第一章导数及其应用学案+滚动训练+章末检测

§1.1　变化率与导数
1．1.1　变化率问题
1．1.2　导数的概念
学习目标　1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
知识点一　函数的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
思考1　若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
答案　自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.
思考2　怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
答案　对山路AB来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度．
梳理　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：＝.
(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率．
知识点二　瞬时速度
思考1　物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
答案　Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.
思考2　当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
答案　当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
梳理　瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝
 .
知识点三　函数在某点处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ .
1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　×　)
2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　×　)
3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(　√　)

类型一　函数的平均变化率

例1　求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
考点　变化问题与变化率
题点　变化率大小的比较
解　在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝
＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝
＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1反思与感悟　求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1　(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　(1)Δx　(2)　
解析　(1)＝
＝＝Δx.
(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.
由函数f(x)的图象知，f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.

例2　过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
解　割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率.
∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，
∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.
又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.
反思与感悟　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即
＝＝.
跟踪训练2　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是(　　)
A．v甲>v乙
B．v甲C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
答案　B
解析　设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC类型二　求瞬时速度
例3　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
考点　求瞬时速度
题点　用极限思想求瞬时速度
解　∵＝
＝
＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
引申探究　
1．若例3中的条件不变，试求物体的初速度．
解　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝
＝1＋Δt，
∴ (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝(2t0＋1)＋Δt.
 ＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思与感悟　(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误．
(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
②求平均速度＝；
③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝ .
跟踪训练3　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
考点　求瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
解　质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
＝＝＝4a＋aΔt，
∴ ＝4a＝8，即a＝2.
类型三　导数定义的应用
例4　(1)若函数f(x)可导，则 等于(　　)
A．－2f′(1) B.f′(1)
C．－f′(1) D．f′
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
答案　C
解析　 
＝－ ＝－f′(1)．
(2)求函数y＝x－在x＝1处的导数．
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
解　因为Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋，
所以＝＝1＋.
 ＝ ＝2，
所以f′(1)＝2，
即函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
反思与感悟　(1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②求平均变化率＝；
③求极限 .
(2)瞬时变化率的变形形式
 
＝ 
＝ 
＝ 
＝f′(x0)．
跟踪训练4　已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在函数中的应用
解　∵f′(x0)＝ 
＝ ＝ (6x0＋3Δx)＝6x0，
又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(　　)
A．2.1 B．1.1 C．2 D．0
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　A
解析　＝＝＝2.1.
2．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝ ＝18 m/s，则下列说法中正确的是(　　)
A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
考点　导数的概念
题点　导数概念的理解
答案　C
3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于(　　)
A．2 B．－2 C．－3 D．3
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在函数中的应用
答案　D
解析　因为f′(1)＝ 
＝ ＝a.
因为f′(1)＝3，所以a＝3.
4．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
答案　[x3，x4]
解析　由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
5．一物体的运动方程为s(t)＝7t2－13t＋8，则t0＝________时该物体的瞬时速度为1.
考点　求瞬时速度
题点　瞬时速度在实际问题中的应用
答案　1
解析　 
＝ 
＝ (14t0－13＋7Δt)
＝14t0－13＝1，得t0＝1.
理解平均变化率要注意以下几点：
(1)平均变化率表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．
(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的形式．
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
利用导数定义求导数：
(1)取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
(3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
一、选择题
1．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数的增量Δy等于(　　)
A. B．－ C．1 D．－1
考点　函数自变量、因变量的增量
题点　函数因变量的增量
答案　B
解析　Δy＝－(2＋1)＝－.
2．函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　C
解析　平均变化率为＝＝5.
3．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3 B．3 C．6 D．－6
考点　求瞬时速度
题点　用极限思想求瞬时速度
答案　D
解析　由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝ (－3Δt－6)＝－6.
4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下面叙述正确的是(　　)
A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
答案　B
解析　函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB＝，割线AB的倾斜角为，故选B.
5．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于(　　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
答案　C
解析　∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝ ＝ ＝－1，
故选C.
6．已知函数f(x)＝则函数f(x)在x＝1处的导数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在函数中的应用
答案　D
解析　f(1)＝4，
f′(1)＝ 
＝ 
＝ (6＋3Δx)＝6.
7．已知函数f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　)
A．±2 B．2
C．－2 D．－4
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在函数中的应用
答案　A
解析　f′(x)＝ ＝－，
于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
二、填空题
8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________________．
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
答案　1<2<3
解析　1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图象知，kOA9．若函数y＝f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________.
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
答案　5
解析　函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是＝＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
所以，当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.
10．对于函数y＝f(x)＝，其导数值等于函数值的点是________．
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在函数中的应用
答案　
解析　f′(x0)＝ 
＝ 
＝－.
由题意知，f′(x0)＝f(x0)，即－＝，
解得x0＝－2，从而y0＝.
11．若f′(x0)＝2，则 ＝________.
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
答案　－1
解析　 
＝－ 
＝－f′(x0)＝－1.
三、解答题
12．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
考点　平均变化率
题点　平均变化率的应用
解　∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝
＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值．
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在函数中的应用
解　由导数的定义知，
f′(x0)＝ ＝2x0，
g′(x0)＝ ＝3x.
因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，
所以2x0＋2＝3x，即3x－2x0－2＝0.
解得x0＝或x0＝.
四、探究与拓展
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________．
考点　导数定义的应用
题点　导数定义在实际问题中的应用
答案　2
解析　x＝t时，y＝t，B(t，t)，
则AB＝t，
∴S(t)＝·OA·AB＝t·t＝t2，
∴S′(2)＝ 
＝ ＝2.
15．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
考点　求瞬时速度
题点　用极限思想求瞬时速度
解　(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)
＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为
＝＝24 m/s.
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近位移的平均变化率为
＝
＝
＝3Δt－18，
所以物体在t＝0处位移的瞬时变化率为
 ＝ (3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度v0＝－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率，
因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12，
所以物体在t＝1处位移的瞬时变化率为
 ＝ (3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
1．1.3　导数的几何意义
学习目标　1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
知识点一　导数的几何意义
如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．
思考1　割线PPn的斜率kn是多少？
答案　割线PPn的斜率kn＝.
思考2　当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？
答案　kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理　(1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线．
(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知识点二　导函数
思考　已知函数f(x)＝x2，分别计算f′(1)与f′(x)，它们有什么不同．
答案　f′(1)＝ ＝2.
f′(x)＝ ＝2x，f′(1)是一个值，而f′(x)是一个函数．
梳理　对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数), 即f′(x)＝y′＝ .
特别提醒：
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
1．函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．(　√　)
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　√　)
3．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　×　)
类型一　求切线方程

例1　已知曲线C：y＝x3＋.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程
解　将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．
＝ 
＝ 
＝[4＋2Δx＋(Δx)2]＝4，
∴k＝＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
反思与感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
答案　－3
解析　∵＝ 
＝ 
＝ (4＋Δx)＝4，
∴k＝＝4.
∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.

例2　求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
考点　求曲线在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程
解　设切点为(x0，x＋x0＋1)，
则切线的斜率为
k＝ 
＝2x0＋1.
又k＝＝，
∴2x0＋1＝.
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
反思与感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，f(x0))．
(2)建立方程f′(x0)＝.
(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
跟踪训练2　求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
解　设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x－3x＋x0，
∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x－3x＋x0)
＝3xΔx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，
∴＝3x＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)2－3Δx，
∴f′(x0)＝ ＝3x－6x0＋1.
∴切线方程为y－(x－3x＋x0)＝(3x－6x0＋1)·(x－x0)．
∵切线过原点，∴x－3x＋x0＝3x－6x＋x0，
即2x－3x＝0，∴x0＝0或x0＝，
故所求切线方程为x－y＝0或5x＋4y＝0.
类型二　利用图象理解导数的几何意义
例3　已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　C
解析　kAB＝＝f(3)－f(2)，
f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据图象可知0反思与感悟　导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
跟踪训练3　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　A
解析　依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
类型三　求切点坐标
例4　已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
解　对于曲线f(x)＝x2－1，
k1＝ ＝2x0.
对于曲线g(x)＝1－x3，
k2＝ 
＝ ＝－3x.
由题意得2x0＝－3x，
解得x0＝0或－.
引申探究
若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值．
解　∵k1＝2x0，k2＝－3x.
根据曲线f(x)＝x2－1与g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，知2x0·(－3x)＝－1，
解得x0＝.
反思与感悟　求切点坐标的一般步骤
(1)设出切点坐标．
(2)利用导数或斜率公式求出斜率．
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
跟踪训练4　直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为________，切点坐标为________．
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　　
解析　设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝ 
＝3x2－2x，
则f′(x0)＝3x－2x0＝1解得x0＝1或x0＝－，
当x0＝1时，f(x0)＝x－x＋1＝1，
又点(x0，f(x0))在直线y＝x＋a上，将x0＝1，y0＝1.
代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去．
当x0＝－时，f(x0)＝3－2＋1＝.
将代入直线y＝x＋a中，得a＝.

1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　)
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　B
解析　∵切线x＋2y－3＝0的斜率为－，
∴f′(x0)＝－<0.
2．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A．1 B.
C．－ D．－1
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　A
解析　因为f′(1)＝ 
＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a，
所以2a＝2，所以a＝1.
3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　B
解析　由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　－7
解析　设点P(x0,2x＋a)．
由导数的几何意义可得，
f′(x0)＝ 
＝ 
＝4x0＝8.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．
将x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0，
得a＝－7.
5．已知曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝________.
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　±1
解析　∵f′(x)＝ 
＝ ＝3x2，
∴曲线f(x)＝x3在点(a，a3)处的切线斜率为f′(a)＝3a2，
∴切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，
即y＝3a2x－2a3.
令y＝0得切线与x轴的交点为，
由题设知三角形面积为|a3|＝，
得a＝±1.

1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
一、选择题
1．已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．165°
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切线的倾斜角
答案　B
解析　曲线y＝x2－2在点P处的切线斜率为
k＝ 
＝ ＝1，
所以在点P处的切线的倾斜角为45°，故选B.
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　A
解析　由题意，知k＝
＝ ＝1，
∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
3．下列各点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　D
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
则＝ ＝2x0＝tan ＝1，
所以x0＝，y0＝.
4.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　)
A．－4 B．3
C．－2 D．1
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　D
解析　由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝1，故选D.
5．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
答案　A
解析　设切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
所以x0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0，故选A.
6．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)
A．2 B．－1 C．1 D．－2
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切线的斜率
答案　D
解析　∵ ·
＝ ＝f′(1)＝－1，
∴f′(1)＝－2.
由导数的几何意义，知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－2.
7．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处的切线的斜率之积为3，则x0的值为(　　)
A．－2 B．1
C. D．2
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　B
解析　由题意知，y1′＝ ＝，
y2′＝ ＝3x2－2x＋2，
所以两曲线在x＝x0处的切线的斜率分别为，3x－2x0＋2.
由题意可知，＝3，所以x0＝1.
二、填空题
8．若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线方程为________________________．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
答案　2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0
解析　f(x)＝x－与x轴交点坐标为(1,0)，(－1,0)，
f′(x)＝ 
＝ 
＝1＋，
f′(1)＝2，f′(－1)＝2，
∴所求切线方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)，
即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.
9．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　2
解析　由题意知a＋b＝3，
又＝ ＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2，故＝2.
10．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　4
解析　设在P点处切线的斜率为k，
则k＝
＝ ＝－5，
∴切线方程为y＝－5x.
∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，
将点P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
11．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为________．
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　
解析　y′＝ 
＝ ＝ (Δx＋2x＋2)
＝2x＋2.
设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.
由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－.
12.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝________.
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　－2
解析　由导数的概念和几何意义知，
 ＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
三、解答题
13．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
解　因为y′＝ 
＝ ＝2x＋1，
所以＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以3(2x0＋1)＝－1，x0＝－，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝x3，过点P作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________________．
考点　曲线过某点处的切线方程
题点　求曲线过某点的切线方程
答案　y＝0或3x－y－2＝0
解析　设切点为Q(x0，x)，得切线的斜率为
k＝f′(x0)＝3x，
切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
因为切线过点P，
所以2x－2x＝0，
解得x0＝0或x0＝1，
从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.
15．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有公切线，求a，b的值．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
解　∵f′(x)＝ ＝2ax，
∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g′(x)＝ 
＝3x2＋b，
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵两曲线在交点(1，c)处有公切线，
∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得
§1.2　导数的计算
第1课时　几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
学习目标　1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
知识点一　几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
知识点二　基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln a(a>0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a>0且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝

1．若y＝，则y′＝×2＝1.(　×　)
2．若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　×　)
3．f(x)＝，则f′(x)＝－.(　√　)
类型一　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝sin ；(2)y＝x；(3)y＝lg x；(4)y＝；(5)y＝2cos2－1.
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
解　(1)y′＝0.
(2)y′＝xln＝－xln 2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝＝，
∴y′＝()′＝＝.
(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
反思与感悟　(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
如y＝可以写成y＝x－4，y＝可以写成y＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝，则f′(－3)等于(　　)
A．81 B．243
C．－243 D．－
(2)已知f(x)＝ln x且f′(x0)＝，则x0＝ .
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
答案　(1)D　(2)1
解析　(1)因为f(x)＝x－3，
所以f′(x)＝－3x－4＝－，
所以f′(－3)＝－＝－.
(2)因为f(x)＝ln x(x>0)，
所以f′(x)＝，
所以f′(x0)＝＝，所以x0＝1.
类型二　利用导数公式研究切线问题

例2　已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形面积．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
解　由得得两曲线的交点坐标为(1,1)．
两条曲线切线的斜率分别为f′(1)＝，g′(1)＝－1.
易得两切线方程分别为y－1＝(x－1)，
y－1＝－(x－1)，
即y＝x＋与y＝－x＋2.
其与x轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，
所以两切线与x轴所围成的三角形面积为×1×|2－(－1)|＝.
反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决．
跟踪训练2　已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ .
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
由题意得＝＝k，①
又y0＝kx0，②
而且y0＝ln x0，③
由①②③可得x0＝e，y0＝1，则k＝.

例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
解　设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为，
∴所求的最短距离d＝＝.
反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3　已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
解　由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，
设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
故P(1,1)点即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大.
1．下列函数求导运算正确的个数为(　　)
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③＝x；④若y＝，则＝－.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
答案　C
解析　①中(3x)′＝3xln 3，②③④均正确．
2．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数的导数
答案　B
解析　设切点坐标为(x0，y0)，∵f′(x0)＝3x＝1，
∴x0＝±.故斜率等于1的切线有2条．
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝ .
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　指数函数、对数函数的导数
答案　1
解析　f′(x)＝2x，g′(x)＝，
f′(x)－g′(x)＝1，即2x－＝1，
解得x＝1或－.因为x>0，所以x＝1.
4．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　(1，e)　e
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
切线的斜率为＝，
则＝，①
又y0＝，②
由①②可得x0＝1，
∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
5．求过曲线y＝sin x上一点P且与在该点处的切线垂直的直线方程．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
解　曲线y＝sin x在点P处切线的斜率
k＝＝cos ＝，
则与切线垂直的直线的斜率为－，
∴所求直线方程为y－＝－，
即12x＋18y－2π－9＝0.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.
一、选择题
1．下列各式中正确的个数是(　　)
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③′＝－x－；④()′＝x－；⑤(cos x)′＝－sin x；⑥(cos 2)′＝－sin 2.
A．3 B．4 C．5 D．6
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
答案　B
解析　∵②(x－1)′＝－x－2；
⑥(cos 2)′＝0.
∴②⑥不正确，故选B.
2．已知函数f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　)
A．4 B．－4
C．5 D．－5
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数的导数
答案　A
解析　∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，
∴a＝4.
3．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为(　　)
A. B.
C. D.
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数的导数
答案　B
解析　∵s′＝t－.∴当t＝4时，
s′＝·＝ .
4．正弦曲线y＝sin x上切线的斜率等于的点为(　　)
A.
B.或
C.(k∈Z)
D.或(k∈Z)
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　D
解析　设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵＝cos x0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，
∴y0＝或－.
5．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　)
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　C
解析　∵y＝ln x的导数y′＝，
∴令＝，得x＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
6．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　D
解析　若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.
因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln x)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
7．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　)
A. B.
C. D．1
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　B
解析　对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)·xn.
令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，
∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．
令y＝0，得xn＝，
∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.
二、填空题
8．若曲线y＝在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝ .
考点　几个常用函数的导数
题点　几个常用函数导数的应用
答案　64
解析　∵y＝，∴y′＝－，
∴曲线在点(a，)处的切线斜率k＝－，
∴切线方程为y－＝－(x－a)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝3a，
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·＝＝18，
∴a＝64.
9．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为 ．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　(1,1)
解析　y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1＝e0＝1.
设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－ (x>0)，
曲线y＝ (x>0)在点P处的切线的斜率为k2＝－ (m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，
所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
10．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　4
解析　∵y′＝，∴切线方程为y－＝(x－a)，
令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，
由题意知··a＝2，∴a＝4.
11．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 017(x)＝ .
考点　正弦、余弦函数的导数
题点　正弦、余弦函数的运算法则
答案　cos x
解析　由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，f2 017(x)＝f1(x)＝cos x.
12．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是 ．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　∪
解析　∵(sin x)′＝cos x，∴kl＝cos x，
∴－1≤kl≤1，∴α∈∪.
三、解答题
13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
四、探究与拓展
14．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
答案　21
解析　∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)．
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列，
∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
15．求证：双曲线xy＝a2(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
考点　导数公式的综合应用
题点　导数公式的综合应用
证明　设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．
∵y′＝′＝－.
∴过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝··|2x0|＝2a2.
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
第2课时　导数的运算法则
学习目标　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
知识点一　和、差的导数
已知f(x)＝x，g(x)＝.Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x)
思考1　f(x)，g(x)的导数分别是什么？
答案　f′(x)＝1，g′(x)＝－.
思考2　试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数．并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系．
答案　∵Δy＝(x＋Δx)＋－
＝Δx＋，
∴＝1－.
∴Q′(x)＝ 
＝ ＝1－.
同理，H′(x)＝1＋.
Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和．H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差．
梳理　和、差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
知识点二　积、商的导数
(1)积的导数
①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
②[cf(x)]′＝cf′(x)．
(2)商的导数
′＝(g(x)≠0)．
(3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，
′≠.
1．若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　×　)
2．函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　√　)
3．当g(x)≠0时，′＝.(　√　)
类型一　利用导数的运算法则求导
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝3x2＋xcos x；
(2)y＝lg x－；
(3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)；
(4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝.
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
解　(1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
＝6x＋cos x－xsin x.
(2)y′＝(lg x)′－(x－2)′＝＋.
(3)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′
＝2x(ex＋ln x)＋(x2＋3)
＝ex(x2＋2x＋3)＋2xln x＋x＋.
(4)因为y＝x2＋，
所以y′＝(x2)′＋′
＝2x＋
＝2x＋.
(5)y′＝
＝
＝.
反思与感悟　(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
跟踪训练1　求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)．
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
解　(1)∵y＝2－3＋x－1＋，
∴y′＝3＋－x－2－.
(2)方法一　y′＝
＝＝.
方法二　∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝
＝.
(3)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
类型二　导数公式及运算法则的综合应用

例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.
∴f(x)＝－2x.
∴f(e)＝－2e＝－2e，f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)(2)由已知得f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思与感悟　(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数．
(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值．
完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．
跟踪训练2　函数f(x)＝＋2f′(1)x，则f′(0)＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　1
解析　对f(x)求导，得f′(x)＝＋2f′(1)＝＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝1，∴f′(0)＝1.

