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1＝n2＋2n.
a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.
又a1＝3适合上式，
∴an＝2n＋1(n∈N*)，
又∵an＋1－an＝2(常数)，
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件．
(必要性)∵{an}为等差数列，
则2a2＝a1＋a3，解得t＝－1，
故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件．
综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件．
命题角度2 充要条件的证明
例3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 充分性(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)，
∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，
∴原方程一定有两不等实根，
不妨设为x1，x2，则x1x2＝＜0，
∴原方程的两根异号，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性(由方程有一正根和一负根推证ac＜0)，
∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
不妨设为x1，x2，
∴由根与系数的关系得x1x2＝＜0，即ac＜0，
此时Δ＝b2－4ac＞0，满足原方程有两个不等实根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
反思与感悟 对于充要条件性命题证明，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，需要分清条件和结论．
跟踪训练3 求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k＜－2.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 必要性：
若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则
即
即
解得k＜－2.
充分性：
当k＜－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k＞0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)＞0.
又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1＞0，
∴x1－1＞0，x2－1＞0，∴x1＞1，x2＞1.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k＜－2.
类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)
例4 设命题p：x(x－3)＜0，命题q：2x－3＜m，已知p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 [3，＋∞)
解析 p：x(x－3)＜0，即0＜x＜3；
q：2x－3＜m，即x＜.
由题意知p?q，q?p，
则在数轴上表示不等式如图所示，
则≥3，解得m≥3，
即实数m的取值范围为[3，＋∞)．
反思与感悟 在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围．
根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)若p是q的充分不必要条件，则M?N，若p是q的必要不充分条件，则N?M，若p是q的充要条件，则M＝N；
(3)根据集合的关系列不等式(组)；
(4)求出参数的范围．
跟踪训练4 设A＝，B＝，记命题p：“y∈A”，命题q：“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案
解析 由题意知A＝(0,1)，B＝，
依题意，得B?A，
故∴1．“x＞0”是“x2＋x＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 A
解析 由x2＋x＞0?x＜－1或x＞0，由此判断A符合要求．
2．若a，b，c是实数，则“ac＜0”是“不等式ax2＋bx＋c＞0有解”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 B
解析 由ac＜0，得方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，
则方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数解，
此时不等式ax2＋bx＋c＞0有解；
反过来，由不等式ax2＋bx＋c＞0有解不能得出ac＜0，
例如，当a＝b＝c＝1时，
不等式ax2＋bx＋c＞0，
即x2＋x＋1＝2＋＞0有解，
此时ac＝1＞0.故选B.
3．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．0＜a＜1 B．0≤a≤1
C．0＜a＜ D．a≥1或a≤0
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 B
解析 当关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立时，应有Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1.所以一个必要不充分条件是0≤a≤1.
4．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．(用区间表示)
考点 充分条件的概念及判断
题点 由充分条件求取值范围
答案 [4，＋∞)
解析 因为p为q的充分条件，所以[1,4)?(－∞，m)，
得m≥4.
5．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则q是p的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 由已知，得p：x＜－1或x＞1，则q是p的充分不必要条件．
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法
(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论．
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.
一、选择题
1．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 B
解析 当x2为无理数时，x为无理数．
2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 B
3．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是( )
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 A
4．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 A
解析 因为sin 60°＝，故p?q，但当sin A＝时，A＝60°或120°.
5．已知p：x2＋2x－3＜0，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(－∞，0]
C．[4，＋∞) D．(－∞，0)
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 充分、必要条件求参数的范围
答案 C
解析 由命题p：－3＜x＜1，因为p?q，
所以即所以a≥4.