例3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
反思与感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练3　(1)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　(1)1　(2)4
解析　(1)∵y′＝＝，
当x＝时，y′＝＝1.
又直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，
∴－＝－1，即a＝1.
(2)∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知g′(1)＝2.
又∵f(x)＝g(x)＋x2，
∴f′(x)＝g′(x)＋2x，即f′(1)＝g′(1)＋2＝4，
∴y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.
1．设函数y＝－2exsin x，则y′等于(　　)
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　D
解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　B
解析　y′＝＝，故＝，
∴曲线在点M处的切线的斜率为.
3．若函数f(x)＝?f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　A
解析　因为f(x)＝?f′(－1)x2－2x＋3，
所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，
所以f′(－1)＝－1.
4．已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　
解析　因为f′(x)＝
＝(x≠0)．
所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得＋＝0.
解得x0＝.
5．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　－3
解析　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得
则a＋b＝－3.
1．导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．
2．和与差的运算法则可以推广
[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．
3．积、商的求导法则
(1)若c为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
′＝(g(x)≠0)；
(3)当f(x)＝1时，有′＝－(g(x)≠0)．
一、选择题
1．下列运算中正确的是(　　)
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.′＝
D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　A
解析　A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′错误；
C项中，′＝错误；
D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′错误．
2．若函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0等于(　　)
A．a B．±a
C．－a D．a2
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　B
解析　y′＝′＝＝，
由x－a2＝0，得x0＝±a.
3．若函数f(x)＝exsin x，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　)
A. B．0 C．钝角 D．锐角
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　C
解析　∵f′(x)＝exsin x＋excos x，
∴f′(4)＝e4(sin 4＋cos 4)．
∵π<4<π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f′(4)<0.
由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．
4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　C
解析　∵f(x)＝x2－2x－4ln x，
∴f′(x)＝2x－2－>0，
整理得>0，
解得－12.
又x>0，∴x>2.
5．函数f(x)＝xcos x－sin x的导函数是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　B
解析　f′(x)＝(xcos x)′－(sin x)′
＝cos x－xsin x－cos x
＝－xsin x.
令F(x)＝－xsin x，x∈R，
则F(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝F(x)，
∴f′(x)是偶函数．
6．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A．2 B. C．－ D．－2
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　D
解析　∵y＝＝1＋，
∴y′＝－，∴＝－.
∴－a×＝－1，即a＝－2.
7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于(　　)
A. B．－
C. D．－或
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　B
解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，
∴导函数f′(x)的图象开口向上，
故其图象必为③.
由图象特征知f′(0)＝0，且对称轴－a>0，
∴a＝－1，则f(－1)＝－－1＋1＝－，故选B.
二、填空题
8．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则
答案　
解析　由题意知f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
∵h′(x)＝，
∴h′(5)＝
＝＝.
9．已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，则t＝1 s时物体的瞬时速度为________ m/s.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　5
解析　因为s(t)＝＋2t2＝－＋2t2
＝－＋2t2，
所以s′(t)＝－＋2·＋4t，
所以s′(1)＝－1＋2＋4＝5，
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为5 m/s.
10．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f?的值为________．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　1
解析　∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，
∴f?＝1.
11．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　x－y－1＝0
解析　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点坐标为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x，∴
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点坐标为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
12．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　8
解析　由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，
得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝＝2，
所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
消去y，得ax2＋ax＋2＝0，
所以a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
三、解答题
13．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
解　∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点坐标为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
四、探究与拓展
14．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于(　　)
A．26 B．29
C．215 D．212
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
答案　D
解析　∵f′(x)＝x′(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a1)′(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)′
＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)，
∴f′(0)＝a1·a2·…·a8＝(a1a8)4＝84＝212.
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的综合应用
解　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①②得解得
故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
第3课时　简单复合函数的导数
学习目标　1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．
知识点　复合函数的概念及求导法则
已知函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．
思考　这两个函数有什么共同特征？
答案　函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)都是由两个基本函数复合而成的．
梳理
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1．函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(　×　)
2．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　×　)
3．函数y＝cos(3x＋1)由函数y＝cos u，u＝3x＋1复合而成．(　√　)
类型一　求复合函数的导数

例1　求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝log2(2x＋1)；
(3)y＝ecos x＋1；
(4)y＝sin2.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
解　(1)y＝，
设y＝，u＝1－2x2，
则y′＝()′(1－2x2)′＝·(－4x)
＝－·(－4x)＝2x.
(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则yx′＝yu′·ux′＝＝.
(3)设y＝eu，u＝cos x＋1，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·(－sin x)
＝－ecos x＋1sin x.
(4)y＝
对于t＝cos，
设u＝4x＋，
则t＝cos u，tu′ux′＝－4sin u＝－4sin.
∴y′＝2sin.
反思与感悟　(1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
跟踪训练1　求下列函数的导数．
(1)y＝(x2－4)2；(2)y＝ln(6x＋4)；
(3)y＝103x－2；(4)y＝；
(5)y＝sin；(6)y＝cos2x.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
解　(1)y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x
＝4x3－16x.
(2)y′＝·(6x＋4)′＝.
(3)y′＝(103x－2ln 10)·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10.
(4)y′＝·(2x－1)′＝ .
(5)y′＝cos·′＝3cos.
(6)y′＝2cos x·(cos x)′＝－2cos x·sin x＝－sin 2x.

例2　求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝xcossin.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
解　(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝，
∴y′＝
＝＝.
(2)y′＝(x)′
＝x′＋x()′
＝＋
＝.
(3)∵y＝xcossin
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，
∴y′＝′
＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2xcos 4x.
反思与感悟　(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导．
跟踪训练2　求下列函数的导数．
(1)y＝sin3x＋sin x3；
(2)y＝xln(1＋2x)．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
解　(1)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
(2)y′＝x′ln(1＋2x)＋x[ln(1＋2x)]′
＝ln(1＋2x)＋.
类型二　复合函数导数的应用
例3　设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切，求a，b的值．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
解　由曲线y＝f(x)过(0,0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，
得f′(x)＝＋＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，
即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．
由题意，得＋a＝，故a＝0.
反思与感悟　复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
跟踪训练3　曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
解　由y＝esin x，
得y′＝(esin x)′＝cos xesin x，
即＝1，
则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
两平行线间的距离d＝＝，得c＝3或c＝－1.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
1．函数y＝(ex＋e－x)的导数是(　　)
A.(ex－e－x) B.(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
答案　A
解析　y′＝′＝(ex－e－x)．
2．函数y＝x2cos的导数为(　　)
A．y′＝2xcos－x2sin
B．y′＝2xcos－2x2sin
C．y′＝x2cos－2xsin
D．y′＝2xcos＋2x2sin
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
答案　B
解析　y′＝(x2)′cos＋x2′
＝2xcos＋x2′
＝2xcos－2x2sin.
3．已知函数f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
答案　
解析　∵f′(x)＝·(3x－1)′＝，∴f′(1)＝.
4．函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　－1
解析　由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x，
得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，
所以函数在x＝处的切线斜率为－2sin＝－1.
5．曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　e2
解析　y′＝，
切线的斜率k＝e2，
则切线方程为y－e2＝(x－4)，
令x＝0，得y＝－e2，
令y＝0，得x＝2，
∴切线与坐标轴围成的面积为×2×|－e2|＝e2.
求简单复合函数f(ax＋b)的导数
实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.
一、选择题
1．下列函数不是复合函数的是(　　)
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos
C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
考点　简单复合函数的导数
题点　复合函数的判断
答案　A
解析　A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.
2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
答案　D
解析　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2
＝3x2＋2x－1，
所以y′|x＝1＝4.
3．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)等于(　　)
A．0 B．60
C．－1 D．－60
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
答案　B
解析　f′(x)＝10(1－2x3)9(－6x2)
所以f′(1)＝10(1－2)9(－6)＝60.
4．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
答案　B
解析　y′＝[xln(2x＋5)]′
＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′
＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′
＝ln(2x＋5)＋.
5．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　D
解析　y′＝a－，由题意得＝2，即a－1＝2，
所以a＝3.
6．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D．1
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　A
解析　∵＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2.
由得x＝y＝，
∴A，
则围成的三角形的面积为××1＝.
7．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　D
解析　y′＝＝
＝.
∵ex＋≥2，
∴ex＋＋2≥4，
∴y′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)，
∴α∈.
二、填空题
8．函数y＝sin 2xcos 3x的导数是________________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
答案　2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x
解析　∵y＝sin 2xcos 3x，
∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′
＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.
9．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率为________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　2
解析　y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，
故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1＋1)e1－1＝2.
10．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数
答案　1
解析　令u＝2x＋a，
则yx′＝yu′·ux′＝(u2)′(2x＋a)′＝4(2x＋a)，
则f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，∴a＝1.
11．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　(－ln 2,2)
解析　设P(x0，)，
＝＝－2，得x0＝－ln 2，
∴P(－ln 2,2)．
12．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　2
解析　设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有
由此得x0＝－1，a＝2.
三、解答题
13．曲线y＝e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
解　由y′＝(e2xcos 3x)′
＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′
＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x)
＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
得＝2.
则切线方程为y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为
2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝＝，得c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
四、探究与拓展
14．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　2x－y＝0
解析　设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，即所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.
15．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离．
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
解　作出直线l：2x－y＋3＝0和曲线y＝ln(2x－1)的图象(图略)可知它们无公共点，所以平移直线l，当l与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，y′＝(2x－1)′＝.
设切点为P(x0，y0)，
所以＝2，所以x0＝1，
所以y0＝ln(2×1－1)＝0，P(1,0)．
所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离为P(1,0)到直线l：2x－y＋3＝0的距离，
最短距离d＝＝＝.
§1.3　导数在研究函数中的应用
1．3.1　函数的单调性与导数(一)
学习目标　1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
知识点一　函数的单调性与导函数的关系
思考　观察图中函数f(x)，填写下表．
导数值
切线的斜率
倾斜角
曲线的变化趋势
函数的单调性
f′(x)>0
k>0
锐角
上升
递增
f′(x)<0
k<0
钝角
下降
递减
梳理　一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，
(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．
知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　×　)
2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　×　)
类型一　函数图象与导数图象的应用
例1　已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.
x
－1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
给出下列关于函数f(x)的说法：
①函数y＝f(x)是周期函数；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1其中正确说法的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导函数的图象确定原函数图象
答案　D
解析　依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则结合函数f(x)的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合函数f(x)的可能图象分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1反思与感悟　(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．
跟踪训练1　已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导函数图象确定原函数图象
答案　C
解析　当0∴f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故选C.
类型二　利用导数求函数的单调区间

例2　求下列函数的单调区间．
(1)y＝x2－ln x；
(2)y＝x＋(b>0)．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
解　(1)函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
又y′＝.
若y′>0，即解得x>1；
若y′<0，即解得0故函数y＝x2－ln x的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝′＝1－，
令f′(x)>0，则(x＋)(x－)>0，
所以x>或x<－.
所以函数的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．
令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0，
所以－所以函数的单调递减区间为(－，0)，(0，)．
反思与感悟　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．
跟踪训练2　函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为____________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　(－2－，－2＋)
解析　由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，
解得－2－所以f(x)＝(x2＋2x)ex的单调递减区间为(－2－，－2＋)．

例3　讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数函数的单调区间
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax＋1－＝.
(1)当a＝0时，f′(x)＝，
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
(2)当a>0时，f′(x)＝，
∵a>0，∴>0.
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
反思与感悟　(1)讨论参数要全面，做到不重不漏．
(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．
跟踪训练3　设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数函数的单调区间
解　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
1．函数f(x)＝x＋ln x(　　)
A．在(0,6)上是增函数
B．在(0,6)上是减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性
答案　A
2．若函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据原函数图象确定导函数图象
答案　C
解析　由f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(1,4)，单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x∈(1,4)时，f′(x)>0，当x∈(－∞，1)或x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，结合选项知选C.
3．函数f(x)＝3＋x·ln x的单调递增区间是(　　)
A. B．(e，＋∞)
C. D.
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　C
解析　f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0，
即ln x＋1>0，得x>.
故函数f(x)的单调递增区间为.
4．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知单调区间求参数值
答案　－　－6
解析　f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由题意知，f′(x)＝0即3x2＋2bx＋c＝0的两根为－1和2.
由得
5．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数函数的单调区间
解　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k>0时，由f′(x)<0，即<0，
解得0由f′(x)>0，即>0，解得x>.
∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
一、选择题
1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上，f(x)是增函数
B．在(1,3)上，f(x)是减函数
C．在(4,5)上，f(x)是增函数
D．在(－3，－2)上，f(x)是增函数
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性
答案　C
解析　由图知当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上，f(x)是增函数．
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据原函数图象确定导函数图象
答案　D
解析　∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x>0时，f′(x)<0，当x<0时，f′(x)<0，故选D.
3．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是所给选项中的(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导函数的图象确定原函数的图象
答案　C
解析　∵导数的正负确定了函数的单调性，
∴从函数f′(x)的图象可知，令f′(x)＝0，
得x＝0或x＝a(a>0)，
∴函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，故选C.
4．函数f(x)＝xe－x的一个单调递增区间是(　　)
A．[－1,0] B．[2,8]
C．[1,2] D．[0,2]
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数的函数的单调区间
答案　A
解析　因为f′(x)＝＝(1－x)·e－x>0，
又因为e－x>0，所以x<1.
5．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性
答案　B
解析　B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x∈(0，＋∞)时，y′>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．
6.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．f(cos A)B．f(sin A)C．f(sin A)>f(sin B)
D．f(sin A)>f(cos B)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　D
解析　根据图象知，当00，
∴f(x)在区间(0,1)上是增函数．
∵△ABC为锐角三角形，∴A，B都是锐角且A＋B>，
则0<－B则sin∴0f(cos B)．
7．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是(　　)
A．f(0)＋f(2)>2f(1)
B．f(0)＋f(2)＝2f(1)
C．f(0)＋f(2)<2f(1)
D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　C
解析　∵(x－1)f′(x)<0，
∴当x>1时，f′(x)<0，x<1时，f′(x)>0，
则f(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增，
∴f(0)则f(0)＋f(2)<2f(1)．
二、填空题
8．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数的函数的单调区间
答案　(0,2)
解析　由f′(x)＝x2－4x＋3，
f′(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3＝x2－2x，
令f′(x＋1)<0，解得0所以f(x＋1)的单调递减区间是(0,2)．
9.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为________．
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用单调性确定导数值的正负号
答案　(－∞，－1)∪(0,1)
解析　由xf′(x)<0可得，
或
由题图可知当－1当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
则或
解得0∴xf′(x)<0的解集为(0,1)∪(－∞，－1)．
10．已知函数f(x)＝kex－1－x＋x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递增区间为____________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数的函数的单调区间
答案　(0，＋∞)
解析　f′(x)＝kex－1－1＋x，
∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，
∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，
故f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)>0，解得x>0，
故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知单调区间求参数值
答案　－6
解析　由题意得f′(x)＝6x2＋2ax＝0的两根为0和2，可得a＝－6.
12．定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f′(x)<2，则满足f(x)>2x－1的x的取值范围是________．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
答案　(－∞，1)
解析　令g(x)＝f(x)－2x＋1，
则g′(x)＝f′(x)－2<0，
又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，
当g(x)>g(1)＝0时，x<1，∴f(x)－2x＋1>0，
即f(x)>2x－1的解集为(－∞，1)．
三、解答题
13．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数的函数的单调区间
解　(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1.
又f′(－1)＝6，∴即
解得b＝c＝－3，
故所求函数解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)f′(x)＝3x2－6x－3.
令f′(x)>0，得x<1－或x>1＋；
令f′(x)<0，得1－故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)，(1＋，＋∞)，单调递减区间为(1－，1＋)．
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的大致图象是(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导数确定函数的图象
答案　A
解析　设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，
则g′(x)＝2－2cos x≥0，
所以函数g(x)＝f′(x)在R上单调递增，故选A.
15．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a>0，试讨论f(x)的单调性．
考点　利用导函数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数的函数的单调区间
解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋2，其判别式Δ＝a2－8.
(1)当Δ<0，即00，都有f′(x)>0，此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数；
(2)当Δ＝0，即a＝2时，当且仅当x＝时，有f′(x)＝0，对定义域内其余的x都有f′(x)>0，此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数；
(3)当Δ>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根：x1＝，x2＝，0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
?↘
↗?
即f(x)在和上单调递增；在上单调递减.
1.3.1　函数的单调性与导数(二)
学习目标　1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．
1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题
(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．
(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．
1．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　)
2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　√　)
类型一　利用导数求参数的取值范围
例1　若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　[1，＋∞)
解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．
引申探究
1．若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围．
解　∵f′(x)＝k－，
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)＝k－≤0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≤，∵0<<1，∴k≤0.
即k的取值范围为(－∞，0]．
2．若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围．
解　f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－.
当k≤0时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意．
当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
只需∈(1，＋∞)，即>1，则0∴k的取值范围是(0,1)．
反思与感悟　(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(2)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪训练1　若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
解　方法一　(直接法)
f′(x)＝x2－ax＋a－1，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，
由题意知(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，
所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
方法二　(数形结合法)
如图所示，
f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．
因为在(1,4)内，f′(x)≤0，
在(6，＋∞)内f′(x)≥0，
且f′(x)＝0有一根为1，
所以另一根在[4,6]上．
所以即所以5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
方法三　(转化为不等式的恒成立问题)
f′(x)＝x2－ax＋a－1.
因为f(x)在(1,4)上单调递减，
所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．
即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，
因为2所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，
又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，
所以a≤x＋1，
因为x＋1>7，
所以当a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．
综上知5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
类型二　证明不等式
例2　证明ex≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
证明　令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，
∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，
令g(x)＝x－sin x(x≥0)，g′(x)＝1－cos x≥0，
∴g(x)≥g(0)，即x－sin x≥0，
∴x＋1≥sin x＋1(x≥0)，
综上，ex≥x＋1≥sin x＋1.
反思与感悟　用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤
(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．
(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.
(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调递增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．
这是因为F(x)为单调递增函数，
所以F(x)≥F(a)>0，
即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.
跟踪训练2　已知x>0，证明不等式ln(1＋x)>x－x2成立．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
证明　设f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，
则f′(x)＝－1＋x＝.
当x>－1时，f′(x)>0，
则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数．
∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0.
∴当x>0时，不等式ln(1＋x)>x－x2成立.
1．已知命题p：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0，q：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性
答案　A
2．已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时(　　)
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　利用导数值的正负号判定函数的单调性
答案　B
解析　由题意知，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．
当x>0时，f(x)，g(x)都单调递增，
则当x<0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，
即f′(x)>0，g′(x)<0.
3．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　[－1,1)
解析　f′(x)≤0，即3x2－12≤0，得－2≤x≤2.
∴f(x)的减区间为[－2,2]，
由题意得(2m，m＋1)?[－2,2]，
∴得－1≤m<1.
4．函数y＝ax－ln x在上单调递增，则a的取值范围为________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　[2，＋∞)
解析　y′＝a－，由题意知，
当x∈时，y′≥0，
即a≥在上恒成立，
由x∈得，<2，∴a≥2.
5．证明方程x－sin x＝0只有一个实根，并试求出这个实根．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
解　令f(x)＝x－sin x，x∈(－∞，＋∞)，
则f′(x)＝1－cos x>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，其图象若穿越x轴，则只有一次穿越的机会，
显然x＝0时，f(x)＝0.
所以方程x－sin x＝0有唯一的实根x＝0.
利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f(x)是否满足题意.
一、选择题
1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，－1)和(0,1)
B．[－1,0]和[1，＋∞)
C．[－1,1]
D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　A
解析　y′＝4x3－4x，令y′<0，即4x3－4x<0，
解得x<－1或0所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故选A.
2．若f(x)＝，eA．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　A
解析　由f′(x)＝<0，解得x>e，
∴f(x)在(e，＋∞)上为减函数，
∵ef(b)．
3．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A. B. C．(1,2] D．[1,2)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　A
解析　显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)＞0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)＜0，得函数f(x)单调递减区间为.因为函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1＜＜k＋1，解得－＜k＜，又因为(k－1，k＋1)为定义域内的一个子区间，所以k－1≥0，即k≥1.综上可知，1≤k＜.
4．若a>0，且f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(0,3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　B
解析　由题意得，f′(x)＝3x2－a≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，
即a≤(3x2)min＝3，
又a>0，∴05．若函数y＝a(x3－x)在上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　A
解析　y′＝a(3x2－1)＝3a·，
当－要使y＝a(x3－x)在上单调递减，
只需y′<0，即a>0.
6．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当aA．f(x)>g(x)
B．f(x)C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
答案　C
解析　设h(x)＝f(x)－g(x)，
∵f′(x)－g′(x)>0，∴h′(x)>0，∴h(x)在[a，b]上是增函数，
∴当ah(a)，
∴f(x)－g(x)>f(a)－g(a)，
即f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．
二、填空题
7．若y＝sin x＋ax在R上是增函数，则a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　[1，＋∞)
解析　因为y′＝cos x＋a≥0，
所以a≥－cos x对x∈R恒成立．
所以a≥1.
8．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　(－∞，0)
解析　y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，
∴a<0.
9．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　(0，＋∞)
解析　∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
10．若函数f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　(－∞，－1]
解析　f′(x)＝－x＋，
由题意知f′(x)＝－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
即≤x在(－1，＋∞)上恒成立，
∵x>－1，∴x＋2>1>0，
∴b≤x(x＋2)，
设y＝x(x＋2)，则y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵x>－1，∴y>－1，
∴要使b≤x(x＋2)成立，则有b≤－1.
11．若f(x)＝(x∈R)在区间[－1,1]上是增函数，则a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　[－1,1]
解析　f′(x)＝2·，
∵f(x)在[－1,1]上是增函数，
∴f′(x)＝2·≥0.
∵(x2＋2)2>0，
∴x2－ax－2≤0对x∈[－1,1]恒成立．
令g(x)＝x2－ax－2，
则即
∴－1≤a≤1.
即a的取值范围是[－1,1]．
三、解答题
12．已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1)．
(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
解　(1)当a＝－时，
f(x)＝－x2＋ln(x＋1)(x>－1)，
f′(x)＝－x＋＝－(x>－1)．
当f′(x)>0时，解得－1当f′(x)<0时，解得x>1.
故函数f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上为减函数，
所以f′(x)＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
即a≤－对任意x∈[1，＋∞)恒成立．
令g(x)＝－，
易求得在区间[1，＋∞)上g′(x)>0，
故g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
故min＝g(1)＝－，
故a≤－.
即实数a的取值范围为.
13．已知函数f(x)＝ln x－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)证明：当x>1时，f(x)考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
(1)解　f′(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞)．
由f′(x)>0，得
解得0故f(x)的单调递增区间是.
(2)证明　令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(1，＋∞)．
则F′(x)＝.
当x∈(1，＋∞)时，F′(x)<0，
所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故当x>1时，F(x)即当x>1时，f(x)四、探究与拓展
14．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是__________．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
答案　(－∞，－1)∪(0,1)
解析　因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，令g(x)＝，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.则当x>0时，g′(x)＝′＝<0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0g(1)＝0?>0?f(x)>0；在(－∞，0)上，当x<－1时，g(x)0.
综上，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．
15．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增，求k的取值范围．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
解　(1)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)．
若k>0，则当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
若k<0，则当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
综上，k>0时，f(x)的增区间为，减区间为，
k<0时，f(x)的增区间为，减区间为.
(2)由(1)知，若k>0，则当且仅当－≤－1，
即0若k<0，则当且仅当－≥1，即－1≤k<0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
综上可知，函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．
1．3.2　函数的极值与导数(一)
学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一　函数的极值点和极值
思考　观察函数y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．
答案　极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)．
梳理　(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点二　函数极值的求法与步骤
(1)求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③列表；
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
1．导数为0的点一定是极值点．(　×　)
2．函数的极大值一定大于极小值．(　×　)
3．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　×　)
4．极值点处的导数一定为0.(　×　)
类型一　求函数的极值点和极值

例1　求下列函数的极值．
(1)f(x)＝－2；(2)f(x)＝.
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
解　(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?↗
极大值
↘
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
反思与感悟　函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
跟踪训练1　求下列函数的极值点和极值．
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；
(2)f(x)＝x2e－x.
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
解　(1)f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
?↘
极小值
↗
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值，且极大值f(－1)＝，当x＝3时，函数有极小值，且极小值f(3)＝－6.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且极小值为f(0)＝0.
当x＝2时，函数有极大值，且极大值为f(2)＝4e－2.

例2　已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　含参数求极值问题
解　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠知－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a>，则－2a当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
反思与感悟　讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2相等与否入手进行．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　含参数求极值问题
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1.
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0，知
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
类型二　利用函数的极值求参数
例3　(1)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
(2)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a＝________，b＝________.
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值点求参数
答案　(1)D　(2)2　9
解析　(1)若a<－1，因为f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，
所以f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D.
(2)因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数，
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9.
反思与感悟　已知函数的极值求参数时应注意两点
(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
跟踪训练3　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值点求参数
解　(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1，
∴f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解得a＝－，b＝－.
(2)由(1)可知f(x)＝－ln x－x2＋x，
且定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝－x－1－x＋1＝－.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.
1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　)
A．在(1,2)上函数f(x)为增函数
B．在(3,4)上函数f(x)为减函数
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　D
解析　根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0，x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点．故选D.
2．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　D
解析　函数f(x)＝＋ln x的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－，
令f′(x)＝0，即－＝0得，x＝2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
因为x＝2为f(x)的极小值点，故选D.
3．函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________．
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　判断极值点的个数
答案　0
解析　因为x>0，f′(x)＝a－＝，
所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．
4．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________.
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
答案　－2
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意知即
解得则a＋b＝－2.
5．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的单调区间，并求极值．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
解　(1)f′(x)＝2ax＋，
由题意得　即
∴a＝，b＝－1.
(2)由(1)得，
f′(x)＝x－＝＝.
又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
f(x)极小值＝f(1)＝.
1．求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根；
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
一、选择题
1．下列函数中存在极值的是(　　)
A．y＝ B．y＝x－ex
C．y＝2 D．y＝x3
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　B
解析　对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.
在区间(－∞，0)上，y′>0；
在区间(0，＋∞)上，y′<0.
故x＝0为函数y＝x－ex的极大值点．
2．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为(　　)
A．－e B．1－e
C．－1 D．0
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　C
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－1.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
答案　B
解析　因为f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
所以f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，
所以f′(x)＝6x2－30x＋36
＝6(x－2)(x－3)，
由f′(x)>0，得x<2或x>3.
4．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则(　　)
A．f(x)极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　D
解析　当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－33时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的(　　)
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极小值为－，极大值为0
D．极大值为－，极小值为0
考点　函数某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　A
解析　f′(x)＝3x2－2px－q.
由函数f(x)的图象与x轴切于点(1,0)，得p＋q＝1，
∴q＝1－p，①
3－2p－q＝0，②
联立①②，解得p＝2，q＝－1，
∴函数f(x)＝x3－2x2＋x，
则f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝.
当x≤时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
当当x≥1时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
∴f(x)极大值＝f?＝，
f(x)极小值＝f(1)＝0.故选A.
6．设a考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　C
解析　y′＝(x－a)(3x－a－2b)，由y′＝0得x1＝a，x2＝.
当x＝a时，y取得极大值0，
当x＝时，y取得极小值且极小值为负，故选C.
7．已知函数f(x)＝ex(sin x－cos x)，x∈(0,2 017π)，则函数f(x)的极大值之和为(　　)
A. B.
C. D.
考点　函数某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　B
解析　f′(x)＝2exsin x，令f′(x)＝0得sin x＝0，
∴x＝kπ，k∈Z，
当2kπ0，f(x)单调递增，
当(2k－1)π∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，
∵x∈(0,2 017π)，∴0<(2k＋1)π<2 017π，
∴0≤k<1 008，k∈Z.
∴f(x)的极大值之和为
S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2 015π)
＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2 015π
＝＝，故选B.
二、填空题
8．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
考点　函数某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　y＝－
解析　令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，
得x＝－1，∴y＝－，
∴在极值点处的切线方程为y＝－.
9．若函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
答案　－5
解析　∵函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，
∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x，
令f′(2)＝0，∴(c＋4)＋(2－2)×2×2＝0，∴c＝－4，
∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x.
∴函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为
f′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5.
10．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
答案　－1
解析　函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，
则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1
＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．
由x＝－2是函数f(x)的极值点，得
f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，
所以a＝－1.
所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，
f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．
由ex－1>0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；当－2当x>1时，f′(x)>0.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点．
所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.
11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(－1)＝________.
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
答案　30
解析　由题意知即
解得或
经检验知，当时，f′(x)≥0，不合题意．
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，则f(－1)＝30.
三、解答题
12．设函数f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数函数求极值
解　(1)f′(x)＝－＋.
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为单调递减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为单调递增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3.
13．已知函数f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
解　∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，
令f′(x)＝0，得x＝－m或x＝m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－m)
－m

m

f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)有极大值f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4
＝－，
∴m＝1.
四、探究与拓展
14．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　C
解析　由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，此时xf′(x)>0；排除B，D，
当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)>0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)<0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)>0，
所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.
15．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a≤2，x∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值(点)求参数
解　(1)f(x)＝(x2＋x＋1)ex，
f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex.
当f′(x)>0时，解得x<－2或x>－1，
当f′(x)<0时，解得－2所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；
单调递减区间为(－2，－1)．
(2)令f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex
＝[x2＋(2＋a)x＋2a]ex＝(x＋a)(x＋2)ex＝0，
得x＝－a或x＝－2.
当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，函数无极值，故舍去；
当a<2时，－a>－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－a)
－a
(－a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由表可知，f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，
解得a＝4－3e2<2，
所以存在实数a<2，使f(x)的极大值为3，
此时a＝4－3e2.
1．3.2　函数的极值与导数(二)
学习目标　1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题．
1．极小值点与极小值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，并且f′(a)＝0.
(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
(3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，并且f′(b)＝0.
(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
(3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．用导数求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)；
(3)求出方程f′(x)＝0在定义域内的所有实根，并将定义域分成若干个子区间；
(4)以表格形式检查f′(x)＝0的所有实根两侧的f′(x)是否异号，若异号则是极值点，否则不是极值点.
类型一　由极值的存在性求参数的范围
例1　(1)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则实数a的取值范围为________．
(2)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B.
C．(0,1) D．(0，＋∞)
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　(1)(－∞，1)　(2)B
解析　(1)f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.
(2)∵f(x)＝x(ln x－ax)，
∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，且f(x)有两个极值点，
∴f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，
令f′(x)＝0，则2a＝，
设g(x)＝，则g′(x)＝，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
而g(x)max＝g(1)＝1，
∴只需0<2a<1，即0引申探究
1．若本例(1)中函数的极大值点是－1，求a的值．
解　f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值．
2．若本例(1)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围．
解　由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不等正根，设为x1，x2，则
解得0故a的取值范围是(0,1)．
反思与感悟　函数的极值与极值点的情况应转化为方程f′(x)＝0根的问题．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
解　∵f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－.
当00，当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴函数f(x)在x＝1处取得极大值．
∵函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，
∴解得即实数a的取值范围为.
类型二　利用函数极值解决函数零点问题
例2　(1)函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
答案　
解析　∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝；
当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－.
且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，
结合图象知－(2)已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝?f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
?f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m.
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x



4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.由y＝f(x)的图象与y＝?f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得解得－16即实数m的取值范围为.
反思与感悟　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
跟踪训练2　若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
解　令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，
则g′(x)＝－2x－1＝－(x>－2)．
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(－2,0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
↗
极大值
↘
由上表可知，函数在x＝0处取得极大值，极大值为g(0)＝2ln 2＋b.
结合图象(图略)可知，要使g(x)＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需
即所以－2ln 2故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．
1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的函数是(　　)
①y＝x3；　②y＝x2＋1；
③y＝|x|；　④y＝2x.
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　B
解析　①④为单调函数，无极值．
2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　)
A．1，－3 B．1,3
C．－1,3 D．－1，－3
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
答案　A
解析　∵f′(x)＝3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，
∴∴a＝1，b＝－3.
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)
A．(－1,2) B．(－3,6)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　D
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.
因为函数f(x)既有极大值又有极小值，
所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
4．若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0,1)内有极小值，则a的取值范围为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　(0,1)
解析　f′(x)＝3x2－3a.
当a≤0时，在区间(0,1)上无极值．
当a>0时，令f′(x)>0，解得x>或x<－.
令f′(x)<0，解得－若f(x)在(0,1)内有极小值，则0<<1.解得05．已知函数f(x)＝x3－12x＋4，讨论方程f(x)＝m的解的个数．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
解　由题意知，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)极小值＝f(2)＝－12，f(x)极大值＝f(－2)＝20.
又因为f(x)的定义域是R，画出函数图象(图略)，
所以当m>20或m<－12时，方程f(x)＝m有一个解；
当m＝20或m＝－12时，方程f(x)＝m有两个解；
当－121．研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．
2．事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
一、选择题
1．函数f(x)＝3x2－ln x－x的极值点的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　B
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)；
f′(x)＝6x－－1＝＝；
∴当0时，f′(x)>0；
∴x＝是f(x)的极值点；
即f(x)的极值点个数为1.故选B.
2．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3 C．6 D．9
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
答案　D
解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，
∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，
∴a＋b＝6.
又a>0，b>0，∴a＋b≥2，
∴2≤6，∴ab≤9.
3．若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a的值可能为(　　)
A．4 B．6 C．7 D．8
答案　A
解析　f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
由f′(x)>0，得x<1或x>2，
由f′(x)<0，得1所以函数f(x)在区间(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)．
若函数f(x)恰好有两个不同的零点，则f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4.
4．函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)不存在极值点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　D
解析　f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
若f(x)在(0，＋∞)上不存在极值点，则a≤2x2在(0，＋∞)上恒成立，故a≤0，故选D.
5．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(0,4e2) D．(0，＋∞)
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
答案　B
解析　令g(x)＝x2ex，
则g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)．
令g′(x)＝0，得x＝0或－2，
∴g(x)在(－2,0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增．
∴g(x)极大值＝g(－2)＝，g(x)极小值＝g(0)＝0，
又f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则06．已知函数f(x)＝ln x＋ax2－(a＋1)x＋1在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　C
解析　f(x)的定义域是(0，＋∞)，
∵f(x)＝ln x＋ax2－(a＋1)x＋1，
∴f′(x)＝＋ax－(a＋1)＝，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝1，
若f(x)在x＝1处取得极小值，
则0<<1，解得a>1.
7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定(　　)
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．小于或等于0
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　B
解析　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根．
∴x0＋2＝－<0，即>0.
由题图知，f′(x)<0的解为(x0,2)，∴3a>0，则b>0，
∵f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)>0.
二、填空题
8．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝处有极值，则b的值为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
答案　－2
解析　f′(x)＝2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝处有极值，
∴f′＝2a·＋b＝0，即b＝－2.
9．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　a<0
解析　f(x)＝ax3＋x＋1的导数为f′(x)＝3ax2＋1，
若函数f(x)有极值，则f′(x)＝0有解，
即3ax2＋1＝0有解，∴a<0.
10．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　[1,5)
解析　由题意，得f′(x)＝3x2＋2x－a，
则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，
解得1另外，当a＝1时，函数f(x)＝x3＋x2－x－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
当a＝5时，函数f(x)＝x3＋x2－5x－4在区间(－1,1)没有极值点．
故实数a的取值范围为[1,5)．
11．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于0的极值点，则实数a的取值范围为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　(－∞，－1)
解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，由题意知，ex＋a＝0有大于0的实根．令y1＝ex，y2＝－a，则两曲线的交点在第一象限，如图，结合图形易得－a>1，解得a<－1.
三、解答题
12．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
解　(1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x

－

1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)的极大值是f?＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f?＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即＋a<0或a－1>0，∴a<－或a>1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
13．已知函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.
(1)当a＝－时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
解　(1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)，
当a＝－时，
f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝，x3＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0



2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在区间，(2，＋∞)上是单调递增函数，在区间(－∞，0)，上是单调递减函数．
(2)f′(x)＝x(4x2＋3ax＋4)，显然x＝0不是方程4x2＋3ax＋4＝0的根，为使f(x)仅在x＝0处有极值，必须有4x2＋3ax＋4≥0恒成立，即有Δ＝9a2－64≤0，解得－≤a≤，此时，f(0)＝b是唯一的极值，因此满足条件的a的取值范围是.
四、探究与拓展
14．设函数f(x)＝sin .若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]2A．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
考点　利用导数研究函数的极值
题点　极值存在性问题
答案　C
解析　由正弦函数的图象可知，f(x)的极值点x0满足f(x0)＝±，则＝＋kπ(k∈Z)，
从而得x0＝m(k∈Z)．所以不等式x＋[f(x0)]23，其中k∈Z.由题意，存在整数k使得不等式m2>3成立．当k≠－1且k≠0时，必有2>1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等式即为m2>3，解得m<－2或m>2.
15．已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.
(1)确定a，b的值；
(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；
(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
解　(1)对f(x)求导，得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c，
由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)恒成立，
即2(a－b)·(e2x－e－2x)＝0恒成立，所以a＝b.
又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.
(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么
f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1>0，
故f(x)在R上为增函数．
(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，
而2e2x＋2e－2x≥2＝4，
当x＝0时等号成立．
下面分三种情况进行讨论．
当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，
此时f(x)无极值；
当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，
此时f(x)无极值；
当c>4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有两根t1＝>0，t2＝>0，即f′(x)＝0有两个根，
且x1＝ln t1，x2＝ln t2.
当x1又当x>x2时，f′(x)>0，从而f(x)在x＝x2处取得极小值．
综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．
1．3.3　函数的最大(小)值与导数(一)
学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点　函数的最大(小)值与导数
如图为函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
思考1　观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
答案　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
梳理　(1)函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．函数的最大值不一定是函数的极大值．(　√　)
2．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(　×　)
3．有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(　×　)

类型一　求函数的最值

例1　求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x，
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得
x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
f(x)
－60
↗
极大值
↘
极小值
↗
极大值
↘
－5
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12；
当x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
跟踪训练1　求下列函数的最值．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
解　(1)函数f(x)＝的定义域为R.
f′(x)＝＝，
当f′(x)＝0时，x＝2，
当f′(x)>0时，x<2，
当f′(x)<0时，x>2.
所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
所以f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝.
(2)f′(x)＝＋cos x，x∈[0,2π]，
令f′(x)＝0，得x＝π或x＝π.
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f?＝＋，f?＝π－，
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0，
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.