6．下列四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )
A．a≥b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．a3＞b3
考点 充分、必要条件的判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 A
解析 由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1?a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5?4≥3.5＋1，故a＞b?a≥b＋1，故A正确．
7．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别是集合M和N，那么“＝＝”是“M＝N”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 D
解析 若＝＝<0，则M≠N，
即＝＝?M＝N；反之，若M＝N＝?，
即两个一元二次不等式的解集为空集时，
只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a1<0，a2<0)，
而与系数之比无关．
8．设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)内不是单调函数的充要条件是( )
A．0C．1
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
答案 B
解析 f(x)＝
f(x)的图象在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
若f(x)在(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数，
则?0二、填空题
9．若a＝(1,2x)，b＝(4，－x)，则“a与b的夹角为锐角”是“0≤x＜”的_________条件．
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 既不充分也不必要
10．已知p：x2＋x－2＞0，q：x＞m.若p的一个充分不必要条件是q，则实数m的取值范围是________．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 [1，＋∞)
解析 由x2＋x－2＞0，解得x＞1或x＜－2.
∵q是p的充分不必要条件，∴m≥1.
11．有下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分条件；
②“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为R”的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 ①④
解析 ①当x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件，故①为真命题；
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，所以a＝2，所以“a＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，所以xy＝1且x＞0，y＞0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．
综上可知，真命题是①④.
三、解答题
12．判断下列各题中，p是q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
解 (1)∵|x|＝|y|?x＝y，但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形?△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形?△ABC是直角三角形，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分?四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，
则圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即r＝，
∴c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，
则＝r成立，
说明圆x2＋y2＝r2(r＞0)的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
13．已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
解 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}
＝，N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}
＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}．
由已知p?q且q?p，得M?N，
∴或
解得≤a<2或即实数a的取值范围是.
四、探究与拓展
14．下列各题中，p是q的充要条件的是________．(填序号)
①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：＝1，q：y＝f(x)为偶函数；
③p：cos α＝cos β，q：tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
考点 充分、必要条件的判断
题点 充要条件的判断
答案 ①④
解析 对于①，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点?q：Δ＝m2－4(m＋3)＞0?q：m＜－2或m＞6?p；
对于②，当f(x)＝0时，q?p；
对于③，若α，β＝kπ＋(k∈Z)，则有cos α＝cos β，但没有tan α＝tan β，p?q；
对于④，p：A∩B＝A?p：A?B?q：?UB??UA.
15．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的取值范围
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
§1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题与特称命题的真假，并掌握其判定方法．
知识点一 全称量词、全称命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
答案 语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
梳理 (1)全称量词及全称命题的概念
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(2)表示
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
(3)全称命题的真假判定
要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．
知识点二 存在量词、特称命题
思考 找出下列命题的共同特征，并判断其真假．
(1)存在x0∈R，x≤0；
(2)有些三棱锥是正四面体．
答案 所给命题都是真命题，它们都表示“存在”的意思．
梳理 (1)存在量词及特称命题的要命
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题．
(2)表示
特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
(3)特称命题的真假判定
要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)
(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)
(3)全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．(×)
类型一 判断命题的类型
例1 将下列命题用“?”或“?”表示．
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；
(3)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
考点 量词与命题
题点 全称(特称)命题的符号表示
解 (1)?x∈R，x2≥0.
(2)?x0＜0，ax＋2x0＋1＝0(a＜1)．
(3)若?a?α，l⊥a，则l⊥α.
反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是特称命题．
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次函数都存在零点；
(4)过两条平行线有且只有一个平面．
考点 量词与命题
题点 全称(存在)量词的识别
解 命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．
命题(2)为特称命题．
命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．
命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．
类型二 判断命题的真假
例2 判断下列命题的真假．
(1)?x∈R，x2－x＋1＞；
(2)?α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β；
(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x0，使等式x＋x0＋8＝0成立．
考点 特称(全称)命题的真假性判断
题点 特称(全称)命题真假的判断
解 (1)真命题，∵x2－x＋1－＝x2－x＋
＝2＋≥＞0，∴x2－x＋1＞恒成立．
(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．
(3)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．
(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．
反思与感悟 要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
要判定特称命题“?x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．
跟踪训练2 判断下列命题的真假．
(1)有一些奇函数的图象过原点；
(2)?x0∈R,2x＋x0＋1<0；
(3)?x∈R，sin x＋cos x≤.