例2　已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求含参数函数的最值
解　因为f(x)＝ex－ax2－bx－1，
所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，
又g′(x)＝ex－2a，
因为x∈[0,1]，1≤ex≤e，
所以：
(1)若a≤，则2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min＝g(0)＝1－b.
(2)若于是当0当ln(2a)0，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，
在区间[ln(2a)，1]上单调递增，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
(3)若a≥，则2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，
g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为1－b；
当当a≥时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为e－2a－b.
引申探究　
1．若a＝1，b＝－2，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．
解　因为a＝1，b＝－2，
g(x)＝f′(x)＝ex－2x＋2，
又g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，
因为x∈[0,1]，
解得x＝ln 2，已知当x＝ln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g(x)min＝g(ln 2)＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.
2．当b＝0时，若函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为0，求a的值．
解　当b＝0时，因为f(x)＝ex－ax2－1，
所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax，
又g′(x)＝ex－2a，因为x∈[0,1]，1≤ex≤e，
所以：
(1)若a≤，则2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，
g(x)min＝g(0)＝1，不符合题意．
(2)若于是当0当ln(2a)0，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，
在区间[ln(2a)，1]上单调递增，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)＝0，
解得a＝不符合题意，舍去．
(3)若a≥，则2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，
g(x)min＝g(1)＝e－2a＝0，解得a＝.
反思与感悟　对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求含参数函数的最值
解　f′(x)＝3x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①当≤0，即a≤0时，
f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
②当≥2，即a≥3时，
f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
③当0<<2，即0从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
类型二　由函数的最值求参数
例3　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思与感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3　已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
解　∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
↗
28
↘
－4
↗
当x＝－3时，取极大值28；
当x＝1时，取极小值－4.
而h(2)＝3
1．如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则(　　)
A．函数f(x)没有最大值也没有最小值
B．函数f(x)有最大值，没有最小值
C．函数f(x)没有最大值，有最小值
D．函数f(x)有最大值，也有最小值
考点　导数在最值问题中的应用
题点　最值与极值的综合应用
答案　C
解析　由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，
即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值．
2．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．1，－1 B．1，－17
C．3，－17 D．9，－19
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　C
解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1?[－3,0]．
所以最大值为3，最小值为－17.
3．函数f(x)＝的最大值为(　　)
A．e－1 B．e C．e2 D.
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　A
解析　令f′(x)＝＝＝0，
解得x＝e.当x>e时，f′(x)<0；当00.
f(x)极大值＝f(e)＝，且函数在定义域内只有一个极值，所以f(x)max＝.
4．函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)在区间[－2,2]上有最大值3，则在区间[－2,2]上的最小值为________．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　－37
解析　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由题意知，在区间[－2,2]上，x＝0是f(x)的最大值点，
∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.
∵f(－2)＝－16－24＋3＝－37，f(2)＝16－24＋3＝－5，
∴f(x)min＝－37.
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　最值与极值的综合应用
解　(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有即
化简得解得a＝1，b＝－12.
(2)令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值，f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值，f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4.
因此，f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.

1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.
一、选择题
1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)(　　)
A．等于0 B．小于0
C．等于1 D．不确定
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求导数
答案　A
解析　因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.
2．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)(　　)
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值
D．既无最大值，也无最小值
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　最值存在性问题
答案　D
解析　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝1.
又x∈(－1,1)且1?(－1,1)，
∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值，故选D.
3．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为(　　)
A．2 B．3
C. D．2＋
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　B
解析　由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，
且当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,5]时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
4．若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a等于(　　)
A．2 B．1
C. D．0
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　A
解析　∵f(x)在x＝处有最值，
∴x＝是函数f(x)的极值点．
又∵f′(x)＝acos x＋cos 3x，
∴f′＝acos ＋cos π＝0，解得a＝2.
5．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　A
解析　令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．
6．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.或－
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　C
解析　由题意知a<2，令f′(x)＝－2x－2＝0，
则x＝－1.
当a≤－1时，最大值为4，不符合题意．
当－1f(a)最大，－a2－2a＋3＝，
解得a＝－或a＝－(舍去)．
所以a＝－.
7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)
A．15 B．－15
C．10 D．－13
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求含参数函数的最值
答案　D
解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3，
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在区间[－1,0)上单调递减，在区间(0,1]上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为直线x＝1，
∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
二、填空题
8．函数f(x)＝(x∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　最值与极值的综合应用
答案　2　－2
解析　f′(x)＝
＝＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
由f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝，
∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
9．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是________．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　15x－3y－2＝0
解析　∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切线方程为y－＝5(x－1)．
即15x－3y－2＝0.
10．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为________．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　
解析　f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x，
当0≤x≤时，f′(x)≥0，
所以f(x)在上是增函数，
故f(x)的最大值为f＝，f(x)的最小值为f(0)＝.
11．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为________．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　1
解析　由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f?＝－ln a－1＝－1，
解得a＝1.
12．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是__________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　最值与零点问题
答案　(－∞，2ln 2－2]
解析　由题意知ex－2x＋a＝0有根，
即a＝2x－ex，
令g(x)＝2x－ex，
则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，解得x＝ln 2.
而g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，
在(ln 2，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝2ln 2－eln 2＝2ln 2－2，
∴a≤2ln 2－2.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值．
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
解　(1)f′(x)＝－2bx.
由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
得即解得
(2)由(1)，得f(x)＝ln x－x2，定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－x＝.
令f′(x)>0，得01，
所以f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝x3－x2－x＋m在[0,1]上的最小值为，则实数m的值为________．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　2
解析　由f(x)＝x3－x2－x＋m，
可得f′(x)＝x2－2x－1，
令x2－2x－1＝0，可得x＝1±.
当x∈(1－，1＋)时，f′(x)<0，
即函数f(x)在(1－，1＋)上是减函数，
即f(x)在[0,1]上为减函数，故f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)，所以－1－1＋m＝，解得m＝2.
15．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
解　函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当10，f(x)单调递增，
所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)≤0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾；
综上所述，a的值为.
1．3.3　函数的最大(小)值与导数(二)
学习目标　1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．
知识点　用导数求函数f(x)最值的基本方法
(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；
(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；
(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；
(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；
(5)求区间端点的函数值；
(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.
类型一　由极值与最值关系求参数范围
例1　若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，) B．(－1,4)
C．(－1,2] D．(－1,2)
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　最值存在性问题
答案　C
解析　由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
－2
↗
2
↘
由此得a2－12<－1又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，
且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.
综上，－1反思与感悟　函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．
跟踪训练1　若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D.
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　最值存在性问题
答案　D
解析　由题意得，函数f(x)＝x3－6bx＋3b的导数f′(x)＝3x2－6b在(0,1)内有零点，
且f′(0)<0，f′(1)>0，即－6b<0，且(3－6b)>0，
∴0类型二　与最值有关的恒成立问题
例2　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围
解　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′＝－a＋b＝0，
解得a＝－，b＝－2，
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x

－

1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)；单调递减区间为.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
当x＝－时，f?＝＋c为极大值，
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
引申探究　
若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)解　由典例解析知当x＝1时，f(1)＝c－为极小值，
又f(－1)＝＋c>c－，
所以f(1)＝c－为最小值．
因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)所以只需c2>f(1)＝c－，即2c2－2c＋3>0，
解得c∈R.故实数c的取值范围为R.
反思与感悟　分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝2xln x，g(x)＝－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围
答案　(－∞，4]
解析　由2xln x≥－x2＋ax－3，
得a≤2ln x＋x＋.
设h(x)＝2ln x＋＋x(x>0)．
则h′(x)＝，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
∴h(x)min＝h(1)＝4.
∴a≤4.
(2)设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．
①求L的方程；
②证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　恒成立中的证明问题
①解　设f(x)＝，
则f′(x)＝，
所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.
②证明　设g(x)＝x－1－f(x)，除切点外，曲线C在直线L的下方等价于?x>0且x≠1，g(x)>0.
g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.
当0所以g′(x)<0，
故g(x)在(0,1)上单调递减；
当x>1时，x2－1>0，ln x>0，
所以g′(x)>0，
故g(x)在(1，＋∞)上单调递增；
所以，?x>0且x≠1，g(x)>g(1)＝0.
所以除切点外，曲线C在直线L的下方.
1．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是(　　)
A．0 B. C. D.
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　B
解析　f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，
∴当0≤x≤1时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
当1≤x≤4时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝.故选B.
2．函数f(x)＝xln x的最小值为(　　)
A．e2 B．－e
C．－e－1 D．－
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　C
解析　∵f(x)＝xln x，定义域是(0，＋∞)，
∴f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)>0，解得x>，
令f′(x)<0，解得0∴函数在上单调递减，在上单调递增，
故当x＝时，函数取最小值－，故选C.
3．已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围
答案　A
解析　f′(x)＝ex－1，
令f′(x)>0，解得x>0，
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)min＝f(0)＝1＋a，
若f(x)>0恒成立，
则1＋a>0，解得a>－1，故选A.
4．已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，x1，x2是区间[－1,1]上任意两个值，M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，则M的最小值是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围
答案　4
解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
当－1≤x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当0所以当x＝0时，f(x)取得极大值，也为最大值，f(0)＝2，
又f(－1)＝－2，f(1)＝0，
所以f(x)的最小值为－2，
对[－1,1]上任意x1，x2，
|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝4，
所以M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，等价于M≥4，即M的最小值为4.
5．已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．
(1)试确定a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调区间；
(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求实数c的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围
解　(1)由f(x)在x＝1处取得极值－3－c知f(1)＝b－c＝－3－c，得b＝－3.
又f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3
＝x3(4aln x＋a＋4b)，
由f′(1)＝0，得a＋4b＝0，a＝－4b＝12.
(2)由(1)知f′(x)＝48x3ln x(x>0)．
令f′(x)＝0，得x＝1.
当0当x>1时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
因此，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(3)由(2)知f(1)＝－3－c既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2，即2c2－c－3≥0.
从而(2c－3)(c＋1)≥0，解得c≥或c≤－1.
故实数c的取值范围为(－∞，－1]∪.
1．若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内．
2．已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)在[－1,1]上的最大值、最小值分别为(　　)
A．0，－4 B.，－4
C.，0 D．2,0
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　B
解析　由题意得
即得
则f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，
令f′(x)＝0得x＝1或x＝，
由f?＝，f(－1)＝－4，f(1)＝0，
∴f(x)max＝，f(x)min＝－4.
2．已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为(　　)
A．0 B.
C．－2 D．2
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求含参数函数的最值
答案　A
解析　因为a，b为正实数，
所以f(x)＝ax3＋bx＋2是增函数，
函数f(x)＝ax3＋bx＋2在[0,1]上的最大值f(1)＝a＋b＋2＝4，a＋b＝2.
在[－1,0]上的最小值为f(－1)＝－(a＋b)＋2＝0.
3．若关于x的不等式x3－3x＋3＋a≤0恒成立，其中－2≤x≤3，则实数a的最大值为(　　)
A．1 B．－1
C．－5 D．－21
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　D
解析　若关于x的不等式x3－3x＋3＋a≤0恒成立，
则a≤－x3＋3x－3在[－2,3]上恒成立，
令f(x)＝－x3＋3x－3，x∈[－2,3]，
则f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，
令f′(x)>0，解得－1令f′(x)<0，解得x>1或x<－1，
故f(x)在[－2，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减，
而f(－2)＝－1，f(－1)＝－5，f(1)＝－1，f(3)＝－21，
故a≤－21，故a的最大值是－21.
4．当x∈(0,3)时，关于x的不等式ex－x－2mx>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C．(－∞，e＋1) D．(e＋1，＋∞)
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　A
解析　当x∈(0,3)时，关于x的不等式ex－x－2mx>0恒成立，
即为2m＋1<在(0,3)上的最小值，
令f(x)＝，则f′(x)＝，
当0当10，f(x)单调递增．
可得f(x)在x＝1处取得最小值e，
即有2m＋15．若函数f(x)＝－x3－3x2＋1在[a，＋∞)上的最大值为1，则a的取值范围是(　　)
A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)
C．(－3,0) D．[－3,0]
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　D
解析　∵f(x)＝－x3－3x2＋1，
∴f′(x)＝－3x2－6x，
令f′(x)＝－3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝－2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
由f(x)＝1，得－x3－3x2＋1＝1，
解得x＝0或x＝－3.
当x>0时，f(x)当x<－3时，f(x)>f(－3)＝1，
又f(x)＝－x3－3x2＋1在[a，＋∞)上的最大值为1，
∴a的取值范围为[－3,0]．
6．关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的命题：
①f(x)>0的解集是{x|0②f(－)是极小值，f()是极大值；
③f(x)没有最小值，也没有最大值．
其中正确的命题是(　　)
A．①② B．①②③
C．②③ D．①③
考点　导数在最值问题中的应用
题点　最值与极值的综合应用
答案　A
解析　①由于ex>0，所以f(x)>0，
即需2x－x2>0解得{x|0②因为f(x)＝(2x－x2)ex的定义域是R，
f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)

(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以f(－)是极小值，f()是极大值，②正确．
③由图象(图略)知f()为最大值，无最小值，③错误．
7．若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－，－1) B．(－，－1]
C．(－，－2) D．(－，－2]
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　最值存在性问题
答案　D
解析　由题意知f(x)＝x3－3x，
所以f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－1故x＝－1是函数f(x)的极大值点，
f(－1)＝－1＋3＝2，令x3－3x＝2，解得x＝2，
由题意得
解得－二、填空题
8．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　最值存在性问题
答案　[－4，－2]
解析　f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题意得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
9．已知e是自然对数的底数，若函数f(x)＝ex的图象始终在函数g(x)＝x－a图象的上方，则实数a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　(－1，＋∞)
解析　由题意知f(x)－g(x)＝ex－x＋a>0，对一切实数x恒成立，
令h(x)＝ex－x＋a，则h(x)min>0，
∵h′(x)＝ex－1，
令h′(x)＝0得x＝0，
当x<0时，h′(x)<0，则h(x)在(－∞，0)上单调递减，
当x>0时，h′(x)>0，则h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴当x＝0时，h(x)取得极小值，即最小值为h(0)＝1＋a，
∴1＋a>0，即a>－1.
10．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1，且对任意x∈(0,1]，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　[4，＋∞)
解析　当x∈(0,1]时，不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥.
设g(x)＝，x∈(0,1]，
则g′(x)＝＝－.
令g′(x)＝0，得x＝.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x



g′(x)
＋
0
－
g(x)
↗
极大值
↘
因此g(x)的最大值等于极大值g＝4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝ax－ln x，g(x)＝ex－ax，其中a为正实数，若f(x)在(1，＋∞)上无最小值，且g(x)在(1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　最值存在性问题
答案　[1，e]
解析　∵f(x)＝ax－ln x(x>0)，
∴f′(x)＝a－＝，
若f(x)在(1，＋∞)上无最小值，
则f(x)在(1，＋∞)上单调，
∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
或f′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，
∴a≥或a≤，而函数y＝在(1，＋∞)上单调递减，
∴当x＝1时，函数y取得最大值1，
∴a≥1或a≤0，而a为正实数，故a≥1，①
又∵g(x)＝ex－ax，∴g′(x)＝ex－a，
∵函数g(x)＝ex－ax在区间(1，＋∞)上单调递增，
∴g′(x)＝ex－a≥0在区间(1，＋∞)上恒成立，
∴a≤(ex)min在区间(1，＋∞)上恒成立．
而ex>e，∴a≤e.②
综合①②，a∈[1，e]．
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求实数c的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解　(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴∴
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
令f′(x)＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
而f(－1)＝c＋5，f(3)＝c－27，f(－2)＝c－2，
f(6)＝c＋54，
∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只需c＋54<2|c|.
当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.
故实数c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝，若当x∈[0,2]时，f(x)≥恒成立，求a的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解　f′(x)＝
＝.
当a＝0时，令f′(x)＝0，得x＝1.
在(0,1)上，有f′(x)>0，函数f(x)单调递增；在(1,2)上，有f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
又f(0)＝0，f(2)＝，故函数f(x)的最小值为f(0)＝0，结论不成立．
当a≠0时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝1－.
若a<0，则f(0)＝a<0，结论不成立．
若0在(0,1)上，有f′(x)>0，函数f(x)单调递增；在(1,2)上，有f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
只需得到
所以≤a≤1.
若a>1，则0<1－<1，函数在x＝1－处有极小值，
只需得到
因为2a－1>1，<1，所以a>1.
综上所述，a的取值范围是a≥.
四、探究与拓展
14．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　)
A．1 B. C. D.
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　D
解析　由题意画出函数图象如图所示，
由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．
y′＝2t－＝＝.
当0当t>时，y′>0，可知y在上单调递增．
故当t＝时，|MN|有极小值也是最小值．
15．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　已知最值求参数
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝处取得极大值且为最大值，最大值为f?＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f?>2a－2等价于ln a＋a－1<0.
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.
于是，当01时，g(a)>0.
因此，a的取值范围是(0,1)．
§1.4　生活中的优化问题举例
学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
知识点　生活中的优化问题
(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
(3)解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
1．生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(　√　)
2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(　√　)
类型一　几何中的最值问题
例1　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求几何体体积的最值问题
解　∵V(x)＝(x)2×(60－2x)×
＝x2×(60－2x)＝－2x3＋60x2(0∴V′(x)＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
∵当00；
当20∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．
∴底面边长为x＝20(cm)，
高为(30－x)＝10(cm)，
即高与底面边长的比值为.
引申探究
本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
解　∵AE＝x，∴HE＝x.
∵EF＝60－2x，
∴EG＝EF＝(60－2x)＝(30－x)．
∴S侧＝4×HE×EG＝4×x×(30－x)
＝8x(30－x)＝－8x2＋240x
＝－8(x－15)2＋8×152.
∴当x＝15时，S侧最大为1 800 cm2.
反思与感悟　面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
跟踪训练1　(1)已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求几何体体积的最值问题
(2)将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求面积的最值问题
答案　(1)　(2)
解析　(1)设圆柱的底面半径为r，
则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.
∴h＝，
又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，
V′(r)＝，
令V′(r)＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，
∵V′(r)只有一个极值点，
∴当h＝2r时圆柱的容积最大．
又r＝，∴h＝2＝.
即当圆柱的容积V最大时，
圆柱的高h为.
(2)设弯成圆的一段铁丝长为x(0设正方形与圆形的面积之和为S，
则正方形的边长a＝，圆的半径r＝.
故S＝π2＋2(0因此S′＝－＋＝－，
令S′＝0，则x＝.
由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，则问题中面积之和的最小值显然存在，故当x＝ cm时，面积之和最小．
类型二　实际生活中的最值问题