考点 特称(全称)命题的真假性判断
题点 特称(全称)命题真假的判断
解 (1)该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．
(2)该命题是特称命题．
∵2x＋x0＋1＝22＋≥>0，
∴不存在x0∈R，使2x＋x0＋1<0.故该命题是假命题．
(3)该命题是全称命题．
∵sin x＋cos x＝sin≤恒成立，
∴对任意实数x，sin x＋cos x≤都成立，故该命题是真命题．
类型三 利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围
例3 已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围．
(1)命题p(x)：x＋1>x；
(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；
(3)命题p(x)：sin x>cos x.
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
解 (1)∵x＋1>x，∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R.
(2)∵x2－5x＋6>0，∴(x－2)(x－3)>0，
∴x>3或x<2.
(3)∵sin x>cos x，∴2kπ＋反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．
跟踪训练3 已知命题p：“?x0∈R，sin x0＜m”，命题q：“?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p，q均为真命题，求实数m的取值范围．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解 因为“?x0∈R，sin x0＜m”是真命题，所以m＞－1.
又因为“?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，
所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.
又p，q均为真命题，
所以实数m的取值范围是(－1,2).
1．下列命题中，是正确的全称命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x0，＝x0
D．对数函数在定义域上是单调函数
考点 全称量词与全称命题
题点 全称命题的识别
答案 D
2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α
B．存在实数x0，使sin x0＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D．对任意α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
考点 特称命题的真假性判断
题点 特称命题真假的判断
答案 A
3．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)＞0”用“?”或“?”可表述为____________．
考点 存在量词与特称命题
题点 特称命题的符号表示
答案 ?x0＜0，(1＋x0)(1－9x0)＞0
4．用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
考点 量词与命题
题点 全称(特称)命题的符号表示
解 (1)?x∈R，x2＋x＋1＞0；真命题．
(2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．
(3)?x0，y0∈Z,3x0－2y0＝10；真命题．
(4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题．
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)转化为恒成立问题：含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．
(2)转化为方程或不等式有解问题：含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．
一、选择题
1．下列说法正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；
②命题“?x∈R，x2＋2＜0”是全称命题；
③命题“?x0∈R，x＋4x0＋4≤0”是特称命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 量词与命题
题点 特称(全称)命题的识别
答案 C
解析 只有②③正确．
2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
考点 存在量词与特称命题
题点 特称命题的真假判断
答案 B
3．已知命题“?x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,3)
C．(－3，＋∞) D．(－3,1)
考点 特称命题的真假性判断
题点 由特称命题真假性求参数的取值范围
答案 B
解析 原命题的否定为?x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0，
由题意知，原命题的否定为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－24．已知命题“?x0∈R，x＋ax0－4a<0”为假命题，则实数a的取值范围为( )
A．[－16,0] B．(－16,0) C．[－4,0] D．(－4,0)
考点 特称命题的真假性判断
题点 由特称命题真假性求参数的取值范围
答案 A
解析 由题意可知“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，
∴Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选A.
5．下面命题是真命题的是( )
A．?x∈R，x3≥x
B．?x0∈R，x＋1＜2x0
C．?xy＞0，x－y≥2
D．?x0，y0∈R，sin(x0＋y0)＝sin x0－sin y0
考点 量词与命题
题点 全称(特称)命题的真假性判断
答案 D
6．若“?x∈，cos x≤m”是真命题，则实数m的最小值为( )
A．－ B．－ C. D.
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 C
7．下列全称命题中真命题的个数为( )
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 全称量词与全称命题
题点 全称命题的真假性判断
答案 C
解析 ①②③为真命题；当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，
④为假命题．
二、填空题
8．若“?x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 1
解析 ∵?x∈，∴tan x≤1，∴m≥1，故实数m的最小值为1.
9．已知命题p：?c＞0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：?x∈R，x2＋2c－3＞0.若p，q均为真命题，则实数c的取值范围为________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 (2,3)
解析 由于p∧q为真命题，所以p，q都是真命题，
所以解得2＜c＜3.
故实数c的取值范围为(2,3)．
10．若命题“?x0∈R，ax＋ax0＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
考点 特称命题的真假性判断
题点 由特称命题真假性求参数的取值范围
答案 [0,4)
解析 由题意知，?x∈R，ax2＋ax＋1＞0恒成立，
当a＝0时，1＞0恒成立，满足条件；
当a≠0时，若ax2＋ax＋1＞0恒成立，
则解得0＜a＜4.综上所述a∈[0,4)．
11．有下列四个命题：
p1：?x0∈(0，＋∞)， ＜；
p2：?x0∈(0,1)，＞；
p3：?x∈(0，＋∞)，＞；
p4：?x∈，＜
其中为真命题的是________．
考点 量词与命题
题点 全称(特称)命题的真假性判断
答案 p2，p4
解析 因为幂函数y＝xα(α＞0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p1是假命题；因为对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数，所以当x∈(0,1)时，0＜logx＜logx，所以0＜＜，即＞，所以命题p2是真命题；因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以有0＜y＜1，当x∈(0,1]时，y＝≥0，当x∈(1，＋∞)时，y＝＜0，所以命题p3是假命题；因为函数y＝在上单调递减，所以有0＜y＜1，而函数y＝在上的函数值y＞1，所以命题p4是真命题．
三、解答题
12．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)存在一条直线，其斜率不存在；
(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(3)存在实数x0，使得＝2.
考点 全称(特称)命题的真假性判断
题点 全称(特称)命题的真假性判断
解 (1)是特称命题，用符号表示为“?直线l，l的斜率不存在”，是真命题．
(2)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(3)是特称命题，用符号表示为“?x0∈R，＝2”，是假命题．
13．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题p，q均为真命题，求实数a的取值范围．
考点 命题的真假性判断
题点 由命题真假求参数的取值范围
解 若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立，
所以a≤1.
若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.
又p，q均为真命题，
所以实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
四、探究与拓展
14．下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．
其中是真命题的为( )
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
考点 量词与命题
题点 特称(全称)命题的真假性判断
答案 C
解析 ①所有无理数都是实数，为真命题；
②显然为真命题；
③显然不成立，为假命题；
④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．
15．已知f(x)＝log2t，t∈[，8]，若命题“对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
解 易知f(t)∈.
由题意知，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，
则g(m)＞0对任意m∈恒成立，
所以即
解得x＞2或x＜－1.
故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
知识点一 全称命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.
答案 (1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)?x0∈R，x－2x0＋1<0.
梳理 写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．
对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)．
全称命题的否定是特称命题．
知识点二 特称命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x0∈R，x＋1<0.
答案 (1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)?x∈R，x2＋1≥0.
梳理 写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定．
对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．特称命题的否定是全称命题．
(1)命题綈p的否定为p.(√)
(2)?x0∈M，p(x0)与?x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)
(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(×)
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
解 (1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
反思与感悟 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．
(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根．
(4)綈p：存在实数x0，使得x＋1<0.
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假．
(1)p：?x0∈R,2x0＋1≥0；
(2)q：?x0∈R，x－x0＋＜0；
(3)r：有些分数不是有理数．
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1)綈p：?x∈R,2x＋1＜0，綈p为假命题．
(2)綈q：?x∈R，x2－x＋≥0.