例2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　(1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练2　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　(1)当0W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；
当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.
所以W＝
(2)当0由W′＝8.1－＝0，得x＝9，
当x∈(0,9)时，W′>0，当x∈(9,10)时，W′<0，
所以当x＝9时，W取得最大值，
且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6，
当x>10时，W＝98－
≤98－2＝38，
当且仅当＝2.7 x，即x＝时，Wmax＝38，
综上可得，当x＝9时，W取得最大值38.6.
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．

例3　某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
解　(1)设需新建n个桥墩，
则(n＋1)x＝m，即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋m
＝(－512)．
令f′(x)＝0，得＝512，
所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)上为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
反思与感悟　(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练3　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
解　(1)设隔热层厚度为x cm，
由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，
故当x＝5时，f(x)取到最小值，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
答　当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A．8 B.
C．－1 D．－8
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解生活中的其他最值问题
答案　C
解析　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为(　　)
A. cm B. cm
C. cm D. cm
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求几何体体积的最值问题
答案　B
解析　设圆锥的高为h cm,0∴V圆锥＝π(202－h2)×h＝π(400－h2)h
∴V′＝π(400－3h2)，令V′(h)＝0得h＝，
当h∈时，V′>0，当h∈时，V′<0，
故当h＝时，体积最大．
3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　D
解析　毛利润为(P－20)Q，
即f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11 700
＝－3(P＋130)(P－30)．
令f′(P)＝0，
得P＝30或P＝－130(舍去)．
又P∈[20，＋∞)，
故f(P)max＝f(P)极大值，
故当P＝30时，毛利润最大，
所以f(P)max＝f(30)＝23 000(元)．
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
答案　160
解析　设底面长为x，由题意得底面宽为.
设总造价为y，则y＝20x×＋10×1×，
即y＝20x＋＋80，
y′＝20－，令y′＝0，得x＝2.
∴当x＝2时，ymin＝160(元)．
5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　(1)设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2.
若记商品一个星期的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,21]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
故当x＝12时，f(x)取得极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大．
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意
(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；
(2)与实际问题相联系；
(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
一、选择题
1若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时底面边长为(　　)
A. B.
C. D．2
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求面积的最值问题
答案　C
解析　设底面边长为x，
则表面积S＝x2＋V(x>0)，
∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝，可判断当x＝时，S取得最小值．
2．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)
A.3π B.3π
C.3π D.3π
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求几何体体积的最值问题
答案　A
解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，∴h＝.
∴V＝πr2h＝πr2－2πr3，
则V′＝lπr－6πr2.
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
3．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润P(x)最大时，每年生产产品的单位数是(　　)
A．150 B．200
C．250 D．300
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　D
解析　由题意得，总利润
P(x)＝
当0≤x≤390时，令P′(x)＝0，得x＝300，
又当x>390时，P(x)＝70 090－100x为减函数，
所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大，故选D.
4．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为(　　)
A．4 B．6
C．4.5 D．8
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
答案　A
解析　设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝.
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，
∴S′(x)＝2x－.
令S′(x)＝0，解得x＝8，∴当x＝8时，S(x)取得最小值．
∴h＝＝4.
5．某超市中秋前30天，月饼销售总量f(t)与时间t(0A．14个 B．15个
C．16个 D．17个
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解生活中的其他最值问题
答案　D
解析　记g(t)＝＝t＋＋10，
令g′(t)＝1－＝0，得t＝2(负值舍去)，
则g(t)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2，30]上单调递增，
由于t∈Z，且g(3)＝g(4)＝17，∴g(t)min＝17.
6．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(　　)
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　B
解析　依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．
所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0则y′＝0.097 2kx－3kx2.
令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当00；
当0.032 4所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
7．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与底面半径的比为(　　)
A．2∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．4∶1
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
答案　A
解析　设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，
则V＝πr2h，即h＝.
由题意知，当表面积S最小时所用材料最省．
S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr＝2πr2＋.
令S′＝4πr－＝0，得r＝，
当r＝时，h＝＝.
则h∶r＝2∶1时，表面积S最小．
二、填空题
8.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求面积的最值问题
答案　
解析　设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
令f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴当x∈时，f′(x)>0，f(x)是单调递增的，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是单调递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
9．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
答案　80
解析　当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，依题意得，
y＝·
＝x2＋－(0则y′＝－＝(0令y′＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，y′<0，该函数递减；当x∈(80,120]时，y′>0，该函数递增，所以当x＝80时，y取得最小值．
10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
答案　20
解析　设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，
∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，
令f′(x)＝4－＝0，
解得x＝20，x＝－20(舍去)，
x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．
11．某厂生产某种产品x件的总成本为C(x)＝1 200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为____件时总利润最大．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　25
解析　由题意知502＝，解得k＝25×104.
∴产品的单价P＝＝.
∴总利润L(x)＝x－1 200－x3
＝500－1 200－x3，
L′(x)＝250x－－x2，
令L′(x)＝0，得x＝25，
∴当x＝25时，总利润最大．
12.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________ m时，帐篷的体积最大．
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求几何体体积的最值问题
答案　2
解析　设OO1＝x，则1由题设可得正六棱锥底面边长为
＝.
于是底面正六边形的面积为
6··()2＝(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V(x)＝(8＋2x－x2)
＝(16＋12x－x3)．
则V′(x)＝(12－3x2)．
令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合题意，舍去)或x＝2.
当10，V(x)为增函数；
当2综上，当x＝2时，V(x)最大．
三、解答题
13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
解　(1)因为容器的体积为立方米，
所以＋πr2l＝π，解得l＝－r，
所以圆柱的侧面积为2πrl＝2πr＝－，
两端两个半球的表面积之和为4πr2，
所以y＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2.
又l＝－r>0，即r<，
所以定义域为(0, )．
(2)因为y′＝－＋16πr＝，
令y′>0得2所以当r＝2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l＝.
四、探究与拓展
14．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下：
投入资金
甲产品利润
乙产品利润
4
1
2.5
该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是(　　)
A. B.
C. D.
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　B
解析　∵甲产品的利润与投入资金成正比，
∴设y1＝k1x，当投入4万时，利润为1万，
即4k1＝1，得k1＝，即y1＝.
∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，
∴设y2＝k2，当投入4万时，利润为2.5万，
即k2＝，得2k2＝，即k2＝，即y2＝.
设乙产品投入资金为x，
则甲产品投入资金为10－x,0≤x≤10，
则销售甲、乙两种产品所得利润为
y＝(10－x)＋，
则y′＝－＋＝，
由y′>0，得5－2>0，即0≤x<，
由y′<0，得5－2<0，即即当x＝时，函数取得极大值同时也是最大值，此时
y＝＋·＝＋＝.
15．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，
每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为
f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y
＝(3－0.9x)×3 240×
＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)
＝972(9x－5)(x－3)，
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数．
所以当x＝时，f(x)取极大值，f?＝20 000.
因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．
§1.5　定积分的概念
1．5.1　曲边梯形的面积
1．5.2　汽车行驶的路程
学习目标　1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
知识点一　曲边梯形的面积
思考1　如何计算下列两图形的面积？

答案　①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．
思考2　如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答案　已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
梳理　曲边梯形的概念及面积求法
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．

(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．
知识点二　求变速直线运动的(位移)路程
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
1．求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．(　×　)
2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，只能用2近似代替．(　×　)
3．利用求和符号计算(i＋1)＝40.(　√　)
类型一　求曲边梯形的面积
例1　求由直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积．

考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲线梯形的面积问题
解　令f(x)＝x2＋1.
(1)分割
将区间[0,2]n等分，分点依次为
x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.
第i个区间为(i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝?·Δx
＝·＝2＋2
＝(12＋22＋…＋n2)＋2
＝·＋2
＝＋2.
(3)取极限
S＝Sn＝ ＝，
即所求曲边梯形的面积为.
反思与感悟　求曲边梯形的面积
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．
(3)关键：近似代替．
(4)结果：分割越细，面积越精确．
(5)求和时可用一些常见的求和公式，如
1＋2＋3＋…＋n＝，
12＋22＋32＋…＋n2＝，
13＋23＋33＋…＋n3＝2.
跟踪训练1　求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
解　(1)分割
将区间[0,1]等分为n个小区间：
，，，…，，…，，其中i＝1,2，…，n，每个小区间的长度为
Δx＝－＝.
过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
在区间(i＝1,2，…，n)上，以处的函数值2为高，小区间的长度Δx＝为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即
ΔSi≈2·.
(3)求和
Si≈2·＝0·＋2·＋2·＋…＋2·＝[12＋22＋…＋(n－1)2]＝－＋.
(4)取极限
曲边梯形的面积S＝ ＝.
类型二　求变速运动的路程
例2　当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
考点　变速运动的路程问题
题点　变速运动的路程问题
解　将区间[1,2]等分成n个小区间，
第i个小区间为.
所以Δsi＝v·.
sn＝v＝ 
＝ 
＝
＝3＋＋.
s＝ sn＝ ＝.
所以这段时间行驶的路程为 km.
引申探究　
本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？
解　将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为.
所以Δsi＝v·.
sn＝v
＝3＋[12＋22＋…＋(n－1)2＋n2]＋[2＋4＋6＋…＋2(n－1)＋2n]
＝3＋＋.
s＝ sn＝ ＝.
所以这段时间行驶的路程为 km.
所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．
反思与感悟　求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．
跟踪训练2　一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)．
考点　变速运动的路程问题
题点　变速运动的路程问题
解　(1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n－1个点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，Δt＝.则汽车在时间段，，上行驶的路程分别记为：Δs1，Δs2，…，Δsi，…，Δsn，有sn＝si.
(2)近似代替：取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Δsi≈v·Δt＝·
＝－·＋(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝si＝
＝－8·＋10.
(4)取极限：s＝sn
＝ ＝.
1．把区间[1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为(　　)
A. B. C. D.
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　B
解析　区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.
2．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于(　　)
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　C
3．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为(　　)
A. B. C．1 D.
考点　变速运动的路程问题
题点　变速运动的路程问题
答案　B
4.＝________.
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求和符号的表示
答案　
解析　＝(1＋2＋…＋n)
＝·＝.
5．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　1.02
解析　将区间5等分所得的小区间为，，，，，
于是所求平面图形的面积近似等于＝×＝1.02.
求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
(3)求和：(ξi)·；
(4)取极限：s＝ (ξi)·.
“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．
一、选择题
1．和式(xi＋1)可表示为(　　)
A．(x1＋1)＋(x5＋1)
B．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋1
C．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5
D．(x1＋1)(x2＋1)…(x5＋1)
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求和符号的表示
答案　C
解析　(xi＋1)＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x4＋1)＋(x5＋1)
＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5.
2．在求由x＝a，x＝b(a①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．
A．1 B．2
C．3 D．4
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　A
解析　n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.
∴①正确，②③④错误．
3．在求由直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间是(　　)
A. B.
C. D.
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　C
解析　将区间[0,2]等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为.
4．在求由曲线y＝与直线x＝1，x＝3，y＝0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i个小曲边梯形的面积ΔSi约等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　A
解析　每个小区间的长度为，
第i个小曲边梯形的高为，
∴第i个小曲边梯形的面积为×＝.
5．在等分区间的情况下f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是(　　)
A.  
B.  
C.  
D.  
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　B
解析　∵Δx＝＝，∴和式为 .
故选B.
6．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是(　　)
A. B.
C. D.
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　D
解析　将区间[0,1]三等分为，，，各小矩形的面积和为S＝03×＋3×＋3×＝.
7．设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关
B．与f(x)和区间[a，b]的分点的个数n有关，与ξi的取法无关
C．与f(x)和区间[a，b]的分点的个数n，ξi的取法都有关
D．与f(x)和区间[a，b]的ξi的取法有关，与分点的个数n无关
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　C
解析　用分点a＝x08. 的含义可以是(　　)
A．求由直线x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积
B．求由直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x围成的图形的面积
C．求由直线x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积
D．求由直线x＝0，x＝5，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　C
解析　将区间[0,5]n等分，则每一区间的长度为，各区间右端点对应函数值为y＝，
因此可以表示由直线x＝0，x＝5，y＝0和y＝3x围成的图形的面积的近似值．
9．若直线y＝2x＋1与直线x＝0，x＝m，y＝0围成图形的面积为6，则正数m等于(　　)
A．1 B．3
C．2 D．4
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　由曲边梯形的面积求参数
答案　C
解析　将区间[0，m]n等分，每个区间长为，区间左端点函数值y＝2·＋1＝，
作和Sn＝·
＝m＋·(1＋2＋3＋…＋n)
＝m＋·
＝m＋，
∵S＝ ＝6，
∴m＝2.故选C.
二、填空题
10．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　　
解析　在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为＝，第5个小区间为.
11．已知某物体运动的速度v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
考点　变速运动的路程问题
题点　变速运动的路程问题
答案　55
解析　∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
12．当n很大时，下列可以代替函数f(x)＝x2在区间上的值有________个．
①f?；②f?；③f?；④f?.
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　3
解析　因为当n很大时，区间上的任意的取值都可以代替，又因为?，∈，∈，－∈，故能代替的有②③④.
三、解答题
13．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2＋2x围成的图形的面积．
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
解　将区间[0,1]n等分，每个区间长度为，区间右端点函数值y＝2＋2·＝＋.
作和Sn＝＝
＝2＋＝·n(n＋1)(2n＋1)＋·＝＋＝，
∴所求面积S＝ 
＝ ＝.
四、探究与拓展
14．设函数f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积．已知函数y＝sin nx在(n∈N*)上的面积为，则y＝sin 3x在上的面积为________．
考点　求曲边梯形的面积问题
题点　求曲边梯形的面积问题
答案　
解析　由于y＝sin nx在(n∈N*)上的面积为，
则y＝sin 3x在上的面积为.
而y＝sin 3x的周期为，
所以y＝sin 3x在上的面积为×2＝.
15．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
考点　变速运动的路程问题
题点　变速运动的路程问题
解　(1)分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，
则显然有s＝si.
(2)近似代替
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，用小矩形的面积Δs′i近似地代替Δsi，于是
Δsi≈Δs′i＝v·Δt＝·
＝＋(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
sn＝s′i＝＝(12＋22＋…＋n2)＋4
＝·＋4＝8＋4.
(4)取极限
s＝ sn＝ ＝8＋4＝12.
所以这段时间内行驶的路程为12 km.
1.5.3　定积分的概念
学习目标　1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．
知识点一　定积分的概念
思考　分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
答案　两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．
梳理　一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0知识点二　定积分的几何意义
思考1　根据定积分的定义求得?(x＋1)dx的值是多少？
答案　?(x＋1)dx＝.
思考2　?(x＋1)dx的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形面积有何关系？
答案　相等．
梳理　从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分?f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分?f(x)dx的几何意义．
注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，?f(x)dx<0，－?f(x)dx等于曲边梯形的面积．
知识点三　定积分的性质
思考　你能根据定积分的几何意义解释?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a答案　直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
梳理　(1)?kf(x)dx＝k?f(x)dx(k为常数)．
(2)?[f1(x)±f2(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx.
(3)?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a1．?f(x)dx＝?f(t)dt.(　√　)
2．?f(x)dx的值一定是一个正数．(　×　)
3．?dx＝?x3dx＋?xdx.(　√　)
类型一　利用定积分的定义求定积分
例1　利用定积分的定义，计算?(3x＋2)dx的值．
考点　定积分的概念
题点　定积分的概念
解　令f(x)＝3x＋2.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则
Sn＝?·Δx
＝·
＝
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5
＝×＋5＝－.
(3)取极限
?(3x＋2)dx＝ Sn＝ ＝.
反思与感悟　利用定义求定积分的步骤
跟踪训练1　利用定积分的定义计算?(x＋2)dx.
考点　定积分的概念
题点　定积分的概念
解　令f(x)＝x＋2.
将区间[2,3]平均分为n个小区间，每个小区间的长度为Δxi＝，
[xi－1，xi]＝，i＝1,2，…，n.
取ξi＝xi＝2＋，则f(ξi)＝2＋＋2＝4＋.
则f(ξi)Δxi＝ ·
＝ ＝n·＋
＝4＋.
∴?(x＋2)dx＝ ＝.
类型二　利用定积分的性质求定积分
例2　已知?x3dx＝，?x3dx＝，?x2dx＝，?x2dx＝，求下列各式的值．
(1)?(3x3)dx；
(2)?(6x2)dx；
(3)?(3x2－2x3)dx.
考点　定积分性质的应用
题点　定积分性质的应用
解　(1)?(3x3)dx＝3?x3dx
＝3
＝3×＝12.
(2)?(6x2)dx＝6?x2dx
＝6
＝6×＝126.
(3)?(3x2－2x3)dx＝?(3x2)dx－?(2x3)dx
＝3?x2dx－2?x3dx＝3×－2×＝－.
反思与感悟　若函数f(x)的奇偶性已经明确，且f(x)在[－a，a]上连续，则
(1)若函数f(x)为奇函数，则?f(x)dx＝0.
(2)若函数f(x)为偶函数，则?f(x)dx＝2?f(x)dx.
跟踪训练2　若f(x)＝
且?(2x－1)dx＝－2，?e－xdx＝1－e－1，求?f(x)dx.
考点　定积分性质的应用
题点　定积分性质的应用
解　?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx
＝?(2x－1)dx＋?e－xdx
＝－2＋1－e－1＝－(e－1＋1)．
类型三　利用定积分的几何意义求定积分
例3　用定积分的几何意义求下列各式的值．
(1)?dx；
(2).
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
解　(1)由y＝得x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图所示．
?dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和，
S弓形CED＝××22－×2×＝－，
S矩形ABCD＝AB·BC＝2，
∴?dx＝2＋－＝＋.
(2)∵函数y＝sin x在x∈上是奇函数，
∴＝0.
跟踪训练3　求定积分：?(－x)dx.
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
解　?dx表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的，即?dx＝×π×22＝π.
?xdx表示底和高都为2的直角三角形的面积，
即?xdx＝×22＝2.
∴原式＝?dx－?xdx
＝π－2.
1．下列结论中成立的个数是(　　)
①?x3dx＝·；②?x3dx＝·；
③?x3dx＝ ·.
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　定积分的概念
题点　定积分的概念
答案　C
解析　②③成立．
2．关于定积分a＝?(－2)dx的叙述正确的是(　　)
A．被积函数为y＝2，a＝6
B．被积函数为y＝－2，a＝6
C．被积函数为y＝－2，a＝－6
D．被积函数为y＝2，a＝－6
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分的几何意义
答案　C
解析　由定积分的概念可知，
?(－2)dx中的被积函数为y＝－2，
由定积分的几何意义知，?(－2)dx等于由直线x＝－1，x＝2，y＝0，y＝－2所围成的图形的面积的相反数，
∴?(－2)dx＝－2×3＝－6.
3．已知定积分?f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则?f(x)dx等于(　　)
A．0 B．16
C．12 D．8
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分性质
答案　B
解析　?f(x)dx＝2?f(x)dx＝16.
4．由函数y＝－x的图象，直线x＝1，x＝0，y＝0所围成的图形的面积可表示为(　　)
A．?(－x)dx B．?|－x|dx
C．?xdx D．－?xdx
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分的几何意义
答案　B
解析　由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为
S＝?|－x|dx.
5．计算?(－x3)dx.
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
解　如图所示，
由定积分的几何意义得?dx＝＝，
?x3dx＝0，
由定积分性质得?(－x3)dx＝?dx－?x3dx＝.
1．定积分?f(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．
2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．
一、选择题
1．根据定积分的定义，?x2dx等于(　　)
A.2· B． 2·
C.2· D． 2·
考点　定积分的概念
题点　定积分的概念
答案　D
解析　根据定积分的定义，?x2dx＝ 2·.
2．下列定积分的值等于1的是(　　)
A．?1dx B．?(x＋1)dx
C．?dx D．?xdx
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分性质
答案　A
解析　D项，?xdx＝，C项，?dx＝，
B项，?(x＋1)dx＝，A项，?1dx＝1，故选A.
3．下列命题不正确的是(　　)
A．若f(x)是连续的奇函数，则?f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则?f(x)dx＝2?f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则?f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续且?f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分性质
答案　D
解析　A项，因为f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A项正确；B项，因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故y轴两侧的图象都在x轴上方或下方且面积相等，故B项正确；由定积分的几何意义知，C项显然正确；D项，f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
4．与定积分相等的是(　　)
A.
B.
C．?sin xdx－
D.
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分性质
答案　C
解析　当x∈[0，π]时，sin x≥0；
当x∈时，sin x<0.
∴由定积分的性质可得，
＝?|sin x|dx＋
＝?sin xdx＋
＝?sin xdx－.
5．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝?[f(x)－g(x)]dx求出的是(　　)
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分的几何意义
答案　B
解析　定积分S＝?[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方．对照各选项可知，B项中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方，故选B.
6．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成的平面图形的面积为(　　)
A．?[(1－y)－y]dy
B．
C．
D．?[x－(－x＋1)]dx
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分的几何意义
答案　C
解析　联立
解得
故A.
由图知阴影部分的面积可表示为.
7．设a＝?dx，b＝?x2dx，c＝?x3dx，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．a＝b>c D．c>a>b
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
答案　A
解析　根据定积分的几何意义，易知?x3dxb>c，故选A.
8．若?|56x|dx≤2 016，则正数a的最大值为(　　)
A．6 B．56
C．36 D．2 016
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
答案　A
解析　由?|56x|dx＝56?|x|dx≤2 016，
得?|x|dx≤36，
∵?|x|dx＝a2，∴a2≤36，即0故正数a的最大值为6.
二、填空题
9．若?f(x)dx＝1，?3f(x)dx＝2，则?f(x)dx＝________.
考点　定积分性质的应用
题点　定积分性质的应用
答案　
解析　∵??f(x)dx＝?f(x)dx＝1，
∴??f(x)dx＝2.
又?3f(x)dx＝3??f(x)dx＝2，
∴?f(x)dx＝.
∴??f(x)dx＝??f(x)dx＋??f(x)dx
＝＋2＝.
10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分的几何意义
答案　?dx
11．定积分?(2＋)dx＝________.
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
答案　2＋
解析　原式＝?2dx＋?dx.
因为?2dx＝2，?dx＝，
所以?(2＋)dx＝2＋.
12．已知f(x)是一次函数，其图象过点(3,4)且?f(x)dx＝1，则f(x)的解析式为________．
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
答案　f(x)＝x＋
解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(x)图象过(3,4)点，∴3a＋b＝4.
又?f(x)dx＝?(ax＋b)dx＝a?xdx＋?bdx＝a＋b＝1.
解方程组
得∴f(x)＝x＋.
三、解答题
13．已知f(x)＝求f(x)在区间[0,5]上的定积分．
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
解　如图画出函数f(x)的图象．
由定积分的几何意义得?xdx＝×2×2＝2，
?(4－x)dx＝×(1＋2)×1＝，
?dx＝×2×1＝1.
所以?f(x)dx＝?xdx＋?(4－x)dx＋
?dx＝2＋＋1＝.
四、探究与拓展
14．若定积分?dx＝，则m等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
答案　A
解析　根据定积分的几何意义知，定积分?dx的值就是函数y＝的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成的图形的面积．y＝是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于，而?dx＝，所以m＝－1.
15.如图所示，抛物线y＝x2将圆x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为＋，
求?dx.
考点　定积分几何意义的应用
题点　定积分几何意义的应用
解　解方程组
得x＝±2.
∴阴影部分的面积为?dx.
∵圆的面积为8π，
∴由几何概型可得阴影部分的面积是
8π·＝2π＋.
由定积分的几何意义得，
?dx
＝?dx＝π＋.
§1.6　微积分基本定理
学习目标　1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
知识点一　微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
思考　已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则?(2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？
答案　由定积分的几何意义知，?(2x＋1)dx＝×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0)＝2，故?(2x＋1)dx＝F(1)－F(0)．
梳理　(1)微积分基本定理
①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)；
②结论：?f(x)dx＝F(b)－F(a)；
③符号表示：?f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．
(2)常见的原函数与被积函数关系
①?cdx＝cx|(c为常数)．
②?xndx＝(n≠－1)．
③?sin xdx＝－cos x|.
④?cos xdx＝sin x|.
⑤?dx＝ln x|(b>a>0)．
⑥?exdx＝ex|.
⑦?axdx＝(a>0且a≠1)．
⑧?dx＝(b>a>0)．
知识点二　定积分和曲边梯形面积的关系
思考　定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？
答案　当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)≥0不恒成立，则不相等．
梳理　设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则
(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则?f(x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则?f(x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形在x轴上方，x轴下方均存在时，如图③，则?f(x)dx＝S上－S下．特别地，若S上＝S下，则?f(x)dx＝0.
1．若F′(x)＝f(x)，则F(x)唯一．(　×　)
2．微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．(　√　)
3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．(　√　)
类型一　求定积分

例1　计算下列定积分．
(1)?(2x＋ex)dx；
(2)?dx；
(3)
(4)?(x－3)(x－4)dx.
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
解　(1)?(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|
＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
(2)?dx
＝(ln x－3sin x)|
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)
＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
(3)∵2
＝1－2sin cos ＝1－sin x，
∴
＝－(0＋cos 0)＝－1.
(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，
∴?(x－3)(x－4)dx
＝?(x2－7x＋12)dx
＝
＝－0＝.
反思与感悟　(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F(x)．
(2)由微积分基本定理求定积分的步骤
第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；
第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．
跟踪训练1　计算下列定积分．
(1)?dx；
(2)；
(3)?(1＋)dx.
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
解　(1)?dx
＝
＝－
＝ln 2－.
(2)
＝sin x＝1.
(3)?(1＋)dx
＝?(＋x)dx＝
＝－＝.

例2　(1)若f(x)＝求
(2)计算定积分?|3－2x|dx.
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
解　(1)＝?x2dx＋
又因为′＝x2，(sin x－x)′＝cos x－1，
所以原式＝＋(sin x－x)
＝＋－(sin 0－0)
＝－.
(2)?|3－2x|dx
＝(3x－x2)＋(x2－3x)＝.
反思与感悟　分段函数定积分的求法
(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．
跟踪训练2　(1)?e|x|dx＝________.
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　2e－2
解析　?e|x|dx
＝?e－xdx＋?exdx
＝－e－x|＋ex|
＝－e0＋e1＋e1－e0
＝2e－2.
(2)已知f(x)＝求?f(x)dx.
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
解　?f(x)dx
＝?(2x＋ex)dx＋?dx
＝(x2＋ex)|＋
＝(1＋e)－(0＋e0)＋－
＝e＋－ln 2.
类型二　利用定积分求参数
例3　(1)已知t>0，f(x)＝2x－1，若?f(x)dx＝6，则t＝________.
(2)已知2≤?(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　(1)3　(2)
解析　(1)?f(x)dx＝?(2x－1)dx＝t2－t＝6，
解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3.
(2)?(kx＋1)dx＝＝k＋1.
由2≤k＋1≤4，得≤k≤2.
引申探究
1．若将例3(1)中的条件改为?f(x)dx＝f?，求t.
解　由?f(x)dx＝?(2x－1)dx＝t2－t，
又f?＝t－1，∴t2－t＝t－1，得t＝1.
2．若将例3(1)中的条件改为?f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值．
解　F(t)＝?f(x)dx＝t2－t＝2－(t>0)，
当t＝时，F(t)min＝－.
反思与感悟　(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．
跟踪训练3　(1)已知x∈(0,1]，f(x)＝?(1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________．
(2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若?f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　(1)[0,2)　(2)
解析　(1)f(x)＝?(1－2x＋2t)dt
＝(t－2xt＋t2)|＝－2x＋2(x∈(0,1])．
∴f(x)的值域为[0,2)．
(2)∵?f(x)dx＝?(ax2＋c)dx
＝＝＋c.
又f(x0)＝ax＋c，
∴＝ax，即x0＝或－.
∵0≤x0≤1，∴x0＝.
1．若?dx＝3＋ln 2，则a的值是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　D
解析　?dx＝?2xdx＋?dx
＝x2|＋ln x|＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
解得a＝2.
2．等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　D
解析　
＝sin θ＝.
3．设f(x)＝则?f(x)dx等于(　　)
A. B.
C. D．不存在
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　C
解析　?f(x)dx＝?x2dx＋?(2－x)dx＝＋＝.
4．已知函数f(x)＝xn＋mx的导函数f′(x)＝2x＋2，则?f(－x)dx＝________.
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　
解析　∵f(x)＝xn＋mx的导函数f′(x)＝2x＋2，
∴nxn－1＋m＝2x＋2，解得n＝2，m＝2，
∴f(x)＝x2＋2x，则f(－x)＝x2－2x，
∴?f(－x)dx＝?(x2－2x)dx
＝＝9－9－＋1＝.
5．已知f(x)＝计算：?f(x)dx.
解　?f(x)dx
取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.
所以
＝(2x2－2πx)＋sin x
＝－π2－1，
即?f(x)dx＝－π2－1.
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
一、选择题
1．?dx等于(　　)
A．e2－ln 2 B．e2－e－ln 2
C．e2＋e＋ln 2 D．e2－e＋ln 2
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　D
解析　?＝(ex＋ln x)|
＝(e2＋ln 2)－(e＋ln 1)＝e2－e＋ln 2.
2．若＝2，则实数a等于(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　A
解析　
＝(－cos x－asin x)
＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，
∴a＝－1，故选A.
3．若S1＝?x2dx，S2＝?dx，S3＝?exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)
A．S1C．S2考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　B
解析　因为S1＝?x2dx＝＝×23－＝，
S2＝?dx＝ln x|＝ln 2，
S3＝?exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)．
又ln 2所以ln 2<4．?|x2－4|dx等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　C
解析　∵|x2－4|＝
∴?|x2－4|dx＝?(x2－4)dx＋?(4－x2)dx
＝＋
＝＋
＝－3－＋8＋8－＝.
5．若函数f(x)，g(x)满足?f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；
②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；
③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　C
解析　对于①，?sinxcosxdx＝?sin xdx＝0，
所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；
对于②，?(x＋1)(x－1)dx＝?(x2－1)dx≠0，
所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；
对于③，?x·x2dx＝?x3dx＝0，
所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．
6．若f(x)＝x2＋2?f(x)dx，则?f(x)dx等于(　　)
A．－ B．－1
C. D．1
考点　利用微积分基本定理求定积分
题点　利用微积分基本定理求定积分
答案　A
解析　∵f(x)＝x2＋2?f(x)dx，
∴?f(x)dx＝
＝＋2?f(x)dx，
∴?f(x)dx＝－.
二、填空题
7．设f(x)＝则?f(x)dx＝________.
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　sin 1－
解析　?f(x)dx＝?x2dx＋?(cos x－1)dx
＝＋(sin x－x)|
＝＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)]
＝sin 1－.
8．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若?f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　－1或
解析　?f(x)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，
2f(a)＝6a2＋4a＋2，
由题意得6a2＋4a＋2＝4，解得a＝－1或.
9.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　
解析　长方形的面积为S1＝3，S阴＝?3x2dx＝x3|＝1，则P＝＝.
10．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝____________.
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　1
解析　因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.
又当x≤0时，f(x)＝x＋?3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，
所以f(0)＝a3.
因为f(f(1))＝1，所以a3＝1，
解得a＝1.
11．设f(x)是一次函数，且?f(x)dx＝5，?xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为________．
考点　微积分基本定理的应用
题点　利用微积分基本定理求参数
答案　f(x)＝4x＋3
解析　∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴?f(x)dx＝?(ax＋b)dx＝?axdx＋?bdx
＝a＋b＝5，
?xf(x)dx＝?x(ax＋b)dx
＝?(ax2)dx＋?bxdx＝a＋b＝.
∴解得
∴f(x)＝4x＋3.
12．已知α∈，则当?(cos x－sin x)dx取最大值时，α＝________.
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　
解析　?(cos x－sin x)dx＝(sin x＋cos x)|
＝sin α＋cos α－1＝sin－1.
∵α∈，则α＋∈，
当α＋＝，即α＝时，
sin－1取得最大值．
三、解答题
13．已知f(x)＝?(12t＋4a)dt，F(a)＝?[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
解　因为f(x)＝?(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)|
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
F(a)＝?[f(x)＋3a2]dx＝?(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)|
＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1.
所以当a＝－1时，F(a)取到最小值为1.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝则?f(x)dx等于(　　)
A. B.
C. D.
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　B
解析　?f(x)dx＝?(x＋1)2dx＋?dx，
?(x＋1)2dx＝＝，
?dx以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，
故?dx＝，
故?f(x)dx＝＋＝.
15．已知f′(x)是f(x)在(0，＋∞)上的导数，满足xf′(x)＋2f(x)＝，且?[x2f(x)－ln x]dx＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x>0时，证明不等式2ln x≤ex2－2.
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
(1)解　由xf′(x)＋2f(x)＝，得
x2f′(x)＋2xf(x)＝，
即[x2f(x)]′＝，
所以x2f(x)＝ln x＋c(c为常数)，
即x2f(x)－ln x＝c.
又?[x2f(x)－ln x]dx＝1，
即?cdx＝1，所以cx|＝1，
所以2c－c＝1，所以c＝1.
所以x2f(x)＝ln x＋1，所以f(x)＝.
(2)证明　由(1)知f(x)＝(x>0)，
所以f′(x)＝＝，
当f′(x)＝0时，x＝，f′(x)>0时，0f′(x)<0时，x>，
所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．
所以f(x)max＝?＝，
所以f(x)＝≤，
即2ln x≤ex2－2.
§1.7　定积分的简单应用
学习目标　1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．
知识点一　定积分在几何中的应用
思考　怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答案　求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
梳理　(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝?f(x)dx.
(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－?f(x)dx.
(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝?[f(x)－g(x)]dx.(如图)
知识点二　变速直线运动的路程
思考　变速直线运动的路程和位移相同吗？
答案　不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．
梳理　(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用dt求解．
(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－dt.
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝?v(t)dt.
知识点三　变力做功问题
思考　恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？
答案　与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a到x＝b(a梳理　如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a1．曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为?x3dx＋?(2－x)dx.(　√　)
2．在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．(　×　)
3．在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．(　×　)
类型一　利用定积分求面积

例1　由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S＝________.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　
解析　由得交点的横坐标为x＝0及x＝1.
因此，所求图形的面积为
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD
＝?dx－?x2dx
＝－＝－＝.
反思与感悟　求由曲线围成图形面积的一般步骤
(1)根据题意画出图形．
(2)找出范围，确定积分上、下限．
(3)确定被积函数．
(4)将面积用定积分表示．
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
跟踪训练1　求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成的图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
解　由
得或
所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)，
设所求图形面积为S，
根据图形可得，S＝?(－x＋2)dx－?(x2－4)dx
＝－
＝－＝.