∵x2－x＋＝2≥0，∴綈q是真命题．
(3)綈r：一切分数都是有理数，綈r是真命题．
反思与感悟 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：?x0∈M，p(x0)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立．
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
类型三 含量词的命题的应用
例3 已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x＋ax0＋1＜0”．
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，
借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4＞0，
解得a＜－2或a＞2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
引申探究
把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
解 由题意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]．
故a的取值范围为[－2,2]．
反思与感悟 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
(1)对于全称命题“?x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(a＜f(x)min)．
(2)对于特称命题“?x0∈M，a＞f(x0)(或a＜f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)．
(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
1．命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A．?x∈R，|x|＋x2＜0 B．?x∈R，|x|＋x2≤0
C．?x0∈R，|x0|＋x＜0 D．?x0∈R，|x0|＋x≥0
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 C
2．?m0，n0∈Z，使得m＝n＋2 017的否定是( )
A．?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 017
B．?m0，n0∈Z，使得m≠n＋2 017
C．?m，n∈Z，有m2≠n2＋2 017
D．以上都不对
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
3．命题“?x∈R，x＞sin x”的否定是________________．
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 ?x0∈R，x0≤sin x0
4．由命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是________．
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题的否定
答案 1
解析 其否定为：?x∈R，使e|x－1|－m＞0，
且为真命题．m＜e|x－1|.
只需m＜(e|x－1|)min＝1.故a＝1.
5．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)?x0∈R，x＋2x0＋2＝0；
(2)p：所有的正方形都是菱形；
(3)p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题的否定
解 (1)綈p：?x∈R，x2＋2x＋2≠0，真命题．
由为?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立．
(2)綈p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
因为所有的正方形都是菱形．
(3)綈p：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为当x＝－1时，x3＋1＝0.
1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”．
2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数是( )
①存在实数x0，使得x＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 B
解析 x2＋2≥2，故①是假命题；?x∈R，|sin x|≤1，故②是假命题；f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，所以③是真命题．故选B.
2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．存在x0∈R，x－x＋1≤0
B．存在x0∈R，x－x＋1≥0
C．存在x0∈R，x－x＋1＞0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 C
解析 由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x0∈R，x－x＋1＞0”．故选C.
3．已知命题p：存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3＞0，那么命题p的否定是( )
A．存在a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0
B．存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0
C．对任意a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0
D．对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 D
解析 易知綈p：对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0，故选D.
4．已知p：?x∈R，ax2＋2x＋3＞0，如果p是假命题，那么a的取值范围是( )
A．a＜ B．0＜a≤ C．a≤ D．a≥
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 易知綈p：?x0∈R，ax＋2x0＋3≤0，
显然当a＝0时，满足题意；
当a＞0时，由Δ≥0，得0＜a≤；
当a＜0时，满足题意．
所以a的取值范围是.
5．下列命题中，假命题是( )
A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x0∈R，lg x0<1 D．?x0∈R，tan x0＝2
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 B
解析 对于?x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图象是将y＝2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，A为真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题；当06．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)>n
B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n
C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0
D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 D
解析 “f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)?N*或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.
7．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )
A．?x1∈R，f(x1)≤f(x0) B．?x1∈R，f(x1)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0) D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 C
解析 当a>0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则x0＝－为抛物线顶点的横坐标，f(x)min＝f(x0)，故对于?x∈R，f(x)≥f(x0)成立，从而选项A，B，D为真命题，选项C为假命题．
二、填空题
8.“若|x|+|y|=0，则x，y全为0”的否定为 .
答案 若|x|+|y|=0，则x，y不全为0
9.函数y=x+b的值随x的增加而增加的否定为 .
答案 若x增加，则函数y=x+b的值不增加
10．设命题p：?x∈R，x2＋ax＋2＜0，若p为假，则实数a的取值范围是________．
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，＋∞)
解析 綈p：?x0∈R，x＋ax0＋2≥0为真命题，
显然a∈R.
11．命题“对任意x∈R，都有|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是_________________________.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 ?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3
三、解答题
12．若命题“?x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解 x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为“?x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立”，
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a＜－2，所以－3≤a≤1.
故所求实数a的取值范围为[－3,1]．
13．已知p：?a∈(0，b](b∈R且b＞0)，函数f(x)＝
sin的周期不大于4π.