例2　求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
解　画出图形，如图所示．
解方程组
得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S＝?dx＋?dx
＝?dx＋?dx
＝＋
＝＋＋6－×9－2＋＝.
反思与感悟　两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．
跟踪训练2　求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x所围成的图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
解　由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.
故所求的面积S＝?(2x－x)dx＋?(2x－x2)dx
＝＋
＝－0＋－＝.
类型二　定积分在物理中的应用
例3　一点在直线上从时刻t＝0 s开始以速度v＝t2－4t＋3(v的单位：m/s)运动，求：
(1)该点在t＝4 s时的位置；
(2)该点前4 s走过的路程．
考点　利用定积分求路程问题
题点　利用定积分求路程问题
解　(1)在t＝4 s时，该点的位移为?(t2－4t＋3)dt＝＝，即在t＝4 s时，该点与出发点的距离为 m.
(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以走过的路程s＝?(t2－4t＋3)dt＋＋?(t2－4t＋3)dt＝?(t2－4t＋3)dt－?(t2－4t＋3)dt＋?(t2－4t＋3)dt＝4(m)，即前4 s走过的路程为4 m.
反思与感悟　(1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法
①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v(t)在时间区间内是否为正值，若v(t)>0，则运动物体的路程为s＝?v(t)dt；若v(t)<0，则运动物体的路程为s＝?|v(t)|dt＝－?v(t)dt；
②注意路程与位移的区别．
(2)求变力做功的方法步骤
①首先要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移；
②利用变力做功的公式W＝?F(x)dx计算；
③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
跟踪训练3　一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若20 N的力能使弹簧伸长3 cm，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W为(　　)
A. J B．5 J
C. J D．6 J
考点　利用定积分求变力做功问题
题点　定积分在弹力做功中的应用
答案　A
解析　设拉伸弹簧所用的力为F N，弹簧伸长的长度为x m，则F＝kx.
由题意知20＝0.03k，得k＝，
所以F＝x.由变力做功公式，
得W＝?xdx＝＝(J)，
故把弹簧从平衡位置拉长13 cm时所做的功为 J.
1．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　A
解析　如图，画出曲线y＝x2和直线y＝2x的图象，
则所求面积S为图中阴影部分的面积．
解方程组得
所以A(2,4)，O(0,0)．
所以S＝?2xdx－?x2dx
＝x2＝4－＝.
2．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力的单位：N，位移单位：m)的作用下沿与力F(x)相同的方向由x＝5 m运动到x＝10 m，则F(x)做的功为(　　)
A．925 J B．850 J
C．825 J D．800 J
考点　利用定积分求变力做功问题
题点　定积分在弹力做功中的应用
答案　C
解析　依题意F(x)做的功是
W＝?F(x)dx＝?(3x2－2x＋5)dx
＝(x3－x2＋5x)|＝825(J)．
3．由曲线y＝与直线x＝1，x＝2，y＝1所围成的封闭图形的面积为________．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　1－ln 2
解析　因为函数y＝在[1,2]上的积分为S2＝?dx＝ln x|＝ln 2，
所以围成的封闭图形的面积S1等于四边形ABCD的面积减去S2的面积，即S1＝1－ln 2.
4．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________ m.
考点　利用定积分求路程问题
题点　利用定积分求路程问题
答案　900
解析　由速度—时间曲线得
v(t)＝
所以汽车在1分钟内行驶的路程为
?3tdt＋?＋
＝150＋750＝900 m.
5．求由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
解　作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积．
由x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，
因此所求图形的面积为
S＝?|x2－1|dx＋?(x2－1)dx
＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx
＝＋
＝－＋－
＝.
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标；
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．

一、选择题
1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　)
A．?f(x)dx
B．|?f(x)dx|
C．?f(x)dx＋?f(x)dx
D．?f(x)dx－?f(x)dx
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　D
解析　∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0，
∴阴影部分的面积S＝?f(x)dx－?f(x)dx.
2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是(　　)
A．31 m B．36 m
C．38 m D．40 m
考点　利用定积分求路程问题
题点　利用定积分求路程问题
答案　B
解析　S＝?(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|＝33＋32＝36(m)，故选B.
3．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为(　　)
A．8 J B．10 J C．12 J D．14 J
考点　利用定积分求变力做功问题
题点　定积分在弹力做功中的应用
答案　D
解析　由变力做功公式有W＝?(4x－1)dx＝(2x2－x)|＝14(J)，故选D.
4．由直线x＝0，x＝，y＝0与曲线y＝2sin x所围成的图形的面积等于(　　)
A．3 B. C．1 D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　A
解析　直线x＝0，x＝，y＝0与曲线y＝2sin x所围成的图形如图所示，
其面积为
S＝＝－2cos x
＝－2cos －(－2cos 0)＝1＋2＝3，故选A.
5．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S等于(　　)
A. B.
C. D．1
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　C
解析　y＝x2，y＝x2，x＝1所围成的图形如图所示，
S＝?x2dx－?x2dx
＝?x2dx
＝＝.
6．由直线y＝x，曲线y＝x3围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　C
解析　由直线y＝x，曲线y＝x3围成的封闭图形如图，所以由直线y＝x，曲线y＝x3围成的封闭图形的面积为2?(x－x3)dx＝，故选C.
7．由曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　D
解析　联立曲线y＝与直线y＝2x－1，构成方程组
解得
联立直线y＝2x－1，y＝0构成方程组，解得
∴曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为
S＝?dx－
＝＋－＝.
二、填空题
8．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是________．
考点　利用定积分求路程问题
题点　利用定积分求路程问题
答案　4＋25ln 5
解析　由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为?v(t)dt＝?dt＝＝4＋25ln 5.
9．由曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形的面积为____________．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　e＋－2
解析　如图，所围成的图形的面积为
?(ex－e－x)dx
＝(ex＋e－x)|
＝e＋e－1－2＝e＋－2.
10.如图，已知点A，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等，则x0＝________.
考点　导数与积分几何意义的应用
题点　导数与积分几何定义的应用
答案　
解析　由题意知×x0×＝
即x0＝x，
解得x0＝或x0＝－或x0＝0.
∵x0>0，∴x0＝.
11．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c＝________.
考点　利用定积分求曲线所围成图形的面积
题点　已知曲线所围成图形的面积求参数
答案　
解析　由得x＝0或x＝.
∵当0cx3，
∴S＝＝
＝－＝＝.
∴c3＝，∴c＝.
三、解答题
12．求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形的面积
题点　需分割的图形的面积求解
解　如图所示，
由
得所以抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)．
方法一　(选y为积分变量)
S＝?dy
＝
＝24－8－×64＝.
方法二　(选x为积分变量)
S＝?()dx＋?(6－x)dx
＝＋
＝＋
＝.
13.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　已知曲线所围成图形的面积求参数
解　由题图知方程f(x)＝0有两个实根，其中有一个实根为0，于是b＝0，
所以f(x)＝x2(x＋a)．
有＝?[0－(x3＋ax2)]dx＝－＝，
所以a＝±3.
又－a>0，即a<0，所以a＝－3.
四、探究与拓展
14.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　
解析　∵S阴＝2?(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2，
S正方形＝e2，∴P＝.
15.已知S1为直线x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积，S2为直线x＝2，y＝4－t2及曲线y＝4－x2所围成图形的面积(t为常数)．
(1)若t＝，求S2；
(2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
解　(1)当t＝时，S2＝
＝＝(－1)．
(2)当t∈(0,2)时，S1＝?[(4－x2)－(4－t2)]dx
＝＝t3.
S2＝?[(4－t2)－(4－x2)]dx
＝＝－2t2＋t3.
所以S＝S1＋S2＝t3－2t2＋.
S′＝4t2－4t＝4t(t－1)，
令S′＝0，得t＝0(舍去)或t＝1，
当00，S单调递增，所以当t＝1时，Smin＝2.
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．由曲线y＝x2，直线y＝0和x＝1所围成的图形的面积是(　　)
A. B.
C. D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　不需分割的图形的面积求解
答案　C
解析　由题意知，其围成的图形的面积为?x2dx＝＝.
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　A
解析　设极值点依次为x1，x2，x3且a3．已知某物体运动的路程与时间的关系为s＝t3＋ln t，则该物体在t＝4时的速度为(　　)
A. B.
C. D.
考点　求瞬时速度
题点　用极限的思想求瞬时速度
答案　D
解析　s′(t)＝t2＋，则该物体在t＝4时的速度为
s′|t＝4＝42＋＝.
4．函数f(x)＝x2－ln 2x的单调递减区间是(　　)
A. B.
C.， D.，
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　A
解析　因为f′(x)＝2x－＝，
所以f′(x)≤0等价于
解得05．已知曲线f(x)＝ln x在点(2，f(2))处的切线与直线ax＋y＋1＝0平行，则实数a的值为(　　)
A. B．－2
C．2 D．－
答案　D
解析　f(x)＝ln x的导数为f′(x)＝，
可得曲线f(x)＝ln x在点(2，f(2))处的切线斜率为，由切线与直线ax＋y＋1＝0平行，可得－a＝，
解得a＝－.故选D.
6．若函数f(x)＝2xf′(1)＋x2，则等于(　　)
A．－ B.
C．－ D．－
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　C
解析　f′(x)＝2f′(1)＋2x，则f′(1)＝2f′(1)＋2，
∴f′(1)＝－2，
∴f′(x)＝－4＋2x，f′(－1)＝－6，
又f(－1)＝－2f′(1)＋1＝5，∴＝－.
7．下列定积分不大于0的是(　　)
A．?|x|dx B．?(1－|x|)dx
C．?|x－1|dx D．?(|x|－1)dx
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　D
解析　A项，?|x|dx＝2?xdx＝1>0；
B项，?(1－|x|)dx＝?1dx－?|x|dx＝2－1>0；
C项，?|x－1|dx＝?(1－x)dx＝＝2>0；
D项，?(|x|－1)dx＝?|x|dx－?1dx＝1－2<0，故选D.
8．若函数y1＝sin 2x1＋，函数y2＝x2＋3，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　)
A.π＋ B.
C.2 D.
考点　导数的综合运用
题点　导数的综合运用
答案　D
解析　表示两函数图象上任意两点之间的距离，其最小值应为曲线y1上与直线y2平行的切线的切点到直线y2的距离．
∵y′1＝2cos 2x1，令y′1＝1，
∴cos 2x1＝，∵x1∈
∴x1＝，
∴y1＝，故切点坐标为，切点到直线y2的距离为＝，
∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.故选D.
9．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
答案　C
解析　由题意得f′(x)＝.
令f′(x)>0得x>3；令f′(x)<0得0故函数f(x)在区间(0,3)内为减函数，在区间(3，＋∞)内为增函数，
在x＝3处有极小值f(3)＝1－ln 3<0.
因为f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，
f?＝＋1>0，
所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
10．函数f(x)在定义域R上的导函数是f′(x)，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0.设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(log28)，则(　　)
A．cb>c
C．a考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　A
解析　∵当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，
∴f′(x)>0，
∴f(x)在区间(－∞，1)上为增函数．
又∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数．
∵a＝f(0)＝f(2)，b＝f()，c＝f(log28)＝f(3)，
∴c11．如果函数f(x)在[m，n]上存在x1，x2(mA. B.
C. D.
考点　数学思想方法在导数中的应用
题点　转化与化归思想在导数中的应用
答案　C
解析　∵f(x)＝x3－x2＋a，f′(x)＝3x2－2x，
在区间[0，a]上存在x1，x2(0满足f′(x1)＝f′(x2)＝＝a2－a，
∴方程3x2－2x＝a2－a在区间(0，a)上有两个不相等的解．
令g(x)＝3x2－2x－a2＋a(0
解得12．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
答案　B
解析　当a＝0时，由f(x)＝－3x2＋1＝0，
解得x＝±，函数f(x)有两个零点，不符合题意．
当a>0时，令f′(x)＝3ax2－6x＝3ax＝0，
解得x＝0或x＝>0，
此时f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0



f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∵当x→－∞时，f(x)→－∞，且f(0)＝1>0，
∴存在x0<0，使得f(x0)＝0，不符合题意．
当a<0时，令f′(x)＝3ax2－6x＝3ax＝0，
解得x＝0或x＝<0，
此时f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x



0

f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
∵f(0)＝1>0，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，
∴存在x0>0，使得f(x0)＝0.
又f(x)存在唯一的零点x0，
∴极小值f?＝a3－32＋1>0，
∴a>2或a<－2.
∵a<0，∴a<－2.
综上可知，a的取值范围是(－∞，－2)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切线的斜率
答案　－1
解析　∵y′＝k＋，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.
14．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　[3，＋∞)
解析　由题意知f′(x)＝－3x2＋a≥0在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2在区间(－1,1)上恒成立，故a≥3.
15.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．
其中正确的说法有________．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　①④
解析　由图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，于是f′(x)>0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；
当016．若函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
答案　
解析　f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，
∴当x<－a或x>a时，f′(x)>0，
当－a则当x＝a时，f(x)有极小值，当x＝－a时，f(x)有极大值，
由题意得解得a>.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列两个条件：
①f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；
②f(x)的最小值是1.
若存在，求出a，b，若不存在，请说明理由．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
解　设g(x)＝，则g′(x)＝，
∵f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，
∴g(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，
又∵f(x)的最小值为1，则g(x)的最小值为3，
∴∴解得
经检验，当a＝1，b＝1时，f(x)满足题设的两个条件．
18．(12分)设函数f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　含参数求极值问题
解　(1)∵f(x)＝a(x－5)2＋6ln x(x>0)，
∴f′(x)＝2a(x－5)＋(x>0)．
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
∴f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)．
∵切线与y轴相交于点(0,6)，
∴6－16a＝8a－6，∴a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝(x－5)＋＝(x>0)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝3.
当03时，f′(x)>0，f(x)在区间(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2故f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，
在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
19．(12分)已知函数f(x)＝xex－x－ax2.
(1)当a＝时，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解　(1)当a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0，则x＝－1或0，
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，
而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a>1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，
从而当x∈(0，ln a)时，g(x)<0，即f(x)<0，不符合题意．
综上，实数a的取值范围为(－∞，1]．
20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件．已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　(1)设该产品一年的销售量为Q(x)＝，
则＝500，
所以k＝500e40，则该产品一年的销售量Q(x)＝，
则该产品一年的利润L(x)＝(x－a－30)
＝500e40·(35≤x≤41)．
(2)L′(x)＝500e40·.
①若2≤a≤4，则33≤a＋31≤35，
当35≤x≤41时，L′(x)≤0，L(x)单调递减，
所以当x＝35时，L(x)取得最大值为500(5－a)e5；
②若4令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知当x＝a＋31时，L(x)取得最大值为500e9－a.
综上所述，当2≤a≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；
当421．(12分)设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的最小值；
(2)讨论g(x)与g的大小关系．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
解　(1)由f(x)＝ln x，得f′(x)＝，
即g(x)＝ln x＋，所以g′(x)＝－＝.
令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故g(x)在(0,1)上单调递减．
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．
所以最小值为g(1)＝1.
(2)g＝－ln x＋x.
设h(x)＝g(x)－g＝2ln x－x＋，
则h′(x)＝－≤0，
即h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g.
当0h(1)＝0，即g(x)>g.
当x>1时，h(x)22．(12分)已知函数f(x)＝x2－mln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
解　(1)由f(x)≥h(x)，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝，则g′(x)＝，
当x∈(1，e)时，g′(x)<0；
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．
故当x＝e时，g(x)有最小值且最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.即m的取值范围是(－∞，e]．
(2)由题意，得k(x)＝x－2ln x－a.令φ(x)＝x－2ln x，
又函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，
相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点．
φ′(x)＝1－＝，
当x∈(1,2)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，
当x∈(2,3)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增．
又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，
要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2ln x有两个交点，
则2－2ln 2即实数a的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．
滚动训练一(§1.1～§1.2)
一、选择题
1．自变量x从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)
A．从x0到x1的平均变化率
B．在x＝x1处的变化率
C．在x＝x1处的变化量
D．在区间[x0，x1]上的导数
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　A
解析　＝表示函数从x0到x1的平均变化率．
2．下列求导结果正确的是(　　)
A．(a－x2)′＝1－2x B．(2)′＝3
C．(cos 60°)′＝－sin 60° D．[ln(2x)]′＝
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　B
解析　根据题意，依次分析选项：
对于A，(a－x2)′＝a′－(x2)′＝－2x，故A错误；
对于B，(2)′＝()′＝2××＝3，故B正确；
对于C，(cos 60°)′＝0，故C错误；
对于D，[ln(2x)]′＝(2x)′＝，故D错误．故选B.
3．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为(　　)
A. B．0
C．1 D．2
考点　导数乘除法则及运算
题点　导数乘除法则及运算
答案　C
解析　y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′
＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]
＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，
由y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a)
＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，
解得a＝1.
4．曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为(　　)
A．1 B．e
C．－ D.
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　D
解析　设M(x0，ln x0)，
由y＝ln x得y′＝，
所以切线斜率k＝＝，
所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．
由题意得0－ln x0＝(0－x0)＝－1，
即ln x0＝1，所以x0＝e.
所以k＝＝，故选D.
5．已知函数f(x)＝asin x＋bx3＋1(a，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 017)－f′(－2 017)等于(　　)
A．2 017 B．2 016
C．2 D．0
考点　导数的加减法则及运算
题点　导数的加减法则及运算
答案　C
解析　函数的导数f′(x)＝acos x＋3bx2，
则f′(x)为偶函数，则f′(2 017)－f′(－2 017)
＝f′(2 017)－f′(2 017)＝0，
由f(x)＝asin x＋bx3＋1，
得f(2 016)＝asin 2 016＋b·2 0163＋1，
f(－2 016)＝－asin 2 016－b·2 0163＋1，
则f(2 016)＋f(－2 016)＝2，
则f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 017)－f′(－2 017)＝2＋0＝2，故选C.
6．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R且为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)相切，则a＋b的值为(　　)
A．－1 B．1 C．0 D．2
答案　A
解析　由y＝f(x)过点(0,0)得b＝－1，
∴f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax－1，
∴f′(x)＝＋＋a，
又∵曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)相切，即曲线y＝f(x)在点(0,0)处切线的斜率为，
∴f′(0)＝，即1＋＋a＝，
∴a＝0，故a＋b＝－1，选A.
7．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出四个函数：①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝ln x，④f(x)＝tan x，其中有“巧值点”的函数的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　B
解析　根据题意，依次分析所给的函数：
①若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，①符合要求；
②若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，②不符合要求；
③f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；
④f(x)＝tan x，则f′(x)＝，即sin xcos x＝1，变形得sin 2x＝2，无解，④不符合要求，故选B.
8．若函数f(x)＝－eax(a>0，b>0)的图象在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值为(　　)
A．4 B．2
C．2 D.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　D
解析　函数的导数为f′(x)＝－eax·a，
所以f′(0)＝－e0·a＝－，
即在x＝0处的切线斜率k＝－，
又f(0)＝－e0＝－，
所以切点坐标为，
所以切线方程为y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0.
圆心到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝＝1，
即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，
所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，
即a＋b≤，
当且仅当a＝b＝时等号成立，
所以a＋b的最大值是，故选D.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝mxm－n的导数为f′(x)＝8x3，则mn＝________.
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数的导数
答案　
解析　∵函数f(x)＝mxm－n的导数为
f′(x)＝m(m－n)xm－n－1，
∴m(m－n)＝8且m－n－1＝3，解得m＝2，n＝－2，
由此可得mn＝2－2＝.
10．若某物体做运动方程为s＝(1－t)2(位移单位为m，时间单位为s)的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度v为________ m/s.
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的物理意义
答案　0.4
解析　∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2，
∴v＝s′|t＝1.2＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．
11．函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的导数为f′(x)，则f′(1)＝________.
考点　导数的乘除法则及运算
题点　导数的乘除法则及运算
答案　－6
解析　∵f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，
令g(x)＝x(x－2)(x－3)(x－4)，
则f(x)＝(x－1)g(x)
∴f′(x)＝(x－1)′g(x)＋(x－1)g′(x)
＝g(x)＋(x－1)g′(x)，
则f′(1)＝g(1)＋(1－1)g′(1)＝g(1)，
∵g(1)＝1×(1－2)(1－3)(1－4)＝－6，
∴f′(1)＝g(1)＝－6.
12．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　
解析　令y′＝2x－＝1，得x＝1，
故当点P坐标为(1,1)时，它到已知直线的距离最小，最小距离d＝＝.
三、解答题
13．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线，求切线l的方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求函数在某点处的切线方程
解　∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1，
∴f′(x)＝2ax－2＋，∴f′(0)＝－1，
∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，
∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝cos x＋e－x＋x2 016，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2 017(x)等于(　　)
A．－sin x＋e－x B．cos x－e－x
C．－sin x－e－x D．－cos x＋e－x
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　C
解析　f1(x)＝f′(x)＝－sin x－e－x＋2 016x2 015，
f2(x)＝f1′(x)＝－cos x＋e－x＋2 016×2 015×x2 014，
f3(x)＝f2′(x)＝sin x－e－x＋2 016×2 015×2 014x2 013，
f4(x)＝f3′(x)＝cos x＋e－x＋2 016×2 015×2 014×2 013x2 012，
…，
∴f2 016(x)＝f′2 015(x)＝cos x＋e－x＋2 016×2 015×2 014×2 013×…×1，
∴f2 017(x)＝－sin x－e－x，故选C.
15．已知函数f(x)＝x3－3x及曲线y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)若直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，求直线l的方程；
(2)若直线l与曲线y＝f(x)相切，且切点异于点P，求直线l的方程．
考点　求函数过某点的切线方程
题点　求函数过某点的切线方程
解　(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3.
过点P且以P(1，－2)为切点的直线l的斜率为f′(1)＝0，
故所求直线l的方程为y＝－2.
(2)设过点P(1，－2)的直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，x－3x0)．
由f′(x0)＝3x－3，
得直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．
又直线l过点P(1，－2)，
所以－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，
即(x0－1)2(x0＋2)＝3(x－1)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故直线l的斜率k＝－，
故直线l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，
即9x＋4y－1＝0.
滚动训练二(§1.3～§1.4)
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　C
解析　f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由题图易知有两个极大值点，两个极小值点．
2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数单调性求参数(或其范围)
答案　A
解析　∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，
∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　C
解析　依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，
因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，
由于af(b)>f(a)．
4．函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值时的x值为(　　)
A．0 B.
C. D.
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　B
解析　由f′(x)＝1－2sin x＝0，得sin x＝，
又x∈，所以x＝，
当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0，
故当x＝时取得最大值．
5．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2处有极值，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，0) B．(0,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求含参数函数的单调区间
答案　B
解析　∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，
∴即
令f′(x)＝3x2－6x<0，则06．已知f(x)＝x＋在(1，e)上为单调函数，则实数b的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]∪[e2，＋∞) B．(－∞，0]∪[e2，＋∞)
C．(－∞，e2] D．[1，e2]
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)
答案　A
解析　若b≤0，则函数在(0，＋∞)上为增函数，满足条件，
若b>0，则函数的导数f′(x)＝1－＝，
由f′(x)>0得x>或x<－，此时函数单调递增，
由f′(x)<0得－若函数f(x)在(1，e)上为单调递增函数，
则≤1，即0若函数f(x)在(1，e)上为单调递减函数，
则≥e，即b≥e2，
综上b≤1或b≥e2，故选A.
7．已知函数f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
考点　函数的单调性与导数的关系
题点　根据导函数的图象确定原函数图象
答案　B
解析　从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．
8．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，－3] B.
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　C
解析　当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.
当x∈(0,1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，
∴a≥max.
设φ(x)＝，
φ′(x)＝
＝－＝－>0，
∴φ(x)在(0,1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6，
∴a≥－6.
当x∈[－2,0)时，a≤，
∴a≤min.
仍设φ(x)＝，φ′(x)＝－.
当x∈[－2，－1)时，φ′(x)<0，
当x∈(－1,0)时，φ′(x)>0.
∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值．
而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.
综上知－6≤a≤－2.
二、填空题
9．若函数f(x)＝x3＋x2＋m在区间[－2,1]上的最大值为，则m＝________.
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　2
解析　f′(x)＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1.
又f(0)＝m，f(－1)＝m＋，
f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，
∴当x∈[－2,1]时，最大值为f(1)＝m＋，
∴m＋＝，∴m＝2.
10.已知函数f(x)的导函数f′(x)是二次函数，如图是f′(x)的大致图象，若f(x)的极大值与极小值的和等于，则f(0)的值为________．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
答案　
解析　∵其导函数的函数值应在(－∞，－2)上为正数，在(－2,2)上为负数，在(2，＋∞)上为正数，
由导函数图象可知，函数在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，
∴函数在x＝－2时取得极大值，在x＝2时取得极小值，且这两个极值点关于点(0，f(0))对称，
由f(x)的极大值与极小值之和为，得f(－2)＋f(2)＝2f(0)，
∴＝2f(0)，则f(0)的值为.
11．已知函数f(x)＝xex＋c有两个零点，则c的取值范围是________．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
答案　
解析　∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由题意得c－e－1<0，得c三、解答题
12．某品牌电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p，ln q万元，已知A，B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A，B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　设B型号电视机的投放金额为x万元(1≤x≤9)，农民得到的补贴为y万元，则A型号的电视机的投放金额为(10－x)万元，由题意得
y＝(10－x)＋ln x＝ln x－x＋1,1≤x≤9，
∴y′＝－，令y′＝0得x＝4.
由y′>0，得1≤x<4，由y′<0，得4故y在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，
∴当x＝4时，y取得最大值，且ymax＝ln 4－×4＋1≈1.2，这时，10－x＝6.
即厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．
13．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)有最小值f(－t)＝h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
↗
1－m
↘
∴当t∈(0,2)时，g(t)max＝g(1)＝1－m.
∵h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，
∴g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞)．
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　[e，＋∞)
解析　f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0得x＝或0(舍去)，
当00；
当x>时，g′(x)<0，
∴当x＝时，g(x)取最大值g()＝e，∴a≥e.
15．已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的极值；
(3)求证：ln(n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N*)．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　构造法的应用
(1)解　当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋，
所以f′(x)＝＋＝，
所以f′(0)＝2，
又f(0)＝0，
所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.
(2)解　f′(x)＝＋
＝(x>－1)．
令x＋1＋a＝0，得x＝－a－1.
若－a－1≤－1，即a≥0，
则f′(x)>0恒成立，此时f(x)无极值．
若－a－1>－1，即a<0，
当－1当x>－a－1时，f′(x)>0，
此时f(x)在x＝－a－1处取得极小值，
极小值为ln(－a)＋a＋1.
(3)证明　当a＝－1时，由(2)知，f(x)min＝f(0)＝0，
所以ln(x＋1)－≥0，即ln(x＋1)≥.
令x＝(n∈N*)，
则ln≥＝，
所以ln≥.
又因为－＝>0，
所以>，
所以ln>，
所以ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋，
即ln(n＋1)>＋＋＋…＋.
章末复习
学习目标　1.理解导数的几何意义，并能解决有关切线的问题.2.能熟练应用求导公式及运算法则.3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题.4.了解定积分的概念及其简单的应用．
1．导数的概念
(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ，称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．
(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，表示为f′(x0)，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．基本初等函数的导数公式
(1)c′＝0.
(2)(xα)′＝αxα－1.
(3)(ax)′＝axln a(a>0)．
(4)(ex)′＝ex.
(5)(logax)′＝′＝(a>0，且a≠1)．
(6)(ln x)′＝.
(7)(sin x)′＝cos x.
(8)(cos x)′＝－sin x.
3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的求导法则
(1)复合函数记法：y＝f(g(x))．
(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)．
(3)逐层求导法则：yx′＝yu′·ux′.
5．函数的单调性、极值与导数
(1)函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
(2)函数的极值与导数
①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x0，当x>a时，f′(x)<0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；
②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
6．微积分基本定理
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a)．
7．定积分的性质
(1)?kf(x)dx＝k?f(x)dx(k为常数)．
(2)?[f1(x)±f2(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx.
(3)?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　)
2．函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　×　)
3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则?f(x)dx>0.(　√　)
类型一　导数几何意义的应用
例1　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．
(1)求a的值；
(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求曲线的切线方程
解　(1)f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，
f′(x)min＝－a2－9，
由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去)．
故a＝1.
(2)由(1)得a＝1，
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.
反思与感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
跟踪训练1　直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝ .
考点　求曲线在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
答案　－15
解析　由题意知f(2)＝3，则a＝－3.
f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝3×22－3＝9＝k，
又点(2,3)在直线y＝9x＋b上，
∴b＝3－9×2＝－15.
类型二　函数的单调性、极值、最值问题
例2　设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，
知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明　设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，
即ex－x2＋2ax－1>0，
故ex>x2－2ax＋1.
反思与感悟　本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；
(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
解　(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)>0，解得x>，令f′(x)<0，
解得0故f(x)在上单调递减，在上单调递增，
故f(x)min＝f?＝ln＝－.
(2)∵f(x)＝xln x，
当x≥1时，f(x)≥ax－1恒成立，
等价于xln x≥ax－1(x≥1)恒成立，
等价于a≤ln x＋(x≥1)恒成立，
令g(x)＝ln x＋，则a≤g(x)min(x≥1)恒成立；
∵g′(x)＝－＝，
∴当x≥1时，g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1]．
(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，
即y＝b和y＝f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的交点，
由(1)知当0f(x)在上单调递减，在上单调递增，
f(x)min＝f?＝ln＝－；
故当－即若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，则－类型三　定积分及其应用
例3　求由曲线y＝sin x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围成的图形的面积．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
解　所求面积S＝＋?sin xdx
＝－(－cos x)＋(－cos x)|－(－cos x)
＝1＋2＋＝4－.
反思与感悟　由定积分求曲边梯形面积的方法步骤
(1)画出函数的图象，明确平面图形的形状．
(2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标．
(3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．
(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和．
跟踪训练3　如图所示，直线y＝kx将抛物线y＝x－x2与x轴所围图形的面积分为相等的两部分，求k的值．
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　已知曲线所围成图形的面积求参数
解　抛物线y＝x－x2与x轴的两交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围图形的面积S＝
?(x－x2)dx＝＝－＝.
抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标分别为x1′＝0，x2′＝1－k，
所以＝?(x－x2－kx)dx
＝
＝(1－k)3，
又知S＝，所以(1－k)3＝，
于是k＝1－＝1－.
1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于(　　)
A．－1 B．0
C．2 D．4
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　B
解析　∵直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，∴f(3)＝1.又点(3,1)在直线l上，
∴3k＋2＝1，从而k＝－，∴f′(3)＝k＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0.
2．函数F(x)＝?t(t－4)dt在[－1,5]上(　　)
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
考点　微积分基本定理的应用
题点　微积分基本定理的综合应用
答案　B
解析　F′(x)＝′＝x2－4x，令F′(x)＝0，解得x＝0或4，
当F′(x)>0时，x>4或x<0，当F′(x)<0时，0∴F(x)在[0,4]上单调递减，在[－1,0]和[4,5]上单调递增．
又F(0)＝0，F(－1)＝－，F(4)＝－，F(5)＝－，
所以当x＝0时，F(x)取最大值0，当x＝4时，F(x)取最小值－.故选B.
3．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2] B.
C．[－2,3] D.
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　D
解析　不妨取a＝1，又d＝0，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由题图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，
∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，
∴b＝－，c＝－18.
∴y＝x2－x－6，y′＝2x－，当x>时，y′>0，
即单调递增区间为，故选D.
4．体积为16π的圆柱，当它的半径为 时，圆柱的表面积最小．
考点　利用导数求几何模型的最值问题
题点　利用导数求面积的最值问题
答案　2
解析　设圆柱底面半径为r，母线长为l.
∴16π＝πr2l，即l＝.
则S表面积＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×＝2πr2＋，
由S′＝4πr－＝0，得r＝2.
∴当r＝2时，圆柱的表面积最小．
5．已知函数f(x)＝过点(1，e)．
(1)求y＝f(x)的单调区间；
(2)当x>0时，求的最小值；
(3)试判断方程f(x)－mx＝0(m∈R且m为常数)的根的个数．
考点　函数极值的综合应用
题点　函数零点与方程的根
解　(1)由函数f(x)＝过点(1，e)，得e1＋b＝e，即b＝0，
∴f(x)＝(x≠0)，f′(x)＝，
令f′(x)>0，得x>1，令f′(x)<0，得0y＝f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0,1)．
(2)设g(x)＝＝，x>0，
g′(x)＝，
令g′(x)＝0，解得x＝2或x＝0(舍去)，当x∈(0,2)时，g′(x)<0，
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，
∴g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴的最小值为g(2)＝.
(3)方程f(x)－mx＝0(m∈R且m为常数)等价于m＝＝g(x)，
g′(x)＝，易知当x<0时，g′(x)>0.
结合(2)可得函数g(x)在区间(0,2)
上单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增．
原问题转化为y＝m与y＝g(x)的交点个数，其图象如图，
当m≤0时，方程f(x)－mx＝0(m∈R且m为常数)的根的个数为0；
当0当m＝时，方程f(x)－mx＝0(m∈R且m为常数)的根的个数为2；
当m>时，方程f(x)－mx＝0(m∈R且m为常数)的根的个数为3.
1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．
3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．
4．不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.
一、选择题
1．已知函数f(x)＝－sin πx，且 ＝2，则a的值为(　　)
A．2 B．－2
C．2π D．－2π
考点　导数的概念
题点　导数的概念的简单应用
答案　A
解析　∵ ＝2，
∴f′(1)＝2，f(x)＝－sin πx，
f′(x)＝－acos πx，∴－acos π＝2，
∴a＝2，故选A.
2．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线(　　)
A．垂直于x轴
B．垂直于y轴
C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴
D．方向不能确定
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的几何意义
答案　B
解析　∵曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，
∴切线的斜率为0，故选B.
3．若函数f(x)的导数是f′(x)＝－x(ax＋1)(a<0)，则函数f(x)的单调递减区间是(　　)
A. B.，
C. D．(－∞，0]，
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　C
解析　∵f′(x)＝－x(ax＋1)(a<0)，
令f′(x)<0，即－x(ax＋1)<0，
解得04．由曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为(　　)
A． B．2
C． D．2
考点　定积分的几何意义及性质
题点　定积分的几何意义
答案　D
解析　如图所示，两个阴影部分面积相等，所以两个阴影面积之和等于05.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
C．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
考点　函数极值的综合应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　D
解析　由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，
并且当x<－2时，f′(x)>0，
当－2又当1当x>2时，f′(x)>0，
故函数f(x)有极小值f(2)，故选D.
6．已知a≤＋ln x对任意x∈恒成立，则a的最大值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案　A
解析　令f(x)＝＋ln x，
∴f′(x)＝，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1,2]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)≥f(1)＝0，则a≤0，即a的最大值为0.
7．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[3,5]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极大值为(　　)
A.b2－b3 B.b－
C．2b－ D．0
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　含参数求极值问题
答案　C
解析　f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，
∵函数f(x)在区间[3,5]上不是单调函数，
∴30，得x<2或x>b，
由f′(x)<0，得2故f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，b)上单调递减，在(b，＋∞)上单调递增，
∴函数f(x)的极大值为f(2)＝2b－.
二、填空题
8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ．
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切点坐标
答案　(－2,15)
解析　y′＝3x2－10，令y′＝2，解得x＝±2.又∵点P在第二象限内，∴x＝－2，此时y＝15，∴点P的坐标为(－2,15)．
9．已知曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成的封闭区域的面积为a3，则a＝ .
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　已知曲线所围成图形的面积求参数
答案　
解析　由题意得a3＝?dx＝＝，
即＝，解得a＝.
10．已知定义在区间(－π，0)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递减区间是 ．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　利用导数求不含参数函数的单调区间
答案　
解析　f′(x)＝xcos x，当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递减区间是.
11．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则实数a的值为 ．
考点　导数在最值问题中的应用
题点　已知最值求参数
答案　－1
解析　f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝±，
当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当－0，f(x)单调递增．
若≥1，即a≥1，
则当x∈[1，＋∞)时，f(x)max＝f()＝＝，
解得＝<1，不合题意，∴<1，
且当x∈[1，＋∞)时，f(x)max＝f(1)＝＝，
解得a＝－1，满足<1.
三、解答题
12．求抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点(0，－3)和点(3,0)处的切线所围成的图形的面积．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　曲线的切线方程的应用
解　如图，∵y′＝－2x＋4，
∴y′|x＝0＝4，y′|x＝3＝－2.
∴在点(0，－3)处的切线方程是y＝4x－3，在点(3,0)处的切线方程是y＝－2(x－3)．
联立方程组
即
得交点坐标为.
所以由它们围成的图形面积为
S＝
＝
＝＋＝.
13．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)若f(x)在定义域内单调递增，求实数k的值；
(2)若f(x)的极小值大于0，求实数k的取值范围．
考点　利用导数研究函数的极值
题点　已知极值求参数
解　(1)依题意可知f′(x)＝(x－k)(ln x＋1)，
令f′(x)＝0，可得x1＝k，x2＝.
若x1≠x2，则在x1，x2之间存在一个区间，
使得f′(x)<0，不满足题意．
因此x1＝x2，即k＝.
(2)当k<时，若k>0，则f′(x)在上小于0，在上大于0，若k≤0，则f′(x)在上小于0，在上大于0，
因此x＝是极小值点，f?＝－>0，
解得k>，∴当k>时，f′(x)在上小于0，在(k，＋∞)上大于0，
因此x＝k是极小值点，f(k)＝(1－2ln k)>0，
解得k<，∴当k＝时，f(x)没有极小值点，不符合题意．
综上可得，实数k的取值范围为∪.
四、探究与拓展
14．设函数f(x)＝ln x＋(m∈R)，若对任意的b>a>0，<1恒成立，则实数m的取值范围是 ．
考点　数学思想方法在导数中的应用
题点　转化与化归思想在导数中的应用
答案　
解析　对任意的b>a>0，<1恒成立，
等价于f(b)－b设函数h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x，
则h(x)在(0，＋∞)上是单调减函数，
即h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－2＋(x>0)恒成立，
得m≥，
所以实数m的取值范围是.
15．已知函数f(x)＝ln x－a(x－1)，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x≥1时，f(x)≤恒成立，求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
若a≤0，则f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝，
当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)f(x)－＝，
令g(x)＝xln x－a(x2－1)，x≥1，
g′(x)＝ln x＋1－2ax，
令F(x)＝g′(x)＝ln x＋1－2ax，F′(x)＝，
①若a≤0，F′(x)>0，g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，
g′(x)≥g′(1)＝1－2a>0，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(1)＝0，
从而f(x)－≥0，不符合题意．
②若00，
∴g′(x)在上单调递增，
从而g′(x)>g′(1)＝1－2a>0，
∴g(x)在上单调递增，g(x)≥g(1)＝0，
从而f(x)－≥0，不符合题意．
③若a≥，F′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，
∴g′(x)在[1，＋∞)上单调递减，g′(x)≤g′(1)＝1－2a≤0，
从而g(x)在[1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)≤g(1)＝0，f(x)－≤0，
综上所述，实数a的取值范围是.