(1)写出綈p；
(2)当p是假命题时，求实数b的最大值．
考点 全称量词的否定
题点 全称量词的命题的否定
解 (1)綈p：?a0∈(0，b](b∈R且b＞0)，
函数f(x)＝sin的周期大于4π.
(2)由于綈p是假命题，所以p是真命题，
所以?a∈(0，b]，≤4π恒成立，
解得a≤2，所以0＜b≤2，所以实数b的最大值是2.
四、探究与拓展
14．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1,1]的值都有y＞0，则实数x的取值范围为____________．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，－)∪(，＋∞)
解析 设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1,1]，
∵当a∈[－1,1]时，y＝f(a)＞0恒成立，
∴对a的系数讨论如下：
①当x＝2时，f(a)＝2＞0显然成立；
②当x≠2时，由f(a)＞0，a∈[－1,1]恒成立，得
即
解得x＞或x＜－.
综上可得，x的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．
15．给出两个命题，命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)甲、乙中至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个真命题．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解 当甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，
解得a＞或a＜－1.
当乙命题为真时，2a2－a＞1，解得 a＞1或a＜－.
(1)甲、乙中至少有一个是真命题时，
a的取值范围是∪.
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
当甲真乙假时，a的取值范围是；
当甲假乙真时，a的取值范围是，
故a的取值范围为∪.
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分条件的概念及判断
题点 充分条件的判断
答案 A
解析 当a＝3时，A＝{1,3}，A?B；当A?B时，a＝2或3.
所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．
2．下列命题中为假命题的是( )
A．空间中过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直
B．仅存在一个实数b2，使得－9，b1，b2，b3，－1成等比数列
C．存在实数a，b满足a＋b＝2，使得3a＋3b的最小值是6
D．?a∈(－4,0]，使得ax2＋ax－1＜0恒成立
答案 A
解析 空间中过直线外一点有无数条直线与该直线垂直，因此A为假命题．
3．已知α，β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β.命题p：a与b无公共点，命题q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 必要不充分条件的判断
答案 B
解析 若平面α与β相交，设交线为c.
若a∥c，b∥c，则a∥b，此时a与b无公共点，所以p?q.
若α∥β，则a与b的位置关系是平行或异面，a与b无公共点，所以q?p.
由此可知p是q的必要不充分条件．故选B.
4. “k=2且b=-1”是“直线y=kx+b过点（1，1）”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
5．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
答案 D
解析 由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题得，命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”．
6．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：?x∈A,2x?B B．綈p：?x?A,2x?B
C．綈p：?x0?A,2x0∈B D．綈p：?x0∈A,2x0?B
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 D
解析 命题p：?x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为?x0∈A,2x0?B.故选D.
7．有以下四种说法，其中正确说法的个数为( )
①“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件；
②“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充要条件；
③“x＝3”是“x2－2x－3＝0”的必要不充分条件；
④“A∩B＝B”是“A＝?”的必要不充分条件．
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 A
8．若命题“?x∈(1，＋∞)，x2－(2＋a)x＋2＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2]
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
9．设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 B
解析 ∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga33b>3，例如当a＝，b＝时，loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga310．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α.“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 必要、充分条件的概念及判断
题点 必要不充分条件的判断
答案 B
解析 m?α，m∥β? α∥β，但m?α，α∥β?m∥β，
∴“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
11．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长分别为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
12．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b，则“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分、必要条件的概念及判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 A
解析 函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，若1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若“?x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案
解析 由已知可得m≥tan x恒成立．
设f(x)＝tan x，显然该函数为增函数，
故f(x)的最大值为f＝tan＝，
由不等式恒成立可得m≥ ，即实数m的最小值为.
14．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 [－3,0]
解析 由题意，可得ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0，成立；
当a≠0时，得
解得－3≤a＜0.
故－3≤a≤0.
15．已知命题p：(x－3)(x＋1)>0，命题q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
考点 充分不必要条件的概念及判断
题点 由充分不必要条件求参数的取值范围
答案 (0,2]
解析 p：(x－3)(x＋1)>0等价于x<－1或x>3，q：x2－2x＋1－m2>0?x<－m＋1或x>m＋1，它们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意知A?B，
∴其中等号不能同时成立，
∴m≤2，又m>0，∴016．设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根，q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，则使p与q一真一假的实数m的取值范围是________________．
答案 (－∞，－2]∪[－1,3)
解析 由题意知，p，q一真一假．
若方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根，
则
∴m＜－1.
若方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，
则Δ＝4(m－2)2－4(－3m＋10)＜0，
∴－2＜m＜3.
综上可知，若p真q假，则m≤－2；
若p假q真，则－1≤m＜3.
故实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定．
(1)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；
(2)?x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．
考点 “非”的概念
题点 写出命题p的否定綈p
解 (1)假命题，否定为?α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0；
(2)真命题，否定为?x，y∈Z,3x－4y≠20；
(3)真命题，否定为在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
18．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n＋1)2＋c，n≥1，n∈N*，探究{an}是等差数列的充要条件．
解 当{an}是等差数列时，
∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，
∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c＝2，
∴c＝－1.
反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，可得an＝2n＋1(n≥1，n∈N)*，
故{an}为等差数列，
∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.
19．(12分)已知p：x∈[－2,2]，关于x的不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，若p是真命题，求实数a的取值范围．
解 设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则当x∈[－2,2]时，
f(x)min≥0.
①当－＜－2，即a＞4时，
f(x)在[－2,2]上单调递增，
f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，
解得a≤，
又因为a＞4，所以a不存在．
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
f(x)min＝f＝≥0，
解得－6≤a≤2，
又因为－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.
③当－＞2，即a＜－4时，
f(x)在[－2,2]上单调递减，
f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，
又因为a＜－4，所以－7≤a＜－4.
综上所述，a的取值范围是[－7,2]．
20．(12分)已知函数f(x)＝4sin2－2cos 2x－1，且给定条件p：≤x≤.
(1)求f(x)的最大值及最小值；
(2)若给定条件q：|f(x)－m|<2，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
考点 充分条件的概念及判断
题点 由充分条件求参数的取值范围
解 (1)f(x)＝2－2cos 2x－1
＝2sin 2x－2cos 2x＋1＝4sin＋1.
∵≤x≤，∴≤2x－≤.
∴3≤4sin＋1≤5.
∴f(x)max＝5，f(x)min＝3.
(2)∵|f(x)－m|<2，∴m－2又∵p是q的充分条件，
∴
解得321．(12分)已知两个命题：r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如果对?x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．
考点 复合命题真假性的判断
题点 由复合命题的真假求参数的取值范围
解 ∵对?x∈R，sin x＋cos x＝sin(x＋)≥－，
∴当r(x)是真命题时，m<－.
又∵对?x∈R，s(x)是真命题，即x2＋mx＋1>0恒成立，
有Δ＝m2－4<0，∴－2∴当r(x)为真命题，s(x)为假命题，m<－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；
当r(x)为假命题，s(x)为真命题时，m≥－且－2综上，m的取值范围是{m|m≤－2或－≤m<2}．
22．(12分)已知p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意的m∈[－1,1]恒成立，q：不等式ax2＋2x－1＞0有解，若p是真命题，q是假命题，求实数a的取值范围．
解 ∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
∴
∴|x1－x2|＝＝，
∴当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，
∴由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意的m∈[－1,1]恒成立，
得a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.
∵不等式ax2＋2x－1＞0有解，
∴当a＞0时，显然有解；
当a＝0时，2x－1＞0有解；
当a＜0时，Δ＝4＋4a＞0，解得－1＜a＜0.
∴当不等式ax2＋2x－1＞0有解时，a＞－1.
又q是假命题，∴a≤－1.
故当p是真命题，q是假命题时，a的取值范围为(－∞，－1]．
